当前位置：文档之家 › 材料力学习题册答案-第9章-压杆稳定

材料力学习题册答案-第9章-压杆稳定

  • 格式：doc
  • 大小：545.00 KB
  • 文档页数：8

下载文档原格式

  / 8

合集下载

第九章材料力学压杆稳定

第九章材料力学压杆稳定

映承载能力的强弱， Fcr越高，稳定性越好，承 载能力越强；
材料力学
中南大学土木建筑学院
14
（5）临界载荷Fcr与外部轴向压力的大小无关。
②弯曲挠曲线 w Asin kx Asin p x l
（1） wmax = A，数值不能确定，是由于采用了挠曲 线近似微分方程，若采用精确微分方程，可以 确定最大挠度值。
EIw″=－M
导出 欧拉公式
适用条件:材料服从胡克定律；小变形。
因此，应力超过材料的比例极限sp后，
欧拉公式不再成立。
欧拉公式的适用范围是 scr≤sp 。
s cr
p2 E
2
sp
p2 E
sp
p
材料力学
中南大学土木建筑学院
31
p
p2 E
sp
压杆 柔度
ml
i
p
大柔度杆细长杆
材料固有柔度值， 与实际压杆无关。
F= Fcr
材料力学
中南大学土木建筑学院
l
x
F
y
F
11
M =Fcrw
EIw〞=－M =－Fcrw
w Fcr w 0 记 k 2 Fcr; k2 w = 0
通解 w=Asinkx+Bcoskx
边界条件Ⅰ： x = 0，w = 0
B=0
w=Asinkx
材料力学
中南大学土木建筑学院
x
x
材料力学
中南大学土木建筑学院
39
二、稳定（折减）因数法
s
F A
[s w ]
s cr
nst
scr、nst与压杆柔度有关，[sw]是的 函数。
[sw]=j [s ]

第9章 压杆稳定 (材料力学)

第9章 压杆稳定 (材料力学)

µ l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于 是各种支承条件下，细长压杆失稳时 挠曲线中相当于 失稳时，
半波正弦曲线的一段长度 半波正弦曲线的一段长度. 长度.
(Buckling of Columns)
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 ）， 应取最小的形心主惯性矩. 应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. 中小的一个计算临界力. 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 若杆端在各个方向的约束情况不同（ 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 ）， 界压力. 为其相应中性轴的惯性矩. 界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩. 即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然 计算出两个临界压力. 后取小的一个作为压杆的临界压力. 后取小的一个作为压杆的临界压力. x y z
压杆 平衡状态 应力 平衡方程 极限承载能力 强度问题 直线平衡状态不变 达到限值 变形前的形状、尺寸 变形前的形状、 实验确定 稳定问题 平衡形式发生变化 小于限值 σ<σσ 变形后的形状、尺寸 变形后的形状、 理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？ 压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
•两端简支压杆的挠曲轴 两端简支压杆的挠曲轴
y = Asin
πx
l
•压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡 压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡—— 压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡 可有任意的微弯程度, 但轴线形状一定。 可有任意的微弯程度, 但轴线形状一定。 •临界载荷（欧拉临界载荷)与截面抗弯刚度成正比， 临界载荷（欧拉临界载荷)与截面抗弯刚度成正比， 临界载荷 与杆长的平方成反比。 与杆长的平方成反比。

材料力学答案- 压杆稳定

材料力学答案- 压杆稳定

15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。

15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。

解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯== 相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯== 相当长度：10.50.5l m μ=⨯=(c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯== 相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=(d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯== 相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=(e) 柔度： 145112.50.4λ⨯== 相当长度：10.450.45l m μ=⨯=由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。

即：()22cr EIF l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EFF l N πππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EIF l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。

解：92.633827452.5p s s a λπσλ===--===15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr F 。

单辉祖材料力学-第九章 压杆稳定

单辉祖材料力学-第九章 压杆稳定
4 I min I y 2 I y1 2 23.63 47.26cm21
i
I min A
47 .26 1.68cm 2 8.367
150 89.3 p 100 i 1.68
所以，应由经验公式求临界压力。 σcr=304-1.12λ=304-1.12*89.3=204（MPa）
2E p cr p cr 2 p
2E p

