高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布同步检测(含解析)2_3

2.4 正态分布A 级 基础巩固一、选择题1．设随机变量X ～N (1，22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝( )A ．4B ．2 C.12D ．1 解析：因为X ～N (1，22)，所以D (X )＝4.所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D (X )＝1.答案：D2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2解析：由P (ξ＜4)＝0.8，知P (ξ＞4)＝P (ξ＜0)＝0.2，故P (0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.答案：C3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )[附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解析：由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%.答案：B4．若随机变量X ～N (1，4)，P (X ≤0)＝m ，则P (0＜X ＜2)＝( )A.1－2m2B.1－m2C．1－2m D．1－m解析：由对称性：P(X≥2)＝P(X≤0)＝m，P(0＜X＜2)＝1－P(X≤0)－P(X≥2)＝1－m－m＝1－2m，故选C.答案：C5．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.答案：A二、填空题6．已知随机变量ξ服从正态分布，且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.答案：0.27．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．解析：法一设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P(A)．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000，502)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12.因为P (A －)＝P 1P 2P 3＋P 3＝12×12×12＋12＝58，所以P (A )＝1－P (A －)＝38.法二 设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P (A )．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000，502)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12.故P (A )＝P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12×12＋12×12×12＝38. 答案：388．若随机变量ξ～N (10，σ2)，P (9≤ξ≤11)＝0.4，则P (ξ≥11)＝________． 解析：由P (9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x ＝10为对称轴知，P (9≤ξ≤11)＝2P (10≤ξ≤11)＝0.4，即P (10≤ξ≤11)＝0.2， 又P (ξ≥10)＝0.5，所以P (ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3. 答案：0.3 三、解答题9．公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N (173，72)(单位：cm)，问车门应设计多高(精确到1 cm)？[参考数据：φ(2.33)＝0.99]解：设公共汽车门的设计高度为x cm ，由题意，需使P (ξ≥x )＜1%. 因为ξ～N (173，72)，所以P (ξ≤x )＝φ⎝⎛⎭⎪⎫x －1737＞0.99.查表得x －1737＞2.33，所以x ＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm ，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞．10.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式； (2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数百分比． 解：设农民工年均收入ξ～N (μ，σ2)， 结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式P (x )＝12πσe －（x －μ）22σ2＝15002πe －（x －8 000）22×5002，x ∈(－∞，＋∞)．(2)因为P (7 500<ξ≤8 000) ＝P (8 000－500<ξ≤8 000＋500) ＝0.682 6.所以P (8 000<ξ≤8 500)＝12P (7 500<ξ≤8 500)＝0.341 3， 即农民工年均收入在8 000～8 500元的人数占总体的34.13%.B 级 能力提升1．正态分布N (1，9)在区间(2，3)和(－1，0)上取值的概率分别为m ，n ，则( ) A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝n D ．不确定解析：正态分布N (1，9)的曲线关于x ＝1对称，区间(2，3)与(－1，0)到对称轴距离相等，故m ＝n .答案：C2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．解析：依题意，P (60－20＜X ≤60＋20)＝0.954 4，P (X ＞80)＝12(1－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名． 答案：2293．有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布，即X ～N (20，4)．若这批零件共有5 000个．(1)试求这批零件中尺寸为18～22 mm 的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸为24～26 mm 的零件不合适，则这批零件中不合适的零件大约有多少个？解：(1)因为X ～N (20，4)， 所以μ＝20，σ＝2.所以μ－σ＝18，μ＋σ＝22.于是零件尺寸X 为18～22 mm 的零件所占百分比大约是68.26%，(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， 所以零件尺寸X 为14～26 mm 的百分比大约是99.74%，而零件尺寸X 为16～24 mm 的百分比大约是95.44%.所以零件尺寸为24～26 mm 的百分比大约是99.74%～95.44%2＝2.15%.5 000×2.15%＝107.5，因此尺寸为24～26 mm 的零件大约有107个．。

