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高考数学一轮复习课时分层训练47双曲线文北师大版

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课时分层训练(四十七) 双曲线A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )【导学号：00090300】A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1C [由于焦点在y 轴上，且渐近线方程为y ＝±2x . ∴a b＝2，则a ＝2B ．C 中a ＝2，b ＝1满足．]2．(2015·湖南高考)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A ．73B ．54C ．43D ．53D [由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.]3．(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)C [由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.故选C ．]4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A ． 3B ．3C ．3mD ．3mA [由双曲线方程知a 2＝3m ，b 2＝3， ∴c ＝a 2＋b 2＝3m ＋3.不妨设点F 为右焦点，则F (3m ＋3，0)． 又双曲线的一条渐近线为x －my ＝0， ∴d ＝|3·m ＋1|1＋m＝ 3.]5．(2017·成都调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A ．433B ．2 3C ．6D ．4 3D [由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.] 二、填空题6．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝__________.33 [双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±x a，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.]7．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________. 【导学号：00090301】2 [如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2C ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2，并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．]8．(2018·黄山模拟)若圆(x －3)2＋y 2＝1上只有一点到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为________．【导学号：00090302】355[不妨取渐近线为bx ＋ay ＝0，由题意得圆心到渐近线bx ＋ay ＝0的距离等于2，即|3b |a 2＋b 2＝2，所以b 2a 2＝45.所以e 2＝1＋b 2a 2＝95，即e ＝355.]三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．[解] 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.3分设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 8分又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4， 10分∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.12分10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．[解] (1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.2分∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.4分(2)证明：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )．∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. 6分∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.8分(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.10分∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·河南中原名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( ) A ．52 B ．53 C ．132D ．133D [由题意可求得|AB |＝2bc a ，所以S △OAB ＝12×2bc a ×c ＝13bc 3，整理得c a ＝133.因此e＝133.] 2．(2017·天津河西区质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为__________．【导学号：00090303】x 2－y 23＝1 [由双曲线的渐近线y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，∴|2b |a 2＋b2＝3，则b 2＝3a 2.①又双曲线的一个焦点为F (2,0)， ∴a 2＋b 2＝4，②联立①②，解得a 2＝1，b 2＝3. 故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.]3．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解] (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.4分 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.5分(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k2.8分∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3. ②10分由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 12分。

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2022高考数学一轮复习课时规范练47抛物线文含解析北师大版202103232157

