高考试题汇编复数,推理与证明,算法初步

2021年高考数学二轮复习推理与证明、算法初步、复数专题训练（含解析）一、选择题1．(xx·安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．34 B．55C．78 D．89解析由程序框图知依次为：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55>50，故输出55.答案B2．(xx·北京卷)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A．7 B．42C．210 D．840解析开始：m＝7，n＝3.计算：k＝7，S＝1.第一次循环，此时m－n＋1＝7－3＋1＝5，显然k<5不成立，所以S＝1×7＝7，k＝7－1＝6.第二次循环，6<5不成立，所以S＝7×6＝42，k＝6－1＝5.第三次循环，5<5不成立，所以S＝42×5＝210，k＝5－1＝4.显然4<5成立，输出S的值，即输出210，故选C.答案C3．若复数z满足i z＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( ) A．(2,4) B．(2，－4)C．(4，－2) D．(4,2)解析由i z＝2＋4i得：z＝2＋4ii＝2＋4i i－1＝4－2i，对应点为(4，－2)，故选C.答案C4．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4D .45解析 |4＋3i |＝42＋32＝5，所以(3－4i )z ＝5，即z ＝53－4i ＝53＋4i 3－4i 3＋4i＝35＋45i ，所以z 的虚部为45，故选D .答案 D5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f(x)＝x cos x 满足f(－x)＝－f(x)对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析 注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.答案 A6．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x＋a －x，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析 经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y－a－x －y)，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(ax ＋y－a－x －y)，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )，综上所述，选B.答案 B 二、填空题7．(xx·江苏卷)下图是一个算法流程图，则输出的n 的值是________．解析 本题实质上是求不等式2n>20的最小整数解，2n>20的整数解为n ≥5，因此输出的n ＝5. 答案 58．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析 z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i.答案 －2i 9．观察下列等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……则当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 解析 由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12， 知m ＝2，n ＝4,12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52； ……依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案 n 2－m 2三、解答题10．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ， ∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i.11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解 (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∵⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．B 级——能力提高组1．若数列{a n }是等差数列，则数列 {b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n 解析 若{a n }是等差数列， 则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列； 若{c n }是等比数列， 则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·qn n －12，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 答案 D2．(xx·湖北卷)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.解析不妨取a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851，b＝693；则取a＝693，则I(a)＝369，D(a)＝963，b＝594；则取a＝594，则I(a)＝459，D(a)＝954，b＝495；则取a＝495，则I(a)＝459，D(a)＝954，b＝495.故输出结果b＝495.答案4953．根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x k，…；y1，y2，…，y k，….(1)分别求数列{x k }和{y k }的通项公式；(2)令z k ＝x k y k ，求数列{z k }的前k 项和T k ，其中k ∈N *，k ≤2 007. 解 (1)由程序框图，知数列{x k }中，x 1＝1，x k ＋1＝x k ＋2， ∴x k ＝1＋2(k －1)＝2k －1(k ∈N *，k ≤2 007)． 由程序框图，知数列{y k }中，y k ＋1＝3y k ＋2， ∴y k ＋1＋1＝3(y k ＋1)． ∴y k ＋1＋1y k ＋1＝3，y 1＋1＝3. ∴数列{y k ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴y k ＋1＝3·3k －1＝3k.∴y k ＝3k－1(k ∈N *，k ≤2 007)．(2)T k ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x k y k ＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k －1)(3k －1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k－[1＋3＋…＋(2k －1)]．记S k ＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k，① 则3S k ＝1×32＋3×33＋…＋(2k －1)·3k ＋1，②①－②，得－2S k ＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k－(2k －1)·3k ＋1＝2(3＋32＋…＋3k )－3－(2k －1)·3k ＋1＝2×3×1－3k1－3－3－(2k －1)·3k ＋1＝3k ＋1－6－(2k －1)·3k ＋1＝2(1－k )·3k ＋1－6，∴S k ＝(k －1)·3k ＋1＋3.又∵1＋3＋…＋(2k －1)＝k 1＋2k －12＝k 2，∴T k ＝(k －1)·3k ＋1＋3－k 2.27235 6A63 橣@qc24387 5F43 彃26788 68A4 梤24556 5FEC 忬25364 6314 挔36889 9019 這}29383 72C7 狇 23216 5AB0 媰34210 85A2薢。

---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 算法、复数、推理与证明试题成绩课程名称高考数学二轮复习模拟考试开卷闭卷√教研室高三数学组A卷√B卷复习时间年月日时分至时分适用专业班级班级姓名学号考生注意：舞弊万莫做，那样要退学，自爱当守诺，最怕错上错，若真不及格，努力下次过。

答案写在答题纸上，写在试题纸上无效。

一、选择题1．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝()A.12 B.22C. 2 D．22．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．－2 B．0 C．－1 D．－3试题共页第页3．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·z＝4，则a＝()A．1或－1 B.7或－7C．－ 3 D. 34．执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A．5 B．4C．3 D．25．(2017·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 6．执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为()A．x＞3 B．x＞4C．x≤4 D．x≤57．如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n＞1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A＞1 000和n＝n＋1B．A＞1 000和n＝n＋2C．A≤1 000和n＝n＋1D．A≤1 000和n＝n＋2试题共页第页8．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩二、填空题9．已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．10．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．11．设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)＞2，f(8)＞52，f(16)＞3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f(128)＞________.12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，试题共页第页15．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.试题共页第页∴N＝2成立．显然2是最小值．故选D.答案：D5．解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋b i＝a－b ia2＋b2∈R，则b＝0⇒z＝a＋b i＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋b i)2＝a2＋2ab i－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋b i＝b i∉R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋b i∈R，则b＝0⇒z＝a－b i＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.答案：B6．解析：输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x＞4.故选B.答案：B7．解析：因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1 000”．故选D.答案：D8．解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1试题共页第页---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- f′(x)＝2x2＋xx＋1＋ln(1＋x)＞0(x＞0)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x2n＋1－2x n＋1＋(x n＋1＋2)ln(1＋x n＋1)＝f(x n＋1)≥0，故2x n＋1－x n≤x n x n＋12(n∈N*)．(3)因为x n＝x n＋1＋ln(1＋x n＋1)≤x n＋1＋x n＋1＝2x n＋1，所以x n≥12n－1.由x n x n＋12≥2x n＋1－x n得1x n＋1－12≥2⎝⎛⎭⎪⎫1x n－12＞0，所以1x n－12≥2⎝⎛⎭⎪⎫1x n－1－12≥…≥2n－1⎝⎛⎭⎪⎫1x1－12＝2n－2，故x n≤12n－2.综上，12n－1≤x n≤12n－2(n∈N*)．15．证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C. 又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD.试题共页第页试题共页第页---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线-------------------------------------------------------------[39.97，39.99)200.20[39.99，40.01)500.50[40.01，40.03]200.20合计100 1.00频率分布直方图如图所示：(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97，40.03]内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)这批乒乓球直径的平均值大约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．14．解析：(1)设从高二年级男生中抽出m人，则m500＝45500＋400，m＝25，从高二年级女生中应抽出的人数为45－25＝20，故表一为男生数据，表二为女生数据，所以x＝25－15－5＝5，y＝20－15－3＝2.(2)2×2列联表如下：男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045因为K2＝45×(15×5－15×10)230×15×25×20＝45×152×5230×15×25×20＝98＝1.125＜2.706，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．15．解析：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：试题共页第页。

第二十一单元推理证明、算法初步、复数考点一算法初步1.(2017年全国Ⅰ卷)如图所示的程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入().A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+2【解析】因为题目要求的是“满足3n-2n>1000的最小偶数n”,所以n的叠加值为2,所以内填入“n=n+2”.由程序框图知,当内的条件不满足时,输出n,所以内填入“A≤1000”.故选D.【答案】D2.(2017年全国Ⅱ卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=-1,那么输出的S=().A.2B.3C.4D.5【解析】当K=1时,S=0+(-1)×1=-1,a=1,执行K=K+1后,K=2;当K=2时,S=-1+1×2=1,a=-1,执行K=K+1后,K=3;当K=3时,S=1+(-1)×3=-2,a=1,执行K=K+1后,K=4;当K=4时,S=-2+1×4=2,a=-1,执行K=K+1后,K=5;当K=5时,S=2+(-1)×5=-3,a=1,执行K=K+1后,K=6;当K=6时,S=-3+1×6=3,执行K=K+1后,K=7>6,输出S=3.结束循环.故选B.【答案】B3.(2017年全国Ⅲ卷)执行如图所示的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为().A.5B.4C.3D.2【解析】假设N=2,程序执行过程如下:t=1,M=100,S=0,=-10,t=2;1≤2,S=0+100=100,M=-10010=1,t=3;2≤2,S=100-10=90,M=--10103>2,输出S=90<91,符合题意.∴N=2成立,显然2是最小值.故选D.【答案】D4.(2016年全国Ⅰ卷)执行如图所示的程序框图,若输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足().A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x【解析】输入x=0,y=1,n=1,运行第一次,x=0,y=1,不满足x2+y2≥36;,y=2,不满足x2+y2≥36;运行第二次,x=12,y=6,满足x2+y2≥36.运行第三次,x=32,y=6.输出x=32由于点(3,6)在直线y=4x上,故选C.2【答案】C5.(2016年全国Ⅱ卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图所示的是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a 为2,2,5,则输出的s=( ).A .7B .12C .17D .34【解析】因为输入的x=2,n=2,所以当k=3时循环结束,输出s.根据程序框图可得循环体中a ,s ,k 的值依次为2,2,1(第一次循环);2,6,2(第二次循环);5,17,3(第三次循环).所以输出的s=17.【答案】C考点二 复数6.(2017年全国Ⅱ卷)3+i1+i=( ).A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【解析】3+i 1+i =(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=3−3i+i+12=2-i .故选D .【答案】D7.(2017年全国Ⅲ卷)设复数z 满足(1+i )z=2i ,则|z|=( ).A .12B .√22C .√2D .2【解析】由(1+i )z=2i ,得z=2i1+i=1+i ,∴|z|=√2.故选C .【答案】C8.(2016年全国Ⅰ卷)设(1+i )x=1+y i ,其中x ,y 是实数,则|x+y i |=( ).A.1B.√2C.√3D.2【解析】∵(1+i)x=1+y i,∴x+x i=1+y i.又∵x,y∈R,∴x=1,y=x=1.∴|x+y i|=|1+i|=√2.故选B.【答案】B考点三推理证明9.(2017年全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则().A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【解析】由甲说:“我还是不知道我的成绩”可知甲看到乙、丙的成绩为“一个优秀、一个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,当丙为“优秀”时,乙为“良好”;当丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,当甲为“优秀”时,丁为“良好”;当甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.故选D.【答案】D10.(2016年全国Ⅱ卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.【解析】因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.【答案】1和311.(2014年全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市.乙说:我没去过C城市.丙说:我们三个去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.【解析】由丙说可知,乙至少去过A ,B ,C 三个城市中的一个.由甲说可知,甲去过A ,C 城市且比乙去过的城市多,故乙只去过一个城市.又乙没去过C 城市,故乙只去过A 城市.【答案】A12.(2017年浙江卷)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n+1+ln (1+x n+1)(n ∈N *).证明:当n ∈N *时,(1)0<x n+1<x n ; (2)2x n+1-x n ≤x n x n+12; (3)12n -1≤x n ≤12n -2.【解析】(1)用数学归纳法证明:x n >0. 当n=1时,x 1=1>0. 假设n=k 时,x k >0, 那么n=k+1时,若x k+1≤0,则0<x k =x k+1+ln (1+x k+1)≤0,矛盾, 故x k+1>0. 因此x n >0(n ∈N *).所以x n =x n+1+ln (1+x n+1)>x n+1. 因此0<x n+1<x n (n ∈N *).(2)由x n =x n+1+ln (1+x n+1), 得x n x n+1-4x n+1+2x n=x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln (1+x n+1).记函数f (x )=x 2-2x+(x+2)ln (1+x )(x ≥0),令f'(x )=2x 2+xx+1+ln (1+x )>0(x>0), 则函数f (x )在[0,+∞)上单调递增, 所以f (x )≥f (0)=0,因此x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln (1+x n+1)=f (x n+1)≥0,故2x n+1-x n ≤x n x n+12(n ∈N *).(3)因为x n=x n+1+ln(1+x n+1)≤x n+1+x n+1=2x n+1,所以x n≥12n-1.由x n x n+12≥2x n+1-x n,得1x n+1-12≥2(1x n-12)>0,所以1x n -12≥2(1x n-1-12)≥…≥2n-1(1x1-12)=2n-2,故x n≤12n-2.综上,12n-1≤x n≤12n-2(n∈N*).高频考点:利用循环结构表示分段函数,求分段函数的值域,程序框图的完善,合情推理与演绎推理,直接证明与间接证明,数学归纳法,复数的概念,复数的几何意义,复数的四则运算,等等.命题特点:1.从近几年的高考试题看,综合法、分析法及反证法是高考常考内容,主要与数列、函数、不等式、立体几何、解析几何等知识交汇命题,在证明过程中应注意步骤的规范化.2.由近三年的高考命题形式可以看出,算法初步主要掌握算法概念和程序框图,理解算法的基本结构、基本算法语句,理解古代算法案例,体会蕴含的算法思想,增强有条理的思考与表达能力,提高逻辑思维能力,等等.而高考命题主要集中在算法的三种基本逻辑结构的框图表示,程序框图与其他知识结合是新的热点.3.从近几年高考命题看,复数往往有一道选择题或填空题,属于容易题.主要考查的方向有两个,一是复数的概念及运算,如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算;二是复数的几何意义及其应用,如复数对应的点的位置(坐标)、复数与方程的综合问题等.