圆周角知识总结及证明1

一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。

以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1连接AO，并延长AO交⊙O于D解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。

解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA（）∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。

）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC（BC弧）∠OCB=∠OBC=21∠AOC（AC弧）∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠A OC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB【证明】情况5：圆心角大于180°：图5圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。

圆周角定理的证明圆周角定理是现代初等几何学中的一个重要定理，它是指：同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。

这个定理在初等几何中具有非常重要的地位，并且可以应用到各种各样的几何问题中。

下面我们来简要地介绍一下这个定理的证明过程。

首先，我们需要给出圆周角的定义。

圆周角是指以圆心为顶点，以圆周上的两条弧为两条边的角。

圆周角的单位是度或弧度。

接下来，我们来证明圆周角定理。

假设有一个圆，其半径为r，圆心角为θ。

那么我们可以把圆心角分成n个小角度，每个小角度的大小为θ/n，则整个圆周角的大小为θ。

接下来我们将圆分成n个扇形，每个扇形的圆心角为θ/n。

由于圆的周长为2πr，而每个扇形的弧长为(θ/n)r，因此整个圆周被分成了n个弧段，每个弧段的长度为(θ/n)r。

由于n很大，因此这些弧段可以被视为非常小的弧元，于是我们可以将圆周上的弧看成无数个非常小的弧元构成的。

现在，我们来证明同一圆周上的两个弧所对的圆周角相等。

假设我们有两个位于同一个圆周上的弧AB和CD，它们所对的圆周角分别为α和β。

我们可以将这些弧按照相对大小进行排序，即假设AC>BD。

然后我们取一个非常小的弧元E，它在弧AB的右侧。

我们再取一个点F，它在弧CD的右侧，这样E和F可以被视为同一位置的点。

接下来，我们将圆周上从E到F的这段弧分成n个弧元，每个弧元的长度为(α+β)/n。

然后我们用连线将圆周上的每个弧元都连接起来，最后我们得到的是一个角度接近于α+β的扇形。

由于这个扇形的圆心角为α+β，而且它趋近于一个极小角度，因此α+β=2π，即α=β。

综上所述，我们证明了同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。

这个结论在数学和物理学等各个领域都有广泛的应用。

无论是在平面几何中还是在空间几何中，圆周角定理都是我们解决许多几何问题的重要工具。

圆周角定理及其证明圆周角定理是几何中的一个重要定理，它描述了一个圆的圆周角与其对应的弧度之间的关系。

这个定理在解决与圆相关的问题时具有重要的应用价值。

下面将对圆周角定理及其证明进行详细介绍。

我们需要明确什么是圆周角。

圆周角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别为相切于圆的两条弦。

在圆周角中，我们可以观察到一个有趣的现象：无论弦的长度如何变化，圆周角的大小始终保持不变。

这个现象被称为圆周角的度量唯一性。

为了形式化地描述圆周角定理，我们引入以下定义：当圆周角的两条弦分别与圆的直径相交时，这个圆周角被称为直径角。

根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出结论：直径角恒等于180度或π弧度。

接下来，我们将证明圆周角定理。

证明：设圆的半径为r，圆周角对应的弧长为l，直径角对应的弧长为L。

根据圆的性质，我们知道圆的周长C等于2πr。

由于直径角等于半圆，所以L等于半圆的弧长，即L等于πr。

根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出以下等式：l / C = L / 2πr将C和L的值代入上述等式，我们得到：l / 2πr = πr / 2πr经过简化后，我们得到：l / 2r = r / 2r进一步简化，我们得到：l = r由此可见，圆周角对应的弧长等于圆的半径。