2.4 正态分布1．正态曲线函数φμ，σ(x )＝12πσe222)x －－(μσ，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率为P (a ＜X ≤b )≈⎠⎛a bφμ，σ(x )d x ，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，b ]的概率的近似值，如图．2．正态分布如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛a bφμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．参数μ和σ的意义：正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ就是随机变量X 的均值，它可以用样本的均值去估计；参数σ就是随机变量X 的标准差，它可以用样本的标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布.1．正态曲线的特点 正态曲线φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈R 有以下特点：(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值(最大值)1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．3σ原则正态分布在三个特殊区间内取值的概率：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.正态曲线的特点的理解特点(1)说明函数的值域为正实数的子集，且以x轴为渐近线；特点(2)是曲线的对称性，曲线关于直线x＝μ对称；特点(3)说明函数在x＝μ时取得最大值；特点(4)说明正态分布的随机变量在 (－∞，＋∞)内取值的概率为1；特点(6)说明当均值一定，σ变化时，总体分布的集中、离散程度．如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均值和方差．从正态曲线的图象可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式为φμ，σ(x)＝12πe－x－2024，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2解析：选A μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2；σ反映的是正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)．(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝0.682 6.(2)P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)＝1 2＝1 2＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.特别注意：在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x ＝μ，而不是x ＝0.在本例条件下求P (X >5)．解：P (X >5)＝P (X ≤－3)＝12＝12＝0.022 8.150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．因为X ～N (110,202)， 所以μ＝110，σ＝20，P (110－20＜X ≤110＋20)＝0.682 6.于是X ＞130的概率为12×(1－0.682 6)＝0.158 7，X ≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3，故及格的人数为54×0.841 3≈45(人)，130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人)．解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这一特殊性质．某厂生产的圆柱形零件的外直径X 服从正态分布N (4,0.52)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm ，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X 服从正态分布N (4,0.52)，由正态分布的性质，可知正态分布N (4,0.52)在(4－3×0.5,4＋3×0.5)之外的取值的概率只有0.003，而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．8.错用正态曲线的对称性随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，如果P (ξ≤1)＝0.841 3，求P (－1<ξ≤0)．如图所示，因为P (ξ≤1)＝0.841 3， 所以P (ξ>1) ＝1－0.841 3 ＝0.158 7.所以P (ξ≤－1)＝0.158 7， 所以P (－1<ξ≤0) ＝0.5－0.158 7 ＝0.341 3.1．求解时，不注意结合图形对称性，错解为P (－1<ξ≤0)＝1－P (ξ≤1)＝0.158 7. 2．针对μ＝0的正态分布，求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式： (1)P (X <－x 0)＝1－P (X ≤x 0)； (2)P (a <X <b )＝P (X <b )－P (X ≤a )．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ>3)＝P (ξ<1)成立，则μ＝________.解析：因为ξ～N (μ，σ2)，故正态曲线关于直线x ＝μ对称，又P (ξ<1)＝P (ξ>3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2. 答案：21．设X ～N (μ，σ2)，则众数、中位数、平均数满足( ) A ．众数＝σ2，中位数＝平均数＝μ B ．平均数＝μ，众数＝中位数＝σ2C ．中位数＝μ，众数＝平均数＝σ2D ．众数＝中位数＝平均数＝μ解析：选D 利用众数、中位数、平均数的定义同频率分布直方图的关系． 2．设X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，则X 落在(－3.5，－0.5]内的概率是( ) A ．95.44% B ．99.74% C ．4.56%D ．0.26%解析：选B 由X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14知，μ＝－2，σ＝12，则P (－3.5<X ≤－0.5) ＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－3×12<X ≤－2＋3×12＝0.997 4.3．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵X 服从正态分布(1，σ2)，∴X 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为0.4.∴X 在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.答案：0.84．如图是三个正态分布X ～N (0,0.25)，Y ～N (0,1)，Z ～N (0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________.