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课时规X 练47 抛物线基础巩固组1.(2020某某某某一模)若抛物线x 2=ay 的焦点到准线的距离为1,则a=()A.2B.4C.±2D.±42.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=4√2x 的焦点,P 为抛物线C 上一点,若|PF|=4√2,则△POF 的面积为()A.2B.2√2C.2√3D.43.(2020某某某某一模,文8)抛物线x 2=2py (p>0)上一点A 到其准线和坐标原点的距离都为3,则p=()A.8B.6C.4D.24.F 是抛物线y 2=2x 的焦点,点P 在抛物线上,点Q 在抛物线的准线上,若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|PQ|=() A.92B.4C.72D.35.(2020某某某某一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5 m,跨径为12 m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.2512 mB.256 mC.95 mD.185 m6.已知抛物线E :y 2=2px (p>0)的准线为l ,圆C :(x -p 2)2+y 2=4,l 与圆C 交于A ,B 两点,圆C 与E 交于M ,N 两点.若A ,B ,M ,N 为同一个矩形的四个顶点,则E 的方程为()A.y 2=xB.y 2=√3xC.y 2=2xD.y 2=2√3x7.(2020某某某某三模)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线为l ,l 与x 轴的交点为P ,点A 在抛物线C 上,过点A 作AA'⊥l ,垂足为A'.若四边形AA'PF 的面积为14,且cos ∠FAA'=35,则抛物线C的方程为 ()A.y 2=xB.y 2=2xC.y 2=4xD.y 2=8x8.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 分别作y 轴的垂线,垂足分别为C ,D ,则|AC|+|BD|的最小值为.9.(2020某某某某一模)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线l :x=-1,点M 在抛物线C 上,点M 在准线l 上的射影为A ,且直线AF 的斜率为-√3,则△AMF 的面积为.10.已知F 为抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点,曲线C 1是以F 为圆心,p4为半径的圆,直线2√3x-6y+3p=0与曲线C ,C 1从左至右依次相交于P ,Q ,R ,S ,则|RS||PQ|=.综合提升组11.(2020某某某某一模)已知F 为抛物线C :y 2=6x 的焦点,过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=()A.6B.8C.10D.1212.已知抛物线C 1:y 2=2px (p>0)与圆C 2:x 2+y 2-12x+11=0交于A ,B ,C ,D 四点.若BC ⊥x 轴,且线段BC 恰为圆C 2的一条直径,则点A 的横坐标为()A.116B.3C.113D.613.(2020某某某某中学三模,理14)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点M (1,1)的直线与C 交于A ,B 两点,若M 恰好为AB 的中点,则|AF|+|BF|=,直线AB 的斜率为.14.设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F 在y 轴的正半轴上,点A 是抛物线上的一点,以A 为圆心,2为半径的圆与y 轴相切,切点为F.(1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m 在y 轴上的截距为6,且与抛物线交于P ,Q 两点,连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ,当直线PR 恰与抛物线相切时,求直线m 的方程.创新应用组15.(2020某某某某二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF 并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=()A.4B.8C.16D.16316.(2020某某某某三模,理20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点到准线的最小距离为1.(1)求抛物线C的方程;(2)若过点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线C交于A,B两点,l2与抛物线C交于C,D两点,M,N分别为弦AB,CD的中点,求|MF|·|NF|的最小值.参考答案课时规X练47抛物线=1,∴a=±2.故选C.1.C∵x2=ay,∴p=a2|OF|·|y P|=2√3.故选C.2.C利用|PF|=x P+√2=4√2,可得x P=3√2.∴y P=±2√6.∴S△POF=12=3,即p=6-2y0,又因为x02=2py0,3.C设A(x0,y0),由题意得y0+p2所以x02=2(6-2y0)y0,化简得x02+4y02=12.又因为点A到原点的距离为3,所以x02+y02=9,解得x02=8,y02=1.又由题可得y0=1,代入x02=2py0有p=4.故选C.4.A记抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM,得|FK||MP|=|QF||QP|,即1|MP|=13,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=32,所以|PQ|=|PF|+|QF|=92.故选A.5.D建立平面直角坐标系如图所示.设抛物线的解析式为x2=-2py,p>0,因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p,解得p=185.所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m.故选D.6.C如图,圆C:(x-p2)2+y2=4的圆心C(p2,0)是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点.∵圆C:(x-p2)2+y2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.