§21.1合情推理与演绎推理一合情推理类型定义特点归纳推理 由某类事物的 对象具有某些特征,推出该类事物的对象都具有这些特征的推理 由部分到 、 由 到一般类比推理由两类对象具有某些和其中一类对象的某些已知 ,推出另一类对象也具有这些 的推理由特殊到合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 ,然后提出 的推理二 演绎推理1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到 的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: (1)大前提——已知的 ; (2)小前提——所研究的 ;(3)结论——根据 ,对特殊情况做出的判断.☞ 左学右考已知数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,a n =a n-1+2n-1,依次计算a 2,a 3,a 4后,猜想a n 的表达式是( ).A.a n =3n-1B.a n =4n-3C.a n =n 2D.a n =3n-1根据图中的数构成的规律,得a 表示的数是( ).A.12B.48C.60D.144知识清单一、部分全部整体个别类似特征特征特征特殊类比猜想二、1.特殊2.(1)一般原理(2)特殊情况(3)一般原理基础训练1.【解析】由a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想a n=n2.【答案】C2.【解析】由图中的数据可知,每行除首末两个数外,其他数等于其上一行两肩上的数的乘积.所以a=12×12=144.【答案】D题型一归纳推理【例1】如图所示的是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上至下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为21+23=10……依此类推,则第99个等式为().20+21=320+22=521+22=620+23=921+23=1022+23=1220+24=1721+24=1822+24=2023+24=24……A.27+213=8320B.27+214=16512C.28+214=16640D.28+213=8448【解析】依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);….又因为99=(1+2+3+…+13)+8,所以第99个等式应位于第14行的从左至右的第8个位置,即为27+214=16512,故选B.【答案】B归纳推理是依据特殊现象推出一般现象,因而在进行归纳推理时,首先观察题目给出的特殊数(式)的变【变式训练1】有一个奇数组成的数阵排列如下:1371321…591523…111725…1927…29……则第30行从左到右第3个数是.【解析】先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每行的第1个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+…+60=929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.【答案】1051题型二类比推理【例2】给出下列三个类比结论:①(ab)n=a n b n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b n;②log a(xy)=log a x+log a y与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin αsin β;③(a+b )2=a 2+2ab+b 2与(a+b )2类比,则有(a+b )2=a 2+2a ·b+b 2.其中正确结论的个数是( ).A.0B.1C.2D.3 【解析】(a+b )n≠a n+b n(n ≠1,a ·b ≠0),故①错误.sin (α+β)=sin αsin β不恒成立,如α=30°,β=60°,sin 90°=1,sin 30°·sin 60°=√34,故②错误.由向量的运算公式知③正确. 【答案】B在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对【变式训练2】若数列{a n }是等差数列,则数列{b n }(b n =a 1+a 2+⋯+a nn)也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c n }是等比数列,则{d n }也是等比数列,且d n 的表达式应为( ).A.d n =c 1+c 2+⋯+c n n B.d n =c 1·c 2·…·cn nC.d n =√c 1n +c 2n +⋯+c nn nnD.d n =√c 1·c 2·…·c n n【解析】(法一)由题意可知,商类比开方,和类比积,算术平均数类比几何平均数,故d n 的表达式为d n =√c 1·c 2·…·c n n .(法二)若{a n }是等差数列,则a 1+a 2+…+a n =na 1+n(n -1)2d , ∴b n =a 1+(n -1)2d=d 2n+a 1-d2,即{b n }是等差数列. 若{c n }是等比数列,则c 1·c 2·…·c n =c 1n·q1+2+…+(n-1)=c 1n·qn(n -1)2,∴d n =√c 1·c 2·…·c n n =c 1·q n -12,即{d n }是等比数列.【答案】D题型三 演绎推理【例3】已知函数f(x)=-√aa x+√a(a>0,且a≠1).(1)证明:函数f(x)的图象关于点(12,-12)对称.(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R.任取函数f(x)图象上一点(x,f(x)),它关于点(12,-12)对称的点的坐标为(1-x,-1-f(x)).由已知f(x)=-√aa x+√a ,-1-f(x)=-1+√aa x+√a=-axa x+√a.又因为f(1-x)=-√aa1−x+√a=-√a=-√a·xa+√a·a x =-xa x+√a,所以-1-f(x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于点(12,-12)对称.(2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.故f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.因此f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.【变式训练3】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并把最终的推理过程用简略的形式表示出来)【解析】同位角相等,两条直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以DF∥EA.(结论)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)所以四边形AFDE是平行四边形.(结论)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以ED=AF.(结论)上面的推理过程可简略地写成:⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED=AF.{∠BFD=∠A∠DF∥EA,DE∥BA方法一归纳推理的一般步骤1.观察:通过观察个别事物发现某些相同特征.2.概括、归纳:从已知的相同特征中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题.3.猜测一般性结论.【突破训练1】观察下列各等式:,sin260°+cos290°+sin 60°cos 90°=34,sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=34sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45°=34.分析上述各等式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性做出判断,并证明. 【解析】猜想:sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos (α+30°)=34.上式正确.证明:sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos (α+30°)=1−cos2α2+1+cos(2α+60°)2+sin(2α+30°)−sin30°2=1+cos(2α+60°)−cos2α2+12sin (2α+30°)-14=34-12sin (30°+2α)+12sin (2α+30°)=34.所以sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos (α+30°)=34成立.方法二 类比推理的一般步骤1.找出两类事物之间的相似性或一致性.2.用一类事物的某些已知特征、性质去推测另一类事物也具有类似的特征、性质,得出一个明确的命题(或猜想).3.检验这个猜想.一般情况下,如果类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.类比得出的结论既可能为真,也可能为假.类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.【突破训练2】已知△ABC 的边长分别为a ,b ,c ,内切圆半径为r ,用S △ABC 表示△ABC 的面积,则S △ABC =12r (a+b+c ).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD 的内切球半径为R ,则三棱锥的体积V A-BCD = .【解析】内切圆半径r 内切球半径R ;三角形的周长:a+b+c三棱锥的表面积:S △ABC +S △ACD +S △BCD +S △ABD ;三角形面积公式的系数12三棱锥体积公式的系数13.∴三棱锥的体积V A-BCD =13R (S △ABC +S △ACD +S △BCD +S △ABD ).【答案】13R (S △ABC +S △ACD +S △BCD +S △ABD )方法三 演绎推理的规律方法1.分析演绎推理的构成时,要正确区分大前提、小前提、结论,省略大前提的要补出来.2.判断演绎推理是否正确的方法:(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才是演绎推理,这是最易出错的地方.(2)看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等,注意其中有无前提条件. (3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提的范围之内. (4)看推理过程是否正确,即看由大前提、小前提得到的结论是否正确. 【突破训练3】证明:f (x )=1x2在(0,+∞)上为减函数.【解析】∵f'(x )=(1x 2)'=-2x3,x ∈(0,+∞),∴f'(x )<0,∴f (x )在(0,+∞)上是减函数.1.(2017西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个“整数对”是( ).A.(7,5)B.(5,7)C.(2,10)D.(10,1)【解析】依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n+1,且第n 组共有n 个“整数对”,这样的前n 组一共有n(n+1)2个“整数对”,注意到10×(10+1)2<60<11×(11+1)2,因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60个“整数对”是(5,7).故选B .【答案】B2.(2017新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( ).A.2011B.2012C.2013D.2014【解析】根据题图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数的和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=2012,得a=212是自然数.【答案】B3.(2017宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是().A.两条直线平行,同旁内角互补,若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得出高三所有的班的人数均超过50C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列{a n}中,a1=1,a n=12(a n-1+1a n-1)(n≥2),由此归纳出{a n}的通项公式【解析】A选项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提),∠A+∠B=180°(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D选项是归纳推理,C选项是类比推理.【答案】A4.(2017重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年这种树的分枝数为().A.21B.34C.52D.55【解析】因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第10年这种树的分枝数为21+34=55.【答案】D5.(2017河南信阳、三门峡一模)如图,一系列正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……由上述事实,请推测第n个式子为.【解析】由题图中的正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……归纳可得:等式左边是一个以8为公差,4为首项的等差数列,等式右边是正偶数的平方,故第n个式子为4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*).【答案】4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*)6.(2017湖南桃江检测)地震后需搭建简易帐篷,搭建如图①所示的单顶帐篷需要17根钢管,这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建,则串7顶这样的帐篷需要根钢管.【解析】由题意可知,图①的单顶帐篷需要(17+0×11)根钢管,图②的帐篷需要(17+1×11)根钢管,图③的帐篷需要(17+2×11)根钢管,……所以串7顶这样的帐篷需要17+6×11=83根钢管.【答案】837.(2017成都模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,线段两两夹角的线段,且这两条线段为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13与原线段两两夹角为120°,……依此规律得到n级分形图.(1)n级分形图中共有条线段.(2)n 级分形图中所有线段长度之和为 .【解析】(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有(3×2-3)=3条线段,二级分形图有(3×22-3)=9条线段,三级分形图中有(3×23-3)=21条线段,按此规律n 级分形图中的线段条数为3×2n-3(n ∈N *).(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,所以n 级分形图中第n 级的所有线段的长度为b n =3×(23)n -1(n ∈N *),所以n 级分形图中所有线段长度之和为S n =3×(23)0+3×(23)1+…+3×(23)n -1=3×1−(23)n1−23=9-9×(23)n.【答案】(1)3×2n-3(n ∈N *) (2)9-9×(23)n8.(2017襄阳模拟)在平行四边形ABCD 中,有AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2),类比这个性质,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,有A C 12+B D 12+C A 12+D B 12= .【解析】如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形, 因此,在平行四边形ABCD 中,AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2), ①在平行四边形ACC 1A 1中,C A 12+A C 12=2(AC 2+A A 12), ②在平行四边形BDD 1B 1中,D B 12+B D 12=2(BD 2+B B 12), ③由②+③,得C A 12+A C 12+D B 12+B D 12=2(AC 2+A A 12)+2(BD 2+B B 12), ④将①代入④,再结合AA 1=BB 1,得A C 12+B 1D 2+C A 12+B D 12=4(AB 2+AD 2+A A 12).【答案】4(AB 2+AD 2+A A 12)9.(2017揭阳模拟)对于正实数a ,M a 为满足下述条件的函数f (x )构成的集合:∀x 1,x 2∈R 且x 2>x 1,有-a (x 2-x 1)<f (x 2)-f (x 1)<a (x 2-x 1),下列结论中正确的是( ).A.若f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2,则f (x )·g (x )∈M a 1·a 2B.若f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2,且g (x )≠0,则f(x)g(x)∈M a 1a2C.若f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2,则f (x )+g (x )∈M a 1+a 2D.若f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2,且a 1>a 2,则f (x )-g (x )∈M a 1-a 2 【解析】由-a (x 2-x 1)<f (x 2)-f (x 1)<a (x 2-x 1), 得-a<f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1<a. 令k=f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1, 则-a<k<a ,又f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2, 所以-a 1<k f <a 1,-a 2<k g <a 2, 所以-a 1-a 2<k f +k g <a 1+a 2, 所以f (x )+g (x )∈M a 1+a 2. 【答案】C10.(2017郑州模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:①垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.其中正确的结论是( ).A.①②B.②③C.①④D.③④【解析】对于①,垂直于同一个平面的两条直线互相平行,故①正确.对于②,垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能相交或异面,故②不正确.对于③,垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能相交,如墙角,故③不正确.对于④,垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故④正确.【答案】C11.(2017淄博模拟)观察下列等式:1=12+13+16;1=12+14+16+112;1=12+15+16+112+120;……依此类推,1=12+16+17+1n +120+130+142,其中n ∈N *,则n= .【解析】由题意知1=12+16+17+1n +120+130+142=12+(12-13)+(13-14)+(14-15)+(15-16)+(16-17)+17,所以n=12.【答案】1212.(2017山西质量监测)命题p:已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作∠F1PF2补角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,命题q:已知双曲线x2 a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作∠F1PF2的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.【解析】对于椭圆,延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知,M为F2Q的中点,且|PF2|=|PQ|,从而OM∥F1Q且|OM|=12|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,所以|OM|=a.对于双曲线,过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线,垂足为点M,类比可得OM=a.【答案】内角平分线13.(2017保定模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=n+2nS n(n∈N*),证明:(1)数列{S nn}是等比数列;(2)S n+1=4a n.【解析】(1)因为a n+1=S n+1-S n,a n+1=n+2nS n,所以(n+2)S n=n(S n+1-S n),即nS n+1=2(n+1)S n.所以S n+1n+1=2·S nn.又因为S11=1≠0,(小前提)所以{S nn}是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知S n+1n+1=4·S n-1n-1(n≥2),所以S n+1=4(n+1)·S n-1n-1=4·n-1+2n-1·S n-1=4a n(n≥2),(小前提)又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)所以对于任意正整数n,都有S n+1=4a n.(结论)14.(2017合肥模拟)已知P (x 0,y 0)是抛物线y 2=2px (p>0)图象上一点,且在点P 处的切线方程的斜率可通过如下方式求得:y 2=2px 的两边同时对x 求导,得2yy'=2p ,则y'=p y ,所以在点P 处的切线斜率k=py 0.试用上述方法求出双曲线x 2-y 22=1在点P (√2,√2)处的切线方程.【解析】用类比的方法对y 22=x 2-1两边同时对x 求导得,yy'=2x ,所以y'=2x y,所以在点P 处的切线斜率k=2x0y 0=2×√22=2,所以切线方程为y-√2=2(x-√2),即2x-y-√2=0.15.(2017惠州模拟)我们将具有下列性质的所有函数组成集合M :函数y=f (x )(x ∈D ),对任意x ,y ,x+y2∈D 均满足f (x+y 2)≥12[f (x )+f (y )],当且仅当x=y 时等号成立.(1)若定义在(0,+∞)上的函数f (x )∈M ,试比较f (3)+f (5)与2f (4)的大小. (2)设函数g (x )=-x 2,求证:g (x )∈M.【解析】(1)已知f (x+y 2)≥12[f (x )+f (y )], 令x=3,y=5,得f (3)+f (5)<2f (4). (2)因为g (x 1+x 22)-12[g (x 1)+g (x 2)] =-(x 1+x 2)24+x 12+x 222=(x 1-x 2)24≥0, 所以g (x 1+x 22)≥12[g (x 1)+g (x 2)], 所以g (x )∈M.