这个结论可以推广到任意圆周角，无论弦的长度如何变化，圆周角的度量始终等于圆的半径。

通过上述证明，我们可以得出圆周角定理的结论：圆周角的度量等于圆的半径。

这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算圆周角的度量，从而解决各种几何问题。

总结起来，圆周角定理描述了圆周角与其对应的弧度之间的关系。

通过证明，我们可以得出结论：圆周角的度量等于圆的半径。

这个定理在几何学中有重要的应用价值，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。

在实际应用中，我们可以根据圆周角定理来计算圆周角的度量，从而得到所需的几何信息。

《圆周角》讲义一、圆周角的定义在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

需要注意的是，圆周角的两个特征：一是顶点在圆上；二是两边都与圆相交。

例如，图中的∠APB 就是一个圆周角。

二、圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

为了更好地理解这个定理，我们来看下面的例子。

假设圆 O 中，弧 AB 所对的圆心角是∠AOB，圆周角是∠ACB。

连接 OC，将∠AOB 分成两个角，即∠AOC 和∠BOC。

因为 OA ＝ OC，OB ＝ OC（圆的半径相等），所以∠OAC ＝∠OCA，∠OBC ＝∠OCB。

则∠AOC ＝ 180° 2∠OAC，∠BOC ＝ 180° 2∠OBC。

所以∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝ 180° 2∠OAC ＋ 180° 2∠OBC ＝ 360° 2（∠OAC ＋∠OBC）又因为∠ACB ＝ 180°（∠OAC ＋∠OBC）所以 2∠ACB ＝ 360° 2（∠OAC ＋∠OBC）即∠ACB ＝ 1/2∠AOB圆周角定理是圆中非常重要的一个定理，它为我们解决很多与圆相关的角度问题提供了依据。

三、圆周角定理的推论推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

例如，在圆 O 中，弧 AB 所对的圆周角∠ACB 和∠ADB 相等。

这是因为它们所对的圆心角都是∠AOB，根据圆周角定理，它们都等于∠AOB 的一半，所以相等。

推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

我们来看半圆所对的圆周角。

在圆 O 中，半圆 ACB 所对的圆周角是∠ACB。

因为半圆所对的圆心角是 180°，所以根据圆周角定理，∠ACB ＝ 1/2 × 180°＝ 90°。

反过来，如果一个圆周角是 90°，那么它所对的弦就是直径。

假设∠ACB ＝ 90°，连接 AB，因为三角形 ABC 是直角三角形，所以 AB 是斜边，又因为圆中直径是最长的弦，所以 AB 是直径。

数学知识点：圆周角定理_知识点总结在数学的世界中，圆周角定理是一个非常重要的概念，它为我们解决与圆相关的几何问题提供了有力的工具。

接下来，让我们一起深入了解圆周角定理的奥秘。

圆周角的定义首先得搞清楚。

圆周角是指顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。

比如说，在一个圆中，顶点在圆上的角，如果它的两条边都与圆相交，那这个角就是圆周角。

圆周角定理指出：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

这是个关键且核心的定理。

为了更好地理解这个定理，咱们来看几个具体的例子。

假设在一个圆中，有一段弧 AB，那么不管在圆周上取哪个点作为顶点，形成的圆周角的度数都是相等的，并且都等于弧 AB 所对圆心角的一半。

这个定理的证明其实也不难。

我们可以通过连接圆心和圆周角的顶点，然后利用三角形的内角和定理以及圆心角和圆周角之间的关系来进行推导。

圆周角定理有很多重要的推论。

比如，半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

为什么说半圆（或直径）所对的圆周角是直角呢？因为半圆所对的圆心角是 180°，根据圆周角定理，它所对的圆周角就是 90°，所以是直角。

而 90°的圆周角所对的弦是直径，这是因为圆周角是 90°，那么它所对的圆心角就是 180°，而圆心角所对的弦就是直径。

在实际的解题应用中，圆周角定理及其推论的作用可大了。

比如，在证明一些直角三角形与圆的关系时，就经常会用到“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”这个推论。

