幂函数定义

幂函数的定义域和值域幂数函数的定义域和值域幂数函数是一种特殊的指数函数，其定义如下：设 a 是正实数且 a≠ 1，x 是实数，则形如 y = a^x 的函数称为幂数函数。

在幂数函数中，a 是底数，x 是指数，y 是函数的值。

定义域是指函数中自变量 x 的取值范围，值域是指函数中因变量 y的取值范围。

在讨论幂数函数的定义域和值域之前，我们首先需要了解幂数函数在 a 的不同取值范围下的性质。

当 a > 1 时，幂数函数定义域是全体实数，即 (-∞, +∞)。

这是因为当a > 1 时，无论 x 是正负还是零，a^x 的结果都是正实数，所以幂数函数的定义域是全体实数。

当 0 < a < 1 时，幂数函数的定义域是全体实数的子集，即 (-∞, +∞)。

这是因为当 0 < a < 1 时，当 x 是正实数或零时，a^x 的结果是正实数；但当 x 是负实数时，a^x 的结果会变为分数或小数，此时所得的结果存在限制。

因此，幂数函数的定义域是全体实数的子集。

现在来讨论幂数函数的值域。

无论 a 是大于 1 还是小于 1 的正实数，幂数函数的值域都是正实数的全体，即(0, +∞)。

这是因为幂数函数的指数 x 可以取到任意实数，而 a^x 的结果都是正实数。

总结起来，幂数函数的定义域和值域为：当 a > 1 时，定义域为 (-∞, +∞)，值域为(0, +∞)；当 0 < a < 1 时，定义域为 (-∞, +∞)，值域为(0, +∞)；无论 a 是大于 1 还是小于 1 的正实数，幂数函数的值域都是(0, +∞)。

