2021届高考数学一轮复习《算法初步、推理与证明、复数》测试卷及答案解析

第三节算法初步［最新考纲］［考情分析]［核心素养］1.了解算法的含义，了解算法的思想。

2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.3。

理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。

依据程序框图直接得出结论，填写部分内容以及程序框图与其他知识交汇是2021年高考考查的热点，题型为选择题或填空题，分值为5分.1.逻辑推理2。

数学运算‖知识梳理‖1．算法(1）算法通常是指按照错误!一定规则解决某一类问题的错误!明确和错误!有限的步骤．（2）应用：算法通常可以编成计算机错误!程序，让计算机执行并解决问题．2．程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用5程序框、流程线及6文字说明来表示算法的图形．3．三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个错误!依次执行的步骤组成,这是任何一个算法都离不开的错误!基本结构算法的流程根据9条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件错误!反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为错误!循环体程序框图‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”)．(1)算法的每一步都有确定的意义,且可以无限地运算．()（2）一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构和循环结构．(）（3）一个循环结构一定包含条件结构．（)(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．（)答案:（1）×(2)×（3)√(4)×二、走进教材2．（必修3P25例5改编）给出如图程序框图,其功能是(）A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b｜的值D．以上都不对答案:C3．(必修3P33B3改编)执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4,则输入的x应为（)A．－2 B．16C．－2或8 D．－2或16答案：D三、易错自纠4．如图给出的是计算错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(）A．i<50? B．i>50？C．i〈25？D．i>25?解析：选B因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1,间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件,所以判断框内的条件可以填入i>50？故选B．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于（)A．－3 B．－10C．0 D．－2解析：选A第一次循环：k＝0＋1＝1,满足k<4，s＝2×1－1＝1；第二次循环：k＝1＋1＝2，满足k<4,s＝2×1－2＝0;第三次循环：k＝2＋1＝3,满足k<4，s＝2×0－3＝－3;第四次循环：k ＝3＋1＝4,不满足k<4,故输出的s＝－3.故选A．错误!｜题组突破|1．(2019年全国卷Ⅲ）执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0。

第3讲合情推理与演绎推理课时作业1．(2019·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．故选C.2．(2019·武汉高三调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．甲B．乙C．丙D．丁答案 B解析由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．3．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n个等式结果为( )A．(2n)2B．(2n＋1)2C．(2n－1)2D．(n－1)2答案 C解析由题中的数字规律很容易得出第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．(2019·广东茂名五校联盟第一次联考)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91.参照上述方法，可求得500的所有正约数之和为( )A ．988B ．1032C ．1092D ．1182答案 C解析 类比36的所有正约数之和的求法，可知500的所有正约数之和可按如下方法得到：因为500＝22×53，所以500的所有正约数之和为(1＋2＋22)(1＋5＋52＋53)＝1092.5．(2019·湖南省三湘名校第二次联考)2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想，在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π(x )≈xln x的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.43429，计算结果取整数)( )A ．1089B ．1086C ．434D ．145答案 B解析 由题意，得π(10000)≈10000ln 10000＝2500ln 10，由对数的性质可得ln 10＝1lg e，即π(10000)≈1085.725≈1086.故选B.6．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x ＝x 求得x ＝5＋12.类比上述过程，则 3＋23＋2…＝( ) A ．3 B ．13＋12C ．6D ．2 2答案 A解析 令 3＋23＋2…＝x (x >0)，两边平方，得3＋23＋2…＝x 2，即3＋2x ＝x 2，解得x ＝3，x ＝－1(舍去)，故 3＋23＋2…＝3，选A.7．(2020·惠州调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下．依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )卦名 符号 表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽0113A C ．36 D ．35答案 B解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.8．(2019·西宁模拟)将自然数0,1,2，…，按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2020到2022的箭头方向是( )答案 A解析 从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2020＝4×505，所以2020→2021也是箭头垂直指下，之后2021→2022的箭头是水平向右．故选A.9．(2019·陕西咸阳模拟)如图所示的数阵中，若A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (15,2)为( )A ．2942B ．710C ．1724D ．73102答案 C解析 由数阵知A (3,2)＝16＋16＝16＋23×4，A (4,2)＝16＋16＋110＝16＋23×4＋24×5，A (5,2)＝16＋16＋110＋115＝16＋23×4＋24×5＋25×6，…，则A (15,2)＝16＋23×4＋24×5＋25×6＋…＋215×16＝16＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋14－15＋…＋115－116＝16＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－116＝16＋2×1348＝1724，选项C 正确．10．老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n ，则n ＝( )A ．7B ．8C ．11D ．15答案 C解析 由题意，得图中甲柱最上面的两个盘子是一样大小的，所以比操作三个盘子的次数(23－1) 要多，比操作四个盘子的次数(24－1)要少，相当于操作三个盘子的时候，最上面的那个挪动了几次，就会增加几次，故选C.11．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是( )A ．332B ．33C ．13D ．23答案 A解析 由题意，知凸函数满足f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .因为y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，所以sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sinA ＋B ＋C3＝3sin π3＝332.故选A.12．(2019·南宁模拟)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作…，根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作( )A ．31次B ．32次C ．33次D ．34次答案 C解析 由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个，…，由此可得第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时，解得n ＝33.故共需要操作33次．13．若△ABC 内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，类比空间中，若四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积为________．答案 13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，即V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)．14．(2019·黄冈市一模)自2019年来某市各重点高中开展了形式多样的各种选课走班活动，记者调查了该市某高中甲、乙、丙三位同学，在被问到是否参加过黄梅戏、黄梅挑花、岳家拳这三个特长班时，甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；乙说：我没有参加过黄梅挑花；丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，由此判断乙参加过的特长班为________．答案 黄梅戏解析 甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳，可知甲参加过黄梅戏或黄梅挑花．由乙说：我没有参加过黄梅挑花，可知乙参加过黄梅戏或岳家拳．由丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，可知乙参加过黄梅戏特长班．又因为甲参加过的特长班比乙多，所以乙只参加过一个特长班．即乙只参加过黄梅戏特长班． 故答案为黄梅戏．15．“解方程⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＝1”有如下思路：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，故原方程有唯一解x ＝2.类比上述思路，不等式x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2的解集是________．答案 {x |x >2或x <－1}解析 不等式化为x 6＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)，设g (x )＝x 3＋x ，则g (x )在R 上单调递增，所以不等式即g (x 2)>g (x ＋2)，所以x 2>x ＋2，解得x >2或x <－1.16．(2019·甘肃、青海、宁夏联考)数列{a n }为1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4，…，首先给出a 1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a 2＝1，a 3＝2，然后再复制前面所有的项1,1,2，再添加2的后继数3，于是a 4＝1，a 5＝1，a 6＝2，a 7＝3，接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3，再添加4，…，如此继续，则a 2019＝________.答案 1解析 由数列{a n }的构造方法，得a 1＝1，a 3＝2，a 7＝3，a 15＝4，可得a 2n －1＝n ，即a 2n －1＋k＝a k (1≤k ≤2n－1)，故a 2019＝a 996＝a 485＝a 230＝a 103＝a 40＝a 9＝a 2＝1.17．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图甲、乙、丙、丁是她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，求f (n )的表达式．解 根据前面四个发现规律：f (2)－f (1)＝4×1，f (3)－f (2)＝4×2， f (4)－f (3)＝4×3，…f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，这n －1个式子相加可得： f (n )＝2n 2－2n ＋1.18．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 证明 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B >π2，∴A >π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 19．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2.在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图，由三角形相似得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝DC ·BC ，故1AB2＋1AC2＝1BD ·BC ＋1DC ·BC ＝DC ＋BD BD ·DC ·BC ＝1BD ·DC ＝1AD2. 在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H . 则1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.证明：连接BH 并延长交CD 于E ，连接AE . ∵AB ，AC ，AD 两两垂直，∴AB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AE ，在Rt △ABE 中， 1AH2＝1AB2＋1AE 2，①又易证CD ⊥AE ， 故在Rt △ACD 中， 1AE2＝1AC2＋1AD 2，②把②式代入①式，得1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.20．(2020·云南曲靖监测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 21°＋cos 229°－sin1°cos29°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 211°＋cos 219°－sin11°cos19°； ④sin 2(－12)°＋cos 242°－sin(－12)°cos42°； ⑤sin 2(－40)°＋cos 270°－sin(－40)°cos70°. (1)从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果把该同学的发现推广为一个三角恒等式； (3)证明这个结论．解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)由上述5个式子的结构特征可知，三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.(3)证法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 证法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos230°－α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－cos2α2＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.。

