2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)专题强化训练：8 复数、算法、推理与证明

1．(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．[解](1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.2．(2018·浙江卷)已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1＝1，数列{(b n＋1－b n)a n}的前n项和为2n2＋n.(1)求q的值；(2)求数列{b n}的通项公式．[解](1)由a4＋2是a3，a5的等差中项得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.由a 3＋a 5＝20得8⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋1q ＝20， 解得q ＝2或q ＝12，因为q >1，所以q ＝2.(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n .由c n ＝⎩⎨⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1.由(1)可知a n ＝2n －1， 所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 故b n －b n －1＝(4n －5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2， b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(4n －9)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋7·12＋3. 设T n ＝3＋7·12＋11·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(4n －5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2， 12T n ＝3·12＋7·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(4n －9)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(4n －5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 所以12T n ＝3＋4·12＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2－(4n －5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 因此T n ＝14－(4n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2， 又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.1.高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．2．若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．。

考点五程序框图一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入() A．A＝12＋AB．A＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A答案A解析对于选项A，A＝12＋A.当k＝1时，A＝12＋12，当k＝2时，A＝12＋12＋12，故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A.2．(2019·湖北八校第二次联考)如图程序中，输入x＝ln 2，y＝log32，z＝12，则输出的结果为()A．x B．y C．z D．无法确定答案A解析图中程序的功能是输出x，y，z的最大值，因为ln 3>1，所以y＝log32＝ln 2ln 3<ln 2＝x，x＝ln 2>ln e＝12＝z，所以输出x.3．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于()A．2－124B．2－125C．2－126D．2－127答案C解析＝0.01，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝12，x<不成立；s＝1＋12，x＝14，x<不成立；s＝1＋12＋14，x＝18，x<不成立；s＝1＋12＋14＋18，x＝116，x<不成立；s＝1＋12＋14＋18＋116，x＝132，x<不成立；s＝1＋12＋14＋18＋116＋132，x＝164，x<不成立；s＝1＋12＋14＋18＋116＋132＋164，x＝1128，x<成立，此时输出s＝2－126.故选C.4．(2019·山东临沂三模)秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．他所创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．用秦九韶算法将f(x)＝2019x2018＋2018x2017＋2017x2016＋…＋2x＋1化为f(x)＝(…((2019x＋2018)x＋2017)x＋…＋2)x＋1再进行运算，计算f(x0)的值时，设计了如图所示的程序框图，则在◇和▭中可分别填入()A．n≥2和S＝Sx0＋n B．n≥2和S＝Sx0＋n－1C．n≥1和S＝Sx0＋n D．n≥1和S＝Sx0＋n－1答案C解析由题意可知，当n＝1时程序循环过程应该继续进行，n＝0时程序跳出循环，故判断框中应填入n≥1，由秦九韶算法的递推关系可知矩形框中应填入的递推关系式为S＝Sx0＋n，故选C.5．(2019·河南八市重点高中联考)相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x的值为()A.6481 B.3227 C.89 D.1627答案B解析由题意，执行循环结构的程序框图，可得第1次循环：x＝23，i＝2，不满足判断条件；第2次循环：x＝89，i＝3，不满足判断条件；第3次循环：x＝3227，i＝4，满足判断条件，输出结果3227，故选B.6．