再比如，当我们已知圆周角的度数，要求圆心角的度数时，就可以直接运用圆周角定理来计算。

还有，在计算与圆相关的角度问题时，如果能够巧妙地运用圆周角定理，往往能够使问题变得简单明了。

另外，圆周角定理也和其他的几何定理相互关联。

比如，它和圆的内接四边形的性质定理就有着密切的联系。

圆的内接四边形的对角互补，而当其中一个角是圆周角时，通过圆周角定理和对角互补的性质，我们可以解决很多关于角度计算和证明的问题。

圆周角定理的定理证明圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了圆周上的角度与弧度之间的关系。

在本文中，我们将通过推导和证明，来解释圆周角定理的原理和应用。

让我们来回顾一下圆的基本概念。

圆是一个平面上所有距离中心相等的点的集合。

其中，圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆上任意一点的距离。

圆周则是圆上的一段弧，它的长度可以通过弧长来表示。

在圆周角定理中，我们考虑的是圆周上的两个角度。

我们使用的单位是弧度，而不是度数。

弧度是角度的一种测量方式，它表示的是半径所对应的弧长与半径的比值。

一个完整的圆周对应的弧长是2πr，其中r是圆的半径。

因此，一个完整的圆周对应的角度是360°或2π弧度。

现在，我们来看一个圆周上的任意角A。

假设这个角度所对应的弧长是s，圆的半径是r。

我们可以得到以下等式：s = rθ其中，θ是角度A对应的弧度。

这个等式是圆周角定理的基本公式之一。

接下来，我们将通过推导来证明圆周角定理的另一个重要结果。

假设有两个角度A和B，它们对应的弧长分别是s1和s2，圆的半径仍然是r。

我们可以得到以下等式：s1 = rθ1s2 = rθ2现在，我们将这两个等式相减，得到：s1 - s2 = r(θ1 - θ2)我们知道，s1 - s2表示的是角度A和B对应的弧长之差，而θ1 - θ2则是这两个角度的差值。

因此，我们可以得出结论：圆周上任意两个角度对应的弧长之差等于这两个角度的差值乘以圆的半径。

这个结论可以进一步推广到任意个角度。

假设有n个角度A1、A2、...、An，它们对应的弧长分别是s1、s2、...、sn，圆的半径仍然是r。

我们可以得到以下等式：s1 - s2 + s3 - ... + (-1)^(n+1)sn = r(θ1 - θ2 + θ3 - ... + (-1)^(n+1)θn)其中，(-1)^(n+1)是一个符号系数，它的值取决于n的奇偶性。

这个等式表示的是圆周上任意个角度对应的弧长之和等于这些角度的差值乘以圆的半径。

初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点11、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。

(两条件缺一不可)2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦为直径。

(①常见辅助线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。

(任意一个外角等于它的内对角)补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。

2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。

2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。

3、同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。

初三数学圆周角知识点2一、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①定理有三方面的意义：a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.二、圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的`圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形三、推论解释说明圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。

①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.。

圆周角定理及推论证明圆周角定理是指圆内对同一弧所对的两个角的和等于180°。

圆周角的定义是指，在圆上的两条弦所对的角。

在证明圆周角定理之前，我们先来看一些基本概念和性质。

首先，我们知道在同一圆中，两条弦所对的弧度是相等的。

这是因为圆周角的定义指的是在圆上的两条弦所对的角，而弧度是与弦对应的部分。

因此，由于两条弦所对的弧度相等，所以它们所对的圆周角也相等。

其次，我们需要了解乘法原理。

乘法原理指的是，如果一件事情可以分成n个相同的步骤进行，而每个步骤都可以选择m种不同的方式进行，那么这件事情一共有n*m种不同的方式。

根据乘法原理，如果在同一圆周上选取两个点，那么连接这两个点的弦的数目就是这两个点所决定的，即两个点决定的弦的数目是唯一确定的。

现在，我们开始证明圆周角定理。

为了方便理解，我们可以将圆周上的两个点分别命名为A和B，且连接这两个点的弦为AC和BC。

我们需要证明的是∠ACB+∠AOB=180°，其中O为圆心。

首先，我们将圆弧AC和BC分别延长，分别与OB和OA相交于D和E。

连接OC、OD和OE，并假设∠ACB=x°，∠AOB=y°，∠COD=z°，∠EOC=w°。

根据基本性质1，我们知道两条弦所对的弧度是相等的，即弧AC与弧BC的弧度相等。

那么，根据基本性质2，我们可以得出两个结论：1）弧AD与弧BE的弧度也相等；2）弧AC与弧AD所对的角度相等，弧BC与弧BE所对的角度相等。

接下来，我们观察△COD和△EOC。

由于∠COD和∠EOC的两边OC相等，所以根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出z°>w°（1）。

同时，由于∠COD和∠EOC是邻补角，所以z°+w°=180°。

再来看△AOD和△BOC。

由于OA=OC，同样根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出∠OAD>∠OBC（2）。

半径所对的圆周角-概述说明以及解释1.引言1.1 概述圆周角是圆的一个重要性质，它是指从圆心出发所夹的两条弧所对的角。

而半径所对的圆周角则是指一条弧所对的角的顶点处于圆的中心，并且与圆的半径相交。

本文将探讨半径所对的圆周角的性质及其与半径的关系，旨在帮助读者更深入地理解圆的几何特性。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍圆周角的定义，以便读者了解基本概念。

