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§4.4 线性系统的结构分解1. 按能控性结构分解 设(4.21)()()(), ()(),xt Ax t Bu t y t Cx t =+⎧⎨=⎩ 若, 则在中c rank(Q )r n =<1[...]n c Q B AB A B -=选r 个无关列向量 ,{}12,,r q q q 补个无关列向量,n r -{}12,,,r r n q q q ++ 得,111r r n Tq q q q -+=⎡⎤⎣⎦故 . 1112110000r r r n n r p Aq p Aq A p Aq p Aq ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (ii) B 可由表示{}12,,r q q q 0,1,,j p B j r n ==+ 所以, 记, 则20B = 1c B B =. 110r c r n p B p B B B TB p B p B +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦例4.11 设(4.23) []0011()103()1(),0130()012(),xt x t u t y t x t -⎡⎤⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=- 验证能控性, 并分解. 解,101113012c Q -⎡⎤=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦因, 故系统不完全能控.()23c rank Q =<选前两列, 补,c Q 3q , ,1110q ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2011q ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦300,1q ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦使11123100100110110011111T q q q --⎡⎤⎡⎤===-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则 1100001100110103110011013011A--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦在中选r 个行向量, 1o n C CA Q CA -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦{}12,,r p p p 补个无关行向量, 得非异阵n r -{}12,,,r r n p p p ++ 得非奇异阵 , (4.25)11r r n p p T p p +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对例4.11, 验证能观性且按能观结构分解. 解,2012123234o C Q CA CA ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦因, 故不完全能观. ()23o rank Q =<选前两行:, , []1012p =-[]2123p =-补, 则[]3001p =, .123012123001p T p p ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1211102001T -⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦反映系统中能控且能观的那一部分. 因为直接计算得. 11()()()()co co co coG s C sI A B C sI A B G s --=-=-= 这表明: 增或减不能控、不能观的状态不影响传递函数的值, 即传递函数不完全反映系统内部状态. 关于这个问题将在实现问题中作进一步的讨论.。
