文科等差数列汇编

高三上学期文科数学补差（7）专题 数列----等差数列及等比数列1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成123,,,,,,n a a a a 简记为{}n a ．2.数列的前n 项和与通项的关系数列的前n 项和通常用n S 表示，记作12n n S a a a =+++，则通项11,2n n n Sa S S n -⎧=⎨-≥⎩．若当2n ≥时求出的n a 也适合1n =时的情形，则用一个式子表示n a ，否则分段表示．3.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即1n n a a d +-=，d 为常数．(2)等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

2.等差数列的通项公式及其变形由等差数列的定义可得公差为d 的等差数列{}n a 具有如下性质：（1）以1a 为首项，d 为公差的等差数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-．（2）通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*N ． （3）若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*N ．（4）前n 项和公式：首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列{}n a 的前n 项和公式：11()(1)==22n n n a a n n S na d +-+．4.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(3)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.(4)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.考点一 由n a 与n S 的关系求通项n a例1．已知数列{a n }的前n 项和为S n .（1）若S n ＝2n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； （2）若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .【方法点睛】已知S n 求a n 的 3个步骤 （1）先利用a 1＝S 1求出a 1；（2）用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；（3）对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．考点二. 由递推关系式求数列的通项公式例2．已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.例3．已知a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n ()n －1(n ≥2，n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．练习6．根据下列条件，求数列{a n }的通项公式．（1）满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2)；（2）满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2)．考点三. 等差（等比）数列的基本运算例4．(1)等差数列{}n a 中,已知2,31==d a ,求=20a =n a , ,=n S(2)等差数列{}n a 中,已知45076543=++++a a a a a ,=+82a a ,=9S (3)等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和分别为,,n n T S 若==2005201310031007,21T Sb a 则 例5．(1)等比数列{},n a 已知5973,27,a a a ===(2)等比数列{},n a 已知51183,27,a a a ===(3)已知方程02=++c bx ax 的两根是,,21x x 则有=+21x x ,=⋅21x x考点四.等差（等比）数列的判断与证明 例6.已知数列{}a n 满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n.设b n ＝a n －2n3n .（1）证明：数列{}b n 为等差数列； （2）求数列{}a n 的通项公式．例7.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n a n(n ∈N ＋)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2.考点五. 等差（等比）数列前n 项和例8．已知在等差数列{}a n 中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. （1）求S n ；（2）这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．例9.（1）设各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于________（2）已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且S 2＝2，S 4＝8，则S 8＝________1.等差数列{}n a 中,已知2,31==d a ,求=20a =n a , ,=n S2.等差数列{}n a 中,已知45076543=++++a a a a a ,=+82a a ,=9S3.等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和分别为,,n n T S 若==2005201310031007,21T Sb a 则 4.等比数列{},0,n n a a >已知120191010256,a aa ⋅==________ 5.等比数列{},n a 已知==⋅=181091,100,5a a a a ________ 6．（2013年高考安徽（文））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =________ 7．（2013安徽安庆三模）在正项等比数列{}n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则75a a ⋅的值是________ 8．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 降低0.7 ℃，已知山顶的气温是14.1 ℃，山脚的气温是26 ℃.那么，此山相对于山脚的高度是________9．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝________10.（2017全国2理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________11．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝2，则a 7＝________12．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＋a 8＝3，a 3·a 7＝2，则a 13a 10＝________.13．（2019·南通期末）已知数列{}a n 的前4项为1，－14，19，－116，则数列{}a n 的一个通项公式为________． 14．（2018·盐城二模）已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝_______.15．（2019·常州期中）已知数列{}a n 的通项公式a n ＝nn 2＋36，则{}a n 中的最大项的值是________．16．（2019·泰州中学4月联考）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1357910a a a a a ++++=，228236a a -=，则10S 的值为_____．17．（2019·盐城期中模拟）若数列{}n a 的首项112a =，且()11n n n a a a +=+，则200300a a =________.18．各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，a 6＝a 1a 2a 3，则公比q 的值为________．19．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________20．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________ 21．在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝________22．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________. 23．已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝24．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.25．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2，若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N ＋)，则m ＝________26．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 11＝4，a 6a 12＝8，则a 8a 9＝________27．已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为________28．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”，则该匹马第一天走的里数为( )A.128127 B ．44 800127 C.700127 D ．1753229．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 30．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .31．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于________．32．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为________33．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 4a 6－2a 24＋a 2a 4＝144，则a 5－a 3＝________34．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________ 35．各项为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为________36．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________.37．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于________ 38．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＝4a n ＋1－4a n .(1)求证：数列{a n ＋1－2a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．39．（2019·南通3月联考）已知数列{}n a 的各项均不为0，其前n 项和为n S ．若26a =，22213n n n S n a S -=+，2n ≥，n *∈N ．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 满足13n n n a b b +=+，2353b b -=，求证：数列{}n b 是等差数列．高三上学期文科数学补差（8）专题 数列综合应用及数列求和1．公式法如果通项是等差或等比数列，则直接利用公式进行求和．等差数列{a n }前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ．等比数列{a n }前n 项和公式：q ＝1时，S n ＝__na 1__；q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q．2．分组求和法如果一个数列的通项形如a n ±b n ，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则把它们分别求和． 3．错位相减法如果一个数列的通项形如a n b n ，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则用两式错位相减法．其实，等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法如果一个数列的通项是分式型数列，则可把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式有：1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)，1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ．5．倒序相加法如果一个数列{a n }的通项满足，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法．如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050．7．常见数列的前n 项和公式：(1)1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2；(2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；(3)12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6．题型一 等差、等比数列的综合问题例1.已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是_______. 例2.设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2.①求{a n }的通项公式；②求+题型二.数列求和考向1 利用“分组求和法”求和【例3】求和：（1）S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1.（2）1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)．考向2 利用“裂项相消法”求和【例4】设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为*(∈n S n N ），{}n b 是等差数列.已知：1321,2==+a a a ，435546,2=+=+a b b a b b ．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n S 的前n 项和为*(∈n T n N ），求n T ；考向3 利用“倒序相加法”求和【例5】已知函数f (x )＝4x 4x ＋2，求f (12018)＋f (22018)＋f (32018)＋…＋f (20172018)的值．考向4 利用“错位相减法”求和【例6】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N .1.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =_______. 2.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 前6项的和为_______.3．等差数列{a n }的公差是2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝_______.4．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝_______.5．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为_______.6．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝________7．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是________8.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1＋3n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________． 9.求sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°的值为________． 10.在等差数列{}n a 中，已知13240,2a a a a +=+=-，则数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为 ． 11.求和：11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝________．12.已知数列{}a n 的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则该数列的前____项之和等于9.13.已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2. (1) 求{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n 及T n 的最小值．14.设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．15．设n S 为数列{n a }的前项和,已知01≠a ,2n n S S a a •=-11,∈n N *(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式; (Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.16．已知数列{}n a 满足的前n 项和为n S ，且)(,1)31(*∈-+=N n n S nn .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 的通项公式满足)1(n n a n b -=，求数列}{n b 的前n 项和n T 。

