盘点第六讲算法、复数、推理与证明、概率与统计

高考数学专题--概率与统计、算法、推理与证明、复数 ———————主干整合·归纳拓展———————[第1步▕ 核心知识再整合]1．随机事件的概率(1)随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0. (2)古典概型的概率：P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数；(3)几何概型的概率：P (A )＝m n ＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验全部结果所构成的区域长度面积或体积；(4)互斥事件的概率加法公式：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；对立事件的概率减法公式：P (A )＝1－P (A )． 2．直方图的三个常用结论(1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； (2)各长方形的面积和等于1； (3)小长方形的高＝频率组距.3．统计中的四个数据特征(1)众数、中位数； (2)样本平均数； (3)样本方差； (4)样本标准差． 4．线性回归方程线性回归方程为y ＝bx ＋a ，一定经过样本中心点(x ，y )． 5．循环结构的两种基本类型(1)当型循环：当给定的条件成立时，反复执行循环体，直至条件不成立为止；(2)直到型循环：先第一次执行循环体，再判断给定的条件是否成立，若成立，跳出循环体；否则，执行循环体，直至条件第一次不成立为止．循环结构一般用于一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题常常用循环结构来解决． 6．合情推理(1)归纳推理；(2)类比推理．7．演绎推理直接证明：综合法，分析法，反证法，数学归纳法． 8．复数的相关概念，复数的几何意义，复数的四则运算． 9．复数重要性质i 1＝i ，i 2＝－1, i 3＝－i ，i 4＝1. i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.[第2步▕ 高频考点细突破]【例1】 (1) 的概率为________．(2)已知Ω1是集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x ，y )|y ≤|x |}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为________．[解析] (1)4名学生A ，B ，C ，D 平均分乘两辆车共有六种坐法：(AB ，CD )，(AC ，BD )，(AD ，BC )，(BC ，AD )，(BD ，AC )，(CD ，AB )，其中“A ，B 两人恰好乘坐在同一辆车”包含两种坐法，因此所求概率为26＝13.(2) 不等式x 2＋y 2≤1表示的平面区域为Ω1，面积为π； Ω2是集合{(x ，y )|y ≤|x |}所表示的区域，对应的面积为34π，∴所求概率为34.[答案] (1)13 (2)34[规律方法] (1)解决古典概型问题，关键是弄清楚基本事件的总数n 以及某个事件A 所包含的基本事件的个数m ，然后由公式P (A )＝mn来求概率；(2)几何概型解决的关键在于把所有基本事件转化为与之对应的区域；(3)对于较复杂的互斥事件可先分解为基本事件，然后用互斥事件的概率加法公式求解． [举一反三]甲盒子中有编号分别为1,2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3,4,5,6的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为________.38[分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，可能出现以下情况：(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、共8种情况，其中编号之和大于6的有：1＋6＝7,2＋5＝7,2＋6＝8，共3种情况， ∴取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为38.]【例2】 160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________． [解析] ∵学校共有师生3 200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本， ∴每个个体被抽到的概率是1603 200＝120， ∴10总体中的教师数＝120，∴学校的教师人数为10×20＝200. [答案] 200 [规律方法](1)当总体中的个体数较多，并且没有明显的层次差异时，可用系统抽样的方法，把总体分成均衡的几部分，按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本．(2)在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，这时可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．[举一反三]某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1 200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1∶2∶4∶5，现要用分层抽样的方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为________．10[由题设乙类产品抽取的件数为21＋2＋4＋5×60＝10.]【例3】(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如下图8－3所示)，则分数在[70,80)内的人数是________．图8－3[解析]由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，所有小长方形面积和为1，因此分数在[70,80)内的概率为1－(0.025＋0.015×2＋0.010＋0.005)×10＝0.3，人数为0.3×100＝30.[答案] 30[规律方法] (1)利用频率分布直方图估计样本的数字特征①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．②平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．③众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．[举一反三]如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为________．345 [根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为x 1＝15×(7＋7＋9＋14＋18)＝11， 乙的平均数为x 2＝15×(8＋9＋10＋13＋15)＝11；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定(方差较小)， 计算乙成绩的方差为：s 2＝15×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝345.]【例4】图8－5[解析] 当n ＝1，a ＝1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a ＝5，n ＝3； 满足进行循环的条件，执行循环后，a ＝17，n ＝5； 不满足进行循环的条件，退出循环， 故输出n 值为5. [答案] 5[规律方法] 此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节． 识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．[举一反三]如图是一个算法流程图，则输出的x的值是________．9[第一次循环：x＝5，y＝7，第二次循环：x＝9，y＝5，结束循环，输出x＝9.]