圆周角的性质

《圆周角的性质》教学案例[教学目标]：知识目标：能明白得分三种情形证明圆周角定理的过程，向学生渗透化归思想。

能力目标：使学生进一步体验通过观看能够发觉数学问题，并通过猜想、类比、归纳能够解决问题，渗透分类转化思想。

情感目标：注重激发学生的积极性，使他们勇于自主探究，乐于与人合作交流，体验探究的欢乐和数学思维的美感，提高思维的品质。

[教学过程]：一、以旧引新，看谁连的快屏显三个与圆有关的几何图形：(1) 顶点在圆上，两边都和圆相交的角。

(2) 顶点在圆心的角。

(3)圆上两点间的部分。

要求学生将他们和相对应的概念进行连线。

二、动手游戏，看谁找得多屏显游戏规则：1、拿出预备好的纸板，在圆上固定四个点A、B、C、D。

2、用橡皮筋两两连接A、B、C、D四个点。

3、在连结的图形中一共有多少个圆周角?4、比一比看哪个小组连得快，连得多，请各小组作好记录。

5、完成后进行展现，持不同意见的小组可随时补充。

(学生分小组合作完成，教师参与小组活动，给予指导，学生展现找出的圆周角。

)三、提出问题，引入新课：问题1：这四大类12个圆周角中，弧所对的圆周角有多少个?问题2：弧ADC所对的圆周角又有几个?分别是什么?问题3：什么缘故弧所对的圆周角有两个?而弧ADC所对的圆周角却只有一个?学生活动：学生进行小组讨论、交流教师活动：巡视、点拨、评判、板书[板书]：性质1：一条弧所对的圆周角有许多个，而每个圆周角所对的弧是唯独确定的。

四、动手实验，看谁猜得对1、问题启发：圆周角和圆心角是不同的角，同时有不同的性质，但只要它们对着同一条弧，彼此之间就有着一定的关系。

怎么说两者之间存在着什么关系呢?下面请看图形(电脑展现)学生活动：小组实验，在白纸上任意画一个圆，呼出同弧所对的一个圆心角和一个圆周角。

利用量角器量圆周角和圆心角的度数，并填写实验报告。

教师活动：巡视、点拨、鼓舞学生大胆猜想，激发学生的探究精神。

(师生互动，每组派一名代表上台展现实验结果，教师用几何画板软件动态测量出AOB和ACB的度数，进一步验证学生的猜想。

1第2节 圆周角【知识整合】知识点一 圆周角的概念和性质 1．圆周角的定义顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角； 2．圆周角定理1．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的的一半。

