初二数学讲义(4)证明

初二数学寒假讲义4-------菱形的性质及判定一、基本知识点1、定义：_________________________________________________.2、性质：（1）边：___________________________ （2）角：___________________________ （3）对角线：___________________________ （4）对称性：___________________________3、菱形的判定方法:（1）___________________________ （2）___________________________ （3）___________________________4、面积:设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=______；若菱形的两对角线的长分别为a ，b ，则S 菱形=_______ 二、基本思路1、菱形中，对角线互相垂直且平分且邻边相等，形成直角三角形和等腰三角形，勾股定理以及等腰三角形的性质及等腰三角形的三线合一是常考查的.2、菱形的常用判定方法：（1）先证明四边形ABCD 为平行四边形，再得到__________________; （2）先证明四边形ABCD 为平行四边形，再得到___________________; （3）证明___________________,直接证明是菱形.【问题探究】知识点1. 菱形的概念例1．如图，矩形ABCD 对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，CE 、DE 交于E ，求四边形DOCE 是菱形。

知识点2. 菱形的性质例2．如图：在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 的长分别为a 、b ，AC 、BD 相交于点O.⑴用含a 、b 的代数式表示菱形ABCD 的面积S ； ⑵若a=3cm ，b=4cm ，求菱形ABCD 的面积和周长.A B CEDO知识点3. 菱形的判定方法：例3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.四边形AFCE是菱形吗？为什么？例4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB 交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．例题5：如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．(1)求证：△BDF≌△CDE；(2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．知识点4.菱形的简单应用：例6．如图，两条等宽的矩形纸条倾斜地重叠着，你认为重叠部分ABCD是什么样的一个四边形？请动手叠一叠，并说明理由。

B CD AOB CE DA A CB ’ CA B C B ’ C 8、八年级数学理科班：直角三角形全等判定、性质姓名一、【直角三角形全等的特殊判定方法】知识要点：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。

简记为HL 。

1、【定理证明】已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AB=A’B’ 求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’2、【直角三角形全等判定方法梳理】如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’=90°）是否全等？如果全等在（ ）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（ ）里打“×”. （1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （ ） _______ （2）AC=A’C’，BC=B’C’ （ ） _______ （3）AB=A’B’，BC=B’C’ （ ） _______ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （ ） ________3、【应用练习】 选择题1．下列说法正确的有（ ）① 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等② 两条边分别相等的两个直角三角形全等 ③ 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ④ 斜边相等的两个等腰直角三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知，如图，BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 与CE 相交于O ， 且BD=CE ，则图中全等的三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边 所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余或相等D ．相等或互补4．如图，已知：∠A=∠D=90°,AB=CD,求证：AC=DBBC F E DABC FE D AB C F E D A5．如图，已知：AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,BF=CE.求证：AB ∥CD6．如图，已知：AB=AE, ∠B=∠E=90°,AF 垂直平分CD,求证：BC=DE7．如图，已知：AD 平分∠BAC,DB ⊥AB,DF ⊥AC 于点F ，ED=CD,求证:AC=AE+2BE.8．已知：AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ， 求证：CE=DF二、直角三角形的性质 1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余（显然） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2、【定理证明】已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 的中线.求证：AB CD 21例1．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，问：MN与DE有什么样的位置关系，并说明理由。

第一章三角形的证明1.1等腰三角形（一）一、问题引入：列举我们已知道的公理：.（1）公理：同位角，两直线平行.（2）公理：两直线，同位角.（3）公理：的两个三角形全等.（4）公理：的两个三角形全等.（5）公理：的两个三角形全等.（6）公理：全等三角形的对应边，对应角. 注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.二、基础训练：1. 利用已有的公理和定理证明：“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.”2. 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2)等边对等角三线合一三、例题展示：在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想.四、课堂检测：1. 如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A.∠A=∠B ; B . BF=CE; C. AE∥DF; D. AE=DF.2. 如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为.3.（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为.（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为.4. △ABC中，AB=AC, 且BD=BC=AD，求∠A的度数.5. 如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE中考真题：已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G 是垂足，求证：（1）G是CE中点.（2）∠B=2∠BCE.1.1 等腰三角形（二）一、问题引入：1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？2.等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明.已知：求证：证明：得出定理： .问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明二、基础训练；1. 请同学们阅读P6的问题（1）.（2），由此得到什么结论？2. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？得出定理： ；简称： .三、例题展示：如图，△ABC 中，D.E 分别是AC.AB 上的点，BD 与CE相交于点O ，给出下列四个条件①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明.四、课堂检测：1. 已知：如图，在直角△ABC 中，角C 为45度，AD 垂直于BC,DE 垂直于AB,则图中等腰直角三角形共有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个2. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=1200, D.E 是BC上两点，且第1题 第2题 第3题 第4题AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是三角形.3. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，则△ABC的周长为（）A.30B.36C.39D.424. 在△ABC中，AB=AC, ∠A=360,BD.CE是三角形的平分线且交于点O，则图中共有个等腰三角形.5. 如图：下午14：00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.1.1 等腰三角形（三）一、问题引入：1. 已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形.2. 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论.得出定理：有一个角是的三角形是等边三角形.二、基础训练：做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明.得出定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的.三、例题展示：1. 等腰三角形的底角为150，腰长为2a，求腰上的高.2. 判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半.（）（2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（）3. 证明三个角都相等的三角形是等边三角形.四、课堂检测1. 等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是.2. 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A =300，CD⊥AB，BD=1，则AB= .3. 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:EC= .4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中点D处，则∠A= .5. 在Rt△ABC中，∠C=300，AD⊥BC，你能看出BD与BC的大小关系吗？中考真题：已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长.1.3 线段的垂直平分线（一）一、问题引入：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？二、基础训练：议一议：写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流.三、例题展示：例：如图在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB.BC 延长线于F.E求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF ∥AC（3）∠EAC=∠B四、课堂检测:1. 已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在 上.2. 已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= .3. △ABC 中，∠A=500，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D 则∠DBC 的度数 .4. △ABC 中，DE.FG 分别是边AB.AC 垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= .5. 如图，△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是 .6. 有特大城市A 及两个小城市B.C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B.C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.第1题 第4题 第5题中考真题：已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB.BC 于D.E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C1.3 线段的垂直平分线（二）一、问题引入：1. 等腰三角形的顶点一定在上.2. 在△ABC中，AB.AC的垂直平分线相交于点P，则PA.PB.PC的大小关系是.3. 在△ABC中，AB=AC，∠B=580，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC= .4. 已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线.A B二、基础训练：1. 三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离是否相等？上面的问题如何证明？定理：三角形三条边的垂直平分线相交于，这一点到三个顶点的距离.三、例题展示：（1）如图，在△ABC中，∠A=400,O是AB.AC的垂直平分线的交点，求∠OCB 的度数；（2）如果将（1）中的的∠A度数改为700，其余的条件不变，再求∠OCB的度数；（3）如果将（1）中的的∠A度数改为锐角a，其余的条件不变，再求∠OCB 的度数.你发现了什么规律？请证明；（4）如果将（1）中的的∠A度数改为钝角a，其余的条件不变，是否还存在同样的规律？你又发现了什么？四、课堂检测：1. 在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A. 三角形三条角平分线的交点；B. 三角形三条垂直平分线的交点；C. 三角形三条中线的交点；D. 三角形三条高的交点.2. 已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形；B. 直角三角形；C. 钝角三角形；D. 不能确定3. 等腰Rt△ABC中，AB=AC，BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是.4. 已知线段a.b，求作以a为底，以b为高的等腰三角形.a b中考真题：已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段.1.4角平分线（一）一、提出问题：1. 角平分线的定义：______________________________________2. 问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它？定理归纳：二、基础训练：用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.三、例题解释：例：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠ABC=90°，EF⊥AC，交BC于点D，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.四、课堂检测1. OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（）A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD2、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFD C:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDFFEDC BA3. △ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°4. 与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上D：以上都不对5. ∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________.6. 在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________.7. 如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A.B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试.中考真题：如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.1.4 角平分线（二）基础训练：1. 如图：设△ABC的角平分线交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离.引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a.b.c，则三角形的面积S= .2. 已知：△ABC中，BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为.3. 到三角形三边距离相等的点是（）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条角平分线的交点D.不能确定三、例题展示：例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E. （1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、课堂检测：1. 到一个角的两边距离相等的点在.2. △ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，则D 到AB的距离为.3. Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm.4. △ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O，则∠BAO和∠CAO的大小关系为.5.Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是.6. 已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM ，AD ⊥ON ，BE ⊥OM ，BF ⊥ON ，垂足分别为C.D.E.F ，且AC=AD 求证：BE=BF中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.第一章 单 元 检 测一、填空题（每小题3分）：1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为 米.2. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 三角形.3. 如图，已知AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是 或 .4. 命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 ___________________________________ ___.这条逆命题是______命题（填“真”或“假”）5. 如图，一个顶角为40º的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则=∠+∠21_________ ；6. 在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ，则∠BAC ＝ ，∠DAC ＝ ，BD ＝ cm ；第18题图C B A 第1题 第5题7. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC.∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC = 10，则△ODE 的周长为 .8. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 相交于D 点，则∠BCD 的度数是 .9. △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.若DC=7，则D 到AB 的距离是 .10. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD的长为 .二、选择题（每小题3分）1.等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（ ）A.90°B.60°C.120°D.150°2.下列两个三角形中，一定全等的是 （ ）A.有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形3. 到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边垂直平分线的交点4. △ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D 若BC=a ，则AD 等于（ ） A.21a B.23a C.23a D.3a 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ）A.30°B.36°C.45°D.70°三、解答题（每题12分）1. 如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°.求：（1）∠ABC 的度数（2）AD 和CD 的长.2.已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°.(1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交BC. AB 于点M.N(保留作图痕迹，不写作法).(2)猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想.四、证明题（每题10分）1.已知：如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD.求证：D 在∠BAC 的平分线上.2. 已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝ CD ．求证：BD ＝ DE ．五、（本题11分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法提示，请任意选择其中一种，对原题进行证明．。

北师大版初二数学下册讲义《构造全等三角形的六种常用方法》【名师点睛】在进行几何题的证明或运算时，有时需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，比较溶液找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松的解决。