文科数列知识点归纳总结一、等差数列1. 定义：如果一个数列 {an} 满足 an＋1 - an = d（d ≠ 0），则称该数列为等差数列，其中d 为公差。

2. 性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差。

（2）前 n 项和公式：Sn = (a1+an)n/2。

即 Sn = (n/2)(a1+an)，其中 a1 为首项，an 为第 n 项。

（3）任意三项的关系：an + an-2 = 2an-1。

即等差数列中任意三项的中项等于其余两项的平均数。

3. 应用：（1）日常生活中的应用：等差数列可以描述很多日常生活中的现象，比如每天存款增加一定金额、每天走路速度等等。

（2）经济学中的应用：在经济学领域中，等差数列常常用来描述固定利率下的贷款或存款的变化规律。

二、等比数列1. 定义：如果一个数列 {an} 满足 an＋1 / an = q（q ≠ 0），则称该数列为等比数列，其中q 为公比。

2. 性质：（1）通项公式：an = a1*q^(n-1)，其中 a1 为首项，q 为公比。

（2）前 n 项和公式：Sn = a1*(q^n - 1) / (q - 1)。

即 Sn = a1*(q^n - 1) / (q - 1)，其中 a1 为首项，q 为公比。

（3）求和公式的推导：Sn*q = a1*q^n - an+1，两式相减得到 Sn*(q - 1) = a1*q^n - an+1，进而可以得出前 n 项和公式。

3. 应用：（1）生活中的应用：等比数列可以用来描述一些成倍增长的现象，比如细菌的繁殖、利息的增长等。

（2）工程中的应用：在工程领域中，等比数列常常用来描述一些按比例递增或递减的参数，比如传热系数随着材料厚度的变化等。

三、其他特殊的数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列的第一项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

(一)等差数列1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

7.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函 数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

03 数列一、选择题1．（北京7）．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ C ） A ．30 B ．45C ．90D ．1862．（广东4）记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1=4,S 4=20,则该数列的公差d = （ B ）A .7B .6C .3D .2 3．（宁夏8）设等比数列{}n a 的公比q =2，前n 项和为S n ，则24a S =（ C ） A ．2B ．4C ．215 D ．217 4．（江西5）在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a = （ A ） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 5．（全国Ⅰ7）已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ A ） A ．64B ．81C ．128D ．2436．（福建3）设{}n a 是等差数列，若273,13a a ==，则数列{}n a 前8项和为（ C ） Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．567．（上海14）若数列{}n a 是首项为l ，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ B ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．548．(天津4) 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ B ） A ．12B ．13C ．14D ．159．（浙江4）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q = ( D )（A ）21-（B ）2- （C ）2 （D ）2110．(重庆1)已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于 ( C )(A)4 (B)5(C)6(D)711．(陕西4) 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ）A ．64B ．100C ．110D ．120二、填空题1．（安徽15） 在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+，*n N ∈,其中,a b为常数，则ab = －12．（宁夏13）已知{}n a 为等差数列，1322a a +=，67a =，则5a = ．15 3．（江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。