这些性质可以通过函数图像来进行直观地观察和理解。

对于 a > 1的情况，幂数函数的图像呈现递增趋势，从左下方向右上方延伸；对于 0 < a < 1 的情况，幂数函数的图像呈现递减趋势，从左上方向右下方延伸。

最后需要注意的是，在定义幂数函数的值域时，我们排除了 0 这个数值，因为在常规的实数域中，0 是不能通过幂函数得到的。

幂函数知识点嘿，同学们！咱们今天来聊聊幂函数这个有趣的家伙。

先来说说啥是幂函数哈。

简单讲，幂函数就是形如 y ＝x^α （α 是常数）这样的函数。

比如说，y ＝ x²、y ＝ x³，这都是幂函数。

咱就拿 y ＝ x²这个例子来说说幂函数的一些特点。

想象一下，你在操场上扔一个皮球，皮球弹起的高度和你扔的力度之间就有点像幂函数的关系。

你用力越大，皮球弹得越高，而且这个高度的变化可不是简单的直线上升哦，而是像 y ＝ x²这样的曲线增长。

那幂函数的图像都有啥样的呢？有的像个抛物线，开口朝上，比如y ＝ x²；有的像个陡峭的山峰，比如 y ＝ x³。

而且幂函数的图像还和指数α 有关系呢。

当α 大于 0 时，图像都过点（0，0）和（1，1）。

要是α 是偶数，那图像就在第一、二象限，是个偶函数；要是α 是奇数，那图像就在第一、三象限，是个奇函数。

再来说说幂函数的性质。

就说定义域和值域吧。

如果α 是正整数，那定义域就是整个实数集；要是α 是分数，那就有点复杂啦，得具体情况具体分析。

比如说，y ＝√x ，这其实就是幂函数 y ＝ x^（1/2) ，它的定义域就是x ≥ 0 。

就像你去买糖果，老板说少于 0 颗糖不卖，因为没有负数颗的糖果嘛，所以 x 就得大于等于 0 。

还有单调性，当α 大于 0 时，幂函数在（0，＋∞）上单调递增；当α 小于 0 时，在（0，＋∞）上单调递减。

这就好比你爬山，α 大于 0 时，你越往上爬越轻松，路越来越好走；α 小于 0 时，越往上爬越累，路越来越难走。

在做题的时候，咱们经常会碰到比较幂函数大小的问题。

这时候，咱们得先看看指数的正负，再看看底数的大小。

比如说，要比较 2³和3²的大小，那咱们就得算算 2³＝ 8 ，3²＝ 9 ，很明显 9 大于 8 ，所以3²大于 2³。

幂函数的概念与性质幂函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学领域拥有广泛的应用。

本文将介绍幂函数的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用这一数学工具。

一、幂函数的概念幂函数是指形如f(x)=ax^n的函数，其中a和n为常数，n为指数。

其中，a称为底数，n称为指数。

这里要注意的是，底数a必须大于0且不等于1，指数n可以是任意实数。

幂函数在底数和指数的选择上具有很大的灵活性。

当n为正整数时，幂函数表现为递增或递减的特点，如f(x)=2x^3，其图像为一个开口向上的曲线；当n为负整数时，幂函数则表现为递减或递增的特点，如f(x)=\frac{1}{2}x^{-2}，其图像为一个开口向下的曲线；当n为小数或分数时，幂函数则表现出递增或递减的平缓特点，如f(x)=\sqrt{x}，其图像为一条从原点开始向右上方延伸的曲线。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为实数集，即该幂函数对于任意实数x都有定义。

值域则根据底数a和指数n的取值情况而定。

2. 奇偶性：当指数n为偶数时，幂函数是对称于y轴的偶函数，即f(x)=f(-x)；当指数n为奇数时，幂函数则是关于原点对称的奇函数，即f(x)=-f(-x)。

3. 单调性：当指数n为正数时，幂函数是递增的；当指数n为负数时，幂函数则是递减的。

4. 渐近线：当指数n为正数时，幂函数的图像在x轴的右侧将趋近于正无穷，即具有一条水平渐近线y=0；当指数n为负数时，幂函数的图像在x轴的右侧将趋近于正0，其图像也会具有一条水平渐近线y=0。

5. 极值点：幂函数在底数为正且指数为正偶数时，不存在极值点；在底数为正且指数为负偶数时，幂函数存在一个局部极大值点；在底数为负且指数为任意实数时，幂函数既不具有极小值也不具有极大值。