常见的辅助线作法有：翻折法、构造基础三角形法、旋转法、平行线法、倍长中线法和截长补短法，目的差不多上构造全等三角形。

[方法1]翻折法1.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C.解答：证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE∴AB=FB∴∠2=∠AFB∵∠AFB=∠1+∠C∴∠2=∠1+∠C.[方法2]构造基础三角形法2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,∠ABC=45∘，点D为BC 的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC =∠BDF.解答：证明：作BG⊥CB,交CF的延长线于点G,如图所示：∵∠CBG=90∘，CF⊥AD∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90∘∴∠CAD=∠BCG在△ACD和△CBG中∠CAD=∠BCGAC=BC∠ACD=∠CBG=90∘∴△ACD ≌△CBG(ASA)∴CD=BG ，∠CDA=∠CGB∵CD=BD∴BG=BD∵∠ABC=45∘∴∠FBD=∠GBF=21∠CBG在△BFG 和△BFD 中BG=BD∠FBD=∠GBFBF=BF∴△BFG ≌△BFD(SAS)∴∠FGB=∠FDB∴∠ADC=∠BDF.[方法3]旋转法3.正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数。

解答：延长EB 使得BG=DF ，连接AG ，在△ABG 和△ADF 中由AB=AD ，∠ABG=∠ADF=90∘，BG=DF可得△ABG ≌△ADF(SAS)∴∠DAF=∠BAG ，AF=AG又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG ，AE=AE在△AEG 和△AEF 中，AE=AE ，GE=FE ，AG=AF∴△AEG ≌△AEF(SSS)∴∠EAG=∠EAF∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90∘∴∠EAG+∠EAF=90∘∴∠EAF=45∘.[方法4]平行线法4.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交B C于P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：A B+BP=BQ+AQ.解答：证明：过点O作OD∥BC交AB于点D.∵OD∥BC∴∠ADO=∠ABC∵∠BAC=60°，∠C=40°∴∠ABC=80°∴∠ADO=80°∵BQ平分∠ABC∴∠ABQ=∠QBC=40°∴∠AQB=∠C+∠QBC=80°∴∠ADO=∠AQB∵AP平分∠BAC∴∠DAO=∠QAO=30°又∵OA=OA∴△ADO≌△AQO∴OD=OQ，AD=AQ又∵OD∥BP∴∠PBO=∠DOB又∵∠PBO=∠DBO∴∠DBO=∠DOB∴△DOB是等腰三角形∴BD=OD∴BD=OQ∵∠BAP=30°，∠ABQ=40°∴∠BOP=70°∵∠BAP=30°，∠ABC=80°∴∠APB=70°∴∠BOP=∠APB∴△BOP是等腰三角形∴BO=BP∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ，即AB+BP=BQ+AQ.[方法5]倍长中线法5.如图，△ABC中，D为BC的中点。

级下：初二数学提高班讲义4：无理方程姓名_______________辅导时间________________________【一】 知识梳理：1、 无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．2、 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．3、 解无理方程基本思路：通过乘方，把无理方程转化为有理方程．4、 无理方程的增根：（解无理方程验根的必要性）乘方之后所得整式方程的根，代入原无理方程检验得不是原无理方程的根．5、 解分式方程基本步骤：① 去根号，把无理方程化为有理方程； ② 解这个有理方程；③ 验根；④写出原方程的根． 〖例题选讲〗一、选择：1、下列方程中，不是无理方程的是（ ）（A x =； （B 1； （C 1=； （D 1=．2、下列方程中，有实数根的方程是（ ）（A 0=； （B 102=； （C 2=； （D 2=． 3、下列正确的是（ ）（A ）方程x =1-和3； （B 40=的根是x=5；（C 7x =-的根是10x =； （D y =-的根是1y =-．42x =-的根的情况是（ ）（A ）无实数根； （B ）只有x=2一个根； （C ）有无数多个实数根； （D ）只有两个实数根．二、填空：5、在下列方程后的括号内，填入方程的根，或“无实数根”．①20=（ ）； ②20=（ ）③x =（ ）； ④x =（ ）⑤3=（ ）； ⑥3=（ ）⑦3（ ）； ⑧ 0=（ ）10=（ ）； ⑩ 3=（ ）6、x 3x =- ，72k =无实数根，那么k 的取值范围是 ．83x m =+有一个根是x=3，那么m= ．9、解方程286x x -=时，设y =换元后，整理得关于y 的整式方程是 ．10、4=时，y = 换元后，整理得关于y 的整式方程是 ．11、若|5|0x y +-=，则___________xy =.12、函数()f x a =(1)3f -=，那么a= ．13、若关于x p =只有一个实数根，那么这个根是 ．三、解方程：14x =- 15、4x =163x = 171=18、52= 19、2265x x -+.四、解答题20、已知关于x x =有一个根是1，求这个方程的另一个根．21、求直角坐标平面内到()()0,15,0,9P Q -的距离都等于15的点的坐标．22、试用换元法解方程：（1）30x=（2）4x=23、已知a是非零整数，且满足()3213811322a aaa->-⎧⎪⎨->+⎪⎩，解关于x的方程：2310x x a-+=．。

第七讲 命题与证明一、内容提要：1、定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。

命题：对某一事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题。

定理和公理的定义；2、了解命题的结构，命题有题设和结论两部分组成，能用“如果……那么……”的形式来表示命题。

3、学会证明简单的命题，能用反例说明假命题。

会运用反证法证明命题。

二、热身练习1．下列语句中，属于定义的是（ ）A ．同角的余角相等B ．一个点到一条直线的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离C ．两直线平行，内错角相等D ． 两点确定一条直线 2．2.下列命题为假命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．等角的余角相等D ．点到直线的所有线段中，垂线段最短 3.下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ）A 、一个角是45°的两个等腰三角形;B 、两个等边三角形;C 、腰长相等的两个等腰直角三角形;D 、各有一个角是40°，腰长都为5㎝的两个等腰三角形4．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式． （1）两直线平行，同旁内角互补；（2）等角的余角相等。

（3）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

5．可用来说明命题“若,92=x 则3=x ”是假命题的反例是 。

6．命题“三角形中与一个内角相邻的外角必是钝角”是假命题，它的反例是 .7．判断命题“c b a ,,是三条线段，若c b a >+，则c b a ,,必能组成三角形”的真假，并给出证明。

三、例题分析例1证明命题“有两条高相等的三角形是等腰三角形”.例2如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？例3、如图，点M N ，分别在正三角形ABC 的BC CA ，边上， 且BM CN =，AM BN ，交于点Q ．求证：60BQM = ∠．变式①若将题中“BM CN =”与“60BQM =∠”的位置交换，得到的是否仍是真命题？变式②若将题中的点M N ，分别移动到BC CA ，的延长线上，是否仍能得到60BQM =∠？ACNQMB（例3题图）变式③若将题中的条件“点M N ，分别在正三角形ABC 的BC CA ，边上”改为“点M N ，分别在正方形ABCD 的BC CD ，边上”，是否仍能得到60BQM = ∠？例4．两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ，则EMC △是什么三角形．例5、如图，△ABC 是正三角形，D ，E ，F 分别是各边上的一点，且AE =2EB ，EF =ED ，∠FED =60°． (1)△BFE 与△AED 全等吗？请说明理由；(2)FE ⊥AB 吗？请说明理由．例6、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB=BC=4-CD＝AD 边的长ＭＢＡ Ｅ Ｄ（第4题图）FD E B A C例7、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点，求证： （1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．★★例8、若方程022=-+q px x （p ，q 是实数）没有实数根，求证：41<+q p .★★★例9、图中是一副三角板，45°的三角板Rt △DEF 的直角顶点D 恰好在30°的三角板Rt △ABC 斜边AB 的中点处，∠A =30o ，∠E = 45o ，∠EDF=∠ACB=90 o，DE 交AC 于点G ，GM ⊥AB 于M ． （1）如图①，当DF 经过点C 时，作CN ⊥AB 于N ，求证：AM=DN ． （2）如图②，当D F ∥AC 时，DF 交BC 于H ，作HN ⊥AB 于N ，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．EB例9图①B②。

