∫ 解： 由高斯定律，球外
r>a
时，
S
r E
2
⋅
v dS
=
E2 4πr 2
=
Q
ε0
∫ ∫ ∫ ∫ Q =
a ρdV =
0
a ρ d( 4 πr 3 )
0
3
=
a ρ 4πr 2dr
0
=
4πρ 0
a (r 2
0
−
r4 a2
)dr
=
8 15
πρ
0
a
3
∴
E2
=
2ρ 0a 3 15ε 0r 2
∫ ∫ 球内
r
<
r B
=
0
∫S
r D
r ⋅ dS
=
q
∇
⋅
r D
=
ρ
得
第3页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
一、基本方程(适用于任何介质的静电场)
积分形式
微分形式
意义
∫S
v D
⋅
v dS
=
q
∫CEv
⋅
v dl
=
0
∇
⋅
v D
=
ρ
电荷是静电场的源
∇
×
v E
=0
(Ev = −∇ϕ )
静电场是保守场
本构关系：
磁场及其边值问题的解
[例] 证明导体表面的电荷密度 ρ S 与导体
外的电位函数间有如下关系：ρ S
=
−ε 0
∂ϕ
∂n
∂ϕ 是电位对表面外法线方向的导数。
∂n
解： 作一柱形闭合面，两底面 ΔS 分别位于表面两侧，高 h → 0，
故侧面的通量积分为零。ΔS 相当小，可以认为其上各点相同，
=
2ρ0a3 15ε 0r
E2
=
2ρ 0a 3 15ε 0r 2
∫ ∫ ∫ 球内：
ϕ1 =
a
r E1dr +
∞
a E2dr =
a r
ρ0 ε0
(r 3
−
r3 5a 2
)dr
+
2ρ0a3 15ε 0r
=
ρ0
a2 (
− r2
+
r4
)
2ε 0 2 3 10a 2
E1
=
ρ0 ε0
(r 3
−
r3 5a 2
)
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第三章 静态电磁场及其边值问题的解
电磁场与电磁波
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电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
静态电磁场： 电场矢量满足的方程和磁场矢量满足的方程是
相互独立的 恒定电场：
导电媒质中恒定运动电荷形成，电源提供能量
恒定磁场：恒定电流产生
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第2页
r E
=
−evx
∂ϕ
∂x
− evy
∂ϕ
∂y
− evz
∂ϕ
∂z
沿任意方向的投影：
r El =
电位函数和电场的积分关系：
− ∂ϕ
∂l
dϕ =
−El dl
=
−
r E
⋅
r dl
∫ A、B 两点的电位差： ϕ B − ϕ A =
r r B( x, y,z ) − E ⋅ dl
A( x, y,z)
第6页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
ρl
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
[例] 两无限长同轴导电圆柱，内外半径为a、b，其间加电压U，
求两圆柱间场强和单位长度电容。
解：设内外圆柱上单位长度电量为 ρ l、− ρ l (C / m)
单位长度上， 上下底面Ez=0
a
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ S
r E
⋅
v dS
=
＋＋
上底 下底 侧
4πε 0 R R2 4πε 0 R 4πε 0 Rp 4πε 0 R
分布电荷的电位
体分布
∫ ϕ = ρdV + C
V 4πε 0 R
面分布
∫ ϕ = ρ S dS + C
S 4πε 0 R
线分布
∫ ϕ = ρl dl + C
l 4πε 0 R
注意：Er = −∇ϕ 是一个函数关系，不能由此得出结论:已知某点的电位，可以
a
时，
r S E1
⋅
v dS
=
1
ε0
r 0
ρ 4πr 2dr
→
4πr 2 E1
=
4πρ 0 ε0
r3 (
3
−
r5 5a 2
)
即： E1
=
ρ0 ε0
(r 3
−
r3 5a 2
)
；取无穷远点电位为零，则
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电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
∫ 球外：
ϕ2 =
∞
r E2dr
=
Q
4πε 0r
由
r E
=
−∇ϕ
得到电场强度，“某点”是没有梯度的，函数才有梯度。比
如，接地导体球表面的电位为零，但导体球表面的电场强度不为零。
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r<a
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
[例]电荷按体密度
ρ
=
ρ 0 (1 −
r2 a2
)
分布于一个半径的球形区域内，
其中 ρ0 为常数，计算球内外的电场(第二章求过)和电位函数。
＝
v Eρ
侧
⋅
v dS
=
Eρ
⋅ 2πρ
×1=
ρl ε0
b
Eρ
=
ρl 2πε 0 ρ
(a≤ ρ ≤b )
∫ ∫ U =
b a
E
ρ
dρ
=
b ρ l dρ = ρ l ln b
a 2πε 0 ρ
2πε 0 a
单位长度电容为:
C0
=
ρl
U
=
2πε 0
ln b
a
ρl
=
2πε 0U
b
ln
a
Eρ
=
U
ρ ln b
a
电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点， 均匀场或无限大带电体一般选择
( r = r0 ≠ 0 ⇒ r = 常数)为参考点。 第7页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
点电荷电位：
∫ ϕ =
RP R
q
4πε 0 R2
evR
⋅
r dl
∫ = q RP dR = q − q = q + C
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
第一节 静电场分析
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
由
∫CHr ⋅dlr =∫S(Jr+∂∂Dtr)⋅dSr
∇
×
r H
=
r J
+
∂
r D
∂t
∫C
r E
⋅
r dl
=
−∫S
∂Br ∂t
⋅
r dS
∇×
r E
=
−
∂
r B
∂t
∫SBr
⋅
r dS
=
0
∇
⋅
v D
=
ε
v E
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第4页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
二、边界条件 电场强度的切向分量总是连续的 E1t = E2t
分界面上有自由电荷 D1n − D2n = ρ S
分界面上无自由电荷 D1n = D2n 即 ε 1 E1n = ε 2 E2n
( ε1 ≠ ε 2 时，的法向分量是不连续的，因为分界面上存在束缚电荷)
或
∫ ϕ A − ϕ B =
Br r E ⋅ dl
A
∫ 定义点A电位：ϕ A =
Pr r E ⋅ dl
A
(P 为参考点，ϕ P = 0 )
说明：① 电位有明确的物理意义；
② 电位差与参考点的选择无关；
③ 同一问题中只能有一个参考点；
④ 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义， 应使电位表达式最简单：
折射关系： tgθ1 = ε1
tgθ2 ε 2
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电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
3.1.2 电位函数
一、电位和电位差
若
∇
×
r A
=
0
，则
v A
=
∇u
(梯度没有旋度)，由此定义
电位函数φ
：
r E
=
−∇ϕ
↔
∇×
r E
=
0
；电位单位：V
(伏特)
在直角坐标中，
