第八章 刚体的平面运动

aB aAx aAy aBA a
√ √
√

n BA
aAy
A

aAx
方向 √ √ 大小
√
？
√
？ AB
将上式向 轴投影
a BA
2 AB
aAy
AB

n a BA
n aB a Ax a Ay 2 aBA 74.36(cm / s 2 )
aB 1 n (a Ax a Ay ) aBA 2 2
a
① 加速度没有投影定理。 ② 加速度瞬心存在，但一般不与速度瞬心重合。 ③ 由于加速度瞬心寻找很困难，求解中只用基点法。
半径为 R 的轮子 在水平面上纯滚，已知某瞬 时轮心的速度为 vO，加速 度为aO .求轮上速度瞬心的 加速度和 B 点的加速度。
例
aBY aO aBX B O C aCX

aB
B
aAx
n aB BA
§8-5 运动综合应用举例
工程中的机构大都由数个物体组成，各物体间通过联 结点而传递运动。为分析机构的运动，首先要分清各 物体都作什么运动，计算联结点的速度和加速度。 平面运动理论用来分析同一平面运动刚体，或刚体间 接触处没有相对滑动的机构的运动量联系。当两刚体 相接触而有相对滑动时，则需要点的合成运动理论。 复杂机构可能同时有平面运动和点的合成运动问题， 应分清关系、综合处理。
B’ B
30°
vB’A

vB' A 30 3 mm/ s
AE
vB ' A 3 rad / s AB 2
从而得槽杆AE的角速度
求加速度
1、选滑块B为动点，动系与槽杆AE固结。 aa = a e + a r+ a C ( 4 ) 2、以 A 点为基点，求 B’点的加速度

PAG 13
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§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
平面图形内任意A、B两点间速度关系： v ' MO
vB v A vBA

vM
vO '
MB

O' A
vO '
大小 vBA AB 方向 垂直于 AB，朝向图形转动的一方
PAG 9
y'
o'
x'
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§8-1
刚体平面运动的概述和运动分解
y
任意平面运动的分析 在平面图形上任取一点O 做为基点； 在O点假想地做一个平移 参考系Oxy；
y'
x' O'
o
x
平面图形运动时,动坐标轴O'x' 轴、O'y' 轴始终分别 平行于定坐标轴Ox 轴、Oy 轴。 随着基点的平移
用一个平行于固定平面的平面 截割连杆； 截面S ：一个平面图形 过平面图形上任一点作垂直于 图形的直线； 刚体作平面运动 直线作平移
连 杆
平面图形上各点的运动可以代 表刚体内所有点的运动。 刚体的平面运动可简化为平面 图形在它的自身平面内运动。
S
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vO '
M
动系：O'x'y' （平移坐标系）
牵连运动：随O'点的平移 相对运动：绕O'点的圆周运动 绝对运动： 两个运动的合成 vM ve vr vO' vMO'

其中，i ，j 为x，y 轴的单位矢量。
14
2. 速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连
线上的投影相等。
证明：
vB =vA +vBA
vBA vB
∵(vB )AB= (vA )AB+ (vBA) AB
A
B
vA
vA
而vBA 垂直AB，在AB两点连线上的投影为零
∴ (vB )AB= (vA )AB
O
30 A 60 60 B vB 已知方向，可求出连杆CB的速度瞬
vA
心Cv2。
36
例题
刚体的平面运动
例题8
因为
CCv2 CB tan 30
3l 3
故得连杆CB角速度的大小
C
Cv2
Cv1
vC
CB
vC CCv 2
3 l
vA
它的转向沿逆时针。于是滑块B 速
度的大小为
O
30 A
vA
60 60 B vB
M3和M4各点的加速度大小。
39
例题
刚体的平面运动
例题9
解： 因在此瞬时O点的加速度是已知的，
M3
故选O点为基点，则齿轮节圆边缘上任一
点M 的加速度为：
aO vO M4
M2
RO
a O
因为任一瞬时齿轮的角速度 vO ，
R
M1
因此，可对此式求导数，从而求得齿轮
的角加速度
O
ψ
A vB
vA=u
vB
u
tan
,
vBA
u
sin
,
所以
AB
vBA l
u l

形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
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运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此