§21.2 直接证明、间接证明与数学归纳法一 直接证明内容综合法分析法定义 从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论的方法,是一种从推导到 的思维方法 从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法,是一种从 出发到得出这一结果的 的思维方法特点 从“ ”看“ ”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的 条件从“ ”看“ ”,逐步靠拢“ ”,其逐步推理,实际上是要寻找它的 条件二 间接证明——反证法要证明某一结论Q 是正确的,但不能直接证明,而是先 (即Q 的反面非Q 是正确的),经过正确的推理,最后得出 ,因此说明非Q 是 的,从而断定结论Q 是 的,这种证明方法叫作反证法.三 数学归纳法一般来说,证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n 取 时命题成立:(2)(归纳递推)假设n=k (k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立,证明当n= 时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.这种证明方法叫作数学归纳法.☞ 左学右考要证:a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,只需证( ).A.2ab-1-a 2b 2≤0B.a 2+b 2-1-a 4+b 42≤0 C.(a+b)22-1-a 2b 2≤0 D.(a 2-1)(b 2-1)≥0①用反证法证明“已知p 3+q 3=2,求证p+q ≤2”时,可假设p+q ≥2;②用反证法证明“已知a ,b ∈R ,|a|+|b|<1,求证方程x 2+ax+b=0的两个根的绝对值都小于1”时,可假设方程有一个根x 1的绝对值大于或等于1,即假设|x 1|≥1.以下判断正确的是( ).A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确用数学归纳法证明2n>2n+1,n 的第一个取值应是( ).A.1B.2C.3D.4知识清单一、原因 结果 结果 原因 已知 可知 必要 未知 需知 已知 充分 二、假设Q 不成立 矛盾 错误 正确 三、(1)第一个值n 0(n 0∈N *) (2)k+1基础训练1.【解析】因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,所以选D.【答案】D2.【解析】反证法的实质是否定结论,对于①,其假设应是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.【答案】D3.【解析】当n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;当n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;当n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.∴n的第一个取值应是3.【答案】C题型一直接证明【例1】已知实数a1,a2,…,a2017满足a1+a2+a3+…+a2017=0,且|a1-2a2|=|a2-2a3|=…=|a2016-2a2017|=|a2017-2a1|,证明:a1=a2=a3=…=a2017=0.【解析】由条件知(a1-2a2)+(a2-2a3)+(a3-2a4)+…+(a2016-2a2017)+(a2017-2a1)=-(a1+a2+a3+…+a2017)=0.①令|a1-2a2|=|a2-2a3|=|a3-2a4|=…=|a2016-2a2017|=|a2017-2a1|=m,则a1-2a2,a2-2a3,a3-2a4,…,a2016-2a2017,a2017-2a1中每个数或为m或为-m.设其中有k个m,(2017-k)个-m,则(a1-2a2)+(a2-2a3)+(a3-2a4)+…+(a2016-2a2017)+(a2017-2a1)=k×m+(2017-k)×(-m)=(2k-2017)m.②由①②知(2k-2017)m=0.③而2k-2017为奇数,不可能为0,所以m=0.于是知a1=2a2,a2=2a3,a3=2a4,…,a2016=2a2017,a2017=2a1.所以a1=22017·a1,即得a1=0.从而a1=a2=a3=…=a2017=0,命题得证.【变式训练1】设a,b,c为任意三角形的三边边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:3S≤I2<4S.【解析】I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2S.欲证3S≤I2<4S,只需证3S≤a2+b2+c2+2S<4S,只需证S≤a2+b2+c2<2S,即ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,只需证a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca 且a 2+b 2+c 2<2ab+2bc+2ca.先看a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca ,只需证2a 2+2b 2+2c 2≥2ab+2bc+2ca ,即(a-b )2+(b-c )2+(c-a )2≥0,显然此式成立.再看a 2+b 2+c 2<2ab+2bc+2ca ,只需证a 2-ab-ac+b 2-ab-bc+c 2-bc-ca<0,只需证a (a-b-c )+b (b-a-c )+c (c-b-a )<0,只需证a<b+c 且b<c+a 且c<a+b ,由于a ,b ,c 为三角形的三边边长,显然结论成立. 故3S ≤I 2<4S.题型二 间接证明【例2】用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( ).A.方程x 3+ax+b=0没有实根 B.方程 x 3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x 3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程x 3+ax+b=0 恰好有两个实根【解析】用反证法证明命题时,应先假设结论的否定成立,而“至少有一个实根”的否定是“没有实根”,故要做的假设是“方程x 3+ax+b=0没有实根”.【答案】A【变式训练2】已知x ∈R ,a=x 2+12,b=2-x ,c=x 2-x+1,试证明:a ,b ,c 至少有一个不小于1.【解析】假设a ,b ,c 均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,而a+b+c=x 2+12+2-x+x 2-x+1=2x 2-2x+12+3=2(x -12)2+3≥3,两者矛盾,所以假设不成立.故a ,b ,c 至少有一个不小于1.题型三 数学归纳法【例3】已知f (n )=1+123+133+143+…+1n 3,g (n )=32-12n 2,n ∈N *.(1)当n=1,2,3时,试比较f (n )与g (n )的大小关系; (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系,并给出证明. 【解析】(1)当n=1时,f (1)=1,g (1)=32-12×12=1,所以f (1)=g (1);当n=2时,f (2)=1+123=98,g (2)=32-12×22=118,所以f (2)<g (2);当n=3时,f (3)=1+123+133=251216,g (3)=32-12×32=139,所以f (3)<g (3).(2)由(1)猜想f (n )≤g (n ),下面用数学归纳法给出证明.①当n=1时,不等式显然成立. ②假设当n=k (k ∈N *)时不等式成立,即1+123+133+143+…+1k 3<32-12k 2,则当n=k+1时,f (k+1)=f (k )+1(k+1)3<32-12k2+1(k+1)3,因为12(k+1)2-[12k2-1(k+1)3]=k+32(k+1)3-12k2=-3k -12(k+1)3k 2<0,所以f (k+1)<32-12(k+1)2=g (k+1).由①②可知,对一切n ∈N *,都有f (n )≤g (n )成立.【变式训练3】用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n ,不等式(1+13)(1+15) (1)12n -1)>√2n+12均成立. 【解析】①当n=2时,左边=1+13=43;右边=√52.∵左边>右边,∴不等式成立.②假设当n=k (k ≥2,且k ∈N *)时不等式成立,即(1+13)(1+15) (1)12k -1)>√2k+12. 则当n=k+1时,(1+13)(1+15) (1)12k -1)·[1+12(k+1)−1]>√2k+12·2k+22k+1=2k+222k+1=√4k 2+8k+42√2k+1>√4k 2+8k+32√2k+1=√2k+3√2k+12√2k+1=√2(k+1)+12.∴当n=k+1时,不等式也成立.由①②知,对于一切大于1的自然数n ,不等式均成立.方法一 利用综合法进行证明综合法是从已知条件出发,逐步推导出结论.综合法的适用范围是:(1)定义明确的题型,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式; (2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.【突破训练1】已知数列{a n }满足a 1=12且a n+1=a n -a n2(n ∈N *). (1)证明:1<a n a n+1≤2(n ∈N *). (2)设数列{a n 2}的前n 项和为S n ,证明:12(n+2)<S n n ≤12(n+1)(n ∈N *).【解析】(1)由题意得a n+1-a n =-a n 2<0,即a n+1<a n, 故a n ≤12. 由a n =(1-a n-1)a n-1,得a n =(1-a n-1)(1-a n-2)·…·(1-a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12,得a na n+1=a n a n -a n 2=11−a n ∈(1,2], 即1<a n a n+1≤2(n ∈N *). (2)由题意得a n 2=a n -a n+1,所以S n =a 1-a n+1. ① 由1a n+1-1a n=a nan+1和1<a na n+1≤2,得1<1a n+1-1a n≤2,所以n<1a n+1-1a 1≤2n ,因此12(n+1)≤a n+1<1n+2(n ∈N *). ②由①②,得12(n+2)<S n n ≤12(n+1)(n ∈N *).方法二 利用分析法进行证明分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时,往往采用分析法.特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.【突破训练2】已知m>0,a ,b ∈R ,求证:(a+mb 1+m )2≤a 2+mb 21+m .【解析】因为m>0,所以1+m>0, 所以要证(a+mb 1+m )2≤a 2+mb 21+m, 即证(a+mb )2≤(1+m )(a 2+mb 2),即证m (a 2-2ab+b 2)≥0,即证(a-b )2≥0,又(a-b )2≥0显然成立,所以(a+mb 1+m )2≤a 2+mb21+m.方法三 利用反证法进行证明【突破训练3】已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +S n =2.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求证:数列{a n }中任意三项不可能按原来顺序成等差数列. 【解析】(1)当n=1时,a 1+S 1=2a 1=2,则a 1=1. 又a n +S n =2,所以a n+1+S n+1=2, 两式相减得a n+1=12a n ,所以{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,所以a n =12n -1.(2)假设{a n }中存在三项按原来顺序成等差数列,记这三项为a p+1,a q+1,a r+1(p<q<r ,且p ,q ,r ∈N *),则2·12q =12p +12r ,所以2·2r-q=2r-p+1. (*)又因为p<q<r , 所以r-q ,r-p ∈N *.所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立. 所以假设不成立,原命题得证.方法四 利用数学归纳法进行证明【突破训练4】已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n =a n 2+1a n-1,且a n >0,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,a 3,并猜想{a n }的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.【解析】(1)当n=1时,由已知得a 1=a 12+1a 1-1,即a 12+2a 1-2=0.∴a 1=√3-1(a 1=-√3-1<0,舍去).当n=2时,由已知得a 1+a 2=a 22+1a 2-1,将a 1=√3-1代入上式并整理,得a 22+2√3a 2-2=0.∴a 2=√5-√3(a 2=-√5-√3<0,舍去).同理可得a 3=√7-√5.猜想a n =√2n +1-√2n -1(n ∈N *).(2)由(1)知,当n=1时,通项公式成立. 假设当n=k (k ∈N *)时,通项公式成立,即a k =√2k +1-√2k -1.∵a k+1=S k+1-S k =a k+12+1a k+1-a k 2-1a k, 将a k =√2k +1-√2k -1代入上式并整理,得a k+12+2√2k +1a k+1-2=0,∴a k+1=√2k +3-√2k +1,即当n=k+1时通项公式也成立.综上可知,对任意n ∈N *,a n =√2n +1-√2n -1都成立.1.(2017广州调研)若a ,b ,c 为实数,且a<b<0,则下列命题正确的是( ).A.ac 2<bc 2B.a 2>ab>b 2C.1a <1bD.b a >a b。

质量检测(八)测试内容：算法初步、复数、推理与证明、系列4选讲(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2012年南昌模拟)复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为z＝i1＋i＝1＋i2，所以对应点⎝⎛⎭⎪⎫12，12，故在第一象限，选A.答案：A2．(2012年南昌市模拟)已知a，b，c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是真命题，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据题意，可构成四个命题：①面α∥面β，且面α⊥面γ，则面β⊥面γ；②直线a∥面β，且a⊥面γ，则面β⊥面γ；③面α∥面β，且面α⊥直线c，则面β⊥直线c；④面α∥直线b且面α⊥面γ，则直线b⊥面γ，可知①②③为真命题，④中直线b∥面γ也可行，选C.答案：C3．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF 和GH不相交，则甲是乙成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：E，F，G，H四点不共面时，EF，GH必定不相交．因为若EF，GH相交，则E，F，G，H四点共面，所以由甲可推出乙；反过来，EF，GH不相交，推不出E，F，G，H不共面，因为当E，F，G，H平行时，E，F，G，H共面，故由乙推不出甲．从而可知选A.答案：A4．(2013年冀州中学期中)已知函数y＝log a(x－1)＋3，(a>0且a≠1)的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则sin2α－sin2α的值等于( )A.313B.513C．－313D．－513解析：根据已知条件可知，函数y＝log a(x－1)＋3，(a>0且a≠1)的图象恒过点P，则令x－1＝1，x＝2，得到y＝3，故过点P(2,3)，那么结合三角函数定义可知，sinα＝322＋32＝31313，cosα＝313，∴sin2α－sin2α＝313－2³313³31313＝－313，选C.答案：C5．如下图所示的程序框图中的输出结果为( )A．2 B．4C．8 D．16解析：k＝1，S＝2，k＝2，S＝4，k＝3，S＝8，输出8.答案：C6．(2012年福建质检)运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log23和log32，则输出M的值是( )A．0 B．1C．2 D．－1解析：因为a＝log23>1，b＝log32<1，所以从程序框图可知输出值M＝log23³log32＋1＝2.故选C.答案：C7．(2012年广州调考)已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 011(x)＝( )A ．sin x ＋cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．－sin x －cos x解析：因为f 2(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )，故f 2 011(x )＝f 502³4＋3(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选D.答案：D8．(2012年石家庄质检)函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图，则f (x )在[－2,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．2D ．3解析：f ′(x )＝2x ＋2，故f (x )＝x 2＋2x ＋c ，又f (0)＝0，∴c ＝0.从而f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，在[－2,1]上的最小值为f (－1)＝－1.答案：A9．(2012年湖北十五校联考)今年“十一”迎来祖国64周年华诞，北京十家重点公园将进行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )A ．211－47B ．212－57 C ．213－68D ．214－80解析：设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝22－1，a 3＝23－2，a 4＝24－3，…，a 11＝211－10，所以该数列前11项的和为S 11＝(21－0)＋(22－1)＋(23－2)＋(24－3)＋…＋(211－10)＝2 1－2111－2－11 0＋10 2＝212－57.答案：B10．(2012年青岛质检)运行如图所示的程序框图，则输出s ＝( )A ．3B ．－2C ．4D ．8解析：s n －s n －1＝(－1)nn (1≤n ≤5)，s 0＝1，依题意，求s 5，即－2.故选B. 答案：B11．如图，有四个半径都为1的圆，其圆心分别为O 1(0,0)，O 2(2,0)，O 3(0,2)，O 4(2,2)．记集合M ＝{⊙O i |i ＝1,2,3,4}．若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点，则称(A ，B )为一个“有序集合对”(当A ≠B 时，(A ，B )和(B ，A )为不同的有序集合对)，那么M 中“有序集合对”(A ，B )的个数是A ．2B ．4C ．6D ．8解析：注意到⊙O 1与⊙O 4无公共点，⊙O 2与⊙O 3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B )的个数是4，选B.答案：B12．(2013年温州八校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≥－23x －2y ≤3，，若x 2＋4y 2≥a恒成立，则实数a 的最大值为( )A.532B.45 C ．4D ．1解析：由x 2＋4y 2≥a 恒成立知a ≤(x 2＋4y 2)min ，令t ＝x 2＋4y 2，则表达式表示中心在原点，长轴长为2t ，短轴长为t 的椭圆，画出(x ，y )的可行域(如图所示)．由图可知，当直线x ＋y ＝1与椭圆x 2＋4y 2＝t 相切时，t 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2＋4y 2＝t 得5y 2－2y ＋1－t ＝0，∴Δ＝4－20(1－t )＝0，即t min ＝45，∴a ≤45.故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ＋)，若|z |＝2，则复数z 的虚部是________． 解析：|z |＝2，故1＋a 2＝4，a ＝±3，又a ∈R ＋，∴a ＝ 3. 答案： 314．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0112<________. 解析：由32，53，74，…，可猜想第n 个式子应当为2n ＋1n ＋1，由此可得第2 010个表达式的右边应当为2³2 010＋12 010＋1＝4 0212 011.答案：4 0212 01115．(2012年长沙联考)阅读下面的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，那么输入实数x 的取值范围是________．解析：因为输出的函数值在区间[14，12]内，所以x ∈[－2,2]，且f (x )＝2x∈[14，12]，解得x ∈[－2，－1]．综上，x ∈[－2，－1]．答案：[－2，－1]16．(2012年辽宁重点中学期末)计算C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C 2n ，可以采用以下方法：构造恒等式C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n ，两边对x 求导，得C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋n C n n x n －1＝n (1＋x )n －1，在上式中令x ＝1，得C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ²2n －1，类比上述计算方法，计算C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝________.解析：类比构造恒等式C 1n x ＋2C 2n x 2＋3C 3n x 3＋…＋n C n n x n ＝nx (1＋x )n －1，两边对x 求导，得C 1n ＋22C 2n x ＋32C 3n x 2＋…＋n 2C n n xn －1＝n (1＋x )n －1＋n (n －1)x (1＋x )n －2，在上式中令x ＝1，得C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝n (n ＋1)2n －2.答案：n (n ＋1)2n －2三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．如图中的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明：(1)取CE 的中点G ，连接FG 、BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴四边形GFAB 为平行四边形，∴AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD ， ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列． (1)证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3；(2)设b n ＝5n－(－1)na n (n ∈N *)．