其次，将详细讨论半径所对的圆周角性质，包括相关定理和推论。

最后，将探讨圆周角与半径之间的关系，分析它们之间的几何性质和相互影响。

通过这些内容的讨论，读者能够深入了解圆周角的相关知识，为进一步学习和研究奠定基础。

1.3 目的本文旨在探讨半径所对的圆周角这一重要概念。

通过深入分析圆周角的定义、性质以及与半径的关系，我们希望读者能够更好地理解这一概念，并且能够应用在实际问题中。

此外，我们也将通过展望部分，展示半径所对的圆周角在数学领域以及其他相关领域中的潜在应用价值，为读者提供更广阔的思考空间和启发。

通过本文的阐述，我们希望读者能够对半径所对的圆周角有一个全面而深入的了解，从而加深对数学知识的理解和掌握。

2.正文2.1 圆周角的定义圆周角是指以圆心为顶点，圆上的一条弧所夹的角。

在直角坐标系中，圆周角的度数通常用弧度来表示，其中一个完整的圆周角等于360度或2π弧度。

圆周角的大小与所夹的圆弧的长度成正比，当圆弧长度为半径的长度时，圆周角大小为一个弧度。

根据圆周角的定义，我们可以得出一个重要定理：弧长相等的两个圆周角是相等的。

这个定理可以方便我们计算圆周角的大小，只需要知道所夹弧的长度和半径的长度即可求得圆周角的大小。

总之，圆周角是一种特殊的角度，它的大小与所夹的圆弧长度成正比，是圆的重要性质之一。

在接下来的内容中，我们将探讨半径所对的圆周角的性质以及圆周角与半径之间的关系。

2.2 半径所对的圆周角性质在一个圆上，一个半径所对的圆周角是一个直角。

这是一个非常重要的性质，也是我们在几何学中经常会应用到的一个定理。

圆周角定理及其推论的证明和应用圆周角定理是数学中一个最重要的定理。

它解释了多边形与圆的关系，是众多大学数学课程中的重要内容之一。

圆周角定理的证明和应用在不同的领域都有广泛的使用。

本文将讨论圆周角定理本身的证明，以及它的推论在数学和物理领域的应用。

一、圆周角定理圆周角定理告诉我们，对于任意多边形，其顶点和圆心之间的夹角之和等于$360^{circ}$。

它用数学语言来表达就是：若多边形$ABC…N$的顶点在圆心O的同一侧，则有$A + B + C + + N =360^{circ}$。

也就是说，当多边形的顶点位于同一侧的O时，其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。

二、证明圆周角定理圆周角定理通常用几何证明。

以正多边形为例，证明其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。

首先，画出多边形然后证明相邻边之间的夹角等于$180^{circ}$。

其次，当多边形向内折叠时，所有相邻边夹角之和等于其内角之和，因此折叠完成后，所有内角的和为$180^{circ} times n$，其中$n$是正多边形的边数。

此时，由于所有内角之和为$180^{circ} times n$，而多边形上的所有角之和为$360^{circ}$，因此所有顶点夹角之和等于$360^{circ}$。

三、圆周角定理的应用1、数学领域：圆周角定理在数学中的应用很广泛。

它可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径等。

此外，它还可以用来解决给定多边形的顶点或边，求其它顶点和边的问题。

2、物理领域：在物理领域，圆周角定理也有一些应用。

圆周角定理可以用来研究多体系统，如物体在圆周上运动时，其加速度可以根据圆周角定理求得。

圆周角定理也可以用来计算静电场，求出电荷的等值压力等。

四、总结本文讨论了圆周角定理的证明与应用。

圆周角定理表明正多边形的顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。

圆周角定理在数学和物理领域都有广泛的应用，可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径，研究多体系统，求出电荷的等值压力等。

第五节圆周角知识点梳理【知识点一】圆周角定理1.圆周角的定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半【知识点二】圆周角定理的推论推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直径；90o的圆周角所对的弦是直径推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等典例分析【题型一】圆周角的识别【例1】如图，指出图中的圆周角。

A.1个B.2个C.3个D.4个【题型二】利用圆周角定理求交的度数【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD，BC为弦，CD∥AB，∠BOD=50°，求∠CPD的度数。

【题型三】利用圆周角定理及其推论判断角之间的数量关系【例1】如图AB是⊙O的直径,CD 是⊙O的弦AB⊥CD.(1)P是CAD上一点(不与C,D重合) ,求证: ∠CPD= ∠COB(2)点P'在劣弧CD上(不与C,D重合)时,∠CP'D与∠COB有怎样的数量关系?请证明你的结论。

