《幂函数》的教学设计及思考

案例评析十。

7善乏．7(2008年第12期高中版)15《幕函数》韵教学设计及思考315700浙江省象山中学杨育池随着课程改革的不断深入，新的教学理念与教学方式以逐步被广大教师所接受，教师的课堂也在悄然改变，以学生为主体的课堂教学模式已逐步形成．如何使数学教学设计而不掩饰学生思维中涌动的暗流，在教学中培养每个学生独立自主的富有批判精神的思想意识，以及他们的判断能力．这要求教师应精心设计教学，不停留在简单的变式和肤浅的问答形式上，把数学思想方法贯彻到每一次探索活动中去，使学生在“观察、联想、类比、归纳、猜想和证明”等一系列探究过程中，体验到成功的快乐，从而激发学生的创新欲望，体会到数学思想方法的作用符合新课程理念的教学设计和实践．但教学是一门“总有遗憾的艺术”，笔者通过回顾自己对《幂函数的概念和性质》的“设计经历”和“实践感受”，谈谈在教学设计中的“思想、得失”和我的数学教学观．1教学过程实录1．问题研究(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜茗千克，则所需的钱数y=元；(2)如果正方形的边长为菇．则面积Y=一，●(3)如果正方体的边长为茗，则体积为，，=一；(4)如果一个正方形场地的面积为石，边长为Y，那么y=——；(5)如果某人并秒内骑车行进了l公里，骑车的速度为Y公里／秒，那么Y=——．T：以上问题中的函数，，=龙，Y=石2，Y=膏3，Y=互i，Y=茗一具有什么共同特征?S：函数解析式都是以自变量为底的幂的形式，且指数是常数．2．概念探究T：你能给这类函命名吗?S。

：因为函解析式以自变量为底，类比指函数和对数函数的名称命名为底数函数．S：：因为函数解析式中幂的指数是常数，因此与常数函数类比，可以叫常指数函数．T：同学们的命名都很有创意，学习是一个传承文化的过程，我们来看看前人是如何给这类函数命名的．师生总结幂函数的概念：一般地，函数)，=茗“叫做幂函数，其中茗是自变量，a是常数．探究1你能说出幂函数与指数函数的区别吗? (列表比较略)探究2如何判断一个函数是幂函数还是指数函数?S：幂函数——底数是自变量，指数是常数；指数函数——指数是自变量，底数是常数．课堂练习练习1下面几个函数中，哪几个函数是幂函数?(1)Y=4-(2)y=2x2(3)y_--X2+童玉(4)，，=汐(5)，，=2‘(6)，，=l练习2已知幂函数Y=f(石)的图象经过点(3，万)，求这个函数的解析式．练习3如果函数厂(茗)=(111．2一，，l一1)矿是幂函数，求实数m的值．3．性质探究T：幂函数具有哪些性质?研究函数应该从哪些方面考虑?前面指数函数、对数函数研究了哪些内容?是如何研究的?师生共同回顾指数函数、对数函数的研究过程．S：根据图象研究函数的性质，由具体到一般；从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等；研究幂函数也应如此．1 T：对于幂函，我们只讨论a=1，2，3，÷，一1二时的情形．请同学们结合前面研究指、对函的16十7擞7(2008年第12期．高中版)．案例评析．方法，在同一坐标系中作出下列幂函数的图象Y=工．Y=』2．j，：』3．j’-x-f，)．_工～．请大家四人为一小组，分工合作完成下列任务．如果大家没有团队精神．那你的探究成果就会非常有限．任务1用描点法作函数Y=』，Y=x2，，一=z3，上Y=x2，y=z。

(工>0)的图象．(要求：先作好作图的准备工作，先确定定义域与奇偶性．再列表描点最后连线)任务2对于定义域的其它区间上的图象能否不通过描点。

快速而又较准确地画出函数的图象呢? (要求：在相应位置标明函数解析式．)任务3观察邻组同学所作图象，通过对比、讨论，合作完成课本中的表格．再结合几何画板作出这五个函数图象来验证．学生按照任务开始合作探究．教师密切关注各组探究过程，给出建议、启发，提炼经验、收获．学生顺利地完成下述问题：。

