第15讲 函数y=sin(wx+ψ) 的图像性质及应用

第15讲 函数sin()y A wx ϕ=+的图像性质及应用第一部分 知识梳理1.函数sin()y A wx ϕ=+（0x >）的物理概念，振幅A ：表示震动时离开平位置的大距离；频率w ：表示单位时间内往返震动的次数；初像：ϕ；相位：wx ϕ+2. 函数sin()(0)y w k ϕ=±>的图象和函数sin y x =图像的关系（平移）；函数sin (0)y wx w => 的图像和函数y = sinx 图像的关系（周期变换）；函数sin (0)y A x A =>的图像和函数sin y x =图像（振幅变换）3. 作函数sin()y A wx ϕ=+的图像（1） 用“五点法”作图，用“五点法”作sin()y A wx ϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z wx ϕ=+，由z 取30,,,,222ππππ来求出相应的x ，同过列表，计算出五点坐标，描点后得出图像（2） 由函数sin y x =的图像通过变换得到sin()y A wx ϕ=+的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”4. 函数x y sin =的图象得到sin()(0,0)y A wx w ϕϕ=+>>的图象主要有下列两种方法①x y sin =（相位变换）→_______(周期变换) →________(振幅变换)→_________ ②x y sin =(周期变换)→________（相位变换）→________(振幅变换)→_________5. 函数sin()y A wx ϕ=+的性质① 函数sin()y A wx ϕ=+的周期可利用2T wπ=② 判断函数sin()y A wx ϕ=+(0A ω≠)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为sin (0)y A wx Aw =≠或cos (0)y A wx Aw =≠的形式。

③ 求sin()(0,0)y A wx A w ϕ=+>≠的单调区间，一般将wx ϕ+看成一个整体，代入sin y x =相关的单调区间对应的不等式，解之即得。

考点13 y=Asin(wx+ϕ)的图像与性质一、考纲要求1、了解三角函数的周期性，画出 y =sin x ， y =cos x ，y =tan x 的图像，并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ，2π ]，正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A ， ω ，φ 对函数图像变化的影响；能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图，能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 . 二、近五年江苏高考 1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点，对这部分内容的考查，高考中大多以中、低档题为主，主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题，要求学生熟练地掌握三角函数的图像，及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质，并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时，要重视化归思想的运用，即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理 三、考点总结：1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A ， ω ，φ 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。