解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”． 答案：① ② ③5．设随机变量X ～N (0,1)，求P (X ≤0)，P (－2<X <2)．解：对称轴X ＝0，故P (X ≤0)＝0.5，P (－2<X <2)＝P (0－2×1<X <0＋2×1)＝0.954 4.一、选择题1．正态曲线关于y 轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．不确定解析：选C 均值即为其对称轴，∴μ＝0.2．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (X <4)＝0.84，则P (X ≤0)等于( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68D ．0.84解析：选A 由X ～N (2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为直线x ＝2，则P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝1－P (X <4)＝1－0.84＝0.16.3．若随机变量X 的密度函数为f (x )＝12π·e－x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：选C 由正态曲线的对称性及题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2.4．总体密度曲线是函数f (x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈R 的图象的正态总体有以下命题：①正态曲线关于直线x ＝μ对称； ②正态曲线关于直线x ＝σ对称； ③正态曲线与x 轴一定不相交； ④正态曲线与x 轴一定相交． 其中正确的命题是( ) A ．②④ B ．①④ C ．①③D ．②③ 解析：选C 利用正态函数图象的基本特征判断．5．如果提出统计假设：某工厂制造的零件尺寸X 服从正态分布N (μ，σ2)，当随机抽取某一个测量值α时，可以说明假设不成立的是下列中的( )A ．α∈(μ－3σ，μ＋3σ)B ．α∉(μ－3σ，μ＋3σ)C ．α∈(μ－2σ，μ＋2σ)D ．α∉(μ－2σ，μ＋2σ)解析：选B 由生产实际中的3σ原则可知，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4，故α∉(μ－3σ，μ＋3σ)几乎为不可能事件．二、填空题6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x ＝μ对称且在x ＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.答案：0.27．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝________. 解析：ξ服从正态分布N (2,9)， 且P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)， ∴μ＝2，σ＝3，c ＋1＋c －12＝2，则c ＝2.答案：28．设随机变量X ～N (1,22)，则Y ＝3X －1服从的总体分布可记为________． 解析：因为X ～N (1,22)，所以μ＝1，σ＝2.又Y ＝3X －1，所以E (Y )＝3E (X )－1＝3μ－1＝2，D (Y )＝9D (X )＝62. ∴Y ～N (2,62)． 答案：Y ～N (2,62) 三、解答题9．设ξ～N (1,1)，试求： (1)P (0<ξ≤2)； (2)P (2<ξ≤3)； (3)P (ξ≥3)． 解：∵ξ～N (1,1)， ∴μ＝1，σ＝1.(1)P (0<ξ≤2)＝P (1－1<ξ≤1＋1) ＝P (μ－σ<ξ≤μ＋σ) ＝0.682 6.(2)∵P (2<ξ≤3)＝P (－1<ξ≤0)， ∴P (2<ξ≤3)＝12＝12 ＝12＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.(3)∵P (ξ≥3)＝P (ξ≤－1)， ∴P (ξ≥3)＝12＝12＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8. 10．在一次测试中，测量结果X 服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若X 在(0,2)内取值的概率为0.2，求：(1)X 在(0,4)内取值的概率； (2)P (X >4)．解：(1)由于X ～N (2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图如图：∵P (0<X <2)＝P (2<X <4)，∴P (0<X <4)＝2P (0<X <2)＝2×0.2＝0.4. (2)P (X >4)＝12＝12(1－0.4)＝0.3.11．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N (90,100)． (1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少．(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人． 解：因为ξ～N (90,100)， 所以μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．。

第二个方案．
谢谢观赏！
Thanks!
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由
1 8π
e ＝ －x－8102
1 2πσ
e
－x－2σμ2 2
，可知σ＝2，μ＝10.(μ为平
均数，σ为标准差)
3．下面给出了关于正态曲线的4个叙述：①曲线在x轴上方且与x 轴不相交；②当x>μ时，曲线下降；当x<μ时，曲线上升；③当μ一定 时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中；④曲线关 于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点．其中正确的有( C )
解析：由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， 所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错； P(X≤σ2)>P(X≤σ2)，故B错； 当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)， 而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－p(Y≥t)， 所以P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错．
解析：P(－3<ξ<3)＝68.26%，P(－6<ξ<6)＝95.44%， 则P(3<ξ<6)＝12×(95.44%－65分)
9．已知正态分布密度函数φ(x)的图象如图所示，
则φ(x)＝
10
1
x－722
2πe－ 200
，x∈(－∞，＋∞)
．
12π，得σ＝4.故f(x)＝4
12πe－3x22 (x∈R)．
(2)P(－4<X<4)＝P(0－4<X<0＋4)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6.

