2022高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测：第15课 函数的综合应用 Word版含答案

第18课利用导数研究函数的单调性A 应知应会1.已知函数f(x)=x2-5x+2ln x,那么f(x)的单调增区间为.2.(2016·无锡期末改编)函数f(x)=ln x+的单调减区间是.3.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,那么实数a的最大值是.4.若函数f(x)=-(x-2)2+b ln x在(1,+∞)上是减函数,则实数b的取值范围为.5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点P(1,2),且在点P处的切线的斜率为8.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间.6.(2016·山东卷)已知函数f(x)=x ln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间.B 巩固提升1.函数y=x-2sin x在(0,2π)内的单调增区间为.2.已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2+2)<f(3x),那么实数x的取值范围是.3.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是.4.(2015·唐山一中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1,f(0)=4,那么不等式e x f(x)>e x+3的解集为.5.(2016·上饶期初)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间上是减函数,求a的取值范围.6.已知函数f(x)=a ln x+,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.第18课利用导数研究函数的单调性A 应知应会1.(2,+∞)和【解析】因为函数f(x)=x2-5x+2ln x,且x>0,令f'(x)=2x-5+>0,解得x>2或0<x<.故f(x)的单调增区间为(2,+∞)和.2.(0,e)【解析】因为f(x)=ln x+,x>0,所以f'(x)=-=,所以当x∈(0,e)时,f'(x)<0,故函数f(x)在(0,e)上单调递减.3.3【解析】由题意知f'(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在[1,+∞)上恒成立,又(3x2)min=3×12=3,所以a≤3,故a max=3.4.(-∞,-1]【解析】由f(x)=-(x-2)2+b ln x,得f'(x)=-(x-2)+(x>0).由题意知f'(x)≤0,即-(x-2)+≤0在(1,+∞)上恒成立,所以b≤[x(x-2)]min,当x∈(1,+∞)时,[x(x-2)]∈(-1,+∞),所以b≤-1.5.【解答】(1)由函数f(x)的图象过点P(1,2),得f(1)=2,所以a+b=1.因为函数图象在点P处的切线的斜率为8,所以f'(1)=8.又f'(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.因此,a=4,b=-3.(2)由(1)得f'(x)=3x2+8x-3.令f'(x)>0,得x<-3或x>;令f'(x)<0,得-3<x<.故函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3),;单调减区间为.6.【解答】由f'(x)=ln x-2ax+2a,x>0,得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞),则g'(x)=-2a=.当a≤0,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0,x∈时,g'(x)>0,则函数g(x)在上单调递增;当a>0,x∈时,g'(x)<0,则函数g(x)在上单调递减.综上,当a≤0时,函数g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a>0时,函数g(x)的单调增区间为,单调减区间为.B 巩固提升1.【解析】由题意得y'=1-2cos x,x∈(0,2π).令y'>0,得cos x<,所以<x<,故函数的单调增区间为.2.(1,2)【解析】由f(x)=ln x+2x,得f'(x)=+2x ln 2>0,x∈(0,+∞),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.又由f(x2+2)<f(3x),得0<x2+2<3x,所以x∈(1,2).3.(-∞,-2)【解析】①当a=0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意.②当a≠0时,f'(x)=3ax2-6x,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=.当a>0时,>0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在(-∞,0)和上为增函数,在上为减函数.因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f(0)<0,即1<0,不成立.当a<0时,<0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在和(0,+∞)上为减函数,在上为增函数.因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f>0,即a·-3·+1>0,解得a>2或a<-2.又因为a<0,故实数a的取值范围为(-∞,-2).4.(0,+∞)【解析】设g(x)=e x f(x)-e x,则g'(x)=e x f(x)+e x f'(x)-e x.因为f(x)+f'(x)>1,所以f(x)+f'(x)-1>0,所以g'(x)>0,所以y=g(x)在定义域R上单调递增.因为e x f(x)>e x+3,所以g(x)>3.又因为g(0)=e0f(0)-e0=3,所以g(x)>g(0),所以x>0,故不等式的解集为(0,+∞).5.【解答】(1)由题意得f'(x)=3x2+2ax+1,x∈R.当a2≤3时,Δ≤0,f'(x)≥0,则f(x)在R上单调递增;当a2>3时,由f'(x)=0,得x1=,x2=,则函数f(x)在,上单调递增,在上单调递减.(2)因为函数f(x)在区间上是减函数,所以f'(x)=3x2+2ax+1<0在上恒成立,即f'(x)在上的最大值恒小于等于0.因为f'(x)=3x2+2ax+1的图象是开口向上的抛物线,所以它的最大值在区间的端点处取得.由得所以a≥2.故a的取值范围是[2,+∞).6.【解答】(1)由题意知当a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞).此时f'(x)=,所以f'(1)=.又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+=.当a≥0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,则Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).①当a≤-时,Δ≤0,f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当-<a<0时,Δ>0.设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,则x1=,x2=.因为x2>x1==>0,因此,当x∈(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减.综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-<a<0时,函数f(x)在,,+∞上单调递减,在,上单调递增.。

