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一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12B ．20C ．40D ．1002．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-B ．8C ．12D ．143．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤4．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 5．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．496．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2207．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．1518．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8B ．10C ．12D ．1410．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，则10a 等于（ ） A ．10BC ．64D ．412．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103B ．107C ．109D ．10513．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．914．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7215．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2116．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 17．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．32B ．92C ．2D ．918．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24019．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403820．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +二、多选题21．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝022．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值23．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为824．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列25．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--26．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =27．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数）B ．数列{}n a -是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项28．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列29．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列30．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 2．D【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 3．C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=， 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 4．C 【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 5．C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C 6．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 7．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 8．D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=，整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ． 【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 9．C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=，所以62612a =⨯=. 故选：C 10．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 11．D 【分析】利用等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}3n a 的公差，可求得310a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，由于11a =，22a =，则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=，所以，33101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .故选：D. 12．B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B. 13．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ．【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 15．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 16．C 【分析】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案． 【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C 17．A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果.设公差为d ，则423634222a a d --===--， 所以5433322a a d =+=-=. 故选：A 18．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B 19．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 20．C 【分析】 首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+，()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.二、多选题21．ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 22．AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 23．BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD. 24．ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为1112a =+，1(1)2n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD 25．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC 26．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 28．BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 29．AD 【分析】 利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式， 所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误， 故选：AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题 30．ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：nn S a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
一、等差数列选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ）A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 2．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72B ．90C ．36D ．453．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．04．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11B ．10C ．6D ．35．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4D ．-46．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（ ）A ．350B ．351C ．674D ．6757．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且713n n S n T n -=，则55a b =（ ） A ．3415B ．2310C ．317D ．62278．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．64 9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．1410．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1611．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24012．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．4513．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．32014．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n15．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）A ．20B ．17C ．18D ．1916．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．1317．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19B ．20C ．21D ．2218．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）A ．7B ．9C ．21D ．4219．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．32B ．92C ．2D ．920．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．