高考数学二轮复习：15 算法初步、复数、推理与证明

高考数学二轮复习精品资料专题10推理证明复数算法框图（学生版）【考纲解读】1.理解复数的基本概念;理解复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义．2.会进行复数代数形式的四则运算．②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．3.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．4.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．5.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．6.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．7.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．(理科)8.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．9.了解算法的含义，了解算法的思想;理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．10.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．【考点预测】今年高考对本部分知识的命题主要有以下两个方面：1.复数与算法框图是历年高考的热点内容，考查方式主要在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查复数的基础知识、算法框图以循环结构为主，难度较低。

2.推理证明也是高考的一个重点内容，考查方式多样，在客观题中主要考查合情推理中的归纳与类比，证明题目多以解答题的一个分支出现，常与数列、导数、不等式等知识结合，理科可能考查数学归纳法，难度较高，将继续强调考查逻辑推理、归纳等能力。

【要点梳理】1.合情推理与演绎推理：合情推理包括归纳与类比，明确演绎推理的三个模式（大前提、小前提、结论）.2.直接证明与间接证明:直接证明包括分析法(执果索因)与综合法(执因索果);常用的间接证明方法是反证法,反证法主要用于证明唯一性与否定性命题,其主要步骤是否定结论、证明、得出矛盾、肯定结论.3.(理科)数学归纳法:用来证明与自然数有关的等式、不等式、整除及几何等问题。

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题十二 推理与证明、算法初步专题强化训练 理(时间：45分钟 满分：60分)一、选择题1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C.法一：由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，得ab ＝－1，代入三个等式中均符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123，故选C.法二：令a n ＝a n ＋b n，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123，故选C.2．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 016的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625 D ．8 125解析：选C.55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k 与5m (k ∈N *，m ＝5，6，7，8)的后四位数字相同，又2 016＝4×502＋8，所以52 016与58后四位数字相同为0 625，故选C.3．设f (x )＝12x ＋2，利用推导等差数列前n 项和的方法——倒序相加法，得到f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为( )A ．3 2B ． 2C ．3 3D ．2 3解析：选A.f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12.设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)， 又S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝12[f (－5)＋f (6)]＝122，∴S ＝3 2.4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n （2n 2＋1）3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]解析：选B.本题易被题干误导而错选A ，分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k ＋1)2＋k 2.5．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的最大值为( )A ．8B ．9C ．16D ．25 解析：选C.∵a ，b ∈(0，＋∞)且1a ＋9b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋9b)＝10＋(b a ＋9ab)≥10＋29＝16，要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ，故μ的最大值为16.6．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为－25时，输出x 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．9解析：选C.执行程序框图，x ＝－25，|x |＝|－25|>1，x ＝|－25|－1＝4，|4|>1， x ＝|4|－1＝1，1>1不成立， ∴x ＝2×1＋1＝3.故选C.7．如果执行下边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数解析：选C.由于x ＝a k ，且x >A 时，将x 值赋给A ，因此最后输出的A 值是a 1，a 2，…，a N 中最大的数；由于x ＝a k ，且x <B 时，将x 值赋给B ，因此最后输出的B 值是a 1，a 2，…，a N 中最小的数．8．执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为3，则输出的i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.第1次循环，得M ＝100＋3＝103，N ＝1×3＝3，i ＝2；第2次循环，得M ＝103＋3＝106，N ＝3×3＝9，i ＝3；第3次循环，得M ＝106＋3＝109，N ＝9×3＝27，i ＝4； 第4次循环，得M ＝109＋3＝112，N ＝27×3＝81，i ＝5； 第5次循环，得M ＝112＋3＝115，N ＝81×3＝243，i ＝6， 此时M <N ，退出循环，输出的i 的值为6，故选C. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的a ＝( )A ．20B ．14C ．10D ．7解析：选C.依次执行程序框图中的语句，可得：①a ＝10，i ＝1；②a ＝5，i ＝2；③a ＝14，i ＝3；④a ＝7；i ＝4；⑤a ＝20，i ＝5；⑥a ＝10，i ＝6，∵当i ＝2 016时，跳出循环，而2 016＝1＋5×403， ∴输出的a ＝10.10．若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2B ．11＋x ≤1－12x ＋14x 2C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln(1＋x )≥x －18x 2解析：选C.对于A ，分别画出y ＝e x ，y ＝1＋x ＋x 2在[0，＋∞)上的大致图象(如图)，知e x ≤1＋x ＋x 2不恒成立，A 错；对于B ，令f (x )＝1＋x (1－12x ＋14x 2)．f ′(x )＝121＋x (1－12x ＋14x 2)＋1＋x ·(－12＋12x )＝x （5x －2）81＋x .∴x ∈[0，25]，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(25，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )为增函数．∴f (x )最小值为f (25)，f (25)＝1＋25×[ 1－12×25＋14×(25)2] ＝75×2125＝ 3 0873 125<1，B 错； 对于C ，结合图象(如图)知正确；对于D ，当x ＝4时，ln 5<ln e 2＝2＝4－18×42，D 错．故选C.二、填空题11．观察下列式子：1，1＋2＋1，1＋2＋3＋2＋1，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推出一个一般性结论：对于n ∈N *，1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________．解析：∵1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 212．已知1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，由以上不等式推测得到一个一般结论：对于n ≥2，n ∈N *，1＋122＋132＋ (1)2<________．解析：根据已知的三个不等式，推理得出1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n.答案：2n －1n13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．解析：由程序框图可知，当T ＝1，i ＝1时，T ＝T i＝1，i ＝2，不满足i >5；T ＝T i ＝12，i ＝3，不满足i >5； T ＝T i ＝16，i ＝4，不满足i >5； T ＝T i ＝124，i ＝5，不满足i >5； T ＝T i ＝1120，i ＝6，满足i >5. 输出T ＝1120.答案：112014．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为_______．解析：当i ＝2，k ＝1时，s ＝1×(1×2)＝2；当i ＝4，k ＝2时，s ＝12×(2×4)＝4；当i ＝6，k ＝3时，s ＝13×(4×6)＝8；当i ＝8时，i <n 不成立，输出s ＝8. 答案：8 三、解答题15．设n ≥2，n ∈N *，求证：n 2<1＋12＋13＋…＋12n －2＋12n －1<n .证明：记S n ＝1＋12＋13＋…＋12n －2＋12n －1，原题就是要证明n 2<S n <n (n ∈N *，n ≥2)．(1)当n ＝2时，22<1＋12＋13<2，显然成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时不等式成立，即k2<S k <k ，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<S k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋12k ＋ (12)＝S k ＋2k·12k ＝S k ＋1<k ＋1；S k ＋1>S k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＝S k ＋2k·12k ＋1＝S k ＋12>k 2＋12＝k ＋12.所以k ＋12<S k ＋1<k ＋1，即n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)、(2)可知，对任意n ∈N *，n ≥2，不等式成立．16．数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c ＜0； (2)求c 的取值X 围，使{x n }是递增数列．解：(1)证明：先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列；再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1可得c <0.(2)①假设{x n }是递增数列．由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c . 由x 1<x 2<x 3，得0<c <1.由x n <x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c 知，对任意n ≥1都有x n <c ，①注意到c －x n ＋1＝x 2n －x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )，② 由①式和②式可得1－c －x n >0，即x n <1－c .由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③ 反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1， x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )n的性质，得2c －1≤0，c ≤14，故0<c ≤14.②若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立．(ⅰ)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立．(ⅱ)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时结论成立，即x k <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间(－∞，12]内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由①②知，使得数列{x n }单调递增的c 的X 围是(0，14)]．。