第23课三角函数的诱导公式A 应知应会1.计算:cos(-420°)=.2.计算:tan=.3.若sin=,且α∈,则tanα=.4.若=2,则sin(θ-5π)sin=.5.已知sin(α-3π)= 2cos(α-4π),求的值.6.已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若tanα=-,求f(α)的值.B 巩固提升1.已知sin=,那么cos的值为.2.化简:=.3.已知f(x)=a sin(πx+α)+b cos(πx-β),其中α,β,a,b均为非零实数.若f(2 018)=-1,则f(2 017)=.4.若cos(-80°)=k,则tan 100°=.5.已知cos=,求cos-sin2α-的值.6.已知函数f(α)=.(1)求f的值;(2)若2f(π+α)=f,求+cos2α的值.第23课三角函数的诱导公式A 应知应会1.【解析】cos(-420°)=cos(360°+60°)=cos60°=.2.【解析】tan=tan-+4π=tan =.3.-2【解析】由于sin=,α∈,所以cosα=,sinα=-,则tanα=-2.4.【解析】由=2,得sinθ+cosθ=2(sinθ-cosθ),两边平方得1+2sinθcosθ=4(1-2sinθcosθ),故sinθcosθ=,所以sin(θ-5π)·sin=sinθcosθ=.5.【解答】由于sin(α-3π)= 2cos(α-4π),所以-sin(3π-α)= 2cos(4π-α),所以-sin(π-α)= 2cos(-α),所以sinα=-2cosα且cosα≠0,所以原式====-.6.【解答】(1)由cos x≠0,得x≠+kπ,k∈Z,所以原函数的定义域是.(2)由于tan α=-,所以f(α)===-1-tan α=.B 巩固提升1.-【解析】由于sin=,所以cos=cosα++=-sin=-.2.sin2-cos2【解析】原式===|sin 2-cos2|=sin2-cos2.3. 1【解析】由题意知f(2 018)=a sin(2 018π+α)+b cos(2 018π-β)=a sinα+b cosβ=-1,所以f(2 017)=a sin(2 017π+α)+b cos(2 017π-β)=-a sin α-b cosβ=-(-1)=1.4.-【解析】由题意知cos 80°=k,所以sin 80°=,tan 80°=,所以tan 100°=tan(180°-80°)=-tan 80°=-.5.【解答】由题设知cos =cos=-cos=-,sin2=sin2=1-cos2=1-=,所以cos-sin2=--=-.6.【解答】(1)f(α)==cos α,所以f=cos=cos=cos=.(2) 2f(π+α)=2cos(π+α)=-2cos α,f=cos=-sin α,所以-2cos α=-sin α,所以tan α=2.原式=+=+=+=.。

第44课推理与证明A 应知应会1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆:○○○●●○○○●●○○○…,按这种规律往下排,那么第36个圆的颜色应是.2.观看并分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610长方体6812猜想:在一般凸多面体中,F,V,E所满足的等式是.3.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可推断乙去过的城市为.4.已知三条边长分别为a,b,c的△ABC的面积为S,内切圆O的半径为r,连接OA,OB,OC,则△OAB,△OBC,△OAC 的面积分别为cr,ar,br.由S=cr+ar+br,得r=.类比得:若四周体的体积为V,四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,则内切球的半径R=.5.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=1,a n+1=S n.(1)求证:数列是等比数列;(2)求证:S n+1=4a n.6.依据要求证明下列各题:(1)用分析法证明:->-;(2)用反证法证明:1,,3不行能是一个等差数列中的三项.B 巩固提升1.用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”给出的反设为.2.(2022·镇江一中)过点P(-1, 0)作曲线C:y=e x的切线,切点为T1;设T1在x轴上的投影是点H1,过点H1再作曲线C 的切线,切点为T2;设T2在x轴上的投影是点H2,…,依次下去,得到第n+1(n∈N)个切点T n+1,则点T n+1的坐标为.(第3题)3.(2022·南师附中)在Rt△ABC中,CA⊥CB,斜边AB上的高为h1,则=+.类比此性质,如图,在四周体PABC中,若PA,PB,PC两两垂直,底面ABC上的高为h,则得到的正确的结论为.4.凸函数的性质定理:若函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,x n,有≤f.已知函数y=sin x 在区间(0,π)上是凸函数,那么在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值为.5.已知函数f(x)=a x+(a>1).(1)求证:函数f(x)在区间(-1,+∞)上为增函数.(2)用反证法证明f(x)=0没有负根.6.在四棱锥S-ABCD中,已知底面是边长为1的正方形,SB=SD=,SA=1.(1)求证:SA⊥平面ABCD.(2)在棱SC上是否存在异于S,C的点F,使得BF∥平面SAD?若存在,确定点F的位置;若不存在,请说明理由.第44课推理与证明A 应知应会1.白色【解析】找规律:3白2黑,周期为5.2.F+V-E=2【解析】由题中所给的三组数据,可得5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V,面数F及棱数E所满足的等式是F+V-E=2.3.A【解析】由于甲没有去过B城市,乙没有去过C城市,但三人去过同一个城市,故三人都去过A城市.又由于甲最多去过两个城市,且去过的城市比乙多,故乙只能去过一个城市,这个城市为A城市.4.【解析】设球心为O.分别连接四个顶点与球心O,将四周体分割成底面面积分别为S1,S2,S3,S4,高为R的三棱锥,其体积分别为S1R,S2R,S3R,S4R.由V=S1R+S2R+S3R+S4R,得R=.5.【解答】(1)由于a n+1=S n+1-S n,a n+1=S n,所以(n+2)S n=n(S n+1-S n),即nS n+1=2(n+1)S n,故=2·,(小前提)故是以2为公比、1为首项的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知=4·(n≥2),所以S n+1=4(n+1)·=4··S n-1=4a n(n≥2).(小前提)又由于a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)所以对于任意正整数n,都有S n+1=4a n.(结论)6.【解答】(1)要证->-,即证+>+,即证(+)2>(+)2,即证8+2>8+2,即证>,即证15>12,又15>12明显成立,所以->-.(2)假设1,,3是某一个等差数列中的三项,且分别是第m,n,k项(m,n,k∈N*),则该数列的公差d==,则-1=.由于m,n,k∈N*,所以(n-m),(k-m)∈Z,所以为有理数,所以-1是有理数,这与-1是无理数相冲突,故假设不成立,所以1,,3不行能是某等差数列的三项.B 巩固提升1.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数2.(n, e n)【解析】由于y=e x,所以y'=e x.设T1(x1,),则切线方程为y-=(x-x1).将点P(-1,0)代入,得-=(-1-x1),所以x1=0,即T1(0,1),H1(0,0).设T2(x2,),则切线方程为y-=(x-x2).将点H1(0,0)代入,得-=-x2,所以x2=1,即T2(1,e1),H2(1,0).设T3(x3,),则切线方程为y-=(x-x3).将H2(1,0)代入,得-=(1-x3),所以x3=2,即T3(2,e2),H3(2,0).依次下去,…,可得T n+1(n,e n).3.=++【解析】如图,设PO为底面ABC上的高,连接CO并延长交AB于点D,连接PD.由题意得PC⊥PD.在Rt△PDC 中,DC·h=PD·PC,即·h=PD·PC,所以==+.易知AB⊥平面PDC,所以AB⊥PD.在Rt△APB中,AB·PD=PA·PB,所以·PD=PA·PB,==+,故=++.(第3题)4.【解析】由于f(x)=sin x在区间(0,π)上是凸函数,且A,B,C∈(0,π),所以≤f=f,即sin A+sin B+sin C≤3sin=,故sin A+sin B+sin C的最大值为.5.【解答】(1)任取x1,x2∈(-1,+∞),且-1<x1<x2,则x2-x1>0.由于a>1,所以>1,且>0,所以-=(-1)>0.又由于0<x1+1<x2+1,所以-==>0,所以f(x2)-f(x1)=-+->0,故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)假设f(x)=0有负根x0,即存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则=-.又0<<1,所以0<-<1,即<x0<2,与假设x0<0(x0≠-1)冲突.故f(x)=0没有负根.6.【解答】(1)由已知得SA2+AD2=SD2,所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.(第6题)又AB∩AD=A,所以SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S,C的点F,使得BF∥平面SAD.由于BC∥AD,BC⊄平面SAD,AD⊂平面SAD,所以BC∥平面SAD.又BC∩BF=B,所以平面SBC∥平面SAD,这与平面SBC和平面SAD有公共点S冲突,所以假设不成立.故不存在这样的点F,使得BF∥平面SAD.。

