数学分析17.3多元函数微分学之方向导数与梯度

方向导数计算方向导数是计算多元函数在某一点上沿着某一方向的变化率的一种方式。

它在微积分、线性代数等学科中被广泛应用，是理解函数性质及其在各个领域中的应用的基础。

以下将简要介绍方向导数及其计算方法。

一、概念解释方向导数的定义是指一个多元函数在某一点上沿着一个给定的向量方向上的导数。

在三维空间中，设函数f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)处有定义，P点附近有一点Q(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，则向量→PQ=<Δx,Δy,Δz>。

在方向导数的计算中，通常选用单位向量→u=<cosθ,sinθ>作为方向，其中θ是→u与某个坐标面轴的夹角。

二、计算方法方向导数的计算方法分为两个步骤：一是求函数在某一点的梯度向量，二是将梯度向量与给定的方向向量内积即可得到该方向导数的值。

1、求梯度向量设函数f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)处有定义，其梯度向量gradf(x0,y0,z0)为：gradf(x0,y0,z0)=<fx(x0,y0,z0),fy(x0,y0,z0),fz(x0,y0,z0)> 其中，fx、fy、fz分别是函数f在点P对x、y、z的偏导数。

2、计算方向导数选取单位向量→u=<cosθ,sinθ>，则函数f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)沿着该方向的导数即为：Duf(x0,y0,z0)=gradf(x0,y0,z0)·→u其中，·表示向量的内积运算。

三、应用举例以函数f(x,y,z)=x²yz为例，求其在点P(1,2,3)沿着向量→u=<2/3,2/3,1/3>方向上的方向导数。

1、求梯度向量fx=y*z*2x=2*2*3=12fy=x*z=3fz=x*y=2gradf(1,2,3)=<12,3,2>2、计算方向导数→u=<2/3,2/3,1/3>Duf(1,2,3)=gradf(1,2,3)·→u=<12,3,2>·<2/3,2/3,1/3>=4+2+2/3=14/3因此，函数f(x,y,z)=x²yz在点P(1,2,3)沿着向量→u=<2/3,2/3,1/3>方向上的方向导数为14/3。

模块十二 多元函数微分学※知识框架一、二重极限及连续 二、偏导数概念 三、可微与全微分 四、相互关系 五、方向导数与梯度※课程脚本：★引入：本章的标题是多元函数微分学，在前面我们介绍过一元函数微分，这里的‘多元’就是自变量为多个，而为了方便，我们一般研究的是二元函数，那么我们首先看看二元函数的概念，一． 二重极限及连续1、 二重极限 ●讲义内容【定义1】：设D 是平面上的一个点集，如果对于任意一点(),x y D ∈，变量z 按照一定的运算法则总有确定的值与之对应，则称z 关于变量,x y 的二元函数，记作(),z f x y =. ★讲解且过渡：给出二元函数定义后，下面不妨我们可以回忆下一元函数微分中的知识点，一块回忆下：一元函数()y f x =中自变量就一个“x ”，而二元函数显然就是自变量为两个，我们一般用,x y 来表示，当然也可以定义三元或者多元的函数，不过对于我们来说研究的对象大多是二元，其定义域也有一元函数时的区间变成了二元函数的平面区域，举个简单的二元函数例子：2z x y =，。

另外在一元函数中我们研究了极限、连续、可导。

可微等，其实这些可以延拓到二元函数中的，下面首先看看二元函数的极限问题，为了显示和一元函数的区别，我们称二元函数的极限为二重极限 ●讲义内容【定义2】：设(),z f x y =是D 上的一个函数，()00,x y D ∈，假设存在实数A ，使得0ε∀>，总0δ∃>，当0δ<时，有()0,f x y A ε<-<.则称当(),x y 趋近于()00,x y 时，函数(),fx y 的二重极限为A .记作()()00(,),lim,x y x y f x y A →=或()00lim ,x x y y f x y A →→=.★讲解且过渡：二重极限是一元函数极限的推广，它的定义要与一元函数的极限对比起来理解.例如，与一元函数一样，(),x y 在趋近于()00,x y 时，也不会等于()00,x y ，只会无限地接近；一元函数极限中x 趋近于0x 仅有两种方式——左或右，所以只要求左右极限存在且相等就能说明极限存在了；而二维平面上(),x y 趋近于()00,x y 的方式可以有无穷多种，另外在一元函数中极限存在的话是左右极限存在且相等，那么在二元函数中关于二重极限存在的内在要求是(),x y 沿任何路径趋近于()00,x y 的极限值都应该存在并且相等，换句话说如果能找到函数按照两种不同的路径逼近某一点的极限不一样，就可以断定函数在该点的极限不存在，其实这也是我们在具体做题的过程中判断极限不存在的思路，那么其他求极限的方法有哪些呢？其实这个时候也可以按照一元函数求极限的方法进行分析，大概有一下几种：1、四则运算。