2E p （临界柔度） A3钢λ p=100，λ s=61.6 p
则1：大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。 2 EI 2E p ( p ) Fcr cr 2 2 ( l ) 2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。
2 [25.6 12.74 (1.52 a / 2)2 ]
即:
198 .3 25.6 12.74(1.52 a / 2) 2 时合理
a=4.32cm
28
2、求临界力：

L
i

0.7 6 Iz 2 A1
0.7 6 396 .6 10 2 12 .74 10 4
A1 12 .74 cm , z0 1.52 cm,
I z1 198 .3cm4 , I y1 25 .6cm4
两根槽钢图示组合之后， （z1） I 2 I 2 198.3 396.6cm4
Z Z1
I y 2[ I y1 A1 ( z0 a / 2) 2 ]
边界条件为: w
Fcr
w
m0
Fcr m0
14
m0 c , d 0, kL 2n F
为求最小临界力， “ n”应取除零以外的最小值，即取：

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(压杆稳定)【圣才出品】

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(压杆稳定)【圣才出品】

所示。
表 9-1-2
3 / 63
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

（2）关于欧拉公式的讨论 ①相当长度 μl 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度 μl，它是各种支承条件下， 细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度。 ②横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩；杆端 在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力，I 为其相应中性轴的惯性矩。 三、欧拉公式的适用范围及临界应力总图 1．相关概念
图 9-1-1
选取坐标系如图 9-1-1 所示，距原点为 x 的任意截面的挠度为 w，则弯矩 M＝－Fw。
根据压杆变形后的平衡状态，得到杆的挠曲线近似微分方程
d2w dx2
M EI
2 / 63
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

通过对该方程的求解可得到使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力，即两端铰支细长压杆 临界力为
π 2 EI Fcr l 2
上述计算公式称为两端铰支压杆的欧拉公式。
2．欧拉公式的普遍形式
Fcr
π 2 EI
l 2
式中，μl 为相当长度；μ 为长度因数，与压杆的约束情况有关；I 为横截面对某一形心
主惯性轴的惯性矩。
（1）各种支承情况下等截面细长压杆的长度因数及临界压力的欧拉公式，如表 9-1-2
对比项目 平衡状态
应力 平衡方程 极限承载能力
强度问题 直线平衡状态不变
达到限值 变形前的形状、尺寸
实验确定
稳定问题 平衡形式发生变化
可能小于限值 变形后的形状、尺寸

第九章压杆的稳定习题

第九章压杆的稳定习题

第九章压杆的稳定习题第九章 压杆的稳定习题一、填空题1、对于大柔度杆，用 计算临界压力；对于中柔度杆，用 计算临界压力2、对于大柔度杆，用来计算临界压力的欧拉公式为 ；对于中柔度杆，用来计算临界压力的经验公式为 。

3、求临界应力的公式22cr Eλπσ=。

式中的λ称为压杆的 ,根据λ数值由大 到小， 把压杆具体分为 ， 和 。

二、计算题1、如图有一截面为圆形的大柔度压杆，杆长2.5m ，截面直径为40mm 。

杆的一端固定，一端铰支，材料的弹性模量E ＝210G pa 。

试求杆的临界压力P cr 。

2、如图所示，某液压作动筒的活塞杆，长度l =1800mm ，直径d =60mm ，承受轴向载荷F =120kN,可认为两端铰支。

活塞杆材料的弹性模量E ＝210Gpa ，λp ＝100。

若规定稳定安全系数[n st ]=3,试对活塞杆的稳定性进行校核。

图图3、图示托架中杆AB的直径d=40mm，长度l=800mm，两端可视为铰支，材料是Q235钢。

材料的弹性模量E＝210Gpa。

（1）试按杆AB的稳定条件求托架的临界压力F cr。

（2）若已知实际载荷F=70kN,稳定安全系数[n st]=2,问此托架是否安全。

（注：Q235钢，a=310Mpa b=1.14Mpa λp＝100 λs＝60）图4、如图一截面为12×20cm2的矩形木柱为大柔度杆，杆长L=4m,在最小刚度平面内弯曲时，长度系数μ＝1，木材的弹性模量E＝10Gpa，试求木柱的临界压力。