若b n <b n ＋1对n ∈N *恒成立，求a 1的取值范围． 解：(1)证明：因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列， 所以S n ＋1＝S 1＋1²2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)²4n －1.因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，3 a 1＋1 ²4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4， 即3 a 1＋1a 1＝4，解得a 1＝3.(2)当n ＝1时，b 1＝5＋a 1；当n ≥2时，b n ＝5n－(－1)n³3(a 1＋1)³4n －2(a 1>－1)．①当n 为偶数时，5n－3(a 1＋1)³4n －2<5n ＋1＋3(a 1＋1)³4n －1恒成立，即15(a 1＋1)³4n －2>－4³5n恒成立，故a 1∈(－1，＋∞)．②当n 为奇数时，b 1<b 2且b n <b n ＋1(n ≥3)恒成立． 由b 1<b 2知，5＋a 1<25－3(a 1＋1)，得a 1<174.由b n <b n ＋1对n ≥3的奇数恒成立知，5n＋3(a 1＋1)³4n －2<5n ＋1－3(a 1＋1)³4n －1恒成立，即15(a 1＋1)³4n －2<4³5n恒成立，所以a 1＋1<203⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －2恒成立．因为当对n ≥3的奇数时，203⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －2的最小值为253，所以a 1<223.又因为174<223，故－1<a 1<174.综上所述，b n <b n ＋1对n ∈N *恒成立时，a 1∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，174.19．(2012年黄冈市3月质量检测)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝6，AC 1＝3，AB ＝2，BC ＝1.(1)证明：BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)D 为CC 1中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？证明你的结论； (3)求二面角B －AB 1－C 1的余弦值的大小．解：(1)证明：在矩形ACC 1A 1中，AC 1＝3，AA 1＝6，AC ＝3，所以AB 2＝AC 2＋BC 2，BC ⊥AC .又已知A 1A ⊥平面ABC ，BC ⊥AA 1，而AC ∩AA 1＝A ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1. (2)当点E 为棱AB 的中点时，满足题意．分别取BB 1中点M 和AB 中点E ，由DM ∥B 1C 1，EM ∥AB 1，得平面EMD ∥平面AB 1C 1，所以E 为AB 中点时，DE ∥平面AB 1C 1.(3)以C 为坐标原点，CB ，CC 1，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则点C (0,0,0)，B (1,0,0)，A (0,0，3)，C 1(0，6，0)，B 1(1，6，0)，A 1(0，6，3)，D (0，62，0)，AB →＝(1,0，－3)，BB 1→＝(0，6，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ABB 1的一个法向量．由⎩⎨⎧n ²AB →＝0，n ²BB 1→＝0得⎩⎨⎧x －3z ＝0，6y ＝0，取z ＝1，则n ＝(3，0,1)．又A 1D →＝(0，－62，－3)是平面AB 1C 1的一个法向量，且〈A 1D →，n 〉与二面角B －AB 1－C 1的大小相等，cos 〈A 1D →，n 〉＝A 1D →²n|A 1D →|²|n |＝－66，所以所求二面角的余弦值大小为－66. 20．(2012年天津六校联考)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，a n －1＝a n (a n ＋1－1)，b n ＝a n －1，数列{b n }的前n 项和为S n .(1)求证：数列{1b n}为等差数列；(2)设T n ＝S 2n －S n ，求证：T n ＋1>T n ；(3)求证：对任意的n ∈N *，都有1＋n 2≤S 2n ≤12＋n 成立．证明：(1)由b n ＝a n －1得a n ＝b n ＋1，代入a n －1＝a n (a n ＋1－1)得b n ＝(b n ＋1)b n ＋1，整理得b n －b n ＋1＝b n b n ＋1.因为b n ≠0，否则a n ＝1，与a 1＝2矛盾， 从而得1b n ＋1－1b n＝1.因为b 1＝a 1－1＝1，所以数列{1b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)因为1b n ＝n ，则b n ＝1n ，S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，所以T n ＝S 2n －S n＝1＋12＋13＋…＋1n ＋1n ＋1＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋ (1)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. 证法一：因为T n ＋1－T n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＝12n ＋1 2n ＋2>0，所以T n ＋1>T n .证法二：因为2n ＋1<2n ＋2，所以12n ＋1>12n ＋2，所以T n ＋1－T n >12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，所以T n ＋1>T n .(3)用数学归纳法证明：①当n ＝1时，1＋n 2＝1＋12，S 2n ＝1＋12，12＋n ＝12＋1，不等式成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即1＋k 2≤S 2k ≤12＋k ，那么当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋…＋12k ＋…＋12k ＋1≥1＋k 2＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，＝1＋12＋…＋12k ＋…＋12k ＋1≤12＋k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1所以当n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②知对任意的n ∈N *，不等式成立．21．(2012年东北四校质检)已知函数f (x )＝kx ＋ln x (k 是常数)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当k ＝0时，是否存在不相等的正数a ，b 满足f a －f b a －b ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可知f ′(x )＝kx ＋1x(x >0)， ①k ≥0时，f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增； ②当k <0时，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1k 上单调递增，在x ∈(－1k，＋∞)上单调递减．(2)不妨假设存在a >b >0符合题意，即ln a －ln b a －b ＝2a ＋b，整理得ln a b ＝2 a －b a ＋b ，①构造函数F (x )＝ln x －2 x －1x ＋1(x >0)，∴F (1)＝0且F ′(x )＝ x －12x x ＋1 2≥0，∴F (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增． ∵a b>1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b >F (1)＝0，即ln a b >2 a －ba ＋b，与①矛盾，∴符合题意的不相等的正数a ，b 不存在．请考生在22题A 、B 、C 中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22A.选修4－1：几何证明选讲(2012年郑州质检)如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .(1)求证：∠DEA ＝∠DFA ；(2)若∠EBA ＝30°，EF ＝3，EA ＝2AC ，求AF 的长．解：(1)证明：连接AD ，BC .因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝∠EFA ＝90°，故A ，D ，E ，F 四点共圆，∠DEA ＝∠DFA .(2)在Rt △EFA 和Rt △BCA 中，∠EAF ＝∠CAB ，所以△EFA ∽△BCA ，EA AB ＝AF AC. 设AF ＝a ，则AB ＝3－a ，所以a (3－a )＝12(3＋a 2)，解得a ＝1.所以AF 的长为1.22B.选修4－4：坐标系与参数方程(2012年昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1－2sin φ，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程2ρcos θ＋2ρsin θ－1＝0.(1)求曲线C 和直线l 的普通方程；(2)设曲线C 上的点到l 的距离为d ，求d 的最大值．解：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ，得⎩⎨⎧x －1 2＝ 2cos φ 2， y －1 2＝ 2sin φ 2.所以曲线C 的普通方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2.由直线l 的极坐标方程：2ρcos θ＋2ρsin θ－1＝0，得直线l 的普通方程是2x ＋2y －1＝0.(2)由题知，曲线C 为以G (1,1)为圆心，半径为r ＝2的圆．设圆心G 到直线l 的距离为d 1，则d 1＝|2＋2－1|22＋22＝324<2＝r ，故直线l 与⊙G 相交．则曲线C 上的点到直线l 的最大距离d max ＝d 1＋r ＝724.22C.选修4－5：不等式选讲(2012年唐山模拟)设函数f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )≥4恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x <0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x >1.当x <0时，由2－3x ≤4，得－23≤x <0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1； 当x >1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2. 综上，不等式f (x )≤4的解集为[－23，2]．(2)f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .所以f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，当x ＝a 时，f (x )取最小值a .所以，a 的取值范围为[4，＋∞)．。

2020年高考数学（理）总复习：算法、复数、推理与证明题型一 复数的概念与运算 【题型要点】 复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题． 【例1】设有下面四个命题( ) p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝2Z ； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4【例2】．i 是虚数单位，复数4＋2i1－2i －(1－i)2－4i ＝( )A ．0B ．2C ．－4iD ．4i 【例3】．已知a ∈R ，若a ＋2i4－i 是纯虚数，则在复平面内，复数z ＝a i ＋i 2018所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题组训练一 复数的概念与运算1．已知a ∈R ，i 是虚数单位．若a －i 2＋i 与3i －5i2－i 互为共轭复数，则a ＝( )A.13 B ．－13C ．－3D ．32．已知复数z 的共轭复数为z ＝1＋3i(i 为虚数单位)，则复数z1＋i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“z ＝1sin θ＋cos θ·i －12(其中i 是虚数单位)是纯虚数．”是“θ＝π6＋2k π”的________条件( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要题型二 程序框图 【题型要点】解答程序框图问题的三个关注点(1)弄清程序框图的三种基本结构，按指向执行直至结束． (2)关注输出的是哪个量，何时结束．(3)解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防止运行程序不彻底，同时注意区分计算变量与循环变量．【例4】执行如图所示的程序框图，输出的n为()A．1 B．2C．3 D．4【例5】．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是()A．i＞8 B．i＞9 C．i＞10 D．i＞11题组训练二程序框图1．下列程序框图输出的a的值为()A．5 B．0C．－5 D．102．执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足()A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5x题型三推理与证明【题型要点】合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象的性质，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．【例6】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一下．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为____________x .【例7】．已知点A (x 1，ax 1)、B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a ＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞ax 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)、B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x [x ∈(0，π)]图象上的不同两点，则类似地有________成立．题组训练三 推理与证明1．“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0.”给出如下的一种解法：【解】 由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，得a 21⎪⎭⎫⎝⎛x ＋b ⎪⎭⎫ ⎝⎛x 1＋c >0的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21，即关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎪⎭⎫⎝⎛1,21.类比上述解法：若关于x 的不等式b x ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,1∪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21，则关于x 的不等式bx －a －x －b x －c>0的解集为______________________．2．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．题型四 复数代数运算的转化方法 【题型要点】(1)求解复数问题：就是利用复数相等转化为实数问题，其中解法一、二、三用了整体思想，即x ＋y i 是一个数．(2)解法三是技巧，利用了模的性质：|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，2121Z Z Z Z. 【例8】 若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5题组训练四 复数代数运算的转化方法已知i 是虚数单位，则7＋i3＋4i＝________.【专题训练】 一、选择题1．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．③D ．③④⑤2．若复数z ＝1－3i1＋i (i 为虚数单位)，则|z ＋1|＝( )A ．3B ．2 C. 2D. 53．已知复数z ＝11－i，则z －|z |对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．执行如图所示的程序框图，若输入m ＝1，n ＝3，输出的x ＝1.75，则空白判断框内应填的条件为( )A ．|m －n |＜1B ．|m －n |＜0.5C ．|m －n |＜0.2D ．|m －n |＜0.16．老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对了的两人是( )A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙7.定义：若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的“同值变换”．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中不属于f (x )的“同值变换”的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，T ：将函数f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )＝2x ＋3，T ：将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称C ．f (x )＝2x －1－1，T ：将函数f (x )的图象关于x 轴对称D ．f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx ，T ：将函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称 8．执行下列程序框图，若输出i 的值为3，则输入x 的取值范围是( )A ．0<x <3B ．1<x <3C ．1≤x <3D ．1<x ≤39．“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a ，b ，c (a ＞b ＞c 且a ，b ，c ∈N *)，选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙和丙都有可能10．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ＞1，n ∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 015a 2 016＝( )A.2 0122 013 B.2 0132 012 C.2 0142 015D.2 0142 01311．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第2行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A ．2 017×22 015B ．2 017×22 014C ．2 016×22 015D ．2 016×22 014二、填空题12．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．13．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的虚部为________．14．执行下图所示的程序框图，则S的值为()A．16 B．32C．64 D．12815．2016年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方．由此可判断乙去过的地方为____________．16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinesetriangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如下图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n＋C r＋1n ＝C r＋1n＋1，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．1 112 1133 11464 11510105 1…C0n C1n…C r n…C n－1nC n n图11 21 21 316131 4112112141 5120130120151 613016016013016…1C1n＋1C0n1C1n＋1C1n…1C1n＋1C r n…1C1n＋1C n－1n1C1n＋1C n n图2。

