人教版数学高一必修四练习第1章第15课时函数y=Asin(ωxφ)的图象

§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)一、基础过关1． 要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象 ( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度2． 为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象 ( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3． 为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度4． 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是 ( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数5． 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝cos 2x －16． 函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝____________. 7． 某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．8． 怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程． 二、能力提升9． 为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象 ( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度10．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象上的所有点的 ( ) A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度11．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．12．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R ). (1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．答案1．B 2.B 3.C 4.D 5.B 6.sin x 7．①③8．解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 9．B 10.C 11.32π12．解 据题意，y ＝sin 2xy ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 13．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二)课时目标 1.会用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.明确函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)中常数A 、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念.3.了解函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称性(如对称轴，对称中心)．1．简谐振动简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，______叫做振幅，周期T ＝______，频率f ＝______，相位是______，初相是______．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下： 定义域 R 值域 __________ 周期性 T ＝____________奇偶性 φ＝______________时是奇函数；φ＝____________________________时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是__________函数单调性单调增区间可由__________________________________________得到，单调减区间可由______________________________得到一、选择题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)为偶函数的条件是( )A ．φ＝π2＋2k π (k ∈Z )B ．φ＝π2＋k π (k ∈Z )C ．φ＝2k π (k ∈Z )D ．φ＝k π(k ∈Z )2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π33．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 4．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．函数y ＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π46．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对于任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.9．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．三、解答题11．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．能力提升13．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变14．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，那么a 等于( )A. 2 B ．－ 2 C ．1 D ．－11．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值．§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二)答案知识梳理1．A 2πω ω2πωx ＋φ φ2．[－A ，A ] 2π|ω| k π (k ∈Z ) π2＋k π (k ∈Z ) 非奇非偶 2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )作业设计 1．B2．A [T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.]3．D [由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.又x ＝π12时，y ＝1.] 4．D [由图象知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6.]5．C [由⎩⎪⎨⎪⎧ω×1＋φ＝π2ω×3＋φ＝π，解得⎩⎨⎧ω＝π4φ＝π4.]6．B [对任意x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立．∴f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2.∴|x 1－x 2|min ＝T 2＝12×2ππ2＝2.]7．x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6. 8.9π10解析 由图象知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为2⎝⎛⎭⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.9.5π12解析 y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得f (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．由f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝±1， ∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴2φ＝－k π－π6，令k ＝－1，得2φ＝56π，∴φ＝512π或作出y ＝sin 2x 的图象观察易知φ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π4＝512π. 10．②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π， ∴x ＝k 2π－π6，∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，∴x ＝π12＋k π2.∴④错．11．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π，ω＝2πT ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 (2)列出x 、y 的对应值表：x －π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－212．解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2.由图象关于M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称可知，sin ⎝⎛⎭⎫34πω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π， ∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.13．A [由图象可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2.∵图象过点(π3，0)，∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)．故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．]14．D [方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π4＝f (0) ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π2＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝sin 0＋a cos 0.∴a ＝－1. 方法二 由题意得f ⎝⎛⎭⎫－π8－x ＝f ⎝⎛⎭⎫－π8＋x ， 令x ＝π8，有f ⎝⎛⎭⎫－π4＝f (0)，即－1＝a .] 高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

第一章 三角函数1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的振幅和周期分别为( )A ．3，4B ．3，π2C.π2，4 D.π2，3 2．(2016·四川卷)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度3．将函数y ＝cos 3x 的图象向左平移π4个单位长度，所得函数的解析式是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3π4D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3π44．已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值15．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象分别向左、向右平移φ个单位后，所得的图象都关于y 轴对称，则φ的最小值分别为( )A.π6，π3 B.π3，π6 C.2π3，5π6 D.π6，π12二、填空题6．函数y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π6的振幅是________，周期是________，频率是_______，初相是_______，图象最高点的坐标是___________．7．在函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋23π的图象与x 轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．8．已知f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3等于________． 三、解答题9．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，已知它的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递减区间．10．函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．B 级 能力提升1．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋22．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________．3．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R.(1)利用“五点法”画出函数f (x )在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π2上的简图； (2)先把f (x )的图象上所有点向左平移π2个单位长度，得到f 1(x )的图象；然后把f 1(x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f 2(x )的图象；再把f 2(x )的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式．参考答案 第一章 三角函数1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的振幅和周期分别为( )A ．3，4B ．3，π2C.π2，4 D.π2，3 解析：由于函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，所以振幅是3，周期是T ＝2ππ2＝4.答案：A2．(2016·四川卷)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度解析：把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象． 答案：A3．将函数y ＝cos 3x 的图象向左平移π4个单位长度，所得函数的解析式是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3π4D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4解析：y ＝cos 3x 的图象向左平移π4个单位长度得y ＝cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4.答案：D4．已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω有( ) A ．最小值2 B ．最大值2 C ．最小值1D ．最大值1解析：由题意知π3－π12≥T 4，故T ＝2πω≤π，ω≥2.答案：A5．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象分别向左、向右平移φ个单位后，所得的图象都关于y 轴对称，则φ的最小值分别为( )A.π6，π3B.π3，π6C.2π3，5π6D.π6，π12解析：函数f (x )的图象向左平移φ个单位得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6的图象，向右平移φ个单位得函数h (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6的图象，于是，2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，于是φ的最小值分别为π6，π3. 答案：A 二、填空题6．函数y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π6的振幅是________，周期是________，频率是_______，初相是_______，图象最高点的坐标是___________．解析：由题意，得A ＝6，T ＝2π14＝8π，f ＝1T ＝18π，φ＝－π6. 当14x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z)， 即x ＝8k π＋8π3(k ∈Z)时，函数取得最大值6.答案：6 8π 18π－π6⎝ ⎛⎭⎪⎫8k π＋8π3，6(k ∈Z)7．在函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋23π的图象与x 轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．解析：当y ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3＝0，所以4x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，所以x ＝k4π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，则x ＝－π6，取k ＝1，则x ＝π12，所以离原点最近的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，08．已知f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3等于________． 解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 知x ＝π3是f (x )的一条对称轴，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝±3.答案：±3 三、解答题9．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，已知它的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递减区间．解：(1)函数的一条对称轴是直线x ＝π8，2×π8＋φ＝k π＋π2，k∈Z ，因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2kπ，k ∈Z ，即5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z)．10．函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解：(1)因为函数f (x )的最大值为3， 所以A ＋1＝3，即A ＝2.因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T ＝π，所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， 因为0＜α＜π2，所以－π6＜α－π6＜π3，所以α－π6＝π6，故α＝π3.B 级 能力提升1．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2解析：因为最大值是4，故选项A 不符合题意． 又因为T ＝2πω＝π2，所以ω＝4，故排除选项B.令4x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ⇒4x ＝π6＋k π，k ∈Z ⇒x ＝π24＋k π4，k ∈Z ，令π24＋k π4＝π3，得k ＝π6∉Z ，排除选项C ，故选D. 答案：D2．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________．解析：由题意得T2＝2π－34π，所以T ＝52π，ω＝45.由x ＝34π时y ＝－1得－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫35π＋φ，又－2π5<35π＋φ<85π，所以35π＋φ＝32π ，所以φ＝910π.答案：910π 3．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R.(1)利用“五点法”画出函数f (x )在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π2上的简图； (2)先把f (x )的图象上所有点向左平移π2个单位长度，得到f 1(x )的图象；然后把f 1(x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f 2(x )的图象；再把f 2(x )的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式．解：(1)列表取值，描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)将f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4图象上所有点向左平移π2个单位长度得到f 1(x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π4＝3sin 12x 的图象．把f 1(x )＝3sin 12x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f 2(x )＝3sin 14x 的图象，把f 2(x )＝3sin 14x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13(横坐标不变)得到g (x )＝sin 14x 的图象．。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)课时目标 1.了解φ、ω、A 对函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系．用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到． 2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到． 3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的________(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为________，最小值为________． 4．函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程．y ＝sin x 的图象__________的图象______________的图象______________的图象．一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度2．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －15．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位6．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝____________.8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________． 9．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．三、解答题11．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程．12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R ). (1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．能力提升13．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位14．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，则f (x )的表达式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π31．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，其变化途径有两条： (1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)答案知识梳理1．向左 向右 |φ| 2.缩短 伸长1ω不变 3．伸长 缩短 A 倍 [－A ，A ] A －A4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ) y ＝A sin(ωx ＋φ) 作业设计1．B 2.C 3.D4．B [将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .]5．B [y ＝sin(2x ＋π6)4π−−−−−−−→向右平移个长度单位y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．]6．C [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．] 7．sin x8．y ＝cos 2x 9.32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z .∴φ的最小正值是32π.10．①③11．解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径：①y ＝sin x ————→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3——————→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ②y ＝sin x ————→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin 2x ——————→向右平移π6个单位 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 12．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称，∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．13．A [y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4――→向左平移π8个单位 y ＝cos[2(x －π8＋π8)－π4]＝cos(2x －π4)．]14．D [方法一 正向变换y ＝f (x )——————→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )——————→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x .令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二 逆向变换据题意，y ＝sin 2x 6π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.] 高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