图5、如图一横截面为圆的大柔度杆，横截面直径d=16cm，杆长L=5m，材料的弹性模量E＝210Gpa。

杆的两端铰支，长度系数μ＝1。

试求杆的临界压力P cr。

图6、某型柴油机的挺杆为大柔度压杆，该挺杆长为l =257mm,圆形横截面的直径d =8mm 。

所用钢材的E =210 GPa 。

试求该挺杆的临界力。

（提示：挺杆的两端可简化为铰支座）7、某轧钢车间使用的螺旋推钢机的示意图如图所示。

材料力学 第九章 压杆的稳定

材料力学 第九章 压杆的稳定

欧拉公式一般表达式
Fcr
EI l2
Fcr
EI (2l )2
Fcr
EI
l / 22
Fcr
EI (0.7l )2
Fcr
π EI
(l )2
1
2 1
2
0.7
l - 相当长度－相当的两 - 长度因数－代表支持方
端铰支细长压杆的长度
式对临界载荷的影响
§9-3 欧拉公式的适用范围 中小柔度杆的临界应力
临界状态特点－压杆可在任意微弯状态保持平衡
其他形式的稳定问题
F Fcr
§9-2 细长压杆的临界力
一、两端铰支压杆的临界力
求解思路 Fcr－使压杆在微弯条件下保持平衡的最小轴向压力 方法：使压杆微弯, 再求能 保持其平衡的最小轴向压力
临界力公式
微弯, 且 max p 时
d2w dx 2
M(x EI
(0 < < p )
a1, b1值与材料有关 适用于结构钢与低合金结构钢等
15
例题
例 9-1 硅钢活塞杆, d = 40 mm, E = 210 GPa, p= 100,
求Fcr
解：
2
i
I A
πd 4 64
4 πd
2
d 4
1.0
102
m
l
i
200
> p 大柔度杆
Fcr
π 2 EI
(l )2
cr=235 MPa-(0.00669 MPa) p=100
解：
FN
M A0, FN 30.9 kN
FN 30.9 kN
i
I A
(
D4 64
d
4

建筑力学第9章压杆稳定

建筑力学第9章压杆稳定
• 压杆失稳时的压力比引起强度不足而破坏的压力要小得多，并且失稳 破坏是突然的，因此，对细长压杆必须进行稳定性计算。
• 为了说明压杆平衡状态的稳定性，我们取一根细长的直杆进行压缩试 验，如图９-１所示。
上一页 下一页 返回
第一节 压杆稳定的概念
• 压杆的平衡状态可以分为三种。图９-１（ａ）中，当压力P不太大时， 用一微小的横向力干扰它，压杆微弯，当横向力撤去后，压杆能自动 恢复原有的直线形状，这时压杆处于稳定的平衡状态。图９-１（ｂ） 中，当压力P增大到某一特定值Pｃｒ时，微小的横向干扰力撤去后， 压杆在微弯状态下维持新的平衡，这时压杆处于临界平衡状态，这个 特定值Pｃｒ叫作临界力。图９-１（ｃ）中，当压力P超过临界力Pｃｒ 后，干扰力作用下的微弯会越来越大直至压杆弯断，此时压杆丧失了 稳定性。
• σｃｒ＝π２E/λ２≤σＰ
• ■四、中长杆的临界应力计算———经验公式
• 当压杆的柔度小于λＰ时，称为中长杆或中柔度杆。中长杆的临界应 力σｃｒ大于材料的比例极限σＰ，此时欧拉公式不再适用。工程中对 这类压杆一般采用经验公式计算临界力或临界应力。常用的经验公式 有两种：直线公式和抛物线公式。
上一页
• Pｃｒ＝π２EI/（μl）２（９-１） • 式中 • E———材料的弹性模量； • I———压杆横截面的最小惯性矩； • EI———压杆的抗弯刚度；
下一页 返回
第二节 临界力和临界应力
• l———压杆的实际长度； • μ———压杆的长度系数，见表９-１； • μl———压杆的计算长度。 • ■二、临界应力 • 在临界力作用下，细长压杆横截面上的平均压应力叫作压杆的临界应
• 从前面几节内容可知，影响压杆稳定性的主要因素有：压杆的截面形 状、长度、两端的约束条件以及材料的性质等。要提高压杆的稳定性 ，可采取以下四个措施。

上海理工材料力学习题解答(压杆稳定)

上海理工材料力学习题解答(压杆稳定)