第15单元 算法、推理证明与复数（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复平面内，复数3z =-i(i 为虚数单位)，则复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】∵(3)133(3)(3)z ⋅+-+===-+⋅-i i i i ii i ，∴13z --=i，故选C ． 2．某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】由题意得，这种树的从第一年的分枝数分别是1，1，2，3，5，L ， 则112+=，213+=，325+=，即从第三项起每一项都等于前两项的和， 所以第6年树的分枝数是853=+，故选D ．3．定义x x f sin )(0=，()()10cos f x f x x '==，()()1n n f x f x +'=，则=)(2017x f （ ） A ．x sin B ．x cos C ．x sin - D ．x cos -【答案】B【解析】()()10cos f x f x x '==，x x x f x f sin )(cos )()(''12-===，'3()(sin )cos f x x x =-=-，'40()(cos )sin ()f x x x f x =-==，'51()(sin )cos ()f x x x f x ===，同理)()(26x f x f =，)()(37x f x f =，)()(48x f x f =，周期为4， ∴20171()()cos f x f x x ==，故选B ．4．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由所给图形的规律看出，空心的矩形、三角形、圆形都是一个，实心的图形应均为两个，∴空白处应填实心的矩形，故选A ． 5．已知复数512z =+i，则复数z z -2的虚部为（ ） A ．-i B ．1-C ．2-iD ．2-【答案】D 【解析】55(12)5(12)1212(12)(12)5z --====-++⋅-i i i i i i ， ∴22(12)(12)42z z -=---=--i i i ，∴复数z z -2的虚部为2-，故选D ．6．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则(32)4⊗⊗的值是（ ）A ．0B ．12C ．32D ．9【答案】C【解析】根据程序框图知221323=+=⊗，∴413(32)42422-⊗⊗=⊗==，故选C ．7．关于复数()211z +=-i i，下列说法中正确的是（ ）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数1z =-iC ．若复数()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =D ．设a ，b 为复数z 的实部和虚部，则点(),a b 在以原点为圆心，半径为1的圆上 【答案】C【解析】由题意可知()212111z +===-+--i ii ii，若()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =， 故选C ．8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．21 B ．1-C ．2D ．1【答案】B【解析】设每次循环所得到的a 的值构成数列{}n a ， 由框图可111n n a a +=-，02a =，112a =，21a =-，32a =，412a =，…， 所以{a n }的取值具有周期性，且周期为T ＝3． 又由框图可知输出的122012-===a a a ，故选B ． 9．已知222433+=⨯，333988+=⨯，444161515+=⨯，……，观察以上等式，若999k m n+=⨯(m ，n ，k 均为实数)，则m n k +-=（ ） A ．76 B ．77 C ．78 D ．79【答案】D【解析】观察以上等式，类比出等式2(1)(1)(1)(1)x xx x x x x x +=⨯-+-+，当9x =时，可得999818080+=⨯，所以80m =，80n =，81k =， 所以80808179m n k +-=+-=．故选D ． 10．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C 【解析】当111119(1)1335171921919S =+++=-=⨯⨯⨯L 时，10=k ， 若199>S ，则输出的k 值是11，故选C ． 11．网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字1出现在第一行;数字2，3出现在第二行;数字6，5，4(从左至右)出现在第三行;数字7，8，9，10出现在第四行;以此类推，则按网络运作顺序第63行从左到右的第2个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…，)是（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017【答案】B【解析】网络蛇形图中每一行的第一个数1，2，4，7，11，L ，按原来的顺序构成数列{}n a ，易知n a a n n =-+1，且11=a ，∴22132121()()()1123(1)2n n n n n a a a a a a a n --+=+-+-++-=+++++-=L L ．∴第63行的第一个数字为19542263632=+-， 而偶数行的顺序为从左到右，奇数行的顺序为从右到左， ∴第63行从左到右的第2个数字就是从右到左的第62个数字， 这个数为2015611954=+．故选B ．12．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()n a n *∈N 的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则=++201720162015a a a （ ）A ．1008B ．1009C ．2017D ．2018【答案】B【解析】观察点的坐标，写出数列{}n a 的前12项：1，1，1-，2，2，3，2-，4，3，5，3-，6． 可提炼出规律，偶数项的值等于其序号的一半，奇数项的值有正负之分， 且n a n =-34，n a n -=-14，n a n =2，∴505350542017==-⨯a a ，504150442015-==-⨯a a ，10082016=a ， ∴2015201620171009a a a ++=，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若复数z 与2(2)4z -+i 都是纯虚数，则=-+22z z ________． 【答案】i 或-i【解析】由已知可设(),0z b b b =∈≠R i ，则222(2)4(2)44(44)z b b b -+=-+=-+-i i i i ，∴240440b b ⎧-=⎨-≠⎩，∴2b =±，∴2z =-i 或2z =i ，∴当2z =-i 时，2221(1)(1)22221(1)(1)2z z +--+-+⋅-=====---++⋅-i i i i ii i i i i ； 当2z =i 时，()()()222222222z z ++=====---+⋅-i+1i i+1i i i i-1i+1i-1． 14．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是______．【答案】5【解析】5=n ，16=n ，1=k ；8=n ，2=k ；4=n ，3=k ；2=n ，4=k ；1=n ，5=k ，输出5．15．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示的()()()()1234为刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是有相同的小正方形构成，小正方形越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含)(n f 个小正方形，则)(n f 的表达式为 ．【答案】1222+-n n【解析】我们考虑，4)1()2(=-f f ，42)2()3(⨯=-f f ，43)3()4(⨯=-f f ，…， 归纳得出)1(4)()1(-⨯=-+n n f n f ，∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =++-+-++--L21424344(1)14[123(1)]221n n n n =++⨯+⨯++-=+++++-=-+L L ．16．在计算“)1(3221-++⨯+⨯n n Λ”时，某位数学教师采用了以下方法： 构造等式：)]1()1()2)(1([31)1(+--++=+k k k k k k k k ，以此类推得： )210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯，)321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯，)432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯，…，…，)]1()1()2)(1([31)1(+--++=-⨯n n n n n n n n ，相加得11223(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯++-=++L ．类比上述计算方法，可以得到=+++⨯+⨯)2(4231n n Λ ． 【答案】)72)(1(61++n n n 【解析】构造等式：)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+n n n n n n n n ， ∴]31)1(531[6131⨯⨯--⨯⨯=⨯，)420642(6142⨯⨯-⨯⨯=⨯，)531753(6153⨯⨯-⨯⨯=⨯，……，)]1)(1)(3()3)(1)(1[(61)1()1(+---++-=+⨯-n n n n n n n n ，)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+⨯n n n n n n n n ，相加得11324(2)[(1)13024(1)(1)(3)(2)(4)]6n n n n n n n n ⨯+⨯+++=--⨯⨯-⨯⨯+-+++++L)72)(1(61++=n n n ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设复数1z =+i ，若实数a ，b 满足2)2(2z a z b az +=+，其中z 为z 的共轭复数．求实数a ，b 的值．【答案】42ab=-⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=-⎩．【解析】由1z=+i，可知iz-=1，代入2)2(2zaz baz+=+得2(1)2(1)[2(1)]a b a++-=++i i i，即22(2)(2)44(2)a b a b a a++-=+-++i i，∴22(2)424(2)a b aa b a⎧+=+-⎨-=+⎩，解得42ab=-⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=-⎩．18．（12分）如图，已知单位圆221x y+=与x轴正半轴交于点P，当圆上一动点Q从P出发沿逆时针旋转一周回到P点后停止运动．设OQ扫过的扇形对应的圆心角为xrad，当02x<<π时，设圆心O到直线PQ的距离为y，y与x的函数关系式()y f x=是如图所示的程序框图中的①②两个关系式．（1）写出程序框图中①②处的函数关系式；（2）若输出的y值为12，求点Q的坐标．【答案】（1）①②的式子分别为cos2xy=，cos2xy=-；（2）当0x<≤π时，此时点Q的坐标为132⎛-⎝⎭，；当2xπ<<π时，此时点Q的坐标为132⎛-⎝⎭，．【解析】（1）当0x<≤π时，cos2xy=；当2xπ<<π时，cos cos22x xy⎛⎫=π-=-⎪⎝⎭；综上可知，函数解析式为()(]()cos,0,2cos,,22xxf xxx⎧∈π⎪⎪=⎨⎪-∈ππ⎪⎩，所以框图中①②处应填充的式子分别为cos2xy=，cos2xy=-．（2）若输出的y 值为12，则0x <≤π时，1cos 22x =，得23x π=，此时点Q 的坐标为12⎛- ⎝⎭；当2x π<<π时，1cos 22x -=，得43x π=，此时点Q 的坐标为12⎛- ⎝⎭，．19．（12分）已知函数)()0,1f x a a =>≠且．（1）证明：函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；（2）求(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)f f f f f f f -+-++-+++++L L ． 【答案】（1）见解析；（2）2015-． 【解析】（1）函数aa a x f x+-=)(的定义域为R ，在函数)(x f 的图象上任取一点),(00y x ，它关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点为)1,1(00y x ---．则aa a x f y x +-==0)(00，∴00(1)1f x y -====--，∴函数)(x f 图象上任意一点),(00y x 关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点)1,1(00y x ---仍在函数)(x f y =的图象上．即函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．（2）由（1）得1)1()(00-=-+x f x f ，∴1)2015()2014(-=+-f f ；1)2014()2013(-=+-f f ；1)2013()2012(-=+-f f ；……；1)2()1(-=+-f f ；1)1()0(-=+f f ．∴(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)2015f f f f f f f -+-++-+++++=-L L ． 20．（12分）已知数列{}n a 满足:211=a ，111)1(21)1(3++-+=-+n n n n a a a a ，()101n n a a n +<≥，数列{}nb 满足：()2211n n n b a a n +=-≥．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．【答案】（1）1132(1)143n n n a --⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭，11243n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）见解析．【解析】（1）由题意可知，)1(321221n n a a -=-+，令21nn a c -=，则2111++-=n n a c ，n n c c 321=+． 又431211=-=a c ，则数列{}n c 是首项为431=c ，公比为32的等比数列，即13243n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1232143n na -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，∴1232143n na -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭．又0211>=a ，01<+n n a a ，故1132(1)143n n n a --⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭，1122132321211434343n n n n n nb a a --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（2）反证法：假设数列{}n b 存在三项r b ，s b ，t b ()r s t <<按某种顺序成等差数列， 由于数列{}n b 是首项为41，公比为32的等比数列，于是有r s t b b b >>， 则只能有t r s b b b +=2成立．∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两边同乘以r t --1123，化简得s t r s r t r t ----⋅=+32223． 由于t s r <<，∴上式左边为奇数，右边为偶数， 故上式不可能成立，导致矛盾．21．（12分）下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为)(n f ．（1）求出(2)f ，(3)f ，(4)f ，(5)f ；（2）找出)(n f 与)1(+n f 的关系，并求出)(n f 的表达式； （3）求证()111125111136(1)3(2)5(3)7()213333n f f f f nn *++++<∈+++++N L ． 【答案】（1）(2)12f =，(3)27f =，(4)48f =，(5)75f =；（2）36)()1(+=-+n n f n f ，2()3f n n =；（3）见解析．【解析】（1）由题意有：3)1(=f ，12233)1()2(=⨯++=f f ，27433)2()3(=⨯++=f f ， 48633)3()4(=⨯++=f f ，75833)4()5(=⨯++=f f ．（2）由题意及（1）知，36)(233)()1(++=⨯++=+n n f n n f n f ， 即36)()1(+=-+n n f n f ．∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =+-+-++--L3(613)(623)[6(1)3]36[123(1)]n n n =+⨯++⨯+++-+=+++++-L L 2(1)3633(1)32n nn n n n n -=+⨯=+-=．（3）∵23)(n n f =，∴2111111(1)(1)1()213n n n n n f n n =<=-+++++，∴11111111(1)3(2)5(3)7()213333f f f f n n ++++<+++++L11111111111111125()()()4934451493149336n n n ++-+-++-=++-<++=++L ， 所以对于任意n *∈N ，原不等式成立．22．（12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知数表中每一行的第一个数1a ，2a ，5a ，…构成一个等差数列，记为{}n b ，且42=b ，105=b ． 数表中每一行正中间一个数1a ，3a ，7a ，…构成数列{}n c ，其前n 项和为n S ． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数且113=a ，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）在满足（2）的条件下，记{}(1),n M n n c n λ*=+≥∈N ，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）2n b n =；（2）2282n n n S -+=-；（3）(]4,5． 【解析】（1）设数列{}n b 的公差为d ，则114410b d b d +=⎧⎨+=⎩解得122b d =⎧⎨=⎩，所以n b n 2=．（2）设每一行组成的等比数列的公比为q ，由于前n 行共有2)12(531n n =-++++Λ个数，且224133<<，又8410==b a ，所以18331013===q q a a ，解得21=q ．因此121222n n n n c n --⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以12110121232222n n n n nS c c c c ---=++++=++++L L ， 0121112122222n n n n nS ---=++++L ， 所以10121111211111122412222222212nn n n n n n n n S -----⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--L ，即2228-+-=n nn S ．（3）由（1）知22-=n n n c ，不等式λ≥+n c n )1(，可化为λ≥+-22)1(n n n ．设22)1()(-+=n n n n f ， 计算得4)1(=f ，6)3()2(==f f ，5)4(=f ，415)5(=f ， 因为121(1)(2)(1)(2)(1)(1)()222n n n n n n n n n f n f n ---+++-++-=-=， 所以当3≥n 时，)()1(n f n f <+．因为集合M 的元素的个数为3，所以λ的取值范围是(]4,5．第15单元 算法、推理证明与复数（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足()1+21z =-i i ，则复数z 的虚部为（ ）A ．35B ．35-C ．35ｉD ．35-ｉ【答案】B【解析】因为()121z +=-i i ，所以()()1121131255z -----===+i i i ii ， 因此复数z 的虚部为35-，故选B ．2．复数z 满足()234z +=-i i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】∵()2i 34i 5z +=-==，∴()()()2i 2i 52i z -+=-，()552i z =-， 2i z =-，z 在复平面内对应的点()21-，，在第四象限，故选D ． 3．如果复数()2b b -∈R ii的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A ．2-B ．CD ．2【答案】A【解析】∵复数()()()22=2b b b -⋅--=--⋅-i i i i i i i ，由题复数()2b b -∈R ii的实部和虚部互为相反数，∴2b =-．故选A ．4．若复数z 满足22z =-i i （i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限 是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】由题意，∵()()()222222z -⋅--===--⋅-i i i i i i i ，∴22z =-+i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限．故选B ．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1009【答案】B【解析】分由框图可知其所实现了求和232017cos cos cos ++cos2222S ππ++ππ=L ，所以0S =， 故选B ．6．执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ．1008-B ．1010-C ．1009D ．1007【答案】C【解析】执行程序框图：πS 01sin012=+⋅=+，3i =，32018>，否； 3πS 013sin0132=++⋅=+-，5i =，52018>，否； 5πS 0135sin 01352=+-+⋅=+-+，7i =，72018>，否； ……2017πS 0132017sin01320172=+-++⋅=+-++L L ，2019i =，20192018>，是． 输出()()()()S 013572015201701357920152017=+-+--+=++-++-+++-+L L1222150421009=++++=+⨯=L ．故选C ．7．如图所示的程序框图输出的结果为30，则判断框内的条件是（ ）A ．5?n ≤B ．5?n <C ．6?n ≤D ．4?n <【答案】B【解析】当0S =，1n =时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，2S =，2n =； 当2S =，2n =时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，6S =，3n =； 当6S =，3n =时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，14S =，4n =； 当14S =，4n =时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，30S =，5n =； 当30S =，5n =时，满足退出循环的条件，故判断框内的条件是5?n <，故选B ．8．我国古代著名的“物不知数”问题：“今有物其数大于八，二二数之剩一，三三数之剩一，五五数之剩二，问物几何？”即“已知大于八的数，被二除余一，被三除余一，被五除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（ ）A ．16a -∈Z B ．110a -∈Z C ．210a -∈Z D ．215a -∈Z 【答案】A【解析】由题意，判断框内应该判断a 的值是否同时能被二除余一，被三除余一，即判断16a -是否为整数．故选A ． 9．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201520182⨯C ．201520172⨯D ．201620182⨯【答案】B【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为20142， 故第1行的第一个数为：122-⨯，第2行的第一个数为：032⨯， 第3行的第一个数为：142⨯，…，第n 行的第一个数为：()212n n -+⨯， 表中最后一行仅有一个数，则这个数是201520182⨯．10．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论； 由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾； ∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话； 由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．故选B ．11．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c ．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．a B ．bC ．cD ．d【答案】A【解析】由题意得，甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ， 乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ； 丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ； 丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c ，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b 是正确的； 乙同学说的2号门中有d 是正确的；并同学说的3号门中有c 是正确的； 丁同学说的4号门中有a 是正确的，则可判断在1，2，3，4四扇门中，分别存有b ，d ，c ，a ， 所以4号门里是a ，故选A ．12．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A ．58 B ．59C ．60D ．61【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5， 三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是()332520865160++-+++=．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13． 【答案】1i +【解析】()()()212i 11i 11-==+++-i i i i i ，填1i +． 14．设a ∈R ，若()()12a +-=-i i i ，则a =______． 【答案】1-【解析】()()()11+12a a a +-=+-=-i i i i ，10112a a a +=⇒=--=-⎧⎨⎩，故答案为1-． 15．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为___________．【答案】48【解析】第1次运行，1i =，2S =，122S =⨯=，4i <成立， 第2次运行，2i =，2S =，224S =⨯=，4i <成立， 第3次运行，3i =，4S =，3412S =⨯=，4i <成立， 第3次运行，4i =，12S =，41248S =⨯=，4i <不成立， 故输出S 的值为48． 16．将正整数对作如下分组()()()()()()()()()()11122113223114233241L L，，，，，，，，，，，，，，，，则第100个数对为___________． 【答案】()96，【解析】根据题意，第一行有1个数对，数对中两个数的和为2，第二行有2个数对，数对中两个数的和为3，数对中第一个数由1变化到2，第二个数由2变化到1， 第三行有3个数对，数对中两个数的和为4，数对中第一个数由1变化到3，第二个数由3变化到1， 第四行有4个数对，数对中两个数的和为5，数对中第一个数由1变化到4，第二个数由4变化到1， ……第n 行有n 个数对，数对中两个数的和为1n +（），数对中第一个数由1变化到n ，第二个数由n 变化到1， 前13行一共有1231391++++=L 个数，则第100个数对为第14行的第9个数，则第100个数对为()96，，故答案为()96，．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数()i 2iaz a =+∈+R ． （1）若z ∈R ，求z ；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围． 【答案】（1）2z =；（2）05（，）． 【解析】（1）()225555a a az --=+=+i i i ， 若z ∈R ，则505a-=，所以5a =，2z =． （2）若在复平面内对应的点位于第一象限，则205a >且505a ->， 解得05a <<，即a 的取值范围为05（，）． 18．（12分）已知复数()()22lg 2232z m m m m =--+++i ，根据以下条件分别求实数m 的值或范围． （1）z 是纯虚数；（2）z 对应的点在复平面的第二象限．【答案】（1）3m =；（2）133m +<<或113m -<<-【解析】（1）由()()22lg 2232z m m m m =--+++i 是纯虚数得()22220320lg m m m m --=++≠⎧⎪⎨⎪⎩，即22221320m m m m --=++≠⎧⎪⎨⎪⎩，所以3m =．（2）根据题意得()22220320lg m mm m--<++>⎧⎪⎨⎪⎩，由此得220221320m mm m<--<++>⎧⎪⎨⎪⎩，即133m+<<或113m-<<-．19．（12分）某函数的解析式由如图所示的程序框图给出．（1）写出该函数的解析式；（2）若执行该程序框图，输出的结果为9，求输入的实数x的值．【答案】（1）2,121,1xx xyx-<⎧=⎨+≥⎩；（2）7x=-或3．【解析】（1）2,121,1xx xyx-<⎧=⎨+≥⎩．（2）当1x<时，29x-=，7x=-；当1x≥时，2+1=9x，3x=，所以7x=-或3．20．（12分）阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：（1）求输入的x的值分别为1-，2时，输出的()f x的值；21（2）根据程序框图，写出函数()()f x x ∈R 的解析式；并求当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围．【答案】（1）12，1；（2）()0,1． 【解析】（1）当输入的x 的值为1-时，输出的()1122f x -==； 当输入的x 的值为2时，输出的()222211f x =-⨯+= （2）根据程序框图，可得()22,02,021,0x x f x x x x x ⎧<⎪==⎨⎪-+>⎩，当0x <时，()2x f x =，此时()f x 单调递增，且()01f x <<；当0x =时，()2f x =；当0x >时，()()22211f x x x x =-+=-在()0,1上单调递减， 在()1,+∞上单调递增，且()0f x ≥．结合图象，知当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围为()0,1．21．（12分）下面()A ，()B ，()C ，()D 为四个平面图形：（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整；（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E ，F ，G ，试猜想E ，F ，G 之间的数量关系（不要求证明）．【答案】（1）见解析；（2）1E G F +-=．22 【解析】（1）（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E ，F ，G ， 4581+-=，58121+-=，2451+-=，...， 可猜想E ，F ，G 之间的数量关系为1E G F +-=．22．（12分）（1）请用分析法证明：5236+>+；（2）已知a ，b 为正实数，请用反证法证明：1a b +与1b a +中至少有一个不小于2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）要证5236+>+，只要证()()225236+>+， 即证2018>，而上式显然成立，故原不等式成立．（2）假设结论不成立，则12a b +<，12b a+<， 所以114a b b a +++<，即11220a b a b ⎛⎫⎛⎫+-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即22110a b a b ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！ 故假设不成立，所以1a b +与1b a+中至少有一个不小于2．。