第9课二次函数、幂函数A 应知应会1.函数y=2x2-8x+2在区间[-1,3]上的值域为.2.若函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为.3.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表:则不等式f(|x|)≤2的解集是.4.若函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的取值范围为.5.已知函数f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]上有一个最大值,此最大值为-5,求实数a的值.6.已知a为实数,函数f(x)=x|x-a|,其中x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)写出函数f(x)的单调区间.B 巩固提升1.若二次函数f(x)=ax2+bx+1满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=.2.已知对任意的x∈R,函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x≥0时,f(x)=x2-ax+1.若f(x)有4个零点,则实数a的取值范围是.3.(2016·浙江模拟改编)已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z.若b>2a,且函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为2,最小值为-4,则函数f(x)的最小值为.(第4题)4.(2015·北京海淀区模拟)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点C(t,2),且与x轴交于A,B 两点.若AC⊥BC,则实数a=.5.已知关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实数根x1,x2.(1)求(1+x1)(1+x2)的值;(2)求证:x1<-1且x2<-1;(3)如果∈,求a的最大值.6.已知函数f(x)=ax2+bx+1,x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;(2)在(1)的条件下,若f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,求k的取值范围.第9课二次函数、幂函数A 应知应会1.[-6,12]【解析】y=2(x-2)2-6,当x=2时,y取得最小值,为-6;当x=-1时,y取得最大值,为12.2.2【解析】由题意知m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,f(x)=x-3,符合题意;当m=-1时,m2-2m-3=0,f(x)=x0,不合题意.综上,m=2.3.{x|-4≤x≤4}【解析】由f=⇒α=,故f(|x|)≤2⇒|x≤2⇒|x|≤4,故其解集为{x|-4≤x≤4}.4.[25,+∞)【解析】由题意知≤-2,所以m≤-16,所以f(1)=9-m≥25.5.【解答】由题意知f(x)=-4-4a,其图象的顶点坐标为,对称轴为直线x=.当≥1,即a≥2时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,此时f(x)的最大值为f(1)=-4-a2,则-4-a2=-5,解得a=±1<2,舍去.当0<<1,即0<a<2时,f(x)的最大值为f=-4a,则-4a=-5,解得a=∈(0,2).当≤0,即a≤0时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,此时f(x)的最大值为f(0)=-4a-a2,则-4a-a2=-5,即a2+4a-5=0,解得a=-5或a=1(舍去).综上所述,a=或a=-5.6.【解答】(1)当a=0时,f(x)=x|x|,因为定义域为R,且f(-x)=-x|-x|=-f(x),所以f(x)为奇函数.当a≠0时,因为f(a)=0,f(-a)=-a|2a|,所以f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),所以f(x)是非奇非偶函数.(2)当a=0时,f(x)=x|x|=则f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)=则f(x)的单调增区间为和(a,+∞),f(x)的单调减区间为;当a<0时,f(x)=则f(x)的单调增区间为(-∞,a)和,f(x)的单调减区间为.B 巩固提升1. 1【解析】因为f(x1)=f(x2)且f(x)的图象关于直线x=-对称,所以x1+x2=-,所以f(x1+x2)=f=a·-b·+1=1.2.(2,+∞)【解析】由题意得f(x)为偶函数.因为f(x)有4个零点,又f(0)=1>0,所以当x>0时,f(x)=x2-ax+1有2个零点,所以解得a>2.3.-【解析】因为a∈N*,所以二次函数的图象开口向上.由b>2a得函数图象的对称轴x=-<-1,则函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,故f(x)min=f(-1)=a-b+c=-4,f(x)max=f(1)=a+b+c=2,两式相减得b=3.又因为a<且a∈N*,所以a=1,c=-2,所以f(x)=x2+3x-2,则f(x)min=f=-.4.-【解析】设y=a(x-x1)(x-x2),由题设知a(t-x1)(t-x2)=2.又AC⊥BC,利用斜率关系得·=-1,所以a=-.5.【解答】(1)因为x1+x2=-,x1x2=,所以(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2=1-+=1.(2)令f(x)=ax2+x+1(a>0),由Δ=1-4a≥0,得0<2a≤,所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=-≤-2<-1.又f(-1)=a>0,所以f(x)的图象与x轴的交点都在点(-1,0)的左侧,故x1<-1且x2<-1.(3)由(1)知x1=-1=-,所以=-∈,所以-∈,所以a==-·=-=+,故当-=时,a取得最大值.6.【解答】(1)由题意知f(-1)=a-b+1=0,且-=-1,所以a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+1,其单调减区间为(-∞,-1],单调增区间为[-1,+∞).(2)f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,即x2+x+1>k在[-3,-1]上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],有k<g(x)min.因为g(x)在[-3,-1]上单调递减,所以g(x)min=g(-1)=1.所以k<1,即k的取值范围为(-∞,1).。