多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个重要分支，它研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。

在这个领域中，我们主要关注多元函数的变化率和方向导数，以及求解相关的极值和最优化问题。

在一元函数微分学中，我们研究的是只有一个自变量的函数。

而在多元函数微分学中，我们研究的是有多个自变量的函数。

多元函数可以表示为f(x1, x2, ... , xn)，其中x1,x2, ..., xn分别为自变量。

用微分学的语言来描述，我们要研究的是这个函数在一个点p上的切平面的性质。

首先，我们来看一下多元函数的导数。

多元函数的导数分为偏导数和全导数两种。

偏导数表示的是函数在某一变量上的变化率，而全导数则表示的是函数在所有变量上的综合变化率。

用数学符号来表示，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数为∂f/∂xi，也可以记为f'xi。

全导数可以用向量∇f表示。

接下来，我们来看一下多元函数的微分。

微分是导数的线性逼近，可以看作是函数在某一点上的局部线性近似。

多元函数的微分可以表示为df = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2+ ... + ∂f/∂xn*dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn为自变量的微小变化量。

在多元函数微分学中，我们还需要研究方向导数和梯度。

方向导数表示的是函数在某一方向上的变化率，可以用向量的点积来表示。

梯度是一个向量，它的方向指向函数变化最快的方向，大小表示变化率最大的值。

方向导数和梯度在求解优化问题中具有重要应用。

最后，我们来看一下多元函数微分学的应用。

在实际问题中，多元函数微分学可以应用于求解极值、最小二乘法、约束优化等各种问题。

例如，在工程领域中，我们可以用多元函数微分学来求解最优设计、最优控制等问题。

总结起来，多元函数微分学是微积分的一个重要分支，研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。

它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，是现代科学和技术发展中不可或缺的工具。

§3 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用一、 空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示）本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。

1、 参数方程的情形设空间曲线l 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩()a t b ≤≤ 其中t 的参数。

又设,,x y z '''都在[,]a b 连续，并且对每一[,],(),(),()t a b x t y t z t '''∈不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。

向量表示：()()()(),[,]r r t x t i y t j z t k t a b ==++∈。

()r t 的导数定义为000()()()limlim()()()()()()lim()()()()t t t r r t t r t r t t t x t t x t y t t y t z t t z t i j k t t t x t i y t j z t k∆→∆→∆→∆+∆-'==∆∆+∆-+∆-+∆-=++∆∆∆'''=++(,,)x y z '''存在几何意义：()()r r t t r t ∆=+∆-表示通过曲线l 上两点P 、Q 的割线的方向向量，令0t ∆→，即点Q 得l 通过点P 时，rt∆∆的极限位置就是曲线l 在点P 的切向量τ，即()((),(),())r t x t y t z t τ''''== 有了切向量τ，就可写出曲线l 在任一点0000(,,)p x y z 的切线方程：000000()()()x x y y z z x t y t z t ---==''' 法平面：过点0p 可以作无穷多条切线与切线x 垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线L 在点0p 处的法平面，其方程为：000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=例1 求螺旋线l ：cos ,sin ,x a t y a t z ct ===，（其中,,a b c 为常数）在点（a ，0，0）的切线方程和法平面方程。

方向导数的计算公式方向导数是多元函数在其中一给定点沿任意指定方向的变化率。

在数学中，有多种方法可以计算方向导数，其中包括利用梯度向量和利用偏导数的公式。

首先，我们来介绍利用梯度向量计算方向导数的方法。

假设有一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，在其中一点P(x1,x2,...,xn)处的梯度向量记为∇f，其定义为：∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)方向导数D_u(f)表示函数f在给定点P沿着向量u=(a1,a2,...,an)的方向的变化率，计算公式为：D_u(f) = ∇f · u = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn) · (a1,a2, ..., an)其中，·表示向量的点积运算。