2021年高考数学一轮复习第十章算法初步、推理与证明、复数第三节复数习题理[基础达标]一、选择题(每小题5分,共50分)11+i=,则在复平面内,复数z所对应的点在() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限1.A【解析】由题意可得z=,则z在复平面上的对应点位于第一象限.2A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=2n+1,n∈Z}.i是虚数单位,若k ∈Z,且i k∈{-1,1},则() A.k∈A B.k∈BC.k∈A∩BD.k∈⌀2.A【解析】由i k=-1或1,得k为偶数,即k∈A.3.复数z= (i为虚数单位)的实部为()A.-B.-1C.-D.3.C【解析】复数z==-i的实部是-.4为虚数单位,则=()A.1B.-1C.iD.-i4.B【解析】=-1.5i是虚数单位,复数z满足=i,则|z|=()A.1B.C.D.5.C【解析】由=i得z=i,所以|z|=.6.设i是虚数单位,复数z=1+的共轭复数为( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i6.A【解析】复数z=1+=1+=1-i,则z的共轭复数为1+i.7(2+a i)(1-i)(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位),则a的值为()A.-2B.-1C.1D.27.A【解析】复数(2+a i)(1-i)=2+a+(a-2)i为纯虚数,则解得a=-2.8.已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为1,则|z|的取值范围是()A.(1,5)B.(1,3)C.(1,)D.(1,)8.C【解析】|z|=∈(1,).9.(xx·石家庄二模)已知复数z满足(1-i)z=i xx(其中i为虚数单位),则的虚部为()A. B.- C. i D.- i9.A【解析】由(1-i)z=i xx得z=,所以i的虚部为.10.若复数(a+i)2的对应点在y轴负半轴上,则实数a的值是()A.-1B.1C.-D.10.A【解析】复数(a+i)2=a2-1+2a i对应的点(a2-1,2a)在y轴负半轴上,所以解得a=-1.二、填空题(每小题5分,共25分)11.(xx·安庆三模)复数z满足z(+1)=1+i,其中i是虚数单位,则z=.11.i或i-1【解析】设z=a+b i(a,b∈R),由z(+1)=1+i得a2+b2+a+b i=1+i,所以b=1,a2+a+1=1,所以a=0或a=-1,故z=i或-1+i.12.(xx·德阳三诊)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为.12. 【解析】由题意可得(3-4i)z=5,则z=i,虚部为.13.已知纯虚数z满足(2-i)z=4+2a i,其中i为虚数单位,则实数a的值为.13.4【解析】设z=m i,m∈R,m≠0,则m(2-i)i=4+2a i,所以m+2m i=4+2a i,则m=4,a=m,故a=4.14.(xx·西北工业大学附中模拟)复数=.14. 【解析】 (-i)1007=i=.15.(xx·泰安质检)设复数z1=1+i,z2=2+x i(x∈R),若z1·z2∈R,则x的值为. 15.-2【解析】z1z2=(1+i)(2+x i)=2-x+(x+2)i∈R,所以x=-2.[高考冲关]1.(5分)(xx·安徽六校联考)对任意复数z=x+y i(x,y∈R),i为虚数单位,则下列结论正确的是() A.|z-|=2y B.z2=x2+y2C.|z-|≥2xD.|z|≤|x|+|y|1.D【解析】|z-|=|2y i|=|2y|,A,C错误;z2=x2+2xy i-y2,B错误;|z|=≤|x|+|y|,D正确.2.(5分)若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数的共轭复数是() A.- i B.-iC. iD.i2.B【解析】由图可得z=2+i,则=i的共轭复数是-i.3.(5分)(xx·西宁检测)已知复数z=,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.B【解析】因为z==-i,所以对应点在第二象限.4.(5分)若复数z满足|z|=2,则|1+i+z|的取值范围是.4.[0,4]【解析】复数z在复平面上对应的点的轨迹是以原点O为圆心、半径为2的圆.设ω=1+i+z=z-(-1-i),则|ω|表示动点Z到点C(-1,-)的距离,因为OC=2,所以动点Z到C(-1,-)距离的最大值为OC+r=4,最小值为OC-r=0,所以|1+i+z|的取值范围是[0,4].5.(5分)(xx·上海十二校联考)若复数z=5cos α-4i(i为虚数单位,-π<α<0)在复平面上的对应点在直线y=x-1上,则sin α=.5.- 【解析】∵复数z=5cos α-4i在复平面上的对应点在直线y=x-1上,∴-4=5cos α-1,即cos α=-,又-π<α<0,∴sin α=-=-=-.。

考点测试39 数学归纳法高考概览 高考在本考点的常考题型为解答题，分值12分，中等以上难度 考纲研读1.了解数学归纳法的原理2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题一、基础小题1．在应用数学归纳法证明“凸n 边形的对角线为12n (n －3)条”时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 边数最少的凸n 边形是三角形，故选C.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n＝1－a n ＋11－a，a ≠1，n ∈N *”，在验证n ＝1时，左边是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 B解析 当n ＝1时，代入原式有左边＝1＋a .故选B.3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生利用数学归纳法的证明过程如下： ①当n ＝1时， 12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即 k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1检验不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故选D.4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项答案 D解析 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k项．5．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立答案 C解析 假设n ＝4时该命题成立，由题意可得n ＝5时，该命题成立，而n ＝5时，该命题不成立，所以n ＝4时，该命题不成立；n ＝5时该命题不成立，不能推得n ＝6时该命题是否成立，故选C.6．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.7．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k)答案 D解析 ①当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．②假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36，这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由①②可知，命题对任何k ∈N *都成立．故选D.8．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，n ∈N ＋，那么f (n ＋1)－f (n )＝( ) A.12n ＋1B ．12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2D ．12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋1n ＋1＋n＋1n ＋1＋n ＋1－1n ＋1－1n ＋2－…－1n ＋n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.9．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N *) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N *) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N *) D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N *) 答案 B解析 因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1时正确．10．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)2展开，让其出现k 3即可．故选A.11．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________．答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k 时，式子左边＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，式子左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，故左边应增乘的因式为k ＋1＋k k ＋1＋k ＋1k ＋1＝2(2k ＋1)．12．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明“f (2n )>n 2”时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.答案12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 解析 ∵f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1，f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ，∴f (2k ＋1)－f (2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 三、模拟小题13．(2019·甘肃省静宁县第一中学高三上学期第三次模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2D.k ＋14＋k ＋122答案 C解析 当n ＝k 时，等式左端＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋k 2＋1＋k 2＋2＋…＋(k ＋1)2，增加的项为(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.故选C.14．(2019·山东淄博质检)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，那么下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1成立C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立 答案 D解析 当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，说明如果当k ＝n 时，f (n )≥n ＋1成立，那么当k ＝n ＋1时，f (n ＋1)≥n ＋2也成立，所以如果当k ＝4时，f (4)≥5成立，那么当k ≥4时，f (k )≥k ＋1也成立．一、高考大题1．(2017·浙江高考)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln (1＋x n ＋1)(n ∈N *)． 证明：当n ∈N *时， (1)0<x n ＋1<x n ； (2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12；(3)12n －1≤x n ≤12n －2. 证明 (1)用数学归纳法证明：x n >0. 当n ＝1时，x 1＝1>0. 假设n ＝k 时，x k >0， 那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0<x k ＝x k ＋1＋ln (1＋x k ＋1)≤0，矛盾， 故x k ＋1>0. 因此x n >0(n ∈N *)．所以x n ＝x n ＋1＋ln (1＋x n ＋1)>x n ＋1. 因此0<x n ＋1<x n (n ∈N *)． (2)由x n ＝x n ＋1＋ln (1＋x n ＋1)得x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln (1＋x n ＋1)．记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln (1＋x )(x ≥0)， f ′(x )＝2x 2＋x x ＋1＋ln (1＋x )>0(x ≥0)，所以函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )≥f (0)＝0，因此x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln (1＋x n ＋1) ＝f (x n ＋1)≥0， 故2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12(n ∈N *)．(3)因为x n ＝x n ＋1＋ln (1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1， 所以x n ≥12n －1.由x n x n ＋12≥2x n ＋1－x n 得1x n ＋1－12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －12>0， 所以1x n －12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －1－12≥…≥2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－12＝2n －2，故x n ≤12n －2.综上，12n －1≤x n ≤12n －2(n ∈N *)．2．(2015·江苏高考)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2，3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋1－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1－13，结论成立；f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋1－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立． 二、模拟大题3．(2019·江苏省清江中学高三第二次教学质量调研)已知函数f 1(x )＝sin x2，x ∈R ，记f n ＋1(x )为f n (x )的导数，n ∈N *.(1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )，n ∈N *的表达式，并证明你的猜想．解 (1)f 1(x )＝sin x 2，f 2(x )＝12cos x2，f 3(x )＝－14sin x2，(2)猜想：f n (x )＝12n －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12π＋x 2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f 1(x )＝sin x2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即f k (x )＝12k －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12π＋x 2.当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f ′k (x )＝12×12k －1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12π＋x 2＝12k sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12π＋π2＋x 2＝12k ＋1－1sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ＋1－12π＋x 2.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．所以由①②可知对任意的n ∈N *结论成立．4．(2019·江苏省苏锡常镇四市高三模拟)已知在数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝a 2n －a n ＋1对任意n ∈N *恒成立．(1)求证：a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1(n ∈N *)； (2)求证：a n ＋1＞n n ＋1(n ∈N *)．证明 (1)①当n ＝1时，a 2＝a 21－a 1＋1＝22－2＋1＝3， 满足a 2＝a 1＋1成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立， 即a k ＋1＝a k a k －1a k －2…a 2a 1＋1成立．下证：当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝a k ＋1a k a k －1…a 2a 1＋1成立． 因为a k ＋2＝a 2k ＋1－a k ＋1＋1＝a k ＋1(a k ＋1－1)＋1 ＝a k ＋1(a k a k －1a k －2…a 2a 1＋1－1)＋1 ＝a k ＋1a k a k －1a k －2…a 2a 1＋1.即当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝a k ＋1a k a k －1…a 2a 1＋1成立． 由①②可知，a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1(n ∈N *)成立． (2)①当n ＝1时，a 2＝22－2＋1＝3＞11＋1成立，当n ＝2时，a 3＝a 22－a 2＋1＝a 2(a 2－1)＋1＝3×2＋1＝7＞22＋1成立， ②假设n ＝k (k ≥3)时，结论正确，即a k ＋1＞k k＋1成立． 下证：当n ＝k ＋1时，a k ＋2＞(k ＋1)k ＋1＋1成立．因为a k ＋2＝a 2k ＋1－a k ＋1＋1＝a k ＋1(a k ＋1－1)＋1＞(k k＋1)k k＋1＝k 2k＋k k＋1. 要证a k ＋2＞(k ＋1)k ＋1＋1，只需证k 2k＋k k＋1＞(k ＋1)k ＋1＋1.只需证k 2k＞(k ＋1)k ＋1，只需证ln k 2k ＞ln (k ＋1)k ＋1，即证2k ln k －(k ＋1)ln (k ＋1)＞0(k ≥3)． 记h (x )＝2x ln x －(x ＋1)ln (x ＋1)，则h ′(x )＝2(ln x ＋1)－[ln (x ＋1)＋1]＝2ln x －ln (x ＋1)＋1 ＝lnx 2x ＋1＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2＋1.当x ＋1≥2时，ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2＋1≥ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－2＋1＝ln 12＋1＞ln 1e ＋1＝0. 所以h (x )＝2x ln x －(x ＋1)ln (x ＋1)在[1，＋∞)上单调递增， 又h (3)＝2×3ln 3－4ln 4＝ln 36－ln 44＝ln 729－ln 256＞0. 所以，当x ≥3时，h (x )≥h (3)＞0恒成立． 即当k ≥3时，h (k )≥h (3)＞0恒成立．即当k ≥3时，2k ln k －(k ＋1)ln (k ＋1)＞0恒成立． 所以当k ≥3时，a k ＋2＞(k ＋1)k ＋1＋1恒成立．由①②可得，对任意的n ∈N *，不等式a n ＋1＞n n＋1恒成立，命题得证．。

2021年高考数学一轮复习第十章算法初步复数推理与证明课时跟踪检测四十七复数文一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．i 是虚数单位，复数1－3i1－i ＝________.解析：1－3i 1－i ＝1－3i 1＋i 1－i1＋i ＝4－2i2＝2－i.答案：2－i2．(xx·淮安调研)复数z ＝i(1－2i)(i 是虚数单位)的实部为________． 解析：因为z ＝i(1－2i)＝2＋i ，所以复数z 的实部为2. 答案：23．(xx·泰州中学高三学情调研)已知复数z ＝(a －i)(1＋i)(a ∈R ，i 是虚数单位)是实数，则a ＝________.解析：因为z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，所以a －1＝0，所以a ＝1. 答案：14．复数|1＋2i|＋⎝⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________.解析：原式＝12＋22＋1－3i 21＋i2＝3＋－2－23i2i＝3＋i －3＝i.答案：i5．(xx·苏州一调)若复数(a ＋i)2对应的点在y 轴的负半轴上(其中i 是虚数单位)，则实数a 的值是________．解析：因为(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i ，由条件得⎩⎨⎧a 2－1＝0，2a ＜0，从而a ＝－1.答案：－16．(xx·徐州高三年级期中考试)已知复数z 满足(1＋i)z ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．解析：因为(1＋i)z ＝i ，所以z ＝i 1＋i ＝i 1－i 1＋i 1－i ＝i ＋12，所以z 的实部为12. 答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(xx·南京名校联考)若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝________.解析：由(1－i)z ＝1得z ＝11－i ＝1＋i 2，则|2z －3|＝|－2＋i|＝ 5. 答案：52．在复平面内，复数21－i＋2i 2对应的点位于第________象限．解析：因为21－i＋2i 2＝－1＋i ，所以该复数在复平面内对应的点(－1,1)位于第二象限．答案：二3．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在第________象限．解析：由题意得，2z i －[－i(1＋i)]＝0，则z ＝－i1＋i 2i ＝－12－12i ，所以z ＝－12＋12i ，其在复平面内对应的点在第二象限． 答案：二4．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018＝________.解析：因为z ＝1＋2i 1－i＝1＋2i1＋i 2＝i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018＝1×1－z 2 0191－z ＝1－i 2 0191－i ＝1－i 4×504·i 31－i＝i.答案：i5．若复数z 满足(z －1)i ＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是________． 解析：因为z ＝1＋－1＋i i ＝2＋i ，所以|z |＝22＋12＝ 5.答案：56．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________.解析：因为z ＝1＋2i ，所以z ＝1－2i. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6.答案：67．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________.解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2.答案：28．已知a ∈R ，若1＋a i2－i 为实数，则a ＝________.解析：1＋a i 2－i＝1＋a i 2＋i 2－i2＋i ＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a5i ，因为1＋a i 2－i 为实数，所以1＋2a 5＝0，所以a ＝－12.答案：－129．(xx·常州期末)已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________.解析：因为(x －i)2＝x 2－2x i ＋i 2＝x 2－1＋2x i 为纯虚数，所以⎩⎨⎧x 2－1＝0，x ≠0，x ＞0，解得x ＝1.答案：110．(xx·南京、盐城二模)若复数z 满足z (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：因为z ·z ＝|z |2，且|z |＝|2i||1－i|＝22＝2，所以z ·z ＝2.答案：211．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解：由条件得OC ―→＝(3，－4)，OA ―→＝(－1,2)， OB ―→＝(1，－1)，根据OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以⎩⎨⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝2.所以λ＋μ＝1.12．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i2＋31－i2＋i；(3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2；(4)1－3i 3＋i2.解：(1)－1＋i2＋ii3＝－3＋i－i＝－1－3i. (2)1＋2i2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝i2－i 5＝15＋25i.(3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i 3＋i2＝3＋i－i3＋i2＝－i 3＋i＝－i3－i4＝－14－34i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－22．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋s in 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i. 答案：12＋32i3．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i＝a－13a＋5a－1＋(a2＋2a－15)i.因为z1＋z2是实数，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.因为a＋5≠0，所以a≠－5，故a＝3.。