【变式1】如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D，使DC=CB,延长DA与⊙O 的另一个交点为E,连结AC,CE.则∠B与∠D 的大小关系怎样?请说明理由.【题型四】利用圆周角定理及其推论证明弧相等【例1】如图,以ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作OA,分别交BC,AO于E,F两点,交BA=的延长线于点G，证明: EF FG=【变式1】如图，AB，CD是⊙O的弦，∠A=∠C，求证：AB CD【题型五】利用圆周角定理及其推论证明线段相等【例1】如图,AB是⊙O的直径，D是BC的中点，AC，BD的延长线相交于点E，证明：AE=AB【变式1】如图,AB是⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC，PB的延长线交⊙O于点D，求证：AC=DC【题型六】利用圆周角定理及其推论求线段的长度【例1】如图，在⊙O中，AD为直径，OB⊥AD交弦AC于点B，∠A=30°，OB=5，求BC的长。

圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆周角的概念．了解圆周角和圆心角的关系；2．理解圆周角的定理及圆周角定理的推论；3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.（2016•台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（）A．25 B．40 C．50 D．55【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【答案】B【解析】解：连接OB、OC，∵OA=OB=OC=OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A=65°，∠D=60°，∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，∵=150°，∴∠AOD=150°，∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，则=40°．故选B【总结升华】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( )A ．45°B ．60°C ．30°D ．55°【答案】A.∵ AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴ 90AB BC CD DA ====°，∴ ∠BEC ＝45°．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【答案与解析】(a )∠1顶点在⊙O 内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b )∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c )图中∠3、∠4、∠BAD 的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD 是圆周角． (d )∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e )∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC=BC=DC ．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD 的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.举一反三：【变式】如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）A. 60°B. 100°C. 80°D. 130°【答案】C.。

圆周角定理的定理证明圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，它给出了圆内任意一对弧所对应的圆周角相等的条件。

