15函数y=Asin(wx+p)的图象

第四节 函数)sin(ϕω+=x A y 的 图像及三角函数模型的简单应用1．函数)sin(ϕω+=x A y 的有关概念2．用五点画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图用五点画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．3．函数x y sin =的图像经变换得到)sin(ϕω+=x A y 的图像的步骤如下4．三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型，课前热身1．函数)32(π-=x ms y 在区间],2[ππ-上的简图是图中的( )2．要得到函数x y 2sin 3=的图像，可将函数]42cos(3=-=πx y 的图像 ( )A ．沿x 轴向左平移⋅8π个单位长度 B ．沿x 轴向右平移8π个单位长度C ．沿x 轴向左平移4π个单位长度D ．沿x 轴向右平移4π个单位长度3．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图像如图则 （ ）4,2.πϕπω==A 6,3.πϕπω==B 4,4.πϕπω==c 45,2.πϕπω==D4．若函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA m x A y 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为,2π直线3π=x 是其图像的一条对称轴，则它的解析式是 ( ))64sin(4π+=⋅x y A 2)32sin(2++=⋅πx y B2)34sin(2++=⋅πx y C 2)64sin(2++=⋅πx y D5．弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s 与时间t 之间的关系式为),421sin(10π-=t s),,0[+∞∈t 则弹簧振动的周期为 ，频率为 ，振幅为____，相位是____，初相是 ．课堂设计题型一 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像【例1】已知函数⋅+=)32sin(2πx y(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像； (3)说明)32sin(2π+=x y 的图像可由x y sin =的图像经过怎样的变换而得到．题型二 由图像求三角函数的解析式及对称元素【例2】已知函数++=)sin()(ϕωx A x f )2||,0,0(πϕω<>>A b 的图像的一部分如图所示．(1)求)(x f 的表达式；(2)试写出)(x f 图像的对称轴方程； (3)求)(x f 图像的对称中心，题型三 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质的综合问题【例3】 已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )2||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如图所示．(1)求函数)(x f 的解析式； (2)令),67()(π+=x f x g 判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由，技法巧点1．图像变换的一般规律(1)平稳变换：①沿x 轴平移时，由)(x f y =变为)(ϕ+=x f y 时，“左加右减”即,0>ϕ左移；,0<ϕ右移， ②沿y 轴平移：由)(x f y =变为k x f y +=)(时，“上加下减”即,0>k 上移；,0<k 下移． (2)伸缩变换：①由x 轴伸缩：由)(x f y =变为)(x f y ω=时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的||1ω倍②沿y 轴伸缩：由)(x f y =变为)(x Af y =时，点的横坐标不变，横坐标变为原来的｜A ｜倍． 2．确定b x A y ++=)sin(ϕω的解析式的步骤 (1)求A ，b ．确定函数的最大值M 和最小值m ， 则⋅+=-=2,2mM b m M A(2)求w 确定函数的周期T ，则,2Tπω= 由图像可观察出4432T T T T 、、、等． (3)求鼽常用方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入1.)sin(++=ϕωx A y （此时，A ，w ，b 已知）或代入图像与直线b y =的交点求解．此法适用于ϕ的范围已知的情况． ②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点”中的第一零点)0,(ωϕ-作为突破口．具体如下：失误防范1．由函数)(sin R x x y ∈=的图像经过变换得到函数=y )sin(ϕω+x A 的图像，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把z 前面的系数提取出来．2．函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．3．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法，函数=y )0,0)(sin(>>+ωϕωA x A 的单调区间的确定，基本思想是把φω+x 看做一个整体，在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性，随堂反馈1．已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图像不可能是 ( )2．使奇函数)2(3)2sin().(θθ+∞++=x s x x f 在]0,4[π-上为减函数的护的值为 ( )3.π-A 6.π-B 65.πc 32.πD 3．若函数,,sin )2cos 1()(2R x x x x f ∈+=则)(x f 是 （ ）A ．最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数4．电流I(A)随时间)(s t 变化的函数)sin(ϕω+=t A I )20,0,0(πϕω<<>>A 的图像如图所示，则当s t 1001=时，电流是( )A A 5.- AB 5. AC 35. AD 10.5．若),0(1)sin()(πϕωϕω<>++=x A x f 对任意实数t ，都有),3()3(ππ+-=+t f t f 记,1)cos()(-+=ϕωx A x g 则=)3(πg课后作业一、选择题1．已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的部分图像如图所示，则( )6,1.πϕω==A 6,1.πϕω-==B 6,2.πϕω==c 6,2.πϕω-==D2．已知)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的图像与1-=y 的图像的相邻两交点间的距离为π ，要得到)(x f y =的图像，只需把x y 2cos =的图像 ( )A ．向右平移⋅12π个单位 B ．向右平移⋅125π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移125π个单位3．将函数x y 2sin =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( ) x y A 2cos 2=⋅ x y B 2sin 2=⋅ )42sin(1π++=⋅x y C x y D 2cos =⋅4．关于函数),42sin()(π-=x x f 有下列命题：①其表达式可写成)42cos()(π+=x x f ；②直线8π-=x是)(x f 图像的一条对称轴；③)(x f 的图像可由x x g 2sin )(=的图像向右平移4π个单位得到；④存在∈α),,0(π使)3()(α+=+x f a x f 恒成立，其中真命题为( )A ．②③ B．①② C ．②④ D．③④ 5．已知函数)20,0()sin()(πϕωϕω<<>++=h x A x f 的图像如图所示，则=)(x f ( )2)42sin(4.++πx A 2)42sin(4.+--πx B 4)42(2.++πx ms C 4)42sin(2.++-πx D6.函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π，且其图像向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 的图像 ( ) A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点125π=x 对称C ．关于点)0,125(π对称 D ．关于点12π=x 对称 二、填空题7．函数ϕωϕω,,)(sin()(A x A x f +=为常数，）0,0>>ωA 的部分图像如图所示，则)0(f 的值是8．已知函数),0)(sin()(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图像如图所示，则=)(x f 9．若将函数)3sin(2ϕ+=x y 的图像向右平移4π个单位后得到的图像关于点)0,3(π对称，则｜ϕ｜的最小值是三、解答题 10．已知函数+=ϕsin 2sin 21)(x x f )2sin(21cos 2ϕπϕ+-∞x s ),0(πϕ<<⋅其图像过点⋅)21,6(π (1)求ϕ的值；(2)将函数)(x f y =的图像上各点的横坐标缩短到原来的,21纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g 在]4,0[π上的最大值和最小值.11．已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω（其中,0,0>>ωA )20πϕ<<的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为,2π且图像上一个最低点为⋅-)2,32(πM (1)求)(x f 的解析式； (2)当]2,12[ππ∈x 时，求)(x f 的值域．12．已知函数)0(1)cos (sin cos 2)(>+-=ωωωωx x x x f的最小正周期为π. (1)求函数)(x f 图像的对称轴方程和单调递减区间； (2)若函数，)4()()(x f x f x g --=π求函数)(x g 在区间]43,8[ππ上的最小值和最大值.。