(1)通过对以上五个函数图象的观察。

哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断?第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断．(2)上述函数有哪些共同特点?当a>0时，图象都过点(0，0)和(1，I)；且在[0，+∞)上是增函数．当a<0时，如图象过点(1，1)；且在(0，+∞)上是减函数．T：我们研究的几个常见的幂函数的性质．是否也适合其他的幂函数．一般的幂函数怎样去研究它的性质呢?让同学们讨论、猜想一般的幂函数的图象和性质．老师用几何画板画出函数Y=茗4在第一象限内的图象．改变a的值，让学生观察、分析所得的函数图象，在动态的变化过程中，验证猜想，发现幂函的本质和共性．得出幂函y=善“的性质：．1(1)所有的幂函数在(0．+00)都有定义．并且图象都过点(1，I)(2)当a>0时，图象过(0，0)，(1，1)，并且在[O．+∞)上是增函数；特别地．当a>l时．工∈(0．1)，y=J“的图象都在Y=并的下方，形状向下凸，n 越大，下凸的程度越大；当0<d<l时工∈(0，】)，)’=鼻。

的图象都在Y=茗的上方，形状向上凸，a越小，上凸的程度越大；(3)口<0时，幂函数的图象在区间(0，+∞)是减函数，与坐标轴无交点；(4)其他象限内的图象可以通过函数的定义域和奇偶性得出．．4．知识应用．、例1比较m=0．32，凡=l0920．3,p=2“3的大小；5．拓展探究T：我们研究一个基本函数的目的在于以它为工具去探究复杂的函数，将幂函数通过迭加可以组合成较为复杂的函数，如二次函数甚至更高次的整式函数．现在我们将Y=茗，Y=算“相迭加，便可得到形如八戈)=算+旦(n≠0)的函数．请同学们借助几何画板：(1)探究函数八茗)=茗+二的性质．学生很快得到八戈)=茗+二的奇偶性、单调性．(2)探究函数八x)=z+旦(口>O)的性质．学生通过n的特殊化：分别取口=可I，口=÷，口= 4，观察函数图象在第一象限的特征，由图象上的最低点．猜想函数八x)：石+旦(口>0)在第一象限的性质：在(o，石)上递减；在[√i，+∞)是递增．(3)证明你的猜想．6．总结与作业(略)2教后反思苏霍姆林斯基说：源于生活的教育是最无痕的教育．随着新课程改革的不断深入．“创设情境，让学生在生动、具体的情境中学习学”这一教学理念案例评析；，，十。

7敷7一(2008年第12期高中版)17已经被广大敦师接受和认可．情境的设计，“抓心”‘是最重要的．“一个舞台，环环相扣”是课堂设计的理想形式，好的“问题”平台能承载“集中注意、兴趣提升、概念呈现．新知应用”等各教学功能环节．本课的设计中间题的研究设计应关注“趣味性”、“应用性”、“全局性”，这距离好的情境——“与当前任务相关的、反映当前学习内容本质的情境”还有差距．．在“概念探究”这一环节，如果直接给出幂函数模型或定义，一则略显枯燥，二则易陷入“一个定义、三个注意”即教师给出定义、提出注意，学生操练的模式．心理学研究表明，人在学习概念时主要以两种方式获得概念。

一种方式叫概念形成，指人们对同类事物中若干不同的例子进行感知、分析、比较和抽象．以归纳的方式概括出这类事物本质属性而获得概念的方式；另一种方式叫做概念同化，指充分利用学生已有的知识经验，教师以定义的方式直接提出概念，并揭示其本质属性，由学生主动地建立与原有认知结构中有关观念的联系去学习和掌握概念的方式．本节课采取概念形成与概念同化穿插进行，虽然课程改革提倡的概念教学模式是以形成方式为主，但也不能一概而论：前者突出归纳，对训练学生的合情推理有利；后者突出演绎，对训练学生的逻辑思维有利．因此在概念提出后，对概念的辨别与练习，使学生适时对概念得以强化是必要的．如何设计好一个探究的平台，兼顾必要性与可行性，让学生体会到：认识幂函数的性质，可以从它的图象着手，重点抓住幂函数在第一象限内的图象特征，然后根据奇偶性作出其它象限内的图象，因而对函数的定义域和奇偶性的分析很重要．这是教师在教学设计中应重点考虑的问题．幂函数性质的学习是建立在指数函数与对数函数性质学习的基础之上，从学生知识技能的准备上来说，自主探究学习具备了可行性；用描点法逐个画出五个幂函数的图象过于费时。