(2019·辽宁丹东质量测试(一))计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制数1,2,3,4的二进制数分别表示为1,10,11,100，二进制数…dcba化为十进制数的公式为…dcba＝a·20＋b·21＋c·22＋d·23＋…，例如二进制数11等于十进制数1·20＋1·21＝3，又如二进制数101等于十进制数1·20＋0·21＋1·22＝5，如图是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的程序框图，则判断框内应填入的条件是()A．i>4 B．i≤4 C．i>5 D．i≤5答案B解析在将二进制数11111化为十进制数的程序中循环次数由循环变量i决定，∵11111共有5位，因此要循环4次才能完成整个转换过程，∴退出循环的条件根据程序框图和答案选项，应设为i≤4，故选B.7．(2019·黑龙江哈尔滨三中二模)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是()A．i<20，S＝S－1i，i＝2iB．i≤20，S＝S－1i，i＝2iC ．i <20，S ＝S 2，i ＝i ＋1D ．i ≤20，S ＝S 2，i ＝i ＋1答案 D解析 根据题意可知，截取1天后S ＝12，所以满足S ＝S 2，不满足S ＝S －1i ，故排除A ，B ；由框图可知，计算截取20天后的剩余时，有S ＝S 2，且i ＝21，所以循环条件应该是i ≤20.故选D.8．(2019·湖北重点中学高三起点考试)美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a ，n ，ξ的值分别为8,2,0.5，每次运算都精确到小数点后两位，则输出的结果为( )A ．2.81B ．2.82C ．2.83D ．2.84答案 D解析 输入a ＝8，n ＝2，ξ＝0.5，m ＝82＝4，n ＝4＋22＝3，|4－3|＝1>0.5；m＝83≈2.67，n ≈2.67＋32≈2.84，|2.67－2.84|＝0.17<0.5，输出的结果为2.84.二、填空题9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为12，则输入的实数x的值是________．答案2解析因为输出的结果为12，所以有⎩⎪⎨⎪⎧log2x＝12，x>1或⎩⎪⎨⎪⎧x－1＝12，x≤1.解得x＝ 2.所以输入的实数x的值为 2.10．(2019·辽宁沈阳育才学校八模)我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举．这个伟大创举与古希腊的算法——“辗转相除法”实质一样．如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a ＝288，b＝123时，输出的a＝________.答案3解析解法一：按照程序框图运行程序，输入：a＝288，b＝123，则r＝42，a＝123，b＝42，不满足r＝0，循环；则r＝39，a＝42，b＝39，不满足r＝0，循环；则r＝3，a＝39，b＝3，不满足r＝0，循环；则r＝0，a＝3，b＝0，满足r＝0，输出a＝3.解法二：程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数，因为288与123的最大公约数为3，所以a＝3.11．(2019·安徽A10联盟最后一卷)《九章算术》中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马．’马主曰：‘我马食半牛．’今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知1斗＝10升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出k的值为2，则m＝________.答案50 7解析运行该程序，第一次循环，S＝50－m，k＝1；第二次循环，S＝50－3m，k＝2；第三次循环，S＝50－7m，此时要输出k的值，则50－7m＝0，解得m＝50 7.12．(2019·湖北七校联盟期末)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝746，则I(a)＝467，D(a)＝764)，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的a为123，则输出的b为________．答案495解析由程序框图，知第一次循环a＝123，b＝321－123＝198；第二次循环a＝198，b＝981－189＝792；第三次循环a＝792，b＝972－279＝693；第四次循环a＝693，b＝963－369＝594；第五次循环a＝594，b＝954－459＝495；第六次循环a＝495，b＝954－459＝495，满足条件a＝b，跳出循环体，输出495.一、选择题1．(2019·湖南衡阳三模)著名的“3n＋1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成 1.如图的程序框图示意了“3n＋1”猜想，则输出的n为()A．5 B．6 C．7 D．8答案B解析a＝10是偶数，a＝5，n＝1，a>1，a＝5是奇数，a＝16，n＝2，a>1，a＝16是偶数，a＝8，n＝3，a>1，a＝8是偶数，a＝4，n＝4，a>1，a＝4是偶数，a＝2，n＝5，a>1，a＝2是偶数，a＝1，n＝6，a≤1成立，输出n＝6，故选B.2．(2019·福建高三检测)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为()A．120 B．84 C．56 D．28答案B解析i＝0，n＝0，S＝0；i＝1，n＝1，S＝1，i≥7，否；i＝2，n＝3，S＝1＋3，i≥7，否；i＝3，n＝6，S＝1＋3＋6，i≥7，否；i＝4，n＝10，S＝1＋3＋6＋10，i≥7，否；…i＝7，n＝28，S＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28，i≥7，是；输出S＝84.3．(2019·湖南长沙高三统考)若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N＝r(mod m)，例如10＝2(mod 4)．如图所示程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i等于()A．3 B．9 C．27 D．81答案C解析第一次执行循环体，得i＝3，N＝14，此时14＝2(mod 3)，但14≠1(mod 7)．