第13课函数与方程A 应知应会1.(2016·启东联考)若函数f(x)=mx+1-m在区间(0,1)内有零点,则实数m的取值范围是.2.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是.(填序号)①②③④(第2题)3.若函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为.4.(2016·泰州中学)若函数f(x)=x3+x2-ax的图象与函数g(x)=x2-x的图象只有一个公共点,则实数a的取值范围为.5.求下列函数的零点:(1)f(x)=x4-1;(2)f(x)=x3-3x2-2x+6.6.若函数f(x)=log3(ax2-x)有零点,求实数a的取值范围.B 巩固提升1.若函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.2.根据表格中的数据,可以判定函数f(x)=e x-x-2的一个零点所在的区间为.3.已知方程=的解x0∈,那么正整数n=.4.已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x.若函数g(x)=f(x)-kx-k在区间[-1,3]上有4个零点,则实数k的取值范围是.5.已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当-1<x≤0时,f(x)=e-x;当0<x≤1时,f(x)=4x2-4x+1.(1)求函数f(x)在(-1,1)上的单调区间;(2)若g(x)=f(x)-kx(k>0),求函数g(x)在[0,3]上的零点个数.6.已知函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.(1)当k=2时,求方程f(x)=0的解;(2)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个实数解x1,x2,求实数k的取值范围.第13课函数与方程A 应知应会1.(1,+∞)【解析】由f(0)f(1)<0,即(1-m)·1<0,得m>1.2.③【解析】只有零点两侧的函数值的符号相反且在零点附近连续时才可用二分法,故③正确.3.-【解析】由已知得f(1)=0,即+a=0,解得a=-.4.(-∞,1]【解析】由f(x)=g(x),得x3+x2-ax=x2-x,即x(x2-a+1)=0,得x=0或x2=a-1.由题意知a-1≤0,故a≤1.5.【解答】(1)f(x)=x4-1=(x2+1)·(x+1)(x-1).令f(x)=0,得x1=1或x2=-1,故原函数的零点为x1=1或x2=-1.(2)f(x)=x2(x-3)-2(x-3)=(x-3)·(x2-2)=(x-3)(x-)(x+).令f(x)=0,得x1=3,x2=或x3=-,故原函数的零点为x1=3,x2=或x3=-.6.【解答】因为f(x)=log3(ax2-x)有零点,所以log3(ax2-x)=0有解,所以ax2-x=1有解.当a=0时,x=-1;当a≠0时,若ax2-x-1=0有解,则Δ=1+4a≥0,解得a≥-且a≠0.综上,实数a的取值范围是-,+∞.B 巩固提升1.1+或1【解析】题目转化为求方程f(x)=x的根,所以或解得x=1+或x=1,所以g(x)的零点为1+或1.2.(1,2)【解析】由题中表格可知f(-1)<0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0,所以可以判定函数的一个零点在区间(1,2)内.3.2【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y=,y=的图象如图所示.由图可得x0∈(0,1).设f(x)=-,因为f=-<0,f=->0,所以n=2.(第3题)4.【解析】由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f(x),则f(x)是周期为2的周期函数.因为f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,所以当x∈[-1,0]时,f(x)=-x.易得当x∈[1,2]时,f(x)=-x+2;当x∈[2,3]时,f(x)=x-2.函数g(x)=f(x)-kx-k在[-1,3]上有4个零点,即函数y=f(x)与y=kx+k在[-1,3]上的图象有4个不同的交点.作出函数y=f(x)与y=kx+k在[-1,3]上的图象如图所示,结合图形知k∈.(第4题)5.【解答】(1)由题知f(x)在(-1,0]上单调递减,在上单调递减,在上单调递增,且当x=0时,e-x=4x2-4x+1,所以函数f(x)在(-1,1)上的单调减区间为,单调增区间为.(2)函数g(x)在[0,3]上的零点个数即为f(x)的图象与直线y=kx在[0,3]上的交点个数,作出f(x)在[0,3]上的图象如图所示.结合图象得,当k≥e时,g(x)有1个零点;当1<k<e时,g(x)有2个零点;当<k≤1时,g(x)有3个零点;当0<k≤时,g(x)有4个零点.(第5题)6.【解答】(1)当k=2时,f(x)=|x2-1|+x2+2x.①当x2-1≥0,即x≥1或x≤-1时,方程可化为2x2+2x-1=0,解得x=.因为0<<1,所以x=.②当x2-1<0,即-1<x<1时,方程可化为1+2x=0,解得x=-.综上,当k=2时,方程f(x)=0的解是x=或x=-.(2)不妨设0<x1<x2<2,因为f(x)=所以f(x)在(0,1]上是单调函数,故f(x)=0在(0,1]上至多有一个解.若x1,x2∈(1,2),则x1x2=-<0,故不符合题意.因此,x1∈(0,1],x2∈(1,2).由f(x1)=0,得k=-,所以k≤-1;由f(x2)=0,得k=-2x2,所以-<k<-1.故实数k的取值范围是.。

第19课利用导数研究函数的最(极)值A 应知应会1.函数y=x+2cos x在区间上的最大值是.2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,那么=.3.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且f(x)在x=-3处取得极值,那么实数a=.4.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在(0,2)内的极大值为最大值,则实数m的取值范围是.5.已知f(x)=a ln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.6.(2016·南通、扬州、泰州三模)已知函数f(x)=x e x-a sin x cos x(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的极值;(2)若对于任意的x∈,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.B 巩固提升1.已知函数f(x)=x3+a2x2+ax+b,且当x=-1时,函数f(x)的极值为-,那么f(2)=.2.已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-∞,+∞)内既有极大值,又有极小值,那么实数a的取值范围是.3.(2015·中华中学模拟)函数y=+(x∈(0,π))的最小值为.4.(2016·苏州、无锡、常州、镇江二模)已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,当0≤x1<4≤x2≤6时,f(x1)=f(x2),则x1·f(x2)的取值范围是.5.(2016·无锡期末改编)已知函数f(x)=ln x+(a>0),若不等式f(x)≥a对于任意x>0恒成立,求实数a 的取值范围.6.(2016·南通一调)已知函数f(x)=a+ln x(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)试求函数f(x)的零点个数,并证明你的结论.第19课利用导数研究函数的最(极)值A 应知应会1.+【解析】因为y=x+2cos x,所以y'=1-2sin x.令y'=1-2sin x=0,得x=.当x∈时,y'>0,则y单调递增;当x∈时,y'<0,则y单调递减.因此当x=时,y取得极大值,且极大值为+.又当x=0时,y=2;当x=时,y=.故函数y=x+2cos x在区间上的最大值是+.2.-【解析】因为f'(x)=3x2+2ax+b,由题意知即解得或经检验,只有满足题意,故=-.3. 5【解析】f'(x)=3x2+2ax+3,当x=-3时,f'(x)=0,所以a=5.4.(0,3)【解析】f'(x)=-3x2+2mx=x(-3x+2m),令f'(x)=0,得x=0或x=.因为x∈(0,2),所以0<<2,所以0<m<3.5.【解答】(1)f'(x)=-+.由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线的斜率为0,即f'(1)=0,从而a-+=0,解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-ln x++x+1(x>0),f'(x)=--+==.令f'(x)=0,解得x=1.当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.6.【解答】(1)当a=0时,f(x)=x e x,则f'(x)=e x(x+1).令f'(x)=0,得x=-1.所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-,无极大值.(2)①当a≤0时,由于对于任意的x∈,有sin x cos x≥0,所以f(x)≥0恒成立,即当a≤0时,符合题意.②当0<a≤1时,因为f'(x)=e x(x+1)-a cos2x≥e0(0+1)-a cos 0=1-a≥0,所以函数f(x)在上为增函数,所以f(x)≥f(0)=0,即当0<a≤1时,符合题意.