推理与证明、算法初步、复数一、基础知识要记牢 (1)复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (2)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(3)复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 二、经典例题领悟好[例1] (1)(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2013·陕西高考)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22 [解析] (1)因为a －103－i ＝a －＋－＋＝a －＋10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.(2)A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] (1)D(2)D与复数z 有关的复杂式子为纯虚数，可设为m m ，利用复数相等去运算较简便.在有关复数z 的等式中，可设出z ＝a ＋ba ，b ∈R ，用待定系数法求解.熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ，设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.三、预测押题不能少1．(1)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( )A.10 B ．2 C. 2 D ．1解析：选 A 依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝－2＋12＝10.(2)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为________． 解析：z ＝1＋i ，则z 2z＝＋21－i＝2i 1－i＝＋－＋＝－1＋i ，则复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)． 答案：(－1,1)一、基础知识要记牢(1)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论． (2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别事物发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠． 二、经典例题领悟好[例2] (2013·陕西高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为________．[解析] 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， ……12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n n ＋2.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋2合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 三、预测押题不能少2．(1)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，….依此类推，第n 个等式为__________________________．解析：由归纳推理可知，第n 个等式为2n×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×2n .答案：2n×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)× (2)(2)对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △O CA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0一、经典例题领悟好[例3] (2013·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋ (110)C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[解析] 当输入N ＝10时，由于k ＝1，S ＝0，T ＝1，因此T ＝11＝1，S ＝1，k ＝2，此时不满足k >10； 当k ＝2时，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，此时不满足k >10； 当k ＝3时，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝4，此时不满足k >10；当k ＝4时，T ＝11×2×3×4＝14！，S ＝1＋12！＋13！＋14！，k ＝5，此时不满足k >10 ；……当k ＝10时，T ＝11×2×3×4×…×10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！，k ＝11，此时满足k >10.因此输出S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！.[答案]B解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构.利用循环结构表示算法要注意：①要选择准确的表示累计的变量；②要注意在哪一步结束循环；③执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误.二、预测押题不能少3．(1)程序框图如图，如果程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中可填入()A ．k ≤10B ．k ≥10C ．k ≤11D ．k ≥11解析：选A 输出的S 值是一个逐次累积的结果，第一次运行S ＝12，k ＝11；第二次运行S ＝132，k ＝10.如果此时输出结果，则判断框中的k 的最大值是10. (2)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选C 逐次运行的结果是n＝3，i＝2；n＝4，i＝3；n＝2，i＝4.故输出的值是4.算法是新课标高考中的一大热点，特别体现在算法的交汇性问题上，这些问题题目背景新颖，交汇自然，主要表现在算法与函数、数列、不等式、概率及统计的交汇．一、经典例题领悟好[例] (2013·四川高考节选)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)当n ＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大； (3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．(1)学审题——审条件之审视图表和数据程序框图――→审图 计算输出y 的值为1,2,3的数的个数―――――――→古典概型公式概率． (2)学审题 频数统计表――→审表 各小组频数―→频率―――――→与比较 结论．(3)学审题 条件―→确定y 的取值13−−−−−−→每次发生的概率为求出分布列―→期望值．[解] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝127， 故ξ的分布列为所以，E (ξ)＝3×13＝1.即ξ的数学期望为1.本题主要考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识.解答本题的易错点为：一是错读程序框图使本题在求解第一步时就出现错误，二是处理频数分布表中数据时运算错误. 二、预测押题不能少某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD ­EFGH 材料切割成三棱锥H ­ACF .(1)若点M ，N ，K 分别是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？解：(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC . ∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK ∥平面ACF ，又MG ⊂平面MNK ，故MG ∥平面ACF . (2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ，∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ，∴e ＝12bc 1－d 2＝12AC ·AF ·sin∠CAF ＝S △ACF .又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF ＝V 三棱锥H ­ACF .∵三棱锥H ­ACF 为将长方体ABCD ­EFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得， ∴V 三棱锥H ­ACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.1．(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．C D ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数是x －y i ，故选B.2．(2013·福建质检)执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为( )A ．3B ．126C ．127D ．128解析：选C 若输入的x ＝2，则x ＝22－1＝3，而3<126，故x ＝23－1＝7，而7<126，故x ＝27－1＝127.因为127>126，所以输出的x 值为127.3．(2013·郑州质量预测)若复数z ＝2－i ，则z ＋10z＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i解析：选D ∵z ＝2－i ，∴z ＋10z ＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋＋－＋＝6＋3i.4．(2013·江西高考)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2 B.S ＝2*i －1 C ．S ＝2*i D.S ＝2*i +4解析：选C 此框图依次执行如下循环：第一次：i ＝1，S ＝0，i ＝1＋1＝2，i 是奇数不成立，S ＝2*2＋1＝5，继续循环； 第二次：i ＝2＋1＝3，i 是奇数成立，继续循环；第三次：i ＝3＋1＝4，i 是奇数不成立，S ＝2*4+1=9，继续循环；第四次：i ＝4+1=5，i 是奇数成立，由题意知此时应跳出循环，输出i ＝5，即S ＜10不成立. 故应填S =2*i (此时S =10＜10不成立).若填S ＝2*i ＋4，则在第二次循环中就跳出循环．故选C.5．(2013·河南洛阳模拟)执行如图所示的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，则能输出数对(x ，y )的概率为( ) A.14 B.13 C.23 D.34解析：选B 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x 2表示的平面区域的面积等于∫10x 2d x ＝13x 310＝13，因此所求的概率为13.6．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －2d ，∴b n ＝a 1＋n －2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n＝c n1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·q12n n (-)，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列，故选D.7．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i.答案：－2i8．(2013·山东高考)执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，此时输出， 故输出结果为3. 答案：39．(2013·福建质检)观察下列等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……则当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52； ………依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 210．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.11．(2013·郑州质量预测)每年的3月12日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)： 甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133； 乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(1)根据抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x ，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义；(3)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”的株数X 的分布列． 解：(1)茎叶图如图所示：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度； ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为128.5； ④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散． (2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量． S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越参差不齐．(3)由题意可知，领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为12，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12， 所以随机变量X 的分布列为12．(2013·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分． 所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点， 所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．。

专题 算法、复数、推理与证明考点1 算法1．（2020全国Ⅰ文9）执行下面的程序框图，则输出的n =（ ）A ．17B ．19C ．21D ．23 【答案】C【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，∴输出的21n =，故选C ．2．（2020全国Ⅱ文7）执行右图的程序框图，若输入的0,0k a ==，则输出的k 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程：0,0k a ==，第1次循环，2011a =⨯+=,011k =+=，210>为否；第2次循环，2113a =⨯+=,112k =+=，310>为否； 第3次循环，2317a =⨯+=,213k =+=，710>为否；第4次循环，27115a =⨯+=,314k =+=，1510>为是，退出循环，输出4k =．故选C ． 3．（2019天津文理】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．29【答案】B【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可．【解析】1,2S i ==；11,1225,3j S i ==+⨯==；8,4S i ==，结束循环，输出8S =．故选B ．4．（2019北京文理】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】初始：1s =，1k =，运行第一次，2212312s ⨯==⨯-，2k =，运行第二次，2222322s ⨯==⨯-，3k =，运行第三次，2222322s ⨯==⨯-，结束循环，输出2s =，故选B ．5．（2019全国Ⅰ文理】如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A ．12A A =+B ．12A A=+C ．112A A=+D ．112A A=+【答案】A【解析】初始：1,122A k ==≤，∵第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2； 执行第2次，22k =≤，∵第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3， 结束循环，故循环体为12A A=+，故选A ．【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．6．（2019全国Ⅲ文理】执行下边的程序框图，如果输入的ε为0．01，则输出s 的值等于A ．4122- B ．5122-C ．6122-D ．7122-【答案】C【解析】输入的ε为0.01，11,01,0.01?2x s x ==+=<不满足条件； 1101,0.01?24s x =++=<不满足条件；⋅⋅⋅611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<满足条件，结束循环；输出676111112(1)22222S =+++=⨯-=-，故选C ．7．(2018北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．12B ．56 C ．76D ．712【答案】B 【解析】运行程序框图，k =l ，s =1；1111(1)22s =+-⨯=，2k =；2115(1)236s =+-⨯=，k =3；满足条件，跳出循环，输出的56s =，故选B ． 8．(2018全国Ⅱ文理)为计算11111123499100=-+-++-…S ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1=+i iB ．2=+i iC ．3=+i iD ．4=+i i【答案】B 【解析】由程序框图的算法功能知执行框1=+N N i计算的是连续奇数的倒数和，而执行框11=++T T i 计算的是连续偶数的倒数和，∴在空白执行框中应填入的命令是2=+i i ，故选B ． 9．(2018天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】20N =，2i =，0T =，20102N i ==，是整数；011T =+=，213i =+=，35<，203N i =，不是整数；314i =+=，45<，2054N i ==，是整数；112T =+=，415i =+=，结束循环，输出的2T =，故选B ．10．（2017新课标Ⅰ文理）下面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n和A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+【答案】D 【解析】由题意选择321000n n ->，则判定框内填1000A ≤，由∵选择偶数，∴矩形框内填2n n =+，故选D ．11．（2017新课标Ⅱ文理）执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S = A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】初始输值为1a =-，1k =，0S =．则第一次：011S =-=-，1a =，2k =；第二次：121S =-+=，1a =-，3k =；第三次：132S =-=-，1a =，4k =；第四次：242S =-+=，1a =-，5k =；第五次：253S =-=-，1a =，6k =；第六次：363S =-+=，1a =-，7k =；循环结束，输出3S =．故选B ．12．（2017天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63N N ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出2N =，故选C ．13．（2017新课标Ⅲ文理）执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】D 【解析】若2N =，第一次循环，12≤成立，100S =，10M =-，22i =≤成立，第二次循环，此时90S =，1M =，32i =≤不成立，∴输出9091S =<成立，∴输入的正整数N 的最小值是2，故选D ．14．（2017山东文）执行如图的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为【答案】B 【解析】输入x 的值为4时，由226,log 42x +==可知4x =不满足判断框中的条件，只能是4x >，故选B ．15．（2017山东理）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为A ．0，0B ．1，1C ．0，1D ．1，0【答案】D 【解析】第一次7x =，227<，3b =，237>，1a =；第二次9x =，229<，3b =，239=，0a =．选D ．16．（2017北京文理）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．2 B ．32 C ．53D ．85【答案】C 【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环1k =，2s =，13<成立；第二次进入循环，2k =，32s =，23<成立；第三次进入循环3k =，53s =，33<否，输出53s =，故选C ． 17．（2016全国I 文理)执行如图的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足 A ．2y x = B ．3y x = C ．4y x = D ．5y x =【答案】C 【解析】运行程序，第1次循环得0,1,2x y n ===，第2次循环得1,2,32x y n ===，第3次循环得3,62x y ==，此时2236x y +，输出,x y ，满足C 选项．18．（2016全国II 文理）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = A ．7 B ．12 C ．17 D ．34【答案】C 【解析】由程序框图知，第一次循环：2,2,2,0222,1x n a s k ====⨯+==； 第二次循环：2,2226,2a s k ==⨯+==；第三次循环：5,62517,3a s k ==⨯+==． 结束循环，输出s 的值为17，故选C ．19．（2016全国III 文理）执行如图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】第一次循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二次循环，得2a =-，6,4,10,2b a s n ====；第三次循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四次循环，得2,6,4,20,4a b a s n =-====，此时2016s =>，退出循环，输出的4n =，故选B ．20．（2015湖南文理）执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S = A ．67 B ．37 C ．89 D ．49【答案】B 【解析】第一次循环，113S =⨯，此时2i ，不满足条件，继续第二次循环111335S =+⨯⨯，此时3i ，不满足条件，继续第三次循环11131335577S =++=⨯⨯⨯，此时43i =>，退出循环，输出S的值为37，故选B ．21．（2015重庆文理）执行如图所示的程序框图，若输出k 值为8，则判断框内可填入的条件是 A ．34s ≤B ．56s ≤ C ．1112s ≤ D ．2524s ≤【答案】C 【解析】由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112S ≤，故选C ． 22．