. 某型柴油机的挺杆长为l =257 mm ，圆形横截面的直径d =8 mm 。

所用钢材的E =210 GPa ，σp =240 MPa 。

挺杆所受的最大压力P = kN 。

规定n st =2~5。

试校核挺杆的稳定性。

解：(1) 求挺杆的柔度挺杆的横截面为圆形，两端可简化为铰支座，μ=1，i =d /4 计算柔度91614410.257128.50.0082101092.924010P ll id Eμμλλππσλλ⨯⨯====⨯===⨯∴挺杆是细长压杆，使用欧拉公式计算临界压力 (2) 校核挺杆的稳定性()()4410422910220.008 2.0110 646421010 2.0110 6.3110.257cr d I m EI P KNl ππππμ--⨯===⨯⨯⨯⨯⨯===⨯工作安全系数max 6.313.591.76cr P n P === 所以挺杆满足稳定性要求。

. 图示蒸汽机活塞杆AB 所受压力为P =120 kN ，l =1.8 m ，截面为圆形d =75 mm 。

材料为Q275钢，E =210 GPa ，s =240 MP 。

规定n st =8。

试校核活塞杆的稳定性。

解：(1) 求柔度极限值9162101092.924010PEλπσ⨯===⨯ 压杆的柔度11 1.8960.075/4liμλλ⨯====压杆是大柔度杆 (2) 压杆的临界压力()()44642296220.075 1.55310 646421010 1.55310993 1 1.8cr d I m EI P kNl ππππμ--⨯===⨯⨯⨯⨯⨯===⨯BAPPlp(3) 压杆的稳定性9938.275120cr st P n n P ===压杆稳定。

10.6. 三根圆截面压杆，直径均为d =160 mm 材料为Q235钢，E =200 GPa ，p =200 MPa ，s =240 MPa 。

三杆均为两端铰支，长度分别为l 1、l 2和l 3，且l 1=2l 2=4l 3=5m 。

孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-压杆稳定(圣才出品)

孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-压杆稳定(圣才出品)
表 9-1-3 临界应力、柔度或长细比
2．压杆分类（见表 9-1-4） 表 9-1-4 压杆分类
3．折减弹性模量理论（见表 9-1-5）
3 / 40
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

表 9-1-5 折减弹性模量理论
4．压杆的临界应力总图 压杆临界应力 σcr 与柔度 λ 的关系曲线称为压杆的临界应力总图。当压杆的柔度很小时， 以屈服界限 σs 作为临界应力。临界应力总图的绘制如图 9-1-1 所示。
图 9-1-1 临界应力总图
4 / 40
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

四、实际压杆的稳定因数 实际压杆的稳定许用应力与稳定因数的确定见表 9-1-6。
表 9-1-6 稳定许用应力与稳定因数
五、压杆的稳定计算·压杆的合理截面 1．压杆的稳定计算（见表 9-1-7）
6 / 40
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

图 9-2-1 令 k2＝Fcr/EI，可得：w″＋k2w＝k2Me/Fcr。则该微分方程的通解：w＝Asinkx＋ Bcoskx＋Me/Fcr。 其一阶导为：w′＝Akcoskx－Bksinkx，由边界条件 x＝0，w＝0，w′＝0 可确定积分 常数：A＝0，B＝－Me/Fcr。故方程的通解：w＝－Mecoskx/Fcr＋Me/Fcr。 又由 x＝l，w＝0 得：－Mecoskx/Fcr＋Me/Fcr＝0，即 coskl＝1，kl＝2nπ（n＝1， 2，3…），取其最小解 kl＝2π，则压杆的临界力 Fcr 的欧拉公式 Fcr＝4π2EI/l2＝π2EI/ （0.5l）2。 9-2 长 5m 的 10 号工字钢，在温度为 0℃时安装在两个固定支座之间，这时杆不受 力。已知钢的线膨胀系数 αl＝125×10－7（℃）－1，E＝210GPa。试问当温度升高至多少 度时，杆将丧失稳定？ 解：设温度升高 Δt 时，杆件失稳。

