例说方向导数与连续

方向导数一、问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．讨论函数在一点P 沿某一方向的变化率问题．),(y x f z =（如图）它的参数方程为⎩⎨⎧+=+=βαcos cos 00t y y t x x +∞<<∞-t 方向向量的有向直线，为且以面上通过点是为一单位向量，设→→→→e y x P xoy l j βi αe ),(cos +cos =00o y xαl Q ∙x ∆y ∆∙∙Pβ二、定义上任意一点，则有是设l y x Q ),(,)cos ,cos (),(00→→==--=e t t t y y x x PQ βα,t PQ =→的有向距离。

到点为点称Q P t ),()(P f Q f z -=∆当沿着趋于时，Q P l ty x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim 00000-++→βα,t z Δ考虑是否存在？.),()cos ,cos (lim 00000),(00ty x f t y t x f l ft y x -++=∂∂→βα记为定义 设函数 z=f(x,y) 在点P(00,y x )的某个邻域内有定义，l 是一非零向量，)cos ,(cos βα=→l e 是与l 同方向的单位向量，如果极限 ty x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim 00000-++→βα存在，则称此极限为函数),(y x f z =在P 点处沿l 方向的方向导数(directional derivative)，依定义，函数),(y x f 在点P 沿着x 轴正向}0,1{1=e 、y 轴正向}1,0{2=e 的方向导数分别为y x f f ,；沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 y x f f --,.所以方向导数是偏导数的推广。

模块十二 多元函数微分学※知识框架一、二重极限及连续 二、偏导数概念 三、可微与全微分 四、相互关系 五、方向导数与梯度※课程脚本：★引入：本章的标题是多元函数微分学，在前面我们介绍过一元函数微分，这里的‘多元’就是自变量为多个，而为了方便，我们一般研究的是二元函数，那么我们首先看看二元函数的概念，一． 二重极限及连续1、 二重极限 ●讲义内容【定义1】：设D 是平面上的一个点集，如果对于任意一点(),x y D ∈，变量z 按照一定的运算法则总有确定的值与之对应，则称z 关于变量,x y 的二元函数，记作(),z f x y =. ★讲解且过渡：给出二元函数定义后，下面不妨我们可以回忆下一元函数微分中的知识点，一块回忆下：一元函数()y f x =中自变量就一个“x ”，而二元函数显然就是自变量为两个，我们一般用,x y 来表示，当然也可以定义三元或者多元的函数，不过对于我们来说研究的对象大多是二元，其定义域也有一元函数时的区间变成了二元函数的平面区域，举个简单的二元函数例子：2z x y =，。

另外在一元函数中我们研究了极限、连续、可导。

可微等，其实这些可以延拓到二元函数中的，下面首先看看二元函数的极限问题，为了显示和一元函数的区别，我们称二元函数的极限为二重极限 ●讲义内容【定义2】：设(),z f x y =是D 上的一个函数，()00,x y D ∈，假设存在实数A ，使得0ε∀>，总0δ∃>，当0δ<时，有()0,f x y A ε<-<.则称当(),x y 趋近于()00,x y 时，函数(),fx y 的二重极限为A .记作()()00(,),lim,x y x y f x y A →=或()00lim ,x x y y f x y A →→=.★讲解且过渡：二重极限是一元函数极限的推广，它的定义要与一元函数的极限对比起来理解.例如，与一元函数一样，(),x y 在趋近于()00,x y 时，也不会等于()00,x y ，只会无限地接近；一元函数极限中x 趋近于0x 仅有两种方式——左或右，所以只要求左右极限存在且相等就能说明极限存在了；而二维平面上(),x y 趋近于()00,x y 的方式可以有无穷多种，另外在一元函数中极限存在的话是左右极限存在且相等，那么在二元函数中关于二重极限存在的内在要求是(),x y 沿任何路径趋近于()00,x y 的极限值都应该存在并且相等，换句话说如果能找到函数按照两种不同的路径逼近某一点的极限不一样，就可以断定函数在该点的极限不存在，其实这也是我们在具体做题的过程中判断极限不存在的思路，那么其他求极限的方法有哪些呢？其实这个时候也可以按照一元函数求极限的方法进行分析，大概有一下几种：1、四则运算。

多元函数微分学的应用引言多元函数微分学是微积分的一个重要分支，通过研究多元函数的极限、连续性、可微性、偏导数、全微分以及二阶偏导数等概念和性质，为解决实际问题提供了强大的工具和方法。