（2015新课标I 文理）执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】C 【解析】由程序框图可知11111,,1,0.012242=-===>S m n ； 11111,,2,0.0124484=-===>S m n ；11111,,3,0.01488168=-===>S m n ；11111,,4,0.01816163216=-===>S m n ；11111,,5,0.011632326432=-===>S m n ；11111,,6,0.0132646412864=-===>S m n ；11111,,7,0.0164128128256128=-===<S m n ，故选C ． 23．（2015新课标II 文理）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为14，18，则输出的a = A ．0 B ．2 C ．4 D ．14【答案】B 【解析】第一次执行，输入14a ，18b ，∵a b ，∴18144b =-=；第二次执行，输入14a ，4b ，∵a b >，∴14410a =-=； 第三次执行，输入10a ，4b ，∵a b >，∴1046a =-=；第四次执行，输入6a ，4b ，∵a b >，∴642a =-=；第五次执行，输入2a，4b ，∵a b <，∴422b =-=；此时2a b ．24．（2015北京文理）执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，【答案】B 【解析】初始值1,1,0x y k ===，执行程序框图，则0,2s t ==，0,2,1x y k ===；2,2,2,2,2s t x y k =-==-==；4,0,4,0,3s t x y k =-==-==，此时输出(,)x y ，则输出的结果为(4,0)-．25．（2015四川文理）执行如图所示的程序框图，输出S 的值是 A．2-B．2 C ．12- D ．12【答案】D 【解析】这是一个循环结构，每次循环的结果依次为：，2;3;4;5k k k k ====大于4，∴输出的51sinsin 662S ππ===． 26．（2014新课标I 文理）执行如图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3，则输出的M =A ．203 B ．72 C ．165 D ．158【答案】D 【解析】第一次循环：33,2,,222M a b n ====；第二次循环：83,32M a ==，8,33b n ==；第三次循环：15815,,,4838M a b n ====则输出的158M =，故选D ．27．（2014新课标II 文理）执行如图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S = A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】D 【解析】第一步2,5,2M S k ===；第二步2,7,3M S k ===，故输出的结果为7． 28．（2014天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为 A ．15 B ．105 C ．245 D ．945【答案】B 【解析】1i 时，3T ，3S ；2i 时，5T ，15S ；3i 时，7T ，105S ，4i 输出105S ．29．（2014重庆文理）执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是 A ．12s >B ．35s > C ．710s > D ．45s >【答案】C 【解析】当输出6k =时，98771109810s =⨯⨯⨯=，结合题中的程序框图知，故选C ． 30．（2014安徽文理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A ．34 B ．55 C ．78 D ．89【答案】B 【解析】5550>，故运算7次后输出的结果为55．31．（2014福建文理）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于 A ．18 B ．20 C ．21 D ．40【答案】B 【解析】10,1,0213,2S n S n ===++==；∵315≥不成立，执行循环：23229S =++=，3n =，∵915≥不成立，执行循环：392320,4S n =++==，∵2015≥成立，停止循环：∴输出的S 得值为20．32．（2014湖南文理）执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于 A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】由程序框图可知，2213,[2,0)3,[0,2]t t S t t ⎧+-∈-=⎨-∈⎩，其值域为(2,6][3,1][3,6]-⋃--=-．33．（2014四川文理）执行如图所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2．34．（2013新课标I 文理）执行如图程序框图，如果输入的，则输出s 属于[2,2]t ∈-S [6,2]--[5,1]--[4,5]-[3,6]-[1,3]t ∈-A ．[-3，4]B ．[-5，2]C ．[-4，3]D ．[-2，5]【答案】A 【解析】有题意知，当时，，当时，，∴输出s 属于[-3，4]，故选．35．（2013安徽文理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】故选D ． 36．（2013江西文理）阅读如图程序框图，如果输出，那么在空白矩形框中应填入的语句为[1,1)t ∈-3s t =[3,3)∈-[1,3]t ∈24s t t =-[3,4]∈A 162524341112.1211,1211122366141210=∴=++=+++=s s 5i =A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，当5i =时，空白的判断框中的语句应使10S ≥；故选项A ，B 中，当5i = 时，都有10S <；故排除；假设空白的判断框中的语句是C 项中的2*S i =，则第一次运行时，2,5i S ==；第二次运行时，3,6i S ==；第三次运行时，4,9i S ==；第四次运行时，5,10i S ==；此时不满足10S <，故输出5i =，满足题意，故选C ．37．（2013福建文理）阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是 A ．计算数列的前10项和 B ．计算数列的前9项和C ．计算数列的前10项和D ．计算数列的前9项和【答案】C 【解析】第一次循环：，；第二次循环：；第三次循环：…．第九次循环：；第十次循环：，输2*2S i =-2*1S i =-2*S i =2*4S i =+10k ={}12n -{}12n -{}21n-{}21n-1,2S i ==10i <3,3,10S i i ==<7,4,10S i i ==<921,10,10S i i =-==1021,11,10S i i =-=>出S ．根据故选项，，故为数列的前10项和，故选A ．38．（2013浙江文理）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则 A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】 ；输出的结果为，此时，故．39．（2013天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为 A ．64B ．73C ．512D ．585【答案】B 【解析】第一次循环，，；第二次循环，；第三次循环，，跳出101(12)12S -=-12n -594=a 5=a 6=a 7=a13151,11;2,11;2233k s k s ==+-===+-=17193,11;4,114455k s k s ==+-===+-=595k a =>4a =1S =2x =9,4S x ==73S =循环．40．（2013陕西文理）根据下列算法语句， 当输入x 为60时， 输出yA ．25B ．30C ．31D ．61【答案】C 【解析】此算法的功能是计算分段函数0.5,50()250.6(x 50),50x x f x x ⎧=⎨+->⎩≤的值，∴(60)250.6(6050)31f =+⨯-=，故选C ．41．（2012新课标文理）如果执行如图的程序框图，输入正整数)2(≥N N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A 、B ，则A ．B A +为N a a a ,,,21 的和 B ．2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C ．A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数 D ．A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数【答案】C 【解析】由当x A >时A x =可知A 应为12,,,N a a a ⋅⋅⋅中最大的数，由当x B <时B x =可知B 应为12,,,N a a a ⋅⋅⋅中最小的数．42．（2012安徽文理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．8【答案】B 【解析】第一次进入循环体有x=2，y=2，第二次进入循环体有x=4，y=3，第三次进入循环体有x=8，y=4，跳出循环体，输出结果为4，故选D ．43．（2011天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为A ．0．5B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】由框图可知：4x =-，||3x >，|43|7x =--=；7,||3,|73|4x x x =>=-=；4,||3,|43|13x x x =>=-=<，122y ==，故选C ．44．（2011陕西文理）如图中，1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分．当126,9x x ==，8.5p =时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7【答案】C 【解析】本题代入数据验证较为合理，显然满足8.5p =的可能为6118.52+=或988.52+=，显然若311x =，不满足3132||||x x x x -<-，则111x =，计算119102p +==，不满足题意；而若38x =，不满足3132||||x x x x -<-，则18x =，计算898.52p +==，满足题意． 45．（2020江苏5）下图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ．【答案】3-【解析】由题可知2,0,1,0x x y x x ⎧>=⎨+≤⎩，当2y =-时，得12x +=-，解得3x =-．46．（2019江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是______________．【答案】5【解析】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342xS S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442xS S x =+==≥成立，输出 5.S =47．（2018江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．【答案】8【解析】该伪代码运行3次，第1次，I =3，S =2；第2次，I =5，S =4；第3次，I =7，S =8，结束运行，故输出的S 的值为8．48．（2017江苏）如图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-． 49．（2015安徽文理）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为【答案】4 【解析】由题意，程序框图循环如下：①；②；③；④，此时，∴输出．50．（2014山东文理）执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 ．1,1a n ==131,2112a n =+==+171,33512a n =+==+1171,471215a n =+==+17| 1.414|0.0030.00512-≈<4n =【答案】3【解析】214130,2,1x n -⨯+==≤；224230,3,2x n -⨯+==≤；234330,4,3x n -⨯+==≤；244430,5,4x n -⨯+>==，此时输出n 值，故输出n 的值为3．51．（2014江苏）如图是一个算法流程图，则输出的的值是 ．【答案】5【解析】该流程图共运行5次，各次2n的值分别是2,4,8,16,32,∴输出的的值是5． 52．（2014辽宁文理）执行如图的程序框图，若输入9x =，则输出y = ．n n【答案】299【解析】第一次循环：5,5y x ==；第二次循环：1111,33y x ==；第三次循环：299y =，此时291141939y x -=-=<，故输出299y =． 53．（2013浙江文理）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_____．【答案】【解析】1111,1;1,2;1,3121223k S S k S k ===+==++=⨯⨯⨯ 当5k =时程序结束，此时119112455S =+++=⨯⨯．9554．（2013山东文理）执行如图的程序框图，若输入的ε的值为0．25，则输出的n 的值为___．【答案】3【解析】第一次循环，，此时不成立．第二次循环，，此时成立，输出．55．（2012江西文理）如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_________．【答案】3【解析】由程序框图可知： 第一次：T=0，k=1，sin 1sin 002π=>=成立，a=1，T=T+a=1，k=2，2<6，满足判断条件，继续循环；第二次：sin 0sin12ππ=>=不成立，a=0，T=T+a=1，k=3，3<6，满足判断条件，继续循环；第三次：3sin1sin 02ππ=->=不成立，a=0，T=T+a=1，k=4，4<6， 满足判断条件，继续循环；第四次： 3sin 20sin 12ππ=>=-成立，a=1，T=T+a=2，k=5， 满足判断条件，继续循环；第五次：5sin1sin 202ππ=>=成立，a=1，T=T+a=2，k=6，6<6不成立，不满足判断条件，跳出循环，故输出T 的值3．56．（2012江苏）如图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ．【答案】5【解析】由452+-k k ＞0得1k <或4k >，∴5k =． 57．（2011福建文理）运行如图所示的程序，输出的结果是_______．【答案】3【解析】1,2a b ==把1与2的和输给a ，即3a =，输出的结果为3．58．（2011江苏）根据如图所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2，3时，最后输出的m 的值是 ．【答案】3【解析】伪代码的含义是输出两个数的较大者，∴输出的3m =．考点114 复数ENDPRINT a a =a +b b =2a =159．（2020全国Ⅰ文2）若312i i z =++，则z =（ ）A ．0B ．1CD ．2 【答案】C【解析】∵31+21+2i i i i 1i z =+=-=+，∴z ==C ．60．（2020全国Ⅰ理1）若1i z =+，则22z z -= （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【解析】由题意可得：()221i 2i z =+=，则()222212z z i i -=-+=-，故2222z z -=-=，故选D ．61．（2020全国Ⅱ文2）()41i -=（ ）A ．4-B ．4C ．i 4-D ．i 4 【答案】A【解析】422222(1i)[(1i)](12i i )(2i)4-=-=-+=-=-．故选A ． 62．（2020全国Ⅲ文2）复数()1i 1i z +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i 【答案】D【解析】∵21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，∴z i ，故选D 63．（2020全国Ⅲ理2）复数113i-的虚部是 （ ）A ．310-B ．110- C ．110 D ．310【答案】D 【解析】∵1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，∴复数113z i =-的虚部为310，故选D ． 64．（2020浙江2）已知a ∈R ，若()12i a a -+-（i 为虚数单位）是实数，则a = （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】C【解析】由条件可知20a -=，即2a =，故选C ．65．（2020北京2）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,2，则i z ⋅=（ ）A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i -- 【答案】B【解析】由题意z=1+2i ，iz=-2+i ，故选B ．66．（2020山东2）2i12i-=+ （ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++-，故选D ． 67．（2019全国Ⅰ文）设3i12iz -=+，则||z =A ．2BCD ．1【答案】C【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-，∴||z ==C ．方法2：由题可得|3i ||||12i |z -====+C ．68．（2019全国Ⅰ理）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=【答案】C【解析】由题可得i,i (1)i,z x y z x y =+-=+-i 1,z -==则22(1)1x y +-=．故选C ．69．（2019全国Ⅱ文）设)i i (2z =+，则z = A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -D ．12i --【答案】D【解析】由题可得2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，∴12i z =--，故选D ． 70．（2019全国Ⅱ理）设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由32i,z =-+得32i,z =--则32i z =--对应的点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 71．（2019全国Ⅲ文理）若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +【答案】D【解析】由题可得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 72．（2019年高考北京文理）已知复数2i z =+，则z z ⋅=A B C ．3D ．5【答案】D【解析】由题2i z =+，则(2i)(2i)5z z ⋅=+-=，故选D ． 74．(2018北京文理)在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222++===+--+，其共轭复数为11i 22-，对应的点为11(,)22-，故选D ．75．(2018全国卷Ⅰ文理)设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D 【答案】C 【解析】∵21i (1i)2i=2i i 2i i 1i (1i)(1i)--=++=-+=++-z ，∴|z |1=，故选C ．76．(2018全国卷Ⅱ文)()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+【答案】D 【解析】()i 23i 32i +=-+，故选D ． 77．(2018全国卷Ⅱ理)12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55-- D ．34i 55-+ 【答案】D 【解析】12i (12i)(12i)34i 12i (12i)(12i)55+++==-+--+，故选D ． 78．(2018全国卷Ⅲ文理)(1i)(2i)+-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D 【解析】2(1i)(2i)2i 2i i 3i +-=-+-=+．故选D ． 79．(2018浙江)复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】∵22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+，∴复数21i-的共轭复数为1i -．故选B ． 80．（2017新课标Ⅰ文）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．2i(1i)+ B ．2i (1i)- C ．2(1i)+ D ．i(1i)+ 【答案】C 【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ． 81．（2017新课标Ⅰ理）设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p 【答案】B 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则2211i(i)a b z a b a b-==∈++R ，得0b =，∴z ∈R ，1p 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ． 82．（2017新课标Ⅱ文）(1)(2)i i ++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B 【解析】由复数的运算法则，2(1i)(2i)123i i 13i ++=⨯++=+，故选B ． 83．（2017新课标Ⅱ理）3i1i+=+ A ．1+2i B ．1−2i C ．2+i D ．2−i 84．（2017新课标Ⅲ文）复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【解析】∵i(2i)12i z =-+=--，∴复数z 在复平面内对应的点(1,2)Z --，位于第三象限，故选C ．85．（2017新课标Ⅲ）设复数z 满足(1i)2z i +=，则||z = A ．12BCD ．2【答案】C 【解析】由(1i)2z i +=，得2i1i 1iz ==++，∴||z ==C ． 86．（2017山东文）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z = A ．-2i B ．2i C ．-2 D ．2 【答案】A 【解析】由i 1i z =+，得1i1i iz +==-，22(1i)2i z =-=-，故选A ． 87．（2017山东理）已知a R ∈，i是虚数单位，若z a =+，4z z ⋅=，则a = A ．1或-1 B或 C ．- D【答案】A【解析】由,4z a z z =+⋅=得234a +=，∴1a =±，故选A ．88．（2017北京文理）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞ B ．(,1)-∞- C ．(1,)+∞ D ．(1,)-+∞【答案】B 【解析】(1i)(i)(1)(1)i z a a a =-+=++-，∵对应的点在第二象限，∴，解得，故选B ．1010a a +<⎧⎨->⎩1a <-89．