人教A 高中数学选修2-3同步训练1．设随机变量ξ～N(2,2)，则D(12ξ)嘚值为( ) A ．1 B ．2 C.12D ．4 解析：选C.∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.∴D ()12ξ＝122D(ξ)＝14×2＝12.2．如图是当 σ取三个不同值σ1、σ2、σ3嘚三种正态曲线N(0，σ2)嘚图象，那么σ1、σ2、σ3嘚大小关系是( )A ．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B ．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C ．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D ．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3 解析：选D.当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝12πe －x 22在x ＝0处取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线嘚性质，当μ一定时，曲线嘚形状由σ确定，当σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”，故选D.3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2解析：选C.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝1－0.8＝0.2.由题意知图象嘚对称轴为直线x ＝2，∴P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.3.∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6. ∴P(0<ξ<2)＝12P(0<ξ<4)＝0.3.4．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c ＋1)＝P(ξ<c －1)，则c 嘚值为________． 解析：c ＋1与c －1关于ξ＝2对称，c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2. 答案：2一、选择题 1．设随机变量X 服从正态分布，且相应嘚概率密度函数为φ(x)＝16πe －x 2－4x ＋46，则( ) A ．μ＝2，σ＝3 B ．μ＝3，σ＝2C ．μ＝2，σ＝3D ．μ＝3，σ＝3解析：选C.由φ(x)＝12π×3e －x －22232，得μ＝2，σ＝3.故选C.2．若随机变量X 嘚密度函数为f(x)＝12πe －x 22，X 在(－2，－1)和(1,2)内取值嘚概率分别为p 1、p 2，则p 1、p 2嘚关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：选C.由题意知μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，所以p 1＝p 2.3．已知随机变量X ～N(μ，σ2)，则Y ＝aX ＋b 服从( )A ．Y ～N(aμ，σ2)B ．Y ～N(0,1)C ．Y ～N(μa ，σ2b )D ．Y ～N(aμ＋b ，a 2σ2)解析：选D.由X ～N(μ，σ2)知E(X)＝μ，D(X)＝σ2，∴E(aX ＋b)＝aE(X)＋b ＝aμ＋b ，D(aX ＋b)＝a 2D(X)＝a 2σ2，从而Y ～N(aμ＋b ，a 2σ2)．4．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X ≤0)＝( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84 解析：选A.由X ～N(2，σ2)，对称轴为x ＝2，密度函数曲线如图所示，可知P(X ≤0)＝P(X ≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.5．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( )A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.975解析：选C.ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，从而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.6．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p ，则P(－1<ξ<0)＝( ) A.12＋p B.12－pC ．1－2pD ．1－p 解析：选B.P(－1<ξ<0)＝12P(－1<ξ<1)＝12[1－2P(ξ>1)]＝12－P(ξ>1)＝12－p.二、填空题7．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上嘚概率为0.5，那么相应嘚正态曲线f(x)在x ＝________时，达到最高点．解析：由于正态曲线关于直线x ＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上嘚概率为0.5，得μ＝0.2. 答案：0.28．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＞3)＝P(ξ＜－1)，则E(ξ)＝________.解析：ξ～N(μ，σ2)，∴μ＝3＋－12， ∴μ＝1，∴E(ξ)＝μ＝1.答案：19．某种零件嘚尺寸X(cm)服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围嘚零件数约占总数嘚________．解析：属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)即区间(1,5)嘚取值概率约为95.4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围嘚零件数约占总数嘚1－95.44%＝4.56%.答案：4.56%三、解答题10．在一次测试中，测量结果X 服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X 在(0,2)内取值嘚概率为0.2，求：(1)X 在(0,4)内取值嘚概率；(2)P(X>4)．解：(1)由于X ～N(2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图如图：∵P(0<X<2)＝P(2<X<4)，∴P(0<X<4)＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4. (2)P(X>4)＝12[1－P(0<X<4)]＝12(1－0.4)＝0.3.11．某厂生产嘚圆柱形零件嘚外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52)，质检人员从该厂生产嘚1000件零件中随机抽查一件，测得它嘚外直径为5.7 cm ，试问该厂生产嘚这批零件是否合格？解：由于X 服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布嘚性质可知，正态总体在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值嘚概率只有0.0026，而5.7∉(2.5,5.5)，说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生嘚小概率事件，据此可认为该批零件是不合格嘚．。