第二次执行循环体，得i＝9，N＝23，此时23＝2(mod 3)，但23≠1(mod 7)．第三次执行循环体，得i＝27，N＝50，此时50＝2(mod 3)，且50＝1(mod 7)，退出循环，所以输出i的值为27，故选C.4．(2019·江西九校重点中学协作体第一次联考)《九章算术》是中国古代数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．”翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出更相减损术的程序图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为()A．3 B．6 C．7 D．8答案C解析∵a＝114，b＝30，满足a，b都是偶数，则a＝a2＝57，b＝b2＝15，k＝2；不满足a，b都是偶数，且不满足a＝b，满足a>b，则a＝57－15＝42，n＝1，不满足a＝b，满足a>b，则a＝42－15＝27，n＝2，不满足a＝b，满足a>b，则a＝27－15＝12，n＝3，不满足a＝b，不满足a>b，则c＝12，a＝15，b＝12，则a＝15－12＝3，n＝4，不满足a＝b，不满足a>b，则c＝3，a＝12，b＝3，则a＝12－3＝9，n＝5，不满足a＝b，满足a>b，则a＝9－3＝6，n＝6，不满足a＝b，满足a>b，则a＝6－3＝3，n＝7，满足a＝b，结束循环，输出n＝7，故选C.5．(2019·江西新八校第二次联考)如图所示的程序框图所实现的功能是()A．输入a的值，计算(a－1)×32021＋1B．输入a的值，计算(a－1)×32020＋1C．输入a的值，计算(a－1)×32019＋1D．输入a的值，计算(a－1)×32018＋1答案B解析由程序框图，可知a1＝a，a n＋1＝3a n－2，由i的初值为1，末值为2019，可知，此递推公式共执行了2019＋1＝2020次，又由a n＋1＝3a n－2，得a n＋1－1＝3(a n－1)，得a n－1＝(a－1)×3n－1，即a n＝(a－1)×3n－1＋1，故a2021＝(a－1)×32021－1＋1＝(a－1)×32020＋1，故选B.6．(2019·四川泸州第二次质量诊断)某班共有50名学生，其数学学业水平考试成绩记作a i(i＝1,2,3，…，50)，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是()A．求该班学生数学学业水平考试的不合格人数B．求该班学生数学学业水平考试的不合格率C．求该班学生数学学业水平考试的合格人数D．求该班学生数学学业水平考试的合格率答案D解析执行程序框图，可知输入50个学生成绩a i，k表示该班学生数学成绩为该班学生数学学业水平考试的合格合格的人数，程序结束时i＝51，输出的ki－1率，故选D.7．如果每对兔子(一雄一雌)每月能生殖一对小兔子(也是一雄一雌，下同)，且每对小兔子刚出生的前两个月没有生育能力，但从出生后的第三个月开始便能每月生一对小兔子．假定这些兔子都不发生死亡现象，现有一对刚出生的兔子，那么从这对兔子刚出生开始，到第十个月会有多少对兔子呢？同学A据此建立了一个数列模型，设F(0)＝0，第n个月兔子的对数为F(n)，由此得到F(1)＝1，F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥2，n∈N*)．如图是同学B根据同学A的数列模型设计的程序框图，求该数列的前10项和，则在空白框内分别填入的语句是()A．P＝M；n≤9? B．N＝P；n≤9?C．P＝M；n≤10? D．N＝P；n≤10?答案B解析F(1)＝1，F(2)＝1，F(3)＝2，F(4)＝3，F(5)＝5，F(6)＝8，F(7)＝13，F(8)＝21，F(9)＝34，F(10)＝55，输出的S＝F(0)＋F(1)＋F(2)＋…＋F(10)．由程序框图可知，当n＝2时，S＝0＋1，P＝0＋1＝1，S＝1＋1，M＝1，N＝1；当n ＝3时，S＝0＋1＋1＋2，则处理框内应填入“N＝P”，排除A，C；又最终输出S 时，n＝10，所以判断框内应填入“n≤9？”，故选B.8．(2019·河北邯郸一模)我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是( )答案 B解析 由题意得，田的价值S ＝300x ＋5007y ，可排除C ，亩数x ＋y ＝100.由⎩⎨⎧ 300x ＋5007y ＝10000，x ＋y ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12.5，y ＝87.5，若初始变量x ＝0.5，则累加变量x ＝x ＋3满足题意，故选B. 二、填空题9．(2019·湘赣十四校第一次联考)执行如图所示的程序框图，则输出n 的值为________．答案23解析当n＝7时，可知n＝2×7＋1＝15，又i＝1＋1＝2<3，循环；当n＝15时，可知n＝15－4＝11，又i＝2＋1＝3，循环；当n＝11时，可知n＝2×11＋1＝23，又i＝3＋1＝4>3，输出n，则n＝23.10．(2019·广西南宁第一次适应性考试)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x＝________.答案21 23解析 i ＝1时，x ＝2x －1；i ＝2时，x ＝2(2x －1)－1＝4x －3；i ＝3时，x ＝2(4x－3)－1＝8x －7；i ＝4时，退出循环．此时，8x －7＝13x ，解得x ＝2123.11．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为________．(参考数据：3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)答案 24解析 由程序框图，n ，S 值依次为：n ＝6，S ≈2.598；n ＝12，S ＝3；n ＝24，S ≈3.1056，此时满足S ≥3.10，输出n ＝24.12．(2019·山东德州一模)在《九章算术》中记载着一道关于“持金出关”的题目，大意是：“在古代出关要交税．一天，某人拿钱若干出关，第1关交所拿钱数的12，第2关交所剩钱数的13，第3关交所剩钱数的14，…”．现以这则故事中蕴含的数学思想，设计如图所示的程序框图，则运行此程序，输出n 的值为________．答案6解析n＝1，a＝72，S＝0，S<60，是；S＝0＋11×2×72＝36，n＝2，S<60，是；S＝36＋12×3×72＝48，n＝3，S<60，是；S＝48＋13×4×72＝54，n＝4，S<60，是；S＝54＋14×5×72＝57.6，n＝5，S<60，是；S＝57.6＋15×6×72＝60，n＝6，S<60，否；输出n＝6.。

