多旅行商问题综述

科技论坛PSO-TSP 问题综述傅刚（福州职业技术学院，福建福州350001）1TSP 问题介绍旅行商问题（Traveling Salesman Problem ）是一个典型的组合优化问题，旅行商问题描述如下：给定n 个城市及两两城市之间的距离，求一条经过各城市一次且仅一次的最逗路线。

其图论描述为：设给定带权图G=（V ，E ），其中V 为顶点集，E 为各顶点相互连接组成的弧集，已知各顶点间连接距离，要求确定一条最短Hamil －ton 回路，即遍历所有顶点一次且仅一次的最短回路。

设dij 为城市i 与j 之间的距离，即弧（i ，j ）的长度，引入变量：x ij1，若旅行商访问城市i 后访问城市j ；0，否则。

则TSP 的目标函数为minZ=ni ，j=1Σx ij d ijTSP 问题的求最优化解是很困难的。

对于有着n 个城市的TSP 问题，存在着（n-1）!/2条可能的路径。

随着城市数目n 的增长，可能路径的数目以n 的指数倍增加，如果使用穷举法搜索，需要考虑所以的可能情况，并两两比较，找出最优解，那么可搜索的路径及其距离之和的计算量将正比于n!/2，算法的复杂度呈指数增长，人们把这类问题称为“NP 完全问题”。

由于TSP 具有实际应用价值，例如：城市管道铺设优化、物流等行业中的车辆调度优化、制造业中的切割路径优化以及电力系统配电网络重构等现实生活中的很多优化问题都可以归结为TSP 模型来求解，目前TSP 应用的一个重要方面就是无人飞机的航路设计问题，即事先针对敌方防御区内的威胁部署和目标的分布情况，对无人作战飞机的飞行航路进行整体规划设计，可以综合减小被敌方发现和反击的可能性、降低耗油量，从而显著提高UCAV 执行对地攻击（或侦察）任务的成功率。

目前求解TSP 的主要方法有最近邻域搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、Hopfield 神经网络算法和蚁群算法等。

本文主要介绍用粒子群优化算法解决TSP 问题及其各种改进方法。

遗传算法解决旅行商问题求解复杂性思考旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题，主要涉及在给定一组城市和其之间的距离的情况下，寻找最短路径，使得旅行商可以访问每个城市并返回起始城市。