∵A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,∴点A,N关于直线x=p2对称,即x N+x A=p2×2=p,∴x N=32p,∴|NA|=32p-(-p2)=2,即2p=2,则E 的方程为y 2=2x.故选C .7.C 过点F 作FF'⊥AA',垂足为F'.设|AF'|=3x ,因为cos ∠FAA'=35,所以|AF|=5x ,|FF'|=4x.由抛物线的定义可知|AF|=|AA'|=5x ,则|A'F'|=2x=p ,故x=p2.四边形AA'PF 的面积S=(|PF|+|AA'|)·|FF'|2=(p+52p)·2p2=14,解得p=2,故抛物线C 的方程为y 2=4x.8.2由题意知F (1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.4√3设准线l 与x 轴交于点N ,则|FN|=2.∵直线AF 的斜率为-√3,∴∠AFN=60°,∴∠MAF=60°,|AF|=4.由抛物线的定义可得|MA|=|MF|,∴△AMF 是边长为4的等边三角形.∴S △AMF =√34×42=4√3.10.215 {x 2=2py,2√3x -6y +3p =0⇒12y 2-20py+3p 2=0.因为直线2√3x-6y+3p=0与曲线C ,C 1从左至右依次相交于P ,Q ,R ,S ,所以y P =p 6,y S =32p.由直线2√3x-6y+3p=0过抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点F ,所以|RS|=|SF|-p 4=y S +p 2−p 4=y S +p 4,|PQ|=|PF|-p 4=y P +p 2−p 4=y P +p 4,|RS||PQ|=|SF|-p 4|PF|-p 4=3p 2+p 4p 6+p 4=74512=215.11.B 由已知得抛物线C :y 2=6x 的焦点坐标为32,0,准线方程为x=-32.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为|AF|=3|BF|,所以x 1+32=3x 2+32,|y 1|=3|y 2|.所以x 1=3x 2+3,x 1=9x 2,所以x 1=92,x 2=12.所以|AB|=x 1+32+x 2+32=8.故选B .12.A 圆C 2:x 2+y 2-12x+11=0可化为(x-6)2+y 2=52,故圆心为(6,0),半径为5,由于BC ⊥x 轴,且线段BC 恰为圆C 2的一条直径,故B (6,-5),C (6,5).将B 点坐标代入抛物线方程得25=12p ,故p=2512,抛物线方程为y 2=256x.联立{y 2=256x,x2+y2-12x+11=0,消去y得x2-476x+11=0,解得x=116或x=6(舍去),故A点横坐标为116.故选A.13.42过点A,B,M分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|=2.根据梯形中位线定理,得|AA1|+|BB1|=4.根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=4.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y12=4x1,y22=4x2,得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),则直线AB的斜率为k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=42×1=2.14.解(1)设抛物线方程为x2=2py(p>0).∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.(2)由题知直线m的斜率存在,设其方程为y=kx+6,由{y =kx +6,x 2=4y 消去y 整理得x 2-4kx-24=0,显然,Δ=16k 2+96>0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则{x 1+x 2=4k,x 1·x 2=-24. 由x 2=4y ,得y=x 24,∴y'=x2.抛物线在点P (x 1,x 124)处的切线方程为y-x 124=x 12(x-x 1),令y=-1,得x=x 12-42x 1,可得点R (x 12-42x 1,-1),由Q ,F ,R 三点共线得k QF =k FR ,∴x 224-1x 2=-1-1x 12-42x 1,即(x 12-4)(x 22-4)+16x 1x 2=0,整理得(x 1x 2)2-4[(x 1+x 2)2-2x 1x 2]+16+16x 1x 2=0,∴(-24)2-4[(4k )2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0,解得k 2=14,即k=±12,∴所求直线m 的方程为y=12x+6或y=-12x+6.15.C 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y 1+y 2+2,因为y 1+y 22=|AB|-1,所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos ∠AFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF||BF|=3(|AF|2+|BF|2)-2|AF||BF|8|AF||BF|≥6|AF||BF|-2|AF||BF|8|AF||BF|=12,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以当∠AFB最大时,△AFB为等边三角形,AB∥x轴.不妨设此时直线AD的方程为y=√3x+1,由{y=√3x+1,x2=4y,消去y,得x2-4√3x-4=0,所以x1+x3=4√3,所以y1+y3=√3(x1+x3)+2=14.所以|AD|=16.故选C.16.解(1)∵抛物线C上的点到准线的最小距离为1,∴p2=1,解得p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)可知焦点为F(1,0).由已知可得AB⊥CD,∴两直线AB,CD的斜率都存在且均不为0.设直线AB的斜率为k,则直线CD的斜率为-1k,∴直线AB的方程为y=k(x-1).联立{y2=4x,y=k(x-1),消去x得ky2-4y-4k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k .设M(x M,y M),由y M=k(x M-1),得x M=y Mk+1=2k2+1,∴M(2k2+1,2k).同理可得N(2k2+1,-2k).∴|NF|=√(2k2+1-1)2+(-2k)2=2√k2(k2+1),|MF|=2√1+k2k2,∴|MF|·|NF|=2√1+k2k ×2√k2(1+k2)=4×1+k2|k|≥4×2√|k|·1|k|=8,当且仅当|k|=1|k|,即k=±1时,等号成立.∴|MF|·|NF|的最小值为8.。