2．直径（或半圆）所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是。

3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 。

知识点二 圆内接四边形的性质1．在圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。

2．圆内接四边形的 。

3．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。

知识点三 相交弦定理1．圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相 。

（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等） 几何语言：若弦AB 、CD 交于点P ，则PA·PB=PC·PD （相交弦定理）2．推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PC 2=PA·PB （相交弦定理推论）【实战演练】知识点一 圆周角的概念和性质 题型一 圆周角的性质与推论1：如图1所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB 的大小 为（ ）A. 40°B. 30°C. 45°D. 50°2.：如图2所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB=30°，⊙O 的半径为3cm ，则弦CD 的长为 （ ） A.23cm B. 3cm C. 23cm D. 9cm3：如图3所示AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为圆上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=.4.：如图4所示，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=4，则⊙O的半径为（）A. 22B. 4C. 23D. 55：如图所示，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，P是的中点，则∠PAB=（）A. 35°B. 40°C. 60°D. 70°第3题图第4题图第5题图6：将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15︒B．28︒C．29︒D．34︒第6题图第7题第8题＊7：如图，在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠CAE=80°，则∠B+∠F的度数为（）A、220°B、240°C、260°D、280°8：如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠B=55°，AO∥DC，则∠AOD的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°9：如图，点A、B、C、D在⊙○上，∠ADC=∠BDC=60°，则图中有对相似三角形.第9题图第10题图第11题图10：已知，如图⋂BC与⋂AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°211.：如图，点D为AC上一点，点O为边AB上一点，AD＝DO．以O为圆心，OD长为半作圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF．若∠BAC＝22°，则∠EFG＝_．12: 如图所示，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC、AC，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与CD的延长线交于点G. 求证：BC2=BG·BF13:如图，AB是⊙○的直径，AE是弦，C是⌒AE的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G,求证CF=GF.14:如图，AB为⊙○的直径，弦PQ⊥AB于C，弦QR交AB于S，求证PB平分∠SPR.GEFDA BCO3题型二圆周角定理的拓展应用15：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A、45°B、40°C、25°D、20°第16题图第17题图第18题图16：如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A、45°B．30°C、75°D、60°17：如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E ，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）A、60°B、100°C、80°D、130°18：如图，⊙O中，AD、BC是圆O的弦，OA⊥BC，∠AOB=50°，CE⊥AD，则∠DCE的度数是（）A、25°B、65°C、45°D、55°第19题图第20题图19：如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．27°B．36°C．46°D．63°20：如图，已知过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=57°，那么∠ABC=°．21如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，过F作FH⊥BC，垂足为H．若AB=8，则FH的长为．4第21题图第22题图22：已知，如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于D、E，下面判断中：①当△ABC为等边三角形时，△ODE是等边三角形；②当△ODE是等边三角形，△ABC为等边三角形；③当∠A=45°时，△ODE是直角三角形；④当△ODE是直角三角形时，∠A=45°．正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个23：如图，半径为5的⊙O中，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD．已知AB=8，∠AOB+∠COD=180°，则弦CD的弦心距等于（）A 、B、3 C 、D、4第23题图第24题图第25题图24：（2015•东西湖区校级模拟）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（）A、10.5B、7﹣3.5C、11.5D、7﹣3.525如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C 为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是_________.26:如图所示，等边三角形ABC的顶点A、B、C在⊙○上，点P在⌒BC上，Q为CP延长线上一点，PQ=PB.(1)求证△PBQ是等边三角形；(2) CQ=AP吗？请加以证明.527:如图所示，已知⊙O的弦AB、CD互相垂直，OE⊥AD于点E，求证：BC＝2OE28:已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且CB CD，CF⊥AB 于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E．(1)试说明：DE＝BF；(2)若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．29:如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．6730:已知：如图，∆ABC 错误!未找到引用源。

圆周角的定义和性质
1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
具有下列性质：(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(2)圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

2．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论②：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论③：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．。