85二、多选题21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ）A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =22．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >23．题目文件丢失！24．题目文件丢失！ 25．题目文件丢失！26．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 27．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =29．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >30．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120nn n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=， 整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ． 【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 2．B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 3．A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 4．A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==， 则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 5．A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.6．A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.7．D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】由713n n S n T n-=， ()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选：D 8．B 【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B 9．C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C 10．A【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 11．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B 12．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=，解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D 13．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
高三文科数学数列测试题一、选择题（5分X 10=50分）1 •已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是C. 3D. 2a313,则a4a5 a6等于（)C. 43 D • 45 a3、a4成等比数列，则a2等于（）.-8 D . - 10A . 5B . 42.在等差数列j a n中，已知a 2,a2A . 40 B. 423.已知等差数列a n的公差为2,若a1A . - 4B .-64.在等差数列a n中,已知a1 3, a2 a5 4, a n 33,则n为()11.已知数列的通项 a n 5n 2，则其前n 项和S n12 .已知数列 a n13 .数列｛ a n ｝中, 1 冲，则 a 369若 a 1=1, 2a n+1=2a n +3 (n >1),则该数列的通项对于任意p , q N ，有a pa qa p q，右a 114 .已知数列 a n是首项为1，公差为2的等差数列，将数列a n 中的各项排成如图所示的一个三角形数表，记A.48B.49C.50D.515•在等比数列｛ a n ｝中，a 2 = 8, a 6 = 64,，则公比q 为() A . 2 B . 3 C . 4D .8 6.-1,a,b,c,-9成等比数列，那么 ( )A . b 3,ac 9 B. b 3,ac 9 C. b 3,ac9D. b3,ac 97.数列a n 满足 a 〔，a n a n 1n(n 2),则a n( )A .n(n 21)n(n 1)B. 2C.(n 2)(n21｝D.(n 1)(n 1)2&已知 a, b, c, d 成等比数列, 且曲线y 2x 2x 3的顶点是（b,c ），则ad 等于A . 3B . 2 C.1 D .29.在等比数列 a n 中，a 1 2，前n 项和为S n ，若数列a . 1也是等比数列，则 S n 等于( )A . 2n 1 2B . 3nC . 2nD . 3n 110 .设 f(n) 2 24 27 210 L23n 10(n N)，则 f (n)等于( )2 八2 — n 1 八 〜 23 八24 八A . -(81) B . -(81) C . -(81) D . -(8 1)二、填空题（5分X 4=20分）A (i,j)表示第i 行从左至右的第j 个数，例如A (4, 3) = a 9,则 A (10, 2) = ____________三、解答题(本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、(本小题满分12分)等差数列的通项为a n 2n 19 ,前n 项和记为s n ，求下列问题： (1)求前n 的和S n( 2 )当n 是什么值时，S n 有最小值，最小值是多少？16、(本小题满分12分)数列a n的前n项和记为S n，印1耳1 2S n 1 n 1(1)求a n的通项公式；(2)求S n17、(本小题满分14分)已知实数列｛a n｝是等比数列，其中a 7 1,且a4,a5 1,a6成等差数列(1) 求数列｛a n｝的通项公式；(2) 数列｛a n｝的前n项和记为S n,证明:S n < 128( n 1,2,3,…).18、(本小题满分14分)数列a n中，a1 2 , a n 1务cn (c是常数，n 1,2,3丄)，且印，a2, a3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值；(2)求a n的通项公式.19、（本小题满分14分）设｛%｝是等差数列，｛^｝是各项都为正数的等比数列，且a i b 1 , a3 b5 21 ,a5 b3 13（1）求｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；a（2）求数列-的前n项和S nb n20. （本小题满分14分）设数列a n满足a1 3a2 32 a3…3n 1a n - , a N3 (1)求数列a n的通项；(2)设b nn ,，求数列b n的前n项和S n.a n高三文科数学数列测试题答案1~5 CBBCA 6~10 BABCD 11.112.4 13. a n 号n 扌 14.93218.解：(1) a 1 2, a 2 2 c , a 3 2 3c ,因为a 1, a 2, a 3成等比数列，所以(2 c)2 2(2 3c), 解得c 0或c 2 .当c 0 时，a 1 a 2 a 3，不, 符合题 意舍去,故 c 2 . (2) 当n > 2时，由于a 2 a 1 c ,a 3a 2 2c ,L La na n 1 (n 1)c ,所以 a. d [1 2 L (n 1)]cn(n21)c .又a 12 , c 2，故 a .2 n(n 1) n 2 n 2(n 2,3,L当n 1时，上式也成立，所以 a n 2 n n 2(n 1,2,L ).15•略解（1） 略（2）由a n10 , $0 1017)10 9 2~26016.解： (1) 设等比数列 a n 的公比为 q(q R)，由a 7 6a 〔q 61，得a 1 q ，从而a 4 3a 〔q 3 q , 42a 5a 1qq, a 6a 1q因为a 4,a 51, a 6成等差数列，所以34 a 6 2(a 51),即q 3 1q2 1 22(q 1), q (q 1)2(q 21).所以q1n 1 6 n 1故 a n a© q gq 64 -221 64 1- ⑵ S .a 1(1q n )1 q2 1 -2n1128 1—122§1 1 1 n 2 ,两式相减得a 1 a n2a n ,a n 1 3a n n 2又 a 2 2S 1 3 ••• a 2遍故｛a n ｝是首项为1,公比为3得等比数列3n⑵S n1 (1 3n ) 3n1 1 322a n 11qn17. (1)由 a n 1 2S 1 可得 a伯.解：(1 )设a n 的公差为d , b n 的公比为q ，则依题意有q 解得d 2 ,q 2 .所以 a n 1 (n 1)d 2n 1 ,n 1 n 1b n q 2.2n 12n1(1)-(2)得：2S n 3 32 33 3n n 3n 1 所以：^将山，必加113"^3 21 25 ②一①得 S nL2n 3 2n 1①2r 1 2 2n1 , L2n 3 2n 1 ②n 3n 2 ，2 22 2 2 L2 2n 1 2 22 2“ 2 2* 11L12n 12 n 2n 12222n 16 2n 32* 12n 1 •2 2 15 2 5 20. (1) 印 3a 2 32a 3 . ..3n 1 a n nJ3印 3a 2 3' 2 a 3 • ••3n 2a n 1 n 1 3 (n 2),3n 1 n n 1 1 ’ 2).1 ’2).a n — 3 (n ■ a nn (n3 33验证 n 1时也满足上式， a n 1 ----- 1 (n N *)3n⑵b nn 3nS n 1 3 2 32 3 312 1 2* 1 ~T2 • •.n 3n3S n 1 322 33 3 34 ...n 3n 1•(1)..(2)o 且12d q4 21, 4d q 2 13,。
一、等差数列选择题1．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）A ．20B ．17C ．18D ．192．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-B ．8C ．12D ．143．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（ ）．A ．65B ．16C ．15D ．145．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列7．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．11128．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．859．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（ ） A ．8B ．4C ．12D ．1610．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +11．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403812．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48B ．60C ．72D ．2413．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．914．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S > D ．70S <，且80S <15．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202116．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+D ．1111p q m nS S S S +>+ 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7218．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2219．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．320．