【例5】[解析]模拟执行程序，可得S＝1，I＝1，满足条件I≤8，S＝2，I＝3；满足条件I≤8，S＝5，I＝5；满足条件I≤8，S＝10，I＝7；满足条件I≤8，S＝17，I＝9；不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17.[答案] 17[规律方法] 读懂伪代码的关键是正确理解五种语句的功能及执行过程，特别是循环结构中的条件．注意“While”语句与“For”语句的区别．[举一反三]执行如下所示的伪代码，若输出的y 值为1，则输入x 的值为________．－1 [由程序语句知：算法的功能是求f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥02－x 2，x ＜0的值，当x ≥0时，y ＝2x ＋1＝1，解得x ＝－1，不合题意，舍去；当x ＜0时，y ＝2－x 2＝1，解得x ＝±1，应取x ＝－1； 综上，x 的值为－1.]【例6】按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是________．[解析] 由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n 项为6n ＋2. [答案] 6n ＋2[规律方法] 归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，所得的结论未必是正确的，但是对于数学家的发现、科学家的发明，归纳推理却是十分有用的，通过观察、实验对有限的资料作出归纳整理，提出带有规律性的猜想. 归纳推理也是数学研究的独特方法之一． [举一反三]一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”． 记集合 {1,2,3，…，3n }的子集中所有“好集”的个数为f (n )． (1)求f (1)，f (2)的值； (2)求f (n )的表达式．[解] (1)当n ＝1时，集合{1,2,3}的子集中“好集”有{3}，{1,2}，{1,2,3}，共3个，∴易得f (1)＝3；当n ＝2时，集合{1,2,3,4,5,6}的子集中是“好集”的有：单元集：{3}，{6}共2个，双元集：{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4,5}共5个，五元集有{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集．故f (2)＝1＋(2＋5)×2＋8＝23. (2)首先考虑f (n ＋1)与f (n )的关系．集合{1,2,3，…，3n,3n ＋1,3n ＋2,3n ＋3}在集合{1,2,3，…，3n }中加入3个元素3n ＋1,3n ＋2,3n ＋3.故f (n ＋1)的组成有以下几部分：①原有的f (n )个集合；②含有元素3n ＋1的“好集”是{1,2,3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n ＋2的“好集”是{1,2,3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n ＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n；③含有元素是3n ＋1与3n ＋2的“好集”是{1,2,3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n ＋2与3n ＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n ＋1与3n ＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n；④含有元素是3n ＋1,3n ＋2,3n ＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n }中“好集”与它的并集，再加上{3n ＋1,3n ＋2,3n ＋3}． 所以，f (n ＋1)＝2 f (n )＋2×23n＋1. 两边同除以2n ＋1，得f n ＋2n ＋1－f n2n＝4n＋12n ＋1，所以f n2n＝4n －1＋4n －2＋…＋4＋12n ＋12n －1＋…＋122＋32＝4n－13＋1－12n ，即f (n )＝2nn－3＋2n－1.【例7】 AB 2＋AC 2＝BC 2”．拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A －BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两相互垂直，则______________________________．[解析] 根据平面几何与空间几何中相应量的类比特点，将三棱锥A －BCD 的三个两两相互垂直的侧面ABC 、ACD 、ABD 类比为平面几何中直角△ABC 的直角边AB 、AC ，将三棱锥A －BCD 的底面BCD 类比为直角△ABC 的斜边BC ，在勾股定理中，用相应的三棱锥的面积替换直角三角形的边长得S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD . [答案] S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD[规律方法] 类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除．在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换． [举一反三]对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则⎪⎪⎪⎪OB →·OA →＋⎪⎪⎪⎪OA →·OB →＝0；将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________.V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 [根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体体积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若O 是四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0.]【例8】 n n (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？ [证明] (1)假设数列{S n }是等比数列， 则S 22＝S 1S 3；即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3， 即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列．[规律方法] 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的． 用反证法证明数学命题的答题模板： 第一步：分清命题“p →q ”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q 相矛盾的假定﹁q ；第三步：由p 和﹁q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设﹁q 不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题． [举一反三]直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形． [解] (1)因为四边形OABC 为菱形， 所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1， 即t ＝± 3. 所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0. 设AC 的方程为y ＝kx ＋m ，k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0， 所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直， 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形.