由于需要考虑全排列的情况，TSP在计算上通常是一个复杂且困难的问题。

遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一种模拟自然进化的算法。

在解决复杂问题时，遗传算法模拟了生物进化的基本原理，通过自然选择和遗传操作，逐代优化个体的适应度，从而找到解决问题的最佳解。

在使用遗传算法解决TSP时，个体通常表示为城市的排列序列，适应度函数定义为这个序列所对应路线的总长度。

下面将从两个方面对遗传算法解决TSP的复杂性进行思考：问题的复杂性和算法的复杂性。

首先，旅行商问题本身是一个NP-hard问题。

NP-hard问题是指在多项式时间内无法求解的问题。

TSP的复杂性由于需要考虑所有城市间的距离，而随着城市数量的增加，问题的规模呈指数级增长。

这导致在实际情况下，对于较大规模的TSP 问题，找到最优解是非常困难的。

遗传算法作为一种启发式算法，能够找到较好的近似解，在解决复杂问题时取得了较好的效果。

遗传算法通过不断迭代演化种群，逐步优化解的质量。

但是，由于TSP问题本身的困难性，遗传算法无法保证找到全局最优解，因为它受限于初始种群和搜索空间的选择。

此外，遗传算法的收敛速度也受到问题规模的影响。

其次，遗传算法本身也具有一定的复杂性。

需要设置合适的参数，如种群大小、交叉率、变异率等，以及遗传操作的策略。

不同的参数和策略选择可能导致不同的解决效果。

因此，在应用遗传算法解决TSP问题时，需要进行合理的参数配置和算法优化。

在实际应用中，基于遗传算法的TSP求解器已经取得了一定的成果。

通过对问题进行合理的建模和参数调优，可以在可接受的时间内得到较优的解。

此外，还有许多改进的遗传算法策略可以用于提高求解效率，如多父代遗传算法、局部搜索等。

图算法--旅⾏商问题旅⾏商问题的描述试想⼀下，⼀个业务员因⼯作需要必须访问多个城市。

他的⽬标是每个城市只访问⼀次，并且尽可能地缩短旅⾏的距离，最终返回到他开始旅⾏的地点，这就是旅⾏商问题的主要思想。

在⼀幅图中，访问每个顶点⼀次，并最终返回起始顶点，这个访问的轨迹称为哈密顿圈。

要解决旅⾏商问题，需要⽤图G=（V，E）作为模型，寻找图中最短的哈密顿圈。

G是⼀个完整的、⽆⽅向的带权图，其中V代表将要访问的顶点的集合，E为连接这些顶点的边的集合。

E中每条边的权值由顶点之间的距离决定。

由于G中⼀个完整的、⽆⽅向的图，因此E包含V（V-1）/2条边。

事实上，旅⾏商问题是⼀种特殊的⾮多项式时间问题，称为NP完全问题。

NP完全问题是指那些多项式时间算法未知，倘没有证据证明没有解决的可能性的问题。

考虑到这种思想，通常⽤⼀种近似算法来解决旅⾏商问题。

最近邻点法的应⽤⼀种近似的计算旅⾏商路线的⽅法就是使⽤最近邻点法。

其运算过程如下：从⼀条仅包含起始顶点的路线开始，将此顶点涂⿊。

其他顶点为⽩⾊，在将其他顶点加⼊此路线中后，再将相应顶点涂⿊。

接着，对于每个不在路线中的顶点v，要为最后加⼊路线的顶点u与v之间的边计算权值。

在旅⾏商问题中，u与v之间边的权值就是u到v 之间的距离。

这个距离可以⽤每个顶点的坐标计算得到。

两个点（x1，y1）与（x2，y2）之间距离的计算公式如下：r = √（x2 - x1）2 + （y2 - y1）2 （注意是求和的平⽅根）利⽤这个公式，选择最接近u的顶点，将其涂⿊，同时将其加⼊路线中。

接着重复这个过程，直到所有的顶点都涂成⿊⾊。

此时再将起始顶点加⼊路线中，从⽽形成⼀个完整的回路。

下图展⽰了使⽤最近邻点法来解决旅⾏商问题的⽅法。

通常，在为旅⾏商问题构造⼀个图时，每个顶点之间相连的边不会显⽰表⽰出来，因为这种表⽰会让图不清晰了，也没有必要。

在图中，每个顶点旁边都显⽰其坐标值，虚线表⽰在此阶段需要⽐较距离的边。

旅行商问题（ＴｒａｖｅｌｉｎｇＳａｌｅｓｍａｎＰｒｏｂｌｅｍ，简称ＴＳＰ）是一个著名的组合优化问题：给定ｎ个城市，有一个旅行商从某一城市出发，访问每个城市各一次后再回到原出发城市，要求找出的巡回路径最短。

如果用图论来描述，那就是已知带权图Ｇ＝（Ｃ，Ｌ），寻出总权值最小的Ｈａｍｉｌｔｏｎ圈。

其中Ｃ＝｛ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ｝表示ｎ个城市的集合，Ｌ＝｛ｌｉｊ｜ｃｉ，ｃｊ∈Ｃ｝是集合Ｃ中元素（城市）两两连接的集合，每一条边ｌｉｊ，都存在与之对应的权值ｄｉｊ，实际应用中ｄｉｊ可以表示距离、费用、时间、油量等。

ＴＳＰ的描述虽然简单，解决起来却很困难。

最简单思路是用穷举法把所有可能的巡回路径全部列出来，最短的一个就是最优解，但这样只能处理很小规模的问题。

旅行商问题属于ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ问题，是ＮＰ（ｎｏｎ－ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃｐｏｌｙ－ｎｏｍｉｎａｌ）问题中最难的一类，不能在多项式时间内求解。