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．7二、多选题21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n=B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列22．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >23．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 24．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列25．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=26．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =27．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥28．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列29．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ）A ．0d <B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果． 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈， 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=． 故选：C ． 2．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 3．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 4．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 5．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 6．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 7．C 【分析】 首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 8．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-， 故选：C ． 9．A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 10．C【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 11．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 12．A 【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选：A 13．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 14．A 【分析】根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A . 15．B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈， 即112n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列， 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =2021110112+=. 故选：B 16．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 17．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 18．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 19．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 20．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A二、多选题21．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 22．BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.23．ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 24．ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为1112a =+，1(1)2n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD 25．BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 26．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 27．AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.28．ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n na a a a ++==+，即1112n n a a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212nn n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 29．AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=<所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<， 所以0d <，{}n S 中6S 最大，由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题. 30．ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确；()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确； 190a >， 181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确.故选：ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。
专题08 等差数列【母题原题1】 【2020年北京高考】在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项【答案】B 【解析】 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【名师点评】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.【母题原题2】 【2019年北京高考（理）】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】0. -10. 【解析】 【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得5a 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值. 【详解】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【名师点评】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.【命题意图】（1）理解等差数列的概念.（2）掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式. （3）了解等差数列与一次函数的关系. 【命题规律】等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. 【方法总结】1．等差数列的判定与证明的方法：①定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N {}n a 是等差数列；②定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ；③等差中项法：{}122()n n n n a a a n a ++=+∈⇔*N 为等差数列；④通项公式法：通项公式形如(,n a pn q p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列；⑤前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项12,,n n n a a a ++，使得122n n n a a a ++≠+即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．2．等差数列运算问题的一般求法是设出首项1a 和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．3．等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1a ，n a ，d ，n ，n S ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．4．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前n 项和法，即根据前n 项和n S 与n a 的关系求解.在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列{}n a 的项数为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：,2,,,,2,a d a d a a d a d --++；当等差数列{}n a 的项数为偶数时，可设中间两项分别为,a d a d -+，再以公差为2d 向两边分别设项：,3,,,3,a d a d a d a d --++.5．递推关系式构造等差数列的常见类型：（1）转化为211()(n n n a a a +++--)n a -=常数，则{}1n n a a +-是等差数列；（2）转化为111n n a c a c +-=++常数，则1{}n a c+（c 可以为0）是等差数列； （3=常数，则是等差数列；（4）转化为221n n a a +-=常数，则2{}n a 是等差数列；（5）转化为111n n S cS c +-=++常数，则1{}n S c+（c 可以为0）是等差数列． 6．等差数列前n 项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用1(1)=2n n n S na d -+；若已知通项公式，则使用1()=2n n n a a S +，同时注意与性质“12132n n n a a a a a a --+=+=+=”的结合使用.7．求数列{}||n a 的前n 项和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．8．当{}n a 的各项都为非负数时，{}||n a 的前n 项和就等于{}n a 的前n 项和；当从某项开始各项都为负数（或正数）时，求{}||n a 的前n 项和要充分利用{}n a 的前n 项和公式，这样能简化解题过程． 9．当所求的前n 项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示．10．解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*N ，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．11．二次函数法：22211111()[()]()222222n a ad d d d S n a n n d d=+-=----，由二次函数的最大值、最小值的知识及n ∈*N 知，当n 取最接近112a d -的正整数时，n S 取得最大（小）值．但应注意，最接近112ad-的正整数有1个或2个．