【例9】 若复数z 满足z ＋2z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为________．[解析] 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，由z ＋2z ＝3＋2i ，得3a －b i ＝3＋2i ，∴a ＝1，b ＝－2， ∴|z |＝12＋－2＝ 5.[答案]5[规律方法] 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法． 对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，实部为a ，虚部为b .(1)复数的概念：①z 为实数⇔b ＝0；②z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0；③z 为虚数⇔b ≠0.(2)复数的几何意义：①z ＝a ＋b i ⇔z 在复平面内对应的点Z (a ，b )⇔z 在复平面对应向量OZ →＝(a ，b )；②复数z 的模|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.(3)共轭复数：复数z ＝a ＋b i 与z ＝a －b i 互为共轭复数． [举一反三]已知i 是虚数单位，复数z 1＝3＋y i(y ∈R )，z 2＝2－i ，且z 1z 2＝1＋i ，则y ＝________. 1 [∵复数z 1＝3＋y i(y ∈R )，z 2＝2－i ，且z 1z 2＝1＋i ， ∴3＋y i2－i＝1＋i ，化为：3＋y i ＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ，∴y ＝1.] [第3步▕ 高考易错明辨析]1．忽视判别式Δ适用的前提例、求实数m 的取值范围，使方程x 2＋(m ＋4i)x ＋(1＋2m i)＝0至少有一个实根． [错解] 由于方程x 2＋(m ＋4i)x ＋(1＋2m i)＝0至少有一根，则Δ＝(m ＋4i)2－4(1＋2m i)＝m 2－20≥0，解得m ≤－25或m ≥25，故实数m 的取值范围是(]－∞，－25∪[)25，＋∞.[错解分析] 忽略了Δ≥0判断一元二次方程使用的情形，利用Δ的符号来判断一元二次方程是否存在实根的前提是实系数一元二次方程．[正解] 设x 2＋(m ＋4i)x ＋(1＋2m i)＝0的一个实数根为a (a ∈R )，则a 2＋(m ＋4i)a ＋(1＋2m i)＝0，即(a 2＋am ＋1)＋(4a ＋2m )i ＝0，根据复数相等得，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋ma ＋1＝0，4a ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，a ＝1，故m ＝±2.2．忽视对循环结构的合理分析例、如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S ＝________.[错解] S ＝1＋2＋3＋…＋100＝5 050.[错解分析] 缺乏对循环结构的合理分析，没有注意到循环结构中变量S 的计算公式S ＝S ＋2k ，没有注意到每次加上的2k 为偶数，从而对算法程序框图的理解错误，导致运算错误． [正解] 由程序框图可知，算法表示的是计算100以内所有正偶数的和，即S ＝2＋4＋6＋…＋100＝2 550.———————专家预测·巩固提升———————1．(改编题)高三年级有男生480人，女生360人，若用分层抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为21的样本，则抽取男生的人数为________．12 [设抽取男运动员人数为n ，则n 480＝21480＋360，解之得n ＝12.]2．(原创题)已知函数f (x )＝cosa πx3，a 为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f (x )在[0,4]上零点的个数大于或等于5的概率为________．23[由已知函数f (x )在[0,4]上零点的个数大于或等于5等价于函数f (x )的周期小于或等于2，即2πa π3≤2，∴a ≥3，∴a ＝3,4,5,6，而所有的a 值共6个，故所求的概率为P ＝23.]3．(原创题) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各六名同学在某次考试中的数学成绩(百分制)．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，但是知道甲组的中位数小于乙组的中位数，若图中的模糊数字用a 表示，则a 的值为________．8或9 [由已知可得74＋812＜70＋a ＋782，a ＝8或a ＝9.]4．(原创题)在复数集C 上定义运算“”：当|z 1|≥|z 2|时，z 1z 2＝z 1z 2；当|z 1|<|z 2|时，z 1z 2＝z 1z 2，若z 1＝1＋3i ，z 2＝1＋i ，z 3＝3－i ，则复数(z 1z 2)z 3在复平面内所对应的点位于第________象限.一 [∵z 1＝1＋3i ，z 2＝1＋i ，则|z 1|＝10，|z 2|＝2，所以z 1z 2＝z 1z 2＝1＋3i 1＋i＝＋－＋－＝4＋2i2＝2＋i ，且|z 1z 2|＝5，|z 3|＝|3－i|＝10，因此(z 1z 2)z 3＝(2＋i)·(3－i)＝7＋i ，所对应的点的坐标为(7,1)，故复数(z 1z 2)z 3在复平面内所对应的点位于第一象限．]5．(原创题)执行如图所示的算法程序框图，若输出的y 值满足y ≤12，则输入的x 值的取值范围是________．(－∞，－1]∪(0，2] [由算法框图可知对应的函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0.当x ≤0时，y ＝2x ，令y ≤12，即2x ≤12，解得x ≤－1，当x ＞0时，y ＝log 2x ，令y ≤12，即log 2x ≤12，解得0＜x ≤ 2.综上所述，输入的x 值的取值范围是(－∞，－1]∪(0，2]．]强化训练：1．已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．10 [法一：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， ∴|z |＝－2＋32＝10.法二：|z |＝|1＋i||1＋2i| ＝2×5＝10.]2．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．18 [∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350，∴应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)．]3．如图是一个算法流程图．若输入x 的值为116，则输出y 的值是________．－2 [输入x ＝116，116≥1不成立，执行y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.故输出y 的值为－2.]4．记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．59[由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5， ∴P ＝59.]5．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．0.1 [这组数据的平均数为15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，∴S 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.] 6．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．5 [z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，故z 的实部是5.] 7．如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是________.9 [第一次循环：a ＝5，b ＝7，第二次循环：a ＝9，b ＝5，此时a >b 循环结束a ＝9.] 8．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．56 [点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为3036＝56.] [命题规律](1)随机事件的概率、复数、算法程序框图、推理证明在高考中多以填空题的形式考查，并且常与统计知识放在一块考查；(2)借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主；(3)考查以样本的分布估计总体的分布(以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数)．。