目录第一讲三角形 (2)1.1与三角形有关的线段 (2)1.2与三角形有关的角 (8)第二讲全等三角形的性质与判定 (22)2.1全等三角形的性质 (22)2.2全等三角形的判定 (23)2.3全等模型 (27)第三讲全等三角形常见的辅助线（一） (39)3.1角平分线 (39)3.2截长补短 (46)第四讲全等三角形常见的辅助线（二） (56)4.1倍长中线 (56)4.2全等其他辅助线 (58)第五讲轴对称 (72)5.1轴对称图形 (72)5.2垂直平分线 (75)5.3作轴对称图形 (77)5.4轴对称的坐标表示 (83)第六讲等腰三角形 (94)6.1等腰三角形的性质 (94)6.2等腰三角形的判定 (98)6.3等边三角形 (99)第七讲几何综合（一） (112)7.1倍长模型 (112)7.2截长补短 (118)7.3其他构造全等的方法 (122)第八讲几何综合（二） (131)8.1利用轴对称求最值——将军饮马问题 (131)8.2翻折问题 (138)8.3垂直平分线 (140)8.4三角形问题 (142)1入门检测:1.如图所示,已知△ABC ,试说明∠A+∠B+∠C=180°.【答案】 略2.已知直线AB 和CD 相交于O 点,射线OE ⊥AB 于O ,射线OF ⊥CD 于O ,且∠BOF =25°,求∠AOC 与∠EOD 的度数.【答案】∠AOC=115°,∠DOE=155°(或∠AOC=65°,∠DOE=25°) 3.如图所示,已知AB∥CD ,试说明∠B+∥D+∥E =360°.【答案】略4.如图所示,已知AB,CD,EF 相交于O 点,AB∥CD,OG 平分∠AOE ,∠FOD =28°,求∠AOG 的度数.【答案】 59°5.如图所示,A,O,B 在一条直线上,OE 平分∠COB,OD∥OE 于O ,试说明OD 平分∠AOC .【答案】 略B AECBADFE O G CBADE 1C A324D2第一讲 三角形1.1与三角形有关的线段三角形的三边关系①三角形两边之和大于第三边 ②三角形两边之差小于第三边【例1】（1）下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是( )．A ．1,2,3.5B ．4,5,9C ．5,8,15D ．6,8, 9【答案】D【练习1.1】现有两根木棒,它们的长度分别为20cm 和30cm ,若不改变木棒的长度,要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取( )A .10cm 的木棒B .20cm 的木棒C .50cm 的木棒D .60cm 的木棒 【答案】B三角形线段角度多边形3（2）已知三角形的两边长分别为5 cm 和8 cm ，则此三角形的第三边的长x 的取值范围是__________．【答案】3 cm<x<13 cm.【练习1.2】三角形的三边分别为3，1－2A ，8，则A 的取值范围是（ ） A ．－6＜A ＜－3 B ．－5＜A ＜－2 C ．2＜A ＜5 D ．A ＜－5或A ＞－2【答案】B ．（3）若a b c 、、表示ABC ∆的三边长,化简a b c b c a c a b--+--+--.【答案】a+b+c【练习 1.3】已知a b c 、、为ABC ∆的三边长,b c 、满足2(2)30b c -+-=,且a 为方程42x -=的解,求ABC ∆的周长,并判断ABC ∆的形状.【答案】ABC ∆的周长为7,且ABC ∆是等腰三角形.【例2】（1）如图，P 是△ABC 内一点，请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．【答案】延长BP 交AC 于D【练习2.1】如图所示,已知P 是△ABC 内一点,试说明1()2PA PB PC AB BC AC ++>++PCBA4【答案】略【练习2.2】如图，D ，E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC ．【答案】三角形的三线【例3】（1）如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【练习2.1】在△ABC 中,AB=AC ,AD 是中线,△ABC 的周长为34cm ,△ABD 的周长为30cm , 求AD 的长.5【答案】AD =13cm（2）如图，BM 是△ABC 的中线，若AB =5 cm ，BC =13cm ，那么△BCM 的周长与△ABM 的周长差是多少?【答案】8cm【练习3.2】如图，BD 是△ABC 的中线，若AB =8 cm ，AC =6 cm ，BC =6cm 则△ABD 与△BCD 的周长之差为__________.【答案】2 cm .（3）如图，△ABC 的边BC 上的高为AF ，AC 边上的高为BG ，中线为AC ，已知AF =6，BC =10,BG =5. (1)求△ABC 的面积；(2)求AC 的长；(3)说明△ABC 和△ACD 的面积的关系.【答案】(1) 30. (2) 12； (3)略【练习3.3】如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是边BC ，AC 上的高，试说明∠DAC 与∠EBC 的关系．【答案】略6（4）如图,(1)(2)和(3)中的三个三角形有什么不同？画出这三个ABC ∆三边上的高AD BE 、、,CF 并指出三条高线在各自三角形的什么位置？【答案】图(1)(2)(3)中的三角形分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； 当ABC ∆是锐角三角形时,三边上的高都在三角形内；当ABC ∆是直角三角形时,三边上的高有两条是它的直角边,有一条在三角形内；当ABC ∆是钝角三角形时,三边上的高有两条在三角形外,有一条在三角形内【练习3.4】画△ABC 中AB 边上的高，下列画法中正确的是（ ）A B C D 【答案】C（5）如图,在ABC ∆中,2,3AC cm BC cm ==,ABC ∆的高AD 与BE 的比是多少?【答案】:2:3AD BE =【练习3.5】如图，AD 、CE 是△ABC 的两条高，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，CE ＝8cm ，则ADAABCBC(2)(1)(3)BCADE7的长（ ）．A .3 cmB .4 cmC .5 cmD . 6 cm【答案】B（6）如图,AD 是ABC 的角平分线,DE ∥AC,DE 交AB 于E,DF ∥AB,DF 交AC 于F ,图中∠1与∠2有什么关系?为什么?【答案】相等【练习3.6】如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 作直线DF ∥BA ，交△ABC 的外角平分线AF 于点F ，DF 与AC 交于点E ． 求证：DE=EF ．【答案】略A BCD E12CFEB3481.2与三角形有关的角三角形内角和定理【例4】(1)在△ABC 中，若∠A ＝80°，∠C ＝20°，则∠B ＝__________°；【答案】80°【练习4.1】若∠A ＝80°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝__________°；【答案】50°(2)已知△ABC 的三个内角的度数之比∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶5，则∠B ＝__________°，∠C ＝__________°.【答案】∠B ＝54°，∠C ＝90°.【练习4.2】如果三角形三个外角度数之比为5:4:3，那么这个三角形一定是（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形【答案】A(3)已知在△ABC 中，∠A ＝40°，∠B －∠C ＝40°，则∠B ＝__________，∠C ＝__________.【答案】∠B ＝90°，∠C ＝50°【练习4.3】在ABC ∆中，（1）C B A ∠=∠︒=∠,80，则=∠B _____________；（2）︒=∠-∠︒=∠-∠20,35A B C A ，则=∠B _____________； （3）︒=∠90C ，︒=∠30A ，则=∠B _____________. 【答案】（1）︒50 （2）︒85 （3）︒60(4)如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠C＝60°，求∠DAC 及∠BOA ．【答案】 ∠DAC ＝30°；∠BOA ＝120°．【练习4.4】如图，已知BD AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠40A ，则=∠D ______.【答案】40°三角形的外角【例5】(1)填空：(1)如图(1)，P 为△ABC 中BC 边的延长线上一点，∠A ＝50°，∠B ＝70°，则∠ACP ＝________°.(2)如图(2)所示，已知∠ABE ＝142°，∠C ＝72°，则∠A ＝__________°，∠ABC ＝__________°. (3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.【答案】 (1)120 (2)70 38 (3)60【练习5.1】一个三角形的一个外角是它相邻内角的1.5倍，是不相邻内角的3倍，求这个三角形的各内角.【答案】这个三角形的三个内角为︒36，︒72，︒72.(2)如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.【答案】270°.【练习5.2】如图，已知︒=∠27A ，︒=∠96CBE ，︒=∠30C . 求ADE ∠的大小.【答案】︒=︒-︒=∠-∠=∠272754A DEC D .(3)如图，O 是△ABC 外一点，OB ，OC 分别平分△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF ．若∠A ＝n °，试用含n 的代数式表示∠BOC ．【答案】.2190o on【练习5.3】如图，已知线段AD ，BC 相交于点Q ，DM 平分∠ADC ，BM 平分∠ABC ，且∠A ＝27°，∠M ＝33°，求∠C 的度数．【答案】39°．1.3多边形及其内角和多边形定义【例6】(1)三角形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(2)四边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(3)五边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(4)n 边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线． 【答案】一个三角形有3个顶点，3个角，6个外角，从一个顶点能画出0条对角线，共有0条对角线；一个四边形有4个顶点，4个角，8个外角，从一个顶点能画出1条对角线，共有2条对角线；一个五边形有5个顶点，5个角，10个外角，从一个顶点能画出2条对角线，共有5条对角线；一个n 边形有n 个顶点，n 个角，2n 个外角，从一个顶点能画出(n －3)条对角线，共有n(n －3)2条对角线；【练习 6.1】(1)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．【答案】六边形．(2) 十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线【答案】10个顶点，10个内角，20个外角，从一个顶点能画出7条对角线，共有35条对角线；多边形内角和与外角和【例7】（1）四边形的四个内角的度数的比是1：2：4：3，则最小的内角为_______度．【答案】36°【练习7.1】一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，该内角多少度？【答案】130°（2）已知一个多边形的每个内角都等于168°，求它的边数．【答案】30【练习7.2】一个多边形的内角和等于其外角和，这个多边形是________边形；【答案】四（3）证明：多边形外角和为360°【答案】略【练习7.3】一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.【答案】15（4）如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°【答案】360°【练习7.4】(1)已知：如图A，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝______．(2)已知：如图B，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝______．图A 图B【答案】(1)360°；(2)360°（5）如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【答案】360°【练习7.5】如图，在图A中，猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______°．请说明你猜想的理由．图A 图B如果把图A称为2环三角形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F；图B 称为2环四边形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H，则2环四边形的内角和为______°；2环五边形的内角和为______°；2环n边形的内角和为______°【答案】360；720；1080；2(n－2)×180．课后作业:1. 如图，已知在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=42°，∠C=84°，试求∠AEC，∠DAE．【答案】69°，21°2．如图所示，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线．分别交于D，P．（1）若∠A=30°，求∠BDC，∠BPC．（2）不论∠A为多少时，探索∠D+∠P的值是变化还是不变化？为什么？【答案】（1）∠BDC=105°，∠BPC=75°；（2）不变，∠D+∠P=180°3．（1）如图①所示，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？（2）如图②若把△ABC纸片沿DE点折叠当点A落在四边形BCED内部时，则∠A 与∠α+∠β之间有一种数量关系始终保持不变，请写出这个规律？并说明理由？【答案】（1）∠1+∠2=∠B+∠C（2）α+β=2∠A 4．请完成下面的说明:（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，试说明∠BGC=90°-12∠A．