本文将介绍多元函数微分学在实际应用中的一些案例和方法。

1. 函数的极限多元函数的极限是多元函数微分学的基础，它描述了函数在某一点处的趋近性。

在实际应用中，我们常常需要确定一个多元函数在某一点的极限，以便对问题进行分析和计算。

对于给定的多元函数f(x,y)，如果当点(x,y)趋近于某一点(a,b)时，f(x,y)趋近于一个常数L，则称f(x,y)在点(a,b)处有极限，记为$\\lim_{(x, y) \\to (a, b)} f(x, y) = L$。

2. 函数的连续性函数的连续性是多元函数微分学的另一个重要概念。

一个多元函数f(x,y)在某一点(a,b)处连续，意味着在点(a,b)的任意一个邻域内，函数值和点(a,b)的距离趋近于零。

连续函数在实际应用中具有重要的意义，因为它们能够准确地描述函数的行为和性质。

3. 偏导数与全微分在实际问题中，我们常常需要计算多元函数的偏导数和全微分，以便分析函数的变化率和方向导数。

对于一个多元函数f(x,y)，它的偏导数$\\frac{\\partialf}{\\partial x}$和$\\frac{\\partial f}{\\partial y}$分别表示函数在x方向和y方向上的变化率。

全微分df表示函数的微小变化量，它可以用偏导数表示为$df =\\frac{\\partial f}{\\partial x}dx + \\frac{\\partial f}{\\partial y}dy$。

4. 高阶偏导数在多元函数微分学中，我们还可以计算多元函数的高阶偏导数。

高阶偏导数描述了函数的高阶变化率和曲率性质。

例如，一个二阶偏导数$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}$表示函数在x方向上的曲率，而一个二阶偏导数$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}$表示函数在x和y方向上的变化率的关系。