利用上述公式，我们可以得到一个向量的方向导数。

不过，需要注意的是，该公式适用于在其中一点P处的方向导数。

如果我们需要计算沿着一条曲线的方向导数，则需要将曲线参数化为一个向量函数并将其代入计算。

另外一种计算方向导数的方法是基于偏导数的公式。

在此之前，我们先来回顾一下偏导数的定义。

对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，其在其中一点P(x1,x2,...,xn)处的偏导数∂f/∂x_i 表示函数f在P点上沿着变量x_i方向的变化率。

有了偏导数的定义，我们可以得到沿任意指定方向的方向导数的计算公式：D_u(f) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn) · (du_1/du,du_2/du, ..., du_n/du)其中，du_i/du 表示向量u在第i个分量上的导数，即 u_i'(t)。

可以看出，该计算公式与梯度向量的计算公式相似，唯一的区别在于，在计算向量u在第i个分量上的导数时，需要应用链式法则。

在实际计算中，为了准确计算方向导数，我们可以采用以下步骤：1.计算多元函数f的梯度向量∇f；2.将所求的方向向量u归一化，即使其成为单位向量；3.计算向量u在多元函数f的梯度向量∇f上的投影，即D_u(f)=∇f·u。

多元函数微分学一、本章提要１．基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度． ２．基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数．隐函数微分法：拉格朗日乘数法． ３．定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件． 二、要点解析问题１ 比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系．解析 )1(多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论．如果我们把自变量看成一点P ，那么对于一元函数，点P 在区间上变化；对于二元函数),(y x f ，点),(y x P 将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成)(P f u =，它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成)()(lim ,)(lim 00P f P f A P f P P P P ==→→．（２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P 的变化从一维区间发展成二维为区域．在区间上P 的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元函数的极限2200limyx xyy x +→→， 容易看出，如果先让0→x 再让0→y ，那么00lim )lim(lim 02200==+→→→y x y yx xy， 同样，先让0→y 再让0→x ，也得到0)lim(lim 2200=+→→yx xyy x ， 但是如果让),(y x 沿直线)0(≠=k kx y 而趋于)0,0(，则有222202201)1(lim lim k k k x kx y x xy x kxy x +=+=+→→→， 它将随k 的不同而具有不同的值，因此极限2200limyx xyy x +→→ 不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂．又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立．考察函数222222,0,(,)0,0,xy x y z f x y x y x y ⎧+≠⎪==+⎨⎪+=⎩000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+='→∆→∆x xf x f f x x x ， 同样000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+='→∆→∆yy f y f f y y y ， 所以),(y x f 在)0,0(点可导．然而，我们已经看到极限lim →→y x =),(y x f 2200limy x xyy x +→→不存在，当然),(y x f 在)0,0(不连续．多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的．因为偏导数)0,0(x f '实质上是一元函数)0,(x f 在0=x 处关于x 的导数．它的存在只保证了一元函数)0,(x f 在点0=x 的连续．同理，偏导数)0,0(y f '的存在保证了),0(y f 在0=y 点的连续，从几何意义来看，),(y x f z =是一张曲面，)0,(x f z =，0=y 为它与平面0=y 的交线，),0(y f z =，0=x 为它与平面0=x 的交线．函数),(y x f z =在（0,0）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（0,0）处连续，当然不足以说明二元函数),(y x f z =即曲面本身一定在（0,0）处连续．（３）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的．但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若),(y x f z =在),(00y x 可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式)(),(),(0000ρo y y x f x y x f z y x +∆'+∆'=∆其中当0→ρ时，)(ρo 0→，从而0lim 00=∆=∆=∆z y x ，因此函数在),(00y x 可微，那么它在),(00y x 必连续．函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便．然而我们有一个很简便的充分条件：若),(y x f 在),(00y x 不仅可导而且偏导数都连续，那么),(y x f 必在),(00y x 可微．函数),(y x f 的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：d (,)d (,)d x y z f x y x f x y y ''=+．（４）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：极限存在偏导数连续问题２ 如何求多元函数的偏导数？解析 求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法．例如，对x 求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x 的一元函数．这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用．对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错．如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通．这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性．由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用． 例1 设e sin ,xyz y =求yz x z ∂∂∂∂,． 