高三文科数学复习资料--《数列》专题1。

等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a . （1）求通项n a ; （2）若242=n S ,求n ；（3）若20-=n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值。

2。

等差数列}{n a 中，n S 为前n 项和，已知75,7157==S S . （1）求数列}{n a 的通项公式; （2）若nS b nn =，求数列}{n b 的前n 项和n T .3。

已知数列}{n a 满足11=a ，)1(2111>+=--n a a a n n n ，记nn a b 1=.（1)求证：数列}{n b 为等差数列； (2)求数列}{n a 的通项公式.4.在数列{}n a 中,0≠n a ，211=a ,且当2≥n 时,021=⋅+-n n n S S a 。

（1)求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列；（2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）当2≥n 时,设n n a nn b 1--=，求证：n b b b n n n 1)(12)1(2132<+⋅⋅⋅++-<+。

5.等差数列}{n a 中，2,841==a a 。

（1)求数列}{n a 的通项公式； (2）设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；（3）设*)()12(1N n a n b n n ∈-=，*)(21N n b b b T n n ∈+++= ，是否存在最大的整数m 使得对任意*N n ∈，均有32mT n >成立，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。

6.已知数列)}1({log 2-n a 为等差数列,且9,331==a a 。

（1）求}{n a 的通项公式; (2）证明：11...1112312<-++-+-+nn a a a a a a 。

7.数列{}n a 满足*1129,21(2,)n n a a a n n n N -=-=-≥∈. （1)求数列{}n a 的通项公式； （2）设nn a b n=，则n 为何值时，{}n b 的项取得最小值，最小值为多少？8。

历年高考数学真题汇编专题13 等差、等比数列的应用1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．2．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则（ ） A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .②当<0b 时，令2x x b =+，即20x x b -+=.则该方程140b ∆=->，即必存在0x ，使得2000x x b -+=， 则一定存在10 ==a a x ，使得21n n n a a b a +=+=对任意n *∈N 成立，解方程20a a b -+=，得12a ±=，10≤时，即90b -…时，总存在a =，使得121010a a a ==⋯=≤， 故C 、D 两项均不正确.③当0b >时，221a a b b =+≥，则2232a a b b b =+≥+，()22243a a b b b b =+++….（ⅰ）当12b =时，22451111711,1222162a a ⎡⎤⎛⎫++=>>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，则26111112224a ⎛⎫>++=> ⎪⎝⎭，2719222a >+=， 28918310224a ⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭ ，则2981102a a =+>， 21091102a a =+> ， 故A 项正确.（ⅱ）当14b =时，令1==0a a ，则2231111,4442a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，所以224311114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，以此类推，所以2210911114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，故B 项不正确. 故本题正确答案为A.遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.3、【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 【答案】58【解析】设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++=.解得12q =-，所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---． 准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3343431315()428S S a S a q =+=+=+-=，避免繁分式计算． 4、【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.【答案】100【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 5、【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是__________． 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组. 6、【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．n 由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a ≥等价于211100n n -+…，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n *≤≤∈N ．该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.7、【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-， 因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=L ．本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.8、【2019年高考北京卷文数】设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．n 因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列， 所以()()()23248106a a a +=++． 所以2(22)(43)d d d -+=-+． 解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-． （2）由（1）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤． 所以，n S 的最小值为630S =-．一、等差数列1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形： （1）()n m a a n m d =+-，其中m n ≠：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式（2）n ma a d n m -=-：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11n a a n d-=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项（1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+ （2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *∀≥∈，n a 均为11,n n a a -+的等差中项（3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q +=+⇔+=+ 4、等差数列通项公式与函数的关系：()111n a a n d d n a d =+-=⋅+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。

