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《圆周角》讲义一、引入在我们探索圆的世界时，圆周角是一个非常重要的概念。
想象一下，你在操场上跑步，绕着圆形跑道，从不同的位置观察圆心，角度会有所不同。
这些角度与圆的关系，就是我们今天要研究的圆周角。
二、圆周角的定义圆周角指的是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
比如，在圆O 中，点 A 在圆上，角 AOB 就是一个圆周角。
需要注意的是，圆周角的两个边必须与圆相交，仅仅顶点在圆上是不够的。
三、圆周角定理圆周角定理是圆周角这一知识体系中的核心内容。
它指出：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
让我们通过一个例子来理解。
在圆 O 中，弧 AB 所对的圆心角是∠AOB，所对的圆周角有∠ACB。
根据圆周角定理，∠ACB ＝1/2∠AOB。
这个定理的证明可以通过多种方法来完成，这里我们先不展开讨论。
四、圆周角定理的推论1、同弧或等弧所对的圆周角相等在同一个圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆周角也相等。
比如，在圆 O 中，弧 AB ＝弧 CD，那么∠AEB ＝∠CFD。
2、半圆（或直径）所对的圆周角是直角半圆所对的圆心角是 180°，所以它所对的圆周角就是 90°。
如果圆中有一条直径，那么它所对的圆周角一定是直角。
例如，在圆 O 中，AB 是直径，那么∠ACB ＝ 90°。
这个推论在解决很多与圆相关的几何问题时非常有用。
3、 90°的圆周角所对的弦是直径如果一个圆周角是 90°，那么它所对的弦一定是圆的直径。
这是上述推论的逆定理。
五、圆周角的应用圆周角的知识在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。
在建筑设计中，设计师常常需要利用圆周角的知识来确保圆形结构的稳定性和对称性。
在数学问题中，比如求圆内接三角形的边长、角度等，圆周角定理及其推论可以帮助我们找到解题的关键。
例如，已知一个圆的半径为 r，圆内接三角形的一个圆周角为 60°，求三角形的边长。
圆的性质与圆周角定理中考内容中考要求ABC圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题；能用垂径定理解决相关问题 能运用圆的性质解决有关问题 圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角 会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎩弦圆的性质弧圆心角圆的性质与圆周角定理圆周角定理一、弧、弦、圆心角的关系1. 弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．【注意】因为一条弦对的弧有两条，所以由弦等得出弧等时，这里的弧等指的是弦对的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。
【补充】“圆心角、弧、弦和弦的弦心距”四组量中，有一组量对应相等，其他的三组量也对应相等，换言之为“四有一推三”，但当用到“弦心距”时，需要用全等先证明再用。
二 、圆周角定理1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．中考考纲知识精讲知识网络图【注意】在应用定理时，一定要保证“同弧或等弧”的前提。
【定理的证明】在⊙O 中，同一弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有三种情况，如图1。
应分三种情况进行讨论。
(3)(2)(1)图1AB CDOABCOOD CBA如图1，已知：在⊙O 中,BC 所对的圆周角是BAC ∠，圆心角是BOC ∠。
求证：12BAC BOC ∠=∠ 证明：由圆周角在圆内的位置关系，分三种情况讨论。
（1） 圆心O 在BAC ∠的一条边上（如图1-（1））12OA OC C BAC BAC BOC BOC BAC C =⇒∠=∠⎫⇒∠=∠⎬∠=∠+∠⎭（2） 圆心O 在BAC ∠的内部，（如图1-（2）），作直径AD ，由（1）得出结论得：1112()1222BAD BOD BAD DAC BOD DOC BAC BOC DAC DOC ⎫∠=∠⎪⎪⇒∠+∠=∠+∠=∠=∠⎬⎪∠=∠⎪⎭ （3） 圆心O 在BAC ∠的外部，（如图1-（3）），作直径AD ，由（1）得出结论得：1112()1222DAB DOB DAC DAB DOC DOB BAC BOC DAC DOC⎧∠=∠⎪⎪⇒∠-∠=-∠-∠⇒∠=∠⎨⎪∠=∠⎪⎩ 2. 圆周角定理的推论（1）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
同弧所对的圆周角均相等
证明:构造定点A和定点O,以O为圆心,以AO为半径作圆:⊙O 在⊙O上构造定点B,在优弧BA
̂上构造一动点P.
连接AP,BP,OP,AO,BO,AB.则∠APB为AB
̂所对的圆周角. (1)当点O在△ABP之外时
1.当点O在△ABP的PB一侧时
∠APB=∠APO-∠BPO
∠APB=(π-∠PAO-∠AOP)-π−∠BOP
2
∠APB=(π-∠PAO-∠AOP)-π−∠AOP−∠AOB
2
∠APB=π
2-∠PAO-1
2
∠AOP+1
2
∠AOB
过O作DO⊥AP,D为AP上的垂足. ∵点A,点P在⊙O上;
∴PO=AO;
∴∠AOD=1
2
∠AOP;
∴∠APB=π
2-(∠PAO+∠AOD)+1
2
∠AOB=1
2
∠AOB.
2.同理可证点O在△ABP的PA一侧时: ∠APB=1
2
∠AOB
(2)当点O在△ABP之内时
∠APB=∠APO+∠BPO
∠APB=π−∠AOP
2+π−∠BOP
2
∠APB=π-1
2
(∠BOP+∠AOP)
∠APB=π-1
2
(2π-∠AOB)
∠APB=1
2
∠AOB
(3)当点O 在AP 上时: ∠APB=
π−∠BOP 2 ∠APB=π−π+∠AOB
2 ∠APB=1
2∠AOB
同理可证点O 在BP 上时:
∠APB=1
2∠AOB
综上所述:点P 在优弧BA ̂上任意一点都有:∠APB=12
∠AOB ∵A,B,O 为定点;
∴∠AOB 的大小固定;
∴∠APB 的大小固定且为∠AOB 的一半. 即:同弧所对的圆周角均相等.。