方向导数的相关问题张月梅;李小飞【摘要】通过举反例,说明了函数在某点的方向导数与函数在该点的连续性、可偏导性、可微性等之间的关系,以及方向导数与其计算公式之间的有关问题.【期刊名称】《山东师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(030)002【总页数】4页(P24-26,30)【关键词】方向导数;连续;偏导数;可微分【作者】张月梅;李小飞【作者单位】长江大学信息与数学学院,434020,湖北荆州;长江大学工程技术学院,434020,湖北荆州;长江大学工程技术学院,434020,湖北荆州【正文语种】中文【中图分类】O172.1方向导数是高等数学中的一个重要概念，也是一个难点，不同的教材对方向导数的定义有所不同.本文的讨论完全基于文献[1]，也是目前最普遍的一种定义.这里主要以二元函数为例.定义1[1] 设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域U(P0)内有定义，l是以P(x0,y0)为起点的一条射线，el=(cosα,cosβ)是与l同方向的单位向量，P′(x0+tcosα,y0+tcosβ)为射线l上另一点，且P′∈U(P0)，如果极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P0处沿方向l的方向导数，记作方向导数的存在性和计算公式如下：定理1[1] 如果函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)处可微分,那么函数在该点处沿任一方向el=(cosα,cosβ)的方向导数都存在,且基于上面的定义和定理，下面讨论方向导数的相关问题.函数在某点沿任意方向的方向导数都存在，但函数在该点处不一定连续，如：例1 设则f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在，但f(x,y)在(0,0)处不连续. 事实上，设射线l的单位向量为el=(cosα,cosβ)，若cosβ=0，即l为x轴正半轴或负半轴，此时f(tcosα,tcosβ)=f(tcosα,0)=0,从而有若cosβ≠0，则有.综合以上两种情况知函数f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在；但f(x,y)在(0,0)处不连续，如当点(x,y)沿曲线y=kx2趋于(0,0)时的极限为与k有关，从而(x,y)不存在，即f(x,y)在(0,0)处不连续.反之，函数在某点连续，但函数在该点处沿任意方向的方向导数不一定都存在，如：例2 考察函数由初等函数的连续性知f(x,y)在(0,0)连续，但极限为无穷大，故不存在，即f(x,y)在(0,0)处沿任意方向(cosα,cosβ)的方向导数均不存在.由以上两例，我们可得出结论：方向导数的存在与函数的连续无关.由定义1不难得出：若函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数存在，且射线l的方向是x轴正向，即el=i=(1,0)，则方向导数若射线l的方向是x轴负向，即el=-i=(-1,0)，则方向导数同理可得沿y轴正、负向的方向导数与偏导数fy(x0,y0)的关系.由此可知：函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数存在，则f(x,y)在P0(x0,y0)处分别沿坐标轴正、负方向的方向导数存在，但并不意味着任意方向的方向导数都存在，如：例3 设则由偏导数的定义易得函数f(x,y)在点(0,0)处的偏导数存在，且fx(0,0)=fy(0,0)=1，但f(x,y)在点(0,0)处沿非坐标轴(正负)方向的方向导数不存在.事实上，设l的方向为el=(cosα,cosβ)，其中cosα·cosβ≠0，则有不存在，即说明沿l的方向的方向导数不存在.反过来，如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿x(y)轴正、负向的方向导数存在，且互为相反数，则函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)(fy(x0,y0))存在.也就是说即使沿x(y)轴正、负向的方向导数存在，偏导数也不一定存在，甚至是函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在，偏导数都不一定存在，如：例4 函数在点O(0,0)处，设l的方向为el=(cosα,cosβ)，则由定义容易计算方向导数，而由于沿坐标轴正负向的方向导数不是互为相反数，故偏导数不存在.定理1已经告诉我们，若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微，则f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在；反之，若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在，函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处却不一定可微，如例1中函数f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在，但f(x,y)在(0,0)处不连续，从而f(x,y)在(0,0)处不可微；又如例4中函数f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在，且等于1，但f(x,y)在(0,0)处偏导数不存在，从而f(x,y)在(0,0)处不可微.即使在函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在的基础上，加上f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续且偏导数存在，也不能得出f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微. 例5 设函数由于由夹挤准则可得故知f(x,y)在(0,0)处连续；接下来考虑函数f(x,y)在(0,0)处沿各方向的方向导数.设l的方向为el=(cosα,cosβ).若cosβ=0，即l为x轴正半轴或负半轴，此时从而有若cosβ≠0，则有综合以上两种情况可知f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数均存在，且均为0，从而可得f(x,y)在(0,0)处偏导数存在，且fx(0,0)=fy(0,0)=0.接下来讨论f(x,y)在(0,0)处的可微性.Δz=f(Δx,Δy)-f(0,0)，则极限不存在，从而函数f(x,y)在(0,0)处不可微.此例说明函数在某点连续、偏导数存在、沿任意方向的方向导数存在，都仅仅是可微的必要条件.由定理1可知，当函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)处可微分,那么函数在该点处沿任一方向el=(cosα,cosβ)的方向导数都存在,且都可由公式(1)计算.使用公式(1)计算方向导数的前提条件是要求函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)处可微分，也就是说函数不可微时，该公式不一定成立.如下例：例6 设由偏导数的定义易求得fx(0,0)=1，fy(0,0)=0，且容易证明f(x,y)在(0,0)处不可微；取l的方向为则f(x,y)在(0,0)处沿l方向的方向导数为而事实上，定理1的条件是充分的：即使函数f(x,y)在点P(x0,y0)处沿任意方向e l=(cosα,cosβ)的方向导数都存在，且都满足公式(1),也不能得到函数f(x,y)在点P(x0,y0)处可微.例7 设容易求出fx(0,0)=fy(0,0)=0；类似例1的方法，当点(x,y)沿曲线y=kx3趋于(0,0)时的极限与k有关，故函数f(x,y)在(0,0)处不连续，从而不可微.设l的单位向量为el=(cosα,cosβ)，则以上分别基于定义1和定理1讨论了二元函数的方向导数与连续、偏导数、可微分的关系，最后讨论了方向导数的计算公式，希望对方向导数的理解有所帮助.以上讨论的结果均可推广至多元函数以及向量值函数.[1] 同济大学数学系.高等数学(第六版) [M] .北京：高等教育出版社，2007.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版) [M] .北京：高等教育出版社，2001.[3] 周民强.数学分析习题演练(第三册)[M] .北京：科学出版社，2006.[4] 王安平，杨波，周云才,等.高等数学(下册)[M] .长沙：湖南教育出版社，2014.[5] 张月梅.向量值函数的导数[J] .吉林师范大学学报，2014,35(1):57-59.。

例说方向导数与连续
不妨来说说方向导数与连续的关系，它们一直在不断被用于互联网计算机技术之中来满足日渐增加的网络需求。

方向导数和连续技术是互联网中重要的模块，它们被广泛运用于数据收集及存储、数据分析和安全性等领域。

简而言之，方向导数就是一种求导数的方法，它可以快速确定主要变量在某一点处发生了什么样的变化。

例如，对于某一类物料的价格，方向导数可以求出它的范围和浮动，使得商家拥有可操作的边界来调节市场价格，从而提高运营效率。

连续技术是指数据在开发过程中可以持续被更新和改进，因此可以获得更高的可扩展性和可用性，从而为后续的开发提供了可操作的依据。

比如，在物联网开发过程中，可以将收集的数据持续的上传到云端，从而使得用户可以随时获得及时的数据分析和管理，从而极大提高了用户的操作体验。

归结起来，在互联网的数据处理中，方向导数可以迅速确定变量的规律并快速求出其变化范围，而连续技术则可以对数据进行实时的处理更新，以保持较高的可扩展性和可用性，充分满足互联网技术处理中的数据需求。