如果有ｎ座城市，那么巡游路径共有（ｎ－１）！／２条，计算的时间和（ｎ－１）！成正比。

当城市数ｎ＝２０，巡回路径有１．２×１０１８种，ｎ＝１００，巡回路径就有多达４．６×１０１５５种，而据估计宇宙中基本粒子数“仅仅只有”１０８７个。

尽管如此，随着算法研究的逐步深入和计算机技术飞速提高，对ＴＳＰ问题的研究不断取得进展。

７０年来，被征服的ＴＳＰ规模从几十个城市增加到上万个城市。

目前的最高记录是在２００４年５月，找到的巡游瑞典２４９７８个城镇的最优路径（ｓｗ２４９７８），花费了８４．８个ＣＰＵ年。

图１展示了ＴＳＰ的研究进展，最近的二三十年时间里，被攻克的ＴＳＰ规模高速增长，差不多是每十年增加一个数量级。

照这样发展下去的话，再过２０年就能解决上百万个城市的ＴＳＰ，有专家甚至已经为此准备好了数据：全球１９０，４７１１个城市的坐标。

当然，能不能达到这个目标，有赖于未来计算技术的发展。

图１ＴＳＰ的发展字母后面的数字表示城市数，“ｓｗ２４９７８”就是瑞典的２４９７８个城镇。

组合优化中的旅行商问题求解在组合优化领域中，旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一类具有重要实际应用价值和理论研究意义的问题。