考点一推理与证明［冲关锦囊］1.类比推理的一般步骤：⑴找岀两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得岀一个明确的结论.(3)进行类比推理时，要充分考虑己知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质，多发生在横向与纵向的类比.如椭圆与双曲线的横向类比，平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等.类比推理是由特殊到特殊的推理.(4)类比推理的结论不一定正确.2.归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推岀一个明确表述的一般性命题.一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠.(3)进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找岀联系，归纳岀一般结论.归纳推理是由特殊到一般的推理方式.(4)归纳推理是不完全归纳.结论不一定正确.3.演绎推理.［考题剖析］【例1】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：©sin2130+cos2170-sinl3°cosl70；®sin215°+cos215°—sinl5°cosl5°；③sir? 18°+cos? 12°—sinl 8°cos 12°；④sin2( — 18 °)+cos248 0—sin( — 18 O)cos480；⑤sin2(—25°)+cos255°—sin(—25°)cos55°.(l)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据⑴的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.解析：方法一：⑴选择②式，计算如下：sin215°+cos215°—sinl5°cosl5° = 1 —^sin30° = 1 -^—4-(2)三角恒等式为sin2a+cos2(30°—a)—sinacos(30°~a)= 34*证明如下：sin2a+COS2(30°—a)—sinacos(30°—a)—sin2a + (cos30°cosa + sin30°sina)2—sina(cos30°cosa + sin30°sina)^sinacosa+|sin2a -申sinacosa -1 = sin2sin2a方法二：(1)同解法一.(2)三角恒等式为3 sin2a+cos2(30°—«)—sinacos(30°—证明如下：a + 扌cos%+sin2a+COS2(30°~a)~ sinacos(30°—a)1一cos2a l+cos(60°—2a)= 入 + 7)— sina(cos30°cosa + sin30°sin(z)=g -1 cos2a + | + | (cos60°cos2« + sin60°sin2«) —• 1 - 2 sinacosa-2sin a1 1 _ . 1 . 1‘ 2 2VVO^ ' 2 1 4=壬- gcos2a + g + #cos2a + sin2a —sin2a — ^(1 —cos2a)=1—£os2a_¥+*os2a 二扌［对点训练］1.观察下列各式：o+0=l, /+员=3,於+/?3=4, / +沪=7,扌+护=11,…，则d°+M°=()A. 28B. 76C. 123D. 199解析：记a n+b n=firi)f则A3)=/(l)+/(2) = l+3=4；/(4)=/(2)+/(3)=3+4=7；/(5 =/(3) +/(4) = 11； /(6)=/(4)+/(5)=18； /(7)=/(5)+/(6)=29；«8)=/(6)+/(7)=47； /(9)=/(7)+/(8)=76； /(10)=/(8)+/(9) = 123.即 /+泸=123.答案:C2. (2013-陕西卷)观察下列等式(1 + 1)=2X1 (2+l)(2+2)=22XlX3(3 + l)(3+2)(3+3)=23XlX3X5照此规律，第〃个等式可为 ---------- •解析：由上述所给等式归纳可得,、_ 第&个等式可为：(" + 1)(〃 + 2户5 +防一2,?X1X3X-X(2n-1)答案：(n+l)(n+2)-(n+n)=rxiX3X.-X(2n-l)考点二算法初步［冲关锦囊］解决算法问题的方法是弄清楚程序框图中的计数变量和累加变量的关系,弄清楚循环结束的控制条件，通过逐步计算、模拟程序的计算方法找到其中的规律.［考题剖析］【例2］（1）（2013噺课标全国卷丨）执行下面的程序框图，如果输入的止［—1,3］,则输出的s属于（）A. [-3,4]B. [-5,2]C. [-4,3]D. [-2,5] 解析：当一1<K1时,严3圧(一3,3), 当1WW3 时，5=4t-r=-(r-2)2+4G[3,4] 综上，s&[—3,4]，故选A.答案:A/输入/ /5=3/ sS-P/输出S /:输 f h y. ;(2)(2013•陕西卷)根据下列算法语句，当输入x 为60时, [输入％:I I| If X < 二 50ThenI I I:y 二0・5 *久II:y 二25 +0. 6 * （% - 50”II! End If[ II输出y 的值为（）A. 25B. 30C. 31D. 61［对点训练］3. （2013-福建卷）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输岀的S£（10,20）,那么〃的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6解析：程序执行如下：S=0 k—lS=1 k-2（结束）5=1+2 k=35=l+2+22k=45=l+2+2+22+23 K=55=l+2+22+23+24>20 k=6故k=5时应退出循环，因此〃=4,选B. 答案：B4. （2013•山东卷）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的d的值为一1.2,第二次输入的。