2023届高考数学一轮复习作业双曲线北师大版

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双曲线一、选择题1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )A． B．1 C． D．2C　[根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝a，则该双曲线的离心率为e＝＝，故选C．]2．已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线说法正确的是( )A．虚轴长为4B．焦距为2C．离心率为D．渐近线方程为2x±3y＝0D　[由题意知，双曲线－＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A，B均不对；离心率e＝＝，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D．]3．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1C　[由题意得e＝＝，又右焦点为F2(5，0)，a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2＝9，故双曲线C的方程为－＝1．]4．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P 在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )A． B．3 C． D．2B　[法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16．不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3，故选B．法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S＝＝＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B．]5．已知双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( )A．1 B．13 C．17 D．1或13B　[由题意知双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得＝，解得a ＝3，所以c＝＝5．又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13．故选B．]6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为，则其一条渐近线的倾斜角为( )A．30° B．45° C．60° D．120°B　[设双曲线－＝1的右顶点A(a，0)，右焦点F2(c，0)到渐近线y＝x的距离分别为1和，则有即＝．则＝＝－1＝2－1＝1，即＝1．设渐近线y＝x的倾斜角为θ，则tan θ＝＝1．所以θ＝45°，故选B．]7．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1B　[由y＝x，可得＝．①由椭圆＋＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a2＋b2＝9．②由①②可得a2＝4，b2＝5．所以C的方程为－＝1．故选B．]8．圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两点到双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )A．(，)B．C．D．(，＋1)C　[不妨设该渐近线经过第二、四象限，则该渐近线的方程为bx＋ay＝0．因为圆C：x2＋(y－5)2＝9，所以圆C的圆心为(0，5)，半径为3，所以2＜＜4，结合a2＋b2＝c2，得＜＜，所以该双曲线的离心率的取值范围是．]二、填空题9．(2021·新高考卷Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________．y＝±x　[＝＝＝，故双曲线C的渐近线方程为：y＝±x．]10．(2021·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0互相垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．3　[双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为y＝±x，一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，可得a＝，b＝3，即有c＝＝＝，即焦距为2c＝3．]11．如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．＋1　[设|F1F2|＝2c，连接AF1(图略)，∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，2a＝c－c，∴e＝＝＝＋1．]12．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．2　[由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c．因为2|AB|＝3|BC|，所以＝6c，又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2，或e＝－(舍去)．]1．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )A．2sin 40°B．2cos 40°C．D．D　[由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝．故选D．]2．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，则该双曲线的标准方程为________．已知点A(－6，0)，若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为________．－＝1　28　[∵双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，∴解得a＝4，b＝4．∴双曲线的标准方程为－＝1．设双曲线的上焦点为F′(0，8)，则|PF|＝|PF′|＋8，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋|PA|＋|AF|＋8．当P点在第二象限，且A，P，F′共线时，|PF′|＋|PA|最小，最小值为|AF′|＝10．而|AF|＝10，故△PAF的周长的最小值为10＋10＋8＝28．]。