第1讲算法初步课时作业1．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )A．0,0 B．1,1C．0,1 D．1,0答案 D解析当x＝7时，∵b＝2，∴b2＝4＜7＝x.又7不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.此时b2＝9＞7＝x，∴退出循环，a＝1，∴输出a＝1.当x＝9时，∵b＝2，∴b2＝4＜9＝x.又9不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.此时b2＝9＝x，又9能被3整除，∴退出循环，a＝0.∴输出a＝0.故选D.2．(2019·青岛模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则判断框中可以填( )A．n≤5 B．n>5C．n≤4 D．n>4答案 B解析n＝1，S＝3，a＝5；n＝2，S＝8，a＝7；n＝3，S＝15，a＝9；n＝4，S＝24，a ＝11；n＝5，S＝35，a＝13，不满足判断框中的条件；n＝6，S＝48，a＝15，满足判断框中的条件，退出循环，输出的S＝48，所以判断框中可以填n>5.3．(2020·乌鲁木齐质量监测)如图所示的算法框图，当输入的x为1时，输出的结果为( )A．3 B．4C．5 D．6答案 C解析当x＝1时，x＞1不成立，则y＝x＋1＝1＋1＝2，i ＝0＋1＝1，y ＜20成立；x ＝2，x ＞1成立，y ＝2x ＝4，i ＝1＋1＝2，y ＜20成立； x ＝4，x ＞1成立，y ＝2x ＝8，i ＝2＋1＝3，y ＜20成立； x ＝8，x ＞1成立，y ＝2x ＝16，i ＝3＋1＝4，y ＜20成立；x ＝16，x ＞1成立，y ＝2x ＝32，i ＝4＋1＝5，y ＜20不成立，输出i ＝5，故选C.4．(2020·保定模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2019，则输出的y 值为( )A ．18B ．14 C ．12 D ．1答案 C解析 根据流程图，可知当x ≥0时，每循环一次，x 的值减少4，输入x ＝2019，因为2019除以4余3，经过多次循环后x ＝3，再经过一次循环后x ＝－1，不满足x ≥0的条件，输出y ＝2x ＝2－1＝12.5．(2019·贵阳模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．0B ．12C ．1D ．－1答案 A解析 第一次循环，k ＝1，S ＝cos0＝1，k ＝1＋1＝2，k ＞4不成立； 第二次循环，k ＝2，S ＝1＋cos π3＝1＋12＝32，k ＝2＋1＝3，k ＞4不成立；第三次循环，k ＝3，S ＝32＋cos 2π3＝32－12＝1，k ＝3＋1＝4，k ＞4不成立；第四次循环，k ＝4，S ＝1＋cosπ＝1－1＝0，k ＝4＋1＝5，k ＞4成立． 此时退出循环，输出S ＝0，故选A.6．(2019·郑州一检)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30,42]B ．(30,42)C ．(42,56]D ．(42,56) 答案 A解析 k ＝1，S ＝2；k ＝2，S ＝2＋4＝6；k ＝3，S ＝6＋6＝12；k ＝4，S ＝12＋8＝20；k ＝5，S ＝20＋10＝30；k ＝6，S ＝30＋12＝42；k ＝7，此时不满足S ＝42<m ，退出循环，所以30<m ≤42，故选A.7．(2019·昆明调研)如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》，其中定义[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3.执行该程序框图，则输出的a ＝( )A ．9B ．16C ．23D ．30 答案 C解析 执行程序框图，k ＝1，a ＝9,9－3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤93＝0≠2；k ＝2，a ＝16,16－3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤163＝1≠2；k ＝3，a ＝23,23－3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤233＝2,23－5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤235＝3，满足条件，退出循环．则输出的a ＝23.故选C.8．(2019·哈尔滨市第三中学调研)执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．2018B ．－1010C ．1010D ．－1009答案 C解析 执行如图所示的程序框图知，该程序运行后是计算并输出S ＝－1＋2＋(－3)＋4＋…＋(－1)i·i . 当i >2020时，终止循环，此时输出S ＝(2－1)×20202＝1010.故选C.9．(2020·北京市门头沟区高三期末)如图所示的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( )A ．c >xB ．x >cC ．c >bD ．b >c 答案 A解析 由流程图可知a ，b ，c 中的最大数用变量x 表示并输出，先将a 的值赋给变量x . 第一个判断框是判断x 与b 的大小关系，若b >x ，则将b 的值赋给变量x ，得到x 的值是a ，b 中的较大者．所以第二个判断框一定是判断a ，b 中的较大者x 与c 的大小关系，并将最大数赋给变量x ，故第二个判断框应填入c ＞x .10．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4答案 B解析 由S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i ＝i ＋2，选B.11．执行如图所示的程序框图，则输出的值是( )A.155 B.158 C.161 D.164答案 C解析 执行程序框图，可得，A ＝1，i ＝1，第1次执行循环体，A ＝14，i ＝2，满足条件i ≤20，第2次执行循环体，A ＝17，i ＝3，满足条件i ≤20，第3次执行循环体，A ＝110，i ＝4，满足条件i ≤20，第4次执行循环体，A ＝113，i ＝5，满足条件i ≤20，第5次执行循环体，A＝116，i ＝6，…，观察可知，当i ＝20时，满足条件i ≤20，第20次执行循环体，A ＝14＋(20－1)×3＝161，i ＝21，此时，不满足条件i ≤20，退出循环，输出A 的值为161.故选C.12．执行如图所示的程序框图，若输入向量a ＝c ＝(－2,2)，b ＝(1,0)，则输出S 的值是( )A．18B．20C．22D．24答案 B解析程序对应的运算：a＝c＝(－2,2)，则a·c＝8，S＝0＋8＝8，i＝1，c＝c＋b＝(－1,2)；a＝(－2,2)，b＝(1,0)，c＝(－1，2)，则a·c＝6，S＝8＋6＝14，i＝2，c＝c＋b＝(0,2)；a＝(－2,2)，b＝(1,0)，c＝(0,2)，则a·c＝4，S＝14＋4＝18，i＝3，c＝c＋b＝(1,2)；a＝(－2,2)，b＝(1,0)，c＝(1,2)，则a·c＝2，S＝18＋2＝20，i＝4，c＝c＋b＝(2,2)；a＝(－2,2)，b＝(1,0)，c＝(2,2)，则a·c＝0，此时跳出循环体．故输出S的值为20，故选B.13．(2019·江西六校联考)如图是某算法的程序框图，当输出的结果T>70时，正整数n 的最小值是________．答案 4解析由程序框图知，每次循环中K，T的值依次为1,1；2,4；3,16；4,72.又T＝72>70，故正整数n的最小值为4.14．下面程序运行后输出的结果为________．N＝5S＝0WHILE S<15S＝S＋NN＝N－1WENDPRINT NEND答案0解析执行第一次后，S＝5，N＝4；执行第二次后，S＝9，N＝3；执行第三次后，S＝12，N＝2；执行第四次后，S＝14，N＝1；执行第五次后，S＝15，N＝0；跳出循环结构，输出N 的值，N＝0.15．执行如图所示的程序框图，若a＝0.182，b＝log20.18，c＝20.18，则输出的结果是________．答案20.18解析易知该程序框图的功能是输出a，b，c中的最大者．结合函数y＝x2，y＝log2x，y＝2x的图象(图略)易知0<a<1，b<0，c>1，∴b<a<c.故输出的结果是20.18.16．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下程序框图，若输入的a，b分别为96,36，则输出的i为________．答案 4解析当a＝96，b＝36时，满足a>b，则a＝96－36＝60，i＝1，由a>b，得a＝60－36＝24，i＝2，由a<b，得b＝36－24＝12，i＝3，由a>b，得a＝24－12＝12，i＝4，由a＝b，得输出i＝4.。

考点测试39 复数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，低难度 考纲研读1.理解复数的基本概念 2．理解复数相等的充要条件3．了解复数的代数表示法及其几何意义 4．会进行复数代数形式的四则运算5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义一、基础小题1．(－1＋i)(2i ＋1)＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3－i D ．－3＋i答案 C解析 由题意，得(－1＋i)(2i ＋1)＝－2i －1－2＋i ＝－3－i ，故选C. 2．已知m 为实数，i 为虚数单位，若m ＋(m 2－4)i>0，则m ＋2i2－2i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1答案 A解析 因为m ＋(m 2－4)i>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4＝0，可得m ＝2，故m ＋2i 2－2i ＝21＋i21－i＝i.故选A.3．已知复数z ＝1－i3＋4i (其中i 为虚数单位)，则|z |的值为( )A.225B ．225 C ．25 D ．25答案 D解析 解法一：因为z ＝1－i3＋4i ＝1－i 3－4i 3＋4i 3－4i＝－1－7i25，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7252＝25.故选D. 解法二：因为z ＝1－i 3＋4i ，所以|z |＝|1－i 3＋4i |＝|1－i||3＋4i|＝25.故选D.4．已知复数z ＝(1＋a i)(1－2i)(a ∈R )为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12答案 D解析 z ＝(1＋2a )＋(a －2)i ，由已知得1＋2a ＝0且a －2≠0，解得a ＝－12，故选D.5．下列各式的运算结果为实数的是( ) A ．－i(1＋i) B ．i(1－i) C ．(1＋i)－(1－i) D ．(1＋i)(1－i) 答案 D解析 对于A ，－i(1＋i)＝1－i ；对于B ，i(1－i)＝1＋i ；对于C ，(1＋i)－(1－i)＝2i ；对于D ，(1＋i)(1－i)＝2.故选D.6．已知复数z ＝31－2i (i 是虚数单位)，则z 的实部为( )A ．－35B ．35 C ．－15D ．15 答案 B解析 ∵z ＝31－2i＝31＋2i 1－2i 1＋2i ＝35＋65i ，∴z 的实部为35.故选B.7．若复数z ＝i 1＋i (i 为虚数单位)，则z ·z －＝( )A.12i B ．－14C ．14D ．12答案 D解析 解法一：∵z ＝i 1＋i＝i1－i 2＝1＋i 2＝12＋12i ，∴z －＝12－12i ，∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12i⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12i ＝12，故选D. 解法二：∵z ＝i 1＋i ，∴|z |＝1|1＋i|＝22，∴z ·z －＝|z |2＝12，故选D.8．复数z ＝21＋i (i 为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(－1，－1)答案 B解析 z ＝21＋i ＝21－i 1＋i 1－i ＝1－i ，故复数z ＝21＋i 在复平面内对应的点的坐标是(1，－1)，故选B.9．已知复数z ＝i ＋i 2020，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析 ∵i ＋i 2020＝1＋i ，∴i ＋i2020在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，所以该点在第一象限．故选A.10．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z 1＝3＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．10 B ．－10 C ．－9＋i D ．－9－i答案 B解析 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z 1＝3＋i ，所以z 2＝－3＋i ，所以z 1z 2＝(3＋i)·(－3＋i)＝－9－1＝－10，故选B.11．在复平面内表示复数im －i(m ∈R ，i 为虚数单位)的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)答案 C 解析 由题意，得i m －i ＝i m ＋i m 2＋1＝－1m 2＋1＋mm 2＋1i ，因为在复平面内该复数对应的点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1m 2＋1<0，mm 2＋1>0，解得m >0，即m ∈(0，＋∞)，故选C.12．下面四个命题中，正确的是( ) A ．若复数z 1＝z －2，则z 1·z 2∈RB ．若复数z 1，z 2满足z 1－z 2∈R ，则z 1∈R ，z 2∈RC ．若复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2或z 1＝－z 2D ．若复数z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，则z 1∈R ，z 2∈R 答案 A解析 若复数z 1＝z －2，则z 1·z 2＝z －2·z 2＝|z 2|2∈R ，故A 中命题正确；取z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i ，则z 1－z 2＝－1∈R ，而z 1∉R ，z 2∉R ，故B 中命题错误；取z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，不满足z 1＝z 2或z 1＝－z 2，故C 中命题错误；取复数z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，满足z 1＋z 2∈R ，不满足z 1∈R ，z 2∈R ，故D 中命题错误．故选A.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析 由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵|z －i|＝1，∴|x ＋y i －i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.14．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内 z －对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 z －＝－3－2i ，故z －对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C. 15．(2019·全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i答案 D解析 由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i 1＋i 1－i ＝2i1－i2＝i(1－i)＝1＋i.故选D.16．(2019·北京高考)已知复数z ＝2＋i ，则z ·z －＝( ) A. 3 B ． 5 C ．3 D ．5答案 D解析 ∵z ＝2＋i ，∴z －＝2－i.∴z ·z －＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D. 17．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0B ．12C ．1D ． 2答案 C解析 因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i 21＋i 1－i ＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，所以|z |＝0＋12＝1，故选C.18．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案 D 解析 ∵1＋2i1－2i＝1＋2i 25＝－3＋4i 5，∴选D.19．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－i D ．3＋i答案 D解析 (1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，故选D. 20．(2018·浙江高考)复数21－i(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 B 解析 ∵21－i＝21＋i 1－i 1＋i ＝1＋i ，∴21－i的共轭复数为1－i.21．(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 ∵11－i ＝1＋i 1－i 1＋i ＝12＋12i ，∴其共轭复数为12－12i ，又12－12i 在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12在第四象限，故选D.22．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 B解析 ∵复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，∴a ＜－1.故选B.23．(2017·山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B ．7或－7 C ．－ 3 D ． 3答案 A解析 ∵z ＝a ＋3i ，∴z －＝a －3i.又∵z ·z －＝4，∴(a ＋3i)(a －3i)＝4，∴a 2＋3＝4，∴a 2＝1，∴a ＝±1.故选A.24．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4答案 B解析 对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R成立，故正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i ∈R ，得a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 为实数或纯虚数，故错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z －2，故错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z －＝a ∈R 成立，故正确．故选B.25．(2019·天津高考)i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________．答案13解析 ∵5－i1＋i＝5－i 1－i 1＋i1－i ＝2－3i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.26．(2019·浙江高考)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________.答案22解析 z ＝11＋i ＝1－i 1＋i 1－i ＝1－i 1－i 2＝12－12i ，易得|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.27．(2019·江苏高考)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．答案 2解析 (a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，因为其实部为0，故a ＝2. 28．(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________.答案 4－i 解析6＋7i 1＋2i ＝6＋7i1－2i 1＋2i1－2i ＝20－5i5＝4－i.29．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.答案 5 2解析 解法一：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，a ，b ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a 2＝3，ab ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＝2.∴a 2＋b 2＝2a 2－3＝5，ab ＝2. 解法二：由解法一知ab ＝2，又|(a ＋b i)2|＝|3＋4i|＝5，∴a 2＋b 2＝5.30．(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．答案 2解析 由(1＋i)(1－b i)＝a ，得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以a b＝2.三、模拟小题31．(2019·新乡一模)若复数z 满足z (2－i)＝18＋11i ，则z 的实部为( ) A ．－5 B ．5 C ．－8 D ．8答案 B解析 因为z ＝18＋11i2－i＝5＋8i ，所以z 的实部为5.32．(2019·湖南湘潭一模)若复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则复数z －的虚部为( ) A ．－i B ．1 C ．－1 D ．i 答案 C解析 由题意可知，z ＝2i 1＋i＝1＋i ，故z －＝1－i ，所以其虚部为－1. 33．(2019·山西吕梁一模)已知复数z ＝3＋4i 1＋2i ，则|z －|＝( )A. 5 B ．10 C ．2 5 D ．5答案 A解析 解法一：因为z ＝3＋4i1＋2i ＝3＋4i1－2i 1＋2i1－2i ＝11－2i 5，所以z －＝11＋2i 5，|z －|＝|11＋2i 5|＝15112＋22＝ 5.解法二：|z －|＝|z |＝|3＋4i||1＋2i|＝55＝ 5.故选A.34．(2019·开封一模)已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D 解析 由(1＋3i)z ＝1＋i ，得z ＝1＋i 1＋3i＝1＋i 1－3i 1＋3i1－3i＝1＋3＋1－3i1＋3＝1＋34＋1－34i ，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋34，1－34，在第四象限．故选D.35．(2019·吉林市调研)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，ie π4i 表示的复数对应的点位于复平面内( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析 ∵eπ4i ＝cos π4＋isin π4＝22＋22i ，∴i e π4i ＝i 22＋22i ＝i ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i ＝22＋22i ，此复数在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22位于第一象限，故选A.本考点在近三年高考中未涉及此题型．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