2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。

四、近五年江苏高考试题 1、（2018年江苏卷） 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A >0，ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间；由求减区间.2、（2017年江苏卷）已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1) 因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0.于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2) f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.易错警示 从－3cos x ＝3sin x 推得tan x ＝－33，必须明确说明cos x ≠0.3、（2016年江苏卷）定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________． 【答案】 7解法1 由题意得sin2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝cos x ，从而cos x ＝0或sin x ＝12，因为x ∈[0，3π]，所以x ＝π6，π2，5π6，3π2，13π6，17π6，5π2，共7个不同的解，故y ＝sin2x 与y ＝cos x 在[0，3π]上共有7个不同的交点．解法2 如图，在同一个坐标系中，分别作出函数y ＝sin2x 与y ＝cos x 的图像，根据它们的图像可得它们在[0，3π]上共有7个不同的交点．五、三年模拟题型一 三角函数的性质1、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．【答案】 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1. 2、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ． 【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32c o s (±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！3、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．【答案】 π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.4、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 【答案】3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.5、(2017南通一调） 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3的最小正周期为________． 【答案】2π3【解析】由三角函数周期公式得T ＝2π3.6、(2018镇江期末）函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像两相邻对称轴的距离为________． 【答案】π2【解析】由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2.7、(2018苏北四市期末） 若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．【答案】.4【解析】由题意得函数f(x)的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.8、(2018苏锡常镇调研（二）） 已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ． 【答案】2π【解析】根据题意可得1)2sin()2(=+=ϕπf ，则ππϕπk 222+=+，.Z k ∈可得ππϕk 223+-=，Z k ∈，又因为πϕ20<<，所以当且仅当1=k 时.2πϕ=9、(2017苏北四市期末） 若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωπx －π6(ω＞0)的最小正周期为15，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为________． 【答案】－12【解析】因为函数f (x )的最小正周期为15，所以2πωπ＝15，ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫10πx －π6，f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫10π3－π6＝sin196π＝sin 7π6＝－12. 10、(2017无锡期末） 设函数f (x )＝sin 2x －3cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调增区间为________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤0，π3 【解析】 利用三角恒等变换公式将函数化为正弦型函数即可． f (x )＝1－cos2x 2＋3cos x sin x ＝12－12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π6≤x ≤π3，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 题型二 三角函数图像的变换1、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)， 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.解后反思 本题的关键是通过对直线与函数的图像分析，利用数形结合的思想将问题转化为函数图像的切线问题，然后利用导数的几何意义求解．2、(2018无锡期末）函数y ＝cos (2x ＋φ)(0<φ<π)的图像向右平移π2个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像重合，则φ＝________．【答案】π6【解析】函数y ＝cos (2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位长度后所得图像的函数是y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ＝cos (2x －π＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋φ，由题意可得－π2＋φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，故φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π，所以当k ＝0时，φ＝π6.3、(2018苏州暑假测试） 将函数y ＝sin (2x ＋φ)(0<φ<π)的图像沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝f(x)的图像，若函数y ＝f(x)的图像过原点，则φ的值是________． 【答案】34π【解析】由题意，f(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ，进而f(0)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，又因为0<φ<π，所以φ＝34π. 易错警示 由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再伸缩变换，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩变换再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．4、（2018南通、泰州一调） 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度．若平移后得到的图像经过坐标原点，则φ的值为________．【答案】 π6解法1(代入特殊点) 平移后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x －φ）＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ，因为函数图像过原点，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π3＝0，所以2φ－π3＝k π(k ∈Z )，则φ＝k π2＋π6，又0<φ<π2，所以φ＝π6. 解法2(函数的性质) 平移后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x －φ）＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ.因为函数图像过原点，则函数为奇函数，所以π3－2φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－k π2＋π6，又0<φ<π2，所以φ＝π6.5、(2017南京、盐城二模）将函数f (x )＝sin x 的图像向右平移π3个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为________． 【答案】 3【解析】化简，y ＝f (x )＋g (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＋sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6－π6＝3sin x －π6，故y ∈[－3，3]．6.(2017南京、盐城一模）将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.【答案】5π12【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为y ＝3sin2(x －φ)＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ.因为所得的函数为偶函数，所以π3－2φ＝k π＋π2，解得φ＝－k π2－π12(k ∈Z )，因为0＜φ＜π2，所以k ＝－1，得φ＝5π12. 7、（2017镇江期末） 将函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向左平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数图像关于y 轴对称，则φ＝________.【答案】 π8【解析】向左平移φ个单位长度后所得函数解析式为y ＝5sin ⎣⎡⎦⎤x ＋φ＋π4.因为其图像关于y 轴对称，所以2φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π8＋k π2，k ∈Z .又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π8.易错警示 由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再伸缩变换，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩变换再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．题型三 三角函数的解析式1、(2018南京学情调研）若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________．【答案】 －1【解析】由题意，A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫π－π4×4＝3π＝2πω，即ω＝23，解得2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以φ＝－π6，所以f (－π)＝2sin(－23π－π6)＝－1.解后反思 依图求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．2、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值． 【解析】 (1) 设f(x)的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π.又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x ＋φ)．(3分)因为点⎝⎛⎭⎫π12，2在函数图像上，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1. 因为－π2＜φ＜π2，即－π3<π6＋φ<2π3，所以φ＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(7分) (2) 由f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35. 因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45.(10分) 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 sin π3＝－45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝－33＋410.(14分) 解后反思 一般地，处理三角恒等变换中“知值求值”问题，需要树立用“已知角表示所求角”的意识．故本题需把所求角α拆成已知角α＋π3和特殊角π3的差，进而用两角差的余弦公式求解，并注意求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3时开方后正负号的取舍问题．3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα+-=，(0π)α∈，，求角α的值．【解析】（1）由条件知：周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分因为()f x 的图象经过点π(3，所以2πsin 3A =，所以1A =，所以()π()sin 3f x x =+． …… 6分（2）由π()()12f αα-=，得()()πππsin 1332αα+++-=， …… 8分即()()ππsin 133αα+-+=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分 因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分 【易错警示】这由1sin 2α=，求角α的值，会忽略(0π)α∈，的限制条件，出现少解或多解的错误现象.。