说明：根据三角形内角和等于180°，可知∠ABC+∠ACB=180°-∠_____．根据平角是180°，可知∠ABE+∠ACF=180°×2=360°，所以∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠_____）=180°+∠______．根据角平分线的意义，可知∠2+∠3=12（∠EBC+∠FCB）=12（180°+∠_____）=90°+12∠_______．所以∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-∠____．（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+12∠A．（3）用（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？①②【答案】（1）A A A A A A（2）略（3）互补．5. 如图所示，分别在三角形，四边形，五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪（图中阴影部分）．（1）图①中草坪的面积为_____;（2）图②中草坪的面积为_____;（3）图③中草坪的面积为_____;（4）如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_____．【答案】（1）12πR2（2）πR2（3）32πR2（4）22n-πR26.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm和15 cm两部分，求三角形的底边长．【答案】7 cm或11 cm.7.不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．【答案】5或4．8.若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．【答案】这个多边形的边数是5，内角和是540°.9.如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.【答案】125°10.一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2 670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．【答案】边数是17.少加的内角是30°.11.如图(1)所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求∠BDC ＝140°才合格，小明通过测量得∠A ＝90°，∠B ＝19°，∠C ＝40°后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？【答案】∠BDC≠140°，故此零件不合格．12.已知△ABC 中，∠ABC 的n 等分线与∠ACB 的n 等分线相交于1G ，2G ，3G ，…，1G n -，试猜想：1n BG C -∠与∠A 的关系．(其中n ≥2且n 为整数)首先得到：当n ＝2时，如图1，1BG C ∠＝________； 当n ＝3时，如图2，2BG C ∠＝________； ……猜想1n BG C -∠＝________．……图1 图2 图n －1【答案】当n ＝2时，;21901A C BG ∠+=∠当n ＝3时，;32602A C BG ∠+=∠ 猜想.1180o 1A nn n C BG n ∠-+=∠- 13.一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．【答案】9入门检测：1.三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 【答案】1. B2.三角形的三边长分别为5，1+2x ，8，则x 的取值范围是 ． 【答案】2. 1<x<63.如图，BD 平分∠ABC ，DA ⊥AB ，∠1=60°，∠BDC =80°，求∠C 的度数．【答案】3. 在△ABD 中，∵∠A =90°，∠1=60°， ∴∠ABD =90°-∠1=30°．∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD =∠ABD =30°．在△BDC 中，∠C =180°-（∠BDC +∠CBD ）=70°．4.如下图，ABC ∆中，点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，说明P ∠与A ∠有怎样大小关系？【答案】4. 902AP ∠∠=︒-5.如图①，ABC △为等边三角形，面积为S ．111D E F ，，分别是ABC △三边上的点，且11112AD BE CF AB ===，连结111111D E E F F D ，，，可得111D E F △． （1）用S 表示11AD F △的面积1S =，111D E F △的面积'1S =；（2）当222D E F ，，分别是等边ABC △三边上的点，且22213AD BE CF AB ===时，如图②，按照上述思路探索下去，当n n n D E F ，，分别是等边ABC △三边上的点，且11n n n AD BE CF AB n ===+时（n 为正整数），n n AD F △的面积n S =，n n n D E F △的面积n S '= ．【答案】 5.根据同高的三角形的面积比是底的比求n n AD F △的面积，用ABC △的面积减去n n AD F △的面积的三倍求n n n D E F △的面积n S '(1)114S S =，114S S '= (2) 2(1)n n S S n =+，22121n n n S S n n -+'=++图②图①D 2E 2F 2F 1E 1D 1ABCCBA第二讲 全等三角形的性质与判定2.1全等三角形的性质全等三角形的性质①全等三角形对应边相等 ②全等三角形对应角相等【例1】如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点BC D 与边上的N 点重合，如果，︒=∠==39,5,7DAM cm DM cm AD ，则=AN cm ，=NM cm ，=∠NAB .【答案】︒=∠︒=∠=∠====∆≅∆1239,5,7BAN DAM NAM cm DM NM cm AD AN ANM ADM ，得，全等三角形性质判定模型MDA NBC【练习1.1】 如图，在长方形ABCD 中，将BCD ∆沿其对角线BD 翻折得到BED ∆，若︒=∠351，则=∠2 .【答案】︒352.2全等三角形的判定全等三角形判定方法1—“边边边”【例2】已知：如图，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .【答案】利用SSS 证ADB BCA ∆≅∆,得出C D ∠=∠,由三角形内角和得出结论.【练习2.1】.“三月三，放风筝”．如图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不 用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案】利用SSS 证全等，得出角等.全等三角形判定方法2—“边角边”【例3】△ABC 是一个等边三角形，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且AD =CE ，BE 和CD 相交于P ，求∠BPD 的度数．【答案】根据题干条件：AC=BC ，∠A=∠ACB=60°，AD=CE ，可以判定△ABD ≌△BCE ，即可得到∠ACD=∠CBE ，又知∠BPD=∠EBC+∠DCB求出即可．【练习3.1】如图所示，已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．F DC BA【答案】由SSS 得ABE DCF ∆≅∆,C B ∴∠=∠,再由SAS 得AFB DEC ∆≅∆⏹ 全等三角形判定方法3—“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）【例4】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ． 求证：HN ＝PM .【答案】由“8”字型得出PMQ HNQ ∠=∠,根据ASA 得出PMQ HNQ ∆≅∆,进而得出结论.【练习4.1】已知如图，B 是CE 的中点，AD=BC ，AB=DC ．DE 交AB 于点F ， 求证：（1）AD ∥BC （2）AF =BF ．【答案】由SSS 得出ABD CDB ∆≅∆,ADB CBD ∴∠=∠,由平行线判定得出结论（1），再由ASA 得出ADF BEF ∆≅∆,对应边相等.⏹ 全等三角形判定方法4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）【例5】如图，已知AC =CE ，∠1=∠2=∠3．（1）说明∠B =∠D 的理由；（2）说明AB =DE 的理由．【答案】全等三角形的判定与性质｡（1）由8字模型可得，△ADF 和△BCF 中∠B =∠D ； （2）由（1）知：∠B =∠D ， ∵∠2=∠3，∴∠DCE =∠ACB ， ∴△ABC ≌△EDC ，∴AB =DE （全等三角形的对应边相等）．【练习5.1】求证：两个角及第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．【答案】已知∠B =B '∠，∠C =∠C '，AD ，A D ''分别平分∠BAC ，B A C '''∠.求证：∆ABC ≌A B C '''∆证明：∵∠B =B '∠，∠C =∠C '， ∴∠BAC =B A C '''∠，∵AD ，A D ''分别平分∠BAC ，B A C '''∠， ∴∠BAD =B A D '''∠∵AD =A D ''，∠B =B '∠， ∴△ABD ≌A B D '''∆（AAS ）， ∴AB =A B ''，∵∠B =B '∠，AB =A B ''，∠BAC =B A C '''∠， ∴∆ABC ≌A B C '''∆（ASA ）．全等三角形判定方法5——“斜边、直角边”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）【例6】已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF .求证：AB ∥DC .【答案】用HL 求证Rt △ADE ≌Rt △BCF ，利用全等三角形的性质，可证△ABF ≌△CDE 或△ABC ≌△CDA ,再由内错角相等两直线平行推出AB ∥CD ．【练习6.1】如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD =AF ，AC =AE ．求证：BC =BE ．【答案】证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD =AF ，AC =AE ， ∴Rt △ADC ≌Rt △AFE （HL ）． ∴CD =EF ． ∵AD =AF ，AB =AB ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ABF （HL ）． ∴BD =BF ． ∴BD -CD =BF -EF ． 即BC =BE ．2.3全等模型手拉手模型【例7】如图，在直线AB 的同一侧作两个等边三角形ABD BCE ∆∆与，连接AE CD 与，证明：（1）△ABC ≌△DBC （2）AE CD =（3）AE CD 与之间的夹角为︒60 （4）△AGB ≌△DFB （5）△EGB ≌△FBC （6）GF AC ∥【答案】（1）AB =BD ，∠ABE =∠CBD ,BC =BE ，可得全等.（2）由（1）中全等可得.（3）由（1）中全等可得∠CAE =∠CDB ，在△ADH 中，∠DAH +∠ADH =120°，所以∠AHD =60°，问题得证.（4）由（1）中全等可得∠CAE =∠CDB ，因为AB =BD ，∠ABG =∠DBF =60°，可得全等.（5）证明方法同上一题.（6）连GF ，GBF 为等边，所以平行.【练习7.1】复习全等三角形的知识时，老师布置了一道作业题:“如图①,已知在ABC ∆中, ,AB AC P =是ABC ∆内任意一点,将AP 绕点A 顺时针旋转至,AQ 使QAP BAC ∠=∠，连接,BQ CP 、则=BQ CP .”小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图形①的分析,证明了,ABQ ACP ∆≅∆从而证得=BQ CP .之后,他将点P 移到等腰三角形ABC 之外,原题中其它条件不变,发现=BQ CP仍然成立,请你就图②给出自己的证明.图1 图2【答案】AQ=AP，∠QAB=∠P AC，AB=AC，可证△QAB≌△P AC，问题可证【练习7.1】如图,A、B、C在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点G，连接CD交BE于点F，连接GF得△BGF.（1）求证：△ABE≌△DBC;（2）试判断△BGF的形状，并说明理由.∴△ABE≌△DBC（SAS）（2）△BMN为等边三角形，理由为：证明：∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=60°即∠MBE=∠NBC=60°在△MBE和△NBC中，∵∠AEB=∠DCBEB=CB∠MBE=∠NBC∴△MBE≌△NBC（ASA）∴BM =BN ，∠MBE =60° 则△BMN 为等边三角形一线三等角模型【例8】在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A ，B 两点分别作l 的垂线AE ，BF ，垂足分别为E ，F .如图，当直线l 不与底边AB 相交时，求证：EF ＝AE ＋BF .【答案】（1）∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∴∠AEC ＝∠CFB ＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB ＝90°，∴∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3.∵在△ACE 和△CBF 中，13AEC CFBAC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△CBF （AAS ） ∴AE ＝CF ，CE ＝BF∵EF ＝CE ＋CF ，∴EF ＝AE ＋BF .【练习8.1】已知：如图,已知在△ABC 中,∠B =∠C =∠EDF ,D 为BC 上一点,BF =CD ,求证：DF =DE【答案】证明：∠BDF=∠CED，∠B=∠C，BF=CD，∴△BDF≌△CED∴DF=DE课后作业：1．