数学归纳法课时作业1．用数学归纳法证明：11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13， 右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边， 所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *等式都成立．2．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56.∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．∴原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．3．试证：当n ∈N *时，f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除．证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除． 当n ＝k ＋1时，由于32(k ＋1)＋2－8(k ＋1)－9 ＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9 ＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)， 即f (k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知，对于任意n ∈N *，命题都成立．4．设集合M ＝{1,2,3，…，n }(n ≥3，n ∈N *)，记M 的含有三个元素的子集的个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1)求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值；(2)猜想T nS n的表达式，并证明． 解 (1)T 3S 3＝2，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72. (2)猜想T n S n ＝n ＋12(n ≥3，n ∈N *)． 下面用数归纳法证明．①当n ＝3时，由(1)知猜想成立；②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，猜想成立，即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，所以T k ＝k ＋12·C 3k . 则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1，而当集合M 从{1,2,3，…，k }变为{1,2,3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2,2个3,3个4，…，(k －1)个k .所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k (k －1)＝k ＋12·C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k ＋12·C 3k ＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k )＝k －22·C 3k ＋1＋2C 3k ＋1 ＝k ＋22·C 3k ＋1 ＝(k ＋1)＋12·S k ＋1， 故T k ＋1S k ＋1＝(k ＋1)＋12. 所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综上所述，猜想成立，即T n S n ＝n ＋12(n ≥3，n ∈N *)．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

推理与证明、算法初步、复数一、基础知识要记牢 (1)复数的模： 复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2.(2)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．专门地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(3)复数的除法一样是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 二、经典例题领会好[例1] (1)(2021·安徽高考)设i 是虚数单位，假设复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，那么a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2021·陕西高考)设z 1，z 2是复数，那么以下命题中的假命题是( ) A ．假设|z 1－z 2|＝0，那么z 1＝z 2 B ．假设z 1＝z 2，那么z 1＝z 2 C ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 1·z 1＝z 2·z 2D ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 21＝z 22[解析] (1)因为a －103－i ＝a －103＋i3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的概念，知a －3＝0，因此a ＝3.(2)A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] (1)D (2)D1与复数z 有关的复杂式子为纯虚数，可设为m i m ≠0，利用复数相等去运算较简便.2在有关复数z 的等式中，可设出z ＝a ＋b i a ，b ∈R ，用待定系数法求解.3熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：1±i2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ，设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.三、预测押题不能少1．(1)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，那么|(1－z )·z |＝( ) B ．2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝－32＋12＝10.(2)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为________． 解析：z ＝1＋i ，那么z 2z＝1＋i 21－i＝2i 1－i＝2i 1＋i 1－i1＋i＝－1＋i ，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)． 答案：(－1,1)合情推理一、基础知识要记牢 (1)类比推理的一样步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．(2)归纳推理的一样步骤：①通过观看个别事物发觉某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一样性命题．一样情形下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推行的一样性结论也就越靠得住．二、经典例题领会好[例2] (2021·陕西高考)观看以劣等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．[解析] 12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，……12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1n n＋12.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n n＋12合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先依照已知的部份个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一样结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理进程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 三、预测押题不能少2．(1)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，….依此类推，第n 个等式为__________________________．解析：由归纳推理可知，第n 个等式为2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×...×2n . 答案：2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)× (2)(2)关于命题：假设O 是线段AB 上一点，那么有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，那么有S △OBC ·OA ＋S △O CA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间的情形应该是：假设O 是四面体ABCD 内一点，那么有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，一般是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：假设O 为四面体ABCD 内一点，那么有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0程序框图一、经典例题领会好[例3] (2021·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，若是输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[解析] 当输入N ＝10时，由于k ＝1，S ＝0，T ＝1，因此T ＝11＝1，S ＝1，k ＝2，现在不知足k >10；当k ＝2时，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，现在不知足k >10；当k ＝3时，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝4，现在不知足k >10； 当k ＝4时，T ＝11×2×3×4＝14！，S ＝1＋12！＋13！＋14！，k ＝5，现在不知足k >10 ； ……当k ＝10时，T ＝11×2×3×4×…×10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！，k ＝11，现在知足k >10.因此输出S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！. [答案] B1解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构.2利用循环结构表示算法要注意：①要选择准确的表示累计的变量；②要注意在哪一步结束循环；③执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误.二、预测押题不能少3．(1)程序框图如图，若是程序运行的结果为S ＝132，那么判定框中可填入( ) A ．k ≤10 B ．k ≥10 C ．k ≤11D ．k ≥11解析：选A 输出的S 值是一个逐次积存的结果，第一次运行S ＝12，k ＝11；第二次运行S＝132，k＝10.若是现在输出结果，那么判定框中的k的最大值是10.(2)假设某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值是( ) A．2 B．3C．4 D．5解析：选C 逐次运行的结果是n＝3，i＝2；n＝4，i＝3；n＝2，i＝4.故输出的值是4.程序框图与概率的交汇算法是新课标高考中的一大热点，专门体此刻算法的交汇性问题上，这些问题题目背景新颖，交汇自然，要紧表此刻算法与函数、数列、不等式、概率及统计的交汇．一、经典例题领会好[例] (2021·四川高考节选)某算法的程序框图如下图，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)别离求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同窗依据自己对程序框图的明白得，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部份数据．甲的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………2 100 1 027376697乙的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………2 100 1 051696353当n＝2 100时，依照表中的数据，别离写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判定两位同窗中哪一名所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的散布列及数学期望． (1)学审题——审条件之审视图表和数据程序框图――→审图 计算输出y 的值为1,2,3的数的个数―――――――→古典概型公式 概率． (2)学审题 频数统计表――→审表 各小组频数―→频率―――――→与1比较 结论．(3)学审题 条件―→确信y 的取值13−−−−−−→每次发生的概率为求出散布列―→期望值． [解] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.因此，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：输出y 的值为1的频率 输出y 的值为2的频率 输出y 的值为3的频率 甲1 0272 1003762 1006972 100 乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率，可得乙同窗所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127， 故ξ的散布列为因此，E (ξ)＝3×13＝1.即ξ的数学期望为1.此题要紧考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、随机变量的散布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方式解决实际问题的能力，考查数据处置能力、应用意识和创新意识.解答此题的易错点为：一是错读程序框图使此题在求解第一步时就显现错误，二是处置频数散布表中数据时运算错误. 二、预测押题不能少某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如下图的长方体ABCD ­EFGH 材料切割成三棱锥H ­ACF .(1)假设点M ，N ，K 别离是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，依照艺术品加工需要，工程师必需求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如下图，那么运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？解：(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC . ∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF.(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ， ∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ，∴e ＝12bc1－d 2＝12AC ·AF ·sin∠CAF ＝S △ACF .又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF ＝V 三棱锥H ­ACF .∵三棱锥H ­ACF 为将长方体ABCD ­EFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得， ∴V 三棱锥H ­ACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.1．(2021·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数是x －y i ，应选B.2．(2021·福建质检)执行如下图的程序框图，假设输入的x 值为2，那么输出的x 值为( ) A ．3 B ．126C ．127D ．128解析：选C 假设输入的x ＝2，那么x ＝22－1＝3，而3<126，故x ＝23－1＝7，而7<126，故x ＝27－1＝127.因为127>126，因此输出的x 值为127. 3．(2021·郑州质量预测)假设复数z ＝2－i ，那么z ＋10z＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i解析：选D ∵z＝2－i，∴z＋10z＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋102＋i2－i2＋i＝6＋3i.4．(2021·江西高考)阅读如下程序框图，若是输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2 ＝2*i －1C ．S ＝2*i ＝2*i +4解析：选C 此框图依次执行如下循环：第一次：i ＝1，S ＝0，i ＝1＋1＝2，i 是奇数不成立，S ＝2*2＋1＝5，继续循环； 第二次：i ＝2＋1＝3，i 是奇数成立，继续循环；第三次：i ＝3＋1＝4，i 是奇数不成立，S ＝2*4+1=9，继续循环；第四次：i ＝4+1=5，i 是奇数成立，由题意知现在应跳出循环，输出i ＝5，即S ＜10不成立. 故应填S =2*i (现在S =10＜10不成立).假设填S ＝2*i ＋4，那么在第二次循环中就跳出循环．应选C. 5．(2021·河南洛阳模拟)执行如下图的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，那么能输出数对(x ，y )的概率为( )解析：选B 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x2表示的平面区域的面积等于∫10x 2d x ＝13x 310＝13，因此所求的概率为13.6．假设数列{a n }是等差数列，那么数列{b n }b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也为等差数列．类比这一性质可知，假设正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，那么d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 假设{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；假设{c n }是等比数列，那么c 1·c 2·…·c n＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q 12n n (-)，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列，应选D.7．已知复数z ＝1－i ，那么z 2－2z z －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i8．(2021·山东高考)执行下面的程序框图，假设输入的ε的值为，那么输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，现在输出， 故输出结果为3. 答案：39．(2021·福建质检)观看以劣等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……那么当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52；………依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 210．已知复数z 1知足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.11．(2021·郑州质量预测)每一年的3月12日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133；乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(1)依照抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并依照你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；(3)假设小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率散布估量整体散布，求小王领取到的“良种树苗”的株数X的散布列．解：(1)茎叶图如下图：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为；④甲种树苗的高度大体上是对称的，而且大多数集中在均值周围，乙种树苗的高度散布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量． S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越良莠不齐．(3)由题意可知，领取一株甲种树苗取得“良种树苗”的概率为12，那么X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，因此随机变量X 的散布列为12．(2021·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右极点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的极点时，判定四边形OABC 是不是可能为菱形，并说明理由． 解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右极点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，因此AC 与OB 彼此垂直平分． 因此可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.因此菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下： 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的极点，且直线AC 只是原点，因此可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.因此AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，因此直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，因此AC 与OB 不垂直．因此四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．因此当点B 不是W 的极点时，四边形OABC 不可能是菱形．。

单元质量测试(五)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．复数z ＝2＋i i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 由z ＝2＋i i ＝(2＋i )i i 2＝1－2i ，知其在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，该点位于第四象限，故选D.2．已知i 是虚数单位，复数z 满足2z 1－z ＝i ，则|z |＝( ) A ．5B ． 5C ．55D ．15 答案 C解析 由2z 1－z ＝i ，得2z ＝i －i z ，则z ＝i 2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )＝15＋25i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝55.故选C. 3．(2019·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人答案 C解析 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推出丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.4．若m >n >0，p <q <0，则一定有( )A.m q >n pB ．m q <n pC ．m p >n qD ．m p <n q 答案 B解析 由m >n >0，p <q <0，可得|m |>|n |>0，|p |>|q |>0，所以|n p |<|m q |，而m p ，m q ，n p ，n q 均为负数，所以n p >m q .而m p 与n q 的大小无法比较，故选B.5．分析法又称执果索因法，已知x ＞0，则用分析法证明1＋x ＜1＋x 2时，索的因是( )A ．x 2＞2B ．x 2＞4C ．x 2＞0D ．x 2＞1 答案 C解析 因为x ＞0，所以要证1＋x ＜1＋x 2，只需证(1＋x )2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22，即证0＜x 24，即证x 2＞0，故索的因是x 2＞0.6．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知f (x )＝2019x 2018＋2018x 2017＋…＋2x ＋1，程序框图设计的是求f (x 0)的值，在M 处应填的执行语句是( )。