第一章 三角函数1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像测试题知识点一: 利用图象变换法作y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的图象1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则( )A.A ＝4B.ω＝1C.φ＝π6 D.B ＝42.(1)利用“五点法”画出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6在长度为一个周期的闭区间的简图列表：作图：图1－3－5(2)并说明该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样变换得到的.知识点二: 正弦型函数的性质3.要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度4． 为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象 ( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度5． 为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度6． 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是 ( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数7． 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝cos 2x －18.(2014·洛阳高一检测)若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A.3或0B.－3或0C.0D.－3或39.(2014·北大附中高一月考)函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象的一条对称轴是( )A.x ＝－π4B.x ＝π4 C.x ＝π2 D.x ＝3π410.把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标不变，再把图象向左平移π4个单位，这时对应于这个图象的解析式为( )A.y ＝cos 2xB.y ＝－sin 2xC.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π411.(2014·大同高一检测)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )图1－3－4A.向右平移π4个单位长度 B.向右平移π12个单位长度 C.向左平移π4个单位长度 D.向左平移π12个单位长度12.将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后，得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，则φ的值是________.13.把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是________.14.关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；②y ＝f (x )是奇函数；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称. 其中正确命题的序号为________.15.(2014·许昌高一检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，ω＞0，φ∈(0，π)，x ∈R ，同时满足：f (x )是偶函数，且关于⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求函数f (x ). 11.(2014·合肥高一检测)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间.(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【参考答案】的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到。

& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &1.5.1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．把函数y=cos(x+4π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,所得到的函数图象正好关于y 轴对称,则φ的最小值为A .4π3B .2π3C .π3D .5π32．把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是A. B.C.D.3．把函数y =cos(x +4π3)的图象向右平移φ个单位,所得到的图象正好是关于y 轴对称,则φ的最小正值是 A.2π3B.π3C.4π3D.354．下列命题正确的是A.y =cos x 的图象向右平移π2个单位得y =sin x 的图象B.y =sin x 的图象向右平移π2个单位得y =cos x 的图象C.当φ＜0时，y =sin x 的图象向左平移|φ|个单位可得y =sin(x+φ)的图象D. y =sin(2x +π3)的图象由y =sin2x 的图象向左平移π3个单位得到鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷5．函数y =cos(2x+φ)(−π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y =sin(2x+π3)的图象重合，则|φ|=____.6．函数 y =15sin(3x −π3) 的定义域是__________，值域是________，周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________． 7．已知函数y =3sin(12x －π4).(1)用“五点法”作函数的图象；(2)说出此图象是由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到的； (3)求此函数的周期、振幅、初相；(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.8．使函数y =f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y =sin2x 的图象相同，求f (x )的解析式.能力提升1．函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的一段图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?2．将函数y =f (x )的图象先向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的π3倍，然后再向上平移1个单位，得到函数y =√3sinx 的图象. (1)求y =f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y =g (x )与y =f (x )的图象关于直线x =2对称，求当x ∈[0，1]时，函数y =g (x )的最小值和最大值.& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &1.5.1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)【基础过关】 1．C【解析】把函数y=cos(x+4π3)的图象向右平移φ个单位长度,得到函数y=cos(x+4π3-φ)的图象,因为该函数的图象关于y 轴对称,所以4π3-φ=k π(k ∈Z ),故φ=4π3-k π(k ∈Z ),又φ>0,显然当k=1时,φ取得最小值π3.【备注】该题易出现的问题是不能根据平移后的函数的图象的对称性确定φ所满足的条件导致解题错误. 2．A【解析】变换后的函数为y=cos(x+1),结合四个选项可得A 选项正确. 3．B【解析】函数y =cos(x +4π3)的图象向右平移φ个单位得到y =cos(x +4π3-φ)的图像，且cos(4π3–φ)=±1，则φ的最小值为π3.故选B.4．A 5．56π【解析】函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后，得平移后的图象对应的函数解析式为()cos 2cos 22y x x πϕϕπ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而函数sin 2cos 2332y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，得2232x x ππϕπ+-=+-，解得56πϕ=，符合πϕπ-≤<，故答案为56π.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷6．(−∞,+ ∞),(−15, 15), 2π3,15, 15,32π,− π3;【解析】T =2π3,f =1T =32π.7．解：(1)(2)方法一：“先平移，后伸缩”.先把y =sin x 的图象上所有的点向右平移π4个单位，得到y =sin(x －π4)的图象；再把y =sin(x －π4)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y =sin(12x －π4)的图象；最后将y =sin(12x －π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y =3sin(12x －π4)的图象.方法二：“先伸缩，后平移”.先把y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y =sin(12x )的图象；再把y =sin(12x )图象上所有的点向右平移π2个单位，得到y =sin 12(x －π2)=sin(x 2−π4)的图象；最后将y =sin(12x －π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y =3sin(12x －π4)的图象.(3)周期T =2πω=2π12=4π，振幅A =3，初相是－π4.(4)令12x －π4=π2+k π，解得对称轴方程为x =3π2+2k π，k ∈Z ；令12x －π4=k π得x =π2+2k π, k ∈Z.所以对称中心为点(2π+2k π，0)，k ∈Z ；令－π2+2k π≤12x －π4≤π2+2k π，解得［－π2+4k π，3π2+4k π］，k ∈Z 为此函数的单调递增区间.【解析】本题主要考查函数y =A sin(ωx +φ)的图像和性质.& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &8．由题意将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位得函数sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将所得函数的图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到函数sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【能力提升】 1．(1)由题意知A=3,T=2πω=43(4π-π4)=5π,∴ω=25.由f(x)=3sin(25x+φ)过(π4,0)得sin(π10+φ)=0, 又|φ|<π2,∴φ=-π10,∴f(x)=3sin(25x-π10).(2)由f(x+m)=3sin[25(x+m)-π10]=3sin(25x+2m 5-π10)为偶函数(m>0),知2m 5-π10=k π+π2(k ∈Z),即m=52k π+3π2(k ∈Z).∵m>0,∴m m in=3π2.故至少把f(x)的图象向左平移3π2个单位长度,才能使得到的图象对应的函数是偶函数.2．解：（1）函数y x =的图象向下平移1个单位得1y x =-的图象，再横坐标缩短到原来的3π，得13y x π=-的图象，然后向右平移1个单位得133y x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，所以函数()y f x =的最小正周期为263T ππ==，由222332k x k ππππππ-≤-≤+，得1566,22k x k k Z -≤≤+∈，所以()y f x =的单调递增区间是156,6,22k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线2x =对称，所以当[]0,1x ∈时，()y g x =的最值即为[]3,4x ∈时，()y f x =的最值.因为[]3,4x ∈时，2,333x ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷所以sin 33x ππ⎡⎛⎫-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣，所以()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()y g x =的最小值是1-，最大值为12.。