专题：三角函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像和性质一、知识点总结1、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 2、函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 3、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． ⑥函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-< 二、课前热身1.函数())4f x x π=-(x ∈R )的最小正周期为2. 满足21)4sin(=-πx 的x 的集合为_____3. 已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,||A ϕπ><）的一段图象如下图所示，则函数的解析式 ． 4. 要得到)32sin(π-=x y 的图像，只要将y=sin2x 的图像向___移动___单位 5. 函数y=cos(2x-3π) 的单调递增区间是____________________ 6. 若函数()3sin 2f x x ω=+（0ω>）在区间3,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是 ___7. 函数y=3sin （2x-6π）-2（2π≤x ≤32π）的值域为___________8. 关于函数()4sin(2)3f x x π=+（x R ∈），有下列命题① 由12()()0f x f x ==得12x x -必是π的整数倍； ② ()y f x =的表达式可改为()4cos(2)6f x x π=-；③ ()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；④ ()y f x =的图象关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、典例分析例1：函数sin(A y =ωx )ϕ++B （0,0,>><ωπϕA ）的最大值为22，最小值为-2，周期为32π，图象过点（0，42-），求此函数解析式例2：已知函数)2,0[],21,23[,1sin 2)(2πθθ∈-∈-+=x x x x f （1）当6πθ=时，求f(x)的最大值和最小值；（2）求θ的范围，使f(x)在区间]21,23[-上是单调递减函数。

sin()y A x ωϕ=+的图象与性质【知识要点】1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ω π－φω 3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2 π 3π22π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤3.三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．【课前小练】1.为了得到函数2sin(),36x y x R π=+∈的图象, 只需把函数2sin ,y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变) B ．向右平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C ．向左平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)2.函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A ．2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π3.（2015高考陕西 理3）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．104.函数y=sin （2x+φ）的图象沿x 轴向左平移 8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ 的一个可能的值为（ ）3.4A π .4B π C.0 .4D π-【例题解析】考点一 五点法作y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 图像例1： （2015高考湖北 理17）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+ 055-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.变式1：（2014—2015武汉重点中学期末联考）设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是8x π=（Ⅰ）求函数()y f x =的单调增区间； （Ⅱ）画出函数()y f x =在区间[]0,π上的图象.考点二：函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，特殊点带入.例2： （2015高考新课标1 理8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B.13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈变式2：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则)0(f 的值是________．变式3：已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ）D.C.B.A.2π2π2π2πππππ2221111OOO O y y y y xxxx变式4：函数()ϕω+=x y sin 的部分图象如右图，则ϕ、ω可以取的一组值是（ ） A. 2πω=，4πϕ=B. 3πω=，6πϕ=C. 4πω=，4πϕ=D. 4πω=，45πϕ=考点三：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像变换例3： （2015高考山东 理3）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位变式5：要得到cos(3)4y x π=-的图象，则需要把将sin(3)4y x π=-的图象向左平移的距离最短的单位为_______变式6：要得到函数2cos y x =的图象，只需将函数2sin(2)4y x π=+的图象上所有的点的 A 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4π个单位长度 C 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4π个单位长度 D 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度考点四：)sin(ϕω+=x A y 型函数的图象与性质的综合应用例4： 函数 )62sin(3)(π+=x x f 的部分图象如图所示.（1）写出)(x f 的最小正周期及图中00,y x 的值； （2）求)(x f 在区间]12,2[ππ--上的最大值和最小值.变式7：已知函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图像上一个最低点为)2,32(-πM .（1）求)(x f 的解析式； （2）当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求)(x f 的值域.考点五：)sin(ϕω+=x A y 型函数的应用举例例5： 为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？变式8：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。