2021年高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数阶段回扣练13B 理（含解析）1．(xx·苏州调研)设复数z 满足z i ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析 由|z i|＝|1＋2i|，得|z |＝12＋22＝ 5. 答案52．(xx·北京卷)在(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________.解析 因为x ＋i ＝－1＋2ii ＝2＋i ，所以x ＝2.答案 23．(xx·南京、盐城模拟)执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为________．解析 逐次写出运行结果．该流程图运行4次，各次S 的取值分别是1,2,6,15，所以输出的k ＝4. 答案 44．(xx·辽宁卷)执行如图所示的流程图，若输入n ＝3，则输出T ＝________.解析 第一步：i ＝1，S ＝1，T ＝1； 第二步：i ＝2，S ＝3，T ＝4； 第三步：i ＝3，S ＝6，T ＝10；第四步：i ＝4，S ＝10，T ＝20，此时停止循环， ∴输出T ＝20. 答案 205．(xx·北京西城区模拟)在复平面内，复数z ＝(1＋2i)(1－i)对应的点位于第________象限．解析 z ＝(1＋2i)(1－i)＝3＋i ，所以复数z ＝3＋i 对应点为(3,1)在第一象限． 答案 一6．(xx·南京模拟)若1＋5i3－i＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝________.解析 a ＋b i ＝1＋5i 3－i ＝1＋5i 3＋i 10＝－2＋16i 10＝－15＋85i ，所以a ＝－15，b ＝85.从而ab ＝－825.答案 －8257．(xx·江苏启东中学模拟)阅读下列程序，输出的结果是________．解析 依题意，输出的结果依次是1＋1＝2,2＋3＝5,5＋5＝10. 答案 108．如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．解析 执行过程如下表：S 1 1＋21＝33＋22＝77＋23＝1515＋24＝3131＋25＝63n12345答案 639．已知数列{a n }的各项分别为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为________．解析 通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a 99＝78，a 100＝69.故a 99＋a 100＝3724.答案372410．(xx·四川卷改编)执行如图的流程图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为________．解析 本流程图的功能是当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，求目标函数S ＝2x ＋y的最大值，如图所示，目标函数在点(1,0)处取得最大值2.答案 211．(xx·镇江调研)圆x 2＋y 2＝r 2在点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类似地，可以求得椭圆x 28＋y 22＝1在(2,1)处的切线方程为________．解析 由类比结构可知，相应的切线方程为：x 0x 8＋y 0y2＝1，代入点坐标，所求切线方程为：x 4＋y2＝1.答案 x 4＋y2＝112．(xx·苏州检测)对于不等式n 2＋n ≤(n ＋1)2(n ∈N *)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤(k ＋1)2，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2，∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．对于上述证法，下列说法正确的序号是________．①过程全都正确；②n ＝1验证不正确；③归纳假设不正确；④从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确．解析 n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求． 答案 ④13．(xx·泰州检测)已知在等差数列{a n }中，若m ＋2n ＋p ＝s ＋2t ＋r ，m ，n ，p ，s ，t ，r ∈N *，则a m ＋2a n ＋a p ＝a s ＋2a t ＋a r ，仿此类比，可得到等比数列{b n }中的一个正确命题：若m ＋2n ＋p ＝s ＋2t ＋r ，m ，n ，p ，s ，t ，r ∈N *，则________．解析 将等差数列项的和类比到等比数列项的积，得等比数列中的恒等式为b m (b n )2b p ＝b s (b t )2b r .答案 b m (b n )2b p ＝b s (b t )2b r 14．(xx·苏州模拟)观察：1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……根据以上事实，由归纳推理可得，当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12 014n －1－12 014n ＝(________)＋…＋12 104n. 解析 等式的左边“1－12＋13－14＋…＋12 014n －1－12 014n ”中共有2 014n 项，其中间两项分别为11 007n 和11 007n ＋1，由归纳推理可知，1－12＋13－14＋…＋12 014n －1－12 014n ＝11 007n ＋1＋11 007n ＋2＋…＋12 014n . 答案11 007n ＋131122 7992 禒28358 6EC6 滆 40860 9F9C 龜21299 5333 匳33354 824A 艊27550 6B9E 殞O$wBl#。

第十二章 推理与证明、算法、复数第三节 算法初步A 级·基础过关 |固根基|1.(2020届湖北部分重点中学联考)执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 由题图可知，S ＝log 223＋log 234＋log 245＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 22n ＋2，当log 22n ＋2＝－2时，n ＝6，当n ＝7时，S ＜－2，此时n ＝8，故选B ．2．(2019届长沙模拟)某同学为实现“给定正整数N ，求最小的正整数i ，使得7i >N ”，设计程序框图如图，则判断框中可填入( )A ．x ≤N?B ．x <N?C ．x >N?D ．x ≥N?解析：选C 依题意，知当x ≤N 时，执行循环体，当x >N 时，退出循环，故应填入的条件是“x >N ？”．故选C ．3．(2019届南昌摸底调研)执行如图所示的程序框图，输出的n 为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当n ＝1时，f (x )＝x ′＝1，此时f (x )＝f (－x )，但f (x )＝0无解；当n ＝2时，f (x )＝(x 2)′＝2x ，此时f (x )≠f (－x )；当n ＝3时，f (x )＝(x 3)′＝3x 2，此时f (x )＝f (－x )，且f (x )＝0有解，结束循环，输出的n 为3.故选C ．4．(2019届湘东五校联考)若[x ]表示不超过x 的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为( )A ．600B ．400C ．15D ．10解析：选B 根据题意，得⎣⎡⎦⎤19940＝[4.975]＝4，所以该程序框图运行后输出的结果是40个0，40个1，40个2，40个3，40个4的和，所以输出的结果为S ＝40＋40×2＋40×3＋40×4＝400.故选B ．5．(2019届江西五校联考)已知a >1，b >1，且log a b ＋log b a ＝103，a b ＝b a ，则执行如图所示的程序框图，输出的S ＝( )A ． 2B ．2C ． 3D ．3解析：选C 由log a b ＋log b a ＝103，得(log a b )2－103log a b ＋1＝0，解得log a b ＝3或log a b ＝13.将a b ＝b a 两边同时取以a 为底的对数，得b ＝a log a b ，log a b ＝b a .当log a b ＝3时，得a 3＝b ，且ba ＝3，解得a ＝3，b ＝33；当log a b ＝13时，得a ＝b 3，且b a ＝13，解得a ＝33，b ＝ 3.又程序框图的功能是“取较小值”，即输出a 与b 中较小的那一个，所以输出的S ＝ 3.故选C ．6．(2019届福州四校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的值是( )A ．155B ．158C ．161D ．164解析：选C 执行程序框图，可得，A ＝1，i ＝1， 第1次执行循环体，A ＝14，i ＝2；满足条件i ≤20，第2次执行循环体，A ＝17，i ＝3；满足条件i ≤20，第3次执行循环体，A ＝110，i ＝4；满足条件i ≤20，第4次执行循环体，A ＝113，i ＝5；满足条件i ≤20，第5次执行循环体，A ＝116，i ＝6；…观察可知，当i ＝20时，满足条件i ≤20，第20次执行循环体，A ＝14＋（20－1）×3＝161，i ＝21，此时，不满足条件i ≤20，退出循环，输出A 的值为161.故选C ．7．(2019届安徽省五校二检)中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入( )A ．a －221∈Z?B ．a －215∈Z?C ．a －27∈Z?D ．a －23∈Z?解析：选A 根据题意可知，此程序框图的功能是找一个满足下列条件的数a ：a ＝3k ＋2，a ＝5n ＋3，a ＝7m ＋2，k ，n ，m ∈Z ，根据程序框图可知，数a 已经满足a ＝5n ＋3，n ∈Z ，所以还要满足a ＝3k ＋2，k ∈Z 和a ＝7m ＋2，m ∈Z ，并且还要用一个条件给出，即a －2既能被3整除又能被7整除，所以a －2能被21整除，故在“”处应填入a －221∈Z ？，故选A ．8．(2019届广东七校第二次联考)执行如图所示的程序框图，若输入a ＝110 011，则输出的b 的值是( )A．45 B．47C．51 D．53解析：选C输入a＝110 011，b＝0，i＝1，第一次循环：t＝1，b＝0＋1×21－1＝1，i ＝2；第二次循环：t＝1，b＝1＋1×22－1＝3，i＝3；第三次循环：t＝0，b＝3＋0＝3，i＝4；第四次循环：t＝0，b＝3＋0＝3，i＝5；第五次循环：t＝1，b＝3＋1×25－1＝19，i＝6；第六次循环：t＝1，b＝19＋1×26－1＝51，i＝7，满足条件，退出循环，输出b＝51，故选C．9．(2019届辽宁五校联考)如图所示的程序框图中，Mod(m，n)表示m除以n所得的余数，例如：Mod(5，2)＝1，则该程序框图的输出结果为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选B x＝1，y＝1，n＝1，z＝2，1>10不成立，Mod(2，3)＝2≠0，x＝1，y＝2，n＝2；z＝3，2>10不成立，Mod(3，3)＝0，i＝1，x＝2，y＝3，n＝3；z＝5，3>10不成立，Mod(5，3)＝2≠0，x ＝3，y ＝5，n ＝4；z ＝8，4>10不成立，Mod(8，3)＝2≠0，x ＝5，y ＝8，n ＝5；z ＝13，5>10不成立，Mod(13，3)＝1≠0，x ＝8，y ＝13，n ＝6；z ＝21，6>10不成立，Mod(21，3)＝0，i ＝2，x ＝13，y ＝21，n ＝7；z ＝34，7>10不成立，Mod(34，3)＝1≠0，x ＝21，y ＝34，n ＝8；z ＝55，8>10不成立，Mod(55，3)＝1≠0，x ＝34，y ＝55，n ＝9；z ＝89，9>10不成立，Mod(89，3)＝2≠0，x ＝55，y ＝89，n ＝10；z ＝144，10>10不成立，Mod(144，3)＝0，i ＝3，x ＝89，y ＝144，n ＝11；z ＝233，11>10成立，输出的i 为3.故选B ．10．(2019届蓉城名校第一次联考)已知n 为执行如图所示的程序框图输出的结果S ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1x n的展开式中常数项是( )A ．10B ．20C ．35D ．56解析：选B 执行程序框图，i ＝0，S ＝0，i ＝0＋1＝1，满足i <4；S ＝0＋1＝1，i ＝1＋1＝2，满足i <4；S ＝1＋2＝3，i ＝2＋1＝3，满足i <4；S ＝3＋3＝6，i ＝3＋1＝4，不满足i <4，退出循环，输出的S ＝6，所以n ＝6，所以二项式⎝⎛⎭⎫x ＋1x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 6x6－2r .令6－2r ＝0，得r ＝3，所以二项式⎝⎛⎭⎫x ＋1x 6的展开式中的常数项为T 4＝C 36＝20.故选B ． 11．(2019届兰州市高三诊断)如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n 是( )A．168 B．169 C．337 D．338解析：选C初始值n＝0，k＝1，sin π6＝12，k＝2；sin 2π6＝32，k＝3；sin 3π6＝1，n＝1，k＝4；sin 4π6＝32，k＝5；sin 5π6＝12，k＝6；sin 6π6＝0，k＝7；sin 7π6＝－12，k＝8；sin 8π6＝－32，k＝9；sin 9π6＝－1，k＝10；sin 10π6＝－32，k＝11；sin 11π6＝－12，k＝12；sin 12π6＝0，k＝13；…；由此可知sin kπ6的值是以12为周期出现的．又2 019＝12×168＋3，所以输出的n的值为168×2＋1＝337，故选C．B级·素养提升|练能力|12.(2019届南昌市一模)如图所示的程序框图，当输入的x为1时，输出的结果为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C执行程序框图，i＝0，输入的x为1时，y＝1＋1＝2，i＝1，y＝2<20，则x ＝2；y＝4，i＝2，y＝4<20，则x＝4；y＝8，i＝3，y＝8<20，则x＝8；y＝16，i＝4，y＝16<20，则x＝16；y＝32，i＝5，y＝32>20，退出循环体．故输出的结果为5，故选C．13．(2019届湖南四校联考)运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为－21，则判断框中可以填()A．a<64? B．a≤64?C．a<128? D．a≤128?解析：选A执行程序框图，S＝1，a＝－2；S＝－1，a＝4；S＝3，a＝－8；S＝－5，a ＝16；S＝11，a＝－32；S＝－21，a＝64，此时退出循环，所以判断框中可以填“a<64？”，故选A．14．(2020届石家庄摸底)2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某给定值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数x的素数个数大约可以表示为n (x )≈xln x 的结论(素数即质数，lg e ≈0.434 29)．根据欧拉得出的结论，在如图所示的程序框图中，若输入n 的值为100，则输出k 的值应属于区间( )A ．(15，20]B ．(20，25]C ．(25，30]D ．(30，35]解析：选B 该程序框图是统计100以内素数的个数，由题可知小于数x 的素数个数大约可以表示为n (x )≈x ln x ，则100以内的素数的个数为n (100)≈1002ln 10＝1002lg 10lg e ＝50lg e ≈22，故选B ．15．(2020届贵阳摸底)三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似值，首创“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的n 值为( )(参考数据：sin 7.5°≈0.130 5，sin 15°≈0.258 8) A ．6 B ．12 C ．24D ．48解析：选C 执行程序框图，n ＝6，S ＝12×6sin 360°6＝3×32＝332＜3.10；n ＝12，S ＝12×12sin 360°12＝6×12＝3＜3.10；n ＝24，S ＝12×24sin 360°24＝12×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6＞3.10，输出n ，结束，故输出的n 值为24.故选C ．。