解 直接求偏导数e sin xy zy y x∂=∂， e sin e cos xy xy zx y y y∂=+∂ ， 利用全微分求偏导数d sin de e d sin xy xy z y y =+e sin (d d )e cos d xy xy y y x x y y y =++ e sin d (e sin e cos )d xy xy xy y y x x y y y =++，所以e sin ,e sin e cos xy xy xy z zy y x y y x y∂∂==+∂∂． 例2 设(e ,sin ),xyz f y =求yzx z ∂∂∂∂,． 解 由复合函数求导法则，得1(e ,sin )e xy xy zf y y x∂=⋅∂， 12(e ,sin )e (e ,sin )cos xy xy xy zf y x f y y y∂=⋅+∂， 其中21,f f 分别表示(e ,sin )xyf y 对e ,sin xyy 的偏导数．问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析 不一定．二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得．2y 例3 说明函数221),(y x y x f +-=在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值．解 xx x x x f x f x x x ∆∆-=∆-∆-=∆-∆+→∆→∆→∆0200lim1)(1lim )0,0()0,0(lim ， 此极限不存在，所以在)0,0(处x f ')0,0(不存在．同理y y yf y f y y ∆∆-=∆-∆+→∆→∆00lim)0,0()0,0(lim ， 此极限不存在，所以，在点)0,0(处，y f ')0,0(不存在．但函数221),(y x y x f +-=≤f )0,0(1=，即),(y x f 在点)0,0(取得极大值1．问题4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？解析 在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值．最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系．如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值．又若函数在区域内可导，那么它一定在驻点处取得．由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数，而且最大（最小）值的存在性是显然的．因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步： （1） 根据实际问题建立函数关系，确定定义域； （2） 求驻点；（3）结合实际意义判定最大、最小值．从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值．条件极值和无条件极值是两个不同的概念．例如，二元函数22y x z +=的极小值（无条件极值）显然在)0,0(点取得，其值为零． 但是)0,0(显然不是此函数的约束条件01=-+y x 下的条件极小值点．事实上0,0==y x 根本不满足约束条件．容易算出，这个条件极小值在点11(,)22处取得，其值为12，从几何上来看，它们的差异是十分明显的．无条件极小值是曲面22y x z +=所有竖坐标中的最小者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面01=-+y x 上，即空间曲面⎩⎨⎧=-++=01,22y x y x z 上各点的竖坐标中最小者．我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理，并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后 化成减少了自变量的新函数的无条件极值．例如把条 件x y -=1代入函数22y x z +=，便将原来的条件 极值化成了一元函数122)1(222+-=-+=x x x x z的无条件极值．用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别．但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断． 例4 求522++=y x z 在约束条件x y -=1下的极值． 解 作辅助函数)1(5),,(22y x y x y x F --+++=λλ，则有λλ-='-='y F x F y x 2,2，解方程组20,20,10,x y x y λλ-=⎧⎪-=⎨--=⎪⎩ 得1,12x y λ===．现在判断11(,)22P 是否为条件极值点：由于问题的实质是求旋转抛物面522++=y x z 与平面x y -=1的交线，即开口向上的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点11(,)22P 处取得极小值112z =． 问题5 方向导数和梯度对于研究函数有何意义？ 解析 二元函数(,)z f x y =在点),(y x 处的方向导数lf∂∂刻画了函数在这点当自变量沿着射线l 变化时的变化率，梯度 z grad 的方向则是函数在点),(y x 处方向导数最大的射线方向．因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助． 例5 求函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处函数值下降最快的方向． 解 负梯度方向是函数值下降最快的方向，因u u x ∂=∂grad i u y ∂+∂j zu ∂∂+k z y 2=i xyz 2+j 2xy +k ， (1,-1,2)24u=-+grad i j k ，故所求方向为(1,-1,2)24u =-=-+-grad a i j k ．三、例题精选 例6 求函数)1ln(2222y x y x z ---=的定义域，并作出定义域图形．解 要使函数有意义，需满足条件22220,10,11,x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨--≠⎪⎩ 即⎪⎩⎪⎨⎧≠<+≤),0,0(),(,1,2222y x y x x y定义域如图阴影部分所示．例7 设(,)e sin ,uf u v v =求 d (,)f xy x y +． 解一 因为 (,)e sin ,uf u v v = 所以 (,)e sin()xy f xy x y x y +=+，e sin()e cos()xy xy fy x y x y x∂=+++∂， e sin()e cos()xy xy fx x y x y y∂=+++∂， 所[]d (,)sin()cos()e d xyf xy x y y x y x y x +=++++[]sin()cos()e d xyx x y x y y +++．解二 由复合函数求导法则得e sin()e cos()xy xyf f u f v x y y x y x u x v x∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂， e sin()e cos()xy xy f f u f v x y x x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂， 所以[]d (,)esin()cos()d xyf xy x y y x y x y x +=++++[]e sin()cos()d xy x x y x y y +++．例8 设)(),,(u xF xy u y x f z +==，其中F 为可微函数，且xyu =，验证zxxyyuxy z yz y x z x+=∂∂+∂∂． 