第六讲　填空题的解法[题型概述]　填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：(1)定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等．(2)定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等．技法攻略方法一　直接法方法诠释直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法.适用范围涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目.【例1】　(1)(2019·安徽合肥质检)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________.(2)(2019·河北沧州联考)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆x 2a 2y 2b 2心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．[解题指导]　(1)→由向量共线得方程得出结果(2)→→由等边△AMN 的性质得点A 到渐近线的距离利用点到直线的距离公式表示出点A 到渐近线的距离建立关于a ，c 的等式，从而求得离心率e[解析]　(1)a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.(2)不妨设点M 、N 在渐近线y ＝x 上，如图，△AMN 为等边三角形，且|AM |＝b ，ba 则A 点到渐近线y ＝x 的距离为b ，又将y ＝x 变形为一般形式为bx －ay ＝0，则b a 32ba A (a,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝＝，所以＝b ，即＝，|ba |a 2＋b 2|ab |c |ab |c 32ac 32所以双曲线的离心率e ＝＝.c a 233[答案]　(1)－6　(2)233　直接法求解填空题的关键利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．1．(2019·甘肃、青海联考)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋S 5＝18，a 5＝7.若a 3，a 6，a m 成等比数列，则m ＝________.[解析]　设等差数列{a n }的公差为d ，由Error!得Error!解得Error!所以a n ＝2n －3.又a ＝a 3a m ，故92＝3(2m －3)，26解得m ＝15.[答案]　152．(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝对称，则φ(－π2<φ<π2)π3的值是________．[解析]　∵函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝对称，∴x ＝时，函数取得最大值π3π3或最小值，∴sin ＝±1.(2π3＋φ)∴＋φ＝k π＋(k ∈Z )，2π3π2∴φ＝k π－(k ∈Z )，π6又－<φ<，∴φ＝－.π2π2π6[答案]　－π6方法二　特例法方法诠释当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程.适用范围适用于含有字母且具有定性定值的填空题，结果要唯一.【例2】　(1)(2019·云南玉溪模拟)cos 2α＋cos 2(α＋120°)＋cos 2(α＋240°)的值为________．(2)(2019·河北石家庄模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，且对任意的x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．[解题指导]　(1)→→由此式的值与α无关想到给α赋值取α＝0求解得结果(2)→→∀x ∈R ，f ′(x )>2，且f (－2)＝2举例：符合条件的特殊函数通过特殊函数得解[解析]　(1)令α＝0，则原式＝cos 20＋cos 2120°＋cos 2240°＝.32(2)解法一：特殊函数法：令f (x )＝3x ＋5，则由3x ＋5>2x ＋4，得x >－1.解法二：令函数g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2>0，因此g (x )在R 上为增函数．又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝2＋2－4＝0，所以原不等式可化为g (x )>g (－1)，由g (x )的单调性可得x >－1.[答案]　(1)　(2)(－1，＋∞)32　特例法求解填空题的技巧求值或比较大小等问题的求解均可利用特例法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．1．(2019·河南焦作二模)一个等差数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，则它的前3n 项和为________．[解析]　令n ＝1，则a 1＝48，a 1＋a 2＝60，所以a 2＝60－48＝12，所以S 3＝3a 2＝36.[答案]　362．(2019·江西南昌4月测试)如图所示，在△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，K 为AO上一点，且＝2，经过K 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N .若＝mAO → AK → AB → ，＝n ，则m ＋n ＝________.AM → AC → AN →[解析]　当过点K 的直线与BC 平行时，MN 就是△ABC 的一条中位线(∵＝2，∴K 是AO 的中点)，这时由于有＝m ，＝n ，因此m ＝n ＝2，故AO → AK → AB → AM → AC → AN → m ＋n ＝4.[答案]　4方法三　图解法(数形结合法)方法诠释对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.适用范围适用于几何意义一般较为明显的题目，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等.【例3】　(1)(2019·太原二模)设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________．