第十三章算法初步、推理与证明、复数、极限第一节算法初步第一部分六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010浙江理）（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位（A） k＞4?（B）k＞5?（C）k＞6?（D）k＞7?【答案】A解析：本题主要考察了程序框图的结构，以及与数列有关的简单运算，属容易题2.（2010陕西文）5.右图是求x1,x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 (A)S=S*(n+1)（B）S=S*x n+1(C)S=S*n(D)S=S*x n【答案】D解析：本题考查算法S=S*x n3.（2010辽宁文）（5）如果执行右面的程序框图，输入==，那么输出的p等于n m6,4（A ）720 （B ） 360 （C ） 240 （D ） 120 【答案】B解析： 13456360.p =⨯⨯⨯⨯=4.（2010辽宁理）(4)如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（A ）1m n C - (B) 1m n A - (C) m n C (D) m n A【答案】D【命题立意】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力 【解析】第一次循环：k =1,p =1,p =n -m +1; 第二次循环：k =2,p =(n -m +1)(n -m +2)； 第三次循环：k =3，p =(n -m +1) (n -m +2) (n -m +3) ……第m 次循环：k =3，p =(n -m +1) (n -m +2) (n -m +3)…(n -1)n此时结束循环，输出p =(n -m +1) (n -m +2)(n -m +3)…(n -1)n =m n A5.（2010浙江文）4.某程序框图所示，若输出的S=57，则判断框内为 (A) k >4?(B) k >5?(C) k >6?(D) k >7?【答案】A解析：本题主要考察了程序框图的结构，以及与数列有关的简单运算，属容易题6.（2010天津文）(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3【答案】B【解析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。