该问题要求在给定一系列城市和各城市之间的距离情况下，找到一条最短路径，使得旅行商能够恰好访问每个城市一次，并最终回到出发城市。

TSP在计算机科学、运筹学和数学等多个领域都得到了广泛的关注和研究。

1. TSP的数学建模旅行商问题可以用图论中的图来描述和解决。

首先，我们将每个城市表示为图中的一个节点，城市之间的距离表示为节点之间的边。

若每对节点之间的边都有权重，表示相应城市之间的距离，旅行商问题就可以转化为求解图的最短哈密顿回路（Hamiltonian cycle）的问题。

2. 求解TSP的经典算法2.1 蛮力算法蛮力算法是最简单直观的求解TSP的方法，它遍历所有可能的路径，并计算出总的路径长度，然后选择最短路径作为解。

然而，蛮力算法的时间复杂度为O(n!)，当城市数量增加时，计算时间将呈指数级增长，因此适用于城市数量较少的情况。

2.2 最邻近插入算法最邻近插入算法从一个起始城市开始，每次选择离当前城市最近的未访问城市作为下一个访问城市，直到访问完所有城市，并回到起始城市。

该算法的时间复杂度为O(n^2)，但它可能会得到次优解，因为贪心策略在选择下一个城市时只考虑了当前状态，没有考虑到整体最优解。

2.3 分支限界法分支限界法是一种基于回溯的求解TSP的优化方法，其思想是通过剪枝操作，去掉一些分支，从而减少搜索空间。

该算法首先选择一个起始城市，然后逐步扩展路径，每次选择一个未访问的城市，并通过计算路径长度来更新当前最优路径。

同时，在搜索过程中，根据当前路径长度和已知的最短路径长度，进行剪枝操作，以减少无效的计算。

分支限界法可以得到较优的解，但其时间复杂度仍然较高，因此在处理大规模问题时可能会面临困难。

3. 近似算法及元启发式算法为了求解大规模问题或提高求解效率，研究者们提出了许多近似算法和元启发式算法。

中国商务旅游相关问题分析一、历史回眸商业即贸易,是交换劳动产品的服务方式。

16世纪起,由于欧洲资本主义生产方式的兴起和工业的发展,商业活动迅速扩大,商品品种和贸易额大为增加,形成了新的世界市场。

伴随着科学技术的进步,大大推动了经济发展和社会文明。

近年来,世界性的商品交换,即商品贸易和服务贸易的高速发展,已成为世界各国普遍渴望和追逐的经济支撑点和增长点。

旅游是人类文明进步的产物且历史久远。

旅游活动成为大众化、大范围的社会现象,则是近代产业革命之后的事情。

旅游百余年发展史的时代特征,是由少数权贵层和富有者的享乐变革成以社会大众为主体的活动,大众观光逐渐成为旅游的主力军,这是旅游社会意义的本质提升。

权威部门对旅游有如下定义:“旅游是人们离开长住地到异国他乡访问的旅行和暂时停留所引起的各种现象和关系的总和”。

世界旅游组织等公认,“事务访问属于旅游者”。

这是商务旅游的理论依据。

当今国际市场商业活动广泛而频繁,贸易成交、物资交流逐年攀升,世界性的旅游业蓬勃发展,商事与旅游互动形成共同繁荣的链条。

如今旅游业不但发展成世界经济的支柱产业,而且也是国际经济和文化交流的重要渠道。

现代旅游内容更加丰富,内涵也在不断延伸扩展。

因此,旅游业引起人们的极大关注。

二、关于商贸与旅游的关系1.商贸即货物及服务贸易贸易即商业、商品买卖的行为。

贸易按性质分为有形贸易(即货物贸易或商品贸易)和无形贸易(即服务贸易),以下简称商品贸易和服务贸易。

市场营销学界给服务定义为:“用于出售或者是同产品连在一起进行出售的活动,利益或满足”。

另有“服务指一种无形产品的操作活动”。

不论是作用于人的有形服务,如民航,作用于物的有形服务,如货运;作用于人的无形服务,如广播,作用于物的无形服务,如保险。

服务同有形商品有着本质的区别表现在“五性”上:无形性、相连性、易变性、时间性和无权性,统称为服务的不可存储性。

这是与商品贸易差异的显著特征。

国际贸易分为有形贸易(商品贸易)和无形贸易(服务贸易)。

文章编号:1001-4098(2005)02-0019-03任务均分的多旅行商问题X卢厚清,王辉东,黄　杰,李　波(解放军理工大学工程兵工程学院,江苏南京　210007)摘　要:多旅行商问题是单旅行商问题的扩展,具有更广泛的实际意义。

在研究M T SP解的特点的基础上,提出了最小化总行程和均分多个旅行商访问点数、最小化总行程及均分访问路程的两个多目标的M T SP问题,并分别给出了相应的数学模型、求解算法和应用实例,实例表明模型的正确性。

关键词:M T SP;算法;多目标中图分类号:O22 文献标识码:A 多旅行商回路(M T SP)是旅行商问题(T SP)的扩展。

M T SP是指给出N个城市的集合,M个推销商从各自所在的城市出发,分别走一条旅行路线,使得每个城市有且仅有一个推销商走过,最后回到原来的出发城市,且总旅程最短。

研究M T SP具有重要的现实意义,T SP是M T SP 的一个特例(M=1),M T SP是T SP的一般形式。

与T SP 相比,如今企业管理中的更多的问题属于M T SP。

M T SP 又分为从同一中心城市出发的M T SP和从不同中心城市出发的M T SP。

本文主要讨论了从同一中心城市出发的M T SP问题。

目前,关于M T SP的研究较少,已有的研究主要集中在求解算法的设计上,尚未见到对M T SP解的特点及均分各旅行商均分访问顾客数和均分各旅行商访问路程的研究。

1　一般M T SP解的特点与多目标M T SP 为了使用T SP的算法研究解决M T SP,可引入M-1个虚拟点,记为N+1,…,N+M-1。

第i(1<i≤N)个点和点j(N<j≤N+M-1)之间的距离定义为第i(1<i≤N)个点到点1(中心城市)之间的距离,虚拟点之间及其到点1之间的距离定义为无穷大。