证 这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示．[]u F x y u F y x u u F x u F y x u u f x f x z d d )(d d )(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++=∂∂∂∂+∂∂=∂∂， 同理有u F x y u u F x x y u u f y f y z d d d d +=∂∂+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂， uFy xy u F y u xF xy y z y x z xd d d d )(++-+=∂∂+∂∂xy z u xF xy +=+=)(2． 例９ 设2(,,)e xf x y z yz =，其中),(y x z z =由方程0=-++xyz z y x 所确定，求(0,1,1)x f '-．解 2(,,)e xf x y z yz =对x 求偏导，并注意到z 是由方程所确定的y x ,的函数，得[]2,,(,)e 2e x x x z f x y z x y yz yz x∂'=+⋅∂①下面求xz∂∂，由0),,(=-++=xyz z y x z y x F 得11x z F z zy x F yx '∂-=-=-'∂-，代入①得 []21,,(,)e 2e 1x x x zyf x y z x y yz yz yx-'=-⋅-， 于是02011(1)(0,1,1)e 1(1)2e 1(1)5101x f -⋅-'-=⋅⋅--⋅⋅-⋅=-⋅．例10 求曲面2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的切平面方程． 解析 此题的关键是找出切点．如果平面上的切点为),,(000z y x ，则曲面过该点的法向量可由000,,z y x 表示．要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平面的法向量对应坐标成比例．于是切点的坐标可找出． 解 设曲面02132),,(222=-++=z y x z y x F平行于已知平面的切平面与曲面相切于),,(000z y x ，故该切平面的法向量n {}000000000(,,),(,,),(,,)x y z F x y z F x y z F x y z '''=过),,(000z y x 的切平面方程为0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x ，①该切平面与已知平面064=++z y x 平行，所以664412000z y x ==， ②又由于),,(000z y x 在曲面上，所以2132202020=++z y x ，③联立②与③式，解得⎪⎩⎪⎨⎧===.2,2,1010101z y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.2,2,1020202z y x将这两组值分别代入①，最后得到切平面方程为 及46210,46210.x y z x y z ++-=+++=例11 求函数22324y xy x x z -+-=的极值． 解 第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点23820,220,z x x y x z x y y∂⎧=-+=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ 解出{110,0,x y == {222,2.x y ==第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下：因此，函数的极大值为0)0,0(=z ． 例12 求曲线x y ln =与直线01=+-y x 之间的最短距离．解一 切线法．若曲线上一点到已知直线的距 离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相 切；反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线． 据此，我们先求x y ln =的导数1,y x'=令1='y （已知直线上的斜率为1），得 1=x ，这时0=y ，故曲线x y ln =上点)0,1(到直线01=+-y x 的距离最短，其值为2)1(110122=-++-=d ．解二 代入条件法（利用无条件极值求解）．设),(y x 为曲线x y ln =上任意一点，则点),(y x 到已知直线的距离为121+-=y x d ，将x y ln =代入上式得1ln 21+-=x x d ，易知)0(01ln >>-=x x x ，故()1ln 21+-=x x d ．①令1ln +-=x x u ，则xu 11-='，由0='u ，得1=x ，这是函数1ln +-=x x u 在),0(+∞内唯一驻点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在．于是由①式得所求的最短距离为()211ln 121=+-=d ．解三 拉格朗日乘数法．设),(y x 为曲线x y ln =上任意一点，则该点到直线的距离为121)1(1122+-=-++-=y x y x d ，令2d z =，则21212122+-+-+=y x xy y x z ， 显然，在上式中x y ln =，即0ln =-x y ． 引入辅导函数 )ln (212121),(22x y y x xy y x y x F -++-+-+=λ， 解方程组(,)10,(,)10,ln 0,x y F x y x y x F x y y x y x λλ'⎧=-+-=⎪'=--+=⎨⎪-=⎩①②③①②+，得0)11(=-xλ．因为0≠λ，故1=x ，代入③，得0=y ，于是)0,1(是唯一可能的极值点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在，故曲线x y ln =上点)0,1(到已知直线的距离最短，其值为()210121=+-=d ．四、 练习题 1．判断正误)1( ()()()000000,,,x x x y y x x x x y x f y x f y x f =====表达式成立； （ √ ）解析 ()00,y x f x 表示),(y x f 在),(00y x 对x 的偏导数；()00,y y x x x y x f ==表示),(y x f 对x 的偏导数在),(00y x 处的值；()00,x x x y x f =表示),(y x f 先固定0y y =后，函数),(0y x f 在0x x =处的导数．由偏导数定义及偏导数意义可知，三个表达式是相等的．)2( 若),(y x f z =在()00,y x 处偏导数存在，则),(y x f z =在()00,y x 处一定可微；（ ⨯ ）解析 由可微的充分条件知，只有),(y x f z =在点()00,y x 处的两个偏导数存在且连续时，函数),(y x f z =在该点一定可微．例如=),(y x f 222,(,)(0,0)0,(,)(0,0)xy x y x y x y ⎧⎪≠⎨+⎪=⎩在（0，0）处偏导数存在，但不可微．)3( 若()00,y x 为),(y x f z =的极值点，则()00,y x 一定为驻点；（ ⨯ ）解析偏导数不存在的点也可能是极值点．例如 22y x z +=在（0，0）处取得极小值，但zx z y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩在（0，0）处偏导数不存在，不是驻点．)4(00==∂∂y x xf 就是函数),(y x f 在)0,0(处沿x 轴方向的方向导数． （ √ ）解析 沿x 轴方向的方向导数 πcos 0cos 2f f f f l x y x∂∂∂∂=+=∂∂∂∂． 2．