2020版高考数学大一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布第60讲几何概型课时达标理含解析新人教A版

第60讲 几何概型课时达标　一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A. B.4535C. D.2515B 解析 区间[－2,3]的长度为3－(－2)＝5，[－2,1]的长度为1－(－2)＝3，故满足条件的概率P ＝.352．设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( )A. B.1525C. D.3545C 解析 方程有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．所以所求概率为＝.5－25－0353．老师计划在晚修19：00～20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟．若甲、乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率为( )A. B.2949C. D.5979B 解析 设19：00～20：00对应时刻[0,60]，甲、乙问问题的时刻分别为x ，y ，则x ，y ∈[0,60]．两人独自去时不需要等待满足|x －y |≥20，则由几何概型可知，所求概率为＝，故选B.12× 60－20 2×260×60494．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是( )13A.B ．π π3C ．2πD ．3πD 解析 设阴影部分的面积为S 1，圆的面积S ＝π×32＝9π，由几何概型的概率计算公式得＝，得S 1＝3π.S 1S 135．(2019·北京昌平模拟)设不等式组Error!表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( )A. B.413513C. D.825925D 解析 作出平面区域可知平面区域D 是以A (4, 3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2.P ＝＝S△AED S△ABC＝，故选D.12×6×312×10×59256．(2019·山东枣庄一模)已知实数a 满足－3<a <4，函数f (x )＝lg(x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1，定义域为R 的概率为P 2，则( )A ．P 1>P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．P 1与P 2的大小不确定C 解析若f (x )的值域为R ，则Δ1＝a 2－4≥0，得a ≤－2或a ≥2.故P 1＝＋＝.－2－ －3 4－ －3 4－24－ －3 37若f (x )的定义域为R ，则Δ2＝a 2－4<0，得－2<a <2.故P 2＝，所以P 1<P 2.47二、填空题7．(2019·石宝中学一模)如图所示，M 是半径为R 的圆周上的一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过R 的概率是________．2解析 当弦MN 的长度恰为R 时，∠MON ＝，如图．当点N 落在半圆弧上时，2π2弦MN 的长度不超过R ，故所求概率为P ＝.　212答案128．记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为________．解析 作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为＝.24π12π答案12π9．在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是________．65解析 设随机取出的两个数分别为x ，y ，则0<x <1,0<y <1，依题意有x ＋y <，由几何概65型知，所求概率为P ＝＝.12－12×(1－15)×(1－15)121725答案1725三、解答题10．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x ，y，则0≤x <24,0≤y <24，且y －x >4或y －x <－4.作出区域Error!设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P (A )＝＝.2×12×20×2024×242536(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y >2或y －x >4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域Error!则P (B )＝＝＝.12×20×20＋12×22×2224×2444257622128811．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.12(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．解析 (1)由题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是＝，解得n ＝2.nn ＋212(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ，则取出2个小球的可能情况共有C ·C ＝12种结果，令满足“2≤a ＋b ≤3”1413为事件A ，则事件A 共有C ·2＝8种结果，故P (A )＝＝；1481223②由①可知(a －b )2≤4，故x 2＋y 2>4，(x ，y )可以看成平面中点的坐标，则全部结果构成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，由几何概型可得概率为P ＝＝1－.4－14π·224π412．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解析 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为＝.所以，在甲商场中奖的概率为P 1＝＝.4×15πR 2360πR 26πR 26πR 216如果顾客去乙商场，从盒子中摸出2个球的一切可能的结果有C 共15种．26摸到的2个球都是红球有C 种，共3种，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝＝，又P 1<P 2，2331515所以顾客在乙商场中奖的可能性大．13．[选做题](2019·福州一模)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机抽取一个数作为x ，从集合Q 中随机抽取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：Error!所表示的平面区域内的概率．解析 (1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .因为组成复数z 的所有情况共有C ×C ＝12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－31413＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ，所以所求事件的概率为P (A )＝＝.21216(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域Error!内，属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为Error!，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A (3,0)，D ，(0，32)所以三角形OAD 的面积为S 1＝×3×＝.所以所求事件的概率为P ＝＝＝.123294S 1S 9412316。