注意：自变量n 为正整数这一隐含条件.12．通项公式法：求使0n a ≥(0n a ≤)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{}n a 中，若10a >，且()p q S S p q =≠，则①若p q +为偶数，则当2p qn +=时，n S 最大；②若p q +为奇数，则当12p q n +-=或12p q n ++=时，n S 最大． 13．不等式法：由11(2,)n n n n S S n n S S -+≥⎧≥∈⎨≥⎩*N ，解不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和n S 的最大值．14．等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为d 的等差数列{}n a 具有如下性质：（1）通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*N ．（2）若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*N ．特别地，①若2m n p +=，则2m n p a a a +=(,)m n,p ∈*N ；②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a ++=++(,)m n,p,q,t,r ∈*N ．③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即1211.n n i n i a a a a a a -+-+=+==+=（3）下标成等差数列的项2,,,k k m k m a a a ++组成以md 为公差的等差数列．（4）数列{}(,n ta t λλ+是常数)是公差为td 的等差数列．（5）若数列{}n b 为等差数列，则数列{}n n ta b λ±(,t λ是常数)仍为等差数列． （6）若,p q a q a p ==，则0p q a +=． 15．与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n 项和公式易得等差数列的前n 项和具有如下性质： 设等差数列{}n a （公差为d ）和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ， （1）数列{}n S n是等差数列，首项为1a ，公差为12d ．（2）232(1),,,,,k k k k k mk m k S S S S S S S ----构成公差为2k d 的等差数列．（3）若数列{}n a 共有2n 项，则S S nd -=奇偶，1n n S aS a +=奇偶． （4）若数列{}n a 共有21n -项，则S S -=奇偶n a ，(,1n S n S na S n ==-奇奇偶(1))n S n a =-偶． （5）2121n n n n S a T b --=，21212121m mn nS a m T n b ---=⋅-．1．（2020·北京怀柔·高三月考）在等差数列{}n a 中，若45615a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．6B ．10C ．7D ．52．（2020·北京平谷·高三二模）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A ．21B ．63C ．13D ．843．（2015·北京高三期中（理））等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) A ．8B ．10C ．12D ．144．（2020·北京人大附中月考）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 5．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）已知等比数列{}n a 满足12a =，且12,,6a a 成等差数列，则4a =( )A ．6B ．8C ．16D ．326．（2019·北京通州·高三三模）三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了许多算法，展现了聪明才智．他在《九章算术》“盈不足”章的第19题的注文中给出了一个特殊数列的求和公式．这个题的大意是：一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地，长安与齐地相距3000里（1里=500米），良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里．驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走半里．良马先到齐地后，马上返回长安迎驽马，问两匹马在第几天相遇( ) A ．14天B ．15天C ．16天D ．17天7．（2020·东城·北京五十五中高二月考）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2+a 4=6,则S 5等于( ) A ．10B ．12C ．15D ．308．（2020·北京大兴·高三一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20a =，41a =，则4S 等于（ ）A ．12B ．1C ．2D ．39．（2020·北京八中高三月考）已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124,,a a a 成等比数列，则3a =（ ）10．（2020·北京东城·高三月考）已知正项等比数列{}n a 中，51927a a a =，6a 与7a 的等差中项为9，则10a =（ ） A ．729B ．332C ．181D ．9611．（2020·北京人大附中昌平学校高三二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．712．（2020·北京海淀·101中学高三月考（理））《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（ ）A ．1235B ．1800C ．2600D ．300013．（2020·北京大兴·高三期末）若数列{a n }满足：a 1＝1，2a n +1＝2a n +1（n ∈N*），则a 1与a 5的等比中项为（ ）A ．±2B ．2C ．3±D 314．（2020·北京清华附中高三月考）设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++=( )15．（2020·首都师范大学附属中学高三开学考试）已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( )A ．12B ．12-C ．12或12- D ．1416．（2020·北京密云·高三一模）设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12B ．21C ．24D ．3617．（2020·北京顺义·牛栏山一中高三月考）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题不正确的是（ ） A ．若59S S =，则必有140S = B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >18．（2020·北京东城·高三一模）数列{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且44a b =，则（ ）A ．2635a a b b +>+B ．2635a a b b +=+C ．2635a a b b +<+D ．26a a +与35b b +大小不确定19．（2020·北京海淀·首都师大二附高三零模）一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -20．（2020·北京昌平·高三期末（理））设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2 B ．-1C ．1D ．2解析附后专题08 等差数列【母题原题1】 【2020年北京高考】在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项【答案】B 【解析】 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【名师点评】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.【母题原题2】 【2019年北京高考（理）】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】0. -10. 【解析】 【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得5a 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值. 【详解】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【名师点评】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.【命题意图】（1）理解等差数列的概念.（2）掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式. （3）了解等差数列与一次函数的关系. 【命题规律】等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. 【方法总结】1．等差数列的判定与证明的方法：①定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N {}n a 是等差数列；②定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ；③等差中项法：{}122()n n n n a a a n a ++=+∈⇔*N 为等差数列；④通项公式法：通项公式形如(,n a pn q p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列；⑤前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项12,,n n n a a a ++，使得122n n n a a a ++≠+即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．2．等差数列运算问题的一般求法是设出首项1a 和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．3．等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1a ，n a ，d ，n ，n S ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．4．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前n 项和法，即根据前n 项和n S 与n a 的关系求解.在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列{}n a 的项数为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：,2,,,,2,a d a d a a d a d --++；当等差数列{}n a 的项数为偶数时，可设中间两项分别为,a d a d -+，再以公差为2d 向两边分别设项：,3,,,3,a d a d a d a d --++.5．递推关系式构造等差数列的常见类型：（1）转化为211()(n n n a a a +++--)n a -=常数，则{}1n n a a +-是等差数列；（2）转化为111n n a c a c +-=++常数，则1{}n a c+（c 可以为0）是等差数列； （3=常数，则是等差数列；（4）转化为221n n a a +-=常数，则2{}n a 是等差数列；（5）转化为111n n S cS c +-=++常数，则1{}n S c+（c 可以为0）是等差数列． 6．等差数列前n 项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用1(1)=2n n n S na d -+；若已知通项公式，则使用1()=2n n n a a S +，同时注意与性质“12132n n n a a a a a a --+=+=+=”的结合使用.7．