第九章_压杆稳定

第九章_压杆稳定

第 1 页/共 2 页9-5 未失稳失，轴向压缩 T F L L ∆=∆TEA F TL L EAFL L l l T F αα=⇒=∆=∆， 临界状态 kN 3.109)5.0(22cr ==L EIF π由cr F F =得，温升C EALEI T l ︒==2.29422απ 9-8 由铰B 平衡，22BC AB F F F +=，ABBC F F =θtan F 最大时，AB F 与BC F 均达到临界值2222)sin ()cos (βπβπAC EI F AC EI F BC AB ==， )arctan(cot cot tan 22βθβθ==⇒， 9-10 柔度临界值 p2p σπλE = （1）5.72p =λ，（2）8.65p =λ，（3）6.73p =λ 9-12 AB 与BC 均为两力杆，由铰B 平衡可得 F F BC 75=（压） 柔度 m m 320m 5.215.216=====i l i l，，，其中μμλ 稳定因素 06.028002==λϕ稳定许用应力 MPa 6.0][][st ==σϕσ st ][MPa 58.0σσ<==AF BC ，满意稳定性条件。

9-15 组合压杆的临界力cr F 为杆BC 与AB 临界力的最小值柔度临界值 1002==PP E σπλ P ACAC P BC BC i AC i BC λλλλ>=====1047.0100，大柔度杆，由欧拉公式N 1094.0)7.0(N 1004.1622622⨯==⨯==AC EIF BC EIF AC BC ππ，N 1094.06cr ⨯==⇒AC F F许用压力 kN 376][stcr ==n F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛======kN 416MPa 8.82][MPa 1.207BC kN 376MPa 6.76][MPa 4.191AC st cr st cr F F ，，：，，：σσσσ 9-17 杆AC ，强度许用应力 MPa 118][st ==n σσ 最大弯矩 26132bh W F M B ==， 最大应力 kN 6.95][41][2max =≤⇒≤=bh F W M B σσσ 杆CD ，柔度P iCD λλ>==200，大柔度杆 由欧拉公式 MPa 3.4922cr ==λπσE 稳定许用应力 MPa 4.16][st cr st ==n σσ 压力 F F CD 31=应力 kN 5.15][3][st st =≤⇒≤=A F AF CD σσσ 结构的许可荷载 kN 5.15][=F。

第九章压杆稳定

第九章压杆稳定

9-4 图中所示为某型飞机起落架中承受轴向压缩的斜撑杆。

杆为空心圆管，外径D=54mm ，内径d=46mm,l =950mm 。

材料为30CrMnSiNi2A,1600MPa,1200MPa b P σσ==, 210GPa E =.试求斜撑杆的临界应压力F cr 和临界应力σcr 。

解：（1）计算柔度53.5799.35P llDiμλμλ⋅⋅====>=(2)计算判别柔度P λ,确定计算临界力的公式.41.6P λ===显然压杆的柔度53.5741.6P λλ=>=，可采用欧拉公式计算临界力。

故：229222101053.57cr E ππσλ⨯⨯==Pa =722.23MPa 622()(0.0540.046)4cr cr F A πσ=⋅=⨯⨯-722.2310N =453.79kN9-5 三根圆截面压杆，直径均为d=160mm,材料为Q235钢，200GPa E =，200MPa P σ=，240MPa s σ=。

两端铰支，长度分别为l 1、l 2和l 3，且123245m l l l ===。

试求各杆的临界压力F cr 。

解：（1）计算判别柔度P λ、s λ99.34P λ===，30424057.141.12s s a b σλ--=== （2）计算三个杆的柔度和临界压力： 各杆两端铰支1μ=，截面相同0.160.04m 44d i ===，杆长不同。

①杆：15m l =，111151250.1604499.34P l l diλμμλ⋅⋅⨯=====>，细长压杆采用欧拉公式计算临界力。

故：22921122200100.164125crcrE F A A πππσλ⨯⨯⨯=⋅=⋅=⨯N =2540.03kN②杆：2 2.5m l =2221 2.562.50.16044l l d iμμλ⋅⋅⨯====， 262.557.1499.34s P λλλ<=<==，中柔度杆采用经验公式计算临界力。

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-压杆稳定(圣才出品)

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-压杆稳定(圣才出品)
（1）各种支承情况下等截面细长压杆临界压力的欧拉公式，如表 9-2 所示。
支 承
两端铰接 情 况 失 稳 时 挠 曲 线 的 形 状 欧 拉 公 式
表 9-2
一端固定一段 铰接
两端固定
一 端 固 定 一 端 两端固定但可沿
自由
横截面相对移动
3 / 44
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
（2）柔度或长细比 临界应力可表示为
4 / 44
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