本文将通过推理和证明，解释圆周角定理的原理和应用。

我们来回顾一下圆周角的概念。

圆周角是由两条弧所夹的角，其中一条弧是圆上的一段弧，另一条弧是连接该圆上两个端点的弦。

我们将这两条弧所夹的角称为圆周角。

下面，我们来证明圆周角定理。

假设在一个圆上有两条弧AB和CD，它们所对应的圆周角分别为∠AOB和∠COD。

我们要证明的是∠AOB = ∠COD。

我们连接线段AC和BD，将圆分成了两个扇形OAC和OBD。

由于扇形是圆的一部分，所以扇形OAC的圆心角等于∠AOB，扇形OBD的圆心角等于∠COD。

我们要证明的是∠AOB = ∠COD，即证明扇形OAC的圆心角等于扇形OBD的圆心角。

接下来，我们来证明线段AC和BD所夹的角等于圆心角。

首先，我们连接线段AO和BO，线段OC和OD，得到了两个三角形AOB和COD。

由于AO = BO，OC = OD，而且∠AOB和∠COD都是直角，所以三角形AOB和COD是等腰直角三角形。

根据等腰直角三角形的性质，我们知道∠BAO = ∠ABO，∠CDO = ∠COD。

而且，三角形AOB和COD的两个直角边分别是AO和BO，OC和OD，它们的长度相等。

根据等腰直角三角形的性质，我们知道∠BOA = ∠DOA，∠AOC = ∠COA。

现在，我们来看看扇形OAC和OBD的圆心角。

根据扇形的定义，圆心角等于弧所对应的圆周角的两倍。

所以扇形OAC的圆心角等于∠BOA，扇形OBD的圆心角等于∠DOA。

由于∠BOA = ∠DOA，所以扇形OAC的圆心角等于扇形OBD的圆心角。

根据我们之前的推理，我们已经证明了扇形OAC和OBD的圆心角相等。

由于圆周角是由扇形的圆心角所对应的，所以我们可以得出结论：圆周角∠AOB = ∠COD。

通过上述的推理和证明，我们证明了圆周角定理的正确性。

圆周角定理的应用非常广泛，特别是在解决与圆相关的角度问题时，它可以帮助我们简化计算和推导的过程。

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。

本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。

一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。

一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。

二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。

证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。

由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。

2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。

证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。

则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。

连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。

因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。

设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。

将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。

4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。

简单的圆内角与圆周角的计算知识点总结在数学中，圆内角和圆周角是与圆相关的重要概念。

理解和计算圆内角和圆周角对于解决与圆相关的问题和证明定理非常有帮助。

本文将对圆内角和圆周角的计算知识点进行总结和归纳。

1. 圆的基本性质首先，我们需要了解一些关于圆的基本性质，以便更好地理解圆内角和圆周角的计算方法。

以下是一些重要性质：- 圆周率π：圆周率π 是一个重要的数学常数，通常取近似值3.14。

- 圆心角：以圆心为顶点的角称为圆心角，它对应的弧度长度等于该角所对应的弧长的长度。

- 弧长：圆上两点之间的弧长是连接这两点的圆弧的长度。

- 弧度制：弧度制是一种角度的度量方式，1 弧度等于圆的半径所对应的弧长。

2. 圆内角的计算公式圆内角是指位于圆的内部的两条弧所对应的角。

圆内角的计算可以根据弧所对应的圆心角进行推导。

以下是一些常见的圆内角计算公式：- 同一个圆的圆内角相等：同一个圆中的任意两个圆内角相等。

- 圆内角和为180度：对于任意一个在同一个圆上的锐角∠A，其余的两个圆内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180度。

3. 圆周角的计算公式圆周角是指位于圆周上两条弧所对应的角。

与圆内角不同，圆周角的计算不直接依赖于圆心角，而是通过弧长与圆周长的比例来计算。

以下是一些常用的圆周角计算公式：- 圆周角的弧度计算：对于长为L 的弧所对应的圆周角（弧度制），其弧度数为 L / r，其中 r 表示圆的半径。

- 圆周角的度数计算：对于长为L 的弧所对应的圆周角（度数制），其角度数为(L / r) * 180 / π，其中 r 表示圆的半径。

4. 应用示例下面通过几个应用示例来说明圆内角和圆周角的计算方法：示例1：已知圆的半径为 5 cm，弧 AB 的弧长为 15 cm，求弧 AB对应的圆周角（度数制）。

解：根据圆周角的度数计算公式，我们可以得到圆周角的角度数为(15 / 5) * 180 / π ≈ 171.887°。

圆周角定理及其推论的证明1. 引言说到数学，大家的第一反应可能就是那些看起来复杂的公式，脑袋一团浆糊。

但其实，数学有时候就像一杯清爽的柠檬水，喝下去后让你清新无比！今天我们来聊聊一个非常经典而又简单易懂的知识点——圆周角定理。

想象一下，如果把数学比作一场派对，那么圆周角定理就是那位人人都想要和他搭讪的明星！那么，什么是圆周角定理呢？简单来说，就是在一个圆里，任何一个圆周角的度数等于它所对的弦所夹的中心角的一半。

这个定理可谓是数学界的小明星，闪耀着自己的光芒，吸引着无数人的目光。

2. 圆周角定理的证明2.1 先来个简单的图示好了，咱们先准备好纸和笔，来画个图。

想象一个圆，圆心叫 O，任意选两个点 A 和 B，连接起来形成一条弦。

然后，随便找个点 C，在圆的边上，形成一个圆周角∠ACB。

接下来，我们再从圆心O 向A 和B 连线，这样就形成了两个中心角：∠AOB。

接下来，我们就要通过一些小技巧来证明这个定理。

这里面可有趣了！2.2 把复杂变简单首先，我们知道，中心角∠AOB 的度数是与弦 AB 所对应的圆周角∠ACB 的两倍。

那为什么会这样呢？我们来试试从几何的角度分析一下。

当我们把 OA 和 OB 这两条线延长，就能把圆周角的顶点 C 和中心 O 连接起来。

这样，我们就能看到，∠ACB 是一个小角，而∠AOB 是个大角。

简单来说，∠AOB 就像是∠ACB 的“老大”，他可得分配个更大的份额，毕竟他是两条线夹起来的嘛！于是，大家就明白了：∠ACB = 1/2 ×∠AOB，这就是我们所说的圆周角定理啦！3. 推论与应用3.1 推论一：相等的圆周角现在我们说说这个定理的一个有趣推论。

你们知道吗？如果在同一个圆内，任意两条弦所对的圆周角相等，那么这两条弦必定相等。

这就像是“只要你有我有，大家都是好朋友”的道理！试想一下，假如你和朋友都穿着同样的衣服出门，别人会不会觉得你们很像？其实，圆周角也有这样的“搭档”，它们总是能通过弦的长度互相呼应。