Asin（ωx+φ）的图象课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（Asin（ωx+φ）的图象课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为Asin（ωx+φ）的图象课后习题新人教A版必修4的全部内容。

1.5函数y=A sin（ωx+φ）的图象课后篇巩固探究A组基础巩固1.某同学用“五点法”画函数y=A sin（ωx+φ)A〉0,ω>0,｜φ｜<在一个周期内的简图时，列表如下:ωx+φ0π2πxy020-20则有()A.A=0，ω=,φ=0B。

A=2，ω=3，φ=C.A=2,ω=3,φ=-D。

A=1，ω=2，φ=-解析由表格得A=2，，∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ。

当x=时，3x+φ=kπ,k∈Z,又｜φ｜<,∴φ=—.答案C2.函数y=sin在区间上的简图是（）解析当x=0时，y=sin=-<0,故可排除B，D;当x=时,sin=sin 0=0，排除C.答案A3.要得到函数y=sin的图象，只需将函数y=sin的图象（）A。

向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位D。

向左平移个单位解析因为y=sin=sin，所以应将函数y=sin的图象向右平移个单位.答案C4。

在同一平面直角坐标系中,函数y=cos（x∈[0，2π]）的图象和直线y=的交点个数是（）A.0B.1C.2 D。

4解析作出函数y=cosπ，x∈［0，2π]的图象及y=的图象可得,应选C.答案C5.有四种变换:①向左平移个单位长度，再各点的横坐标缩短为原来的；②向左平移个单位长度，再各点的横坐标缩短为原来的;③各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度;④各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度，其中能使y=sin x的图象变为y=sin的图象的是()A.①③B。

人教a 版高一必修4_1.5第1课时_画函数y ＝asin(ωx ＋φ)的图象_作业_word 版含解析[A.基础达标]1．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度解析：选A.只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得函数y ＝sin(x ＋1)的图象，故选A.2．将函数y ＝cos 3x 的图象向左平移π4个单位长度，所得函数的解析式是( )A ．y ＝cos(3x ＋π4)B ．y ＝cos(3x －π4)C ．y ＝cos(3x －3π4)D ．y ＝cos(3x ＋3π4)解析：选D.y ＝cos 3x 的图象向左平移π4个单位长度得y ＝cos 3(x ＋π4)＝cos(3x ＋3π4)．故选D.3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图象，只需将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x －π6的图象( ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：选B.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x －π6 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－12⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴向右平移π3个单位．4．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 解析：选D.函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度得到函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4(其中ω＞0)，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z )，故得ω的最小值是2. 5．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析：选A.由题意，y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得解析式为y ＝cos x ＋1，向左平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)＋1，向下平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)，显然点(π2－1,0)在函数图象上．故选A.6．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin(4x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象，则φ的值为________．解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，所以φ的值为π3. 答案：π37．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝2sin(x ＋π4)的图象，只需将y ＝f (x )的图象上________．解析：因为T ＝π，所以ω＝2πT＝2.所以f (x )＝sin(2x ＋π4)．因此要得到函数g (x )＝2sin(x ＋π4)的图象，只需将f (x )的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的2倍．答案：各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的2倍8．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)的图象，而sin(x＋11π6)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin(x －π6)，即φ＝11π6. 答案：11π69．(1)利用“五点法”画出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)说明该函数的图象是由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的． 解：(1)(2)把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象．或把y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象．再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象． 10．已知函数y ＝3sin 2x 的图象C 1，问C 1需要经过怎样的变换得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －7π4的图象C 2，并且平移路程最短？解：①∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －7π4 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x －7π4 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π4 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π8， ∴将y ＝3sin 2x 的图象C 1向右平移5π8个单位长度可得C 2.②∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －7π4 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π4 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π4＋2π ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋3π8， ∴将y ＝3sin 2x 的图象C 1向左平移3π8个单位长度可得C 2.综上可知，平移路程最短的方法是向左平移3π8个单位长度．[B.能力提升]1．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增解析：选B.将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －2π3)，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，故递增区间为[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z )，当k ＝0时，得递增区间为[π12，7π12]，故选B.2．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π6解析：选B.将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度，得g (x )＝sin[2(x －φ)＋θ]，由题意得⎩⎨⎧sin θ＝32，sin (θ－2φ)＝32，解得θ＝π3，φ＝－k π或－π6－k π(k ∈Z )，结合选项取得φ＝5π6.3．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：由题意，y ＝sin x ――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6―――――――――――――――→每个点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：224．某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中0＜A ≤2,0＜ω＜2，－π2＜φ＜π2)的图象，列出的部分数据如下表：经检查，y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．解析：在平面直角坐标系中描出这五个点， 如图所示．根据函数图象的大致走势， 可知点(1,0)不符合题意； 又因为0＜A ≤2，函数图象过(4，－2)，所以A ＝2， 因为函数图象过(0,1)，∴2sin φ＝1，又∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6，由(0,1)，(2,1)关于直线x ＝1对称，知x ＝1时函数取得最大值2， 因此函数的最小正周期为6.∴ω＝π3.答案：y ＝2sin(π3x ＋π6)5．设ω＞0，若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值． 解：将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后，所得图象的函数解析式为 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2. 因为平移后的图象与原图象重合，所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z )，即ω＝3k 2(k ∈Z )，又因为ω＞0，所以k ≥1，故ω＝3k 2≥32.故ω的最小值为32.6．(选做题)已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω＞0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)因为ω＞0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0＜ω≤34.所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，34. (2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