式中，λ 为柔度或长细比，
，集中反应了压杆的长度、约束条件、截面尺寸
和形状等因素对临界应力 σcr 的影响。λ 越大，相应的 σcr 越小，压杆越容易失稳。 注意：若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时
杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩；杆端
在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力，I 为
其相应中性轴的惯性矩。
三、欧拉公式的适用范围及临界应力总图 1．相关概念 （1）临界应力：与临界压力 Fcr 对应的应力，用 σcr 表示，即
2．提高压杆稳定性的措施
影响压杆稳定的因素包括压杆的截面形状、长度和约束条件、材料的性质等。因而，提
6 / 44
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

高压杆稳定性的措施主要包括以下三个方面： （1）选择合理的截面形状 截面的惯性矩 I 越大，或惯性半径 i 越大，稳定性越好。 ①在截面积相等的情况下，尽可能将材料放在离截面形心较远处，使 I 或 i 较大，如图
应力
达到限值
小于限值

材料力学第9章压杆稳定

材料力学第9章压杆稳定
l
F B l C
1

2 l
i
200
A
2l
D
E F A 3 . 875 kN Ncr 2
2
2 E 99 .3 1 p

安全 n = F / F = 3.73 > n F 1 . 04 kN Ncr N st N
3 3 F l F l F l l F 2 l Fl N N N N l 3 EI 3 EI 3 EI GI EA p 3
dw 2 12 21 2 1 3 k ( lx x Cx D ) k( lx x C ) w 2 6 dx 2 12 x 0 , l w 0 D 0 , C l 3 1Fa 2 3 EI x 0 ,w 3 EIll Fcr al
1 4 1 cm I 1130 cm W 梁 梁 π 2 2 2 A D d 1178 mm 柱 4
4
3
4 3 5 ql F l F l N N 384 EI 48 EI EA
F 9 7 . 2 kN N
M/kNm
12.3
17.2
3 M 1 7 . 2 10 max s 1 22 MPa max n 1 . 9 梁 W 141

选择合理截面（I、i大） 改变约束条件（小） 各平面稳定性基本相同 合理选择材料（大柔度杆无效）
Fa M Fa 令： k 0 EIl F M / l Fa / l R 0
2
F
M Fa Fa x / l


a

l EI EI
M0 l
2 d w M Fa 2 ( l x ) k( lx ) 2 dx EIEIl

材料力学(土木类)第九章 压杆稳定(2)

材料力学(土木类)第九章 压杆稳定(2)
4
=
=
π (50 2 − 40 2 )
4
=707mm2。 =181132mm4。
π (D − d )
4 4
π (50 − 40 )
4 4
64
64
181132 I = =16mm 707 A
λ=
µl 1.0 ×2/cos30° 3 ×10
i
=
16
=144.3
因为λ>λ ），故可用欧拉公式 因为 P=100（前面已求得），故可用欧拉公式 （前面已求得）， 计算BC杆的临界力 杆的临界力。 计算 杆的临界力。
故该连杆满足稳定性要求。 故该连杆满足稳定性要求。 此题中的连杆在两个平面失稳时的约束情况、 此题中的连杆在两个平面失稳时的约束情况、计算 长度和惯性矩都不同， 长度和惯性矩都不同，应分别计算其柔度以判断其稳定 性的强弱。 性的强弱。
计算压杆稳定性时应注意的问题： 计算压杆稳定性时应注意的问题：
λ=
Q235钢加工成的工字型截面杆件 两端为柱形铰， 钢加工成的工字型截面杆件， 例：由Q235钢加工成的工字型截面杆件，两端为柱形铰， 即在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰 即在 平面内失稳时， 平面内失稳时 平面内失稳时， 长度因素µ 支，长度因素 z=1.0；当在 平面内失稳时，杆端 ；当在xz平面内失稳时 约束情况接近于两端固定，长度因素µ 约束情况接近于两端固定，长度因素 y=0.6。已知 。 连杆在工作时承受的最大压力为F=35kN，材料的强 ， 连杆在工作时承受的最大压力为 度许用应力[ 度许用应力 σ]=206MPa,并符合钢结构设计规范中 , a类中心受压杆 类中心受压杆 的要求。 的要求。试校核
托架的撑杆为钢管，外径D=50mm，内径 例：托架的撑杆为钢管，外径 ，内径d=40mm， ， 两端球形铰支，材料为Q235钢， 两端球形铰支，材料为 钢 2m 1m E=206GPa。试根据该杆的稳定性 q 。 A B 30° ° 要求， 要求，确定横梁上均布载荷集度 Ⅰ Ⅰ q之许可值。 之许可值。 之许可值 C