优弧所对圆周角一、优弧和圆周角的定义优弧是圆上任意两点之间的弧，而圆周角则是以圆心为顶点所对的圆弧所对应的角度。

在圆内部，同一条弦所对应的圆周角相等，而在圆外，同一条割线所对应的圆周角相等。

二、优弧所对圆周角的性质1.优弧所对圆周角的大小是一致的，也就是说，如果有两个优弧相等，则它们所对的圆周角也是相等的。

2.在同一个圆上，如果圆周角相等，则它们所对的优弧也是相等的。

反之，如果两个优弧相等，则它们所对的圆周角也是相等的。

3.对于同一个圆上的任意一点P，它所对应的圆周角必须等于以P为起点的两个切线所围成的角度的一半。

也就是说，圆周角等于该点所在的圆的切线所围成的角度的一半。

4.如果有一个圆心角等于90度，则所对的圆周角是一个半径的长度，也就是若这个圆心角所对的弧为AB，则所对的圆周角为∠AOB=1（其中O为圆的圆心，OA为半径）。

三、基本推导方法1.将原来给出的优弧所对的圆周角分成两个圆心角。

2.利用等边弧的性质，把对应的圆心角分别对应到属于同一个圆弧的两个相等的圆周角上。

3.用“等弧等角”和“相交弧角相等”来推出优弧所对的圆周角的大小。

举个例子，如下图所示，已经知道弧BC=弧DA，因此∠BCD=∠DAB，而∠BDC+∠A=180°，所以∠BDC=1/2（∠BCD+∠DAB）。

据此，可以推出优弧DC所对的圆周角的大小。

四、优弧所对圆周角的应用在求解有关圆的问题时，优弧和圆周角是非常重要的概念。

例如，在计算圆的弧长和面积时，就需要用到圆周角；而在以圆的弧长和半径为参数求解圆的面积时，就需要用到优弧的概念。

此外，在计算圆的切线和割线的长度时，优弧所对圆周角的性质也是不可少的。

通过利用“圆周角等于该点所在的圆的切线所围成的角度的一半”的性质，可以直接求出切线的长度，从而简化计算过程。

题型全解4 五大性质定理之圆周角定理【知识梳理】1.三个知识点（1）圆周角与圆周角关系：等弧或同弧所对的各个圆周角都相等；即：①∵BĈ=BC ̂，∴∠A=∠D ；②∵AD ̂=AD ̂，∴∠B=∠C ； 注意：不是同弦或等弦，因为一条弦所对的圆周角有两个，相等或互补即：弦BC 所对的圆周角有：∠E 、∠A 、∠D ，其中∠A=∠D ，∠A+∠E=180°（∠D+∠E=180°）（2）圆周角定理与垂径定理综合运用（3）圆周角与直径关系：直径所对的圆周角是90°（或90°的圆周角所对的弦是直径）即：BC 是直径，则∠A=90°；反之也成立：∠A=90°，则BC 是直径；注意：①熟悉两种添辅助线方法：①题中出现直径，常作直径所对的圆周角――直角；②若没有直径的，作直径、延长半径成直径；②拓展：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形D C BA OC B AO 两切线,全等两圆心;连半径证垂直；作垂直证半径321的关系：∠1+∠2=180°；∠2=∠3关系（4）圆内接四边形对角（圆周角）关系：①圆内接四边形的对角的度数和等于180°;②任何一个外角都等于它的内对角; 即：∠C+∠BAD=180°或∠C=∠DAE ；拓展1：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。

四点共圆有三个性质:(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;如∠1=∠2;(2)圆内接四边形的对角互补; 如∠DAB+∠DCB=180°;(3)圆内接四边形的外角等于内对角,如∠FBC=∠ADC;(4)△DEC ∽△AEB 、△DEA ∽△CEB;(5) 以上性质逆用,即可判定四点共圆;(6)托勒密定理若ABCD 四点共圆(ABCD 按顺序都在同一个圆上)，那么AB ×DC+BC ×AD=AC ×BD即圆内接四边形中,两组对边的乘积和,会等于两条对角线的乘积.(7)相交弦定理： AE ×CE=BE ×DE;【典型例题】1．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C 的度数为______ED B A O F21ED CB A解析：∠C=∠B=24°̂=CD̂，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= ．2．如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB解析：∵弧CB=弧CD，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．3．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD•CDD. AD•AB=AC•BD解析：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD•AB=AC•BD，∴AD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．故选D．24．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．解析：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°，∴弦AB所对的圆周角是30°或150°．5. 已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是____解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=5√3，∴tan∠1=AD/OD=√3，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是________解析：∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°7．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是_____解析：∵A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，OA ⊥BC ，∴弧AC=弧AB ，∴∠ADC=12∠AOB （等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．8．如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ，∠CDA=30°，则弦BC=____【分析】根据垂径定理得到CH=BH ，=，根据圆周角定理求出∠AOB ，根据正弦的定义求出BH ，计算即可． 解：∵OA ⊥BC ，∴CH=BH ，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB •sin ∠AOB=√3，∴BC=2BH=2√3，9．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB 的长为___5√3【分析】连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB 即可．解：连接OC 、OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB 为弦，点C 为的中点，∴OC ⊥AB ， 在Rt △OAE 中，AE=，∴AB=5√3，10.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB=AB ，则PA 的长为_______解析：连接OA 、OB 、OP ，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB ，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB ，∴OB ⊥AP ，AD=PD ，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt △PBD 中，PD=cos30°•PB=√32×5=5√32，∴AP=2PD=5√3，11．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是________解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°12．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为______解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．14．如图，⊙A 过点O （0，0），C （√3，0），D （0，1），点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是__________解析：连接DC ，∵C （√3，0），D （0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=√3，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，15．如图，⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D 、E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是_______解析：连接BD ，∵∠E=90°，可知BD 是直径，作OM ⊥BC 于点M ，易知∠BOM=∠A=60°，∵OB=1，∴OM=12，BM=√32，∴BC=√3，CD=2OM=1，∴S 矩形BCDE =√316.如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC=24，AH=18，⊙O 的半径OC=13，则AB=______解析：求线段长，要么针勾股定理，要么相似，由图形及题目条件判断，首先考虑相似，由于求AB ，且知AH 的长，我们选△ABH 跟某个三角形相似，由于△ABH 是直角三角形，所以需构造一个直角三角形，且含AC 为边的直角三角形与△ABH 相似，所以连OA 并延长AO 交⊙O 于点M ，连MC ，由于AM 是直径，∴∠ACM=90°，∵AĈ=AC ̂，∴∠B=∠AMC ，∴△ABH ∽△AMC ，∴AB AM =AH AC ，即AB 26=1824，∴AB=392 M A B C D E OH O A B CMA B C D E O O ED C B A H H O A B C O M C B A17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．解析：（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．18．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=72°，则∠DCE= ．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=72°19．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD=______解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，20．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是_______解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，21．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为________解析：∵∠BOC=40°，∴∠OBC=70°，∴∠D=180°-70°=110°22. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP//AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC=PA ·BC解析：连接BD ，∵DP//AC ，∴∠PDA=∠DAC ，∵∠DAC=∠DBC ，∴∠PDA=∠DBC ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB ，∴△PAD ∽△DCB ，∴PA ：DC=AD ：BC ，即AD ·DC=PA ·BCD B。