③当a>1时,f'(0)=1-a<0,f'=>0,所以存在α∈,使得f'(α)=0,且在(0,α)内,f'(x)<0,所以f(x)在(0,α)上为减函数,所以当x∈(0,α)时,f(x)<f(0)=0,即当a>1时,不符合题意.综上所述,a的取值范围是(-∞,1].B 巩固提升1.【解析】f'(x)=x2+2a2x+a,由题意得即解得或经验证,当时,f(x)在x=-1处没有极值,舍去,故f(x)=x3+x2-x-1,所以f(2)=.2.(-∞,0)∪(9,+∞)【解析】因为f'(x)=3x2-2ax+3a,所以Δ=4a2-36a>0,即a<0或a>9.3.【解析】令sin2x=t,由x∈(0,π)知t∈(0,1],则函数y=+=-,所以y'=-+=,当0<t<时,y'<0;当<t≤1时,y'>0.故当t=时,y min=.4.【解析】当4≤x2≤6时,f(x2)=log2(x2-2)+2∈[3,4].由题意知3≤-+4x1≤4,解得1≤x1≤3,所以x1f(x2)=x1f(x1)=-+4.令g(x)=-x3+4x2,x∈[1,3].由g'(x)=0,解得x=.当1≤x<时,g'(x)>0,则g(x)在上为增函数;当<x≤3时,g'(x)<0,则g(x)在上为减函数.故g(x)min=g(1)=3,g(x)max=g=,所以x1f(x2)的取值范围是.5.【解答】由题意得ln x+≥a对于任意x∈(0,+∞)恒成立,等价于x ln x+a+e-2-ax≥0对于任意x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)=x ln x+a+e-2-ax,则g'(x)=ln x+1-a.令g'(x)=0,得x=e a-1,所以g(x)的最小值为g(e a-1)=(a-1)·e a-1+a+e-2-a e a-1=a+e-2-e a-1.令t(a)=a+e-2-e a-1,则t'(a)=1-e a-1.令t'(a)=0,得a=1,当a变化时,所以当a∈(0,1)时,g(x)的最小值t(a)>t(0)=e-2-=>0;当a∈[1,+∞)时,由g(x)的最小值t(a)=a+e-2-e a-1≥0=t(2),得a∈[1,2].综上,实数a的取值范围为(0,2].6.【解答】(1)由f(x)=a+ln x知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(2+ln x).令f'(x)=0,得x=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:因此,函数f(x)的单调减区间为,单调增区间为.(2)由(1)知f(x)min=f=a-.①若a>,因为f(x)≥f(x)min=f=a->0,所以此时函数f(x)的零点个数为0.②若a=,则f(x)min=f=a-=0.又函数f(x)在上是减函数,在上是增函数,即当x∈∪时,f(x)>f=0.因此,此时f(x)有唯一零点,即零点个数为1.③若a<,则f(x)min=f=a-<0.当a≤0时,因为当x∈时,f(x)=a+ln x<a≤0,所以函数f(x)在区间上无零点.因为函数f(x)在上是增函数,且f=a-<0,又e-2a∈,f(e-2a)=a(1-2e-a)≥0,所以函数f(x)在上恰有一个零点,所以函数f(x)在上恰有一个零点.从而当a≤0时,函数f(x)的零点个数为1.当0<a<时,因为函数f(x)在上是增函数,且f(1)=a>0,f=a-<0,所以函数f(x)在上恰有一个零点,于是函数f(x)在上也恰有一个零点.因为函数f(x)在上是减函数,且f=a-<0,又∈,且f()=a->a-=0(利用结论“当x>0时,e x>x2”进行放缩),此时,函数f(x)在上恰有一个零点.故当0<a<时,函数f(x)的零点个数为2.综上,当a>时,函数f(x)的零点个数为0;当a=或a≤0时,函数f(x)的零点个数为1;当0<a<时,函数f(x)的零点个数为2.。

第1课集合的概念与运算A 应知应会1.(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,1,2},那么∁U A=.2.(2016·苏州、无锡、常州、镇江一调)已知集合A={x|x<3,x∈R},B={x|x>1,x∈R},那么A∩B=.3.(2016·南京学情调研)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-1>0},那么A∩B=.4.(2016·苏北四市摸底)已知集合A={x|-1≤x≤1},那么A∩Z=.5.已知全集U={x|-1≤x≤4},集合A={x|x2-1≤0},B={x|0<x≤3},求A∩B,A∪B,∁U A,(∁U B)∩A.6.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;(2)若A⊆∁R B,求实数m的取值范围.B 巩固提升1.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|0<x<5},那么A∩B=.2.(2015·陕西卷)已知集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},那么M∪N=.3.设A,B是两个非空集合,定义运算A×B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B}.已知集合A={x|y=},B={y|y=2x,x>0},那么A×B=.4.已知函数f(x)=2x-2log2x-10,x∈[2,+∞),那么集合M={n|f(3n2-n)≤2,n∈Z}的子集的个数为.5.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.(1) 9∈(A∩B);(2){9}=A∩B.6.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0,其中k∈R.(1)当k变化时,试求不等式的解集A.(2)对于不等式的解集A,若满足A∩Z=B,试探究集合B能否为有限集?若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值,并用列举法表示集合B;若不能,请说明理由.第1课集合的概念与运算A 应知应会1.{0}【解析】因为U={-1,0,1,2},A={-1,1,2},所以∁U A={0}.2.(1,3)3.{2}【解析】因为B={x|x2-1>0}={x|x<-1或x>1},A={-1,0,1,2},所以A∩B={2}.4.{-1,0,1}【解析】因为集合A={x|-1≤x≤1}中的整数有-1,0,1,所以A∩Z={-1,0,1}.5.【解答】因为A={x|x2-1≤0}={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤3},所以A∩B={x|0<x≤1},A∪B={x|-1≤x≤3}.又∁U A={x|1<x≤4},∁U B={x|-1≤x≤0或3<x≤4},所以(∁U B)∩A={x|-1≤x≤0}.6.【解答】由题意得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.(1)因为A∩B=[0,3],所以解得m=2.(2)由题意知∁R B={x|x<m-2或x>m+2}.因为A⊆∁R B,所以m-2>3或m+2<-1,解得m>5或m<-3.故实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(5,+∞).B 巩固提升1.{1,3}【解析】因为集合A为奇数集,所以A∩B={1,3}.2.[0,1]【解析】由题设知M={0,1},N=(0,1],所以M∪N=[0,1].3.[0,1]∪(2,+∞)【解析】A=[0,2],B=(1,+∞),故A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2],所以A×B=[0,1]∪(2,+∞).4. 4【解析】由函数f(x)的定义域是[2,+∞),得3n2-n≥2,解得n≥1或n≤-.因为n∈Z,所以n=1,2,3,…或n=-1,-2,-3,….当n=1时,f(2)=-8≤2;当n=2时,f(10)=210-2log2 10-10>2;当n=3时,f(24)>2;…;当n=-1时,f(4)=2≤2;当n=-2时,f(14)>2;….所以集合M={1,-1},故其子集有4个.5.【解答】(1)因为9∈(A∩B),所以9∈A且9∈B,所以2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.根据集合中元素的互异性检验知a=5或a=-3.(2)因为{9}=A∩B,所以9∈(A∩B),所以a=5或a=-3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},与A∩B={9}矛盾,故舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},此时A∩B={9},满足题意.综上,a的值为-3.6.【解答】(1)当k=0时,A=(-∞,4);当k>0且k≠2时,A=(-∞,4)∪;当k=2时,A=(-∞,4)∪(4,+∞);当k<0时,A=.(2)由(1)知,当k≥0时,集合B中的元素有无限个;当k<0时,集合B为有限集.若k<0,因为k+≤-4,当且仅当k=-2时取等号,所以当k=-2时,集合B中的元素个数最少,此时A=(-4,4),故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.。