更上一层楼基础•巩固1.已知函数y=2sinωx(ω＞0)的图象与直线y+2=0的相邻的两个公共点之间的距离为32π，则ω的值为( )A.3B.23 C.32 D.31 思路分析：函数y=2sinωx 的最小值是-2，它与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离恰好为一个周期，由232πωπ=，得ω=3. 答案：A2.图1-5-9是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成( )图1-5-9A.sin(1+x)B.sin(-1-x)C.sin(x-1)D.sin(1-x) 思路分析：函数y=f(x)的图象过点(1，0)，即f(1)=0，可排除A 、B. 又因为y=f(x)的图象过点(0，b)，b ＞0，即f(0)＞0，可排除C ，故选D. 答案：D3.函数y=cos(2x+3π)的图象的一个对称中心是( ) A.(65π，1) B.(3π，-1) C.(12π，0) D.(24π，0)思路分析：由于对称中心是使函数值为零的点，可排除A 、B.当x=12π时，y=cos(2×12π+3π)=cos 2π=0，故选C. 答案：C4.若函数y=f(x)的图象上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线与y=21sinx 的图象相同，则y=f(x)是( )A.y=21sin(2x+2π)+1 B.y=21sin(2x-2π)+1 C.y=21sin(2x-4π)+1 D.y=21sin(2x+4π)+1思路分析：设y=Asin(ωx+φ)+1，将它的横坐标伸长到原来的2倍，得y=Asin(2ωx+φ)+1；再将其图象向左平移2π个单位，得y=Asin ［2ω (x+2π)+φ］+1，即y=Asin(42ωπω+x +φ)+1；最后沿y 轴向下平移1个单位，得到y=21sinx ，即y=Asin(42ωπω+x +φ)=21sinx. ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==.04,12,21ϕωπωA 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===.2,2,21πϕωA ∴y=21sin(2x-2π)+1.答案：B5.已知图1-5-10是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ|＜2π)的简图，那么( )图1-5-10A.ω=1110,φ=6π B.ω=1110,φ=6π- C.ω=2,φ=6π D.ω=2,φ=6π-思路分析：曲线与y 轴的交点为(0，1)，说明当x=0时，函数值y=1,∴原来关系式变成2sinφ=1.∵-2π＜φ＜2π,∴φ=6π.排除B 、D. 又曲线与x 轴的一个交点是(1211π,0)，说明当x=1211π时，函数值y=0,即sin(61211πωπ+)=0,∴61211πωπ+=kπ(k ∈Z ).∵这点是曲线与x 轴的正方向的第二个交点，其相位是2π，即ω·61211πωπ+=2π,解得ω=2.因此ω=2,φ=6π. 答案：C6.函数f(x)=2sinωx(ω＞0)在［0，4π］上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于___________.思路分析：由已知得2sin(ω·4π)=3，即ω·4π=2kπ+3π，ω=8k+34；已知函数在［0，4π］上单调递增，说明此函数的周期最小是2π，又T ＞0，∴T=22πωπ≥. ∴ω=34.答案：347.若函数y=sinx 的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的31倍，再将图象沿x 轴向左平移3π个单位，则变换后的图象所对应的函数解析式是_______. 答案:y=-sin3x 综合•应用8.若函数f(x)具有性质：①f(x)为偶函数；②对任意x ∈R ，都有f(4π-x)=f(4π+x)，则函数f(x)的解析式是__________.〔只需写出满足条件的f(x)的一个解析式即可〕答案:f(x)=cos4x9.将y=sinx 的图象经过怎样的变换才能得到y=3sin(21x-6π)的图象？ 解：将y=sinx 的图象向右平移6π，得到y=sin(x-6π)的图象；然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到y=sin(21x-6π)的图象；再使横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，即得到y=3sin(21x-6π)的图象.10.求函数y=2sin(3π-x)-cos(6π+x)(x ∈R )的最小值及取得最小值时自变量x 的集合.解：y=2sin(3π-x)-sin ［2π-(6π+x)］=2sin(3π-x)-sin(3π-x)=sin(3π-x)=-sin(x-3π).显然y min =-1，此时x-3π=2kπ+2π，得x=65π+2kπ，k ∈Z ，即函数的最小值为-1，此时{x|x=65π+2kπ，k ∈Z }.11.设三角函数f(x)=sin(35π+x k )(k≠0).(1)写出f(x)的最大值M 、最小值m 与最小正周期T ；(2)试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个最大值是M 与一个最小值是m. 解：(1)∵f(x)=sin(35π+x k ),(k≠0),且x ∈R ,∴M=1,m=1,T=||10k π. (2)设x ∈［n,n+1］,n ∈Z ，按题意，当自变量x 在任意两个整数间变化时，函数f(x)至少有一个最大值，又有一个最小值，则函数的周期应不大于区间的长度，即|-+)35(πkn ]35)1([π++n k |≥2π，解得|k|≥10π.所以最小的整数k=32. 回顾•展望12.(2006潍坊统考) 心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmhg 称为标准值.设某人在某一时刻的血压满足函数式p(t)=125+25sin(170πt)，其中p(t)为血压(mmhg)，t 为时间(min)，试解答下列问题：图1-5-11(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)用“五点法”在给定的坐标系中作出p(t)在一个周期上的简图.思路分析：函数解析式中的ω=170π，由公式可直接得到周期；每分钟的心跳次数就是频率，即周期的倒数；五个点的横坐标就是图中给出的数值，求出对应的纵坐标即可描点；此人血压计的读数就是此函数的最大值和最小值，从图象可以观察得到. 解：(1)函数p(t)的周期8511702==ππT . (2)此人每分钟心跳的次数为85. (3)列表：t 0 3401 1701 3403 851 170πt 0 2π π 23π 2π p(t)125150125100125描点作图图略.。