6. 对称轴：幂函数的对称轴一般位于y轴，并且是关于y轴对称的。

当指数n为奇数时，幂函数的对称轴位于原点。

7. 特殊性质：当底数a是自然常数e（约等于2.71828）时，所得到的幂函数称为自然指数函数，常用符号为f(x)=e^x。

幂函数与其他函数的关系及应用1. 引言在数学中，幂函数是一类常见而重要的函数。

本文旨在探讨幂函数与其他函数的关系，并介绍它们在实际问题中的应用。

2. 幂函数的定义与性质幂函数是指形如 f(x) = ax^n 的函数，其中 a 是常数，n 是整数。

幂函数的定义域为所有实数集，函数图像可能是一条平行于x 轴的直线，也可能是一条曲线。

3. 幂函数与线性函数的关系当 n = 1 时，幂函数退化为线性函数。

线性函数的特征是图像呈现一条直线，斜率为常数。

可以通过比较幂函数和线性函数的图像，发现幂函数的图像要么与 x 轴平行，要么与 x 轴相交于一个点。

4. 幂函数与多项式函数的关系多项式函数可以看作幂函数的一种特殊情况。

当 n 是正整数且 a 为1 时，幂函数退化为多项式函数。

多项式函数的图像通常是一条曲线，其形状取决于多项式的次数和系数。

5. 幂函数与指数函数的关系指数函数是幂函数的一种特殊形式，即当底数 a 为正实数且指数 n为分数时。

指数函数的图像呈现一种特殊的形式，随着自变量的增大，函数值迅速趋于无穷大或无穷小。

6. 幂函数在实际问题中的应用6.1 金融领域幂函数在金融领域中的应用非常广泛。

例如，利率的计算和复利的概念都可以通过幂函数的形式进行建模和计算。

6.2 自然科学在自然科学领域，幂函数可以用来描述一系列现象和规律。

例如，光线的强度随着距离的增加而减小，可以用幂函数来表达。

6.3 经济学经济学中的供需关系、成本曲线等经济现象常常可以建模为幂函数。

幂函数的特性能够帮助经济学家分析问题，预测趋势。

7. 结论幂函数是数学中重要而常见的函数之一，与其他函数有着密切的关系。

通过对幂函数与线性函数、多项式函数、指数函数的比较，我们可以更深入地理解它们之间的联系与区别。

此外，幂函数在实际问题中有着广泛的应用，包括金融、自然科学和经济学等领域。

通过本文的探讨，我们希望读者能够更好地理解幂函数的概念、性质和应用，以及它与其他函数的关系。

第15讲幂函数及其性质【知识点梳理】（1）幂函数的定义：一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.（2）幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.（3）幂函数的图象和性质常见的幂函数图像及性质：（4对幂函数性质的综合考查，主要体现为单调性、奇偶性，处理时要以常见的具体幂函数的图象和性质1.幂函数的单调性：在区间(0,)+∞上，当0α>时，y x α=是增函数；当0α<时，y x α=是减函数.2.幂函数的奇偶性：令qpα=（其中,p q 互质，*,,1p q N p ∈>）.（1）若p 为奇数，则q py x =的奇偶性取决于q 是奇数还是偶数.当q 是奇数时，q py x =是奇函数；当q 是偶数时，q py x =是偶函数.（2）若p 为偶数，则q 必是奇数，此时qpy x =既不是奇函数，也不是偶函数.1.幂函数的凸性1.上凸函数、下凸函数的定义：设函数(x)f 在[,]a b 上有定义，若对[,]a b 中任意不同两点121212()(),,()22x x f x f x x x f ++≥都成立，则称()f x 在[,]a b 上是上凸的函数，即上凸函数.设函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对[,]a b 中任意不同两点121212()(),,()22x x f x f x x x f ++≤都成立，则称()f x 在[,]a b 上是下凸的函数，即下凸函数.这个定义从几何形式上看就是：在函数()f x 的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方，那么这个函数就是上凸函数；如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是下凸函数.根据函数图象判断，一般开口向下的二次函数是上凸函数，开口向上的二次函数是下凸函数.2.幂函数的凸性（1）幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，在1α>时，函数是下凸函数；（2）幂函数y x α=，(0,)x ∈+∞，在01α<<时，函数是上凸函数；（3）幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，在0α<时，函数是下凸函数.【典型例题】题型一幂函数的概念【例1】在函数21y x=，22y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例2】已知()21212223m y m m x n -=+-⋅+-是幂函数，求m 、n 的值．【题型专练】1．现有下列函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知函数()()()2211 nn f x n n xn Z -+=--∈为幂函数，则()2f =___.3.已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．题型二：幂函数的三要素【例1】幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（）A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【例2】已知幂函数()22333mm y m m x--=-+的图象不过原点，则实数m 的取值可以为（）A ．5B ．1C ．2D ．4【题型专练】1.若函数()f x 是幂函数，满足(4)8(2)f f =，则1(1)3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________．2.已知幂函数()f x 的图象经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()4f 的值为___．3.设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为（）A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3题型三：幂函数的性质【例1】幂函数()()2231mm f x m m x+-=--在x ∈（0，+∞）上是减函数，则m ＝（）A ．﹣1B ．2C ．﹣1或2D ．1【例2】幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（）A ．27B ．9C ．19D ．127【例3】已知幂函数()f x 的图象经过点()9,3，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当210x x >>时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【例4】已知幂函数()()231mf x m m x =--在其定义域内不单调，则实数m =（）A ．23-B ．1C ．23D ．1-【例5】若幂函数()()223,p p f x qx q R p Z -++=∈∈在()0,∞+上是增函数，且在定义域上是偶函数，则p q +=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【题型专练】1．若幂函数()()215m f x m m x -=+-在()0,∞+上单调递减，则m =（）A ．3-或2B ．2C ．3-D ．2-2．已知幂函数()()()224210,m m f x m x ∞-+=-+在上单调递增，则m =（）A ．0B ．13-C ．103-或D ．106-或3．已知幂函数()y f x =的图象过点24⎛ ⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．在(0,)+∞单调递减D ．定义域为[0,)+∞4.已知幂函数()223()pp f x x p N --*=∈的图像关于y 轴对称，且在()0+∞，上是减函数，实数a 满足()()233133pp aa -<+，则a 的取值范围是_____．5．写出一个具有性质①②③的函数()f x =______．①()f x 定义域为{}0x x ≠；②()f x 在(),0∞-单调递增；③()()()f ab f a f b =⋅．题型四：幂函数的图象【例1】幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a>>>D ．b c d a>>>【例2】已知幂函数()f x 的图象为曲线C ，有下列四个性质：①()f x 为偶函数；②曲线C 不过原点O ；③曲线C 在第一象限呈上升趋势，④当1≥x 时，()1f x ≥.写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数()f x ___________.【例3】如图所示是函数m ny x =(*N m n ∈、且互质)的图象，则（）A ．m n 、是奇数且1m n<B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n>C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m n 、是偶数，且1m n>【题型专练】1．图中1C ，2C ，3C 分别为幂函数1y x =α，2y x =α，3y x α=在第一象限内的图象，则1α，2α，3α依次可以是（）A.12，3，1-B ．1-，3，12C ．12，1-，3D ．1-，12，32.幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限：I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A ． IV,VIIB ． IV,VIIIC ． III, VIIID ． III, VII3．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)ba y x x =>图像的关系可能为（）A ．B ．C ．D ．题型五：幂函数的综合运用【例1】已知幂函数()()2144m f x m m x +=+-在区间()0,+¥上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减.【例2】已知幂函数()y f x =经过点14,8⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求此幂函数的表达式和定义域；(2)若()()232f a f a +<-，求实数a 的取值范围．【题型专练】1．若幂函数221()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围.2．已知幂函数()()22122m f x m m x +=+-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式（2）若(2)(1)f a f a -<-，求a 的取值范围.3．已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在()0,∞+上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；（3）若实数a ，b （a ，b +∈R ）满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值．。

