同弦所对的圆周角相等证明过程

圆周角的定理
1.圆周角定义:
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半。

3.圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;
推论2:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

要点诠释:
(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上:②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上:圆心在圆周角的内部:圆心在圆周
角的外部，(如下图)。

同弦所对的圆周角相等或互补证明圆周角是指圆周上两点间所对的角，它们的度数恰好为360度。

在圆周上，同弦所对的圆周角有一个很重要的特点：它们要么相等，要么互补。

下面我们来证明这个结论。

1. 同弦所对的圆周角相等假设圆周上有一条弦AB，它所对的两个圆周角分别为∠AOB和∠ACB。

我们需要证明的是，这两个角相等。

我们可以通过作圆心角来得到∠AOB的度数，即2∠AOC。

同理，我们可以得到∠ACB的度数为2∠ADC。

因为弦AB将圆分成了两个部分，所以∠AOC和∠ADC之和为180度。

因此，我们可以得到以下等式：2∠AOC + 2∠ADC = 360度化简后得到：∠AOC + ∠ADC = 180度而∠AOC和∠ADC分别是∠AOB和∠ACB的一半，因此可以得到：∠AOB = ∠ACB也就是说，同弦所对的圆周角相等。

2. 同弦所对的圆周角互补同样地，假设圆周上有一条弦AB，它所对的两个圆周角分别为∠AOB和∠ACB。

我们需要证明的是，这两个角要么相加为180度，要么相等。

我们可以先假设∠AOB和∠ACB相等，即：∠AOB = ∠ACB那么，我们可以得到以下等式：∠AOB + ∠ACB = 2∠AOB由于∠AOB和∠ACB是同弦所对的圆周角，它们的度数之和为360度，也就是：∠AOB + ∠ACB = 360度将上述两个等式联立，得到：2∠AOB = 360度化简得到：∠AOB = 180度这意味着同弦所对的圆周角∠AOB和∠ACB互补。

如果∠AOB和∠ACB不相等，那么我们可以假设∠AOB大于∠ACB，即：∠AOB > ∠AC B那么，我们可以得到以下等式：∠AOB - ∠ACB = ∠ABD其中，∠ABD是弦AB上的一条切线所对的角。

我们知道，圆上的切线与半径垂直。

因此，∠ABD和∠ACB之和为180度。

也就是说，我们可以得到以下等式：∠AOB - ∠ACB + ∠ACB = 180度化简得到：∠AOB = 180度这意味着同弦所对的圆周角∠AOB和∠ACB互补。