第28课函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象A 应知应会1.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 4x的图象向平移个单位长度.(只需填写一组正确的答案即可)2.(2015·浙江卷)函数f(x)=sin2x+sin x cos x+1的最小正周期为,最小值为.3.(2016·无锡期末)若将函数f(x)=2sin2x图象上的每一点向右平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=.4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上的两个相邻的最高点和最低点间的距离为2,且函数f(x)的图象过点,那么f(x)=.5.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,-<φ<0的最小正周期为π,且f=.(1)求ω和φ的值;(2)在给定的坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象;(3)若f(x)>,求x的取值范围.(第5题)6.(2016·南京、盐城一模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)当x∈时,求f(x)的取值范围.(第6题)B 巩固提升1.(2016·如皋联考)若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位长度后所得的图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.2.若将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后所得的图象对应的函数是奇函数,则函数f(x)在上的最小值为.(第3题)3.(2016·苏北四市期末)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,若AB=5,则ω的值为.4.已知函数f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,那么ω=.5.(2016·徐州一中)已知函数f(x)=2sin(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,求g(x)的解析式,并写出g(x)的单调减区间.6.已知函数f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-(ω>0),其最小正周期为.(1)求f(x)的解析式.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.第28课函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象A 应知应会1.右【解析】设将函数y=sin 4x的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数y=sin 4(x-φ)=sin(4x-4φ)=sin的图象,所以φ=.2.π【解析】f(x)=sin2x+sin x·cos x+1=+sin 2x+1=sin 2x-cos 2x+=sin+,所以最小正周期T==π,f(x)min=-.3.2sin 【解析】f(x)=2sin 2x图象上的每一点向右平移个单位长度后,可得g(x)=2sin2=2sin的图象,故g(x)=2sin.4.sin【解析】因为f(x)图象上的两个相邻的最高点和最低点间的距离为2,所以=2,解得T=4,故ω==,即f(x)=sin.又函数图象过点,故f(2)=sin=-sinφ=-.又因为-≤φ≤,所以φ=,故f(x)=sin.5.【解答】(1)因为最小正周期T==π,所以ω=2.又因为f=cos=cos=-sin φ=,且-<φ<0,所以φ=-.(2)由(1)知f(x)=cos,列表:其图象如图所示.(第5题)(3)因为cos>,则2kπ-<2x-<2kπ+,k∈Z,所以2kπ+<2x<2kπ+,k∈Z,所以kπ+<x<kπ+,k∈Z,所以x的取值范围为kπ+,kπ+,k∈Z.6.【解答】(1)由图象知A=2.又=-=,所以T=2π=,即ω=1,所以f(x)=2sin(x+φ).将点代入得+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.又-<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin.(2)当x∈时,x+∈,所以sin∈,故f(x)∈[-,2].B 巩固提升1.【解析】将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得的图象对应的函数解析式为y=cos,又该函数为偶函数,故2φ+=kπ,k∈Z,所以φ的最小正值为.2.-【解析】将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为y=sin=sin.因为此函数为奇函数,故+φ=kπ,k∈Z,所以φ=-+kπ,k∈Z.又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin.当x∈时,2x-∈,所以f(x)min=-.3.【解析】如图,过点A作x轴的垂线AM,过点B作y轴的垂线BM,直线AM和直线BM相交于点M.在Rt△AMB中,AM=4,BM=·=,AB=5,由勾股定理得AM2+BM2=AB2,所以16+=25,即=3,解得ω=.(第3题)4.【解析】由题意知当x==时,f(x)取得最小值,所以sin=-1,即ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω=8k+,k∈Z.因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,所以-≤,即ω≤12,则ω=.5.【解答】(1)因为f(x)为偶函数,所以φ-=kπ+,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.因为0<φ<π,所以φ=.由题意知=2×,得ω=2,所以f(x)=2cos2x,故f=2cos=.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到f的图象;再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的4倍(纵坐标不变),得到f的图象,所以g(x)=f=2cos=2cos.当2kπ≤-≤2kπ+π,k∈Z,即4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减,因此函数g(x)的单调减区间为,k∈Z.6.【解答】(1)f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-=sin2ωx+-=sin,因为f(x)的最小正周期T=,所以T===,所以ω=2,所以f(x)=sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=sin的图象;再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,所以g(x)=sin.因为0≤x≤,所以-≤2x-≤,所以g(x)∈.又g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,即函数g(x)的图象与直线y=-k在区间上有且只有一个交点.由正弦函数的图象可知-≤-k<或-k=1,解得-<k≤或k=-1,所以实数k的取值范围是∪{-1}.。