第3节 数列的综合题型76 等差数列与等比数列的综合1. （2013江苏19）设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，nS是其前n 项和.记cn nS b n n +=2，n *∈Ν，其中c 为实数. （1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（,k n *∈Ν）；（2）若{}n b 是等差数列，证明：0=c .1.分析 （1）利用,a d 将n b 表示出，然后根据124,,b b b 成等比数列，得到a 与b 的关 系，可验证2nk k S n S =；（2）先由123,,b b b 成等差数列，得到关于c 的等式，求得c 的值后再代入验证.解析 （1）由0c =，得12n n S n b a d n -==+. 又因为124,,b b b 成等比数列，所以2214b b b =，即2322d a a a d ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得220.d ad -=因为0d ≠，所以2d a =.因此，对于所有的*m ∈N ，有2mS m a =.从而对于所有的,*k n ∈N ，有()2222nk k S nk a n k a n S ===.（2）设数列{}n b 的公差是1d，则()111nb b n d =+-，即()1121,*nnS b n d n n c=+-∈+N ，代入n S 的表达式，整理得，对于所有的*n ∈N ，有 31111122d d n b d a d ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111n cd n c d b +=-. 令()1111111,,22A d dB b d a d D c d b =-=--+=-，则对于所有的*n ∈N ，有321An Bn cd n D ++=. （*）在（*）式中分别取1,2,3,4,n =得11842A B cd A B cd ++=++11279364164A B cd A B cd =++=++，从而有111730,1950,2150,A B cd A B cd A B cd ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③由②③得0,5A cd B ==-，代入方程①，得0B =，从而10cd =，即110,2d d -=11110,02b d a d cd --+==.若10d =，则由1102d d -=，得0d =，与题设矛盾，所以0d ≠.又因为10cd =，所以0c =.2．(2013福建文17）已知等差数列}{na 的公差1d =，前n 项和为nS.（1）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （2）若519S a a >，求1a 的取值范围.2.分析（1）利用等比中项求解；（2）利用通项公式与求和公式将不等式转化为含有首项的不等式求解. 解析（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a成等比数列，所以()21112a a =⨯+，即21120a a --=，解得1112a a =-=或.（2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519Sa a >，所以21115108a a a +>+，即2113100a a +-<，解得152a -<<.3. (2013天津文19）已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为()n S n *∈Ν， 且234,2,4S S S -成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）证明()1361n n S n S *+∈…Ν. 3.分析 （1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；（2）求出前n 项 和，根据函数的单调性证明.解析 （1）设等比数列{}n a 的公比为q .因为23424S S S -,，成等差数列，所以324324S S S S +=-，即4324S S S S -=-,可得432a a =-，于是431.2a q a ==-又因为132a =，所以等比数列{}n a 的通项公式为n a =()113131.222n n n--⎛⎫⋅-=-⋅⎪⎝⎭（2）1111,122n nn n n S S S ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12,2211112,12212n n nn nn n ⎧+⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪+-- ⎪⎪-⎝⎭⎩为奇数,为数.偶 当n 为奇数时，1n n S S +随n 的增大而减小，所以111113.6n n S S S S ++=≤ 当n 为偶数时，1n n S S +随n 的增大而减小，所以221125.12n n S S S S ++=≤ 故对于*,n ∈N 有113.6n n S S +≤ 4.（2013湖北文19）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2013n S …？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．4.分析 首先由423,,S S S 成等差数列，且23418a a a ++=-，求得1a 和公比q ，进而得通项公式；然后根据等比数列的前n 项和公式列出关于n 的不等式，通过解不等式进而做出判断.解析 （1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则10,0a q ≠≠.由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩即()23211121,118,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩ 故数列{}n a 的通项公式为()132n n a -=⨯-.（2）由（1）有()()()3121212nn n S ⎡⎤--⎣⎦==----.假设存在n ，使得2013nS ≥，则()122013n --≥，即()22012n--≤.当n 为偶数时，()20n->，上式不成立；当n 为奇数时，()222012nn-=--≤，即22012n≥，即11n ≥.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{}21,,5n n k k k =+∈N ≥. 5.（2014天津文5）设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）.A.2B.2-C.21 D . 12- 6.（2014新课标Ⅱ文5）等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）.A.(1)n n +B.(1)n n -C.(1)2n n + D.(1)2n n - 7.（2014北京文15）（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.7. 解析 （I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===.所以()()1131,2,n a a n d n n =+-==L.设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =.所以()11112n n n n b a b a q ---=-=.从而()1321,2,n n b n n -=+=L .（II ）由（I ）知()1321,2,n n b n n -=+=L .数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -⨯=--.所以数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-. 评注 本题主要考查等差数列与等比数列通项同时及前项和公式，考查数列综合应用.属基础题.8．（2014湖北文19）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.9.（2014重庆文16）（本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分） 已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. （I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通 项公式及其前n 项和n T .10.（2016北京文15）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+ ，求数列{}n c 的前n 项和. 10.解析 （1）等比数列的公比，所以，. 