（2016全国I 文）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= A ．−3 B ．−2 C ．2 D ．3【答案】A 【解析】∵(12i)(i)a ++=(2)(21)i a a -++，由已知的221a a -=+， 解得3a =-．故选A ．90．(2016年全国I 理)设(1)1i x yi +=+，其中,x y 是实数，则 A ．1 BCD ．2 【答案】B 【解析】∵(1)1i x x xi yi +=+=+，∴1x y ==， ∴|||1|x yi i +=+==，故选B ．91．（2016全国II 文）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 【答案】C 【解析】由i 3i z +=-得，32z i =-，∴32z i =+，故选C ．92．(2016年全国II 理)已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．()31-，B ．()13-，C ．()1,∞+D ．()3∞--，【答案】A 【解析】由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(3,1)m m +-， ∴30m +>，10m -<，解得∴31m -<<，故选A ． 93．（2016全国III 文）若，则||zz = A ．1 B ．C ．D ．【答案】D 【解析】43||55z i z ==-，故选D ． 94．(2016年全国III 理)若12z i =+，则41izz =-（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i 【答案】C 【解析】441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ． 95．(2016年山东理) 若复数z 满足232z z i +=- 其中i 为虚数单位，则z = A ．1+2iB ．12iC ．D ．【答案】B 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，i =x y +43i z =+1-43i 55+43i 55--12i -+12i --故22()332z z a bi a bi a bi i +=++-=+=-， ∴1,2a b ==-，∴12z i =-，故选B ． 96．（2015新课标I 文理）设复数z 满足11zi z+=-，则||z = A ．1 BCD ．2 【答案】A 【解析】由题意知1zi zi ，21(1)1(1)(1)i i zi i i i ，∴|z |1．97．（2015广东文理）若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z = A ．23i - B ．23i + C ．32i + D ．32i - 【答案】A 【解析】∵23zi ，∴23z i ．98．（2015安徽文理）设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B ．99．（2015山东文理）若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+【答案】A 【解析】2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-．100．（2015四川文理）设i 是虚数单位，则复数32i i-= A ．i - B ．3i - C ．i D ．3i【答案】C 【解析】32222ii i i i i i i． 101．（2015湖北文理）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】A 【解析】，故选 B ．102．（2015湖南文理）已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z = A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --22(1)2211(1)(1)2i i i ii i i i +-+===-+--+(1,1)-i i i i-=⋅=⨯31514607【答案】D 【解析】由题意得，，故选D ． 103．（2014新课标I 文理）设i iz ++=11，则=||z A ．21B ．22C ．23D ．2【答案】B 【解析】i i z ++=11=1122i +，∴||2z ==． 104．（2014新课标I 文理）32(1)(1)i i +-=A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --【答案】D 【解析】32(1)(1)i i +-=13322122i i ii i i-+--+==----．105．（2014新课标II 文理）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．5- B ．5 C ．4i -+ D ．4i -- 【答案】A 【解析】22z i =-+，∴12z z =(2)(2)5i i +-+=-． 106．（2014新课标II 文理）131ii+=- A ．12i + B ．12i -+ C ．1-2i D ．1-2i - 【答案】B 【解析】131ii+=-12i -+． 107．（2014山东文理）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a A ．i 45- B ．i 45+ C ．i 43- D ．i 43+【答案】D 【解析】由已知得2,1a b ==，∴22(2)34a bi i i +=+=+（）． 108．（2014广东文理）已知复数z 满足，则z = A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】由得2525(34)(34)3425i z i i -===-+，故选D ． 109．（2014安徽文理）设是虚数单位，表示复数的共轭复数．若则zi z i+⋅= A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2ii iii i z --=+-=+-=1121)1(2(34)25i z +=34i -+34i --34i +34i -(34)25i z +=i z z ,1i z +=【答案】C 【解析】1(1)(1)(1)2z i i z i i i i i i++⋅=+⋅-=--++=． 110．（2014福建文理）复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于 A ．23i -- B ．23i -+ C ．23i - D ．23i + 【答案】C 【解析】∵(32)z i i =-=23i +，∴23z i =-．111．（2014天津文理）i 是虚数单位，复数734iiA ．1i B ．1i C ．17312525i D ．172577i 【答案】A 【解析】73472525134343425i i i i i ii i．112．（2014重庆文理）实部为2-，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【解析】实部为-2，虚部为1的复数为-2 +1，所对应的点位于复平面的第二象限，故选B ． 113．（2013新课标I 文理）若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为 A ．－4B ．45-C ．4D ．45【答案】D 【解析】由题知===，故z 的虚部为，故选D ．114．（2013新课标II 文）设复数满足，则= A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】． 115．（2013山东文理）复数满足 (为虚数单位)，则的共轭复数为 A ．2+iB ．2-iC ．5+iD ．5-i【答案】D 【解析】，得535,52z i z i i=+=+=--． 116．（2013安徽文理）设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则= A ． B ． C．D ．【答案】A 【解析】设，则，由得，z |43|34i i +-4)(34)(34)i i i +-+3455i +45z ()12i z i -=z 1i -+1i --1i +1i -()()()2122211112i i i i z i i i i +-+====-+--+z ()()325z i --=i z z ()()325z i --=i _z z 22z zi z ⋅+=z 1+i 1i -1+i -1-i -z a bi =+z a bi =-22z zi z ⋅+=，故选A ．117．（2013广东文理）若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是 A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】对应的点的坐标是，故选C ． 118．（2013江西文理）已知集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{4}M N ⋂=，则复数z = A ．-2i B ．2i C ．-4i D ．4i 【答案】C 【解析】由{4}M N ⋂=知，4zi =，∴4z i =-． 119．（2013湖北文理）在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】，． 120．（2013北京文理）在复平面内，复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A 【解析】()212i i i -=+，故选A ．121．（2013四川文理）如图在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】B 【解析】设(,)A x y 表示复数z x yi =+，则z 的共轭复数z x yi =-对应的点位(,)B x y -． 122．（2013辽宁文理）复数的11z i =-模为（ ） ()()()222222a bi a bi i a b i a bi +-+=++=+i z b a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22z 24iz i =+z ()2,4()2,4-()4,2-()4,22442iz i i+==-()4,2-21iz i=+i 211iz i i==++1z i ∴=-(2)i i -xA ．B ． CD ．【答案】B 【解析】由已知111(1)(1)22i z i i i --==---+--，∴||z =．123．（2012新课标文理）复数z ＝32ii-++的共轭复数是 （ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 【答案】D 【解析】∵z =32ii-++=1i -+，∴z 的共轭复数为1i --，故选D ． 124．（2012北京文理）在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（ ） A ．（1，3） B ．（3，1） C ．(1,3-） D ．31-（，） 【答案】A 【解析】由1010(3)133(3)(3)i i i i i i i -==+++-对应复平面内的点为A ． 125．（2012广东文理）设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i --【答案】D 【解析】依题意： 256(56)65i i ii i i --==--，故选D ． 126．（2012辽宁文理）复数 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，故选A ．127．（2012湖南文理）复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的共轭复数是 A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +【答案】A 【解析】由(1)z i i =+=，及共轭复数定义得． 128．（2012天津文理）i 是虚数单位，复数73ii-+= A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 【答案】B 【解析】73i i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -．12222-=2+i i34-55i 34+55i 41-5i 31+5i ()()()22-2-3-434===-2+2+2-555i i i i i i i 1i -+1z i =--129．（2012浙江文理）已知i 是虚数单位，则31ii+=- A ．12i - B ．2i - C ．2i + D ．12i + 【答案】D 【解析】3(3)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i ++++===+--+． 130．（2012江西文理）若复数(为虚数单位)z 是z 的共轭复数 ， 则22z z +的虚部为 A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2 【答案】A 【解析】∵1z i =+，∴1z i =-，∴22z z +=0．131．（2012山东文理）若复数满足（为虚数单位），则为 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】．故选A ． 另解：设，则 根据复数相等可知，解得，于是． 132．（2012陕西文理）设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】“”则或，“复数为纯虚数”则且，则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B ．133．（2011山东文理）复数z =（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】z ==3455i -在复平面内对应的点所在象限为第四象限． 134．（2011安徽文理）设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为A ．2B ． 2C ．D ．【答案】A 【解析】设，则，∴．故选A ． 135．(2011新课标文理)复数的共轭复数是1z i =+i z ()i i z 7112+=-i z i 53+i 53-i 53+-i 53--i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=),(R b a bi a z ∈+=i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+72,112=-=+a b b a 5,3==b a i z 53+=,a b R ∈i 0ab =ba i+0ab =0=a 0=b ba i+0=a 0≠b 0ab =ba i+22ii-+i 22i i -+i aii 1+2--1-212()aibi b R i1+∈2-=1+(2)2ai bi i b bi =-=+1,2b a ==212ii+-A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】=共轭复数为C ． 136．（2011湖南文理）若，为虚数单位，且，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】因，根据复数相等的条件可知． 137．（2011广东文理）设复数z 满足(1+i )z =2，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1-i C ．2+2i D ．2-2i 【答案】B 【解析】22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-． 138．（2011辽宁文理）i 为虚数单位，=+++7531111i i i iA ．0B ．2iC ．i 2-D ．4i【答案】A 【解析】∵21i =-，∴=+++7531111i i i i 11110i i i i-+-=． 139．（2011福建文理）i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A ．i S ∈B ．2i S ∈C ．3i S ∈D ．2S i∈ 【答案】B 【解析】∵21i =-，1S -∈，∴2i S ∈．140．（2011浙江文理）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++⋅则= A ．3－i B ．3+i C ．1+3iD ．3【答案】A 【解析】(1)(2)(1i)3i z z i +⋅=+-=-．141．（2020全国Ⅱ理15）设复数21,z z 满足i z z z z +=+==322121，，则=-21z z ．【答案】【解析】122z z ==，可设12cos 2sin z i θθ=+⋅，22cos 2sin z i αα=+⋅，()()122cos cos 2sin sin z z i i θαθα∴+=+++⋅=，()()2cos cos 2sin sin 1θαθα⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩()422cos cos 2sin sin 4θαθα++=，35i -35i i -i 212i i+-(2)(12),5i i i ++=,a b R ∈i ()a i i b i +=+1,1a b ==1,1a b =-=1,1a b =-=-1,1a b ==-()1a i i ai b i +=-+=+1,1a b ==-化简得：1cos cos sin sin 2θαθα+=-， ()()122cos cos 2sin sin z z iθαθα∴-=-+-⋅====．故答案为：142．（2020江苏2）已知i 为虚数单位，则复数()()1i 2i z =+-的实部是 ． 【答案】3 【解析】()()1i 2i 3i z =+-=+，则复数z 的实部为3．143．（2020天津10）i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 【答案】32i -【解析】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-．故答案为：32i -． 144．（2020上海3）已知复数12z i =-（i 为虚数单位），则|z |= ．【解析】z ==145．（2020海南2）()()12i 2i ++==（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】B【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=，故选B ． 146．（2019天津文理】i 是虚数单位，则5|ii|1-+的值为______________．【解析】5i (5i)(1i)|||||23i |1i (1i)(1i)---==-=++-． 147．（2019浙江卷】复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =______________．【解析】由题可得1|||1i |2z ===+． 148．（2019江苏卷】已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是______________． 【答案】2 【解析】2(2i)(1i)i 2i 2i 2(2)i a a a a a ++=+++=-++，令20a -=，解得2a =．149．(2018天津文理)i 是虚数单位，复数67i12i+=+ ． 【答案】4i -【解析】67i (67i)(12i)205i4i 12i (12i)(12i)5++--===-++-．150．(2018上海文理)已知复数z 满足(1i)17i z +=-（i 是虚数单位），则||z = ．【答案】5【解析】由题意17i (17i)(1i)68i34i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-，∴|||34i |5z =--==． 151．（2018江苏）若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 【答案】2【解析】复数12i(12i)(i)2i iz +==+-=-的实部是2． 152．（2017天津文理）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-． 153．（2017浙江文）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ． 【答案】5，2【解析】∵222(i)2i 34i a b a b ab +=-+=+，∴223a b -=，2ab =，又22222222()()491625a b a b a b +=-+=+=，∴225a b +=，2ab =．154．（2017江苏文理）已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是______．|||1i ||12i |z =++==155．（2015天津文理）i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ．【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数，∴20a +=，即2a =-． 156．（2015重庆文理）设复数(,R)a bi a b +∈，则()()a bi a bi +-＝ ．【答案】3【解析】由，即，∴．157．(2014江苏文理)已知复数2(52)z i =+ (i 为虚数单位)，则的实部为 ． 【答案】21【解析】2(52)z i =+=2120i +，的实部为21．158．（2014浙江文理）已知i 是虚数单位，计算21(1)ii -+＝________． 【答案】12i --【解析】211(1)1(1)222i i i i ii i -----===+-． 159．（2014北京文理）复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________．【答案】1-1【解析】211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭22(1)1(1)i i +=--．160．（2014湖南文理）复数23ii +（i 为虚数单位）的实部等于_________． 【答案】3-【解析】23ii+=3i --．实部为3-．161．（2013重庆文理）已知复数（是虚数单位），则 5(12)2(12)(12)i i z i i i -==++-，∴||z ==162．（2013天津文理）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a + i)(1 + i) = bi ，则a + bi = ． 【答案】【解析】由题意，即，∴a + bi =．163．（2012湖北文理）若31bii +-=a bi +（,a b 为实数，i 为虚数单位），则a b +=____________． 【答案】3【解析】∵31bia bi i+=+-，∴()()()31bi a bi i a b b a i +=+-=++-．又∵,a b 都为实数，故由复a bi +==223a b +=22()()3a bi a bi a b +-=+=z z 512iz i=+i _________z =12i +101a a b -=⎧⎨+=⎩12a b =⎧⎨=⎩12i +。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 .考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ） A ．‐1B ．0 ∙C ．1D ．22．