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假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与 早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, 如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为 什么？
解析： 由∠C=90°可知是直角三角 形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
b
c
C
a
C
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
问题：
A
b
C
c
a
C
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理
可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛 盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 、用反证法证明：等腰三角形的底 角必定是锐角． 分析：解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论. 已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况： (1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；
（1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°， 这与三角形内角和定理矛盾， ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立. (2)由90°＜∠B＜180°， 90°＜∠C＜180°， 则 ∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾
a b c A
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
例4
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于 或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°， ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ， 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
他运用了怎样的推理方法？ • 在古希腊时,有三个哲学家，由于 争论和天气的炎热感到疲倦，于是 就在花园里的一棵大树下躺下休息 睡着了。这时一个爱开玩笑的人用 炭涂黑了他们的前额,当他们醒过来 后，彼此相看时都笑了。一会儿其 中有一个人却突然不笑了，他是觉 察到什么了？
各抒己见
自己的前额也被涂黑了.
点拨：至少的反面是没有！
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1∥l2, l3与l1相 交于点P. 求证: l3与l2相交. l3
例5
l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l3∥l2 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论 的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、 公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法 叫做反证法。
三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B
≠∠
尝试解决问题
C
A
感 受 反 证 法:
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C， 则 这与 AB＝AC （ 等角对等边 已知AB≠AC 矛盾． ）
假设自己的前额没有被涂黑, 那么另一个哲学家也不会有异常行为,
这与另一个哲学家笑个不停矛盾,
所以假设“自己的前额没有涂黑”不正 确, 于是自己的前额也被涂黑了.
一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿 了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
小华的理由：
a
●
A，
A
b
●
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
已知：如图有a、b、c三条直线， 且a//c,b//c. 求证：a//b
例3
证明：假设a与b不平行，则 可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直 线a、b与直线c平行，这与 “过直线外一点有且只有一 条直线与已知直线平行矛盾, 假设不成立。 ∴a//b.
14.1.3反证法
小故事
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？ 这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？ 所以，李子是苦的
B
C
假设不成立． ∴ ∠B ≠ ∠ C ．
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
例2
求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不 妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经 过点A和A’的直线有且只有一条，这与 与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。
甲：在五一长 假里，我和爸 爸、妈妈去新 加坡玩了整整6 天，真是太高 兴了.
丙：是啊,5 月4号我确实 和甲在“步 行街”逛街！
乙：这不可能，5月4 号上午还看见你和丙 在“步行街”逛街呢！
乙：甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天，
那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在 新加坡， 即5月4号甲在新加坡， 这与“5月4号甲在桂阳的“步行街””矛 盾, 所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