设等差数列的公差为.因为，， 所以，即.所以. （2）由（1）知，，.因此.从而数列的前项和.11.（2016全国乙文17）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和.11.解析 （1）由题意令中，即， 解得，故.（2）由（1）得，即， 故是以为首项，为公比的等比数列，即，{}n b 32933b q b ===211bb q==4327b b q =={}n a d 111a b ==14427a b ==11327d +=2d =()211,2,3,n a n n =-=⋅⋅⋅21n a n =-13n n b -=1213n n n n c a b n -=+=-+{}n c n ()113521133n n S n -=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=()12113213n n n +--+=-2312n n -+11n n n n a b b nb +++=1n =1221a b b b +=12a =()*31n a n n =-∈N()1131n n n n b b nb ++-+=113n n b b +=()*n ∈N {}n b 11b =13q =()1*13n n b n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N所以的前项和为. 12.（2016四川文19）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q >，*n ∈N .（1）若2a ，3a ，23+a a 成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且22e =，求22212n e e e ++⋅⋅⋅+.12.解析 （1）由已知，，，两式相减得到，. 又由，得到，故对所有都成立. 所以数列是首项为，公比为的等比数列.从而.由，，成等差数列，可得，所以，故.所以.（2）由（1）可知，.所以双曲线的离心率.由，解得所以13.（2016天津文18）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()*n S n ∈N ，且6123112,63S a a a -==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n ∈N ，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和.{}n b n 1111313122313n n n S -⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⋅-11n n S qS +=+211n n S qS ++=+21n n a qa ++=1n …211S qS =+11a =21a qa =1n n a qa +=1n …{}n a 1q ()1*=n n a qn -∈N 2a 3a 23a a +32232=a a a a ++32=2a a =2q ()1*2n n a n -=∈N 1n n a q-=2221ny x a -=n e ==22e ==q =22212n e e e ++⋅⋅⋅+=()()22(1)111+1n q q -⎡⎤+++⋅⋅⋅++=⎣⎦()22(1)1n n q q-+++⋅⋅⋅+=()221131.12n n q n n q -+=+--13.解析 （1）数列的公比为，由已知有，解得. 又由知，所以，解得，所以.（2）由题意得，即数列是首项为，公差为的等差数列.设数列的前项和为， 则. 14.（2017天津文18）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和()n *∈N .14.解析 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知，2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q >，解得2q =，所以2nn b =()*n ∈N .由3412b a a =-，可得138d a -=① 由11411S b =，可得1516a d +=②联立式①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-()*n ∈N .所以{}n a 的通项公式为32n a n =-()*n ∈N ，{}n b 的通项公式为2n n b =()*n ∈N . （2）设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-()*n ∈N ，有2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=L1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯----⨯=--⨯--，得2(34)216n n T n +=-⨯+.{}n a q 2111112a a q a q -=2,1q q ==-61(1)631n a q S q -==-1q ≠-61(12)6312a -=-11a =()1*2n n a n -=∈N 21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n }{n b 211})1{(2n n b -n n T 222221234()()n T b b b b =-++-++⋅⋅⋅+222122121222()()22n n n n n b b b b b b b n -+-+=++⋅⋅⋅+==所以数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-⨯+.题型77 数列与函数、不等式的综合1.（2014四川文19）(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ，点(),n n a b 在函数()2xf x =的图像上()*n ∈N.（1）求证：数列{}n b 为等比数列；（2）若11a =，函数()f x 的图像在点()22,a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}2n n a b 的前n 项和n S .2.（2015陕西文21）设2()1,0,, 2.n n f x x x x x n n =++⋅⋅⋅+-∈N 厖（1）求()2n f '.（2）证明：()n f x 在203⎛⎫⎪⎝⎭，内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭.2.解析 (1)由题设()112n n f x x nx -'=+++L ，所以()212122322n n f n -'=+⨯+⨯++L ，所以()23221222322nn f n '=⨯+⨯+⨯++L ，由错位相减法求得：()()2311122112121222212n n n n n f n n -⨯-'-=+⨯+⨯+⨯++-⨯=-⨯-L ，所以()()2121nn f n '=-+；(2)因为()010f =-<，222212120333n n f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，所以()n f x 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，内至少存在一个零点.又()()110nn f x n x '=-+>，所以()n f x 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增，因此，()n f x 在203⎛⎫⎪⎝⎭，内有且只有一个零点n a ，由于()()111n n x x f x x -=--，所以()()1011nn n n n na a f a a -==--，由此可得1111222n n n a a +=+>，故1223n a <<，所以111112120222333n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3.（2016上海文14）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{}2,3n S ∈，则k 的最大值为 .3.解析 由题意或，或，依此类推， 又与具备等价性，因此不妨考虑设， 若，则；若，则.按照这种逻辑，可以出现序列，或者序列 因此最大化处理可以出现，所以最大值为.4.（2016上海文22）对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记{}*,n A x x a n ==∈N，{}*,n B x x b n ==∈N ，若同时满足条件：①{}n a ，{}n b 均单调递增；②A B =∅I 且*A B =N U ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.