选择题)1( 设22),(y x xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-．解析 22),(yx xyy x f +=是关于x ，y 的对称函数，故),(),(y x f x y f =． )2(设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）； )A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos x y -； )D ( e sin x y -．解析 e cos xz y x∂=∂，=∂∂∂y x z 2e sin x y -． )3(已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．解析 设 u y x =+，v y x =-，则 22),(y x y x y x f -=-+=))((y x y x -+变换为 uv v u f =),(．u v xvv f x u u f x f +=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，u v y v v f y u u f y f -=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， 所以yfx f ∂∂+∂∂=y x v u v u v 222)()(-==-++． )4(函数xy y x z 333-+=的驻点为（ B ）； )A ()0,0(和)0,1(-； )B ()0,0(和)1,1(；)C ()0,0(和)2,2(；)D ()1,0(和)1,1(．解析 求两个偏导数22330,330,z x y x z y x y∂⎧=-=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ ⇒{0,0,x y ==与{1,1,x y ==所以驻点为)0,0(和)1,1(．)5(函数122+-=y x z 的极值点为（ D ）． )A ()0,0(； )B ()1,0(； )C ()0,1(；)D (不存在．解析 求两个偏导数20,20,zx x z y y∂⎧==⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ 得驻点为（0，0），又因为222=∂∂=xz A ，02=∂∂∂=y x z B ，222-=∂∂=y z C ，则042>=-AC B ，所以，驻点不是极值点，极值点不存在． 3．填空题)1( 12+-=x y z 的定义域为 }1),{(2-≥x y y x ；解 要使函数有意义，应满足12+-x y ≥0，即y ≥12-x)2( 已知xy x y x x f +=+2),(，则=∂∂xfy x +2 ； 解 设 u y x =+，则xu y x x xy x y x x f =+=+=+)(),(2，关于x 的偏导数xuu f x f x f ∂∂∂∂+∂∂=∂∂)(=x u +=y x +2． )3( 设)ln(22y x z +=，则11d x y z===d d x y +；解 设 u y x =+22，则 u z ln =，所以d 12d z z u x x u x u∂∂==⋅∂∂， d 12d z z u y y u y u ∂∂==⋅∂∂， 从而 11d x y z===1111d d x x y y z z x y xy====∂∂+∂∂=d d x y +．)4( 曲面arctan()y z x =在点π(1,1,)4M 处的切平面方程为 π202x y z -+-= ；解 令 )arctan(),,(x yz z y x F -=，则 2222)(1y x y xy x y F x +=+--=，π(1,1,)412x F =， 222)(11y x x xy x F y +-=+-=，π(1,1,)412y F =-， 曲面的切平面方程为 11π(1)(1)()0224x y z ---+-= ，即 π202x y z -+-=．)5( 设e z z xy +=，则=∂∂y z 1ez x + ； 解一 令(,,)e zF x y z z xy =+-，则 1e zz F =+， x F y -=，所以=∂∂y z z y F F - =1ez x +． 解二 设),(y x z z =，两边对y 求偏导数，有y z ∂∂+e z y z ∂∂=x ， 即 y z ∂∂=1ez x+． 4．解答题)1(设可微函数,sin ),,(),,(x t t x u u x f z ===ϕ求xzd d ； 解 偏导数为d d z x =x z ∂∂+x u u z ∂∂⋅∂∂+d d z u t u t x∂∂⋅⋅∂∂ =x f ∂∂+x u f ∂∂⋅∂∂ϕ+t tu f cos ⋅∂∂⋅∂∂ϕ． )2(设)(22y x f z +=，且)(u f 可微，证明 0=∂∂-∂∂yz x x z y． 解 设 u y x =+22，则)(u f z =，从而x z ∂∂=d ()2d z uf u x u x∂'⋅=⋅∂， y z ∂∂=d ()2d z u f u y u y ∂'⋅=⋅∂， 则 yzx x z y ∂∂-∂∂=x u f y 2)(⋅'()2xf u y '-⋅=0， 所以，原结论成立．)3( 设)(22y z yf z x =+，其中f 为可微函数，求yz∂∂．解 令),,(z y x F =)(22yzyf z x -+，设yz u =，则 ),,(z y x F =)(22u yf z x -+， 从而 y uu F y F F y ∂∂⋅∂∂+∂∂=)(=)()()(2yz u f y u f -⋅'--=)()(u f u f y z -'， z uu F z F F z ∂∂⋅∂∂+∂∂=)(=yu f y z 1)(2⋅'-=)(2u f z '-，所以 y z ∂∂zy F F -=)(2)()(u f z u f u f yz'--'-=)(2)()(yz f z y z f y z y z f '-'-=． )4( 在曲线⎪⎩⎪⎨⎧===32,,t z t y t x 上求一点，使其在该点的切线平行与平面42=++z y x ，并写出切线方程；解 设所求点为（0t ，20t ，30t ），d d t t xt==1，d d t t y t==20t ，d d t t z t==320t ，故切线方程为 230200321t t z t t y t x -=-=-， 由于切线与平面平行，切线的方向向量s ={1，20t ，320t }与平面的法向量n ={1，2，1}垂直，有n s ⋅ ={1，20t ，320t }·{1，2，1}=1+40t +320t =0，解方程，得 0t =1-或31-， 当0t =1-时，切点为（1-，1，1-），切线方程为 31211+=--=+z y x ； 当0t =31-时，切点为（31-，91，127-），切线方程为31271239131+=--=+z y x ， 即 271291331+=--=+z y x ． )5(用a 元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的2.1倍，求水池的长与宽为多少米，才能使容积最大．解 设水池底面的长为x ，宽和高为y （如图），底面单位面积材料费为b ，则侧面单位面积材料费为b 2.1，有a y xyb bxy =++)22(2.12， 即 a by bxy =+24.24.3，长方体体积 2xy V =，应用条件极值，设 A =2xy +)4.24.3(2a by bxy -+λ，得偏导方程，有223.40,2(3.4 4.8)0,3.4 2.40,A y by x Axy bx by y A bxy by a λλλ⎧∂=+⋅=⎪∂⎪∂⎪=++=⎨∂⎪∂⎪=+-=⎪∂⎩ 整理，得 b a x 5174=，ba y 561=， 由于驻点（b a 5174，b a 561）唯一，而使容积最大的情况存在，所以当长方体长为ba5174，宽和高为ba561时，长方体水池容积最大．。

