理论力学第8章(刚体的平面运动)
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八、刚体的平面运动8.1 如图所示,O 1A 的角速度为ω1,板ABC 和杆O 1A 铰接。
问图中O 1A 和AC 上各点的速度分布规律对不对?8.2如图所示,板车车轮半径为r ,以角速度ω 沿地面只滚动不滑动,另有半径同为r 的轮A 和B 在板车上只滚动不滑动,其转向如图,角速度的大小均为ω,试分别确定A 轮和B 轮的速度瞬心位置。
[解] 板车作平动,轮A 、B 与板车接触点 E 、F 的速度相同,且r v v v O F E ω=== 对A 轮由基点法求轮心A 的速度 A E AE =+v v v ,r v AE ω=∴ r v A ω2=,且A 轮的速度瞬心在E 点下方r 处。
同理可得B 轮的速度瞬心就在轮心B 处。
8.3直杆AB 的A 端以匀速度v 沿半径为R 的半圆弧轨道运动,而杆身保持与轨道右尖角接触。
问杆AB 作什么运动?你能用几种方法求出杆AB 的角速度?E FPOE v Av Fv Ov[解] AB 杆作平面运动。
(一) 瞬心法AB 杆作平面运动,速度瞬心为P 。
Rv AP v AAB2==ω (二)基点法D A DA =+v v v ,DA v v AB A DA ωθ==sin又 DA =2R cos(90o -θ)=2R sin θ ∴ Rv AB 2=ω(三)自然法: d d AB tϕω=,而R S ϕ2= ∴d d 2d d S R v t t ϕ==, d d 2vt R ϕ= ∴ Rv AB 2=ω 8.4如图所示四连杆机构OABO 1中,OA=O 1B=AB/2,曲柄OA 的角速度ω=3rad/s 。
当OA 转到与OO 1垂直时,O 1B 正好在OO 1的延长线上,求该瞬时AB 杆的角速度ωAB 和曲柄O 1B 的角速度ω1。
[解]取AB 为研究对象,AB 作平面运动。
以A 为基点,画B 点速度合成图 由B A BA =+v v v(rad/s)32230sin o==∴⋅=⋅==ωωωωAB OAAB OA v v AB AB ABABBBvvvDAv Dv Dv111cos3022(rad/s)B BAv v OA O Bωωω=︒=⋅=∴=8.5图示曲柄摇机构中,曲柄OA以角速度oω绕O轴转动,带动连杆AC在摇块B内滑动,摇块及与其固结的BD杆绕B铰转动,杆BD长l;求在图示位置时摇块的角速度及D点的速度。
第八章 刚体的平面运动8-1 如图所示,平面图形上两点A ,B 的速度方向可能是这样的吗?为什么?8-2 如图所示已知 ,方向如图; 垂直于。
于是可确定速度瞬心C 的位置,求得:CD ACv v A D = D O CD AC v D O v A D 222==ω这样做对吗?为什么?8-3 如图所示的角速度为 ,板 ABC 和图中铰接。
问图中和 AC 上各点的速度分布规律对不对?8-4 平面图形在其平面内运动,某瞬时其上有两点的加速度矢相同。
试判断下述说法是否正确:(1)其上各点速度在该瞬时一定都相等。
(2)其上各点加速度在该瞬时一定都相等。
8-5 如图所示瞬时,已知 和平行,且=,问与 、与 是否相等?车轮的角加速度是否等于 ?速度瞬心C的加速度大小和方向如何确定?8-7试证:当 ω=0时,平面图形上两点的加速度在此两点连线上的投影相等。
8-8 如图所示各平面图形均作平面运动,问图示各种运动状态是否可能?图a中,和平行,且=-。
图b中,和都与A,B连线垂直,且和反向。
图c中,沿A,B连线,与A,B连线垂直。
图d中,和都沿A,B连线,且> 。
图e中,和都沿A,B 连线,且< 。
图f中,沿A,B连线。
图g中,和都与AC连线垂直,且> 。
图h中, AB 垂直于AC,沿A,B连线,在AB连线上的投影与相等。
图i中,与平行且相等,即=。
图j中,和都与 AB 垂直,且,在A,B连线上的投影相等。
图k中,,在AB连线上的投影相等。
图l中,矢量与在AB线上的投影相等,在AB线上。
8-9 如图所示平面机构中,各部分尺寸及图示瞬时的位置已知。
凡图上标出的角速度或速度皆为已知,且皆为常量。
欲求出各图中点C的速度和加速度,你将采用什么方法?说出解题步骤及所用公式。
8-10 杆AB作平面运动,图示瞬时A,B两点速度,的大小、方向均为已知,C,D两点分别是, 的矢端,如图所示。
试问(l)AB杆上各点速度矢的端点是否都在直线 CD上?(2)对AB杆上任意一点E,设其速度矢端为H,那么点H在什么位置?(3)设杆AB为无限长,它与CD的延长线交于点P。
6 刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可简化成刚体的平面图形S 在某一固定平面内的运动,用3个独立坐标描述。
作用在刚体上的外力可简化为S 平面内的一平面力系F i (=1, 2,…,n )。
设坐标系Oxy 为固定的惯性参考系,Cx ′ y ′为质心平移坐标系,如图8-6所示。
平面图形的运动可用质心坐标x C , y C 和绕质心的转动角ϕ描述。
刚体的绝对运动可分解成跟随质心的平移和相对质心平移坐标系的转动。
由动量定理所述,刚体跟随质心的平移仅与外力系的主矢有关,由质点系相对质心的动量矩定理可知,刚体相对质心平移坐标系的运动仅与外力系对质心的主矩有关。
于是,由式(8.1.11)可写出y C x C F ym F x m R R ,==&&&& (8.1.55) 式中m 为刚体的质量,F R x , F R y 分别是外力系的主矢在y x ,方向上的分量。
由式(8.1.54)在垂直于平面图形S 方向上的投影,可得Cz CzM tL =d d (8.1.56) 其中M Cz 是外力系对通过质心且垂直于平面图形S 的轴之矩的代数和。
而ϕ&C Cz J L =,J C 是刚体对于通过质心且垂直于平面图形S 的轴的转动惯量。
应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理,得到了三个动力学方程,给出了三个广义坐标x C , y C 和ϕ的封闭方程组,用以解决刚体的平面运动问题。
动力学方程组m (8.1.57)Cz C ni iy C n i ix C M J F ym F x ===∑∑==ϕ&&&&&&,,11称为刚体平面运动微分方程组。
给出相应的初始条件,例如,t =0时,刚体质心的位置分别为x C 0和y C 0,质心在初始时的速度分别为和,平面图形S 在初始时的角位移和角速度分别为ϕ0C x &0C y&0和0ϕ&。