（1）若21n a n =-，42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n 且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项公式.4.解析 （1）易知，， 而，，所以，从而与不是无穷互补数列. （2）由题意，因为，所以. 数列的前项的和为. （3）设的公差为，，则.由，得或.若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾，412S =13S =22S =23S =12S =13S =12S =22S =20a =23S =21a =2,0,0,⋅⋅⋅2,1,1,1,1,--⋅⋅⋅2,1,1,0,-⋅⋅⋅4{}1,3,5,7,9,11,A =⋅⋅⋅{}2,6,8,12,B =⋅⋅⋅4A ∉4B ∉4A B ∉U {}n a {}n b {}2,4,8,16,32,A =⋅⋅⋅416a =1616420b =+={}n b 16()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++=()512020221802+⨯--={}n a d d *∈N 1611536a a d =+=136151a d =-…1d =21d =121a =20n a n =+{}n a {}n b因为此时不是无穷数列；若，则，，.综上所述，，.5.（2016江苏20）记{}1,2,,100U =L .对数列{}n a ()*n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =L ，定义12k T t t t S a a a =+++L .假如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++.现设{}n a ()*n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数k ()1100k 剟，若{}1,2,,T k ⊆L ，求证：1T k S a +<；（3）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S …，求证：2C C D D S S S +I …. 5. 解析 （1）当时，，因此， 从而，. （2）.（3）下面分三种情况给予证明.①若是的子集，则. ②若是的子集，则. ③若不是的子集，且不是的子集.令，，则，，.于是，，进而由得. 设为中的最大数，为中的最大数，则，，. 由（2）知，.于是，所以，即.又，故.从而 ， {}n b 2d =16a =24n a n =+,525,5n n n b n n ⎧=⎨->⎩„24n a n =+,525,5n n n b n n ⎧=⎨->⎩„{}2,4T =2422930T S a a a a =+=+=23a =2113a a ==()1*3n n a n -=∈N 12T k S a a a ++L „211333k -=++++L 13132k k k a +-=<=D C 2C C D C D D D D S S S S S S S +=++=I …C D 22C C D C C C D S S S S S S +=+=I …D C C D UE C D =I ðUF D C =I ðE ≠∅F ≠∅E F =∅I C E C D S S S =+I D F C D S S S =+I C D S S …E F S S …k E l F 1k …1l …k l ≠1E k S a +<1133l k l F E k a S S a -+=<=剟1l k -<l k „k l ≠1l k -„123F l S a a a a +++⋅⋅⋅+„1133l -=++⋅⋅⋅+1313122l k ---=„1122k E a S --=„故，所以，即. 综合①②③得，.6.（2017浙江22）已知数列{}n x 满足：11x =，()()*11ln 1n n n x x x n ++=++∈N .证明：当*n ∈N 时.（1）10n n x x +<<； （2）1122n n n n x x x x ++-„； （3）1-21122n n n x -剟. 6.解析 （1）用数学归纳法证明：0n x >. 当1n =时，110x =>，假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +„，则()110ln 10k k k x x x ++<=++„，矛盾，故10k x +>. 因此()*0n x n >∈N ，所以()111ln 1n n n n x x x x +++=++>. 因此()*10n n x x n +<<∈N.（2）由()111ln 1n n n n x x x x +++=++>，得()()21111114222ln 1n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++.记函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++….()()()()()222122222ln 1ln 1ln 10111x x x x xf x x x x x x x x -++++'=-+++=++=+++++…，知函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00f x f =…， 因此()()()21111122ln 10n n n n n x x x x f x +++++-+++=…，即()*1122n n n n x x x x n ++-∈N „. （3）因为()()*11111ln 12n n n n n n x x x x x x n +++++=+++=∈N „，得112n n x x +…，以此类推，21111,,22n n x xx x -L 厖，所以112112112n n n n n n x x x x x x x x ----⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭L =x ?，故112n n x -…. 由（2）知，()*1122n n n n x x x x n ++-∈N …，即111112022n n x x +⎛⎫--> ⎪⎝⎭…， 21E F S S +…()21C C D D C D S S S S --+I I …21C C D D S S S ++I …2C C D D S S S +I …所以1211111111222222n n n n x x x ---⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭厖?，故212n n x -….综上，()*121122n n n x n --∈N 剟. 2018年1.（2018浙江10）已知成等比数列，且．若，则（ ）. A ．B ．C ．D ．解析 令()1230a a a t t ++=>，则有4ln t a t +=，即4ln a t t =-，设ln y t t =-，11y't=-，令0y'>，得01x <<，令0y'<，得1x >.所以ln y t t =-在()0,1上单调递增，在()1,+∞ 上单调递减，()min 11y f ==-，即41a -≤，所以0q <.()()()232123411111a a a a a q q q a q q +++=+++=++.若10q +<，则1q <-，此时12340a a a a +++<.而()212311a a a a q q ++=++中，21y q q =++在(),1q ∈-∞-时，1y >，所以1231a a a ++>，()123ln a a a ++=12340a a a a +++>与前面矛盾，所以1q <-不成立；若10q +>，则10q -<<，()123ln a a a ++=1234a a a a +++有可能成立，此时2311a a q a =<，2422a a q a =>.（或者：直接由上述解法中，41a -≤，11a >直接得到3411a q a =<-，从而2311a a q a =<，2422a a q a =>.解法更加简洁） 故选B.2.（2018江苏14）已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．分析 先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值．解析 设=2kn a ，则()()()][12211+221+221222k k n S -⎡⎤=⨯-⨯-+⋅-++++⎣⎦L L1234,,,a a a a 1234123ln()a a a a a a a +++=++11a >1324,a a a a <<1324,a a a a ><1324,a a a a <>1324,a a a a >>()()1122121221212222212k k k k k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得()()()222111152221221,2202140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->厖所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时()()()][25211+221+21222n S m ⎡⎤=⨯-⨯-+-++++⎣⎦L L 25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >．