同弧所对圆周角相等逆定理

圆周角的定义和性质
1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
具有下列性质：(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(2)圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

2．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论②：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论③：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．。

蝴蝶模型的四大结论记忆口诀
蝴蝶定理（butterfly theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。

这个命题最早出现在年，由w.g.霍纳提出证明。

而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。

这个定理的证法不胜枚举，仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。

霍纳证法
过o作ol⊥ed，ot⊥cf，像距为l、t，
连接on，om，os，sl，st
所述∠f=∠d；∠c=∠e（同弧所对的圆周角成正比）
△esd∽△csf（aaa）
∴ds/fs=de/fc
根据垂径定理得：dl=de/2，ft=fc/2
∴ds/fs=dl/ft
又∵∠d=∠f
∴△dsl∽△fst
∴∠sld=∠stf
即为∠sln=∠stm
∵s是ab的中点所以os⊥ab（垂径定理逆定理）
∴∠osn=∠oln=90°
∴o，s，n，l四点共圆（对角互补的四边形共圆），
同理，o，t，m，s四点共圆
∴∠stm=∠som，∠sln=∠son（同弧所对的圆周角相等）
∴∠son=∠som
∴∠ots=∠oms，∠ols=∠ons（同弧所对的圆周角相等）
∴∠oms=∠ons
∵os⊥ab
∴在△osm和△osn
∠mso=∠nso
∠oms=∠ons
os=os
∴△som≌△son（aas）
∴ms=ns
作图法
从x向am和dm作垂线，设垂足分别为x'和x''。

类似地，从y向bm和cm作垂线，设垂足分别为y'和y''。

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠4．过已知点作圆(1)经过一点的圆（以这个点以外任意一点为圆心，以这一点与已知点的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个）(2)经过两点的圆(以连接这两点的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点和已知两点中任意一点的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数个)(3)经过三点的圆①经过在同一直线上三点不能作圆．②过不在同一直线上三个点可以作且只可以作一个圆．作法是：连接任意两点并作中垂线，再连接另外两点并作中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点和已知三点中任意一点的距离为半径作圆，这样的圆只有一个． 5．三角形的外接圆(1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆(2)三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆．这个三角形叫做圆的内接三角形．三角形外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这圆的内接三角形。

如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，O 为△ABC 的外心，△ABC 是⊙O 的内接三角形。

说明：1、锐角三角形的外心在三角形的内部2、“接”说明三角形的顶点与圆的位置关系，“内”“外”是相对的位置关系。

以三角形为准，那么圆在其外，并且三个顶点都在圆上，就说圆是三角形的外接圆。

6．三角形的“四心”三、典型例题1、如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个2．如图2，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，∠A BC=30°过圆心O 作OD ⊥BC 交弧BC 于点D ，连接DC ，则∠DCB= °．3．如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF上的任意一点，则PA +PC 的最小值为 .4、在△ABC 内，AB=20，AC=15，高AD=10,求能完全覆盖△ABC 的圆的最小半径长5.如图，△ABC 内接于⊙O ， D 为BC 上一点,且AD=5,CD=3,AC=7,AB=103求△ABC 的外接圆的面积6. 已知AD 是△ABC 的外接圆直径，CE ⊥AD 交AD 于F ，交AB 于E ，求证AC 2＝AB ·AEOEDCBAOBD CA图27、如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．（1）求∠BOC的度数；（2）求证：四边形AOBC是菱形．8、如图，AB是⊙O的直径，=，∠COD=60°．（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；（2）求证：OC∥BD．9、如图，已知：P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C，D，且AB是⊙O的直径，弧AC=弧DC，连结BD，AC，OC。

圆周角与圆心角的关系知识点
圆周角与圆心角的关系是圆中一个重要的性质，以下是其相关的知识点：
1.圆周角和圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

即，如果设圆心角为A，圆周角为B，则有 B = A/2。

2.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等。

3.特殊情况：直径所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径。

4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两组弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

5.如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

6.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

7.圆心角的定义：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

以上是关于圆周角与圆心角关系的重要知识点，对于理解并应用这些性质，有助于更好地理解和应用圆的性质。

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。

本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。

一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。

一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。

二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。

证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。

由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。

2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。

证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。

则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。

连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。

因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。

设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。

将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。

4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。

圆心角定理(弧、弦、圆心角关系定理)基本内容：1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

3、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

在理解时要注意：⑴前提：在同圆或等圆中；⑵条件与结论：在①两条弧相等；②两条弦相等；③两个圆心角相等中，只要有一个成立，则有另外两个成立。

基本概念理解：1．在同圆或等圆中，若的长度＝的长度，则下列说法正确的个数是（ ）①的度数等于；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦心距等于所对的弦心距。

A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在两半径不同的同心圆中，︒=''∠=∠60B O A AOB ，则（ ）A ．B ．C ．的度数=的度数D ．的长度=的长度3．下列语句中，正确的有（ ） （1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧； （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4．已知弦AB 把圆周分成1:5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 ． 5．在⊙O 中，的度数240°，则的长是圆周的 份．概念的延伸及其基本应用：1．在同圆或等圆中，如果圆心角BOA ∠等于另一圆心角COD ∠的2倍，则下列式子中能成立的是（ ）2．在同圆或等圆中，如果，则AB 与CD 的关系是（ ）A ．CD AB 2> B ．CD AB 2=C ．CD AB 2< D ．CD AB =（2题图）3．在⊙O 中，圆心角︒=∠90AOB ，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ）A ．24B ．28C ．24D ．164．在⊙O 中，两弦CD AB <，OM ，ON 分别为这两条弦的弦心距，则OM ，ON 的关系是（ ）A ．ON OM >B ．ON OM =C ．ON OM <D ．无法确定 5．已知：⊙O 的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的31，则弦AB 的长为 cm ，AB 的弦心距为 cm ．6．如图，在⊙O 中，AB ∥CD ，的度数为45°，则∠COD 的度数为 ．典型例题精析：例题1、如图，已知：在⊙O 中，OA ⊥OB ，∠A=35°，求和的度数.解：连结OC ，在Rt △AOB 中，∠A=35° ∴∠B=55°，又∵OC=OB ， ∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴的度数为70°，∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，∴的度数为20°.说明：连结OC ，通过求圆心角的度数求解。