函数 y A sin(x)( A0,0) 的图象【学习目标】 1 、理解y A sin(x)( A0,0)函数中 A, ,的涵义 ;2 、能依照y A sin(x)( A0,0) 的局部图象求出其中的参数，并能简单应用 ;3 、浸透数形结合思想，一题多解、一题多变思想.【学习重点】三角函数的图形变换及相关题型的求解.【学习难点】图形求参数，其中参数φ的求解.一、自主学习1 、假设函数y A sin( x)( A 0,0) 表示一个振动量，那么这个振动的振幅为，周期为，初相为，频率为，相位为．2、“五点法〞作图“五点法〞作y A sin( x) 的简图，主若是经过变量代换，设z x由 z 取，，，，来求出相应的x，经过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.2 、平移变换：由函数y sin x 的图象经怎样的变换可获取函数y sin( x) b 的图象？．3 、伸缩变换：〔纵向伸缩〕由函数y sin x 的图象经怎样的变换可获取函数y A sin x( A0)的图象？．4 、伸缩变换：〔横向伸缩〕由函数y sin x 的图象经怎样的变换可获取函数y sin x(0)的图象？．5 、函数y sin x 象到函数 y A sin( x)( A 0,0) 的图象变换.画出 y sin x 的图象画出y sin x 的图象获取 y sin( x) 的图象获取y sin x 的图象获取 y sin( x) 的图象获取y sin( x) 的图象6 、怎样依照条件求函数y Asin( x )( A 0, 0) 的解析式？二、课前热身1 、函数 y2sin(3 x ) 的振幅是，相位是 ，初相是 ，周期是 ．72、为了获取函数y cos( x 3), x R 的图象，只要把余弦曲线上所有的点向〔左或右〕平行搬动个单位长度 .3 、要获取函数 y sin(2 x ) 的图象，只要 y sin 2x 的图象向 〔左或右〕平行搬动3个单位长度 .4 、把函数 y sin(2 x ) 的图象向右平移 个单位后，所得图象对应函数解析式为 .635、要获取函数 y sin(x) 的图象，可由 y sin(x) 的图象向〔左或右〕平行移2 62动个单位长度 .1 6 、把函数 ysin x 的图象上所有的点的纵坐标变为原来的倍〔横坐标不变〕 所得图象的解3析式为.7 、将函数 y sin x 的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标变3为原来的 5 倍，那么最后所得图象的解析式为.三、典型例题解析例 1 、作出函数 y 3sin(2 x ), x R 的简图，说明它与 y sin x 图象之间的关系 .3变式练习：函数y 3sin( 1x )〔 1 〕用五点法作出函数的图象；2 4（ 2 〕说明它由 y sin x 图象经过怎么样的变化获取的；（ 3 〕求此函数的振幅、周期和初相； 〔4 〕求此函数的对称轴、对称中心坐标。

高中数学：“剖析”函数y=asin（wxφ）的图像及性质“老师，为什么我用五点法作图，总是会出错呢？不是这里错，就是那里错！”“老师，我觉得在高中数学函数y=Asin(wx+φ)中，函数图像的变化是最容易错的，很多时候我都把几倍的变换弄成是几分之一的变换，真是头都大了！”“老师，有的题目稍微复杂一点，我就连解析式都求不出来了。