解析几何中证明四点共圆的四种方法作者：徐加生来源：《新高考·高三语数外》2010年第04期圆具有丰富的几何性质,它与三种圆锥曲线之间有着千丝万缕的内在联系.圆的性质的应用是近几年高考命题中体现“在知识交汇点设计问题”这一思路的良好素材,应引起我们足够的重视.本文介绍证明四点共圆问题的四种方法,供同学们参考.一、直接求出圆的方程例1设0=1和双曲线x2cosθ-y2sinθ=1有四个不同的交点.(1) 求θ的取值范围;(2) 证明这四个交点共圆,并求该圆半径的取值范围.解析(1) 将方程x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1联立,解得x2=sinθ+cosθ,y2=cosθ-sinθ.由两曲线有四个交点,知x2>0,y2>0. 又0(2) 由(1)得x2+y2=2cos θ0二、利用圆系方程来判断例2由抛物线y2=2px(p>0)外一点P引抛物线的两条割线PAB,PCD,其倾斜角分别为α,β,且α+β=π,问A,B,C,D四点能否共圆?解析设点P 坐标为(a,b),又直线PAB的斜率为tan α,直线PCD的斜率为tan β(显然α,β均不等于0与),故而直线PAB的方程为y-b-tanα(x-a)=0,直线PCD的方程为y-b-tanβ(x-a)=0.又α+β=π,于是将两方程相乘(合并),可得直线PAB, PCD合并起来的轨迹方程为(y-b)2-tan2α(x-a)2=0.又抛物线的方程为y2-2px=0,故A,B,C,D四点坐标都满足方程(y-b)2-tan2α(x-a)2+λ(y2-2px)=0,即tan2αx2-(λ+1)y2-2(atan2α-pλ)x+2by+a2tan2α-b2=0.令λ+1=-tan2α且4(atan2α-pλ)2+4b2-4(a2tan2α-b2)>0,则上述方程表示圆,故而当点P 坐标适当时,A,B,C,D四点可以共圆.三、证明同弦所对的圆周角相等或互补例3设A,B是双曲线x2-=1上的两点,N(1,2)是线段AB的中点.如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C,D两点,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,x1+x2=2,y1+y2=4.将前两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2);将后两式代入,得=1,即直线AB的斜率为1,故易得直线AB的方程为x-y+1=0.因为CD是线段AB的垂直平分线,故易得直线CD的方程为x+y-3=0.将直线AB的方程x-y+1=0与双曲线方程x2-=1联立,可解得交点A(-1,0)和B(3,4)(不妨设);将直线CD的方程x+y-3=0与双曲线方程x2-=1联立,可解得交点C(-3-2,6+2)和D(-3+2,6-2)(不妨设).则=(-2-2,6+2),=(-2+2,6-2),=(-6-2,2+2),=(-6+2,2-2).容易计算得cos∠CAD==0,cos∠CBD==0,故∠CAD=∠CBD=90°.于是无论点A,B在直线CD的同侧还是异侧(实际上,这里显然A,B在CD的异侧),都有A,B,C,D四点共圆.例4设A,B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C,D两点.(1) 确定λ的取值范围,并求直线AB的方程;(2) 试判断是否存在这样的λ,使得A,B,C,D四点在同一个圆上?并说明理由.解析(1) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则3+=λ,3+=λ,x1+x2=2,y1+y2=6.将前两式相减,得3(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0;将后两式代入,得=-1,即直线AB的斜率为-1,故易得直线AB的方程为x+y-4=0.将直线AB的方程代入椭圆的方程,整理得4x2-8x+16-λ=0 ①,故Δ=64+16(λ-16)>0,得λ>12,即λ的取值范围为[12,+∞).(2) 因为 CD垂直平分线段AB,所以直线CD的方程为y-3=x-1.将其代入椭圆的方程,整理得4x2+4x+4-λ=0 ②.解方程①、②,可得A1+,3-,B1-,3+,C-+,+,D--,-,则AC2 =2+2,AD2 =2+2,所以AC2+AD2=2(λ-3).又CD2=(λ-3)+(λ-3)=2(λ-3),故AC2+AD2=CD2,所以AC⊥AD.同理,BC⊥BD.于是无论A,B在CD的同侧还是异侧(实际上,这里显然A,B在CD的异侧),都有A,B,C,D四点共圆.所以只要λ>12,总有A,B,C,D四点共圆.点评在解例3和例4时,都是先求出A,B,C,D四个点的坐标,然后以CD为弦,求出角CAD和CBD,并发现它们既相等又互补,于是得出A,B,C,D四点共圆.只是在求角时,例3利用向量数量积的定义,例4利用余弦定理(勾股定理是余弦定理的特例). 注意,如果两个角相等而不互补,则两点须在弦的同侧;如果两个角互补而不相等,则两点须在弦的异侧.四、找圆心证半径相等例5设p>0是一常数,若直线x-2y-2p=0与抛物线y2=2px交于A,B两点,又O为抛物线的顶点,C(0,4p)为定点,判断A,B,O,C四点是否可以共圆?解析若A,B,O,C四点共圆,则此圆的圆心应该是弦AB的垂直平分线与弦OC的垂直平分线的交点.设A(x,y),B(x,y),则它们的坐标同时满足方程x-2y-2p=0和y2=2px,将二式联立,消去x,得y2-4py-4p2=0.而弦AB的中点H的坐标为,,即H(6p,2p),则弦AB的垂直平分线方程为2x+y-14p=0.又弦OC的垂直平分线方程是y=2p,故圆心即为点H.又可得AB====4p,而易得OH=2p,CH=2p,即有OH=CH=AH=BH.所以A,B,O,C四点可以共圆.1. 已知椭圆+=1的两个焦点分别为F,F,问椭圆上是否存在点P,使△PFF的面积为1?若存在,这样的点P有几个?这些点P是否可能在同一个圆上?1. 由椭圆+=1,得FF=2c=2 .又由△PFF的面积S=|FF||y|=1,得|y|=1,即△PFF边FF上的高为1.而椭圆短半轴长为,故由椭圆的对称性,知满足条件的点有四个,P,P,P,P .且这四点到原点距离相等,故这四点共圆.。

