《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第3章 静态电磁场及其边值问题的解

第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场是电磁场的一种特珠形式。

当场源（电荷、电流）不随时间变化时，所激发的电场、磁场也不随时间变化，称为静态电磁场。

静止电荷产生的静电场、在导电媒质中恒定运动电荷形成的恒定电场以及恒定电流产生的恒定磁场都属于静态电磁场。

由麦克斯韦方程组可以看出，当场量不随时间变化时，电场矢量满足的方程和磁场矢量满足的方程是相互独立的，也就是说在静态情况下，电场和磁场是各自存在的，我们可以分别讨论。

本章将分别介绍静电场、恒定电场和恒定磁场的分析方法，最后介绍静电场边值问题的解法。

3.1 静电场分析静电场是静止电荷激发的，是电磁场的一种重要的和特珠的形式。

3.1.1 静电场的基本方程和边界条件1． 基本方程考虑到电磁场的源量（静止电荷q ）和场量（E 、D ）不随时间变化这一特征，由麦克斯韦方程组得出静电场的基本方程为积分形式d d (3.1.1)d 0(3.1.2)SV cVρ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰D S E l微分形式(3.1.3)0(3.1.4)ρ⎧∇⎪⎨∇⨯=⎪⎩D =E以及ε=D E （3.1.5）基本方程表明静电场是有源（通量源）无旋场，静止电荷是产生静电场通量源；电力线（E 线）从正的静止电荷发出，终于负的静止电荷。

2. 边界条件在两种电介质的分界面上，电场强度满足以下关系式()120n ⨯-=e E E 或 12t t E E = （3.1.6）表明电场强度的切向分量是连续的。

电位移矢量满足的关系式是()12n s ρ-=e D D 或 12n n s D D ρ-= （3.1.7）表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。

若分界面上不存在面电荷，即0S ρ=，则()120n -=e D D 或 12n n D D = （3.1.8）此时，在分界面上，D 的法向分量是连续的。

式（3.1.8）可改写为1122n n E E εε=可见，当12εε≠时E 的法向分量是不连续的，这是因为分界面上存在束缚电荷密度。

3.1.2 电位函数1. 电位和电位差由静电场的基本方程0∇⨯=E 和矢量恒等式0u ∇⨯∇=可知，电场强度矢量E 可以表示为标量函数ϕ的梯度，即()()ϕ=-∇E r r （3.1.9）式中的标量函数()ϕr 称为静电场的电位函数，简称为电位，单位为V （伏特）。

此式适用于任何静止电荷产生的静电场，即静电场的电场强度矢量等于负的电位梯度。

对于点电荷的电场()3'4'q πε-=⋅-r r E r r r 考虑到以下梯度运算结果31'()''-∇---r r =r r r r 则有()1()4'qπε=-∇⋅-E r r r与式（3.1.9）比较，可得到点电荷q 产生的电场的电位函数为()4'qC ϕπε=+-r r r （3.1.10）式中C 为任意常数。

应用叠加原理，根据式（3.1.10）可得到点电荷系、线电荷、面电荷以及体电荷产生的电场的电位函数分别为()114'Nii i q C ϕπε==+-∑r r r （3.1.11） ()()''1d '4'l l l C ρϕπε=+-⎰r r r r （3.1.12） ()()''1d '4's S S C ρϕπε=+-⎰r r r r （3.1.13） ()()''1d '4'V V C ρϕπε=+-⎰r r r r （3.1.14）通常用等位面形象地描述电位的空间分布。

例如，点电荷电场的等位面是同心球面族。

根据()()ϕ=-∇E r r 和标量函数梯度的性质可知，E 线垂直于等位面，且总是指向电位下降最快的方向。

若已知电荷分布，则可利用式（3.1.11）～（3.1.14）求得电位函数()ϕr ，再利用()()ϕ=-∇E r r 求得电场强度()E r 。

这样做比直接求()E r 要简单些。

在()()ϕ=-∇E r r 的两端点乘d l ，得()()()()d d d d l lϕϕϕ∂=-∇=-=-∂r E r l r l r 对上式两端从点P 到点Q 沿任意路径进行积分，得()()()()d d QPP Q ϕϕϕ=-=-⎰⎰QPE r l r可见，点P 、Q 之间的电位差()()P Q ϕϕ-的物理意义是把一个单位正电荷从点P 沿任意路径移动到点Q 的过程中，电场力所做的功。

为了使电场中每一点电位具有确定的值，必须选定场中某一固定点作为电位参考点，即规定该固定点的电位为零。

例如，若选定Q 点为电位参考点，即规定()0Q ϕ=，则P 点的电位为()d QPP ϕ=⎰E l （3.1.15）若场源电荷分布在有限区域，通常选定无限远处为电位参考点，此时()d PP ϕ∞=⎰E l （3.1.16）2. 静电位的微分方程在均匀、线性和各向同性电介质中，ε是一个常数。

因此将()()ϕ=-∇E r r 代入()()ρ∇=D r r 中，得()()()()εεϕρ∇=∇=-∇∇=D r E r r r故得()()2ρϕε∇=-r r （3.1.17） 即静电位满足标量泊松方程。