(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·新课标)复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35i B.35iC ．－iD ．i解析：2＋i1－2i ＝－2i ＋1－2i＝i ，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.答案：C2．(2011·山西晋中模拟)某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4∶6，根据分层抽样方法，调查了该地区1 000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为( )A ．1.6万户B ．4.4万户C ．1.76万户D ．0.24万户解析：由分层抽样按比例抽取可得1601 000×100 000＝16 000.答案：A3．[理](2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12 B.35 C.23D.34解析：甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率是12，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为12×12＝14，故甲队获得冠军的概率为14＋12＝34.答案：D[文]从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15解析：假设正六边形的6个顶点分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形的有3种结果，故所求概率为15.答案：D4．(2011·四川高考)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5)9[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5)3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：由已知，样本容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率为2266＝13.答案：B5．[理]某地一农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验．已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗(发芽，又成长为幼苗)”为事件AB ，“这粒水稻种子能成长为幼苗”为事件B |A ，由P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率计算公式P (AB )＝P (B |A )P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：D(文)(2011·北京西区城模拟)右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.25B.710C.45D.910解析：记其中被污损的数字为x.依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝15(442＋x)．令90>15(442＋x)，由此解得x<8，即x 的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.答案：C6．(2011·杭州模拟)设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 解析：x 甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617，x 乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613，∴x 甲与0.618更接近． 答案：A7．(2011·湖南高考)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由框图可知：P ＝1，S ＝1→P ＝2，S ＝32→P ＝3，S ＝116→P ＝4，S ＝2512，循环终止．输出P ＝4.答案：C8．[理](2011·杭州模拟)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712)B ．(712，1)C ．(0，12)D ．(12，1)解析：发球次数X 的分布列如下表，所以期望E (X )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2>1.75， 解得p >52(舍去)或p <12，又p >0.答案：C[文](2011·合肥模拟)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是( )29 1 3A.x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B.x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C.x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛解析：由茎叶图可知，甲的成绩分别为72,78,79,85,86,92，乙的成绩分别为78,86,88,88,91,93，x 甲＝82，x 乙≈87，∴x 甲<x 乙，又经计算得s 2甲>s 2乙，所以乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛．答案：D9．(2011·江西高考)若(x －i)i ＝y ＋2i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( ) A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i解析：由题意得，x i ＋1＝y ＋2i ，故x ＝2，y ＝1， 即x ＋y i ＝2＋i. 答案：B10．(2011·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．－3B ．－12C.13D ．2解析：因为该程序框图执行4次后结束，每次s 的值分别是13，－12，－3,2，所以输出的s 的值等于2.答案：D二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分．请把正确答案填在题中横线上)11．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧35，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7911，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂数”中有一个数是59，则m 的值为 .解析：依题意得这些数的立方中的分解数依次是3,5,7,9，…，且相应的加数的个数与对应的底数相同，易知从2到n 的正整数的立方共用去数列{2n ＋1}中的n n ＋2－1项，数列{2n ＋1}(n ∈N *)中的第n n ＋2项是n (n ＋1)＋1.注意到7×8＋1<59<8×9＋1，因此m ＝8.答案：812．[理](2011·杭州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝ .解析：∵ξ～N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84， ∴P (ξ≤－2)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ≤4)＝0.16. 答案：0.16[文]从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 .解析：从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．符合一个数是另一个数的两倍的基本事件有{1,2}，{2,4}共2个，所以所求事件的概率为13.答案：1313．(2011·南京模拟)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.解析：注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2.答案：(－1)n ＋1n 2＋n214．[理](2011·皖南八校)有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．(用数字作答)解析：记这两项课外活动分别为A ，B ，依题意知，满足题意的安排方法共有三类：第一类，实际参加A ，B 两项活动的人数分别是4,2，则相应的安排方法有C 46＝15种；第二类，实际参加A ，B 两项活动的人数分别是3,3，则相应的安排方法有C 36＝20种；第三类，实际参加A ，B 两项活动的人数分别是2,4，则相应的安排方法有C 26＝15种．因此，满足题意的安排方法共有15＋20＋15＝50种．答案：50[文](2011·杭州模拟)如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是________．解析：甲比赛得分的中位数为28，乙比赛得分的中位数为36，所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和为28＋36＝64.答案：6415．[理](2011·山东高考)若(x －a x2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．解析：二项式(x －a x2)6展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x 6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4. 答案：4[文](2011·广州模拟)某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样本，若高收入家庭抽取了25户，则低收入家庭被抽取的户数为________．解析：设低收入家庭被抽取的户数为x ，由每个家庭被抽取的概率相等得25125＝x95，解得x ＝19.答案：1916.某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是________．解析：净重小于100克的频率是(0.050＋0.100)×2＝0.3，故这批产品的个数x 满足36x＝0.3，即x ＝120，净重大于或等于98克且小于104克的频率是(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，故所求产品的个数是120×0.75＝90.答案：9017．(本小题满分12分) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，__________，T 16T 12成等比数列． 解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项的积为T n ，则T 4＝b 1b 2b 3b 4，T 8＝b 1b 2…b 8，T 12＝b 1b 2…b 12，T 16＝b 1b 2…b 16，因此T 8T 4＝b 5b 6b 7b 8，T 12T 8＝b 9b 10b 11b 12，T 16T 12＝b 13b 14b 15b 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 8三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分14分)(2011·广东高考)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分， 用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s ；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解：(1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90. 这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种．所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.19．(本小题满分14分)[理](2011·湖北郧西模拟)设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记使得“m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件． (2)记ξ＝m 2，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)． 解：(1)由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}，由于整数m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16，故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.[文](2011·浙江五校联考)某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往H .(1)列出此人从小区A 到H 的所有最短路径(自A 至H 依次用所经过的小区的字母表示)；(2)求他经过市中心O 的概率．解：(1)此人从小区A 前往H 的所有最短路径为：A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H 共6条．(2)记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H 共4个，∴P (M )＝46＝23，即他经过市中心O 的概率为23.20．(本小题满分14分)[理](2011·绍兴模拟)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.(1)写出ξ的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E (ξ)，E (η)；(2)求D (ξ)，D (η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？ 解：(1)ξ的概率分布列为所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意，η～B (3，23)，E (η)＝3×23＝2.或者，P (η＝0)＝C 03(13)3＝127；P (η＝1)＝C 13(23)1(13)2＝29；P (η＝2)＝C 23(23)2(13)＝49；P (η＝3)＝C 33(23)3＝827. 所以，E (η)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.(2)D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，由η～B (3，23)，D (η)＝3×23×13＝23.可见，E (ξ)＝E (η)，D (ξ)<D (η)， 因此，建议该单位派甲参加竞赛．[文](2011·安徽河历中学)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a 、b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率． 