lei1隐函数的求导公式

隐函数的求导公式
隐函数是一种无法显式表达的函数，其表示为F(x,y)=0，其中x和y 是变量，F是一个用x和y表示的函数。

为了求解隐函数的导数，我们可以利用隐函数定理和导数的定义来推导隐函数的求导公式。

假设我们有一个由隐函数表示的方程F(x, y) = 0，并且y是x的函数，即y = f(x)。

我们要计算y关于x的导数dy/dx。

首先，根据隐函数定理，假设F(x, y)在一些区域内连续且可导，并且在该区域内F_y(x, y) ≠ 0，那么我们就能通过求F(x, y) = 0对x 求导来获得dy/dx的表达式。

1.对F(x,y)=0两边同时对x求导，利用链式法则，得到：
dF/dx = ∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0
2. 我们知道y = f(x)，所以dy/dx = df(x)/dx。

我们将这个表达式代入到上面的方程中，得到：
∂F/∂x + ∂F/∂y * df(x)/dx = 0
∂F/∂x + ∂F/∂y * df(x)/dx = 0
3. 然后我们可以将df(x)/dx移项，得到：
∂F/∂y * df(x)/dx = -∂F/∂x
4.最后，我们可以得到隐函数的求导公式：
df(x)/dx = -∂F/∂x / ∂F/∂y
这就是隐函数的求导公式，在满足隐函数定理的条件下，我们可以使用这个公式计算隐函数的导数。

需要注意的是，这个公式的前提是隐函数定理的条件成立，并且存在F_y(x,y)≠0。

如果不满足这些条件，就无法使用这个公式来求解隐函数的导数。

此外，公式中的∂表示对变量求偏导数。

偏导数的函数 zf(x,y) ,它满足条件
z0f(x0,y0),并有
z x
Fx Fz
z Fy y Fz
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推导求偏导公式：
设 z f ( x , y ) 是 方 程 F ( x , y , z ) 0 所 确 定
的隐函数,则 F (x ,y ,f(x ,y )) 0
x
两边对x求偏导
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形 二、方程组的情形
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x2y2 a2显化 y a2 x2或y a2x2
隐函数 F(x,y)0 F(x,y,z)0
显函数 y f(x)
zf(x,y)
问题：
1.满足什么条件，方程能够确定函数？ 2.对于不能或难以显化的隐函数如何求偏导？
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1.
x0
y1
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例2 设方程 sinyexxy1
dy 确定一个隐函数 y f(x),求 .
dx 解 令 F (x ,y ) s in y e x x y 1 ,则
由隐函Fx数求e导x 公y式, F ,得y dcoysyFxx e x y .
d x F y cos y x
F(x, y,u,v)0 G(x, y,u,v)0
u u( x, y) v v( x, y)
隐函数存在定理3 设 F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)
在点 P (x0,y0,u 0,v0)的某一邻域内有对各个变量的
连续偏导数,且 F (x 0,y0,u 0,v0)0 ,G (x 0,y0,u 0,v0)0 , 偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
d y Fx dx Fy

u y u v
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隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )

0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)

00时, 它可能确定两个 一元函数,
现假定它确定 u u( x),v v( x),且两个函数都
F ( x, f ( x)) 0
Fx
(
x
,
y
)

Fy
(
x,
y
)

dy dx

0
由于Fy ( x, y)连续，且Fy ( x0 , y0 ) 0，所以存在
( x0 , y0 )的一个邻域, 在这个邻域内Fy ( x, y) 0,
于是得
dy Fx ( x, y) 或简写: dy Fx .
F( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0 G( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0
求 u , u , v , v . x y x y
同理,
两边关于y求偏导,得
F y G y

F u G u
u y u y
请看课本第34页, 隐函数存在定理3.
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隐函数的求导公式
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
求 u , u , v , v . x y x y
将恒等式
F ( x, G( x,
y, u( x, y, u( x,
y),v( x, y),v( x,
fv ( xy
xz y), z
整理得
y

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若F( x, y )的二阶偏导数也都连续,则
Fx d2y Fx d y ( ) ( ) 2 d x x Fy y Fy d x
Fx Fy
x
y
x
x Fy Fx Fx F x F 2 ( 求二阶导数 y y d y x y 或 2 x 2 的通常方法 ) dx Fy dy dy ( Fxx Fxy )Fy Fx ( Fyx Fyy ) dx dx 2 d y F x Fy d x F 2 2 y Fxx Fy 2 Fxy FxFy Fyy Fx . 3 Fy 上页 下页 返回
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x y z x y z
x x
dy dz z xf ( x y ) y y( x ) 例5、 设 确定 ， 求 及 . y， z) 0 dx dx F ( x， z z( x )
解：将每个方程两边对 x求导得
z f xf (1 y )
2 FxFz Fx Fx z Fz Fzy z Fy Fz Fz z Fx Fy . 3 Fz 2 2 2 F F 2 F F F F F z Fx d y xx y xy x y yy x x Fz dx 2 Fy 3
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y
若F( x , y, z ) 的二阶偏导数也都连续,则
2 2 Fx x Fz 2Fx z Fx Fz Fz z Fx z . 2 3 x Fz 2 2 2 Fy y Fz 2Fy z Fy Fz Fz z Fy z . 2 3 y Fz 2