若空间内无自由电荷分布，即0ρ=，则()ϕr 满足拉普拉斯方程()20ϕ∇=r （3.1.18）在通过解泊松方程或拉普拉斯方程求()ϕr 时，需应用边界条件来确定常数。

下面介绍电位的边界条件。

设1P 和2P 是介质分界面两侧、紧贴分界面的相邻两点，其电位分别为1ϕ和2ϕ。

由于在两种介质中E 均为有限值，当1P 和2P 都无限贴近分界面，即其间距0l ∆→时，120ϕϕ-=∆→E l 。

因此，分界面两侧的电位是相等的，即12ϕϕ= （3.1.19）又由()12,n S ρεεϕ-===-∇e D D D E 可导出1212S n nϕϕεερ∂∂-=-∂∂ （3.1.20） 若分界面上不存在自由面电荷，即0S ρ=，则上式变为1212n nϕϕεε∂∂=∂∂ （3.1.21） 若第二种媒质为导体，因达到静电平衡后导体内部的电场为零，导体为等位体，故导体表面上，电位的边界条件为S nϕϕερ=⎧⎪∂⎨=-⎪∂⎩常数 （3.1.22） 例3.1.1 求如图2.2.3所示电偶极子的电位解 空间任一点(,,)P r θφ处的电位等于两个点电荷的电位叠加，即2101201211()()44r r qq r r r r ϕπεπε-=-=r 式中1r =，2r =对远离电偶极子的场点，r d >>，则12cos ,cos 22d dr r r r θθ≈-≈+ 22121cos ,r r d r r r θ-≈≈ 故得2300cos ()44ql r r θϕπεπε==p rr （3.1.23）应用球面坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度11()()sin r rr r θφϕϕϕϕθθφ⎛⎫∂∂∂=-∇=-++ ⎪∂∂∂⎝⎭E r r e e e30(2cos sin )4r p r θθθπε=+e e （3.1.24） 显然，此处的运算要比例2.2.1中直接计算电场强度E 要简单得多。

例3.1.2 求均匀电场的电位分布。

解 选定均匀电场空间中的一点o 为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为r ，则000()()d d PPoo P o ϕϕ-==-=-⎰⎰E l E r E r若选择点o 为电位参考点，即()0o ϕ=，则0()P ϕ=-E r在球坐标系中，取极轴与0E 的方向一致，即00z E =E e ，则有000()cos z P E E r ϕθ=-=-=-E r e r在圆柱面坐标系中，取0E 与x 轴方向一致，即00x E =E e ，而z z ρρ=+r e e ，则有00()()x z P E z ρϕρ=-=-+E r e e e 0cos E ρφ=-例3.1.3 两块无限大接地导体平板分别置于x =0和x =a 处，在两板之间的x =b 处有一面密度为0S ρ的均匀电荷分布，如图3.1.1所示。

求两导体平板之间的电位和电场。

解 在两块无限大接地导体平板之间，除x =b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程()212d 0,0d x x b x ϕ=<<()222d 0,d x b x ax ϕ=<<方程的解为()()111222x C x D x C x D ϕϕ=+=+利用边界条件，得()10,00x ϕ==处x a =处，()20a ϕ=x b =处，12()(),b b ϕϕ=0210()()S x bx x x x ρϕϕε=∂∂⎡⎤-=-⎢⎥∂∂⎣⎦于是有122011222100,0,S D C a D C b D C b D C C ρε=+=+=+-=-由此解得0110(),0S b a C D a ρε-=-=002200,S S b b C D aρρεε=-=最后得()()()()010020,0,S S a b x x x ba bx a x b x aa ρϕερϕε-==-≤≤≤≤()()()()()()()1011020220d d d d S x x S xx x a b x x x a x bx x x aϕρϕεϕρϕε-=-∇=-=-=-∇=-=E e e E e e3.1.3 导体系统的电容电容是导体系统的一种基本属性，它是描述导体系统储存电荷能力的物理量。

我们定义两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即qC U=（3.1.25） 电容的单位是F （法拉）。

电容的大小与电荷量、电位差无关，因为该比值为常数。

电容的大小只是导体系统的物理尺度及周围电介质的特性参数的函数。

本节介绍双导体系统的电容计算及多导体系统的部分电容的概念。

1．双导体的电容计算图3.1.1 两块无限大平行板在电子与电气工程中常用的传输线，例如平行板线、平行双线、同轴线都属于双导体系统。

通常，这类传输线的纵向尺寸远大于横向尺寸。

因而可作为平行平面电场（二维场）来研究，只需计算传输线单位长度的电容。

其计算步骤如下：（1）根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；（2）假定两导体上分别带电荷+q 和-q ；（3）根据假定的电荷求出E ；（4）由21d ⎰E l 求得电位差；（5）求出比值qC U=。

例3.1.4 平行双线传输线的结构如图3.1.2D ，且a D >>，设周围介质为空气。

试求传输线单位长度的电容。

解：设两导线单位长度带电量分别为l ρ+和l ρ-。