证明同一条弦对应的圆周角相等1. 引言哎，大家好！今天我们来聊聊一个看似神秘但其实蛮简单的几何问题——同一条弦对应的圆周角怎么都相等。

这不光是数学中的一个好玩小知识，也能让你在下次看圆形的时候多点自信。

我们先用几个小故事来把这个问题捋清楚，不妨把它当作一个游戏来玩。

2. 圆周角的基本概念2.1 圆周角是啥？简单来说，圆周角就是圆上任意两点连线所形成的角。

比如说你在一个圆形的披萨上选择两个切点，你在这些切点画出来的角度就是圆周角了。

举个例子，想象一下你在圆上标记了两个点，然后用这些点画个“弦”（就是连接这两个点的线）。

这个弦会把圆切成两个弯弯的部分，每个弯弯部分的中心角，就是你要关注的圆周角。

2.2 弦的概念弦啊，就是圆上的两个点之间的那条直线。

要是你对比一下，这些弦会把圆分成许多小块，每块里面都藏着不同的角。

这些角有时候可能看起来似乎是随意的，但实际上，圆周角有一个非常酷的属性——它们总是相等的，只要弦相同。

是不是有点神奇？别急，我们马上就来揭开这个神秘的面纱。

3. 证明过程3.1 画图帮助理解你可以先拿一张圆的草图，画出一个圆形，然后在圆上画一条弦。

比如你在圆上找了两个点A和B，用直线连接它们，形成一条弦AB。

接着，在圆的另一边找两个点C和D，同样用直线连接成另一条弦CD。

你会发现，这两条弦其实是一样的，只不过位置不同而已。

这样，你就有两个弦——AB和CD。

接下来，我们看看这些弦对应的圆周角。

3.2 圆周角的关系现在，我们要对比弦AB和CD所对应的圆周角。

我们可以用圆心角来帮忙解释。

圆心角是指圆心到弦两端点所形成的角。

圆心角跟圆周角有一种非常神奇的关系：圆心角的大小是圆周角的两倍。

听上去有点绕，但实际上，这意味着什么呢？就是说，只要两条弦一样长，它们所对应的圆周角也必然是相等的。

这个结果可以通过简单的几何推理和圆的性质得到。

4. 总结好了，我们的“几何大冒险”到这里也差不多要结束了。

你现在知道了，同一条弦对应的圆周角其实相等，这不仅是几何中的一个美妙定理，还能让你在数学中增加一些趣味。

1 圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．4．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ．例2 如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ．2 三、苏州市中考例举1、如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是2、如图，已知A 、B两点的坐标分别为()、(0，2)，P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为3、如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD=BD ，∠C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45° ②AC=AB ③AE BE = ④CE ·AB=2BD 2．4、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，BM 平分∠ABC 交AC 于M ，以A 为圆心，AM 为半径作OA 交BM 于N ，AN 的延长线交BC 于D ，直线AB 交OA 于P 、K 两点．作MT ⊥BC 于T(1)求证AK=MT ；(2)求证：AD ⊥BC ；(3)当AK=BD 时，求证：BN AC BP BM=．。