{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练48《双曲线》附答案详析

{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练48《双曲线》附答案详析

{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练48《双曲线》(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1. (2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A ．2 B. 3 C ． 2 D.323．(2018·青岛二模)直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )A ．x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝14．(2019·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ．4D ．与λ的取值有关5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )A ．13 B.12 C ．23 D.32二、填空题6．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.7．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为________． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率大于6，则m 的取值范围为________．三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9.双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．10．(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.B 组 能力提升1．(2019·湖南四校联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( )A ． 2 B. 3 C ．2 D ．32．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝13．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.4．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积． 解析{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练48《双曲线》(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1. (2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)B [∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上，∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．故选B.]2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A ．2 B. 3 C ． 2 D.32C [由渐近线互相垂直可知⎝⎛⎭⎫－b a ·b a＝－1，即a 2＝b 2，即c 2＝2a 2，即c ＝2a ，所以e ＝ 2.]3．(2018·青岛二模)直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )A ．x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1A [根据题意，令y ＝0，则x ＝5，即c ＝5.又b a ＝12，所以a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线的方程为x 220－y 25＝1.]4．(2019·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ．4D ．与λ的取值有关A [由题意，可知|PG |＝2|GO |，GA ∥PF 1，∴2|OA |＝|AF 1|，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3.]5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )A ．13 B.12C ．23 D.32D [由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.]二、填空题6．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.3 [因为(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝4，则b ＝ 3.]7．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为________． 2 [双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点F (c,0)到渐近线的距离d ＝|bc ＋0|b 2＋a 2＝b .∴b ＝32c ，∴a ＝c 2－b2＝12c ，∴e ＝ca＝2.] 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率大于6，则m 的取值范围为________．(0,1)∪(4，＋∞) [由双曲线方程可得m >0，所以e ＝m ＋m 2＋4m>6，解得m >4或m <1.由m >0，故可得m 的取值范围为(0,1)∪(4，＋∞)．]三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9.双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．[解] 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3.∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. [解] (1)∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1.(2)证明：法一：由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.B 组 能力提升1．(2019·湖南四校联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( )A ． 2 B. 3 C ．2 D ．3C [由双曲线的对称性知，点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，又k PA ＝y 2－y 1x 2－x 1，k PB ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，所以k PA ·k PB ＝y 22－y 21x 22－x 21＝b 2a2＝3，所以离心率e ＝1＋b 2a2＝2，故选C ．]2．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1C [如图，不妨设A 在B 的上方，则A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a)．其中的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b2＝2bc c ＝2b ＝6，∴b ＝3. 又由e ＝c a ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，∴a ＝3. ∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 故选C ．]3．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.4 [由e ＝ca＝a 2＋b 2a 2知a 2＋4a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝54，∴a 2＝16. ∵a >0，∴a ＝4.]4．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．[解] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，因为tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.。

高考数学统考一轮复习 第八章 平面解析几何 第七节 双曲线课时规范练(文,含解析)北师大版

高考数学统考一轮复习 第八章 平面解析几何 第七节 双曲线课时规范练(文,含解析)北师大版

学习资料第八章平面解析几何第七节双曲线课时规范练A组—-基础对点练1．双曲线错误!－错误!＝1(0＜m＜3）的焦距为(）A．6B．12C．36 D。

236－2m2解析：c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6。

双曲线的焦距为12。

答案：B2．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0，3),则k的值是（)A．1 B．－1C.错误!D。

－错误!解析:kx2－错误!＝1,焦点在y轴上，c＝3，解得k＝－1。

答案:B3．(2020·山东滕州月考）已知双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点，O为坐标原点，则｜NO|等于（)A.错误!B．1C．2 D.4解析：由双曲线x225－错误!＝1，知a＝5，由双曲线定义｜MF2|－｜MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8,∴|NO|＝错误!|MF1｜＝4。

答案：D4．(2020·湖南永州模拟)焦点是（0，±2)，且与双曲线错误!－错误!＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是()A．x2－错误!＝1 B．y2－错误!＝1C．x2－y2＝2 D。

y2－x2＝2解析:由已知，双曲线焦点在y轴上，且为等轴双曲线，故选D。

答案：D5．双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程是()A．y＝±错误!x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D。

y＝±错误!x解析：双曲线错误!－错误!＝1中，a＝3，b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.答案:C6．（2020·石家庄模拟）若双曲线M：x2a2－错误!＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,P为双曲线M上一点,且｜PF1|＝15,|PF2｜＝7，｜F1F2｜＝10，则双曲线M的离心率为(）A．3 B．2C。

错误!D。

错误!解析：P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，｜PF2｜＝7，｜F1F2|＝10，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8,｜F1F2｜＝2c＝10，则双曲线的离心率为:e＝错误!＝错误!.答案：D7．（2020·彭州模拟)设F为双曲线C：错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P、Q，若|PQ|＝2|QF｜，∠PQF＝60°，则该双曲线的离心率为（)A.错误!B．1＋错误!C．2＋ 3 D。