第八章多元函数微分法及其应用一、本章教学目标：1.使学生掌握多元函数的基本概念2.使学生掌握多元函数的微分求解关系3.使学生掌握多元函数各知识点之间的联系二、本章基本要求：1.使学生掌握多元函数连续的计算2.使学生掌握多元函数微分的计算三、本章各节的教学内容：第一节多元函数的基本概念教学内容：①平面点集，n维空间②多元函数的概念③多元函数的极限④多元函数的连续性第二节偏导数教学内容：①偏导数的定义及计算法②高阶偏导数第三节全微分教学内容：①全微分的定义②全微分在近似计算中的应用第四节多元复合函数的求导法则教学内容：①多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导法则教学内容：①一个方程的情形②方程组的情形第六节多元函数微分学的几何应用教学内容：①空间曲线的切线与法平面②曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度教学内容：①方向导数②梯度第八节多元函数的极值及其求法教学内容：①多元函数极值、最大值和最小值②条件极值，拉格朗日乘数法四、本章教学重点：1.使学生掌握多元函数的连续2.使学生掌握多元函数的微分3.使学生掌握多元函数微分学的应用五、本章教学内容的深化和拓宽：使学生深化对多元函数知识点间的联系六、本章教学方式：多媒体七、本章教学过程中应注意的问题：培养学生用发展变化的观点看待问题八、本章主要参考书目：1.同济大学数学教研室主编.1996年.北京：高等教育出版社2.华东师范大学数学系主编.1990年.北京：高等教育出版社3.惠淑荣主编.2002年.北京：中国农业出版社4.李喜霞主编.2003年.北京：中国农业出版社九、本章思考题：1.多元函数极限，连续，可微之间的关系2.多元函数求导的法则及应用3.多元函数微分学及应用§8-1多元函数的基本概念一、区域 1.邻域设0P 是XOY 平面上的一点，δ是一个正数，与点0P 的距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点0P 的δ邻域。