解：(1)基本事件(a ，b )共有36个， 方程有正根等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0， 即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16.设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19；(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16. 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.21．(本小题满分15分)[理](2011·海宁模拟)甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题．(1)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；(2)若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)甲运动员击中10环的概率是：1－0.1－0.1－0.45＝0.35.设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，则P(A)＝0.35＋0.45＝0.8.事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：恰有1次击中9环以上，概率为P1＝C13×0.8×(1－0.8)2＝0.096，恰有2次击中9环以上，概率为P2＝C23×0.82×(1－0.8)1＝0.384，恰有3次击中9环以上，概率为P3＝C33×0.83×(1－0.8)0＝0.512，因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率为0.992.(2)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B，则P(B)＝1－0.1－0.15＝0.75.因为ξ表示2次射击击中9环以上(含9环)的次数，所以ξ的可能取值是0,1,2，因为P(ξ＝2)＝0.8×0.75＝0.6；P(ξ＝1)＝0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＝0.35，P(ξ＝0)＝(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05，所以ξ的分布列是所以E(ξ)＝0×0.05＋1×0.35＋2×0.6＝1.55.[文]一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分．小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表：现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析． (1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率． 解：(1)得60分的人数40×10%＝4.设抽取x 张选择题得60分的试卷，则4020＝4x ，∴x ＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．(2)设小张的试卷为a 1，另三名得60分的同学的试卷为a 2，a 3，a 4，所有抽取60分试卷的方法为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 3，a 4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，∴小张的试卷被抽到的概率为P ＝36＝12.22．(本小题满分15分)[理](2011·福建高考)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)＝6，求a ，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比” ＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性． 解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3P (X 2＝3)＋4P (X 2＝4)＋5P (X 2＝5)＋6P (X 2＝6)＋7P (X 2＝7)＋8P (X 2＝8)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2. 据此，乙厂的产品更具可购买性．[文](2011·嘉兴模拟)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类、B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．(1)分别求甲、乙两工人被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人； (2)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1：表2：①先确定x 、y ，再完成下列频率分布直方图．②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)甲、乙被抽到的概率均为110.(2)①由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名．故4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5，6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. 频率分布直方图如下：②x A＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123，x B＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8，x＝25100×123＋75100×133.8＝131.1.A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.。

算法、证明、推理、复数知识点汇总知识点一算法初步（一）、算法的定义算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确的和有限的步骤．（二）、程序框图1．程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．程序框图通常由程序框和流程线组成．3．基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框．知识点二推理与证明（一）、归纳推理1．根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．（二）、类比推理1．由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性：a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)（三）、归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．（四）、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.（五）、直接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．1．反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．2．用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．知识点三 复数（一）、复数的有关概念（二）、复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 1．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).2．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ →.（三）、复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0).。