苏教版高中数学选修2-3同步课堂精练：3.2回归分析含答案

回归分析1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线.求回归直线方程的一般步骤：作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数→③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.建立回归模型的基本步骤是：①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）.③由经验确定回归方程的类型.④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等.3.利用统计方法解决实际问题的基本步骤：①提出问题；②收集数据；③分析整理数据；④进行预测或决策.4.残差变量e 的主要来源：①用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差.可能存在非线性的函数能够更好地描述y 与x 之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差.这种由于模型近似所引起的误差包含在e 中.②忽略了某些因素的影响.影响变量y 的因素不只变量x 一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在e 中.③观测误差.由于测量工具等原因，得到的y 的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在e 中.上面三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好.名师要点解析例1研究某灌溉渠道水的流速与水深之间的关系，测得一组数据如下：（1）求y对x的回归直线方程；（2）预测水深为1.95m时水的流速是多少？【分析】本题考查如何求回归直线的方程，可先把有关数据用散点图表示出来，若这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，说明这两个变量线性相关，从而可利用我们学过的最小二乘估计思想及计算公式求得线性回归直线方程.【解】（1）由于问题中要求根据水深预报水的流速，因此选取水深为解释变量，流速为预报变量，作散点图：由图容易看出，x与y之间有近似的线性关系，或者说，可以用一个回归直线方程来反映这种关系.由计算器求得.对x的回归直线方程为.。

1．有下列关系： ①名师出高徒；②球的体积与该球的半径之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树，其断面直径与高度之间的关系；⑤学生与他(她)的学号之间的关系．其中，具有相关关系的是________． 解析：②是函数关系；⑤没有相关关系． 答案：①③④2．已知x 与yy 与x 的线性回归方程y ＝b x ＋a 必过点________．解析：线性回归方程必过样本中心(x ，y )，而x ＝16(0＋1＋2＋3＋4＋5)＝16×15＝2.5，y ＝16(1＋3＋4＋6＋8＋11)＝16×33＝5.5. 答案：(2.5,5.5)3．对于相关系数r ，下列说法正确的有________． ①r 可以取任意实数；②|r |越小，相关程度越大；③|r |越大，相关程度越小，|r |越小，相关程度越大；④|r |≤1且|r |越接近1，相关程度越大，|r |越接近0，相关程度越小． 解析：由两个变量的相关系数公式r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2·∑i ＝1n(y i －y )2可知，相关程度的强弱与|r |的大小有关，|r |越接近1，相关程度越大；|r |越接近0，相关程度越小．答案：④4．对于回归直线方程y ^＝6.5x ＋275，当x ＝58时估计值为________．解析：当x ＝58时，y ^＝6.5×58＋275＝652. 答案：652一、填空题下列关系中是相关关系的是________(填序号)． ①路程与时间、速度的关系； ②加速度与力的关系； ③产品成本与产量的关系； ④圆周长与圆面积的关系； ⑤广告费支出与销售额的关系． 解析：①②④为确定的函数关系． 答案：③⑤2．下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值，是预报变量的精确值．其中正确的是________．解析：回归方程反映的是两个线性相关变量间的相关关系，它能预测变量的值，但不是精确值．答案：②③3．设有一个回归方程为y ^＝2－2.5x ，则变量x 增加一个单位时，y 平均________个单位． 解析：线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中a ^，b ^的意义是：以a ^为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b ^个单位．答案：减少2.54．如图所示，有5组(x ，y )数据，去掉一组数据后，要使剩下的4组数据的相关系数最大，应去掉________．解析：由散点图可知，D 点偏离最远，所以去掉D 点后，剩下4组数据的相关系数最大．答案：D 点5．已知x ，y从散点图分析y 与x 线性相关，且回归方程y ＝1.4x ＋a ，则a ^＝________.解析：由题意知x ＝14×(1＋3＋4)＝2，y ＝14×(1＋3＋5＋7)＝4. 又回归方程过点(2,4)，∴4＝1.4×2＋a ^， ∴a ^＝1.2. 答案：1.26．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结由此得到回归系数b ＝________.解析：把表中数据代入公式b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y ∑i ＝15x 2i －5(x )2，得b ^≈0.8809. 答案：0.88097．某市居民2006～2010年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出y (单位：万元)出有________线性相关关系．解析：本题主要考查统计中基本量中位数的理解以及线性相关关系的判断．把2006～2010年家庭年平均收入按从小到大的顺序排列为11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位数为13(万元)，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．答案：13 正8．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．解析：由斜率的估计值为 1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^＝1.23x ＋0.08.答案：y ^＝1.23x ＋0.089．(2010根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________．解析：∵x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )，∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6 时， y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案：65.5万元 二、解答题10试判断x 与y 解：x ＝17(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，y ＝17×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，∑i ＝17x 2i ＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5414， ∑i ＝17x i y i ＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18542，∑i ＝17y 2i ＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124393，∴r ＝∑i ＝17x i y i －7x y(∑i ＝17x 2i －7(x )2)(∑i ＝17y 2i －7(y )2)＝18542－7×27.4×81.3(5414－7×27.42)×(124393－7×81.32) ≈0.8375.由于r ＝0.8375＞0.75，∴x 与y 具有线性相关关系．(2)求出y 对x 的回归直线方程(结果保留3位小数)． 解：(1)作出散点图，如图所示．(2)x ≈321.222，y ≈39.856，∑i ＝19x 2i ＝931337，∑i ＝19x i y i ＝114892.7，b ^＝∑i ＝19x i y i －9x y∑i ＝19x 2i －9(x )2≈－0.123， a ^＝y －b ^x ≈79.366.y 对x 的回归直线方程为y ^＝－0.123x ＋79.366. 12．某研究机构为了研究人的脚的大小与身高的关系， 随机抽测了20人得到了如下数(1)请根据“序号为5的倍数”的几组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ； (2)试根据(1)求出的线性回归方程预测姚明脚的大小．(姚明身高为2.26m) 解：(1)序号为5的倍数的几组数据为x 1＝176，x 2＝166，x 3＝168，x 4＝170， y 1＝44，y 2＝39，y 3＝40，y 4＝41.∴x ＝176＋166＋168＋1704＝170，y ＝44＋39＋40＋414＝41. ∑i ＝14x i y i ＝176×44＋166×39＋168×40＋170×41＝27908，∑i ＝14x 2i ＝1762＋1662＋1682＋1702＝115656.∴b ^＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4(x )2＝27908－4×170×41115656－4×1702＝12，a ^＝y －b ^x ＝41－12×170＝－44， ∴y ^＝12x －44.(2)姚明身高为226cm ，预测他的脚的大小为 y ^＝12×226－44＝69(码).。