而利用计算机展示函数图形会弱化学生对幂函数图象与性质的把握，因此在“性质探究”环节中分组合作完成函数Y=并，Y=茗2，Y=x3，Y=xT，Y=z“的描点作图，既着重体现了“形”与“”的联系，又兼顾了知识发生过程的完整性和教学时间的有限性，避免了大量重复劳动．同时，由于任务二与任务三的设计要求学生必须要有合作才能获得更深刻的幂函数性质，使合作成为一种必须，而不是看上去的“热热闹闹”．学生在必要的提示指引下，通过讨论、交流，探究的自由度和探究的方向性辩证地统一在顺利完成第一阶段探究的目标下．学生思维得以碰撞，对探究目标都有不同的达成，使每个学生都有成功感．，在“知识应用”环节，教学设计中补充了例1．对于数的大小比较按通常的讲法．先比较正负，找中间量；笔者只是一笔带过，而是从三个数值的结构特点出发，寻找规律。

结合函数思想、数形结合思想，通过图象直观、简明、形象地得出结论，这样学生们也比较容易接受，并把所学的三类最重要的函数联系起来，知识的衔接性得到很好的体现．而对于课本例1：证明幂函数八石)=石在[0，+∞)上是增函数．在探究的第一阶段完成之后，能否趁热打铁地在有限的课堂教学时间内对“对勾函数”八菇)=算+兰(a>0)的“性质”进行适当的探究．应该“以形论互式”还是“以式论形”?课程标准倾向于给出函数图象研究函数性质．“学会运用函数图象理解和研究函数的性质”．对于幂函数要求“结合函数Y=x,y=茗2。

Y=茗3，Y=xT，Y=茗一的图象，了解它们的变化情况”．也就是我们通常将的“以形论式”．数学教育家弗赖登塔尔在论述教学时反复指出：“学生学习数学的唯一正确的方法是实行‘再创造’．也就是由学生本人把要学的东西自己去发现创造出来；教师的任务是引导和帮助学生进行‘再创造’，而不是把现成的知识结论灌输给学生”．由于学生已经掌握了一些基本函数的性质．为避免“再创造”变更为“再观察”。

l学生是有能力对函数Y=石3，Y=茗2的性质如单调性、最值等进行讨论的，即我们常说的“以式论形”．通过对“对勾函数”图象“观察、归纳特例，通过合情推理获得新知”，证明猜想．从能力要求上，已高于第一阶段的层次，体现了对学生抽象的逻辑推理能力的培养．通过对猜想的证明及时反馈．不断深化学习动机，既体现知识发生顺序的自然过渡，也体现探究18-十’7般．7(2008年第12,01高中版)案例评析能力培养的必然要求．通过学生自主分析、研究、探索、发现问题的整个思维过程，展示学生发生错误、产生障碍、克服困难、由失败走向成功的经历，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．我想此时学生学到的不仅仅是对知识的理解，更是对数学问题如何研究的一次探索，也是优化自己思维品质、培养心灵品质的一次尝试．3我的教学观前面就本节课的几个环节——情境引入、概念形成、性质探索予以呈现和一定的设计分析，从微观层面剖析了笔者在设计这节课的得失思考．作为一名教师，不管他是否对自己的教学观存在有意识或无意识的认识，他的教学观总是存在的，而且他会不自觉地将自己的教学观渗透到数学教学中去，让自己的教学设计从“无意渗透”阶段提升到“有意渗透”．所谓教学观，是指人们对教学本质的认识．一节课虽小，没有认清自己的数学教学观，没有清晰的数学教学观作为教学设计或教学实施在宏观上的支撑，那么，这样的教学设计或教学实施总是有缺憾的——停留在经验层面的教学，是传统教学的一大弊病．教书匠与教育者的表面差距可能不大，却从思想层面局限了自我．不同的维度分析，可以提炼出不同的教学观：科学主：；[——人文主义维度，绝对主!；c——可误主义维度；传统的教学范式：绝对主义数学观—L静态数学观是“结果型”教学模式，从知识的落实层面讲，有其合理的一面；课程改革提倡“过程型”教学范式：可误主义数学观——动态数学观；“过程型”教学模式，用“数学理论是在不断建构和自我完善的过程中发展的，教育的目标定位在认识知识形成、提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要”修正了传统的“视课本为静态的绝对真理，教育目标就是使受教育者接受和相信这些真理”的认识．课程标准之“新”，不是“新”在静态的知识和手段“动态化”上，“新”在动态地要求“教师如何去教”．在本节课的教学设计中，特别是两个探究的过程。