在这样的假设下,M条线路的所经过的点至少包含除中心点之外的另一个点。

由于每一个旅行商至少要经过一个城市,这样M个旅行商所经过的总边数为N+M条。

多目标旅行商问题（MO-TSP）是指在多个目标地点之间找到最优路径，使得旅行商能够同时满足多个旅行目标的问题。

这是一个复杂的组合优化问题，涉及到时间、成本、距离等多个目标的平衡。

针对这一问题，已经有许多算法被提出，比如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。

在本文中，我将针对用于解决多目标旅行商问题的算法进行深入剖析和讨论。

1. 遗传算法遗传算法是一种模仿自然选择和遗传机制的优化方法，通过种群的进化来寻找问题的最优解。

在解决MO-TSP问题时，遗传算法可以通过不断进化种群中的路径来寻找最佳的解决方案。

在每一代进化中，选择、交叉和变异等操作都会对种群进行改进，直到找到最优的解。

2. 模拟退火算法模拟退火算法是一种启发式算法，模拟金属退火过程中的晶粒结构变化来寻找问题的最优解。

在解决MO-TSP问题时，模拟退火算法可以通过接受较差解的概率来跳出局部最优解，并在搜索空间中进行全局搜索，以找到更好的解。

3. 蚁群算法蚁群算法是一种基于蚁群寻食行为的启发式算法，模拟蚂蚁在搜索食物时释放信息素的过程。

在解决MO-TSP问题时，蚁群算法可以通过蚂蚁在路径上释放信息素的方式来寻找最优路径，蚁群不断更新信息素浓度，并通过信息素浓度来选择下一步的移动方向。

在实际应用中，这几种算法都有其优缺点，如何选择最合适的算法取决于实际问题的复杂度、目标要求和算法的性能。

在我看来，遗传算法在求解MO-TSP问题时具有良好的全局搜索能力，但对于大规模问题的收敛速度可能较慢；模拟退火算法适用于局部搜索和全局搜索的结合，但在处理多目标问题时需要合理设定参数；蚁群算法在求解路径优化问题时具有较好的鲁棒性和稳健性，但对于问题解空间的探索可能会存在过早收敛的问题。

MO-TSP问题是一个复杂的组合优化问题，需要综合运用各种启发式算法和元启发式算法，以及结合实际问题的特点和要求，才能找到最佳的解决方案。

通过对算法的深入理解和灵活运用，我们可以在实际问题中取得较好的优化效果。

多旅行商问题研究综述一、问题定义与数学模型多旅行商问题（Multiple Traveling Salesman Problem，MTSP）是旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）的扩展，是组合优化领域中的经典问题之一。

在MTSP中，有多个旅行商需要遍历各自的销售区域，并在有限的时间内完成各自的旅程。

每个旅行商的旅程起点和终点固定，且每个旅行商的路径不能交叉，也不能重复。

MTSP的目标是在满足约束条件下，最小化所有旅行商行走的总距离。

数学模型通常采用整数规划或图论表示。

对于一个具有n个顶点的完全图，每个顶点代表一个城市或客户，边代表城市之间的道路。

MTSP可以转化为在图中寻找n个哈密尔顿回路（Hamiltonian Cycle）的问题。

由于图论表示方法具有一定的局限性，近年来研究者们提出了更复杂的数学模型，如超图、混合图等。

二、求解方法与算法设计MTSP是一个NP-hard问题，求解非常困难。

因此，研究者们提出了许多近似算法和启发式方法。

这些方法大致可以分为两类：基于贪婪策略的方法和基于元启发式的方法。

1. 基于贪婪策略的方法：这类方法通常采用局部搜索策略，从当前解出发，通过不断地进行局部搜索和改进来寻找最优解。

代表性的方法包括：最小生成树法、分支定界法、回溯法等。

2. 基于元启发式的方法：这类方法采用一些启发式策略来指导搜索过程，如遗传算法、模拟退火、粒子群优化等。

这些方法能够在较短的时间内找到可接受的解，但并不能保证找到全局最优解。

此外，近年来还出现了一些新的求解方法，如深度学习、强化学习等人工智能算法也被应用于MTSP的求解。

这些方法通常需要大量的数据和计算资源，但可以处理更大规模和更复杂的MTSP问题。

三、特定场景下的多旅行商问题随着应用领域的不断扩展，MTSP已经应用于许多特定场景中，如供应链管理、物流配送、城市规划等。

在这些场景中，MTSP需要考虑更多的实际因素和约束条件，如车辆路径限制、时间窗限制等。

求解TSP问题算法综述一、本文概述本文旨在全面综述求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）的各种算法。