1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．
注意：幂函数定义的特点：
①幂底数是自变量
②指数α为常数
③αx 前面的系数为1
例题：见考点P115的考题1
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；
（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 例题：考题2、3
规律1：在第一象限，作直线)1
a
x，它同各幂函数图象相交，按交点从下
(>
=a
到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线x
y=对称．
例题：考题4、5。

幂函数1.幂函数：一般地，形如y=x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.要准确理解幂函数的定义，注意以下四点：（1）幂函数具有严格的形式，形如 y=mx a， y=（mx）a， y=x a+m，y=（x+m）a（以上m均为不等于零的常数，且前两个函数中的m也不等于1）的函数都不是幂函数，二次函数中只有y=x2是幂函数，其他的二次函数都不是幂函数，幂函数y=x a要满足三个特征：○1幂x a前的系数是1；○2底数只能是自变量x，指数是常数；○3项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数；（2）求函数解析式时，若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法设函数为f（x）=x a，根据条件求出a即可.（3）不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量.当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识解决.2.幂函数在第一象限的图象：幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性做出．α＝n／m (其中m∈N*，n∈Z且m，n互质)．(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称．(3)当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限．3.幂函数当α＝1,2,3，0.5，－1时的图象与性质．(1)图象(如图所示)(2)性质(如表)4.幂函数的性质：(1)所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图像都通过点（1,1）；(2)如果a＞0，则幂函数的图像过原点，并且在区间（0，+∞）上为增函数；(3)如果a＜0，则幂函数的图像在区间（0，+∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于零时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当x趋向于无穷大时，图像在x轴上方无限逼近x轴；（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数.(5)①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，y=x a表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1))5.幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数y=x a的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数y=x a的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数y=x a的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