圆周角和周角
【最新版】
目录
1.圆周角和周角的定义
2.圆周角和周角的关系
3.圆周角和周角的应用
正文
一、圆周角和周角的定义
圆周角是指以圆心为顶点，以两条射线分别与圆周相交所构成的角。

根据圆周角的定义，我们可以知道，圆周角有两个特点：一是它的顶点在圆心，二是它的两条边分别与圆周相交。

周角是指以两条相交线段所构成的角，它的特点是角的两边是线段，角顶点在两条线段的交点处。

二、圆周角和周角的关系
圆周角和周角有着紧密的关系。

根据圆周角定理，同一圆周上的圆周角都相等，即如果两个圆周角都在同一个圆周上，那么这两个圆周角就相等。

另外，根据周角定理，如果两个周角的两边分别相等，那么这两个周角就相等。

三、圆周角和周角的应用
在实际生活和学习中，圆周角和周角都有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，圆周角常常被用来确定建筑物的形状和大小，周角则常常被用来确定建筑物的角度和方向。

在数学研究中，圆周角和周角的性质和定理常常被用来解决各种数学问题。

总的来说，圆周角和周角是几何学中非常重要的两个概念，它们既有着各自的特点和性质，又有着紧密的联系和应用。

第1页共1页。

圆上圆周角的关系圆上的圆周角是指以圆心为顶点的角，它与圆上的弧所对应的关系是圆周角的基本性质之一。

在几何学中，圆周角的大小与所对应的弧长成正比，具体关系可以通过弧度制和角度制来描述。

我们来介绍圆周角的弧度制。

在弧度制中，圆周角的大小用弧长所占的比例来表示。

当圆的半径为r时，圆周长为2πr。

因此，一周的角度为360度，对应的弧长为2πr。

根据这个关系，我们可以得出一个重要结论：圆周角为1弧度时所对应的弧长等于圆的半径。

接下来，我们来介绍圆周角的角度制。

在角度制中，圆周角的大小用角度来表示。

一周的角度为360度，对应的弧长为2πr。

根据这个关系，我们可以得出一个重要结论：圆周角为1度时所对应的弧长等于圆周长的1/360。

除了以上的基本关系外，圆周角还具有一些重要的性质。

圆周角的大小只与所对应的弧长有关，而与圆的半径无关。

这意味着，如果两个圆上的弧长相等，那么它们所对应的圆周角也相等。

这一性质对于解题非常有用，因为我们可以通过比较弧长来判断圆周角的大小。

当两个圆上的弧交叠时，它们所对应的圆周角之和等于两个弧所对应的圆周角之和。

这一性质可以通过画图来直观地理解。

例如，当两个圆上的弧重合时，它们所对应的圆周角之和为360度。

当两个圆上的弧互补时，它们所对应的圆周角之和等于180度。

这一性质也可以通过画图来理解。

例如，当两个圆上的弧的长度之和等于圆周长时，它们所对应的圆周角之和为180度。

圆周角还可以通过弧度制和角度制进行转换。

根据定义，一周的角度为360度，对应的弧长为2πr。

因此，1度对应的弧度为π/180。

我们可以通过这个关系来进行角度和弧度的转换。

圆上的圆周角与所对应的弧长有着密切的关系。

圆周角的大小可以通过弧度制和角度制来描述，它们之间的转换可以通过一些简单的关系来实现。

在解题时，我们可以利用圆周角的基本性质来简化计算，提高解题的效率。

因此，掌握圆周角的相关知识对于几何学的学习和应用非常重要。

24.1圆的有关性质（第四课时）一、内容和内容解析1.内容圆周角概念，圆周角定理及其推论.2.内容解析与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角.顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理（即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系.从而把圆周角与相对应的弧、弦联系起来.圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等，弧、弦相等等数学问题提供了十分便捷的方法和思路，即是圆心角、弦、弧之间关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带.圆周角定理得证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：圆周角定理.二、目标和目标解析1.目标（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论.（2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法.2.目标解析达成目标（1）的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理和推论解决简单问题.达成目标（2）的标志是：能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对圆周角与圆心角之间的关系；能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理.三、教学问题诊断分析圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部.所以，圆周角定理的证明要采用完全归纳法,分情况证明.学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏.因此，教学的关键是:①在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面，让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系,为后面证明中的分类讨论做好铺垫.②学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想他们之间的数量关系，然后教师在利用计算机软件来验证，让学生进一步明确他们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.③从特殊的位置关系——圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形.基于以上分析，本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理.四、教学过程设计1.了解圆周角的概念问题1 如图1，∠ACB 的顶点和边有哪些特点？师生活动：学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：∠ACB 的顶点在O Θ上，角的两边分别交O Θ于点A,B 两点.教师进而指出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角与圆心角都是圆有关的角.设计意图：结合图形，获得圆周角定义，理解圆周角的概念.