”……在高中数学中，函数y=Asin(wx+φ)的相关知识确实是很难，不仅要考虑的东西非常多，而且很多知识点都非常容易弄错。

在本省重点中学从事高中数学教学13年，教学实践还算是有些丰富，一直以来，这个知识点都是同学们最大的难点，我总是会话最多的时间去讲评、去给同学们做练习。

但是，同学们的吸收效率还是非常不理想，于是，我就自己花时间去总结。

学过这个内容的同学都知道，这个知识点的复杂以及考题的多变，很多时候类似的题目，同学们的答题效果也是非常不理想。

为了帮助同学们更好的学习，让同学们掌握方法才是关键，我自己抽出时间来总结了这个知识点。

我总结出了高中数学中国年y=Asin(wx+φ)的三个考点，并且选择了典型的例子给同学们讲解。

高中数学中，y=Asin(wx+φ)的考题变幻无常，同学们看了我举的例子以后一定要自己在做一些练习，强化一下，相信同学们一定会有所进步的。

一、用“五点法”作函数y=Asin(wx+φ)(A>0,W>0)的图像。

五点，及最高点、最低点以及与坐标轴的三个交点，凭这五点，即可完成一个函数图像的绘制。

这是解答函数题目的一个非常重要的步骤，考得最多。

二、三角函数图象的变换。

在高中数学中，函数图像的变换也是非常常考的点，在这一部分，同学们一定要分清楚w和φ不同倍数时的纵坐标和横坐标的变化。

三、函数y=Asin(wx+φ)的物理意义。

在高中数学的函数中，y=Asin(wx+φ)的物理意义比较简单，主要就是考它的周期和振幅、频率及相位。

以上三个就是高中数学中，函数y=Asin(wx+φ)的考点，同学们一定要把这3点吃透，这样在考试之中也会轻松很多。

函数(x)Asin(x )f ωϕ=+的图像及三角函数模型的简单应用一、选择题二、1.（2014·浙江高考文科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像（ ）A ．向右平移12π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位【解题提示】 由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.【解析】选A.因为sin3cos3)4y x x x π=+=-，故只需将y x =的图象向右平移12π个单位即可.2.（2014·浙江高考理科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位D.向左平移12π个单位【解题指南】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.【解析】选D.因为sin3cos3)4y x x x π=+=+，故只需将x y 3sin 2=的图象向左平移12π个单位即可.3.（2014·安徽高考文科·Ｔ7）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A.8π B.4π C.83π D.43π【解题提示】平移后得到的函数是余弦函数。