TSP问题是一个经典的组合优化问题，自提出以来就引起了广泛的关注和研究。

该问题可以描述为：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解一条最短的可能路线，使得一个旅行商从某个城市出发，经过每个城市恰好一次，最后返回出发城市。

本文将首先介绍TSP问题的基本定义、性质及其在实际应用中的重要性。

接着，我们将综述传统的精确算法，如动态规划、分支定界法等，以及它们在求解TSP问题中的优缺点。

然后，我们将重点介绍启发式算法和元启发式算法，包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法等，这些算法在求解大规模TSP问题时表现出良好的性能和效率。

本文还将探讨近年来新兴的机器学习算法在TSP问题求解中的应用，如深度学习、强化学习等。

我们将对各类算法进行总结和评价，分析它们在不同场景下的适用性和性能表现。

我们也将展望TSP问题求解算法的未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供有益的参考和指导。

二、经典算法求解旅行商问题（TSP）的经典算法多种多样，每种算法都有其独特的优缺点和适用场景。

本节将对一些代表性的经典算法进行综述。

暴力穷举法（Brute-Force）：暴力穷举法是最简单直观的TSP求解算法。

其基本思想是生成所有可能的旅行路径，计算每条路径的总距离，然后选择最短的那条。

虽然这种方法在理论上可以找到最优解，但由于其时间复杂度为O(n!)，对于大规模问题来说计算量极大，因此并不实用。

动态规划（Dynamic Programming, DP）：动态规划是一种通过将问题分解为更小的子问题来求解的优化方法。

对于TSP问题，DP算法可以将一个大循环中的多个子问题合并成一个子问题，从而减少重复计算。

然而，TSP的DP算法仍面临“维度灾难”的问题，即当城市数量增多时，所需存储空间和计算时间呈指数级增长。

基于多旅行商问题模型的热轧计划问题的算法研究的开题报告一、选题意义热轧计划是制造业生产中的关键环节之一，其优化能够有效地减少生产时间和成本，提高生产效率和质量。

多旅行商问题是一类经典的组合优化问题，同时也是几乎所有集成电路制造设备的优化问题中的核心问题之一。

本研究旨在将多旅行商问题模型应用于热轧计划问题中，设计高效的算法解决热轧计划的优化问题，提高生产效率和质量。

二、研究内容本研究将初步探索如何将多旅行商问题模型应用于热轧计划问题中，设计高效的算法对问题进行求解，主要研究内容如下：1. 研究多旅行商问题及其求解算法：探究多旅行商问题的定义和特点，比较现有的多旅行商问题求解算法，并选择最适合本研究的算法进行改进和完善。

2. 研究热轧计划问题：分析热轧计划问题的特点，建立合适的数学模型，确定问题的目标函数及约束条件。

3. 将多旅行商问题模型应用于热轧计划问题：在理论基础上，将多旅行商问题模型应用于热轧计划问题中，设计求解算法。

4. 解决实际问题：通过实际数据对算法进行验证和优化，了解算法在实际应用中的优缺点和适用范围。

三、研究方法本研究的研究方法主要包括：1. 文献综述法：对多旅行商问题、热轧计划问题及其求解算法进行全面综述，了解国内外研究现状及其优缺点。

2. 模型建立法：建立热轧计划问题的数学模型，确定问题的目标函数及约束条件。

3. 算法设计法：在理论基础上，将多旅行商问题模型应用于热轧计划问题中，设计求解算法，并优化算法。

4. 算例分析法：通过实际数据对算法进行验证和优化，分析算法的优缺点和适用范围。

四、预期结果本研究预期结果如下：1. 分析多旅行商问题及其求解算法，选择最适合本研究的算法进行改进和完善。

2. 研究热轧计划问题的特点，建立合适的数学模型，确定问题的目标函数及约束条件。

3. 基于多旅行商问题模型，设计高效的算法解决热轧计划的优化问题。

4. 通过实际数据对算法进行验证和优化，了解算法在实际应用中的优缺点和适用范围。