如图，在△ABC 和△ADE 中，AC AB =，AE AD =，DAE BAC ∠=∠，点C 在DE上．求证：（1）△ABD ≌△ACE ；（2）ADC BDA ∠=∠．【答案】证明：（1）DAE BAC ∠=∠ ，DAC DAE DAC BAC ∠-∠=∠-∠∴.CAE BAD ∠=∠∴.在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD EAC BAD ACAB ∴ABD ∆≌ACE ∆.（2）ABD ∆≌ACE ∆.AEC ADB ∠=∠∴.AE AD = AEC ADC ∠=∠∴.ADC BDA ∠=∠∴.2．已知：如图，正方形ABCD ，E ，F 分别为DC ，BC 中点． 求证：AE =AF ．【答案】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴ AB =AD ，∠B =∠D =90°，DC =CB ． ∵E 、F 为DC 、BC 中点，∴DE =12DC ，BF =12BC ．∴DE =BF ． ∵在△ADE 和△ABF 中，B,,,AD AB D B DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ABF （SAS ）．∴AE =AF ．3．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，高线AD 和BE 交于点F .求证：CD ＝DF .【答案】证明： AD 、BE 是△ABC 的高线∴BC AD ⊥，AC BE ⊥∴︒=∠=∠90ADC ADB ,︒=∠90AEB∠ABC ＝45°∴△ADB 是等腰直角三角形∴BD AD = ︒=∠+∠9032, ︒=∠+∠9041,43∠=∠∴21∠=∠ ∴△BDF ≌△ADC (ASA ) ∴ CD ＝DF4．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．(1)求证：AE=CD ；(2)若AC =12cm ，求BD 的长．【答案】（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，BB∴∠DCB +∠D =∠DCB +∠AEC =90°．∴∠D =∠AEC ． 又∵∠DBC =∠ECA =90°，且BC=CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE=CD ．（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ）， ∴BD=CE ，∵AE 是BC 边上的中线，∴BD=EC =12BC =12AC ，且AC =12cm ．∴BD =6cm ．5．如图，AB=AC ，∠BAC =90°，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，且BD ＞CE ． 求证：BD=EC+ED ．【答案】证明：∵∠BAC =90°，CE ⊥AE ，BD ⊥AE ，∴∠ABD +∠BAD =90°，∠BAD +∠DAC =90°，∠ADB =∠AEC =90°．∴∠ABD =∠DAC ．∵在△ABD 和△CAE 中ABD EACBDA E AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ）．∴BD=AE ，EC=AD ． ∵AE=AD+DE ，∴BD=EC+ED ．6．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M N 、分别是线段,AD BE 的中点．(1)求证：AD BE =；(2)求证：MNC ∆是等边三角形．【答案】 （1）证明全等（2）根据全等和中线得出MC NC =,且ACM BCN ∠=∠，则60MCN ∠=︒， 从而证明MNC ∆是等边三角形7．已知：ABC ∆中,8AB AC ==，,BD EC DEF B =∠=∠, 5BE = ,求AF 的长．【答案】证明：58,3,,AB AC B CDEF B BDE CEFB C BDE CEF BE CF AC AF CEF BD EC BDE =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠=∴∆∆∴===∴=≌又B入门检测：1．如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为 ．【答案】1. 80°2．如图所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE=CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB=CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？说明理由．【答案】2.提示：根据HL 证明△ABF ≌△CDE ，得到DE =BF ，然后根据AAS 证明△DEG ≌△BFG 即可3．如图，已知ABE △和ACF △，AB =AE ，AF =AC ，∠EAB =∠F AC =90°．CE 和BF 相交于O ．求证：BF CE ．【答案】3.提示：拉手模型：根据SAS证明△AEC≌△ABF，得到∠ABF=∠AEC，从而得证∠BEO+∠OBE=∠BEO+∠AEO+∠EBA=∠AEB=∠ABE=90°，可得∠EOB=90°，从而得CE .（推导∠EOB=90°可有多种证法）到BF4．已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，求线段BH的长度.【答案】4.提示：∠ABC=45°可得AD=BD，由三角形内角和可得∠DBH=∠DAC，从而可证△BDH≌△ADC，可得BH=AC=4.5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为.【答案】5.提示：根据条件可证得△ACF≌△BAE，故△ACF与△BDE的面积之和为△ABD 的面积，根据“等高的三角形面积比等于底的比”可得△ABD的面积=539第三讲 全等三角形常见的辅助线（一）3.1角平分线辅助线（1）--双垂型角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 双垂型的几何模型：全等三角形常见的辅助线（一）角平分线截长补短双垂型 单垂型全等型平行型截长补短40【例1】△ABC 中，∠C =90°，AD 为角平分线，BC =64，BD ∶DC =9∶7,求D 到AB 的距离..【练习1.1】已知：如图，P A 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ． 求证：BP 为∠MBN 的平分线．【答案】过P 作PE ⊥AC 于E ．∵P A ，PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD =PE ，PF =PE ,∴PD =PF又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN ,∴点P 在∠MBN 的平分线上， 即BP 是∠MBN 的平分线．41【例2】已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD =CB ，AB >AD ．求证:∠B +∠D =180°．【答案】因为C 在角平分线上，所以可以根据辅助线一作角两边的垂线，证明全等，然后利用邻补角的性质证明结论.【练习2.1】．已知：ABC △的角平分线BM ，CN 相交于P ．求证：点P 到ABC △三边AB ，BC ，CA 的距离相等．【答案】作PD AB ⊥，PE BC ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为D ，E ，F ． ∵BM ，CN 是ABC △的角平分线(如图)， ∴PD PE =，PE PF =．∴PD PE PF ==，即点P 到ABC △三边AB ，BC ，CA 的距离相等．ACDPAB C图A BC DEM N P F辅助线（2）——单垂型【例3】如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过点C的直线于E.求证：BD=2CE.【答案】延长CE、BA交于点F,这样就在BD两侧出现全等三角形，从而得到CF=BD，再证明CF=BD即可.【练习3.1】如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED= .【答案】126°4243【练习3.2】已知：90A ∠=︒，AB AC =，CE BD ⊥交BD 的延长线于E ，2BD CE =. 求证：BD 平分ABC ∠.【答案】提示：延长CE 、BA 交于点F ,可证△ABD ≌△FCA ，得到CE =EF ，再根据SAS 证明△FBE ≌△CBE 即可辅助线（3）——全等型根据角平分线的尺规作图可知，角两边上有以角的顶点为端点的两条相等的线段时，则连接这两条线段的另一个端点与角平分线上的任何一点，可在角平线两侧出现全等三角形.全等型的几何模型：【例4】如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系并证明； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）猜想FE =FD ；在AC 上截取AG =AE ，连接FG ，可证△AEF ≌AGF ，从而得OP AMNE B CDF ACE F BD图①图② 图③44到EF =GF 且∠AEF =∠AGF =105°，从而得∠FGC =75°，又因为∠FDC =75°，得∠FGC =∠FDC ，然后根据AAS 得证△GCF ≌DCF ,∴FE =FD ．（2）在AC 上截取AG =AE ，连接FG ，可证△AEF ≌AGF ，从而得到EF =GF ，根据三角形的内角和定理求出∠AFC =120°，则∠AFE =∠AFG =∠DFC =60° 然后根据AAS 得证△GCF ≌DCF ,即FE =FD ．【练习4.1】如图所示：AM ∥DN ，AE 、DE 分别平分∠MAD 和∠AND ，并交于E 点．过点E 的直线分别交AM 、DN 于B 、C ．（1）如图，当点B 、C 分别位于点AD 的同侧时，猜想BE 、CE 之间的数量关系并证明． （2）若点B 、C 分别位于点AD 的两侧时，（1）中的结论还成立吗？画图并写出证明过程．【答案】 （1）BE =CE在AD 上作AF =AB ，连接EF 根据SAS 可证△ABE ≌△AFE ，从而得到BE =EF ，∠ABE =∠AFE ,由平行线的同旁内角互补及邻补角可知∠EFD =∠ECD ,根据AAS 可证△EFD ≌△ECD ，可得CE =EF ，等量代换得证BE =CE .（2）成立.提示：如图在AB 上作AF =AD ,根据SAS 可证△AFE ≌△ADE ，从而得到EF =ED ，根据平行线内错角相等及对顶角相等，可根据AAS 可证△BEF ≌△CED ,得到BE =CE .【练习4.2】P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC >AB ，求证：PC -PB <AC -AB ．45【答案】在AC 上作AE =AB ，连接PE ，可证得PE =BP ，则在△EPC 中利用三边关系即可.辅助线（4）--平行型等腰三角形知识先知：等边对等角，等角对等边. 平行型的几何模型：【例题5】已知：ABC △的角平分线BM ，CN 相交于P ，连结AP ， 求证：AB +AC >2AP .【答案】过P 作BC 的平行线，交AB 、AC 于D ,E 两点，根据等角对等边得到边的关系，然后再利用三角形三边关系及不等式的性质得出题证结论.【练习5.1】已知：在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ． 求证：BE CD 21． ABCPP D ACB46【答案】过点D 作DF ∥AB ，交BC 于F ，可证得DF =BF ，DF =DC ,再根据∠BDF +∠EDF =90°，∠DBF +∠BED =90°，可得DF =EF ，从而得到BE CD 21=.3.2截长补短截长补短【例6】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点． 求证：BC =AC +CD ．【答案】方法一：延长BA ，并取BM =BC ,连接MD . 证明△BDC ≌△BDM ，推得36,BCD BMD CD DM ∠=∠==根据三角形的内角和可得：72MAD DMA ∠=∠=， ∴MA =MD ∴BC =AC +CD ．方法二：在BC 上截取BM =BA,连接MD . 证明△BDA ≌△BDM ，推得根据三角形的内角和可得：72CMD CDM ∠=∠=，BAB CD∴CD=CM∴BC=AC+CD．【练习6.1】△ABC中，AB=AC=BC=1，△BDC中，∠BDC=120°，且BD=CD.以D为顶点作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长.【答案】延长AC到E，使CE=BM，连接DE，求证△BMD≌△CDE可得∠BDM=∠CDE，进而求证△MDN≌△EDN可得MN=NE=NC+CE=NC+BM，即可计算△AMN周长，即可解题．【练习6.2】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC．求证：BC=BD+AD．【答案】在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接DE、CF．易证：△ABD≌△EBD∴∠DEB=∠A=100°，则得∠DEC=80°48∴BC =BF =BD +DF =BD +AD【例7】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且∠ABC +∠ADC =180°． 求证：1()2AE AB AD =+．【答案】可以在AB 上截长，也在AD 上可以补短，也可以过C 作AD 的垂线.详析方法一：在AB 上截取AM =AD ，连接CM ．利用SAS 证ADC AMC ∆≅∆,得出ADC AMC ∠=∠,利用AAS 可得CEM CEB ∆≅∆，根据线段之间的关系即可.【练习7.1】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且1()2AE AB AD =+． 求∠ABC +∠ADC 的度数．【答案】可以在AB 上截长，也在AD 上可以补短，也可以过C 作AD 的垂线.详析方法一：在AB 上截取AM =AD ，连接CM ．利用SAS 证ADC AMC ∆≅∆,得出ADC AMC ∠=∠,利用SAS 可得CEM CEB ∆≅∆，得出CME CBE ∠=∠即可.【例8】已知，AB =AC ，底边BC 上任一点P ，过点P 向AB ,AC 分别作垂线，交AB 于M ，AC 于N ．求证：PM +PN =CG ．。