第43课数列的综合应用A 应知应会1.已知f1(x)=,f n+1(x)=f1(f n(x)),且a n=,其中n∈N*,则a2 014=.2.下列有关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:①数列{a n}是递增数列;②数列{na n}是递增数列;③数列是递增数列;④数列{a n+3nd}是递增数列.其中真命题为.(填序号)3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若=a1+a200,且A,B,C三点共线(该直线不过原点O),则S200=.4.将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k行有k个奇数),其中第i行第j个数表示为a ij(i,j∈N*),例如a42=15.若a ij=2 017,则i-j=.(第4题)5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=2,S6=22.(1)求S n;(2)若从{a n}中抽取一个公比为q的等比数列{},其中k1=1,且k1<k2<…<k n<…,k n∈N*,当q取最小值时,求{k n}的通项公式.6.已知数列{a n}满足a1=2,对一切正整数n,都有a n+1+a n=3×2n.(1)探讨数列{a n}是否为等比数列,并说明理由;(2)若b n=,求证:b1+b2+…+b n<n+4.B 巩固提升1.若数列{a n}满足a1=2,a n=(n=2,3,4,…),且有一个形如a n=sin(ωn+φ)+的通项公式,其中ω,φ均为实数,且ω>0,|φ|<,则ω=,φ=.2.在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a1≥1,a2≤2,a3≥3,则a4的取值范围是.3.已知数列{a n}的通项公式为a n=7n+2,数列{b n}的通项公式为b n=n2.若将数列{a n},{b n}中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列{c n},则c9的值为.4.(2016·盐城三模)若数列{a n}满足:对任意的n∈N*,只有有限个正整数m使得a m<n成立,记这样的m的个数为b n,则得到一个新数列{b n}.例如,若数列{a n}是1,2,3,…,n,…,则数列{b n}是0,1,2,…,n-1,….现已知数列{a n}是等比数列,且a2=2,a5=16,则数列{b n}中满足b i=2 016的正整数i的个数为.5.设数列{a n}的前n项和为S n.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得S n=a m,则称{a n}是“H 数列”.(1)若数列{a n}的前n项和S n=2n,求证:数列{a n}是“H数列”;(2)已知数列{a n}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0,若{a n}是“H数列”,求d的值.6.(2016·前黄中学)在数列{a n}中,已知a2=1,前n项和为S n,且S n=.(1)求a1的值.(2)证明数列{a n}为等差数列,并写出其通项公式.(3)若lg b n=,试问:是否存在正整数p,q(其中1<p<q),使得b1,b p,b q成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,请说明理由.第43课数列的综合应用A 应知应会1.【解析】因为a n+1====-a n,所以{a n}是公比为-的等比数列,a1==,所以a2 014=.2.①④【解析】①因为d>0,显然{a n}为递增数列,故①正确;②因为(n+1)a n+1-na n=a1+2nd 不一定大于0,所以②错误;③因为==+d,a1-d的值不能确定,所以③错误;④因为数列{3nd}也是递增数列,故{a n+3nd}是递增数列,所以④正确.3. 100【解析】由题意知a1+a200=1,S200=×200=100.4.26【解析】前k行共有奇数1+2+3+…+k=个,所以第k行的最后一个数为2·-1=k2+k-1,第k+1行的第一个数为k(k+1)+1.当k+1=45时,k(k+1)+1=44×45+1=1 981,即第45行的第一个数为1981.因为=18,所以2 017是第45行的第19个数,即i=45,j=19,所以i-j=45-19=26.5.【解答】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则S6=6a1+×6×5d=22,解得d=,所以S n=.(2)由(1)得a n=(n+2).因为数列{a n}是正项递增的等差数列,所以数列{}的公比q>1.若k2=2,则由a2=,得q==,此时=2×=,由=(n+2),解得n=∉N*,所以k2>2.同理,k2>3.若k2=4,则由a4=4,得q=2,此时=2·2n-1,因为=(k n+2),所以(k n+2)=2n,即k n=3·2n-1-2.所以最小的公比q=2,此时k n=3·2n-1-2.6.【解答】(1)假设{a n}是等比数列,由a1+a2=6,得a2=4,所以a n=2n.此时a n+1+a n=2n+1+2n=3×2n,满足题意.所以{a n}可以为等比数列.(2)由(1)知b n===1+.因为=<=2-,所以b n<1+4-,所以b1+b2+…+b n<n+4=n+4-<n+4.B 巩固提升1.0【解析】由题意得a2=-1,a3=,a4=2=a1,所以数列{a n}是周期为3的周期数列.又因为a n=sin(ωn+φ)+是该数列的一个通项公式,所以T==3⇒ω=.当n=1时,a1=sin+φ+=2⇒sin=.又|φ|<,所以φ=0或φ=-.当φ=-时,a2=sin+=≠-1,不符合题意,舍去;当φ=0时,满足题意.综上,ω=,φ=0. 2.【解析】设等比数列{a n}的公比为q.由a2=a1q≤2,得q≤,由a3=a1q2≥3,得q≥,故≤q≤,所以≤,解得a1≤,故1≤a1≤,所以a4=a1q3≤a1=≤8,且a4=a1q3≥a1=≥=,所以a4的取值范围是,8.3.961【解析】令a n=b m,则7n+2=m2,即7(n-1)=(m-3)(m+3),易知m+3或m-3是7的整数倍,所以当m=3,4,10,11,17,18,24,25,31,32…时满足等式,故c9=312=961.4. 22 015【解析】设数列{a n}的公比为q.由题意知==8=q3,所以q=2,所以a n=2n-1.由数列{b n}的定义可知b1=0,b2=1,b3=2,b4=2,b5=3,b6=3,b7=3,b8=3,b9=4,…,则当n≥1时,b i=n的i共有2n-1个,所以满足b i=2 016的正整数i的个数为22 015.5.【解答】(1)当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-2n-1=2n-1.当n=1时,a1=S1=2,所以当n=1时,S1=a1,当n≥2时,S n=a n+1,所以{a n}是“H数列”.(2)S n=na1+d=n+d,对任意的n∈N*,存在m∈N*,使得S n=a m,即n+=1+(m-1)d.取n=2,得1+d=(m-1)d,则m=2+.因为d<0,所以m<2,又m∈N*,所以m=1,所以d=-1.当d=-1时,a m=2-m,S n=是小于2的整数,n∈N*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-S n=2-,使得S n=2-m=a m,所以{a n}是“H数列”,因此d的值为-1.6.【解答】(1)令n=1,得a1=S1==0.(2)由S n=,得S n=,①得S n+1=.②②-①得(n-1)a n+1=na n,③所以na n+2=(n+1)a n+1.④④-③得na n+2+na n=2na n+1,即a n+2+a n=2a n+1.又a1=0,a2=1,a2-a1=1,所以数列{a n}是以0为首项、1为公差的等差数列,所以a n=n-1.(3)假设存在正整数数组(p,q),使得b1,b p,b q成等比数列,则lg b1,lg b p,lg b q成等差数列,所以=+,所以q=3q.(*)易知(p,q)=(2,3)为方程(*)的一组解.当p≥3,且p∈N*时,-=<0,故数列(p≥3)为递减数列,所以-≤-<0,所以此时方程(*)无正整数解.综上,存在唯一正整数数组(p,q)=(2,3),使得b1,b p,b q成等比数列.。