2020-2021学年高二数学苏教版选修2-3同步课时作业3.2回归分析1.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下：根据上表可得回归方程9.49.1y x =+，则实数a 为( ) A.37.3B.38C.39D.39.52.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得的样本平均数4, 5.6x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.0.44y x =+B. 1.20.7y x =+C.0.68y x =-+D.0.78.2y x =-+3.下表是鞋子的长度与对应码数的关系：已知人的身高()cm y 与脚板长()cm x 线性相关且回归直线方程为77.6y x =-，若某人的身高为173cm ，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为( ) A.40B.41C.42D.434.某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表：若依据表中数据画出散点图，则样本点i i (,)(i 1,2,3,4,5)x y =都在曲线1y x =+附近波动.但由于某种原因表中一个x 值被污损，将方程1y x =+作为回归方程，则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为（ ） A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.55.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+，那么表格中t 的值为( ) A ．3B ．3.15C ．3.25D ．3.56.工人工资y (元)与劳动生产率x (千元)的相关关系的回归直线方程为5080y x =+，下列判断正确的是( )A.劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元B.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元C.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元D.当工人工资为250元时，劳动生产率约为2 000元7.广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续5个年度的广告费(单位：万元)和销售额(单位：万元)进行统计，得到统计数据如下表：由上表可得回归直线方程为10.2y x a =+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额为( ) A.101.2万元B.108.8万元C.111.2万元D.118.2万元8.关注夕阳，爱老敬老.某马拉松协会从2014年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x 年(2014年是第1年)与捐赠的现金y (万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的回归直线方程0.35y mx =+，则预测2020年捐赠的现金是( )A.5万元B.5.2万元C.5.25万元D.5.5万元9.节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化.为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：预测第8年该国企的生产利润为( )(参考公式及数据：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑；552211ˆˆ, 1.7,10i i ii i a y bx x y nx y x nx ===--=-=∑∑) A.1.88千万元 B.2.21千万元 C.1.85千万元 D.2.34千万元10.某单位为了了解用电量y 千瓦时与气温x C ︒之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得回归直线方程̂y bx a =+中2b =-，预测当气温为4C -︒时，用电量的度数约为______.11.某互联网公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用x (单位：百万元)与利润额y (单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经计算，月微信推广费用x 与月利润额y 满足线性回归方程 6.517.5y x =+，则p 的值为_______________.12.假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为ˆybx a =+，其中已知 1.23b =，请估计使用年限为20年时，维修费用约为_________．13.某药材公司与某枳壳种植合作社签订收购协议，根据协议，由该公司提供相关的种植技术标准和管理经验，并对标准园的枳壳成品按不低于当年市场价的价格进行订单式收购，形成“龙头企业+合作社+农户”的快速发展模式.该合作社对2016—2019年的收益情况进行了统计，得到如下所示的相关数据：根据数据可求得y 关于x 的线性回归方程，为2y bx =-，则b =___________ .14.研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离x (单位：千米)和学生花费在上学路上的时间y (单位：分钟)有如下的统计数据：由统计资料表明y 与x 具有线性相关关系. (1)判断y 与x 是否有很强的线性相关性；(相关系数r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到0.01) (2)求线性回归方程y bx a =+(精确到0.01)；(3)将27y <的时间数据i y 称为美丽数据，现从这6个时间数据i y 中任取2个，求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率.参考数据：()()()666621111175.4,764.36,80.30,14.30i i i i i i i i i i y x y x x y y x x======-⋅-=-=∑∑∑∑，()62182.13i i y y=-==∑.15.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x (单位：千万元)对年销售量y (单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1,2,,10)i y i =的数据，得到散点图如图所示.