由()2512221221,2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥， 得满足条件的n 最小值为27．3.（2018江苏20）（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -„对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -„对2,3,,1n m =+L 均成立，并求的取值范围（用1,,b m q 表示）． 解析 （1）由条件知：(1)n a n d =-，12n n b -=．因为1||n n a b b -„对n =1，2，3，4均成立， 即1(1)21n n d ---„对n =1，2，3，4均成立，即11„，13d 剟，325d 剟，739d 剟，得7532d 剟． 因此d 的取值范围为75,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -„（n =2，3，···，m +1）成立，即，即当时，d 满足． 因为，则，从而，，对均成立． 因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+L 2,3,,1n m =+L 1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n m qq -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+L 2,3,,1n m =+L下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）． ①当时，， 当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当>0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d 的取值范围为．4.（2018上海21）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n ∈N ，都有1n n b a -…，则称{}n b 与{}n a “接近”.（1）设{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，11n n b a +=+，*n ∈N ，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{},1,2,3,4M x x bi i ===，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，L ，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围.13. 解析（1）由题意得，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11112nn n b a +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则 12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+L 2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n nn q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m11(2)[,]m mb q b q m m-1111111112222n n n n n nb a --=+-=-=-„，所以数列{}n a 与{}n b 接近. （2）因为数列{}n a 与{}n b 接近，所以1n n b a -„，则111b -„，得[]10,2b ∈，221b -„，得[]21,3b ∈， 341b -„，得[]33,5b ∈，481b -„，得[]47,9b ∈，由此可判断1b ，2b ，3b ，4b 中至多有两个数相等，所以3m =或4. （2）由1n n b a -„得，[]1,1n n n b a a ∈-+， 由111n n b a ++-„得，[]1111,1n n n b a a +++∈-+，所以[]1112,2n n n n n n b b a a a a +++-∈---+，即[]12,2n n b b d d +-∈-+. ①若2d -„，则10n n b b +-„恒成立，不符合题目条件； ②若2d >-，令()1n n n b a =+-，则()121nn n b b d +-=--，当n 为偶数时，120n n b b d +-=-<；当n 为奇数时，120n n b b d +-=+>， 所以，存在{}n b 使21b b -，32b b -，L ，201200b b -中至少有100个为正数. 综上所述，d 的取值范围为()2,-+∞.2019年1.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数，当≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．解析（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b =，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c ≤b ≤c +1，所以1k k q k q -≤≤，其中=1，2，3，…，m . 当=1时，有q ≥1； 当=2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=． 令()0f 'x =，得=e.列表如下：因为ln 2ln82663=<=，所以max ()(3)3f k f ==． 取q ==1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立． 因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取=3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．2.（2019浙江10）设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ,则 A ．当b =12时，a 10＞10 B ．当b =14时，a 10＞10C ．当b =-2时，a 10＞10D ．当b =-4时，a 10＞10解析：对于B ，令2104x λ-+=，得12λ=， 取112a =，所以211,,1022n a a ==<L ， 所以当14b =时，1010a <，故B 错误； 对于C ，令220x λ--=，得2λ=或1λ=-， 取12a =，所以22,,210n a a ==<L ， 所以当2b =-时，1010a <，故C 错误； 对于D ，令240x λ--=，得λ=取112a +=，所以212a =，…，1102n a =<， 所以当4b =-时，1010a <，故D 错误；对于A ，221122a a =+…，223113224a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭…，242431911714216216a a a ⎛⎫=++++=> ⎪⎝⎭…，10n n a a +->，{}n a 递增，当4n …时，11132122n n n n a a a a +=+>+=，所以5465109323232a a a a a a ⎧>⎪⎪⎪>⎪⎨⎪⎪⎪>⎪⎩M，所以610432a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以107291064a >>故A 正确．故选A ．3.（2019浙江20）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N L 解析（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ．由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．（Ⅱ）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（1）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； （2）假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12h c cc +++<L那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<L<==．即当1n k =+时不等式也成立．根据（1）和（2），不等式12n c c c +++<L *n ∈N 成立．题型80 数列的应用题——暂无。