幂的四个概念怎么理解幂是数学中的一个重要概念，它在代数、数论、几何等许多领域中都有广泛应用。

幂的四个基本概念分别是幂运算、幂函数、幂等元、以及连续幂。

下面我将为您详细解释这四个概念的含义和应用。

1. 幂运算：幂运算是指对一个数进行多次乘法的运算。

在幂运算中，要求有两个数，一个作为底数，一个作为指数。

底数表示被乘数，指数表示乘数。

底数用字母a表示，指数用整数n表示。

幂运算的基本形式可以表示为a^n，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。

其中，当n是正整数时，a^n表示a相乘n次；当n是0时，a^0等于1；当n 是负整数时，a^n 等于1/a的绝对值相乘n次。

幂运算可以简化多次连乘的计算过程，同时也使得对于数的大小关系的比较更加灵活。

例如，3^4 表示3相乘4次，结果是3*3*3*3=81。

又如，2^0 表示2相乘0次，结果等于1。

2. 幂函数：幂函数是一种特殊的函数，它的定义形式为f(x) = a^x，a是一个正实数，且a ≠0. 在幂函数中，底数a是常量，指数x为自变量。

幂函数在数学中有着广泛的应用，它可以描述很多自然界中的现象，如生物的数量增长、物质的衰变等。

在实际应用中，幂函数能够更好地描述自然界中的非线性现象，并提供了很多重要的数学工具和模型。

例如，当幂函数中底数取2时，f(x) = 2^x表示指数增长的模型。

指数函数在信息技术中得到广泛应用，如计算机科学中的算法复杂性分析、密码学中的指数取模等。

3. 幂等元：幂等元是指进行幂运算时，底数和指数相等的元素。

即a^n = a，其中a为幂等元，n为任意整数。

幂等元可以是实数、复数、矩阵等。

幂等元的一个重要性质是，它的乘方结果仍然等于自身。

这是由幂运算定义的自然结果。

在代数和数论中，幂等元在解方程、计算等方面具有重要作用。

幂等元也被广泛应用于其他领域中，如图论、逻辑运算等。

举个例子，2是幂等元，因为2^2 = 2。

又如，矩阵中的单位矩阵是幂等元，因为单位矩阵的多次幂仍然等于单位矩阵。

幂函数的概念与计算幂函数是数学中常见且重要的一类函数，具有形如f(x) = ax^m的特点。

其中，a是实数，而m是自然数或正整数。

幂函数的特点是自变量x的指数是恒定不变的，而系数a可以是任意实数。

一、幂函数的定义和性质幂函数是由实数到实数的映射，在定义域内具有以下特点：1. 幂函数的定义域是实数集R，即幂函数对任意实数都有定义。

2. 幂函数的值域则取决于指数m的奇偶性。

当m为奇数时，值域为全体实数；当m为偶数时，值域为非负实数。

3. 当指数m为正整数时，幂函数是递增函数；当指数m为负整数时，幂函数是递减函数。

4. 当指数m为正偶数时，幂函数的图像呈现上升的开口向上的形状；当指数m为正奇数时，幂函数的图像呈现上升的开口向下的形状。

5. 幂函数在x轴上有一个零点x=0，其它的零点则取决于指数m的取值。

二、幂函数的计算方法在实际问题中，我们需要具体计算幂函数的值。

根据幂函数的特性，我们可以采用以下方法进行计算：1. 零点计算：对于幂函数f(x) = ax^m，我们可以令f(x) = 0，然后求解方程ax^m = 0，从而得到幂函数的零点。