课时作业(十五)1．函数y ＝2sin(12x ＋π4)的周期，振幅，初相分别是( )A.π4，2，π4 B ．4π，－2，π4C ．4π，2，π4D ．2π，2，π4答案 C2．将函数y ＝sinx 的图像向右平移π4个单位，所得图像解析式为( )A ．y ＝sin(x ＋π4)B ．y ＝sinx ＋π4C ．y ＝sin(x －π4)D ．y ＝sinx －π4答案 C3．将y ＝sin4x 的图像向左平移π12个单位长度，得y ＝sin(4x ＋φ)的图像，则φ等于( )A ．－π12B ．－π3C.π3D.π12答案 C4．要得到函数y ＝sin 12x 的图像，只需将函数y ＝sin(12x －π3)的图像( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位答案 C5．函数y ＝cosx 图像上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图像的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( ) A ．2 B.12 C ．4D.14答案 B6．将函数y ＝sinx 的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)答案 C解析 将函数y ＝sinx 的图像向右平移π10个单位长度得到函数y ＝sin(x －π10)的图像，然后将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得y ＝sin(12x －π10)的图像，选C.7．为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图像，只需将函数y ＝sin2x 的图像( )A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位答案 A解析 本题主要考查三角函数的平移，首先必须是化同名函数．y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋5π6)． 8．先将函数y ＝sin2x 的图像向右平移π3个单位长度，再将所得图像作关于y 轴的对称变换，则与最后所得图像对应的函数的解析式是( ) A ．y ＝sin(－2x －2π3)B ．y ＝sin(－2x ＋2π3)C ．y ＝sin(－2x ＋π3)D ．y ＝sin(－2x －π3)答案 A9．将一个函数的图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，再将各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的32倍，得y ＝sinx 的图像，求此函数的一个解析式( )A ．y ＝3sin3x 2B ．y ＝3sin 23xC ．y ＝13sin 3x2D ．y ＝13sin 2x3答案 C解析 进行逆变换即得．10．若要得到函数y ＝2cosx 的图像，则只需将函数y ＝2sin(2x ＋π4)的图像上所有的点的( )A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度答案 C解析 把函数y ＝2sin(2x ＋π4)的图像的横坐标伸长到原来的两倍，得到函数y ＝2sin(x ＋π4)，再向左平移π4个单位；得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤（x ＋π4）＋π4＝2sin(x ＋π2)＝2cosx. 11．由y ＝sinx 的图像变换到y ＝3sin(2x ＋π4)的图像主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移______个单位，后者需向左平移______个单位． 答案π4 π812．函数y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图像恰好关于直线x ＝π6对称，求φ的最小值．解析 y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得y ＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．因其中一条对称轴方程为x ＝π6，则2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．因为φ>0，所以φ的最小值为5π12.13．已知函数f(x)＝sin(2x ＋π6)＋32. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)函数f(x)的图像可以由函数y ＝sin2x(x ∈R )的图像经过怎样的变换得到？ 解析 (1)f(x)＝sin(2x ＋π6)＋32，∴f(x)的最小正周期是T ＝2π2＝π.由题意得2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f(x)的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z . (2)先把y ＝sin2x 图像上所有点向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin(2x ＋π6)的图像，再把图像上所有点向上平移32个单位长度，就得到y ＝sin(2x ＋π6)＋32的图像．►重点班·选做题14．(2016·北京，理)将函数y ＝sin(2x －π3)图像上的点P(π4，t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图像上，则( ) A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3答案 A解析 因为点P(π4，t)在函数y ＝sin(2x －π3)的图像上，所以t ＝sin(2×π4－π3)＝sin π6＝12.又P ′(π4－s ，12)在函数y ＝sin2x 的图像上，所以12＝sin2(π4－s)，则2(π4－s)＝2k π＋π6或2(π4－s)＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π6，k ∈Z .又s>0，故s 的最小值为π6.故选A.15．将函数y ＝sin(－2x)的图像向右平移π3个单位，所得函数图像的解析式为________．答案 y ＝sin(23π－2x)16．设函数f(x)＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6D ．9答案 C函数f(x)＝3sin(2x －π3)的图像为C ，①图像C 关于直线x ＝1112π对称；②函数f(x)在区间(－π12，5π12)内是增函数；③由y ＝3sin2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C.以上三个论断中，正确论断的是________．答案 ①②解析 由于f(1112π)＝3sin(116π－π3)＝3sin 3π2＝－3.所以①正确．当－π12<x<5π12时，－π2<2x－π3<π2所以②正确．将y ＝3sin2x 图像向右平移π3得到y ＝3sin(2x －2π3)≠f(x)，所以③不正确．。