八年级数学讲义第11章三角形一、三角形的概念1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．顶点：A，B，C ．角：∠A ，∠B ，∠C．．二、三角形的边1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.1.2 确定三角形第三边的取值围:两边之差<第三边<两边之和.2.三角形的主要线段2.1三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.①锐角三角形三条高线交于三角形部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三条角平分线交于三角形部一点.2.3三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。

ACBAD三角形的三条中线交于三角形部一点.三、三角形的角1 三角形角和定理结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角注意：①在三角形中，已知两个角可以求出第三个角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个角和的比或它们之间的关系，求各角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．2.2性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角.③三角形的一个外角与与之相邻的角互补2.3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角四、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形(2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其角1、多边形的定义：在平面，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

初二数学讲义（轴对称）知识梳理1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

6、等腰三角形：（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

底角只能是锐角。

（2）性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。

②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。

③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和地边上的高相互重合。

（3）判定方法：①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

7、等边三角形：（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。

（2）性质：①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。

②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。

③等边三角形的三个内角都等于60°。

（3）判定方法：①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。

第一章（一）勾股定理【知识点归纳】123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（3）勾股定理的验证abcab cabcabcababa bba例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。

（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+（3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A.222a b c +=B.222a cb += C.222c b a += D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、7D 、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

讲义
三角形的证明
一、等腰三角形
定理1：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）。

定理2：等腰三角形的两底角相等。

即：等边对等角。

定理3：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60。

定理4：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

定理5：三个角都相等的三角形是等边三角形。

定理6：有一个角等于60。

的等腰三角形是等边三角形。

定理7：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。

那么它所对的直角边等于斜边的一半。

推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

二、直角三角形
定理：直角三角形的两个锐角互余。

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

三、线段的垂直平分线
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

四、角平分线
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

注意：判断三角形的全等有SAS、ASA、AAS、SSS、HL
课堂练习一、填空题
二、选择题
三、解答题。

知识点一全等三角形的性质及判定1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

2、判定两三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL。

例：如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？知识点二等腰三角形的性质和判定1、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。

3、等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两底角的平分线长度均相等。

4、有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形。

例：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50º，则这个等腰三角形的底角是。

例:在等腰三角形ABC中,AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长。

例:如图，在ABA 1中，∠B=20º，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C 上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为。

知识点三等边三角形的性质和判定1、三条边都相等的三角形是等边三角形。

2、三个角都相等，且都等于60º.3、有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形；三个角或三条边都相等的三角形是等边三角形。

例：如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.M C B A 例：如图1，已知：∠MON=30º，点A 1、A 2、A 3……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为 ．图1 图2例：如图2，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60º，得到△BAE ，连接ED ，若BC=10，BD=9，则△AED 的周长是 。

初中数学试卷桑水出品初二数学第四周拓展讲义例1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．例2.如图1，等腰△ABC与等腰△DEC有公共点C，且∠BCA=∠ECD，连接BE、AD，若BC=AC，EC=DC，求证：BE=AD．（2）若将△DEC绕点C旋转至图2、图3、图4情形时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？轴对称练习：1.下列说法中，正确的个数是（）①轴对称图形只有一条对称轴，②轴对称图形的对称轴是一条线段，③两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，④全等的两个图形一定成轴对称，⑤轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2.轴对称图形的对称轴的条数（）（A）只有一条（B）2条（C）3条（D）至少一条3.下列图形中，不是轴对称图形的是（）（A）两条相交直线（B）线段（C）有公共端点的两条相等线段（D）有公共端点的两条不相等线段4.小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是__________。

5.如图：由四个小正方形组成的图形中，请你添加一个小正方形，使它成为一个轴对称图形全的三角形综合复习：9.如图，在△ABC 和△CDE 中，若︒=∠=∠90CED ACB ,AB=CD ，BC=DE ， 求证：CD 垂直AB10.如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A=∠F=∠EOF ，AB=FD. 试猜想BE,BD 和BC 的关系11．如图①，在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，其中，DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD ，ME ，MF ，MG ．则下列结论正确的是__________（填写序号）①AF=AG；②△DFM和△EGM都是等腰三角形；③MD=ME；12.如图，△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，△ACE中，∠CAE=90°，AC=AE。

第4讲“小明的幸福生活”一元一次方程与实际问题学习目标：学习用一元一次方程表示数量关系，掌握常见的几种类型应用题的核心公式，能够自主列解方程，并解答。

学习时间：2小时学习准备：PPT课件；【温故知新】1.甲比乙的三倍多6，如果乙是5，甲是【】2.78是3与4乘积的【】倍3.11增加2倍比21多【】4.3的4倍与6的和是【】5.3与6的和的4倍是【】6.9与25的和是【】的1/27.【】比39的2倍多68.5与【】的和的1/2是109.15缩小1/3与21的差是【】10.21缩小到1/3比5多【】【趣味引入】1.小明给大家分西瓜，整个西瓜的1/2分给爷爷奶奶，剩下西瓜的1/2分给妈妈，再剩下的西瓜小明和爸爸一人一半，小明发现自己的西瓜是0.25kg，整个西瓜多少千克？【教学说明】用生活中的小故事，反应数量之间的关系，用未知数表示某些数量，并用相等的数量关系列出方程，并求解。

【知识梳理】（一）路程问题：速度x时间=路程（二）工程问题：效率x时间=工作量（三）销售问题：售价-进价=利润，利润÷进价x100%=利润率（四）数字问题：3个连续的自然数：n-1，n，n+13个连续奇数：2n-1，2n+1，2n+33个连续偶数：2n-2，2n，2n+2一个三位数百位是c，十位是b，个位是a，这个数是：100c+10b+a【教学说明】列举常见的应用题类型，和这些常见的应用题所存在的数量关系，理解这些数量关系，并能够简单应用。

【经典探究】【例1】小明和小刚家距离1200米，两人相约见面，小刚每分钟走80米，小明每分钟走多少米能刚好在5分钟时见到小刚？解析：相遇问题，S1+S2=S总。

【例2】大明步行速度是75米/分，小明步行速度是45米/分。

在小明出发20分钟后，大明出发去追小明，求多少分钟能追上？解析：追击问题，S1-S2=S差。

【例3】老师布置了一项任务，小明单独做需要25天，小红单独做需要20天，小红单独做了11天后找小明一起做，两人合作还需要多少天能完成？解析：工程问题，工作量1+工作量2=总工作量。

因式分解的四种方法（讲义）➢ 课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？➢ 知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．（3）分组分解法如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；➢ 精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+； （2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=解：原式= 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； 解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---； （4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-． 解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式= 解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；（6）222221x xy y x y -+-++． 解：原式=解：原式=【参考答案】➢ 课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 ➢ 知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数➢ 精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。

专题4 正方形中的十字架模型知识梳理“十字架模型”在特殊的四边形问题中的翻折问题中是比较常见的，不论是期中、期末和中考中都经常考到，主要是利用全等或相似将题目中所求线段转化为易求线段，或者是利用线段相等得到其位置关系，今天咱们就一起来认识正方形中的“十字架模型”。

“十字架模型”是数学平面几何中比较重要的一个模型,常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。

围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。

这些结论对我们分析一些几何问题会有比较大的帮助。

由于“矩形中的十字架”涉及到相似部分的知识，可在初三阶段学习。

初二阶段主要探究正方形内十字架模型的一些常有结论。

模型分析模型：正方形中的十字架模型1、十字架模型概念：所谓“十字架”，其实可以简单理解为两条垂直的线段。

2、模型特征：两条线段相互垂直。

3、思想方法：改斜归正，横平竖直4、解题思路：“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。

5、模型总结：在正方形的顶点与对边某点连接，所得两条线段①若垂直，则相等；②若相等，则垂直。

模型展示模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）1）模型推论：AE=BF；条件：如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF。

【证明】2）模型推论：AE⊥BF；条件：如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE=BF。

【证明】3）模型说明（1）正方形的十字架模型的本质是三角形全等。

（2）常见的正方形的十字架模型还有如下如下两种情形：①条件：如图，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则AE=GF。

②条件：如图3，在正方形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别是BC 、CD 、AB 、AD 上的点，EH ⊥GF ；则 HE =GF 。

【经典例题】如图1，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，连接AE ，过点B 作BG AE ⊥于点H ，交CD 于点G ．（1）求证：AE BG =；（2）如图2，连接AG 、GE ，点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AG 、GE 、EB 的中点，试判断四边形MNPQ 的形状，并说明理由；（3）如图3，点F 、R 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 上，把正方形沿直线FR 翻折，使得BC 的对应边''B C 恰好经过点A ，过点A 作AO FR ⊥于点O ，若'1AB =，正方形的边长为3，求线段OF 的长．经典例题精析例1、如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（）A．32B．3 C．94D．154例2、如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（）A．35°B．40°C．45°D．50°例3、如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④∠CEA＝∠DFB；⑤S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个例4、如图，在正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上，若MN⊥EF，MN＝10cm，则EF＝cm．典型例题例5、如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝____．例6、）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为______．例7、如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若45∠=︒，则GF的长为__________．EGF例8、（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．例9、（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．例10、在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；（2）连接BD交MN于点F．①根据题意补全图形；②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论．练1、如图，在正方形ABCD 中，4AB ，E ，F 分别为边,AB BC 的中点，连接,AF DE ，点G ，H 分别为,DE AF 的中点，连接GH ，则GH 的长为（ ）A．22B ． 1C ．2D ．2练2、如图所示，E 、F 、G 、H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝41AB ，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．练3、如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为BC 边上一点，BE ＝1.将正方形沿GF 折叠，使点A 恰好与点E 重合，连接AF ，EF ，GE ，则四边形AGEF 的面积为（ ）A ．210B ．25C ．6D ．5课后专题练练4、如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①AG=AD；②AG⊥GH；③∠DAG=60°；④∠AGE=∠BCE．其中正确的有．练5、如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为．练6、如图，正方形纸片ABCD的边长为4，点F在边AD上，连接BF，将纸片沿着直线BFDE=，则翻折，点A的对应点为点G，连接AG并延长交CD于点E，若3GE=.练7、如图，在正方形ABCD中，AB＝4√5．E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE，点N、M分别为AF、DE的中点，连接MN，则MN的长度为．练8、如图1，正方形ABCD 中，点P 为线段BC 上一个动点，若线段MN 垂直AP 于点E ，交线段AB 于M ，CD 于N ，证明：AP ＝MN ；如图2，正方形ABCD 中，点P 为线段BC 上一动点，若线段MN 垂直平分线段AP ，分别交AB 、AP 、BD 、DC 于点M 、E 、F 、N ． （1）求证：FN ME EF +=；（2）若正方形ABCD 的边长为2，则线段EF 的最小值＝ ，最大值＝ ．练9、如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，F 为AB 上一点，且FG ⊥BE 交CD 于点G ． （1）求证：FG ＝BE ；（2）若E 为AD 中点，FG 垂直平分BE ，求DGCD 的值．练10、正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）如图1，求证AE⊥BF；（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN；。