(1)利用散点图判断y a bx =+和d y c x =⋅(其中,c d 均为大于0的常数)哪一个更适合作为年销售量y 关于年研发费用x 的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)； (2)对数据作出如下处理，令ln ,ln i i i i u x v y ==，得到相关统计量的值如下表：根据第(1)问的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； (3)已知企业年利润z (单位：千万元)与,x y 的关系为34918e 2z y x -=-(其中e 2.71828≈)，根据第(2)问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,nii i nii uu v vav u uuββ==--==--∑∑.答案以及解析1.答案：C解析：根据题意可得23452649541293.5,444a ax y +++++++====，又回归直线过中心点(),x y ，所以1299.4 3.59.14a+=⨯+，解得39a =. 2.答案：C解析：因为变量x 与y 负相关，所以0b <，排除选项A 、B ；将4, 5.6x y ==，代入选项C 、D 检验即可得到C 是正确选项，故选C. 3.答案：C解析：将173y =代入回归直线方程77.6y x =-，解得25.8x =，即脚板长约为25.8cm ，所以穿的鞋子的码数应为42.故选C. 4.答案：C解析：由表中数据额可得，1y = 1.1+2.1+2.3+3.3+4.2=2.65（），由线性回归方程ˆ1y x =+得，1.6x =，即10.21 2.2 3.2 1.65x ++++（）=，解得 1.4x =，故选C.5.答案：A解析：由表中数据得3456 4.54x +++==， 2.54 4.51144t ty ++++==.因为回归直线过点(),x y ，所以110.7 4.50.354t +=⨯+，解得3t =6.答案：B解析：因为回归直线方程的斜率为80，所以x 每增加1，y 平均增加80，所以劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元，故B 正确，C 错误；因为1x =时，130y =，所以当劳动生产率为1 000元时，工人工资约为130元，故A 错误；因为250y =时， 2.5x =，所以当工人工资为250元时，劳动生产率约为2 500元，故D 错误. 7.答案：C解析：由题意得，2345629415059714,5055x y ++++++++====，将点()4,50代入10.2y x a =+，解得9.2a =，即10.29.2y x =+，所以当广告费为10万元时，销售额约为10.2109.2111.2⨯+=万元，故选C.8.答案：C解析：由已知得，3456 2.534 4.54.5, 3.544x y ++++++====， 所以回归直线过点(4.5,3.5)，将其代入ˆ0.35ymx =+， 得3.5 4.50.35m =+，即0.7m =，所以0.70.35y x =+， 取7x =，得0.770.35 5.25y =⨯+=， 因此可预测2020年捐赠的现金是5.25万元. 9.答案：C 解析：由题可得123450.70.81 1.1 1.43,155x y ++++++++====，所以 1.7ˆˆˆ0.17,10.1730.4910ba y bx ===-=-⨯=，所以利润与年号的回归直线方程为0.170.49y x =+，当8x =时，0.780.49 1.85y =⨯+=，故选C.10.答案：67.5 解析：1813101243438627910,442x y ++-+++====，样本点的中心为7710,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入y bx a =+，得79(2)1059.52a =--⨯=，则线性回归方程为259.5y x =-+.取4x =-，得67.5y =.故答案为：67.5.11.答案：50解析：由题中数据可得24568304060702005,555p px y +++++++++====. 因为线性回归方程 6.517.5y x =+对应的直线过点(),x y ， 所以200 6.5517.55p+=⨯+，解得50p =. 12.答案：24.68 解析：∵ 2.2 3.8 5.5 6.57234561.230.0855a y bx ++++++++=-=-⨯=，∴当20x =时， 1.23200.0824.68y =⨯+=，故答案为24.68． 13.答案：14.6解析：由题表知， 2.5, 34.5x y ==.因为样本点的中心(,)x y 在回归直线2y bx =-上，所以ˆ34.5 2.52b=-，解得ˆ14.6b =. 14.答案：(1)由题得()()680.300.980.7582.13ii xx y yr --==≈>∑，所以y 与x 有很强的线性相关性. (2)由题得()()()666211113.9,29.23,80.30,14.306i i i i i i i x y y x x y y x x=====≈--=-=∑∑∑，所以()()()6162180.305.6214.30iii ii x x yyb x x ==--==≈-∑∑， ˆˆ29.23 5.62 3.97.31ay bx =-≈-⨯≈， 所以线性回归方程为 5.627.31y x =+.(3)由(2)可知，当 3.1x =时，324.73227y =<，当 4.3x =时，4ˆ31.47627y =>，所以满足ˆ27y<的美丽数据共有3个.设3个美丽数据为,,a b c ，另3个不是美丽数据为,,A B C ，则从这6个数据中任取2个共有15种情况，即,,,,,,,,,,,,,,aA aB aC bA bB bC cA cB cC AB AC BC ab ac bc ，其中，抽取的2个数据全部为美丽数据的有3种情况，即,,ab ac bc ，所以从这6个数据ˆi y中任取2个，抽取的2个数据全部为美丽数据的概率为15.15.答案：(1)由散点图知，选择d y c x =⋅更合适.(2)对d y c x =⋅两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，即ln v c du =+.由表中数据得328.251,256.52u v d ====.令ln c m =，则31332224m v du =-=-⨯=，即34e c =，y ∴关于x的回归方程为34e y =.(3)由(2)知，92z x =，则9'2z =-.令'0z =，得4x =.当()0,4x ∈时，'0z >；当,()4x ∈+∞时，'0z <.∴当4x =时，z 取得最大值，且最大值为94182⨯=.∴要使年利润取最大值，预计下一年应投入4千万元的研发费用.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