6.3函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质课标解读：1. 求一般三角函数的周期，通过简单的三角变化可化为形如)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的函数情形；2. 研究函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像，再讨论函数的性质，进一步理解ϕω,,A 的物理意义及其对图像的影响；3. 了解三角函数的实际应用；能利用周期性去观察和解释一些自然现在，并能做出一些预测。

目标分解：1. 函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的性质： (1)定义域是R ；(2)值域],[A A -(3)单调区间，在区间)](22,22[Z k k k ∈-+--ωϕππωϕππ上是曾函数，在区间)](232,22[Z k k k ∈-+-+ωϕππωϕππ上是减函数。

(4)奇偶性：当2ππϕ+=k 时是偶函数，当πϕk =时是奇函数，当2πϕk ≠时是非奇非偶函数)(Z k ∈；(5)周期性：是周期函数且最小正周期为ωπ2=T ；(6)对称性：关于点)0,(ωϕπ-k 中心对称，关于直线ωϕππ-+=2k x 轴对称。

2. 函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的变化：(1))1,0(sin ≠>=A A x A y 由x y sin =的图像上没一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍)1A (时当>或缩短到原来的A 倍)1A (时当<，A 称为振幅。

(2)x y ωsin =，当1>ω时，由x y sin =的图像沿x 轴向原点压缩；当10<<ω时，由x y sin =的图像沿x 轴向原点的两侧拉长。

ω称为角频率，周期T 的倒数πω21==T f 称为频率，表示简谐振动在单位时间内往复振动的次数。

(3) )sin(ϕ+=x y 可由x y sin =的图像向左)0(时当>ϕ或向右)0(时当<ϕ平移||ϕ个单位得到。

三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质高考考纲解读：三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。

本节课的指导思想是以2015湖北高考17题为典型母题，在此基础上进行了三个变式，分散考点，逐步加深对知识的理解，帮助学生掌握解题技能。

教学目标：掌握五点作图法作出三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像 理解三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像和性质。

教学重点：三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像伸缩变换和性质。

教学难点：解决三角函数的综合问题 教学手段：合作学习，讲练结合 教学过程： （一）高考考纲解读函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。