孙训方材料力学09压杆稳定

孙训方材料力学09压杆稳定

B
11
材 料 力 学 x
Fcr
Fcr M(x)=Fcr w m w B m x y
l m
m x
B y
m-m 截面的弯矩
M ( x) Fcr w
材 料 力 学
杆的挠曲线近似微分方程
EIw M ( x) Fcr w （a)
''
Fcr M(x)=Fcr w m x m
令 得
Fcr k EI
材 料 力 学
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy 、Iz 中小的一个计算临界力。 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 x y z
界压力。 I 为其相应中性轴的惯性矩。
π 2 EI Fcr ( l )2
l—相当长度
—长度因数
材 料 力 学
π 2 EI Fcr 2 ( l )
讨 论 （1）相当长度 l 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当 长度 l 。
l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当
于半波正弦曲线的一段长度。
材 料 力 学
解：
E p π 100 σp
压杆 = 1
i
I A
π( D d ) 1 2 2 64 D d π( D 2 d 2 ) 4 4
4 4

lmin
l
i

4l D2 d 2
2
p 100
2
100 0.05 0.04 1.6m 41
y yl
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=PQ时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A、弯曲变形消失，恢复直线形状； B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C、微弯状态不变； D、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=PQ时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯变形（ C ） A、完全消失 B、有所缓和 C、保持不变 D、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A、长度 B、横截面尺寸 C、临界应力 D、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B、材料，长度和约束条件； C、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C.80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。

8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A、弹性模量E越大或柔度λ越小； B、弹性模量E越大或柔度λ越大； C、弹性模量E越小或柔度λ越大； D、弹性模量E越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ）

A、λ≤ PE B、λ≤sE

C、λ≥ PE D、λ≥sE 10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ C ） A、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是； B、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； C、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的； D、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ A ） A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等； B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等； C. 临界应力和临界压力一定相等； D. 临界应力和临界压力不一定相等； 12、在下列有关压杆临界应力σe的结论中，（ D ）是正确的。 A、细长杆的σe值与杆的材料无关；B、中长杆的σe值与杆的柔度无关； C、中长杆的σe值与杆的材料无关；D、粗短杆的σe值与杆的柔度无关； 13、细长杆承受轴向压力P的作用，其临界压力与（ C ）无关。 A、杆的材质 B、杆的长度 C、杆承受压力的大小 D、杆的横截面形状和尺寸 二、计算题 1、 有一长l=300 mm，截面宽b=6 mm、高h=10 mm的压杆。两端铰接，压杆材料为Q235钢，E=200 GPa，试计算压杆的临界应力和临界力。 解：（1）求惯性半径i 对于矩形截面，如果失稳必在刚度较小的平面内产生，故应求最小惯性半径

mm 732.1126121123minminbbhhbAIi （2）求柔度λ λ=μl/i，μ=1， 故 λ=1×300/1.732=519>λp=100 （3）用欧拉公式计算临界应力

MPa 8.652.1731020ππ24222cr

E

（4）计算临界力 Fcr=σcr×A=65.8×6×10=3948 N=3.95 kN

2、一根两端铰支钢杆，所受最大压力KNP8.47。其直径mmd45，长度mml703。

钢材的E=210GPa，p=280MPa，2.432。计算临界压力的公式有：(a) 欧拉公式；(b)

直线公式cr=461-2.568(MPa)。 试 （1）判断此压杆的类型； （2）求此杆的临界压力； 解：（1） 1 8621PE 5.624dlil 由于12，是中柔度杆。 （2）cr =461-2.568MPa KNAPcrcr478

3、活塞杆（可看成是一端固定、一端自由），用硅钢制成，其直径d=40mm，外伸部分的最大长度l=1m，弹性模量E=210Gpa， 1001。 试（1）判断此压杆的类型；（2）确定活塞杆的临界载荷。

解：看成是一端固定、一端自由。此时2

，而 ，所以， 。

故属于大柔度杆- 用大柔度杆临界应力公式计算。

4、托架如图所示，在横杆端点D处受到P=30kN的力作用。已知斜撑杆AB两端柱形约束（柱形较销钉垂直于托架平面），为空心圆截面，外径D=50mm、内径d=36mm，材料为A3钢，E=210GPa、p=200MPa、s=235MPa、a=304MPa、b=1.12MPa。若稳定安全系数nw=2，试校