练习 教科书第88页练习第一题.师生活动：学生思考并回答问题.设计意图：同时呈现有关圆周角的正例和反例，有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解.2.探索圆周角定理问题2 在图2中，∠ACB 是圆周角，作出弧AB所对的圆心角∠AOB.分别测量∠ACB 和∠AOB 的度数.他们之间有什么关系？师生活动：学生画图，连接OA,OB 得到圆心角∠AOB.跳时指出∠ACB 和∠AOB 都对着弧AB 提出以下问题.教师追问1：图2中，∠ACB 和∠AOB 有怎样的关系？师生活动：学生通过观察，度量，猜想AOB ACB ∠=∠21.即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师追问2：在O Θ上任取一条弧，做出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？师生活动：除学生动手画图度量，并验证猜想外，教师也可以利用《几何画板》软件的动态功能和度量功能进行演示，从更广泛的角度验证猜想：①拖动圆周角的顶点在优弧AB 上运动；②改变弧的大小；③改变圆的大小后分别进行①和②的掩演示.引导学生发现，在演示过程中，∠ACB 和∠AOB 度数的比值保持不变.设计意图：引导学生经历观察猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师使用《几何画板》做进一步演示与验证，在动态环境中研究圆周角与圆心角的关系，即在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系.3.证明圆周角定理问题 3 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？教师追问1：在圆上任取弧BC ，画出圆心角∠BAC 和圆周角∠BOC,圆心与圆周角有几种位置关系？师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系（图3）：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使得推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续.同时进一步明确证明的必要性和证明的方法.教师追问2：第①种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生结合三种位置的图形，认识到第①种情况属于特殊情况，另外两种情况比第①种情况复杂.研究数学问题一般从特殊情况开始，再考虑其他情况能否转化成特殊情况.师生结合图3（1），分析第①种情况，得到BOC A C A BOC C A OC OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21教师指出：符号”B A “⇒表示由条件A 推出B ，可以用”“⇒方式给出推理过程.设计意图：从特殊情况入手，证明猜想G 便于学生的学习又为其他两种情况的证明提供了转化的方向.教师追问3: 在第②③种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生思考，尝试解决.如果学生有困难，教师可提示学生：将第②③种情况转化成第①种情况.根据学生的情况，师生共同研究完成第②种情况的证明.证明：如图4，连接AO 并延长交ΘO 于点D.BOD BAD B BAD BOD B BAD OB OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21. 同理,COD CAD ∠=∠21. BOC COD BOD CAD BAD BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠∴212121. 学生独立完成第③种情况的证明.从而得到定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.设计意图：将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想.学生通过证明三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升.4.探究特殊情况，获得推论问题4 我们知道，一条弧，可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？也就是说，同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？师生活动：学生画出弧BC 所对的几个圆周角和圆心角（图5），先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等.再思考同弧或等弧的情况.如果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论.设计意图：让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系.问题5 半圆或直径所对的圆周角有什么特殊性？师生活动：学生画出弧AB 所对的几个圆周角和圆心角（图6），通过观察、猜想，根据定理得到结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.教师进一步引导学生得出：90°的圆周角所对的弦是直径.设计意图：由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论.5.应用圆周角定理与推论例如图7，OΘ的直径AB的长为10cm.弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交OΘ于点D, 求BC,AD,BD的长.师生活动：师生共同分析已知条件、所求和解题思路.如图8，欲求BC的长，由BC所在的△ABC中AB为OΘ的直径，可知∠ACB=90°.又AB和AC已知，在Rt△ABC中，由勾股定理可求BC的长.由CD平分∠ACB得∠ACD=∠BCD，连接OD，可得∠AOD=∠BOD=90°,进而由勾股定理可求AD,BD的长.学生解答，一名学生板书，教师组织学生交流.设计意图：应用圆周角定理及其推论解决问题，巩固所学的内容.6.小结教师与学生一起回顾本节课的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？设计意图：通过小结使学生归纳梳理总结本节的知识、技能、方法，将本节课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于学生认知数学思想、教学方法，积累数学活动的经验.7.布置作业教科书第88页练习题第2，3，4题.。