（二）高考母题引领三角函数)sin(ϕω+=x A y 复习母题鉴析(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．选题意义：本题叙述简洁明了，不拖泥带水．题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切．试题一共设置了两问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简局表哥约而不简单的命题风格．本题所包含的主要数学知识有：五点作图法、三角函数的图像变换、由图表求三角函数解析式，三角函数的性质等；所涉及的数学思想有换元思想、整体代换思想和函数与方程思想等；考查的主要数学技能有数学运算和逻辑推理。

博兴二中高一数学必修四 课后巩固案
课题：函数y=Asin(wx+ϕ)的图象 班级： 姓名： 日期：
1.选择题：已知函数3sin()5y x π=+
的图象为C （1）为了得到函数3sin()5y x π
=-的图象，只要把C 上所有的点（ ）
A 向右平行移动
5π个单位长度 B 向左平行移动5
π个单位长度 C 向右平行移动25π个单位长度 D 向左平行移动25
π个单位长度 （2）为了得到函数3sin(2)5
y x π=+的图象，只要把C 上所有的点（ ） A 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B 横坐标伸长到原来的12
倍，纵坐标不变 C 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D 纵坐标伸长到原来的12
倍，横坐标不变 （3）为了得到函数4sin()5
y x π=+的图象，只要把C 上所有的点（ ） A 横坐标伸长到原来的43倍，纵坐标不变 B 横坐标缩短到原来的34
倍，纵坐标不变 C 纵坐标伸长到原来的43倍，横坐标不变 D 纵坐标缩短到原来的34倍，横坐标不变 2. 完成下列填空
⑴函数y = 3cos(x+
4π)图像向左平移3
π个单位所得图像的函数表达式为 ； ⑵函数y = sin2x 图像向右平移125π个单位所得图像的函数表达式为 ； ⑶函数y = 2log a 2x 图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式 。

3.指出函数1
3cos()24y x π=+的图象是如何由函数cos y x =的图象而得到的？。

第4讲 y=Asin(wx+φ)的图像与性质一、知识梳理1．形如sin()y A x ωϕ=+的函数：（1）几个物理量：A ― ；1f T=― ； x ωϕ+― ；ϕ― ；（2）函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，（3）函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得 的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到 函数的图象；③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到 的图象。

要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位， （5）研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。

二、典型例题1、将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）． A ．cos y x =- B ．sin 4y x = C ．sin()6y x π=-D ．sin y x =2.余弦函数的图象向右平移几个单位即得到正弦函数的图象 （ ） A.2π B.π C 32π D.2π 3．将函数x y 4sin =的图像向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图像，则ϕ等于 A 、12π- B 、3π-C 、3πD 、12π4．我们知道，函数sin 2y x =的图象经过适当变换可以得到cos2y x =的图象，则这种变换可以是A ．沿x 轴向右平移4π个单位 B ．沿x 轴向左平移4π个单位 C ．沿x 轴向左平移2π个单位D ．沿x 轴向右平移2π个单位5.已知函数2sin()(0)y x ωϕω=+>)在区间[]02π，的图像如下：那么ω＝（ ） A ．1B ．2C ．21 D ．316．函数)0,0)(sin(πϕϕω<<>+=A x A y 的图像的两个相邻零点为)0,6(π-和(,0)2π，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为（ ） A 、)423sin(2π+=x y B 、)42sin(2π+=x yC 、)623sin(2π+=x yD 、)62sin(2π+=x y7．若函数()sin()f x x ωϕ=+的图像（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是（ ） A 、1,3πωϕ==B 、1,3πωϕ==-C 、1,26πωϕ== D 、1,6πωϕ==-x课后作业1．将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）．A ．cos y x =-B ．sin 4y x =C ．sin y x =D ．sin()6y x π=-2．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ）A 0 B4π C 2πD π 3.要得到tan y x =图象，只需将tan 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 （ ）A.向左平移6π个单位 B.向左平移12π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向右平移12π个单位 4.函数y =tan(2x +6π)的图象可由函数y =tan2x 的图象怎样得到 （ ） A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 5.将函数x y sin =的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变、再将所得函数图象向左平移6π个单位，得到函数()x f y =的图象则()x f 的解析式为( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛+=63sin πx y B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23sin πx y C.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=183sin πx y D.⎪⎭⎫⎝⎛+=63sin πx y 6.把函数⎪⎭⎫⎝⎛+=342cos πx y 的图象向右平移()0>φφ个单位、所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值为( )A.6πB.3πC.32πD.34π。