2021年高考数学一轮复习 12-4 推理与证明、算法初步、复数课时作业理（含解析）一、填空题1．(xx·重庆卷改编)执行如图所示的流程图，则输出S 的值为________．解析 执行程序：k ＝2，S ＝0；S ＝2，k ＝3；S ＝5，k ＝5；S ＝10，k ＝9；S ＝19，k ＝17，此时不满足条件k ＜10，终止循环，输出结果为S ＝19. 答案 192．(xx·盐城模拟)根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为________．解析 依题意，执行题中的伪代码，最后输出的是数列{n }的前10项和，即输出的S 的值是10×1＋102＝55.答案 553．(xx·南通调研)如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是________．解析 该流程图共运行3次，第1次，y ＝0；第2次，y ＝－1；第3次，y ＝－32，结束循环，故输出的y ＝－32.答案 －324．(xx·新课标全国Ⅱ卷改编)执行下面的流程图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝________.解析 k ＝1≤2，执行第一次循环，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝1＋1＝2；k ＝2≤2，执行第二次循环，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝2＋1＝3；k ＝3＞2，终止循环，输出S ＝7.答案 75．(xx·南通质量检测)执行如图所示的流程图，则输出的结果是________．解析据框图依次可得S＝1，k＝1；S＝3，k＝3；S＝9，k＝5；S＝19，k＝7，S＝33，k＝9，此时结束循环，即输出结果是9.答案96．(xx·南京模拟)执行如图的伪代码，输出的结果是________．解析该循环语句共循环4次，各次的S和I的值分别是3和5、15和7、105和9、945和11，故输出的I＝11.答案117．(x x·徐州检测)如果执行如图所示的流程图，则输出的b为________．解析由流程图得第一次循环，b＝2×1＋1＝3，a＝2≤4；第二次循环，b＝2×2＋1＝5，a＝3≤4；第三次循环，b＝2×3＋1＝7，a＝4≤4；第四次循环b＝2×4＋1＝9，a＝5＞4.此时循环结束，输出b＝9.答案98．(xx·福州质量检测)执行如图所示的流程图，输出的M值是________．解析M＝2，i＝1；M＝11－2＝－1，i＝2；M＝11－－1＝12，i＝3；M＝11－12＝2，i＝4；M＝11－2＝－1，i＝5，终止循环，输出M＝－1.答案－19．(xx·南京、盐城模拟)执行如图所示的流程图，则输出的k的值为________．解析逐次写出运行结果．该流程图运行4次，各次S的取值分别是1,2,6,15，所以输出的k＝4.答案 410．(xx·湖北卷改编)阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．解析由题意知，S＝1＋21＋2＋22＋3＋23＋ (9)29＝1 067.答案 1 067能力提升题组(建议用时：15分钟)1．(xx·深圳调研)执行如图所示的流程图，则输出0的概率为________．解析因为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，74的长度为74－1＝34，[1,3]的长度为3－1＝2，所以输出0的概率为342＝38.答案382．(xx·扬州质量预测)利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2＋y2＝10内的个数为________．解析执行题中的流程图，打印的点的坐标依次为(－3,6)，(－2,5)，(－1,4)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，其中点(0,3)，(1,2)，(2,1)位于圆x2＋y2＝10内，因此打印的点位于圆x2＋y2＝10内的共有3个．答案 33．(xx·南京师大附中模拟)如图是一个算法流程图，则输出的s的值是________．解析由流程图可知该程序在求s＝0＋(－1)1×1＋(－1)2×2＋(－1)3×3＋…＋(－1)10×10的值，所以输出的s＝0－1＋2－3＋…＋10＝5.答案 54．(xx·镇江模拟)已知某算法的伪代码如图所示，则可算得f(－1)＋f(e)的值为________．解析 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，2x，x ≤0，所以f (－1)＋f (e)＝2－1＋1＝32.答案3230030 754E 畎21909 5595 喕25565 63DD 揝 Qq30923 78CB 磋E40746 9F2A 鼪}36281 8DB9 趹21016 5218 刘23695 5C8F 岏20738 5102 儂。

2021年高考数学一轮复习第十章算法初步、推理与证明、复数单元综合检测（十）理一、选择题(每小题5分,共35分)1.(xx·柳州月考)复数的共轭复数是a+b i(a,b∈R),i是虚数单位,则点(a,b)为()A.(2,1)B.(2,-1)C.(1,2)D.(1,-2)1.A【解析】复数=(-i)(1+2i)=2-i的共轭复数是2+i,则点(a,b)为(2,1).2.执行如图所示的程序框图,输出的x值为()A.4B.5C.6D.72.C【解析】该程序框图运行4次,各次的x,y的值分别为3,8;4,16;5,32;6,64,所以输出的x的值为6.3.如果复数 (其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于()A.-6B.C.-D.23.C【解析】复数i的实部和虚部互为相反数,则=0,解得b=-.4.(xx·南昌三模)在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则,推广到空间,可以得到类似结论;已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=()A.B.C.D.4.D【解析】从平面图形类比空间图形,从二维类比三维,可得如下结论:正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1,故正四面体P-ABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比.5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的x值是()A.3B.4C.6D.85.D【解析】依次列出运行结果.该程序框图运行3次,k的值分别是2,3,4,所以输出的x=8.6.设x,y,z∈R*,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于26.C【解析】假设a,b,c三数都小于2,则a+b+c<6①.又x,y,z∈R+,a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6,当且仅当x=y=z=1时取等号,与①矛盾,所以假设不成立,即a,b,c三数中至少有一个不小于2.7.(xx·太原一模)执行如图所示的程序框图,则输出的a=()A.20B.14C.10D.77.C【解析】该程序框图共运行xx次,a的值依次是5,14,7,20,10,5,14,…,以5为周期重复出现,所以输出的a=10.二、填空题(每小题5分,共25分)8.已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2020)=.8.- 【解析】令y=1,得f(x)=f(x+1)+f(x-1),则f(x+1)=f(x+2)+f(x),则f(x+2)=-f(x-1)=f(x-4),所以函数f(x)的周期是6,则f(2020)=f(4)=-f(1)=-.9.复数z=,则|z|=.9.1【解析】利用复数的运算法则和模的概念求解.因为z==-i,所以|z|=|-i|=1.10.(xx·广东七校联考)某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的x值为31,则a等于.10.3【解析】利用程序框图确定运行次数.该程序框图运行3次,各次x的值分别为2a+1,4a+3,8a+7,所以8a+7=31,解得a=3.11.(xx·陕西高考)观察分析下表中的数据:多面体面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.11.F+V-E=2【解析】观察表格可知,当多面体为三棱柱时,5+6-9=2,当多面体为五棱锥时,6+6-10=2,当多面体为立方体时,6+8-12=2,归纳可得F,V,E所满足的等式是F+V-E=2. 12.(xx·湖北黄冈中学模拟)计算+2+3+…+n,可以采用以下方法:构造等式:x+x2+…+x n=(1+x)n,两边对x求导,得+2x+3x2+…+nx n-1=n(1+x)n-1,在上式中令x=1,得+2+3+…+n=n·2n-1.类比上述计算方法,计算+22+32+…+n2=.12.n(n+1)·2n-2【解析】在+2x+3x2+…+nx n-1=n(1+x)n-1两边同时乘以x,得x+2x2+3x3+…+nx n=nx(1+x)n-1,两边同时对x求导可得+22x+32x2+…+n2x n-1=n(1+x)n-1+n(n-1)x(1+x)n-2,令x=1得+22+32+…+n2=n(n+1)·2n-2.三、解答题(共60分)13.(12分)已知复数z1=+(a2-3)i,z2=2+(3a+1)i(a∈R,i是虚数单位).若复数z1-z2在复平面上对应点落在第一象限,求实数a的取值范围.13.【解析】由已知可得z1-z2=+(a2-3a-4)i,因为z1-z2在复平面上对应点落在第一象限,故有所以解得-2<a<-1.14.(12分)(xx·郴州校级期中考试)已知一个程序语句如图.(1)若输入x的值为0,求输出y的值;(2)若输出y的值为3,求输入x的值.INPUT“x=”;xIF x<=2 THENy=x*xELSEy=2*x-3END IFPRINT yEND14.【解析】模拟执行程序,可得程序的功能是计算并输出y=的值.(1)输入x的值为0,由于x<2,故y=x2=0,故输出y的值为0.(2)若输出y的值为3,则x2=3(x≤2)或2x-3=3(x>2),可解得x=±或3,故输入x的值为±或3.15.(12分)用综合法证明:a+b+c≥ (a,b,c∈R+).15.【解析】∵a,b,c∈R+,∴a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2,∴(a+b)+(b+c)+(c+a)≥2+2+2,即2(a+b+c)≥2(),∴a+b+c≥,当且仅当a=b=c时取等号,∴a+b+c≥.16.(12分)是否存在常数c,使得不等式≤c≤对任意正整数x,y恒成立?证明你的结论.16.【解析】当x=y=1时,有≤c≤,此时c=.下面证明对任意正整数x,y恒成立.先证对任意正整数x,y恒成立.因为x,y是正整数,所以要证,只要证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(x+2y)(2x+y),化简后即证x2+y2≥2xy,显然成立,故对任意正整数x,y恒成立;再证,只要证3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),化简后即证x2+y2≥2xy,显然成立,故对任意正整数x,y恒成立.综上所述,存在常数c=,使得不等式≤c≤对任意正整数x,y恒成立.17.(12分)各项均为正数的数列{x n}对一切n∈N+均满足x n+<2.(1)证明:x n<x n+1;(2)证明:1-<x n<1.17.【解析】(1)因为x n>0,x n+<2,所以0<<2-x n,所以x n+1>,且2-x n>0.因为-x n=≥0,所以≥x n,所以x n≤<x n+1,即x n<x n+1.(2)下面用数学归纳法证明:x n>1-.①当n=1时,由题设x1>0可知结论成立;②假设当n=k时,x k>1-成立,当n=k+1时,由(1)得x k+1>=1-.由①②可得x n>1-.下面证明x n<1,先证明x n≤1.假设存在自然数k,使得x k>1,则一定存在自然数m,使得x k>1+.因为x k+<2,所以x k+1>=1+,x k+2>,…,x k+m-1>=2,与题设x k+<2矛盾,所以x n≤1.若x k=1,则x k+1>x k=1,根据上述证明可知存在矛盾.所以x n<1成立.综上可知1-<x n<1成立.。

时期性测试题十二(算法初步、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份．总分值150分．考试时刻120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(文) (2021·济南模拟)复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝i 1＋i ＝i 1－i 1＋i 1－i ＝1＋i 2＝12＋i2，因此复数z 对应的点为(12，12)，在第一象限．(理) (2021·郑州六校质量检测)设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，假设z1＋i ＝2－i 成立，那么点P (a ，b )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] A[解析] 因为z1＋i ＝2－i ，因此z ＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ，因此点P (a ，b )在第一象限．2．(文)(2021·广州一测)已知i 是虚数单位，那么1－2i2＋i 等于( )A ．i B.45－i C.45－35i D ．－i [答案] D[解析] 1－2i 2＋i ＝1－2i2－i 2＋i2－i＝2－2－i －4i 22＋12＝－5i5＝－i ，故答案选D.(理)(2021·石家庄质检)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，那么2z＋z 2＝( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i[答案] D[解析] 2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i. 3. (2021·北京西城区期末)执行如下图的程序框图，那么输出的S 值为( ) A ．3 B ．6 C ．7 D ．10[答案] D[解析] 通过循环，可知该循环的作用是求数列的和，循环到n ＝4终止循环，因此S ＝0＋1＋2＋3＋4＝10.应选D.4．(文) 设z ＝1－i(i 是虚数单位)，那么复数2z＋i 2的虚部是( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i[答案] A[解析] 因为z ＝1－i(i 是虚数单位)，因此复数2z ＋i 2＝21－i ＋i 2＝1＋i －1＝i ， 因此复数2z＋i 2的虚部是1.(理)设复数z ＝1＋b i(b ∈R)且|z |＝2，那么复数z 的虚部为( ) A.3B ．±3C ．±1D ．±3i[答案] B[解析] z ＝1＋b i ，且|z |＝2，即1＋b 2＝4，解得b ＝± 3.5．(2021·商丘模拟)工人师傅想对如右图的直角铁皮，用一条直线m 将其分成面积相等的两部份．下面是甲、乙、丙、丁四位同窗给出的做法，其中做法正确的学生数是( )C ．2个D ．1个[答案] A[解析] 可将此图形分割成两个矩形即甲、乙、丁同窗的做法，也可将此图形补上一小矩形即丙同窗的做法．由矩形的对称性可知当直线过矩形的中心即对角线交点时，直线平分矩形的面积．故甲、乙、丙同窗的做法正确．在丁同窗的做法中，因为AB 过两矩形的中心，因此AB 平分此铁皮的面积．当直线m 过线段AB 的中点时，直线m 和AB 围城的两个三角形全等，故直线m 还平分此铁皮的面积．综上可得4个同窗的做法都对．6．(2020·泉州质检)依照以下算法语句， 当输入x 为60时， 输出y 的值为( ) A ．61 B ．31 C ．30 D ．25[答案] B[解析] 分析程序中各变量、各语句的作用，再依照流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x x≤5025＋0.6x －50 x>50的函数值，当x ＝60时，那么y ＝25＋0.6(60－50)＝31，应选B .7．(文)(2021·安阳月考)已知M 是e x ＋e －x 的最小值，N ＝2tan 22.5°1－tan 22.5°，那么以下图所示程序框图输出的S 为( )A ．2B ．1C .12D ．0[答案] A [解析]∵e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，∴M ＝2，N ＝2tan 22.5°1－tan 222.5°＝tan 45°＝1，因此M>N ，又框图的功能是求M ，N 中的较大值，故输出的值为2.(理) (2021·安阳月考)已知函数y ＝1x 与x ＝1，x 轴和x ＝e 所围成的图形的面积为M ，N ＝tan 22.5°1－tan 22.5°，那么程序框图输出的S 为( )C .12D ．0[答案] C [解析] 因为2N ＝2tan 22.5°1－tan 222.5°＝tan 45°＝1，因此N ＝12，M ＝⎠⎜⎛1e1x d x ＝ln x |e 1＝1，因此M >N ，又框图的功能是求M ，N 中的较小值，故输出的值为12.8．(文) (2021·舟山期末)读下面程序框图，该程序运行后输出的A 值为( ) A.34 B.45 C.56 D.67[答案] C[解析] 第一次循环：A ＝12－A ＝23，i ＝i ＋1＝2，现在知足条件，继续循环；第二次循环：A ＝12－A ＝34，i ＝i ＋1＝3，现在知足条件，继续循环；第三次循环：A ＝12－A ＝45，i ＝i ＋1＝4，现在知足条件，继续循环；第四次循环：A ＝12－A ＝56，i ＝i ＋1＝5，现在不知足条件，终止循环，输出A 的值为56.(理) (2021·东北三校模拟) 以下代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1 C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k )[答案] D[解析] (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36. 这确实是说，k ＝n ＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，命题对任何k ∈N *都成立．9．(2021·沧州模拟)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，假设a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，那么2x ＋1y的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 因为a x ＝b y ＝2，因此x ＝log a 2，y ＝log b 2，因此2x ＋1y ＝2log 2a ＋log 2b ＝log 2(a 2b )≤log 2(a 2＋b2)2＝2，当且仅当a 2＝b ＝2时取等号．10. 概念在R 上的函数y ＝f (x )，知足f (3－x )＝f (x )，(x －32)f ′(x )<0，假设x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，那么有( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不确信[答案] B[解析] 因为函数y ＝f (x )，知足f (3－x )＝f (x )，因此函数y ＝f (x )的对称轴为x ＝32.又因为(x －32)f ′(x )<0，因此x <32时，f ′(x )>0，x >32时，f ′(x )<0，因此函数y ＝f (x )在(－∞，32]上单调递增；在[32，＋∞)上单调递减．又因为x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，因此3－x 2<x 1<x 2，且x 2∈(32，＋∞)，观看图像，得f (x 1)>f (x 2)．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．在复平面上，复数32－i2对应的点到原点的距离为________．[答案] 35[解析] 复平面上复数z 对应的点到原点的距离确实是它的模，而|32－i 2|＝3|2－i|2＝35，此题不需要把复数化简为a ＋b i(a ，b ∈R)形式．12．(2021·厦门质检)程序框图如下：若是上述程序运行的结果为S ＝132，那么判定框中横线上应填入的数字是________． [答案] 10[解析] 由题设条件能够看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于132＝11×12，故循环两次，故判定框中应填k ≤10.13．(2021·洛阳部份重点中学教学检测)观看以劣等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一样的结论：关于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝________.[答案] 1－1n ＋1·2n[解析] 由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…， 因此关于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝1－1n ＋12n.14. (文) (2021·阜阳一中模拟)假设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 2n －1＝(2n －1)a n .由类比推理可得：在等比数列{b n }中，假设其前n 项的积为P n ，那么P 2n －1＝________.[答案] b 2n －1n[解析] 因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 2n －1＝(2n －1)a n .因此类比推理可得：在等比数列{b n }中，假设其前n 项的积为P n ，那么P 2n －1＝b 2n －1n. (理)关于命题：假设O 是线段AB 上一点，那么有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：假设O 是△ABC 内一点，那么有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0. 将 它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，那么有________．[答案] V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0[解析] 平面上的线段长度类比到平面上确实是图形的面积，类比到空间确实是几何体的体积．15．(文)如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来的(n ＝1,2,3，…)，那么第n －2(n ≥3，n ∈N *)个图形共有________个极点．[答案] n (n ＋1)[解析] 当n ＝1时，极点共有3×4＝12(个)， 当n ＝2时，极点共有4×5＝20(个)， 当n ＝3时，极点共有5×6＝30(个)， 当n ＝4时，极点共有6×7＝42(个)，故第n －2图形共有极点(n －2＋2)(n －2＋3)＝n (n ＋1)个． (理)(2021·东北四校联考)依照下面一组等式S 1＝1， S 2＝2＋3＝5， S 3＝4＋5＋6＝15， S 4＝7＋8＋9＋10＝34， S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， S 7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，…可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝________. [答案] n 4[解析] 依照所给等式组，不难看出：S 1＝1＝14；S 1＋S 3＝1＋15＝16＝24；S 1＋S 3＋S 5＝1＋15＋65＝81＝34，S 1＋S 3＋S 5＋S 7＝1＋15＋65＋175＝256＝44，由此可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤) 16．(本小题总分值12分)设a ，b ，c >0，证明a 2b＋b 2c＋c 2a≥a ＋b ＋c .[证明] ∵a 、b 、c >0，依照均值不等式， 有a 2b＋b ≥2a ，b 2c＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c .三式相加：a 2b＋b 2c＋c 2a＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b＋b 2c＋c 2a≥a ＋b ＋c .17．(本小题总分值12分)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图．[分析] 题目给出了10个数字，将大于40的数找出来．解答此题先确信利用循环结构，再确信循环体． [解析] 程序框图如下图：18．(本小题总分值12分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当实数m 取何值时． (1)z 是纯虚数． (2)z 是实数．(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧lg m 2－2m －2＝0，m 2＋3m ＋2≠0.解得m ＝3.因此当m ＝3时，z 是纯虚数． (2)由m 2＋3m ＋2＝0， 得m ＝－1或m ＝－2，又m ＝－1或m ＝－2时，m 2－2m －2>0， 因此当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧lg m 2－2m －2<0，m 2＋3m ＋2>0.即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0解得：－1<m <1－3或1＋3<m <3.因此当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，z 对应的点位于复平面的第二象限．19．(本小题总分值12分)已知数列{a n }的各项排成如下图的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7…组成等差数列{b n }，S n 是{b n }的前n 项和，且b 1＝a 1＝1，S 5＝15.(1)假设数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均组成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a 9＝16，求a 50的值；(2)设T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，求T n .[解析] (1)∵{b n }为等差数列，设公差为d ，b 1＝1，S 5＝15，∴S 5＝5＋10d ＝15，d ＝1， ∴b n ＝1＋(n －1)×1＝n .设从第3行起，每行的公比都是q ，且q >0，a 9＝b 4q 2,4q 2＝16，q ＝2， 1＋2＋3＋…＋9＝45，故a 50是数阵中第10行第5个数， 而a 50＝b 10q 4＝10×24＝160. (2)∵S n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12， ∴T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ＝2n ＋1n ＋2＋2n ＋2n ＋3＋…＋22n 2n ＋1＝2(1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1)＝2(1n ＋1－12n ＋1)＝2n n ＋12n ＋1. 20．(本小题总分值13分)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，假设1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A ，B ，C 是不是成等差数列，假设不成等差数列，请说明理由．假设成等差数列，请给出证明．[解析] A 、B 、C 成等差数列． 证明如下： ∵1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，∴a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3.∴ca ＋b ＋ab ＋c＝1，∴c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .在△ABC 中，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac2ac ＝12， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°. ∴ A ＋C ＝2B ＝120°. ∴A 、B 、C 成等差数列．21．(本小题总分值14分)已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，而且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1,2，…)，a 1＝1. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝a n2n (n ＝1,2，…)，求证：数列{c n }是等差数列；(3)(理)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式．[解析] (1)证明：∵S n ＋1＝4a n ＋2，∴S n ＋2＝4a n ＋1＋2， 两式相减，得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1,2，…)， 即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，变形得a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )． ∵b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，∴b n ＋1＝2b n . 由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列． (2)证明：由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 1＝1， ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3， 由(1)知b n＝3·2n －1，又c n ＝a n2n .∴c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n2n ＋1.将b n ＝3·2n －1代入得c n ＋1－c n ＝34(n ＝1,2，…)． 由此可知，数列{c n }是公差d ＝34的等差数列． (3)由(2)得：c 1＝a 12＝12，故c n ＝34n －14. ∵c n ＝34n －14＝14(3n －1)， ∴a n ＝2n ·c n ＝(3n －1)·2n －2(n ＝1,2，…)． 当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)·2n －1＋2. 由于S 1＝a 1＝1也适合于此公式， 因此{a n }的前n 项和公式为S n ＝(3n －4)·2n －1＋2.。