疱工巧解牛知识•巧学一、φ对y=sin(x+φ)，x ∈R 的图象的影响1.以函数y=sin(x+3π)，x ∈R 与y=sin(x-4π)，x ∈R 为例说明. 函数y=cosx=sin(x+2π)，x ∈R 的图象可以看作是把正弦曲线上所有的点向左平移2π个单位长度而得到的.显然，y=sin(x+3π)的图象可以看作是把正弦曲线y=sinx 上所有点向左平移3π个单位长度而得到的；y=sin(x-4π)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向右平移4π个单位长度而得到的. 这函数y=sin(x+3π),x ∈R 与函数y=sin(x-4π),x ∈R 的周期都是2π，用“五点法”画出它们在［0,2π］上的简图.列表：x3π-6π 32π 67π 35π x+3π 0 2π π 23π 2π sin(x+3π)1-1x4π 43π 45π 47π 49π x-4π 0 2π π 23π 2π sin(x-4π)1-1描点作图：图1-5-2从图1-5-2和表格中都可以看出：在y=sin(x+3π)与y=sin(x-4π)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点，它的横坐标分别比y=sinx 的横坐标小3π与多4π.2.一般地，函数y=sin(x+φ)(φ≠0)，x ∈R 的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度而得到的，这种变换叫做相位变换. 学法一得 移图与移轴是相对的，把图象向右(左)平移φ(φ＞0)个单位，相当于把y 轴向左(右)平移φ(φ＞0)个单位；把图象向上(下)平移k(k ＞0)个单位，相当于把x 轴向下(上)平移k(k ＞0)个单位，移轴比移图更容易作出函数的图象. 二、ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响 1.以函数y=sin2x ，x ∈R 与y=sin21x ，x ∈R 为例说明. 由于函数y=sin2x 的周期是π，所以可先画出它在［0，π］上的简图，按五个关键点列表：x 0 4π 2π 43π π 2x 0 2π π 23π 2π sin2x 01-1同理，函数y=sin 21x 的周期是4π，所以可先画出它在［0，4π］上的简图，按五个关键点列表：x0 π2π 3π4π 21x 0 2π π 23π 2π sin 21x 01-1描点作图：图1-5-3(1)函数y=sin2x 与y=sinx 的图象间的联系：从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sin2x ，x ∈［0，π］的图象上，横坐标为2x ，x 0∈［0，π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx 上横坐标为x 0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sin2x ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线y=sinx ，x ∈R 上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)而得到的. (2)函数y=sin 21x 与y=sinx 的图象间的联系从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sin21x ，x ∈［0，4π］的图象中，横坐标为2x 0，x 0∈［0，4π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx 上横坐标为x 0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sin21x ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.2.一般地，函数y=sinωx(ω＞0且ω≠1)，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的，这种变换称为周期变换，它是由ω的变化而引起的，ω与周期T 的关系是ωπ2=T .学法一得 函数y=sinωx 的图象是由y=sinx 的图象通过实施周期变换而得到的，其中ω决定函数的周期，它能改变曲线的形状，φ的值只改变曲线的位置，并不改变曲线的形状. 三、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 1.以函数y=2sinx ，x ∈R ，y=21sinx ，x ∈R 为例说明. 由于这两个函数的周期都是2π，所以可先画出它们在［0，2π］上的简图，按五个关键点列表：x 0 2π π 23π 2π Sinx 0 1 0 -1 0 2sinx0 20 -20 21sinx 021 021- 0描点画图：图15-4利用这两个函数的周期性，把它们在［0，2π］上的简图向左、右扩展，从而得到它们在整个定义域上的简图.(1)函数y=2sinx 的图象与y=sinx 的图象之间的联系通过图1-5-4及所列表格可知，对同一个x 的值，函数y=2sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的2倍.根据函数的周期性，它在其他区间上也是如此.所以函数y=2sinx ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的，从而函数y=2sinx ，x ∈R 的值域是［-2，2］. (2)函数y=21sinx 的图象与y=sinx 的图象之间的联系 通过图154及所列表格可知，对同一个x 的值，函数y=21sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的21倍，根据函数的周期性，在其他区间上也是如此.所以函数y=21sinx ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变)而得到的，从而函数y=21sinx ，x ∈R 的值域是［-21，21］. 学法一得 一般地，函数y=Asinx ，x ∈R (A ＞0且A≠1)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫做振幅变换，它是由A 的变化而引起的，A 叫做函数的振幅，函数y=Asinx ，x ∈R 的值域是［-A ，A ］.四、函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx 图象间的关系1.以函数y=3sin(2x+3π)，x ∈R 为例说明. 函数y=3sin(2x+3π)的周期是π，先画出它在长度为一个周期的闭区间上的简图，按五个关键点列表：x6π-12π 3π 127π 65π 2x+3π 0 2π π 23π 2π 3sin(2x+3π)3-3描点画图：图1-5-5函数y=3sin(2x+3π)，x ∈R 的图象，可看作是先将y=sinx 图象上所有的点向左平移3π个单位长度，得到y=sin(x+3π)，x ∈R 的图象；再把y=sin(x+3π)，x ∈R 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x+3π)，x ∈R 的图象；最后把y=sin(2x+3π)，x ∈R 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)得到的.2.一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)，x ∈R 的图象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲线上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变).联想发散 y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)，x ∈R 的图象也可通过下面的方法而得到：先把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移ωϕ||个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变). 五、A 、ω、φ的物理意义当函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈［0,+∞)(其中A ＞0，ω＞0)表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需要的时间ωπ2=T ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数Tf 1=，称为振动的频率；ωx+φ称为相位；当x=0时，相位φ称为初相. 例如，函数y=2sin(3x-3π)，x ∈［0，+∞)的振幅是2，周期T=32π，频率π231==T f ，相位是3x-3π，初相是3π-.六、函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈R 的对称问题1.对称轴过函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈R 的图象的最值点作x 轴的垂线，可得该函数图象的对称轴.对称轴可由ωx+φ=kπ+2π，k ∈Z 解出，显然对称轴有无数条.例如，y=2sin(2x-3π)图象的对称轴方程是2x-3π=kπ+2π，k ∈Z ，即x=12521ππ+k ，k ∈Z .函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程可由ωx+φ=kπ，k ∈Z 解出.2.对称中心函数y=Asin(ωx+φ)与x 轴的交点都叫做该函数的对称中心，它是函数值等于零的点，由ωx+φ=kπ得x=ωϕπ-k ，即对称中心是(ωϕπ-k ，0).显然，函数y=4sin(2x-3π)的对称中心是(62ππ+k ，0). 同理，函数y=Acos(ωx+φ)的对称中心是(ωωππ-+2k ，0)，显然，函数y=2cos(2x+4π)的对称中心是(28ππk +，0). 学法一得 (1)所谓轴对称，就是把图形沿此直线对折，对折后的图形与原图形完全重合.由于函数y=Asin(ωx+φ)中的变量x ∈R ，所以它有无数条对称轴. (2)所谓中心对称，就是把图形绕该点旋转180°后，所得图形与原图形完全重合.由于y=Asin(ωx+φ)的变量x ∈R ，所以它有无数个对称中心. 典题•热题知识点一 A 、ω、φ的求值与图象的平移 例1 (1)用“五点法”作函数y=2sin(2x-3π)，x ∈R 的图象，并指出这个函数的振幅、周期和初相；(2)怎样由y=sinx 的图象，得到y=2sin(2x-3π)的图象？ 解：(1)列表：x6π 125π 32π 1211π67π 2x-3π 0 2π π 23π 2π 2sin(2x-3π)2-2描点连线：图1-5-6把函数y=2sin(2x-3π)在长度为一个周期的简图中向左右扩展，就得到y=2sin(2x-3π)，x ∈R 的简图.振幅A=2，周期T=22π=π，初相φ=3π-.(2)解：先把函数y=sinx 的图象上所有的点向右平移3π个单位，得到函数y=sin(x-3π)的图象；再把y=sin(x-3π)图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x-3π)的图象；最后把y=sin(2x-3π)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y=2sin(2x-3π)，x ∈R 的图象.知识点二 图象的平移 例2 已知函数y=21sin(2x+6π)+45，x ∈R . (1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数的图象可由y=sinx(x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？思路分析：本题主要考查三角函数的图象和性质，求最值时，可把(ωx+φ)视为一个整体.解：(1)要使y 取得最大值必须且只需2x+6π=2π+2kπ，k ∈Z ，即x=6π+kx ，k ∈Z . 所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6π+kπ，k ∈Z }.(2)将函数y=sinx 依次进行如下变换： ①把函数y=sinx 的图象向左平移6π个单位，得到函数y=sin(x+6π)的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+6π)的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变)，得到函数y=21sin(2x+6π)的图象；④把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图象. 综上可得函数y=21sin(2x+6π)+45的图象.方法归纳 先相位，再周期变换，同先周期，后相位变换一样，函数y=sinx 图象上的点(0，0)都被变换成了点(ωϕ，0).但要注意平移的单位是不同的，先相位后周期，平移的单位为|φ|；先周期，后相位，平移的单位为ωϕ||.例3 把函数y=f(x)的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2π个单位，得到曲线y=21sinx的图象，试求函数y=f(x)的解析式.思路分析：一是设f(x)=Asin(ωx+φ)，按图象变换的法则，分两步，得y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］，它就是y=21sinx ，构造A 、ω、φ的方程求解；二是采用逆变换，即把上述变换倒过来，由y=21sinx 得到y=f(x). 解：设y=Asin(ωx+φ)，把它的横坐标伸长到原来的2倍得到y=Asin(2ωx+φ)，再向左平移2π个单位，得到y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］，即y=Asin x x sin 21)42(=++ϕπωω.由两个代数式恒等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==.2,2,21041221πϕωϕωπωA A∴f(x)=21sin(2x-2π)=-21cos2x. 巧解提示：将y=21sinx 的图象向右平移2π个单位，得到y=21sin(x-2π)的图象，再把y=21sin(x-2π)的图象的所有点的横坐标缩短到原来的21倍，得到y=21sin(2x-2π)，即y=21-cos2x 的图象，所以所求函数f(x)=21-cos2x.方法归纳 平移是相对的，平移的量也不是唯一的，若通过平移φ(φ＞0)个单位能实现图象间的转化，那么平移kT+φ(k ∈Z ，T 是函数的最小正周期)个单位也能实现转化.三角函数的图象的变换是相对的、互逆的.知识点三 已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象，求它的解析式. 例4 已知函数y=Asin(ωx+φ)，|φ|＜2π的图象，试确定A 、ω、φ的值.图1-5-7解：显然，A=2. ∵T=65π-(-6π)=π，∴222===πππωT . 从图1-5-7中可以看出，函数y=2sin(2x+φ)是由y=2sin2x 的图象向左平移6π个单位得到的,所以y=2sin2(x+6π)，即φ=3π. 也可利用代点法求φ：由图可知当12]3)6[(21πππ=+-=x 时，y max =2. 故有2x+φ=2×12π+φ=2kπ+2π，即φ=2kπ+3π.∵|φ|＜2π，∴φ=3π.方法归纳 若用代点法确定函数y=Asin(ωx+φ)中的φ值时，能代入最值点更好；若A ＞0，ω＞0时，若代入递增区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ，k ∈Z .若代入递减区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ+π，k ∈Z ，再依据φ的范围，确定φ的值.例5 图1-5-8是一个按正弦规律变化的交流电的图象.根据图象求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图象的函数解析式.图1-5-8思路分析：通过图象确定周期T ，从而进一步求得ω的值是关键，振幅A 也可通过识图求得，初相φ一般通过代点求得.解：由图象看出，这个交流电的周期T=0.2 s ，由频率f 与周期T 的关系式，得频率5112===a T f ，电流的最大值为10 A. 由图1-5-8可知，这个曲线的函数解析式是正弦型函数I=Asin(ωt+φ)，其中A=10，ω=2.022ππ=T =10π，再把点(0，10)代入函数解析式I=10sin(10πt+φ)，得sinφ=1，取φ=2π，于是得到曲线的函数解析式为I=10sin(10πt+2π)，t ∈［0，+∞).根据诱导公式，函数式可化为I=10cos10πt ，t ∈［0，+∞).方法归纳 A 表示振动量离开平衡位置的最大距离；ω可由周期T 或T 的一部分确定；φ可由图象离原点最近的递增区间中心点的横坐标确定，也可用代点法确定. 问题•探究 思想方法探究问题 如何理解函数y=A 1sin(ω1x+φ1)与函数y=A 2sin(ω2x+φ2)图象间的关系?探究过程：设函数y=2sin(x+6π)，x ∈R 的图象为C ，要得到y=3sin(x+6π)，x ∈R 的图象，只需把C 上所有点的纵坐标伸长到原来的23倍(横坐标不变)；要得到y=2sin(21x+6π)，x ∈R的图象，只需把曲线C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)；要得到y=2sin(x+3π)，x ∈R 的图象，只需把曲线C 上所有的点向左平移6π个单位长度；要得到y=2sin(x+6π)+2的图象，只需把曲线C 上所有点向上平移2个单位.对于余弦函数也是如此.不同名称的弦函数间的关系，可先统一函数名称，如y=sin(2x-4π)与y=cos2x 图象间的关系，由于y=sin(2x-4π)=cos ［2π-(2x-4π)］=cos(43π-2x)=cos(2x-43π)，所以只需把y=sin(2x-4π)的图象向左平移83π个单位长度，即可得到y=cos2x 的图象.把y=cos2x 的图象向右平移83π个单位，便可得到y=cos(2x-43π)，即y=sin(2x-4π)的图象，所以图象的变换是相对的.探究结论：由y=sinx 到y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω≠1)的思维过程是：①画出y=sinx ，x ∈［0，2π］的简图；②沿x 轴平移，得到y=sin(x+φ)，x ∈R 在长度为一个周期的闭区间上的简图；③横坐标伸长或缩短，得到y=sin(ωx+φ)，x ∈R 在长度为一个周期上的简图；④纵坐标伸长或缩短，得到y=A sin(ωx+φ)，x ∈R 在长度为一个周期上的简图. 误区陷阱探究问题 “要想得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象，只需将函数y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位”这句话是否正确？探究过程：三角函数图象的变换包括了周期变换、振幅变换、相位变换和上下平移变换.其中由函数y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)的图象得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象是相位变换，它的实质是左右平移，而左右平移只是变换自变量x ，比如，将函数y=lg2x 的图象向左平移1个单位，得到的是函数y=lg2(x+1)的图象，而不是y=lg(2x+1).由于y=Asin(ωx+φ)=Asinω (x+ωϕ) (A ＞0,ω＞0)，则要由y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象，只要向左或向右平移||ωϕ个单位即可.探究结论：这句话不正确，由y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象，应向左或向右平移||ωϕ个单位.。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）1.5 函数y =A sin(ωx +φ)的图象一、选择题（每小题5分，共20分）1．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是 ( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)2．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变3. 下列函数中，在[π2，π]上是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x 4.函数f (x )＝2sin x cos x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________．6．已知向量a ＝(cos x 2，sin x 2)，b ＝(cos x 2，cos x2)，则函数f (x )＝a ·b 的单调递减区间为________．三、解答题(共70分)7．（15分）求下列函数的最大值和最小值．(1) y ＝2cos(2x ＋π3)＋1，x ∈[0，π2]；(2)y ＝3cos 2x －4sin x ＋1.8. （20分） 已知函数y ＝2sin(2x ＋π3)．(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y ＝2sin(2x ＋π3)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．9．(20分) 已知函数y ＝3sin(12x －π4).(1)求此函数的周期、振幅、初相； (2)作函数在[0,4π]的图象；(3)说出此函数图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到的．10. （15分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f (x )的解析式．1.5 函数y=A sin(ωx+φ)的图象答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.1.5 函数y =A sin(ωx +φ)的图象 答案一、选择题1.A 解析：对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数．2.A 解析：观察图象可知，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＝1，2πω＝π，故ω＝2，ω×(－π6)＋φ＝0，得φ＝π3，所以函数y ＝sin(2x ＋π3)，故只要把y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的12倍即可． 3.D 解析： 函数y ＝cos2x 的单调增区间为π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，即π2＋k π≤x ≤π＋k π，k ∈Z,∴y ＝cos2x 在[π2，π]上是增函数．4.C 解析：因为f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x 是奇函数，T ＝π. 二、填空题5. [－12，12)解析：∵0<x ≤π3，∴π3<x ＋π3≤23π,∴cos 23π≤cos(x ＋π3)<cos π3,即－12≤cos(x ＋π3)<12,即y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是[－12，12)．6. [2k π＋π4，2k π＋54π]，k ∈Z解析： 函数f (x )＝1＋cos x 2＋sin x 2＝22sin(x ＋π4)＋12，令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ..三、解答题7.解：(1) ∵0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3.∴－1≤cos(2x ＋π3)≤12.∴－1≤2cos(2x ＋π3)＋1≤2.∴当x ＝0时，函数y ＝2cos(2x ＋π3)＋1的最大值为2；当x ＝π3时，函数y ＝2cos(2x ＋π3)＋1的最小值为－1. (2)y ＝3cos 2x －4sin x ＋1＝3－3sin 2x －4sin x ＋1＝－3(sin 2x ＋43sin x )＋4＝－3(sin x ＋23)2＋163.又∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－23时，函数y ＝3cos 2x －4sin x ＋1的最大值为163；当sin x ＝1时，函数y ＝3cos 2x －4sin x ＋1的最小值为－3.8．解：(1)y ＝2sin(2x ＋π3)的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin X .列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin(2x ＋π3)2－2(3)法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象，再把y ＝sin(x ＋π3)的图象上的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x ＋π3)的图象，最后把y ＝sin(2x ＋π3)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象． 法二：将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin2(x ＋π6)＝sin(2x ＋π3)的图象；再将y ＝sin(2x ＋π3)的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象．9. 解： (1)y ＝3sin(12x －π4)的周期T ＝4π.振幅为3，初相为－π4.(2)在x ∈[0,4π]上确定关键点列表：x0 π2 3π2 5π2 7π2 4π 12x －π4 －π4π2 π3π2 7π4 3sin(12x －π4)－3220 3－3－322描点，作出以上各点 用平滑曲线连接各点，得y ＝3sin(12x －π4)在[0,4π]的草图．(3)法一：y ＝sin x 的图象π−−−−−−−→向右平移个单位长度4y ＝sin(x －π4)的图象――――――――――――→所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变y ＝sin(12x－π4)的图象――――――――――――→所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变y ＝3sin(12x －π4)的图象． 法二：y ＝sin x 的图象――――――――――――――→所有点的横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变y ＝sin 12x 的图象π−−−−−−−−→图像向右平移个单位长度2y ＝sin[12 (x －π2)]＝sin(12x －π4)的图象――――――――――――――→所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变y ＝3sin(12x －π4)的图象．10. 解：由图象可知A＝2，T＝8.∵T＝8，∴ω＝2πT＝2π8＝π4.法一：由图象过点(1,2)得2sin(π4×1＋φ)＝2，∴sin(π4＋φ)＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f(x)＝2sin(π4x＋π4)．法二：∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴f(x)＝2sin(π4x＋π4)．。