2. 极值计算：当幂函数为单调函数时，可以通过求解f'(x) = 0来得到极值点。

3. 特殊值计算：根据幂函数的定义和性质，我们可以计算一些特殊值，例如当x=1时，f(x) = a；当x=-1时，f(x) = a(-1)^m。

三、幂函数的应用举例幂函数在实际问题中有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明：1. 功率函数：电路中的功率由电流和电压的乘积决定，而功率函数可以表示为P = U^2/R，其中U表示电压，R表示电阻。

这个功率函数就是一个幂函数，其中指数m为2。

2. 面积与体积计算：许多几何图形的面积和体积可以用幂函数来表示。

例如，正方形的面积函数可以表示为A = s^2，其中s表示正方形的边长；球体的体积函数可以表示为V = (4/3)πr^3，其中r表示球体的半径。

幂函数知识点幂函数是数学中常见的一类函数，它的定义形式为y = ax^b，其中a和b是常数，x是自变量，y是因变量。

幂函数的定义域可以是实数集的任意一个非空子集。

幂函数的特点有以下几个方面：1. 幂函数的图像通常呈现出一种曲线，它的形状和斜率与指数b的大小有关。

当指数b大于0时，图像从左下方无穷逼近x轴并逐渐向上弯曲，当b小于0时，图像从左上方无穷逼近x轴并逐渐向下弯曲。

当指数b为0时，函数变为常数函数y=a。

2. 幂函数在x轴的正负两侧可以有不同的表现。

当x取正值时，若底数a为正，那么y的值与指数b的奇偶性有关；若底数a为负，那么y的值与指数b的奇偶性相反。

同理，当x取负值时，y的表现也与指数b的奇偶性有关。

3. 当指数b为整数时，幂函数在原点处有一个分界点，当x大于该分界点时，函数值为正；当x小于该分界点时，函数值为负。

当指数b为分数时，函数值的正负与底数a有关，需要根据具体数值进行分析。

4. 幂函数的增减性与指数b有关。

当指数b大于0时，幂函数在整个定义域上是递增的；当指数b小于0时，幂函数在整个定义域上是递减的。

当指数b为0时，幂函数是一个常函数，函数值保持不变。

5. 幂函数的奇偶性与指数b有关。

当指数b为偶数时，幂函数是一个偶函数，即关于y轴对称；当指数b为奇数时，幂函数是一个奇函数，即关于原点对称。

6. 幂函数的性质还包括定义域的确定、连续性、导数和极限的计算等，这些内容可以通过数学分析方法进行探讨。

综上所述，幂函数是具有一定特点和性质的特殊函数。

它在数学中的应用十分广泛，既可以用于建模描述自然界的规律，也可以用于解决实际问题中的数学运算。

掌握幂函数的知识和性质，对于学习数学和应用数学都有重要意义。

在学习中，我们可以通过观察幂函数的图像、推导幂函数的性质和应用幂函数解决问题等方式，深入理解幂函数的内涵和外延。

幂函数与根函数的定义与性质幂函数和根函数是高中数学中常见的函数类型，它们在数学和实际问题中有广泛的应用。

本文将重点讨论幂函数和根函数的定义和性质，并通过例子来进一步说明它们的特点和使用。

一、幂函数的定义与性质幂函数是指形如$f(x) = x^a$的函数，其中$a$为常数。

幂函数的定义域为实数集，当$a$为正数时，幂函数在定义域上是递增的；当$a$为负数时，幂函数在定义域上是递减的。

当$a$为0时，幂函数在定义域上恒为1，即$f(x) = 1$。

幂函数的性质如下：1. 幂函数的图像与参数$a$的取值有关。

当$a>1$时，幂函数的图像呈现出增长迅速的特点，图像向上开口；当$0<a<1$时，幂函数的图像呈现出增长缓慢的特点，图像向下开口。

2. 幂函数在$x=0$处通常有一个特殊点。

当$a>0$时，幂函数在$x=0$处的值为0；当$a<0$时，并不存在$x=0$处的点。

3. 幂函数可以通过变换（平移、伸缩）来得到新的函数。

如$f(x) =2x^3$，在幂函数$x^3$的基础上，将所有点的横坐标伸缩为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标伸缩为原来的2倍。