第八章第七节方向导数与梯度,PlϕP lαT lz =f (x ,y )•Mρ本质上，方向导数计算可归结为一元函数导数计算14 1414)e ()()e (i i f i if l l r rr rr −=−∂∂=∂∂存在，且时，当i l r r =e ;x f i f ∂∂=∂∂时，当i l r r −=e .)(xf i f ∂∂−=−∂∂)e ()()e (i i fi ifl l r r r r −=−∂∂=∂∂存在可微可偏导沿任意方向的方向导数存在处沿任意方向在)0,0(),(22y x y x f +==均不存在，)0,0()0,0(),(在从而y x f 1oα=5π/4的方向导数达沿梯度相反方向，∂f ∂l取得最小值： min (∂f ) = l ∂l− gradf (x, y)≤0f ( x, y)减小最快 .方向：是函数值增加最快的方向 grad f :模 : 等于函数的方向导数最大值2º 梯度的概念可以推广到三元函数 u = f ( x, y, z)grad f (x, y,z) = { ∂f , ∂f , ∂f } ∂x ∂y ∂z类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质.例5 求函数 u = ln( x2 + y2 + z2 ) 在点 M (1,2, −2)处的梯度。

解grad uM= ⎜⎛ ⎝∂u, ∂u, ∂u ∂x ∂y ∂z⎟⎞ ⎠(1,2,−2)令r=x2 +y2 + z2,则∂u = ∂x1 r2⋅ 2x注意 x , y , z 具有轮换对称性= ⎜⎛ ⎝2 rx2,2 ry2,2z r2⎟⎞ ⎠ (1,2,−2)= 2 (1, 2, − 2) 93. 梯度的几何意义(1) 等高线z对函数 z = f ( x, y),曲线⎧ ⎨ ⎩z z= =f c(x,y)xoyL*在xOy面上的投影 L* : f ( x, y) = c称为函数 z = f (x, y)的等高(值)线 .z z =2−(x2+y2)z =c2ygrad f ( x, y)o xz =c1yf (x, y) =c1 f (x, y) =c2o x(c1 < c2 )(2) 等高线 f (x, y) = c 的法向量等高线 L∗：f ( x, y) = c⎩⎨⎧x y= =x y(x)L∗在点 P ( x, y)处的切向量：r T={1,d y } = {1, −fx }dxfy=1 fy{fy,−fx}( fy ≠ 0)L∗在点 P ( x , y )处的法向量：nr = ± { f x , f y }(nr ⋅r T=0)(3) 等高线上的法向量与梯度的关系L∗在点 P ( x, y)处的法向量为 nr, 则① nr // grad f ( x, y)②∂f=gradf ( x, y) cos(gradf(x,y)∧,nr)∂n = ± grad f ( x, y)= 0或π当 nr 与 grad f ( x, y)同方向时，∂f ∂n=gradf(x,y)=maxl∂f ∂l当 nr 与 grad f ( x, y )同方向时，∂f = ∂ngradf(x,y)=maxl∂f ∂l≥0沿梯度方向， f ( x, y)的值增加最快.故 z = f (x, y) 在点 P( x, y )的梯度恰为等高线 f (x, y) = c 在这点的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数．梯度为等高线上yf ( x, y) = c2 grad f ( x, y) 的一个法向量，P其指向为：从数值较低的等高线f ( x, y) = c1到数值较高的等ox高线.(c1 < c2 )f (x, y) = c等高线同样, 对应三元函数 u = f ( x, y, z), 有等值面(等量面)f (x, y,z) = c, 当各偏导数不同时为零时, 等值面上 点P处的法向量为 grad f P . 函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数 增大的方向.类似地,设曲面c z y x f =),,(为函数),,(z y x f u = 的等量面，此函数在点),,(z y x P 的梯度的方向与 过点P 的等量面c z y x f =),,(在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数沿这个法线方 向的方向导数.4. 梯度的基本运算公式grad (1)r=C u C u C grad )(grad (2)=v u v u grad grad )(grad (3)±=±u v v u v u grad grad )(grad (4)+=uu f u f grad )()(grad (5)′=5. 梯度的应用梯度的应用非常广泛，如：(1) 计算方法中求解非线性方程组的最速下降法；(2) 在热力学中，引出热流向量：U k q grad −=r(其中U (P )为温度函数)表示物体中各点处热流动的方向和强度；(3) 在电磁场学中的电位u 与电场强度有关系：E ruE grad −=r这说明场强:垂直于等位面,且指向电位减少的方向.),z y 沿方向l (γzfβcos cos ∂∂+)沿方向l (方向角为可微时方可用。