基础达标1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π6的图象( )．A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析 提取x 的系数－12得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，于是可得． 答案 A2．下列表示函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图正确的是( )．解析 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所有点向右平移π6个单位长度即得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A 中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 答案 A3．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2， 直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )． A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2解析 ∵最大值是4，故A 不符合题意． 又∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，故排除B.又4x ＋π3＝π2＋k π⇒4x ＝π6＋k π⇒x ＝π24＋k π4＝π3，所以k ＝76∉Z ，排除C ，故选D. 答案 D4．先作函数y ＝sin x 的图象关于y 轴的对称图象，再将所得图象向左平移π4个单位，所得图象的函数解析式是________．解析 作函数y ＝sin x 的图象关于y 轴的对称图象，其函数解析式为y ＝sin (－x )，再将函数y ＝sin (－x )的图象向左平移π4个单位，得到函数图象的函数解析式为：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4.答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π45．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________．解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.答案 x ＝－π66．(2012·宝鸡期末)如图所示的曲线是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．解析 由函数图象可知A ＝2，T ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π12＝π，即2πω＝π，∴ω＝2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0是五点法作图的第五个点，即2×5π6＋φ＝2π， ∴φ＝π3.∴所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π37．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象． 解 (1)依题意，A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π.∵T ＝2π|ω|＝π，ω>0， ∴ω＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)，又曲线上的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，⎝⎭8∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x 0 π8 38π 58π 78π π 2x ＋π4 π4 π2 π 32π 2π 9π4 y 12－21能力提升8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4解析 由题意可知，A ＝2，⎝⎭22∴ω＝2πT ＝2π4π＝12. ∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＝0. ∵－π<φ<π， ∴φ＝3π4，或φ＝－π4. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝－1，∴φ＝3π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，故选B.答案 B9．(2012·枣庄高一检测)关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )图象关于直线＝－π6对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)． 解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π(k ∈Z )． ∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴x 1－x 2是π2的整数倍， ∴①错误；对于②，由f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3可得f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴②正确；对于③，f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心． ∴③正确；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．∴④错误． 答案 ②③10．(2012·洛阳高一检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即函数f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )在x ＝0时取得最值．即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝π2. 由f (x )的图象关于点M 对称，可知 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数， 所以T ≥π，即2πω≥π， ∴ω≤2.又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. ∴φ＝π2，ω＝2或23.。