学习-----好资料 更多精品文档 等差数列知识点 1.等差数列的定义：daann1（d为常数）（2n）；

2．等差数列通项公式： *11(1)()naanddnadnN ， 首项:1a，公差:d，末项:na

推广： dmnaamn)(． 从而mnaadmn；

3．等差中项 （1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2 （2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa

4．等差数列的前n项和公式： 1()2nnnaaS1(1)2nnnad21

1()22dnadn2AnBn

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n时，1na是项数为2n+1的等差数列的中间项 12121121212nnnnaaSna



（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数

乘以中间项）

5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列． （2） 等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．

⑶数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。 （4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法 定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)naand ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（注意；公差为2d）

备战2023文科数学近三年试题数列及其应用分类汇编数列及其应用命题分析数列是高中数学重要内容之一，是高考数学的重点内容，主客观题均有所体现.其考查重点主要有这个方面：①数列的概念及表示方法；②等差数列；③等比数列；④等差、等比数列的综合运用.数列的概念及表示是高考的常考考点，主要考查等差、等比数列的基本概念，数列的函数特性(增减性)，S n与a n的关系等，多以选择题、填空题的形式呈现，属于中低档题.等差数列是高考的重点，一是考查利用等差数列的通项公式、前n项和公式进行基本量运算，多以选择题、填空题形式呈现，属于中低档题；二是考查等差数列的证明，等差数列的性质，等差中项，通项公式及前n项和的最大、最小值等问题，多以解答题的形式呈现，属于中档题.等比点数列是高考的重点和热点，一是考查利用等比数列的通项公式、前n 项和公式进行基本量运算，多以选择题、填空题形式呈现，属于中低档题；二是考查等比数列的证明，等差数列的性质，等比中项，通项公式及前n项和等问题，多以解答题的形式呈现，属于中档题.高考的等差、等比数列综合问题的考查，主要有两个方面：一是等差数列与等比数列结合，考查利用通项公式、前n项和公式进行基本量的运算及一般数列求和问题；二是与函数、方程、不等式、几何等知识结合，在知识的交汇点处命题，或与数阵、点列结合命制一些创新性问题，也经常与数学文化结合考差数列的实际应用.各种题型均有考查，属于中档题.习题精练夯基础做真题一、选择题1.(2022·全国乙卷(文、理))已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6(a = )A.14B.12C.6D.32.(2022·全国乙卷(理))嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列111{}:1n b b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，⋯，依此类推，其中*(1k N k α∈=，2，)⋯．则( ) A .15b b <B .38b b <C .62b b <D .47b b <3.(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA '，BB '，CC '，DD '是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中1DD ，1CC ，1BB ，1AA 是举，1OD ，1DC ，1CB ，1BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为110.5DD OD =，111CC k DC =，121BB k CB =，131AA k BA =．已知1k ，2k ，3k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3(k = )A .0.75B .0.8C .0.85D .0.94.(2022·北京卷)设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.(2022·上海卷(春季))已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前项积为T n ，则下列选项判断正确的是A .若20222021S S >，则数列{a n }是递增数列B .若20222021T T >，则数列{a n }是递增n ()数列C .若数列{}n S 是递增数列，则a 2022≥a 2021D .若数列是递增数列，则a 2022≥a 20216.(2021·全国甲卷(文))记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =( ) A. 7B. 8C. 9D. 107.(2020·全国Ⅱ卷(理))北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块8.(2020·全国Ⅱ卷(理))数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k =( )A .2B .3C .4D .59.(2020·全国Ⅱ卷(文))记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =( ) A. 2n –1 B. 2–21–n C. 2–2n –1 D. 21–n –110.(2020·全国Ⅰ卷(文))设{}n a 是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( ) A .12 B .24C .30D .32二、填空题11.(2022·全国乙卷(文))记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差{}nTd = ．12.(2022·北京卷)已知数列{a n }的各项均为正数，其前项和满足9(1n n a S n ⋅==，2，)⋯．给出下列四个结论：①{a n }的第2项小于3；②{a n }为等比数列；③{a n }为递减数列；④{a n }中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是 ．13.(2022·上海卷(秋季))已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，若50S =，则(0i S i =，1，2，，100)中不同的数值有 个．14.(2020·全国Ⅱ卷(文))记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．15.(2020·新高考Ⅰ卷)将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．16.(2020·全国Ⅰ卷(文))数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =______________.三、解答题17.(2022·全国甲卷(文、理))记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．n n S 110018.(2022·新高考Ⅰ卷)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，{}n nSa 是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a ++⋯+<．19.(2022·新高考Ⅱ卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是公比为2的等比数列，且a 2－b 2＝a 3－b 3＝b 4－a 4． (1)证明：a 1＝b 1；(2)求集合{k |b k ＝a m ＋a 1，1≤m ≤500}中元素的个数．20.(2021·全国甲卷(文))记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列.21.(2021·全国乙卷(文))设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．22.(2021·全国乙卷(理))记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n b 的前n 项积，已知212n nS b +=．(1)证明：数列{}n b 是等差数列; (2)求{}n a 的通项公式．23.(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； (2)求{}n a 的前20项和.24.(2021·新高考Ⅱ卷) 记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求使n n S a >成立的n 的最小值．25.(2020·全国Ⅰ卷(理))设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．(1)求{}n a 的公比； (2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.。