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课时跟踪检测(二十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·滨州一模)把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位，得到的函数图像的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 2．(2013·全国大纲卷)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图，则ω＝( )A ．5B ．4C ．3D ．23．(2014·威海高三期末)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位后所得函数图像的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C.12D.324．(2013·福建高考)将函数f (x )＝sin (2x ＋θ) ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6C.π2D.π65.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎝⎛⎭⎫π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.7．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图像．8．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·长春调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图像如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．2．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式．(2)在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不正在，请说明理由．3．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选A 由y ＝sin x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x . 2．选B 由函数的图像可得T 2＝12·2πω＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4，解得ω＝4. 3．选A 由函数f (x )的图像向左平移π6个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图像，因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π20，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，23π， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 4．选B 因为函数f (x )的图像过点P ，所以θ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；又函数f (x )的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32，所以φ可以为5π6. 5．解析：由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又函数图像经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f (0)＝2sin π3＝62.答案：626．解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. 答案：20.57．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图像如图所示．8．解：(1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝ 2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题中图像得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 2．解：(1)由T ＝2知2πω＝2得ω＝π.又因为当x ＝13时f (x )max ＝2，知A ＝2.且13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 故φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋2k π＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. (2)存在．令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k ＋13(k ∈Z )．由214≤k ＋13≤234.得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5. 故在⎣⎡⎦⎤214，234上存在f (x )的对称轴， 其方程为x ＝163.3．解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小， 当x ＝8时f (x )最大， 故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝－1， 且sin ⎝⎛⎭⎫8×π6＋φ＝1. 又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300. (2)由条件可知，200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400，化简，得 sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z . 因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x＝6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．。
【优化总结】2013高考数学总复习 1-5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象 新人教版1．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 解析：函数y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π10――――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10. 答案：C2．若直线y ＝a 与函数y ＝sin x 的图象相交，则相邻的两交点间的距离的最大值为( ) A.π2B ．π C.32π D ．2π解析：所求最大值，即为y ＝sin x 的一个周期的长度2π. 答案：D3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝5π4解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象的对称轴方程为2x ＋5π2＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝－π＋k π2，k ∈Z.当k ＝1时，x ＝－π2.故选A. 答案：A4．y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的振幅为______，周期为______，初相φ＝______.解析：y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋23π， 故振幅为2，周期为23π，初相为23π.答案：2 23π 23π5．将函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，若把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位后得到的曲线与y ＝2sin x 的图象相同，则函数y ＝f (x )的解析式为________________________．解析：y ＝2sin xy ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－12cos 2x .答案：y ＝－12cos 2x6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象如图，求函数的表达式．解：由函数图象可知A ＝1，函数周期T ＝2×[3－(－1)]＝8， ∴ω＝2πT ＝π4，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0， ∴π4＋φ＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π4(k ∈Z)， 而|φ|＜π2，∴φ＝－π4，∴函数的表达式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4.(时间：30分钟 满分：60分)知识点及角度难易度及题号基础 中档 稍难 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 1、6、8 2 10 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 3 9 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用 45、7、91．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝2sin 2x解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x ，故选B.答案：B2．为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6.由题意知，要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象只需将y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度．答案：A3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4解析：由⎩⎨⎧ ω×1＋φ＝π2，ω×3＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π4.φ＝π4.答案：C4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称点中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．f (x )的最大值是A解析：∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.又∵f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，∴2×2π3＋φ＝3π2＋k π，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2.又当x ＝5π12时， 2x ＋π6＝π，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0是f (x )的一个对称中心．答案：C二、填空题(每小题4分，共12分)5．若函数y ＝sin(2x ＋θ)的图象向左平移π6个单位长度后恰好与y ＝sin 2x 的图象重合，则θ的最小正值为________．解析：y ＝sin (2x ＋θ)的图象――――――――→向左平移π6个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ＝sin 2x ， ∴π3＋θ＝2k π，即θ＝2k π－π3(k ∈Z)， ∴θ的最小正值为2π－π3＝53π.答案：53π6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)．f (x )的图象的相邻最高点和最低点的横坐标相差π2，初相为π6，则f (x )的表达式为________________． 解析：由题意知．T ＝2·π2＝π，则ω＝2πT ＝2ππ＝2，φ＝π6.∴表达式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 7．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R)有下列命题，其中正确的是________．①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；②y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．解析：∵4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴①正确，②④不正确，而③中f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是对称中心．答案：①③三、解答题8．(10分)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ 解：(1)列表：2x ＋π40 π2 π 3π2 2π x －π8π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点、连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图象向左(右)平移k π(k ∈Z)个单位，即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象． (2)y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4―――――――――――→所有点向上平移1个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 9.(10分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω＞0，|φ|＜π)在一个周期内的图象如图所示，(1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间．解：(1)由图得A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2， 故y ＝2sin(2x ＋φ)． 又2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2×π12＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝1，∴φ＝2k π＋2π3，k ∈Z.又|φ|＜π，∴φ＝2π3得函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. (2)令z ＝2x ＋2π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)． 由－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π得－7π12＋k π≤x ≤－π12＋k π(k ∈Z)， 所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z)．10．(12分)将函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )的图象；将函数y ＝cos(2x －π6)的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )的图象．(1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象； (2)判断方程f (x )＝g (x )解的个数．解：函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )＝lg(x ＋1)的图象，即图象C 1；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－π6＝cos 2x 的图象，即图象C 2.(1)画出图象C 1和C 2的图象如图所示．(2)由图象可知：两个图象共有7个交点．即方程f (x )＝g (x )解的个数为7.。