第一章 1.51．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20解析：函数y ＝sin x y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10――――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 答案：C2．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x －1 解析：y ＝sin 2x ――→向左平移π4个单位y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4――→向上平移1个单位y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝1＋cos 2x .答案：B3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图象，只需将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x －π6的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤－12⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴要得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图象，只需y ＝sin ⎝⎛ －12x －⎭⎫π6的图象向右平移π3个单位． 答案：B4．函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________________．解析：y ＝sin x ――→横坐标扩大3倍纵坐标扩大3倍y ＝3sin 13x ――→向右平移3个单位y ＝3sin 13(x －3)＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －1. 答案：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －15．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象？试叙述这一过程． 解：由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 6．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．解：据题意，y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.7．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin 12xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6. 答案：D8．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23 B.43 C.32D ．3 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2y 1＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2. ∵y 与y 1的图象重合，∴－4π3ω＝2k π(k ∈Z )．∴ω＝－32k .又∵ω＞0，k ∈Z ，∴k ＝－1时，ω取最小值为32.答案：C9．将函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，若把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位后得到的曲线与y ＝2sin x 的图象相同，则函数y ＝f (x )的解析式为________________________．＝－12cos 2x .答案：y ＝－12cos 2x10．(1)利用“五点法”画出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6在长度为一个周期的闭区间的简图．(2)说明该函数图象是由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的． 解：(1)先列表，后描点并画图.(2)把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象．或把y ＝sin x 的图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象．再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象．11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R )． (1)求f (x )的单调减区间．(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可) 解：(1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π2≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )．(2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度即可．12．将函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )的图象；将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )的图象． (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象； (2)判断方程f (x )＝g (x )解的个数．解：函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )＝lg(x ＋1)的图象，即图象C 1；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12－π6＝cos 2x 的图象，即图象C 2.(1)画出图象C 1和C 2如图所示．(2)由图象可知：两个图象共有5个交点．即方程f (x )＝g (x )解的个数为5.本节内容是在正弦函数图象的基础上，利用图象变换法学习函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，图象变换法揭示参数A、ω、φ的作用及函数之间的图象变换．1．三角函数图象变换的两种途径流程如下(其中A＞0，ω＞0，x∈R)：2．平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化，而不是“对角”，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x的系数改变，而不涉及φ.。