3。

2 回归分析五分钟训练（预习类训练,可用于课前）1。

若回归直线方程中的回归系数b ˆ=0,则相关系数（ ）A 。

r=1B 。

r=-1 C.r=0 D 。

无法确定答案:C 解析：∑∑==---n i i n i i i x xy y x x b 121)())((ˆ, r=∑∑∑===-•---n i n i i i n i i i y y x xy y x x11221)()())((.若b ˆ=0,则r=0. 2。

若某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y=bx+a+e （单位：亿元），其中b=0.8，a=2，|e|＜0。

5,如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( ）A 。

10亿B 。

9亿 C.10.5亿D.9。

5亿答案：C解析:代入数据y=10+e ，因为｜e ｜＜0。

5,所以|y ｜＜10。

5，故不会超过10。

5亿.3。

两相关变量满足如下关系：两变量回归直线方程为( ）A.yˆ=0.56x+997.4 B 。

y ˆ=0.63x-231.2C.yˆ=50.2x+501.4D.yˆ=60。

4x+400答案：A4.用身高（cm）预测体重（kg）满足y=0.849x-85.712，若要找到41.638 kg的人，身高____________是150 cm.答案:不一定解析：体重不只受身高的影响，还可能受其他因素的影响。

十分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。

下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A.正方体的棱长和体积B.角的弧度数和它的正弦值C.单产为常数时，土地面积和总产量D.日照时间与水稻的亩产量答案：D解析：相关关系是一种不确定的关系.2.散点图在回归分析过程中的作用是( ）A。

查找个体个数B。

比较个体数据大小关系C。

探究个体分类 D.粗略判断变量是否线性相关答案:D解析：散点图在回归分析中，能粗略进行判断变量间的相关关系.3.在回归分析中，如果随机误差对预报变量没有影响，那么散点图中所有的点将_____________回归直线上。