求数列{}||n a 的前n 项和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．8．当{}n a 的各项都为非负数时，{}||n a 的前n 项和就等于{}n a 的前n 项和；当从某项开始各项都为负数（或正数）时，求{}||n a 的前n 项和要充分利用{}n a 的前n 项和公式，这样能简化解题过程． 9．当所求的前n 项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示．10．解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*N ，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．注意：自变量n 为正整数这一隐含条件.14．等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为d 的等差数列{}n a 具有如下性质：（1）通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*N ．（2）若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*N ．特别地，①若2m n p +=，则2m n p a a a +=(,)m n,p ∈*N ；②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a ++=++(,)m n,p,q,t,r ∈*N ．③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即1211.n n i n i a a a a a a -+-+=+==+=（3）下标成等差数列的项2,,,k k m k m a a a ++组成以md 为公差的等差数列．（4）数列{}(,n ta t λλ+是常数)是公差为td 的等差数列．（5）若数列{}n b 为等差数列，则数列{}n n ta b λ±(,t λ是常数)仍为等差数列． （6）若,p q a q a p ==，则0p q a +=． 15．与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n 项和公式易得等差数列的前n 项和具有如下性质： 设等差数列{}n a （公差为d ）和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ， （1）数列{}n S n是等差数列，首项为1a ，公差为12d ．（2）232(1),,,,,k k k k k mk m k S S S S S S S ----构成公差为2k d 的等差数列．（3）若数列{}n a 共有2n 项，则S S nd -=奇偶，1n n S aS a +=奇偶． （4）若数列{}n a 共有21n -项，则S S -=奇偶n a ，(,1n S n S na S n ==-奇奇偶(1))n S n a =-偶． （5）2121n n n n S a T b --=，21212121m mn nS a m T n b ---=⋅-．1．（2020·北京怀柔·高三月考）在等差数列{}n a 中，若45615a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．6 B ．10 C ．7 D ．5【答案】B【解析】由题可知：456553155++==⇒=a a a a a又2852a a a +=，所以2810a a +=2．（2020·北京平谷·高三二模）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A ．21 B ．63C ．13D ．84【答案】B【解析】解：因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=．3．（2015·北京高三期中（理））等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【解析】假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C. 4．（2020·北京人大附中月考）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 5．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）已知等比数列{}n a 满足12a =，且12,,6a a 成等差数列，则4a =( )A ．6B ．8C ．16D ．32【答案】C【解析】12,,6a a 成等差数列，得12642a a +==，即：14a q =，2q = 所以，341a a q =＝166．（2019·北京通州·高三三模）三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了许多算法，展现了聪明才智．他在《九章算术》“盈不足”章的第19题的注文中给出了一个特殊数列的求和公式．这个题的大意是：一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地，长安与齐地相距3000里（1里=500米），良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里．驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走半里．良马先到齐地后，马上返回长安迎驽马，问两匹马在第几天相遇( ) A ．14天 B ．15天C ．16天D ．17天【答案】C【解析】记良马每天所走路程构成的数列为{}n a ，驽马每天所走路程构成的数列为{}n b ，由题意可得：19313(1)18013n a n n =+-=+，1119597(1)222n b n n =--=-+， 设，经过n 天，两匹马相遇；则有11()()600022n n n a a n b b +++≥，即195(97)(19318013)22600022nn n n +-+++≥， 整理得252274800n n +≥， 当16n ≥满足题意， 因此两匹马在第16天相遇.7．（2020·东城·北京五十五中高二月考）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2+a 4=6,则S 5等于( )A ．10B ．12C ．15D ．30【答案】C【解析】因为等差数列{a n }中,a 2+a 4=6,故a 1+a 5=6,所以S 5===15.故选C.8．（2020·北京大兴·高三一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20a =，41a =，则4S 等于（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】1111,0,231,1,2a a d a d d ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ ∴4143141222S ⋅=-⋅+⋅=， 9．（2020·北京八中高三月考）已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124,,a a a 成等比数列，则3a =（ ） A ．2 B ．6C ．5或6D ．12【答案】B【解析】设等差数列的公差为d ，则()()11211133103a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ， 解得122a d =⎧⎨=⎩或150a d =⎧⎨=⎩（舍），故()322316a =+⨯-=，10．（2020·北京东城·高三月考）已知正项等比数列{}n a 中，51927a a a =，6a 与7a 的等差中项为9，则10a =（ ）A ．729B ．332C ．181D ．96【答案】D【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由51927a a a =，可得3527a =，即53a =，即413a q =，①6a 与7a 的等差中项为9，可得6718a a +=，即561118a q a q +=，②由①②可得260q q +-=，解得2q或3q =-（舍），则510533296a a q ==⨯=.11．（2020·北京人大附中昌平学校高三二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.12．（2020·北京海淀·101中学高三月考（理））《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（ ）A ．1235B ．1800C ．2600D ．3000【答案】A【解析】因为长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里． 驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里， 所以前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：443431(419313)[497()]1235222S ⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-=． 13．（2020·北京大兴·高三期末）若数列{a n }满足：a 1＝1，2a n +1＝2a n +1（n ∈N*），则a 1与a 5的等比中项为（ ） A ．±2 B ．2C ．3±D 3【答案】C【解析】由1221n n a a +=+，得112n n a a +=-， 又11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，以12为公差的等差数列， 则51141432a a d =+=+⨯=. 所以1a 与5a 的等比中项为153a a ±⋅=±14．（2020·北京清华附中高三月考）设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++=( ) A ．8 B ．12C ．16D ．20【答案】B【解析】设数列公差为d ，则131113121313(6)522S a d a d ⨯=+=+=，164a d +=， ∴48911113783(6)3412a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=⨯=.．15．（2020·首都师范大学附属中学高三开学考试）已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．14【答案】A【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ，则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a ab --==. 16．（2020·北京密云·高三一模）设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ）A ．12B ．21C ．24D ．36【答案】B【解析】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =，所以73173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()212a a S +== 17．（2020·北京顺义·牛栏山一中高三月考）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题不正确的是（ ） A ．若59S S =，则必有140S = B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则必有78S S > D ．若67S S >，则必有56S S >【答案】D【解析】对于A 中，若59S S =，则956789782()0S S a a a a a a -=+++=+=，可得780a a +=，所以781114414()14()220a a a a S ++===，所以是正确的；对于B 中，若59S S =，则956789782()0S S a a a a a a -=+++=+=，又由10a >，可得780,0a a ><，所以必有7S 是n S 中最大的项，所以是正确的； 对于C 中，若67S S >，则7760a S S =-<，又由10a >，则必有0d <，可得87870a a d S S =+=-<，所以必有78S S >，所以是正确的；对于D 中，若67S S >，则7760a S S =-<，而6a 的符号不能确定，所以56S S >不一定成立，所以是错误的.18．（2020·北京东城·高三一模）数列{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且44a b =，则（ ）A ．2635a a b b +>+B ．2635a a b b +=+C ．2635a a b b +<+D ．26a a +与35b b +大小不确定【答案】C【解析】由等差数列性质知：2642a a a +=；由等比数列性质知：2354b b b ⋅=，0n b >，4352b b b ∴=≤+（当且仅当35b b =时取等号），又1q >，35b b ∴≠，4352b b b ∴=<+，44a b =，443522a b b b ∴=<+，即2635a a b b +<+.19．（2020·北京海淀·首都师大二附高三零模）一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）． A ．(1)k n k -+ B ．(1)k n k -- C ．()n n k - D ．()k n k -【答案】D【解析】解：根据题意，该邮车到第k 站时，一共装上了(21)(1)(2)()2n k kn n n k --⨯-+-+⋯⋯-=件邮件，需要卸下(1)123(1)2k k k ⨯-+++⋯⋯-=件邮件， 则(21)(1)()22k n k k k k a k n k --⨯⨯-=-=-，20．（2020·北京昌平·高三期末（理））设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=， 则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--.。