杆AB的稳定性。

1.5m0.5mPCABD第第第第30o

解 应用平衡条件可有 0AM，107N5.05.11040230sin5.123PNBDkN

2cm837.32A，4cm144yI，cm04.2yi，4cm1910xI

cm64.7xi A3钢的 4.99P

，1.57S

压杆BA的柔度

Sxxil7.220764.0

30cos

5.11

Pyyil9.820209.0

30cos

5.11

因x、y均小于P，所以应当用经验公式计算临界载荷 N109.8212.130400329.0)(6ycrcrbaAAP

695kN

压杆的工作安全系数

55.6107695stnn BA压杆的工作安全系数小于规定的稳定安全系数，故可以安全工作。

5、 如图所示的结构中，梁AB为No.14普通热轧工字钢，CD为圆截面直杆，其直径为d=20mm，二者材料均为Q235钢。结构受力如图所示，A、C、D三处均为球铰约束。若已知pF=25kN，

1l=1.25m，2l=0.55m，s=235MPa。强度安全因数sn=1.45，稳定安全因数st[]n=1.8。试校

核此结构是否安全。

解：在给定的结构中共有两个构件：梁AB，承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD，承受压缩荷载，属稳定问题。现分别校核如下。 (1) 大梁AB的强度校核。大梁AB在截面C处的弯矩最大，该处横截面为危险截面，其上的弯矩和轴力分别为 3maxp1(sin30)(25100.5)1.25MFl° 315.6310(Nm)15.63(kNm) 3Npcos302510cos30FF°° 321.6510(N)21.65(kN) 由型钢表查得14号普通热轧工字钢的

333222102cm10210mm21.5cm21.510mmzWA 由此得到 33maxNmax392415.631021.6510102101021.51010zMFWA

6163.210(Pa)163.2(MPa) Q235钢的许用应力为

ss235[]162(MPa)1.45n

max略大于[]，但max([])100%[]0.7%5%，工程上仍认为是安全的。 (2) 校核压杆CD的稳定性。由平衡方程求得压杆CD的轴向压力为

Npp2sin3025(kN)CDFFF°

因为是圆截面杆，故惯性半径为 5(mm)4IdiA 又因为两端为球铰约束1.0，所以 p31.00.55110101510li 这表明，压杆CD为细长杆，故需采用式(9-7)计算其临界应力，有 222932Pcrcr2220610(2010)41104EdFA

352.810(N)52.8(kN) 于是，压杆的工作安全因数为 crPcrwstwN52.82.11[]1.825CDFnnF

这一结果说明，压杆的稳定性是安全的。 上述两项计算结果表明，整个结构的强度和稳定性都是安全的。 6、一强度等级为TC13的圆松木，长6m，中径为300mm，其强度许用应力为10MPa。现将圆木用来当作起重机用的扒杆，试计算圆木所能承受的许可压力值。

解：在图示平面内，若扒杆在轴向压力的作用下失稳，则杆的轴线将弯成半个正弦波，长度系数可取为1。于是，其柔度为 168010.34li 根据80，求得木压杆的稳定因数为 22110.39880116565

从而可得圆木所能承受的许可压力为 62[][]0.398(1010)(0.3)281.34FA(kN) 如果扒杆的上端在垂直于纸面的方向并无任何约束，则杆在垂直于纸面的平面内失稳时，只能视为下端固定而上端自由，即2。于是有

2616010.34li

求得 22280028000.109160

62[][]0.109(1010)(0.3)774FA(kN) 显然，圆木作为扒杆使用时，所能承受的许可压力应为77 kN，而不是281.3 kN。

7、 如图所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长l = 2m，截面形状为矩形，b = 20 mm、h = 45 mm，材料的弹性模量E = 200GPa 。试计算该压杆的临界力。若把截面改为b = h =30 mm，而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大？ 解：（一）、当b=20mm、h=45mm时 （1）计算压杆的柔度 22000692.82012li＞123c(所以是大柔度杆，可应用

欧拉公式) (2)计算截面的惯性矩 由前述可知，该压杆必在xy平面内失稳，故计算惯性矩

4433100.312204512mmhbIy

（3）计算临界力 μ = 2，因此临界力为 kNNlEIFcr70.337012210310200289222