单元检测(十二)算法、复数、推理与证明一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z满足z(2＋i)＝3－6i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A．3 B．－3iC．3i D．－32．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c 中恰有一个是偶数”的正确假设为()A．自然数a，b，c中至少有两个偶数B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．自然数a，b，c都是奇数D．自然数a，b，c都是偶数3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n}，那么a10的值为()A．45 B．55C．65 D．664．已知i为虚数单位，如图，网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z对应的复数为z，则复数z1－2i的共轭复数是()A．－i B．1－iC．i D．1＋i5．执行如图所示的程序框图，如果输入的N＝100，则输出的x＝()A．0.95 B．0.98C．0.99 D．1.006．已知i是虚数单位，复数z＝1a－i(a∈R)在复平面内对应的点位于直线x－2y＝0上，则复数z的虚部为() A．2 B．3 C.15i D.157．《周易》表现了古代中华民族对万事万物深刻又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为，把阳爻“——”当作数字“1”，把阴爻“——”当作数字“0”，则八卦所代表卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震001 1坎010 2兑011 3依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是()A．18 B．17C．16 D．158．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋149．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n项之积为T n ，并且满足条件：a 1>1，a 2 016a 2 017>1，a 2 016－1a 2 017－1<0，下列结论中正确的是( )A ．q <0B ．a 2 016a 2 018>1C ．T 2 016是数列{T n }中的最大项D ．S 2 016>S 2 01710．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组为{1}，第2组为{3,5}；第3组为{7,9,11}；…试观察每组内各数之和S n 与该组的编号数n 的关系为( )A ．S n ＝n 2B ．S n ＝n 3C ．S n ＝n 4D ．S n ＝n (n ＋1) 11．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(即176两)，问玉、石重各几何？”其意思为：“宝石1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤(即176两)，问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为( )A．90,86 B．94,82C．98,78 D．102,7412．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；④丙不在看书，也不写信．已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是()A．玩游戏B．写信C．听音乐D．看书二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2020·西安八校联考]若a＋b ii(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________.14．观察下列等式1－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…据此规律，第n个等式可为____________________．15．如图是求样本x 1，x 2，…x 10的平均数x －的程序框图，则空白框中应填入的内容为________．16．沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A ，B ，C ，D ，E ，F 尝试做了，并且这6人中只有1人答对了；同学甲猜测：D 或E 答对了；同学乙猜测：C 不可能答对；同学丙猜测：A ，B ，F 当中必有1人答对了；同学丁猜测：D ，E ，F 都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设复数z ＝m 2－2m －3＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 取何值时．(1)z 是实数； (2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．18.(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i ，i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R ，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，求cos4α＋π3的值．19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝0，其前n 项和为S n ，且a 2＋2，S 3，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)2S n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n－2n <12.20．(本小题满分12分)已知函数f1(x)＝sin x2，x∈R，记f n＋1(x)为f n(x)的导数，n∈N*.(1)求f2(x)，f3(x)；(2)猜想f n(x)，n∈N*的表达式，并证明你的猜想．21.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB 的中点．求证：(1)PE⊥BC；(2)平面P AB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.22．(本小题满分12分)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在x0使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．(1)函数f(x)＝2x＋1是否属于集合M？请说明理由；(2)函数f(x)＝lnax2＋1∈M，求实数a的取值范围；(3)设函数f(x)＝3x＋x2，证明：函数f(x)∈M.单元检测(十二)算法、复数、推理与证明1．答案：D解析：由题意可得，z＝3－6i2＋i＝(3－6i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝－15i5＝－3i，据此可知，复数z的虚部为－3.故选D.2．答案：B解析：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数a ，b ，c 均为奇数或自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数”．3．答案：B解析：第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3＝1＋2个， 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， ……故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B. 4．答案：A解析：易知z ＝2＋i ，则z1－2i ＝2＋i1－2i ＝－2i 2＋i1－2i＝i ，其共轭复数为－i.5．答案：C解析：由程序框图可知x ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫199－1100＝99100.故选C. 6．答案：D解析：z ＝1a －i ＝a ＋ia 2＋1＝aa 2＋1＋1a 2＋1i ，其对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋1，1a 2＋1，又该点位于直线x －2y ＝0上，所以a ＝2，z ＝25＋15i ，其虚部为15.7．答案：B解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的二进制数是010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17.故选B.8．答案：D解析：分母n，n＋1，n＋2…n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列项数为n2－n＋1.故选D.9．答案：C解析：由a1>1，a2 016a2 017>1得q>0，由a2 016－1a2 017－1<0，a1>1得a2 016>1，a2017<1,0<q<1，故数列{a n}的前2 016项都大于1，从第2 017项起都小于1，因此T2 016是数列{T n}中的最大项，故选C.10．答案：B解析：由题意可得，第一组数字之和为1＝13；第二组数字之和为3＋5＝8＝23；第三组数字之和为7＋9＋11＝27＝33，依次类推，按照规律，归纳可得，第n组数字之和为S n＝n3，故选B.11．答案：C解析：执行程序：x＝86，y＝90，S＝867＋906≠27; x＝90，y＝86，S＝907＋866≠27；x＝94，y＝82，S＝947＋826≠27；x＝98，y＝78，S＝987＋786＝27，故输出的x，y分别为98,78.故选C.12．答案：D解析：由①知甲在听音乐或玩游戏，由②知乙在看书或玩游戏，由④知丙在听音乐或玩游戏，由③知丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书，故选D.13．答案：－7解析：a ＋b i i ＝i (a ＋b i )i 2＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.14．答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n 解析：规律为等式左边共有2n 项且等式左边分母分别为1,2，…，2n ，分子为1，奇数项为正，偶数项为负，即为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边共有n 项且分母分别为n ＋1，n ＋2，…，2n ，分子为1，即为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .所以第n 个等式可为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 15．答案：S ＝S ＋x n解析：由题意知，该程序的功能是求样本x 1，x 2，…，x 10的平均数x －，因为“输出x －”的前一步是“x －＝Sn ”，所以循环体的功能是累加各样本的值，故应为S ＝S ＋x n .16．答案：丁解析：若甲猜对，则乙猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错．∵甲、乙、丙、丁4人中只有1人猜对，∴丁猜对．17．解析：(1)由m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－1或－2. ∴m ＝－1或－2时，z 是实数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3，∴m ＝3时，z 是纯虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0，解得－1<m <3，∴当－1<m <3时，z 对应的点位于复平面的第二象限． 18．解析：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，所以t ＝sin 2x －3cos 2x .又t ＝0，所以sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. 因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3， 所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)由(1)知，t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为当x ＝α时，t ＝12， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝12，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝14，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－14，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π3＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－142－1＝－78. 19．解析：(1)由a 1＝0得a n ＝(n －1)d ，S n ＝n (n －1)d2，因为a 2＋2，S 3，S 4成等比数列，所以S 23＝(a 2＋2)S 4，即(3d )2＝(d ＋2)·6d ，整理得3d 2－12d ＝0，即d 2－4d ＝0， 因为d ≠0，所以d ＝4.所以a n ＝(n －1)d ＝4(n －1)＝4n －4. (2)证明：由(1)可得S n ＋1＝2n (n ＋1)，所以b n ＝(2n ＋1)2S n ＋1＝(2n ＋1)22n (n ＋1)＝2＋12n (n ＋1)＝2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<2n ＋12， 所以T n －2n <12.20．解析：(1)由f 1(x )＝sin x 2，得f 2(x )＝12cos x 2，f 3(x )＝－14sin x2. (2)猜想：f n (x )＝12n －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12π＋x 2. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f 1(x )＝sin x2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即f k (x )＝12k －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12π＋x 2. 当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f ′k (x )＝12×12k －1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12π＋x 2＝12k sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12π＋π2＋x 2＝12(k ＋1)－1sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k ＋1)－12π＋x 2. 所以当n ＝k ＋1时，结论成立．所以由①②可知，对任意的n ∈N *结论成立．21．证明：(1)∵P A ＝PD ，且E 为AD 的中点，∴PE ⊥AD .∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面P AD. ∴AB⊥PD.又P A⊥PD，P A∩AB＝A，∵PD⊥平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，GD.∵F，G分别为PB和PC的中点，∴FG∥BC，且FG＝12BC.∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，∴ED∥BC，DE＝12BC，∴ED∥FG，且ED＝FG，∴四边形EFGD为平行四边形，∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.22．解析：(1)f(x)＝2x＋1∉M.理由如下：假设f(x)＝2x＋1∈M，则在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，即2x 0＋1＋1＝2x 0＋1＋3，整理得3x 20＋3x 0＋2＝0，∵方程3x 20＋3x 0＋2＝0无实数解，∴假设不成立， ∴函数f (x )＝2x ＋1∉M . (2)由题意得，f (x )＝lna x 2＋1∈M ，∴lna (x ＋1)2＋1＝ln a x 2＋1＋ln a2在定义域内有解， 即(2－a )x 2－2ax －2a ＋2＝0在实数集R 内有解， 当a ＝2时，x ＝－12，满足题意； 当a ≠2时，由Δ≥0，得a 2－6a ＋4≤0， 解得3－5≤a ≤3＋5且a ≠2， 综上3－5≤a ≤3＋5，∴实数a 的取值范围为[3－5，3＋5]． (3)证明：∵f (x )＝3x ＋x 2， ∴f (x 0＋1)－f (x 0)－f (1)＝013x ＋＋(x 0＋1)2－03x －x 20－4＝2⎝⎛⎭⎪⎫3x0＋x 0－32 又函数y ＝3x 的图象与函数y ＝－x ＋32的图象有交点，设交点横坐标为a ，则3a ＋a －32＝0，所以03x＋x 0－32＝0，其中x 0＝a ， ∴f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，即f (x )∈M .快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。