【解析】选C ，将函数()sin 2cos 2sin(2)4f x x x x p=++的图像向右平移ϕ个单位，所得函数为())](2)]44f x x xp pj j-+=+-，其图像关于y轴对称，则()2f x x=，所以2=+42kp pj p-，所以ϕ的最小正值是38p.4.（2014·四川高考理科·Ｔ3）为了得到函数)12sin(+=xy的图象，只需把函数xy2sin=的图象上所有的点（）A.向左平行移动21个长度单位 B. 向右平行移动21个长度单位C.向左平行移动1个长度单位D. 向右平行移动1个长度单位【解题提示】xy2sin=−−−−−−−−→1向左平行移动个长度单位21sin[2()1]2y x=++sin(21)x=+.【解析】选 A. 将xy2sin=的图象上所有的点向左平行移动21个长度单位得到函数1sin[2()1]2y x=++sin(21)x=+.故选A.5.（2014·四川高考文科·Ｔ3）为了得到函数sin(1)y x=+的图象，只需把函数siny x=的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度【解题提示】siny x=−−−−−−−−→向左平行移动1个长度单位sin(1)y x=+.【解析】选A. 只需把siny x=的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得到函数sin(1)y x=+的图象，选A.二、填空题6.（2014·上海高考文科·Ｔ12）[]sin10,2______.x xπ=方程在区间上的所有解的和等于【解题提示】ωϕ首先将左边函数化为Asin(x+)的形式，再根据三角函数的图像特点可求.【解析】152sin()1,sin(),2+332366117.2637.3x x x xππππππππππ=+=+=+=令所以即或解得x=或，所以所有解的和为答案：7.（2014·重庆高考文科·Ｔ13）将函数()sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭ 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到sin y x = 的图象，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解题提示】先根据三角函数图象变换求出,ωϕ的值，然后求出实数6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解析】函数()sin()f x x ωϕ=+ 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，则函数变为sin(2)y x ωϕ=+，再向右平移6π个单位长度得到的函数为sin 2sin 2sin 63y x x x πωωϕωπϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以212,3k k Z ωωπϕπ=⎧⎪⎨-+=∈⎪⎩ 又因为0,22ππωϕ>-≤<可求得1,26πωϕ== ，所以1()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以1sin sin 62664f ππππ⎛⎫⎛⎫=∙+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：三、解答题8. (2014·湖北高考文科·T13)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h )的变化近似满足函数关系: f (t ),t ∈[0,24). (1)求实验室这一天上午8时的温度. (2)求实验室这一天的最大温差. 【解题指南】(1)将f (t )=10-cosπ12t-sint 化为y=Asin (ωx+φ)+b 的形式,然后代入x=8求值. (2)由(1)可求得这一天的温度最大值和最小值,进而求得最大温差.【解析】(1)f (8)cos-sin π812⨯() =10-cos 2π3-sin 2π3=10. 故实验室上午8时的温度为10℃.(2)因为f (t )=π1π10sin )12212t t -+ =10-2sin ππ()123t +.又0≤t<24, 所以t+π3<7π3,-1≤sin ≤1. 当t=2时,sin=1; 当t=14时,sin=-1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.9. （2014·湖北高考理科·Ｔ17）某实验室一天的温度（单位：oC ）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系：(t)10sin,[0,24).1212f t t t ππ=-∈(1) 求实验室这一天的最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于11oC ，则在哪段时间实验室需要降温？【解题指南】（Ⅰ）将ππ()10sin 1212f t t t =-化为错误！未找到引用源。

函数y=asin(wx+φ)的性质及简单应用
函数y=asin(wx+φ)是一个常见的三角函数，它的参数包括w，x和φ，它是一个周期函数，函数值在-π/2到π/2之间周期
变化。

其中，w，x和φ分别代表的是角频率、时间和初相。

角
频率是一个值，它指定了函数y的一个周期，它有助于确定函数y在某一时刻的值。

时间x指的是函数的变化的时间，它是函数y的自变量，而初相φ则指定了函数y在x=0时的值，它决定了函数y在不同时刻的分布情况。

因此，函数y=asin(wx+φ)是一个周期函数，它具有规律的变化特性，可以用来描述某些事物的变化规律。

例如，它可以用来描述摆的运动，由于摆的运动是一种周期性的运动，因此可以用函数y=asin(wx+φ)来描述它的运动规律，它的参数w、
x和φ分别可以用来表示摆的运动的角频率、运动时间和初相，从而可以用它来描述摆的运动规律。

此外，函数y=asin(wx+φ)还可以用来描述正弦波的变化，它可以用来表示正弦波的波形，正弦波在工程中有着广泛的应用，例如在电子技术中，它常用来表示电压、电流和功率的变化，它还可以用来描述水波的运动规律，它的参数w、x和φ
分别可以用来表示水波的频率、运动时间和初相，从而可以用它来描述水波的运动规律。

总之，函数y=asin(wx+φ)是一个常见的三角函数，它的参数w、x和φ分别可以用来描述物体的周期性变化，可以用来描述摆的运动和正弦波的变化，也可以用来描述水波的运动规律，因此它是一个重要的数学函数，广泛应用于工程中。