高三等差数列练习题及答案解析在高中数学的学习过程中，等差数列是一个非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将提供一些高三等差数列练习题并给出详细的答案解析。
希望这些题目能够帮助学生们更好地理解和掌握等差数列的性质和运算规律。
练习题一：已知等差数列的首项为a，公差为d。
若第7项等于2a+5d，第10项等于8a+11d，则求该等差数列的首项和公差。
解析：设该等差数列的首项为a，公差为d。
根据已知条件，我们可以列出以下方程组：a + 6d = 2a + 5d --(1)a + 9d = 8a + 11d --(2)我们先来解第一个方程：将方程(1)化简，得到：d = a --(3)然后，我们将方程(3)代入方程(2)，得到：a + 9(a) = 8a + 11(a)10a = 18a由此可知，a = 0。
将a代入方程(3)，得到：d = 0所以该等差数列的首项为0，公差也为0。
练习题二：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。
若前m项和为Sm，其中m < n，则求从第m+1项到第n项的和。
解析：设从第m+1项到第n项的和为Sn'，则根据等差数列的性质，有：Sn' = Sn - Sm练习题三：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。
若将每一项都乘以-1后得到新的数列，求新数列的前n项和。
解析：设新数列的前n项和为S'n。
根据等差数列的性质，有：S'n = -Sn练习题四：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。
若将每一项都平方后得到新的数列，求新数列的前n项和。
设新数列的前n项和为S''n。
根据等差数列的性质，有：S''n = a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + ... + (a+(n-1)d)^2我们可以利用平方公式将每一项展开，然后进行简化，得到：S''n = (n/6)(2a^2 + (n-1)d^2 + 4ad(n-1) + 2d^2(n-1)(2n-1))练习题五：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。
高三数学等差数列试题答案及解析1.已知等差数列{an}的公差不为零，a1＋a2＋a5＞13，且a1，a2，a5 成等比数列，则a1 的取值范围为．【答案】【解析】设等差数列{an}的公差为，则由a1，a2，a5成等比数列得：，由a1＋a2＋a5＞13，得【考点】等差数列2.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列满足.（1）若，求的取值范围；（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.【解析】（1）比较容易，只要根据已知列出不等式组，即可解得；（2）首先由已知得不等式，即，可解得。
又有条件，这时还要忘记分类讨论，时，，满足，当时，有，解这不等式时，分类，分和进行讨论；（3）由已知可得∴，∴，，这样我们可以首先计算出的取值范围是，再由，可得，从而，解得，即最大值为1999，此时可求得．试题解析：（1）由题得，（2）由题得，∵，且数列是等比数列，，∴，∴，∴.又∵，∴当时，对恒成立，满足题意.当时，∴①当时，，由单调性可得，，解得，②当时，，由单调性可得，，解得，（3）由题得，∵，且数列成等差数列，，∴，∴，,所以时，，时，，所以．∴又∵，∴∴，∴，解得，，∴的最大值为1999，此时公差为．【考点】解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前项和.3.在等差数列中,，则（）A．5B．8C．10D．14【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由题设知，，所以，所以，故选B.【考点】等差数列通项公式.4.设等差数列的前项和为，若，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴，∴.【考点】等差数列的性质、等差数列的前n项和公式.5. (2013·天津模拟)已知数列{an }的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝1，且点P(bn ，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上．(1)求数列{an }，{bn}的通项公式．(2)求数列{an ·bn}的前n项和Dn．(3)设cn ＝an·sin2－bn·cos2(n∈N*)，求数列{cn}的前2n项和T2n．【答案】（1）an ＝2an－1(n≥2) b n＝2n－1（2）Dn＝(2n－3)2n＋1＋6 （3）－2n2－n【解析】(1)当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝2a n－2a n－1，所以an ＝2an－1(n≥2)，所以{a n}是等比数列，公比为2，首项a1＝2，所以a n＝2n，又点P(bn ，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上，所以b n＋1＝b n＋2，所以{bn }是等差数列，公差为2，首项b1＝1，所以bn＝2n－1．(2)由(1)知an ·bn＝(2n－1)×2n，所以Dn＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，①2Dn ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1．②①－②得－Dn＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n－(2n－1)×2n＋1＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1＝(3－2n)2n＋1－6，则Dn＝(2n－3)2n＋1＋6．(3)cn＝，T2n ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(b2＋b4＋…＋b2n)＝2＋23＋…＋22n－1－[3＋7＋…＋(4n－1)]＝－2n2－n．6.数列{an }满足an+1+（﹣1）n an=2n﹣1，则{an}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830【答案】D【解析】由于数列{an }满足an+1+（﹣1）n an=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a 5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a 16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{an}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830，故选D．7.已知数列满足,且,设的项和为,则使得取得最大值的序号的值为（）A．7B．8C．7或8D．8或9【答案】C【解析】由已知得，，故是公差为的等差数列，又，所以，令，得，故当7或8时，取得最大值．【考点】1、等差数列通项公式；2、等差数列前n项和.8.等比数列中，已知．（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和．【答案】（1）；（2），．【解析】﹙1﹚将已知条件化为公比，求得公比，进而求得通项；（2）将条件利用数列的首项和公比表示，进而可求得数列的通项公式与前项和．试题解析：（1）设的公比为，由已知得，解得，所以．（2）由（I）得，，则，设的公差为，则有解得，从而，所以数列的前项和．【考点】1、等差数列通项与前n项和；2、等比数列的通项公式．9.设{an }是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和．记bn＝，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】∵{an }是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和，∴Sn＝na＋ d.(1)∵c＝0，∴bn＝＝a＋ d.∵b1，b2，b4成等比数列，∴＝b1b4，∴，∴ad－d2＝0，∴d＝0.∵d≠0，∴a＝d，∴d＝2a，∴Sn＝na＋d＝na＋2a＝n2a，∴左边＝Snk ＝(nk)2a＝n2k2a，右边＝n2Sk＝n2k2a，∴左边＝右边，∴原式成立．(2)∵{bn }是等差数列，∴设公差为d1，∴bn ＝b1＋(n－1)d1代入bn ＝，得b1＋(n－1)d1＝，∴n3＋n2＋cd1n＝c(d1－b1)对n∈N*恒成立，∴∴d1＝ d.∵d≠0，∴d1≠0.10.等差数列{an }中,a7=4,a19=2a9.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn =,求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】(1) an = (2) Sn=【解析】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an =a1+(n-1)d.因为所以解得a1=1,d=.所以{an}的通项公式为an=.(2)因为bn===-,所以Sn=(-)+(-)+…+(-) =.11.已知等差数列{an }的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】（1）an＝2－n.（2）【解析】(1)设{an }的公差为d，则Sn＝na1＋d.由已知可得解得故{an }的通项公式为an＝2－n.(2)由(1)知＝，从而数列的前n项和为.12.已知数列{an }为等差数列,且a3+a7+a11=4π,则tan(a1+a13)=()A．-B．±C．±D．【答案】A【解析】因为{an}为等差数列,所以a3+a7+a11=3a7=4π,故a7=,2a7=,故tan(a1+a13)=tan2a7=tan=-.故选A.13.在数列{an }和等比数列{bn}中，a1＝0，a3＝2，bn＝2an＋1(n∈N*)．(1)求数列{bn }及{an}的通项公式；(2)若cn ＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn.【答案】（1）an ＝n－1（2）Sn＝4＋(n－2)·2n＋1【解析】(1)方法一，依题意b1＝2，b3＝23＝8，设数列{bn }的公比为q，由bn＝2an＋1>0，可知q>0.由b3＝b1·q2＝2·q2＝8，得q2＝4，又q>0，则q＝2，故bn ＝b1q n－1＝2·2n－1＝2n，又由2an ＋1＝2n，得an＝n－1.