记作()0,U P δ，即(){}00,U PP PP δδ=<，也就是 ()({}0,,U P x y δδ=<。

第十二章 多元函数的微分学 (24 时 )教学目的与要求1熟练掌握求偏导数、特别是求多元复合函数的偏导数的运算； 2理解全微分的概念及意义； 3掌握求高阶偏导数的方法；4 理解方向导数和梯度的概念并能求方向导数和梯度；5理解一阶全微分方程的形式不变性；6 能将简单的二元函数展开成Taylor 公式或马克劳林公式，并知道两公式的意义；7 理解隐函数的概念及意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；8 知道函数组)(22R R 在一点的邻域存在反函数组的条件；9 会求隐函数（组）的偏导数和高阶导数。

10 会求空间曲线的切线方程和法平面方程、空间曲面的法线和切平面方程； 11会求二元函数的局部极值和最大（小）值，并能解决一些简单的应用问题。

12 掌握取条件极值的必要条件的证法，并会应用Lagrange 乘数法求条件极值； 13 能将实际中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。

教学重点1多元复合函数的偏导数及全微分的求法；2 方向导数和梯度的概念并能求方向导数和梯度；3 空间曲线的切线方程和法平面方程、空间曲面的法线和切平面方程；4二元函数的局部极值和最大（小）值的求法；5应用Lagrange 乘数法求条件极值；6 将实际中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。

教学难点1多元复合函数的偏导数及全微分的求法；2简单的二元函数展开成Taylor 公式或马克劳林公式的求法；3 应用函数的最值解决一些简单的应用问题。

4 隐函数（组）的偏导数§ 1 偏导数与全微分 ( 4 时 )教学目的：1熟练掌握求偏导数、特别是求多元复合函数的偏导数的运算； 2理解全微分的概念及意义； 3掌握求高阶偏导数的方法4 理解方向导数和梯度的概念并能求方向导数和梯度教学过程 1 偏导数1.1偏导数的定义及几何意义P135----136由一元函数引入. ))()((22y x ∆+∆ο亦可写为y x ∆+∆βα,→∆∆) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (.1.2 求偏导数:例1、2、3 、4 （P 137—138） 例2 求下列函数的偏导数（1）),(y x f =)12sin()32(2+++y x x（2）),(y x f = 1)1ln(2+++y x x .（3）),(y x f =22yx y x ++.并求) 1 , 2 (-x f .（4）),(y x f =1223ln )2(22222++++-+x y y x x xy . 求) , 2 (y f y 和) 1 , 2 (y f . 解 ) , 2 (y f y =y y y f 4)2() , 2 (2='=',) 1 , 2 (y f =4), 2 (1='=y y f .例3 .0 , 0, 0 ,),(22222223⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=y x y x y x y x y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .证ρθθρρρθρθρ)s i n c o s (lim),(lim2320sin ,cos )0,0(),(+===========→==→y x y x y x f =)0,0(0)s i n c o s (lim 230f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 .) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim 300==-→→x x x x f x f x x ,) 0 , 0 (y f ||lim)0,0(),0(lim 200y y y y f y f y y →→=-= 不存在 .2 方向导数2.1 定义 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义 . l 为从点0P 出发的射线。