三角形的定义 ;三角形的三边关系 与三角形有关的线段H 三角形的中线、高线、角平分线 r"三角形的稳定性三角形的内角及内角和三角形的外角与三角联刖卜：相等关系三角形外角的性质0. -------不等关系 多边形的概念多边形的相关概念 [ 凸多边形的概念 '正多边形的概念多边形的对角浅及其计箕公式多边形内角的定义多边形的内角及内角和o/————— — —----------------------------- 多边形内角和公式及其推导过程多边形外角的定义多边形的外角及外角和e ------------------------------------------- 多边形外角和―1读嵌原理锚森何遨• ---------------»考点说明：三角形中与线相关的计算问题,主要包括三角形的三边关系、高线的熟悉、中 线对三角形的面积和周长的影响等.参考课课练套卷中的第1、5、7、14、20题.例L 以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边,可以画出三角形的个 数是〔 〕多边形及其内角和 类型一：三角形中线的相关计算A.1个 B ・2个 C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：首先可以组合为13, 10, 5； 13, 10, 7： 13, 5, 7； 10, 5, 7.再根据三角形的三边关系,发现其中的13, 5, 7不符合,那么可以画出的三角形有3个.应选：C.例2.一个三角形的两边长为8和10,那么它的最短边a的取值范围是,它的最长边b的取值范惘是【答案】2<a<8, 10<b<18【解析】解：口三角形的三边长分别为8, 10, a,且a是最短边,二10-8VaW8, RP 2<a<8：二三角形的三边长分别为8, 10, b,且b是最长边,二104<8+10,即10W〕V18.故答案为：2VaW8, 10<b<18.例3.不一定在三角形内部的线段是〔〕A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.三角形的中位线【答案】C【解析】解：由于在三角形中,它的中线、角平分线一定在三角形的内部,而钝角三角形的高在三角形的外部.应选C.例4.一块三角形的实验田,平均分成四份,由甲、乙、丙、丁四人种植,你有几种方法？〔至少要用三种方法〕.【答案】解：作图如下：【解析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形,先分成两个面积相等的三角形, 进而继续即可.剩下方法可根据此根本图形进行变形.例5.以下说法错误的选项是〔〕A.锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B.钝角三角形有两条高线在三角形外部C.直角三角形只有一条高线D.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线【答案】C【解析】解：A、解：A、锐角三角形的三条高线、三条角平分线分别交于一点,故本选项说法正确；B、钝角三角形有两条高线在三角形的外部,故本选项说法正确；C、直角三角形也有三条高线,故本选项说法错误：D、任意三角形都有三条高线、中线、角平分线,故本选项说法正确；应选：C.例6.给出以下命题：二三条线段组成的图形叫三角形；二三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角：二三角形的角平分线是射线：二三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外；二任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线：二三角形的三条角平分线交于一点,且这点在三角形内.正确的命题有〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形,故二错误；三角形的角平分线是线段,故二错误：三角形的高所在的直线交于一点,这一点可以是三角形的直角顶点,故二错误；所以正确的命题是二、口、共3个.应选C.例7.如图,在二ABC中,D, E分别为BC上两点,且BD=DE=EC,那么图中而积相等的三角形有〔〕对.【答案】A【解析】解：等底同高的三角形的面积相等,所以二二ADE, Z.1EC三个三角形的而积相等,有3对,又二ABE与二＜8的面积也相等,有1对,所以共有4对三角形面积相等.故选A.隼类型二：三角形中角的计算k考点说明：在三角形章节,对于角度的计算是非常重要的一个考点,倒角过程中主要用到的知识有：角平分线平分角〔非常重要〕、三角形的内角和、三角形的外角的性质、直角三角形中角的特点〔一个角为90.,两锐角之和为90.〕、高的特点〔得到90.的角和直角三角形〕、两直线平行的性质、对顶角、折卷特征等.其中对直角三角形的判定也是很重要的一个内容.在复习过程中要帮助学生梳理相关知识,这也为倒角的计算提供了思考角度. 参考课课练套卷中的第4、8、9、10、12、15、17、19、23、24、26、27、28、30 题.例1.二ABC中,匚A,匚B,二C三个角的比例如下,其中能说明二ABC是直角三角形的是〔〕A. 2： 3： 4B. 1： 2： 3C. 4： 3： 5D. 1： 2： 2【答案】B【解析】解：A、设三个角分别为2x, 3x, 4x,根据三角形内角和定理得三个角分别为：40.,60.,80.,所以不是直角三角形；B、设三个角分别为x, 2x, 3x,根据三角形内角和定理得三个角分别为：30.,60.,90., 所以是直角三角形；C、设三个角分别为3x, 4x, 5x,根据三角形内角和定理得三个角分别为：45.,60.,75., 所以不是直角三角形：D、设三个角分别为x, 2x, 2x,根据三角形内角和定理得三个角分别为：36.,72% 72., 所以不是直角三角形.应选B.例2.如图：AB二CD,二ABD,二BDC的平分线交于E,试猜测二BED的形状并说明理由.【答案】解：匚BED为直角三角形.理由如下：ZABZCD,二二ABD+二CDB=180.〔两直线平行,同旁内角互补〕,又二二ABD,匚BDC的平分线交于E,二二EBD▲匚ABD,二EDB」二BDC,22二二EBD+二EDB上〔ZABD+ZBDC〕 =ixl80°=90°,二二BED 为直角三角形. 2 2【解析】根据平行线的性质,求出二ABD+二CDB=180.,然后根据角平分线的性质,求二EBD十二EDB的度数,然后根据三角形内角和定理解答.例3.如图,二ABC 中,BD 是二ABC 的角平分线,DE二BC,交AB 于EqA=60.,二BDC=95.,那么二BED的度数是( )A. 35.B. 70°C. 110° D, 130°【答案】C【解析】解：匚二BDC=CA+二ABD, □匚ABD=950 - 60.=35.,二BD 是二ABC 的角平分线,二二ABC=2二ABD=70.,ZDEZBC, □CBED+ZABC=180°, □□BED=180° - 70°=110°,应选C.例4,：如图,二ABC为直角三角形,匚B=90.,假设沿图中虚线剪去二B,那么二1+二2【答案】270【解析】解：匚二ABC为直角三角形,二B=90,二口1=90.+二BNM,匚2=90.+二BMN,二L1+匚2=270,故答案为：270.B Jr c例5.如图,Rt二ABC中,二ACB=90.,匚4=55.,将其折卷,使点A落在边CB上A,处,折痕为CD,那么二ADB=( )【答案】C【解析】解：在Rt匚ABC 中,匚ACB=90.,DA=55% 二二B=180.- 90.- 550=35.,由折叠可得：匚CAD="=55.,又二二CA'D 为二A'BD 的外角,二二CA'D=：B-二A'DB,贝lj二ADB=55.- 35.=20..应选：C.例6.如图,AD是二ABC的角平分线,BE是二ABC的高,ZBAC=40°,那么二AFE的度数为70.,【解析】解：匚AD平分二BAC,匚BAC=40.,□二EAF=200.Z BE ZAC, □匚AEF=90.,□CAFE=90° - 20°=70°.故答案为：70..例7.如图,在直角三角形ABC中,AC壬AB, AD是斜边上的高,DE二AC, DFCAB,垂足分别为E、F,那么图中与DC 〔二C除外〕相等的角的个数是〔〕【答案】A【解析】解：匚AD是斜边BC上的高,DE二AC, DFZAB,二二C+二B=90.,=BDF+二B=90..二BAD+二B=90.,=二C=：BDF=：BAD.二二DAC+二C=90.,二DAC+二ADE=90°, ZZC=ZADE,二图中与二C 〔除之C外〕相等的角的个数是3,应选：A.例8.如图,二ABC 中,二A=40.,匚B=72.,CE 平分二ACB, CDDAB 于D, DFZCE,那么nCDF= 74度.【解析】解：□二A=40.,ZB=72°, □CACB=68°,二CE 平分二ACB, CD匚AB 于D,二匚BCE=34°, ZBCD=90 - 72=18%二DF二CE, aZCDF=90° - 〔34.- 18.〕=740.故答案为：74.例9.如图,把二ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,匚A与二1+二2之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是什么？试说明你找出理由是：延长BD和CE交于A",二把二ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部,二二ADE=CADE,二AED二：AED,二2二ADE=180.-匚1, 2=AED=180.-口2, □□ADE=90.义二1, 口3口=90.-三二2,22二在二ADE 中,二A=180.-〔二AED-匚ADE〕,二二A」二二2,即2二庆=二1+二2.2 2【解析】根据折叠得出二ADE=CADE,二AED=：A,ED,求出2二ADE=180.- Zh2ZAED=180°-匚2 ,推出口ADE=90.-1 H , ZAED=90°-上口2 ,在HADE 中,二A=180.-2 2〔ZAED+ZADE〕,代入求出即可.例10.(1)如图1,点P为二ABC的内角平分线BP与CP的交点,求证：匚BPC=90.总二A：(2)如图2,点P为二ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点,请直接写出二BPC与二A的关系：(3)如图3,点P是二ABC的外角平分线BP与CP的交点,请直接匚BPC与二A的关系.A【答案】证实：(1)二二PBC+二BCP+二BPC=180.,二二BPC=120.,ZZABC+ZACB=60%二BP、CP 是角平分线,□二ABC=2二PBC,匚ACB=2：：BCP,二二ABC+二ACB+匚A=180.,口二BPC=9(T+工二A；2(2)匚P总二A,理由如下：二二ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P,二二PBC」•二ABC,匚PCD=±ACD,2 2二二ACD=CA+二ABC, □PCD=ZPBC+nP,Z— (ZA+ZABC) =：：PBC十二P」二ABC+匚P, □二P上二A：2 2 2(3)匚P=90.-!二A,理由如下：2二BP、CP是匚ABC的外角平分线,二匚PBC」(口A+匚人©8),匚PCB」(ZA+DABC),2 2又二二PBC+ 二PCB+ 二P= 180.,二匚P=180°-〔匚PBC+匚PCB〕=180° -—〔二A+匚ACB+I2A+口ABC 〕2=180.W〔180+二A〕2=90° - -ZA.2【解析】〔1〕先根据三角形内角和定理求出二PBC十二PCB的度数,再根据角平分线的性质求出匚ABC+二ACB的度数,由三角形内角和定理即可求出答案.〔2〕根据角平分线的定义WZPBC=—ZABC, ZPCD=—□ ACD,再根据三角形外角性质得二ACD=CA+二ABC,2 2ZPCD=ZPBC+ZP,所以工〔二A+：：ABC〕 =：：PBC+二P2二ABC+二P,然后整理可得二P八2 2 2二A：〔3〕根据题意得二PBC=[•〔匚A+二ACB〕, 2PCB1〔2A+：：ABC〕,由三角形的内角乙乙和定理以及三角形外角的性质,求得二P与二A的关系,从而计算出二P的度数.隼类型三：多边形相关的边、角计算方考点说明：多边形相关的计算问题主要的考查点在于相关公式的理解,包括：多边形内角和公式、多边形外角和公式、多边形的对角线公式及推导.相关的典型题除了对根本的应用公式进行计算外,还包括截角问题、少〔多〕计算角问题、凹多边形的内角和计算等.老师可以提前帮助学生归纳相关题型的典型处理方法.参考课课练套卷中的第2、3、16、18、21、22题.例1.从n边形的一个顶点作对角线,把这个n边形分成三角形的个数是〔〕A. 11B. 〔n - 1〕C. 〔n - 2〕D. 〔n - 3〕【答案】C【解析】解：从n边形的一个顶点作对角线,把这个n边形分成三角形的个数是〔11-2〕. 应选C.例2.正多边形的一个内角等于135.,那么该多边形是正〔〕边形.A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】A【解析】解：外角是180- 135=45度,360-45=8,那么这个多边形是八边形.应选A.例3.六边形的对角线的条数是〔〕A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】解：六边形的对角线的条数=6〔67〕=9.应选C.例4.如图,在五边形ABCDE中,二A+二B+二E=a, DP、CP分别平分匚EDC、匚BCD,那么二P 的度数是〔〕A2 2 2 2【答案】A【解析】解:匚五边形的内角和等于540.,r A+ZB+ZE=a,ZnBCD+ZCDE=540°-a,二匚BCD、二CDE的平分线在五边形内相交于点O,二匚PDC十二PCD」?〔OBCD+ZCDE〕 =270°-L,2 2二匚P=180°- 〔270°--a〕 =ia-90°.应选：A.2 2例5.一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1080.,那么原多边形的边数为〔〕A. 7B. 7 或8C. 8 或9D. 7 或8 或9【答案】D【解析】解：设内角和为1080.的多边形的边数是n,那么〔n-2〕-180.=1080.,解得：n=8.那么原多边形的边数为7或8或9.应选：D.例6.小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了,得其和为2260..::求这个多加的外角的度数.二求这个多边形对角线的总条数.【答案】解：匚解：设多边形的边数为n,多加的外角度数为a,贝ij 〔n-2〕・1800=2260.- a,Z2260°=12xl80o+100°,内角和应是1800的倍数,二同学多加的一个外角为100.,二这是12+2=14边形的内角和.二多边形的对角线的条数是14=上3〕=77 〔条〕.即共有77条对角线.【解析】匚根据多边形的内角和公式〔n-2〕-180.可知,多边形的内角和是180.的倍数,然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解：二根据n边形的对角线的条数是n(n-3)2-.例7.小贝在进行多边形内角和的计算时,求得一多边形的内角和为1500.,当她发现错了之后,重新检查,发现少加一个内角,你知道她少加的这个内角是多少度吗？她求的这个多边形是几边形？【答案】解：那么1500+180=*那么边数n=8+2+l=ll：即少加的内角是：(11 -2) X180 - 1500=120°.【解析】n边形的内角和是Gi-2)-180.,多边形的内角一定大于0度,小于180度,因而多边形中,除去一个内角外,其余内角和与180度的商加上2,以后所得的数值,比这个数值大的且最接近的整数就是多边形的边数.例8.如下图五角星,试求匚A+二B+二C+二D+二E.【答案】解：由三角形的外角性质,口1=二8+二D ,Z2=^A+ZC,二2 1+二 2+2E=180.,二二 A+二 B+二 C+二 D+二 E=180°.【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得二1=DB+：：D, Z2=ZA+ZC,然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解.%考点说明：镶嵌问题的本质是对多边形内角和的考查,由于跟实际生活相关,一般会涉及 到镶嵌方案的选择问题,同时对于单一图形的镶嵌和多图形的镶嵌思考的难度是不同的,其 分类讨论思想的应用也是非常典型的.参考课课练套卷中的第6、24题.例1.以下多边形材料中,不能单独用来铺满地面的是〔〕A.三角形B.四边形C.正五边形D.正六边形 【答案】C【解析】解：A 、三角形内角和为180.,能整除360.,能密铺,故此选项不合题意：B 、角形内角和为360.,能整除360.,能密铺,故此选项不合题意：C 、正五边形每个内角是180.- 360.+5=108.,不能整除360.,不能密铺,故此选项合题意：类型四：镶嵌问题D、正六边形每个内角为180.- 360.+6=120.,能整除360.,能密铺,故此选项不合题意：应选：C.例2.某人到瓷砖商店去买一种多边形形状的瓷砖用来铺设无缝地板,他购置的瓷砖形状不可以是〔〕A.正三角形B.长方形C.正八边形D.正六边形【答案】C【解析】解：A、正三角形的内角是60.,6个正三角形可以密铺,故A可以；B、长方形的内角是90.,4个长方形可以密铺,故B可以：C、正八边形的内角是135.,2个正八边形有缝隙,3个正八边形重叠,故C不可以：D、正六边形的内角是120.,3个正六边形可以密铺,故D可以：应选：C.例3.如图的四边形是某地板厂加工地板时剩下的边角余料,用这种四边形的木板可以进行镀嵌吗？请说明理由.【答案】解：能进行镶嵌；理由：由镶嵌的条件知,在一个顶点处各个内角的和为360.时,就能镶嵌.而任意四边形的内角和是360.,只要放在同一顶点的4个内角和为360.,故能进行镶嵌.【解析】由镶嵌的条件知,在一个顶点处各个内角的和为360.时,就能镶嵌.根据任意四边形的内角和是360.,只要放在同一顶点的4个内角和为360.,即可得出答案.例4.一幅图案,在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成.其中的两个分别是正方形和正六边形,那么第三个正多边形的边数是.【答案】12【解析】解：匚正方形和正六边形内角分别为90.、120.,根据平面镶嵌的条件可知第三个正多边形的度数=360.- 90.- 120°=150°,二第三个正多边形的边数是12.例5. 〔1〕一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,那么它是几边形？〔2〕某学校想用地砖铺地,学校已准备了一批完全相同的正n边形［n为〔1〕中的所求值］, 如果单独用这种地砖能密铺吗？〔3〕如果不能,请你自己只选用一种同〔2〕边长相同的正方形地砖搭配能密铺吗？如果能, 请你画出一片密铺的示意图.【答案】解：〔1〕设为n边形,由题意得：〔n-2〕 180.=3*360.,二n=8：〔2〕正八边形的每个内角为：180.- 360.+8=135.,不能整除360.,不能密铺；〔3〕所画图形如下：【解析】〔1〕根据多边形的内角和公式及外角的特征计算.〔2〕几何图形镶嵌成平面的关键是：闱绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.〔3〕可选择正四边形进行画图.例6.在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠〔在几何里叫做平面镶嵌〕.这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角〔360.〕时,就拼成了一个平而图形.〔1〕请根据以下图形,填写表中空格:正多边形边数正多边形每个内角的度数60°90°120°(180108360n -〔2〕如果只限于用一种正多边形镶嵌, 哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?【答案】解：〔1〕正三角形每个内角的度数是60., 正四边形每个内角的度数是90% 正五边形每个内角的度数是108., 正六边形每个内角的度数是120.,正n边形每个内角的度数是〔180-2圾〕.. n故答案为:60.,90°, 108°, 120°, 〔180-足处〕.：n〔2〕如限于用一种正多边形镶嵌,那么由一顶点的周围角的和等于360.得正三角形、正四边形〔或正方形〕、正六边形都能镶嵌成一个平面图形.【解析】〔1〕利用正多边形一个内角=180.-刎二一求解即可：〔2〕进行平面镶嵌就是在同n一顶点处的几个多边形的内角和应为360%因此我们只需验证360.是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可.当堂总结〕本节内容是对三角形章节的综合复习,需要掌握的知识板块有与边相关的计算、与角相关的计算及多边形相关的计算,其中倒角问题是所有问题的重中之重,是贯穿初中整个几何内容的基石.-Jg.________ s6/课后作业〕。