(2)依题意cn＝(n－1)·2n.Sn＝0·21＋1·22＋2·23＋…＋(n－2)·2n－1＋(n－1)·2n，①则2Sn ＝0·22＋1·23＋2·24＋…＋(n－2)·2n＋(n－1)·2n＋1，②①－②得－Sn＝22＋23＋…＋2n－(n－1)·2n＋1＝－(n－1)·2n＋1，即－Sn ＝－4＋(2－n)·2n＋1，故Sn＝4＋(n－2)·2n＋1.方法二，(1)依题意{bn}为等比数列，则＝q(常数)，由bn ＝2an＋1>0，可知q>0.由＝2an＋1－a n＝q，得an＋1－a n＝log2q(常数)，故{a n}为等差数列．设{an }的公差为d，由a1＝0，a3＝a1＋2d＝0＋2d＝2，得d＝1，故an＝n－1.(2)同方法一．14.若数列{an }是等差数列，且a3＋a7＝4，则数列{an}的前9项和S9等于()A．9B．18C．36D．72【答案】B【解析】S9＝＝1815.已知数列{an }，an＋1＝a n＋2，a1＝1，数列的前n项和为，则n＝________．【答案】18【解析】因为an＋1＝a n＋2，所以数列是公差为2的等差数列，所以a n＝2n－1.又因为＝，所以Sn＝(－＋－＋…＋－)＝＝＝，解得n＝18.16.设等差数列{an }的前n项和为Sn，已知(a4－1)3＋2 013(a4－1)＝1，(a2 010－1)3＋2 013(a2 010－1)＝－1，则下列结论中正确的是()A．S2 013＝2 013，a2 010<a4B．S2 013＝2 013，a2 010>a4C．S2 013＝2 012，a2 010≤a4D．S2 013＝2 012，a2 010≥a4【答案】A【解析】设f(x)＝x3＋2 013x，显然f(x)为奇函数和增函数，由已知得f(a4－1)＝－f(a2 010－1)，所以f(a4－1)＝f(－a2 010＋1)，a4－1＝－a2 010＋1，a4＋a2 010＝2，S2 013＝＝2 013；显然1>－1，即f(a4－1)>f(a2 010－1)，又f(x)为增函数，故a4－1>a2 010－1，即a4>a2 010.17.数列{an }的前n项和为Sn＝2an－2，数列{bn}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．(1)求数列{an }与{bn}的通项公式；(2)求证： <5.【答案】（1）bn＝3n－1（2）见解析【解析】(1)当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝(2an－2)－(2an－1－2)＝2an－2an－1，得an＝2an－1.又由a1＝S1＝2a1－2，得a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以数列{an }的通项公式为an＝2n.b 1＝a1＝2，设公差为d，则由b1，b3，b11成等比数列，得(2＋2d)2＝2×(2＋10d)，解得d＝0(舍去)或d＝3，所以数列{bn }的通项公式为bn＝3n－1.，(2)证明：令Tn＝＝，①2Tn＝2＋，②②－①得Tn＝2＋，所以Tn＝，又 >0，故Tn<5.18.已知等差数列{an }的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为 ()．A．B．C．D．【答案】A【解析】设等差数列{an }的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴⇒⇒an＝n.∴＝＝，S100＝＋＋…＋＝1－＝.19.若－9，a，－1成等差数列，－9，m，b，n，－1成等比数列，则ab＝()．A．15B．－15C．±15D．10【答案】A【解析】由已知得a＝＝－5，b2＝(－9)×(－1)＝9且b<0，∴b＝－3，∴ab＝(－5)×(－3)＝15.20.已知公差不为0的等差数列{an }满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为 ()．A．2B．3C．D．【答案】A【解析】由题意，a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，d≠0，∴a1＝－4d，∴＝＝2.21.在等差数列{an }中，Sn为其前n项和，若a1＝－3，S5＝S10，则当Sn取最小值时n的值为()．A．5B．7C．8D．7或8【答案】D【解析】由S5＝S10，得a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，即a8＝0，又a1＝－3，所以当Sn取最小值时n的值为7或8.22.观察下列等式:…照此规律, 第n个等式可为 .【答案】【解析】通过观察等式的左边是一个的形式，右边的符号是一正一负的排列形式，正负号可以这样确定左边有偶数项的时候是正的，奇数项是负的.另外除符号外，数字就是左边的底数的和.所以.故填.【考点】1.数列的思维.2.合情推理.3.等差数列的求和.23.已知数列为等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）证明：【答案】(1) (2)参考解析【解析】(1)因为数列为等差数列，又因为所以通过这两项求出首项与公差.从而求出数列的通项公式，即可求出数列的通项公式，本小题的关键是对一个较复杂的数列的理解.(2)因为由(1)的到数列的通项公式，根据题意需要求数列前n项和公式，所以通过计算可求出通项公式，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论.试题解析：（I）解：设等差数列的公差为.由即=1.所以即（II）证明：，∴【考点】1.对数的运算.2.等差数列的性质.3.等比数列的性质.4.构造转化的思想.24.已知{}为等差数列，若，,则________.【答案】20【解析】由题意可知，，则等差数列{}的公差，又因为.【考点】等差中项的应用.25.已知首项为的等比数列{an }是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知，求数列{bn}的前n项和．【答案】（I）an =a1=()n；（Ⅱ）.【解析】（I）{an }是一等比数列，且a1=.设等比数列{an}的公比为q，由S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，可得一个含公比q的方程，解这个方程便得公比q，从而得数列{an}通项公式. （Ⅱ）由题设及（I）可得：bn =anlog2an=-n∙()n，由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列，求和时用错位相消法.试题解析：（I）设等比数列{an }的公比为q，由题知 a1=，又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，∴q=+q2，解得q=1或q=， 4分又由{an}为递减数列，于是q=，∴an =a1=()n． 6分（Ⅱ）由于bn =anlog2an=-n∙()n，∴，于是，两式相减得：∴． 12分【考点】1.等差数列；2.等比数列的通项公式；3.错位相消法求和.26.已知数列为等差数列，若，，则( )A．36B．42C．45D．63【答案】C【解析】∵数列为等差数列，，∴，解得∴故选C．【考点】等差数列的性质.27.等差数列的前项和记为，若，，则的最大值为 .【答案】16【解析】等差数列的前项和为,，，即，，，，解得，.【考点】本题考查等差数列的通项公式.28.在等差数列中，若，则的前项和A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】等差数列及其前项和.29.已知数列，满足，，且对任意的正整数，和均成等比数列.（1）求、的值；（2）证明：和均成等比数列；（3）是否存在唯一正整数，使得恒成立？证明你的结论.【答案】（1），；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】本题考查数列的求值，等比数列的证明和研究不等式的恒成立问题.（1）通过题设条件给出的数列关系，求出数列的初始值；（2）根据等比数列的定义，分别得到证明，其中应说明第一项不为零；（3）探求是否存在唯一的正整数使得恒成立分两步求解，先通过数列，的单调性得到，再证明证整数时唯一的，求解有关数列的综合问题，主要是要明确解题方向，合理利用数列的相关性质化难为易，化繁为简，同时还要注意解题步骤的规范性和严谨性.试题解析：（1）依题意，；（2）证明：依题意，对任意正整数有，即，，又，数列是首项为，公比为的等比数列，，又，数列是首项为，公比为的等比数列.（3）由（2）得，解得，显然，数列是单调递增的数列，是单调递减的数列，即存在正整数，使得对任意的，有，又令得，而，，，，解得，即对任意的且时，，正整数也是唯一的.综上所述，存在唯一的正整数，使得对任意的，有.【考点】等差数列、等比数列的性质，数列不等式的恒成立问题.30.已知为等比数列，是等差数列，（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；(2)设，，其中，试比较与的大小，并加以证明.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）当时，；当时，；当时，．【解析】（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和，由已知是等差数列，且，只需求出公差即可，由已知，且为等比数列，，只需求出公比即可，由得，，讨论是否符合条件，从而得，这样问就可以解决；（Ⅱ）设，，其中，试比较与的大小，关键是求出与的关系式，由已知是等差数列，由（Ⅰ）知，即可写出，，两式作差得，讨论即可．试题解析：（Ⅰ）设的公比为，由得，，。
高三数学等差数列试题答案及解析1. 在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________. 【答案】【解析】由题意得：，所以，即【考点】等差数列性质2. 已知数列是等差数列，且，那么数列的前11项和等于（ ）A ．22B ．24C ．44D ．48【答案】A【解析】由等差数列的性质可知，则.故A 正确.【考点】1等差数列的性质；2等差数列的前项和公式.3. 设等差数列{a n }的首项a 1为a ，公差d ＝2，前n 项和为S n ． (1) 若当n=10时，S n 取到最小值，求的取值范围； (2) 证明：n ∈N*, S n ，S n ＋1，S n ＋2不构成等比数列． 【答案】见解析【解析】(1)解：由题意可知，所以(2)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m ∈N*，S m ，S m ＋1，S m ＋2构成等比数列，即．因此 a 2＋2ma ＋2m(m ＋1)＝0， 要使数列{a n }的首项a 存在，上式中的Δ≥0．然而 Δ＝(2m)2－8m(m ＋1)＝－4m (2＋m)＜0，矛盾．所以，对任意正整数n ，S n ，S n ＋1，S n ＋2都不构成等比数列．4. 设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35【答案】C【解析】由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 4＝4， 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝＝7a 4＝28．5. 已知函数， 数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)令，若对一切成立，求最小正整数m ．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由可知数列为等差数列，易求得通项公式；（2）由第（1）的结果所以可用拆项法求和进而求得的最小值．解：（1）是以为公差，首项的等差数列（2）当时，当时，上式同样成立即对一切成立，又随递增，且，【考点】1、等差数列通项公式；2、拆项法求特列数列的前项和；3、含参数的不等式恒成立问题．6.设是等差数列的前项和，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得：,.故选D.【考点】1.等差数列的和；2.等差数列的性质.7.已知是递增的等差数列，，为其前项和，若成等比数列，则 .【答案】70【解析】因为数列为等差数列,所以且,因为成等比数列,所以,因为数列是递增的,所以,即,则,再根据等差数列前n项和的公式可得.故填70.【考点】等差数列等比中项前n项和8.等差数列的前项和为，若，则【答案】6【解析】因为为等差数列,所以根据等差数列的性质(下脚标之和相等对应项之和相等)可得,再根据等差数列的前n项和公式可得,故填6.【考点】等差数列前n项和9.在数列中，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式;（2）设（为正整数）,求数列的前项和.【答案】(1) .（2）.【解析】(1)根据,计算验证当时，,明确数列是为首项、公差为的等差数列即得所求. （2）由(1)知:利用“裂项相消法”、“错位相减法”求和.