第53课立体几何综合A 应知应会1.四周体的四个面中最多可以有个直角三角形.2.经过平面外一点作与此平面垂直的平面,则这样的平面可以作个.3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,下列命题正确的是.(填序号)①若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n;②若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;③若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β;④若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β.4.(2022·南昌调研)已知两个不重合的平面α,β和两条不同的直线m,n,下列四个命题不正确的是.(填序号)①若m∥n,m⊥α,则n⊥α;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β;④若m∥α,α∩β=n,则m∥n.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD=CD=AB,AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与PB交于点N,求PN∶PB的值.(第5题)6.如图(1),在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC上的一点,且满足AE=FC=CP=1.将△AEF沿EF 折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面EFCB,连接A1B,A1P,如图(2)所示.(1)若Q为A1B的中点,求证:PQ∥平面A1EF;(2)求证:A1E⊥EP.图(1)图(2)(第6题)B 巩固提升1.在正四周体ABCD中,E是AB的中点,那么异面直线CE与BD所成角的余弦值为.(第2题)2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在直线上.3.(2022·苏州园区调研)已知△ABC为等腰直角三角形,斜边BC上的中线AD=2.若将△ABC沿AD折成60°的二面角,连接BC,则三棱锥C-ABD的体积为.(第4题)4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下四个结论:①直线D1C∥平面A1ABB1;②直线A1D1与平面BCD1相交;③直线AD⊥平面D1DB;④平面BCD1⊥平面A1ABB1.其中正确的结论是.(填序号)5.如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值时,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?(第5题)6.(2022·西安调研)如图(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC ,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)求证:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.图(1)图(2) (第6题)第53课立体几何综合A 应知应会1. 4【解析】如图,SA⊥平面ABC,△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°,则BC⊥平面SAB,从而BC⊥SB,所以△SAB,△SAC,△ABC,△SBC都是直角三角形.(第1题)2.很多【解析】经过平面外一点作与此平面垂直的直线有且仅有一条,但过此直线的平面都与已知平面垂直,从而有很多个.3.④4.④【解析】两条平行线中的一条垂直于某一平面,则另一条也垂直于该平面,故①正确;垂直于同始终线的两个平面平行,故②正确;若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n⊂β,所以α⊥β,故③正确;当m∥α,α∩β=n时,m,n也可能为异面直线,故④错误.5.【解答】(1)设AD=1.由于AD=CD=AB,所以CD=1,AB=2.由于∠ADC=90°,所以AC=,∠CAB=45°.在△ABC中,由余弦定理得BC=,所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC.由于PC⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥PC.由于PC⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,PC∩AC=C,所以BC⊥平面PAC.(2)如图,由于AB∥DC,CD⊂平面CDMN,AB⊄平面CDMN,所以AB∥平面CDMN.(第5题)由于AB⊂平面PAB,平面PAB∩平面CDMN=MN,所以AB∥MN.在△PAB中,由于M为线段PA的中点,所以N为线段PB的中点,即PN∶PB的值为.6.【解答】(1)如图(1),取A1E的中点M,连接QM,MF.在△A1BE中,Q,M分别为A1B,A1E的中点,所以QM∥BE且QM=BE.由于==,所以PF∥BE且PF=BE,所以QM∥PF且QM=PF,所以四边形PQMF为平行四边形,所以PQ∥FM.又由于FM⊂平面A1EF,且PQ⊄平面A1EF,所以PQ∥平面A1EF.(第6题(1))(2)如图(2),取BE的中点D,连接DF.由于AE=CF=1,DE=1,所以AF=AD=2.又∠A=60°,即△ADF是正三角形.又由于AE=ED=1,所以EF⊥AD.所以在立体图形中有A1E⊥EF.由于平面A1EF⊥平面EFCB,平面A1EF∩平面EFCB=EF,A1E⊂平面A1EF,所以A1E⊥平面EFCB.又EP⊂平面EFCB,所以A1E⊥EP.(第6题(2))B 巩固提升1.【解析】如图,设AD的中点为F,连接EF,CF,则EF∥BD,所以异面直线CE与BD所成的角即为∠CEF.设正四周体ABCD的棱长为2a,则EF=a,CE=CF=a,由余弦定理可得cos ∠CEF==.(第1题)2.AB【解析】由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,得AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.3.【解析】如图,由于BD⊥AD,CD⊥AD,所以∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角,即∠BDC=60°.由于BD=DC=2,所以△BDC的面积为×2×2×=.由于AD⊥平面BDC,所以V=×AD×S△DBC=.(第3题)4.①④【解析】对于①,连接A1B,由于D1C∥A1B,D1C⊄平面A1ABB1,A1B⊂平面A1ABB1,所以D1C∥平面A1ABB1,故①正确;对于②,由题图易知A1D1⊂平面BCD1,故②错误;对于③,AD⊥DD1,所以AD只与平面D1DB内的一组平行直线垂直,故③错误;对于④,由于正方体ABCD-A1B1C1D1,所以BC⊥平面A1ABB1,又BC⊂平面BCD1,所以平面BCD1⊥平面A1ABB1,故④正确.5.【解答】(1)由于AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.由于CD⊥BC,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.又由于==λ(0<λ<1),所以不论λ为何值,恒有EF∥CD.所以EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF,所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知BE⊥EF.由于平面BEF⊥平面ACD,平面BEF∩平面ACD=EF,BE⊂平面BEF,所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.由于BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,所以BD=,AB=tan 60°=,所以AC==.由AB2=AE·AC,得AE=,所以λ==.故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.6.【解答】(1)在图(1)中,由于AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,所以BE⊥AC,即在图(2)中,BE⊥A1O,BE⊥OC.由于A1O∩OC=O,从而BE⊥平面A1OC.又DE=BC=a,BC∥DE,所以四边形BCDE是平行四边形,所以CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)由于平面A1BE⊥平面BCDE,平面A1BE∩平面BCDE=BE,A1O⊂平面A1BE,又由(1)知A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由图(1)知A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2,从而四棱锥A1-BCDE的体积V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.。