半径所对的圆周角-概述说明以及解释1.引言1.1 概述圆周角是圆的一个重要性质，它是指从圆心出发所夹的两条弧所对的角。

而半径所对的圆周角则是指一条弧所对的角的顶点处于圆的中心，并且与圆的半径相交。

本文将探讨半径所对的圆周角的性质及其与半径的关系，旨在帮助读者更深入地理解圆的几何特性。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍圆周角的定义，以便读者了解基本概念。

其次，将详细讨论半径所对的圆周角性质，包括相关定理和推论。

最后，将探讨圆周角与半径之间的关系，分析它们之间的几何性质和相互影响。

通过这些内容的讨论，读者能够深入了解圆周角的相关知识，为进一步学习和研究奠定基础。

1.3 目的本文旨在探讨半径所对的圆周角这一重要概念。

通过深入分析圆周角的定义、性质以及与半径的关系，我们希望读者能够更好地理解这一概念，并且能够应用在实际问题中。

此外，我们也将通过展望部分，展示半径所对的圆周角在数学领域以及其他相关领域中的潜在应用价值，为读者提供更广阔的思考空间和启发。

通过本文的阐述，我们希望读者能够对半径所对的圆周角有一个全面而深入的了解，从而加深对数学知识的理解和掌握。

2.正文2.1 圆周角的定义圆周角是指以圆心为顶点，圆上的一条弧所夹的角。

在直角坐标系中，圆周角的度数通常用弧度来表示，其中一个完整的圆周角等于360度或2π弧度。

圆周角的大小与所夹的圆弧的长度成正比，当圆弧长度为半径的长度时，圆周角大小为一个弧度。

根据圆周角的定义，我们可以得出一个重要定理：弧长相等的两个圆周角是相等的。

这个定理可以方便我们计算圆周角的大小，只需要知道所夹弧的长度和半径的长度即可求得圆周角的大小。

总之，圆周角是一种特殊的角度，它的大小与所夹的圆弧长度成正比，是圆的重要性质之一。

在接下来的内容中，我们将探讨半径所对的圆周角的性质以及圆周角与半径之间的关系。

2.2 半径所对的圆周角性质在一个圆上，一个半径所对的圆周角是一个直角。

这是一个非常重要的性质，也是我们在几何学中经常会应用到的一个定理。