试题解析：(1)由题设得:,所以所以 2分当时，,数列是为首项、公差为的等差数列故. 5分（2）由(1)知: 6分9分设则两式相减得：整理得： 11分所以 12分【考点】等差数列的通项公式，“裂项相消法”，“错位相减法”.10.已知等差数列{an }中,a2+a4=10,a5=9,数列{bn}中,b1=a1,bn+1=bn+an.(1)求数列{an }的通项公式,写出它的前n项和Sn.(2)求数列{bn}的通项公式.(3)若cn =,求数列{cn}的前n项和Tn.【答案】(1) an =2n-1,Sn= n2 (2) bn=n2-2n+2 (3) Tn= =【解析】(1)设{an }的公差为d,由题意得a1=1,d=2,所以an =2n-1,Sn=na1+d=n2.(2)b1=a1=1,bn+1=bn+an=bn+2n-1,所以b2=b1+1,b3=b2+3=b1+1+3,b n =b1+1+3+…+(2n-3)=1+(n-1)2=n2-2n+2(n≥2).又n=1时n2-2n+2=1=b1,所以数列{bn }的通项公式为bn=n2-2n+2.(3)cn===-,Tn =c1+c2+…+cn=(-)+(-)+…+(-)=1-=.11.已知数列为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】（1） ;（2）参考解析【解析】（1）因为数列为等差数列，且，通过这些条件列出相应的方程即可求出等差数列的首项和公差，从而求出数列的通项公式，即可求出数列的通项公式，本小题的关键是对一个较复杂的数列的理解，对数式的运算也是易错点. （2）因为由(1)的到数列的通项公式，根据题意需要求数列前n项和公式，所以通过计算可求出通项公式，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论.试题解析：（1）设等差数列的公差为d，由得所以d=1；所以即．（2）证明：所以 .【考点】1.对数的运算.2.等差数列的性质.3.等比数列的性质.4.构造转化的思想.12.已知函数y＝an x2(an≠0，n∈N*)的图像在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且当n＝1时其图像过点(2,8)，则a7的值为()A．B．7 C．5D．6【答案】C【解析】由题知y′＝2an x，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴a n－a n－1＝.又n＝1时其图像过点(2,8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首项为2，公差为的等差数列， an＝＋，得a7＝5.13.若Sn 是等差数列{an}的前n项和，且S8－S4＝12，则S12的值为()A．64B．44C．36D．22【答案】C【解析】由S8－S4＝12得a5＋a8＝a6＋a7＝a1＋a12＝6，则S12＝×(a1＋a12)＝3614.已知数列{an }是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则数列{an}的前5项和S5＝()A．20B．30C．25D．40【答案】C【解析】由数列{an }是公差为2的等差数列，得an＝a1＋(n－1)·2，又因为a1，a2，a5成等比数列，所以a1·a5＝，即a1·(a1＋8)＝(a1＋2)2，解得a1＝1，所以S5＝5a1＋·d＝5×1＋20＝2515.已知公差不为零的等差数列{an }的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．(1)求通项公式an；(2)设bn ＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】（1）an＝3n－5(n∈N*)．（2）【解析】(1)由题意知，解得所以an＝3n－5(n∈N*)．(2)∵bn ＝2an＝23n－5＝·8n－1，∴数列{bn}是首项为，公比为8的等比数列，所以Sn＝16.已知{}为等差数列，若，,则________.【答案】20【解析】由题意可知，，则等差数列{}的公差，又因为.【考点】等差中项的应用.17.已知等差数列{an }的前n项和为Sn，满足a13＝S13＝13，则a1＝()．A．－14B．－13C．－12D．－11【答案】D【解析】在等差数列中，，所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11.18.设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2、a4、a6成公差为1的等差数列，则q的取值范围是________．【答案】【解析】∵a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，又a1＝1，∴a3＝q，a5＝q2，a7＝q3.又a2，a4，a 6成公差为1的等差数列，∴a4＝a2＋1，a6＝a2＋2.由1＝a1≤a2≤a3≤…≤a7，即有解得19.设各项均为正数的数列的前项和为，满足且恰好是等比数列的前三项．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为,若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），；(Ⅱ)【解析】（Ⅰ）根据数列的通项与数列前项和的关系，由，得；两式相减得数列的递推公式，从而得出数列通项公式.由此可求以确定等比数列的首项和公比,进而得到数列的通项公式.(Ⅱ)由（Ⅰ）的结果求,把变形为,,所以不小于的最大值.只需探究数列的单调性求其最大值即可.试题解析：（Ⅰ）当时，，, 2分当时，是公差的等差数列.构成等比数列，，，解得, 3分由条件可知， 4分是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为. 5分,数列的通项公式为 6分(Ⅱ) ，对恒成立对恒成立， 9分令，，当时，，当时，，． 12分【考点】1、等差数列;等比数列的通项公式和前项和.2、参变量范围的求法.20.设Sn 为等差数列{an}的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7= ．【答案】【解析】研究特殊数列：等差数列的通法为根据方程组求出其首项及公差.由及解得【考点】等差数列前n项和.21.在数列中，前n项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列前n项和为，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）已知前项和公式求，则.由此可得数列的通项公式．（Ⅱ）由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列，求和时用错位相消法.在本题中用错位相消法可得．这也是一个数列，要求数列的范围，首先考查数列的单调性，而考查数列的单调性，一般是考查相邻两项的差的符号.作差易得，所以这是一个递增数列，第一项即为最小值.递增数列有可能无限增大，趋近于无穷大.本题中由于，所以.由此即得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）当时，；当时，，经验证，满足上式．故数列的通项公式． 4分（Ⅱ）可知，则，两式相减，得，所以． 8分由于，则单调递增，故，又，故的取值范围是 12分【考点】1、等差数列与等比数列；2、错位相消法求和；3、数列的范围.22.由函数确定数列，.若函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”.（1）若函数确定数列的反数列为，求；（2）对（1）中的，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设（为正整数），若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为（公共项为正整数），求数列的前项和.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）本题实质是求函数的反函数；（2）不等式恒成立，因此小于不等式左边的最小值，所以我们一般想办法求左边这个和，然而由（1）知，这个和求不出，那么我们只能从另一角度去思考，看的单调性，这里只要作差就可得出是递增数列，所以的最小值是，问题解决；（3）看起来很复杂，实质上由于和取值只能是0和1，因此我们按的奇偶性分类讨论，问题就简化了，例如当为奇数时，，则，就可求出，从而求出的前项和了．试题解析：（1），则；4分（2）不等式化为：，5分设，因为，所以单调递增， 7分则.因此，即.因为，所以，得. 10分（3）当为奇数时，，. 11分由，则，即，因此， 13分所以 14分当为偶数时，，. 15分由得，即，因此， 17分所以 18分【考点】（1）反函数；（2）数列的单调性；（3）分类讨论，等差数列与等比数列的前项和．23.（本小题满分13分）已知等比数列满足.（1）求数列的前15项的和；（2）若等差数列满足，，求数列的前项的和【答案】(1);(2)110【解析】(1)由等比数列满足.列出两个关于首项与公比的方程，通过解方程组可求出首项与公比.从而通过等比数列的前项和的公式求出前15项的和.本小题解出公比有两个值代入验算舍去一个.（2）由于等差数列满足，，由（1）可得数列的通项公式.从而得到数列的通项公式.即可求出等差数列的前10项和.试题解析：（1）设等比数列的公比为，由得,由得两式作比可得，（不符合题意舍去），所以，把代入②解得，由等比数列求和公式得7分（2）由（I）可得，设等差数列的公差为，则=2由等差数列求和公式得 13分【考点】1.待定系数法.2.等比数列前项和.3.等差数列的前项和.24.已知数列前n项和为，首项为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求证：【答案】(1)数列的通项公式;(2) ，,.【解析】(1)有等差数列的等差中项有，再根据可建立的关系，，由等比数列的定义可知数列是以为首项，以2为公比的等比数列，.(2)由（1）中可写出，则，再利用裂项求和的方法有.试题解析：(1)成等差数列，，当时，，当时，，两式相减得：∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以 .(2).【考点】1、等差中项；2、数列中求通项；3等比数列的定义；4、裂项相消求和；5、放缩法证明不等式.25.已知数列满足：，，（其中为非零常数，）．（1）判断数列是不是等比数列？（2）求；（3）当时，令，为数列的前项和，求.【答案】（1）数列是等比数列；（2），；（3）.【解析】（1）将数列的递推式进行变形得，从而利用定义得到数列是等比数列；（2）在（1）的基础上先求出数列的通项公式，再利用累乘法求数列的通项公式；（3）在（2）的基础上，将代入数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，并根据数列的通项公式，对、以及进行三种情况的分类讨论，前两种情况利用等差数列求和即可，在最后一种情况下利用错位相减法求数列的前项和，最后用分段的形式表示数列的前项和.试题解析：（1）由，得．令，则，．，，（非零常数），数列是等比数列．（2）数列是首项为，公比为的等比数列，，即．当时，，满足上式，．（3），当时，．，①②当，即时，①②得：，即．而当时，，当时，．综上所述，【考点】1.定义法证明等比数列；2.累乘法求数列通项；3.等差数列求和；4.错位相减法求和26.设等差数列的前项和为，若，，则等于（）A．180B．90C．72D．100【答案】B【解析】因为2=9+11=20，所以，=9=90，故选B.【考点】等差数列的性质和前n项和27.已知函数对任意的实数都有，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知可得，可得为一等差数列，又，则，即，故选B．【考点】等差数列的定义28.已知等差数列的前项和是，则使的最小正整数等于【答案】2014【解析】设等差数列的公差为，∵前项和是，又∵，∴，解得，∴，由，可得，故最小正整数为．【考点】等差数列的前项和，等差数列的通项公式．29.在等差数列中，若，则的值为 ( )A．20B．22C．24D．28【答案】C【解析】由得，.【考点】等差数列.30.已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的成立，则整数的最小值为( )A．5B．4C．3D．2【答案】B【解析】在等差数列中，∵，∴，解得，∴.∵，∴数列是递减数列，数列的最大项为，∵，又∵是整数，∴的最小值为4，选B.【考点】等差数列的通项公式，数列的单调性.31.已知数列，分别为等比，等差数列，数列的前n项和为，且，，成等差数列，，数列中，，（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列的前n项和为,求满足不等式的最小正整数。