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ） A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（ ）A ．2-BC ．D ．22．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10iB ．2iC ．10D ．23．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1-D ．1-4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A ．i -B ．iC ．0D ．16．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1-B ．1-C ．13-D ．13-8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．22．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（ ）A ．1B ．2CD ．53．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1B ．5C ．7D ．255．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1CD ．26．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．27．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= . 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．19．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 . 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1-D ．1-3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i --5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=参考答案考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D【详细分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【答案详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 2．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 . 【答案】3【详细分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【答案详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3.故答案为：3.【名师点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ） A ．‐1 B ．0 ∙ C ．1 D ．2【答案】C【详细分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【答案详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =． 故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【详细分析】利用复数相等的条件可求,a b .【答案详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=， 故选：B.3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b == C ．1,1a b =-= D ．1,1a b =-=-【答案】A【详细分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【答案详解】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-． 故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==- B ．1,2a b =-= C ．1,2a b == D ．1,2a b =-=-【答案】A【详细分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【答案详解】12z i =-12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩ 故选:A5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（ ）A ．2-BC ．D ．2【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【答案详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10i B ．2i C ．10 D ．2【答案】A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A3．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-. 故选：D4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B【详细分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【答案详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+. 故选：B.5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A ．i - B ．i C ．0D ．1【答案】A【详细分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出． 【答案详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．6．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1- B ．1- C ．13-D ．13-【答案】C【详细分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【答案详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-- 故选 ：C8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【详细分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【答案详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D9．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +【答案】C【详细分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【答案详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案详解】若1i z =--，则z ==故选：C.2．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（ ）A ．1B ．2CD ．5【答案】C【详细分析】由题意首先化简232i 2i ++，然后计算其模即可. 【答案详解】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则232i 2i 12i ++=-=故选：C.3．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B【详细分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【答案详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．5．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【详细分析】先根据2i 1=-将z 化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．【答案详解】因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+，所以 z ==． 故选：C ．【名师点评】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．6．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【详细分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【答案详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.7．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= .【答案】【详细分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -. 【答案详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===.故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+,由已知122OZ OZ OP ====,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==.【名师点评】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．1【答案】C【详细分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【答案详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z =，故选C ． 【名师点评】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 9．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 .【详细分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【答案详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 【名师点评】本题考查了复数模的运算，是基础题. 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .【答案】2【详细分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【答案详解】1|||1|2z i ==+.【名师点评】本题考查了复数模的运算，属于简单题.考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【详细分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义详细分析判断.【答案详解】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-.故选：D3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i --在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【详细分析】利用复数的除法可化简2i13i --，从而可求对应的点的位置. 【答案详解】()()2i 13i 2i 55i 1i 13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）．A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i -- 【答案】B【详细分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【答案详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-.故选：B.【名师点评】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本详细分析求解能力，属基础题. 5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【详细分析】先求出共轭复数再判断结果.【答案详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（‐3，‐2）位于第三象限．故选C ．【名师点评】本题考点为共轭复数，为基础题目．6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【详细分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【答案详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -==则22(1)1y x +-=．故选C ．【名师点评】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．。

一、选择题1．(2011·广州模拟)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的虚部记作Im(z )＝b ，则Im(12＋i)＝( ) A.13 B.25 C ．－13D ．－15解析：∵12＋i ＝2－i (2＋i )(2－i )＝25－15i ，∴Im(12＋i )＝－15.答案：D2．(2011·南昌模拟)右图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ≤－20，－2＜x ≤32x ，x ＞3的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是( )A ．y ＝ln(－x )，y ＝0，y ＝2xB ．y ＝ln(－x )，y ＝2x ，y ＝0C ．y ＝0，y ＝2x ，y ＝ln(－x )D ．y ＝0，y ＝ln(－x )，y ＝2x解析：依题意得，当x ≤－2时，y ＝ln(－x )，因此①处应填y ＝ln(－x )；当－2＜x ≤3时，y ＝0，因此③处应填y ＝0；当x >3时，y ＝2x ，因此②处应填y ＝2x .答案：B3．(2011·新课标卷)复数5i1－2i＝( ) A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i解析：5i 1－2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－2＋i. 答案：C4．如果执行右边的程序框图，输入x ＝－12，那么其输出的结果是( )A ．9B ．3C. 3D.19解析：依题意得，执行完第1次循环后，x ＝－12＋3＝－9≤0；执行完第2次循环后，x ＝－9＋3＝－6≤0；执行完第3次循环后，x ＝－6＋3＝－3≤0；执行完第4次循环后，x ＝－3＋3＝0≤0；执行完第5次循环后，x ＝0＋3＝3>0.结合题中的程序框图可知，最后输出的结果是 3.答案：C 二、填空题5．(2011·陕西高考)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)26．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.下面计算验证．假设两个正四面体的棱长分别为1和2，如图，正四面体ABCD 的棱长为1，取BC 的中点E ，作AO ⊥ED 于O ，则OD ＝23ED＝23×32＝33， 又在Rt △AOD 中， AO ＝1－OD 2＝1－(33)2＝63， 则V 正四面体ABCD ＝13S △BCD ·AO ＝13×34×63＝212；同理可算得棱长为2的正四面体的体积V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝223. ∴V 正四面体ABCD ∶V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝212223＝18.答案：1∶87．(2011·皖南八校联考)如图，是一程序框图，则输出结果为________．解析：结合题中的程序框图可知，该程序框图实际是计算数列{1n (n ＋1)}的前10项和，注意到1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，因此数列{1n (n ＋1)}的前10项和等于(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(110－111)＝1－111＝1011，即输出结果是1011. 答案：1011三、解答题8．已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)设复数ω＝z 1－i ，求||ω；(2)当复数z 满足||z ＝1时，求||z －z 1的最大值． 解：(1)z 1＝i(－2i)(1－i)＝2－2i ， ∵ω＝z 1－i ＝2＋i ，∴||ω＝ 5.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵||z ＝1，∴a 2＋b 2＝1.||z －z 1＝(a －2)2＋(b ＋2)2＝－4a ＋4b ＋9，令a ＝cos θ，b ＝sin θ， 上式＝－4cos θ＋4sin θ＋9＝9＋42sin (θ－π4)，∴||z －z 1max ＝9＋42＝22＋1.9.已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，设z ＝a ＋i ，求zz.解：记f (x )＝11－x ，则有f (2)＝11－2＝－1， f [f (2)]＝f (－1)＝12，f (12)＝11－12＝2，依题意得题中所给的程序框图中输出的结果是数列2，－1，12，2，－1，12，…(注：该数列的项以3为周期重复出现)的第2 011项，由于2011＝3×670＋1，因此a ＝2，∴z ＝2＋i ，z ＝2－i ， 则z z ＝2＋i2－i ＝(2＋i)2(2－i)(2＋i)＝4＋4i －15＝35＋45i.10．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据.在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，求输出的S 的值．解：根据题中数据可得a ＝44，由程序框图得S ＝42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋428＝7.。

算法初步、推理与证明、复数时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·淄博期末)i 是虚数单位，复数－1＋3i1＋2i ＝( )A ．1＋iB ．5＋5iC ．－5－5iD ．－1－i解析：－1＋3i 1＋2i ＝－1＋3i 1－2i1＋2i 1－2i＝－1＋3i ＋2i ＋61＋4＝5＋5i5＝1＋i.答案：A2．(2014·镇江模拟)如图是求x 1，x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S *(n ＋1)B ．S ＝S *x n ＋1C ．S ＝S *nD ．S ＝S *x n解析：由循环结构的程序框图知识可知选D. 答案：D3．(2014·长春月考)如图，程序框图所进行的求和运算是( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋13＋15＋…＋119C.12＋14＋16＋…＋120D.12＋122＋123＋…＋1210 解析：由程序框图知选C. 答案：C4．(2014·桦甸一模)阅读如图所示的程序框图，若输出s 的值为－7，则判断框内可填写( )A ．i ＜3?B ．i ＜4?C ．i ＜5?D ．i ＜6?解析：i ＝1，s ＝2；s ＝2－1＝1，i ＝1＋2＝3；s ＝1－3＝－2，i ＝3＋2＝5； s ＝－2－5＝－7，i ＝5＋2＝7.输出s 的值为－7，循环终止，故判断框内应填“i ＜6？”． 答案：D5．(2014·延吉二模)如图所示是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x n nC ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋1n解析：由循环结构的程序框图可知需添加的运算为S ＝x 1＋x 2＋…＋x 10的累加求和，故选A.答案：A6．(2014·莱州模拟)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( )A．2 B．3C．4 D．5解析：由框图可知i＝1，s＝1×21＝2；i＝2，s＝2＋2×22＝10；i＝3，s＝2＋2×22＋3×23＞11，i＝i＋1＝3＋1＝4，故选C.答案：C7．(2014·江西红色六校联考)已知a＝，则执行如图所示的程序框图后输出的结果等于( )答案：C8．(2014·临汾百题精选)有编号为1,2，…，1000的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验，下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是( )解析：A中的程序框图第一个输出值为0，不符合要求；C中的程序框图第一个输出值为0，不符合要求；D中的程序框图最后一个输出值大于1000，不符合要求；仅B中的程序框图输出值都为1至1000中的所有7的倍数．答案：B9．(2014·威海二模)如果执行如图所示的程序框图，输入正整数n＝6，m＝4，那么输出的p等于( )A．720B．360C．240D．120解析：由程序框图知，当n＝6，m＝4，第一次循环：p＝(6－4＋1)×1＝3，k＝2；第二次循环：p＝(6－4＋2)×3＝12，k＝3；第三次循环：p＝(6－4＋3)×12＝60，k＝4；第四次循环：p＝(6－4＋4)×60＝360，此时k＝m，终止循环；输出p＝360，故选B.答案：B10．(2014·盘锦一模)如图所示的程序框图的输出结果是( )A ．2011B ．65C ．64D ．63解析：∵62×632＝1953＜2010，63×642＝2016＞2010，∴n ＝63. 答案：D11．(2014·大庆模拟)设n ∈N *，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算知f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，由此猜想( )A ．f (2n )＞2n ＋12B ．f (n 2)≥n ＋22C ．f (2n)≥n ＋22D ．以上都不对解析：由f (2)，f (4)，f (8)，f (16)可猜想f (2n)≥n ＋22.答案：C12．(2014·茂名二模)p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．不确定解析：q ＝ab ＋mad n ＋nbcm＋cd≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p . 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。