4. 幂函数的零点和极限。

当$a>0$时，幂函数的零点只有$x=0$；当$a<0$时，幂函数没有零点。

当$x$趋近于正无穷大时，幂函数的值趋近于正无穷大；当$x$趋近于负无穷大时，幂函数的值趋近于0。

例子1：考虑幂函数$f(x) = x^2$，它的图像呈现出开口向上的抛物线形状。

对于任意正数$x_1$和$x_2$，若$x_1 > x_2$，则$f(x_1) >f(x_2)$，说明该幂函数是递增的。

在$x=0$处，该幂函数取到最小值0。

当$x$趋近于正无穷大时，$f(x)$也趋近于正无穷大。

二、根函数的定义与性质根函数是指形如$f(x) = \sqrt[a]{x}$的函数，其中$a$为正整数且$a\geq 2$。

（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 例:1：下列关于幂函数的命题中不正确的是( )A 幂函数的图象都经过点(1,1)B 幂函数的图象不可能在第四象限内C 当nx y =的图象经过原点时,一定有n>0 D 若nx y =是奇函数,则nx y =在其定义域内一定是减函数例2：讨论()f x 在[0,)+∞的单调性. 解析：证明函数的单调性一般用定义法。

证明：任取),0[,21+∞∈x x ，且21x x <，则21212121212121))(()()(x x x x x x x x x x x x x f x f +-=++-=-=-，因为21x x <，021>+x x ，所以02121<+-x x x x ，所以)()(21x f x f <，即()f x =在[0,)+∞为增函数。

例3：利用单调性比较大小：（1）215与315 ； （2）223(2)a -+与232-； （3）1.19.0与8.02.1.关于指数式值的比较，主要有：①同底异指，用指数函数单调性比较；②异底同指，用幂函数单调性比较；③异底异指，构造中间量（同底或同指）进行比较。

幂函数知识总结幂函数复：幂函数是指形如αy=x(α∈R)的函数，其中x是自变量，α是常数。

幂函数与指数函数的本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

幂函数在第一象限的性质：当α>0时，图像过定点（0,0）和（1,1），在区间（1，+∞）上单调递增；当α<0时，图像过定点（1,1），在区间（0，1）上单调递减。

对于形如y=x(m/n)(m,n∈Z且m,n互质)的幂函数，当m和n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；当m为奇数n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；当m为偶数n为奇数时，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限内。

幂函数的图像画法：先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。

指数大于1时，在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1时，在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1时，在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0时，在第一象限为水平的射线；指数小于0时，在第一象限为双曲线型。

比较幂形式的两个数的大小，可以化为同指数或同底数，或寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小。

题型一：幂函数解析式特征。

对于已知函数是幂函数的情况，可以根据题目给出的条件求出函数的解析式。

题型二：幂函数性质。

幂函数在第一象限的性质可以用于求解一些问题，同时也需要注意幂函数的奇偶性和定义域来画出其图像。

图像不可能出现在第四象限内。

对于3D图像，如果幂函数y=x^α为奇函数，则在定义域内是增函数。

练3：如图所示，曲线c1和c2分别是函数y=x^m和y=x^n在第一象限的图像。

那么一定有n<m<0.练4：（1）函数y=x的单调递减区间为（-∞，1）；（2）函数y=x^2的单调递增区间是[0.+∞)，因为它的图像过点(2.4)；（3）幂函数的性质可知，x^a>x^b当且仅当a>b，因此(2)^3>(3)^2，(3)^2>(2)^(-3)，(4)^(-1)>(5)^(-1)，1.1>0.9.经典例题：例1：已知函数f(x)=x^(m-2)+(m+3)，其中m∈Z，为偶函数，且f(3)<f(5)，求m的值，并确定f(x)的解析式。