线性定常系统结构分解

x1 xcox2,
x7
xco xx53,
xcoxx84,
xco x6
• 按此顺序重新排列系数矩阵A，B，C的行和列，
有
3 1 0
0
3
0
00
1 3
00
5 7
xco xco
xco
0
xco
05
0
4 0 1
0 1 0
4
1 0 0 0
0 1
xco xco xco xco
• 研究系统的结构分解可以更深刻地了解系统的结构 特性，也有助于更加深入地揭示系统的状态空间描 述和输入－输出描述之间的本质区别。
能控性、能观性在线性非奇异变换下的性质 • 对于线性定常系统(A, B,，C)经过线性非奇异变
换为 ( A，, B即, C )两者之间具有如下的关系
A P A P 1 , B P B , C C P 1
rank Qc n1 n rank Qo n2 n
• 通过线性非奇异变换可实现系统结构的规范分解，其规范 分解的表达式为
xco xco xco
Aco A21 0
xco 0
0 Aco 0 0
A1 3 A23 Aco A43
0 A24 0 Aco
逆的。
3. 按下列方式组成变换矩阵，P q 1 , ,q k,q k 1 , q n
4. 计算 A P 1A P ,BP 1B ,C C P
• 定理1：对不完全能控的系统，利用上述算法求
取系统在线性非奇异变换 x P1x下的代数等价
系统 ( A, B , C ) ，具有如下的能控性分解的规范表
达形式，即
xc xc
Ac 0
A12 Ac

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（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。

一、线性系统的能控性
注意：如果A为对角标准型时含有相同的特征值，
或者A为约当标准型时含有相同特征值的
约当块,则上述结论不成立.
例如:
x&
1 0
0 1
x
1 1
u
是不完全能控的.
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
4、 能控性的格拉姆矩阵判据和秩判据
系统 : x& Ax Bu（或矩阵对[A, B]）完全能控的 充分必要条件是下列条件之一成立：
状态x(0) x0, 存在一个有限时间段[0,t1]和定义在这 个时间段的控制输入u(t),t [0,t1]使得系统状态轨迹 在这个时间段内从状态x0出发在t1时刻达到平衡状态0， 则称时不变系统的状态是完全能控的。
0 x(t)
x0
u(t)
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一、线性系统的能控性
• 注意
时变系统的状态能控性定义:
一、线性系统的能控性
u(t) x& Ax Bu x(t) y Cx Du y(t)
• 能控性问题: 在任意给定时刻,输入能否驱 动状态从任意一个位置在有限时间内到达平 衡位置？
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
状态能控性定义：
对于线性时不变系统 x& Ax Bu, 如果对任意初始
0
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
tWc1[0,
t1
]x0
dt
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
t
dt
Wc1[0,

第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
一．极点可配置条件
1．利用状态反馈的极点可配置条件
定理 （P505）利用状态反馈任意配置闭环 极点的充分必要条件是被控系统可控。 证明：以单输入—多输出系统来证明该定理。 1）充分性：若系统完全可控，则通过非奇异线 性变换 其中： 可变换为可控标准型:
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
引入状态反馈：
其中：
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
则引入状态反馈后闭环系统的系统矩阵为：
闭环特征方程为：
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
闭环特征方程为：
该n阶特征方程中的n个系数，可通过
来独立设置，也就是说
的特征值可以任意
选择，即系统的极点可以任意配置。 2）必要性：如果系统（A, b）不可控，说明系统 的有些状态将不受u的控制，则引入状态反馈时 就不可能通过控制 k 来影响不可控的极点。
即控制作用的规律。通常，这种控制作用规律
常取为反馈的形式。
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
在控制理论中，反馈结构是系统设计的
主要方式。对输入输出模型，只能采用
输出反馈；而状态空间模型由于能够提
供系统内部的状态信息，所以不仅能够
采用输出反馈，还能够采用状态反馈对
系统进行控制。
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
利用状态反馈和输出反馈使闭环系统的极 点位于所希望的极点位置，称为极点配置。状 态反馈和输出反馈都能配置闭环系统的极点。 状态反馈K不能改变不可控部分的极点，但 能够任意配置可控部分的极点。 输出反馈F也只能配置可控部分的极点，但 不一定能实现期望极点的任意配置；肯定不能 将极点配置到系统的零点处。