第4讲、依据背景转化（讲义）1.已知点A(-1，1)，B(4，6)在抛物线y=ax2+bx上．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点F的坐标为(0，m)（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FH∥AE．（3）如图2，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点．点P从点C出发，沿射线CD方Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．图1 图22.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，2)，点E为线段AB上的一动点（点E不与点A，B重合）．以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线2=++经过A，C两点．y mx n（1）求此抛物线的函数表达式．（2）当△EOF为等腰三角形时，求点E的坐标．（3）在（2）的条件下，设直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的1)倍？若存在，请直接．．写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3. 抛物线y =ax 2-bx +4（a ≠0）过点A (1，-1)，B (5，-1)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）如图，⊙O 1过A ，B ，C 三点，AE 为直径，点M 为ACE ︵上的一动点（不与点A ，E 重合），连接MB ，作BN ⊥MB 交ME 的延长线于点N ，求线段BN 长度的最大值．图24. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点A (6，0)，B (0，8)，点C 的坐标为(0，m )，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，点D 为x 轴上的一动点，连接CD ，DE ，以CD ，DE 为边作□CDEF ．（1）当0＜m ＜8时，求CE 的长（用含m 的代数式表示）；（2）点D 在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF 为矩形，请求出所有满足条件的m 的值．图2【参考答案】1. （1）抛物线的解析式为21122y x x =-； （2）证明略；（3）t 的值为156+，156，132+或132．2. （1）抛物线的函数表达式为2y =+（2）E 1，)，E 2(-1，1)；（3）P 1(-1，，P 2(0，．3. （1）抛物线的函数表达式为y =x 2-6x +4；（2）BN 长度的最大值为． 4. （1）CE 的长为3(8)5m -； （2）满足条件的m 的值为0，67，92-或9613-．。