(2)(2019·贵州贵阳模拟)若不等式|x －2a |≥x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围12是________．[解题指导]　[解析]　(1)集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有＝1，又|m ＋1|2m >0，所以m ＝－1，故m 的取值范围是m ≥－1.22(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤.1212[答案]　(1)[－1，＋∞)　(2)2(－∞，12]　图解法求解填空题的要点平面几何图形、Venn 图、函数的图象等，都是常用的图形．利用函数图象或某些数学知识的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，再辅以简单计算，确定正确答案，从而有效地降低这类客观题的错误率．1．(2019·广州深圳三校联考)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足Error!则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是________．[解析]　画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，∴d ＝2＝()2＝2.2min(|3－0－1|12＋(－1)2)2最大值为点Q 到点A 的距离的平方，∴d ＝16.2max∴取值范围是[2,16]．[答案]　[2,16]2．(2019·江西七校联考)不等式－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为4－x 2________．[解析]　由－kx ＋1≤0，得≤kx －1，4－x 24－x 2设f (x )＝，g (x )＝kx －1，其中－2≤x ≤2.4－x 2如图，作出函数f (x )，g (x )的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点．由图可知k AC ＝＝－，0－(－1)－2－012k BC ＝＝.0－(－1)2－012所以k 的取值范围为∪.(－∞，－12][12，＋∞)[答案]　∪(－∞，－12][12，＋∞)方法四　构造法方法诠释构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法.适用范围适用于构造函数、数列、几何图形的题目.【例4】　(1)(2019·湖南长沙模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f ′(x )，若对于任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )<e x 的解集为________．(2)(2019·河北保定摸底考)设数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝a n －1＋3n (n ∈N *，n ≥2)，则13a n ＝________.[解析]　(1)令g (x )＝，则g ′(x )＝＝<0.∴g (x )在R 上是f (x )e x f ′(x )·e x －f (x )·e x (e x )2f ′(x )－f (x )e x 减函数．又y ＝f (x )－1为奇函数，∴f (0)－1＝0，∴f (0)＝1，g (0)＝1，∴原不等式等价于g (x )＝<1＝g (0)，∴x >0.故不等式的解集为{x |x >0}．f (x )e x (2)∵a n ＝a n －1＋3n (n ∈N *，n ≥2)，13∴－＝3.又∵a 1＝3，∴＝1.an 3n an －13n －1a 13∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列．{an3n }∴＝1＋3(n －1)＝3n －2，则a n ＝(3n －2)·3n .an3n [答案]　(1){x |x >0}　(2)(3n －2)·3n　构造法解填空题的技巧构造法解填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．1．(2019·陕西咸阳一模)已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，若a ＝f ，b ＝－e f (－e)，c ＝f (1)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )1e (1e )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <a <b[解析]　令g (x )＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴g (x )为(0，＋∞)上的增函数．又∵e>1>，∴g (e)>g (1)>g ，1e (1e )∴e f (e)>f (1)>f .1e (1e )∵f (x )为奇函数，∴－e f (－e)＝e f (e)，∴b >c >a ，故选C.[答案]　C2．(2019·陕西西安调研)如图，已知球O的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝，则球O 的体积等于________．2[解析]　如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝＝2R，所以(2)2＋(2)2＋(2)2R ＝，故球O 的体积V ＝＝π.624πR 336[答案]　π6方法五　归纳推理法方法诠释做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想.适用范围适用于与正整数n 有关和逻辑推理方面的问题.【例5】　(1)(2019·山西孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是________．(2)(2019·山东淄博模拟)德国数学家莱布尼茨发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼茨三角形．根据前6行的规律，写出第7行的第3个数：________.11　1212 131613 1411211214 1512013012015 1613016016013016……　……　……　……[解题指导]　(1)→第一名分别为1，2，3，4，5，6时推理甲、乙、丙、丁的对错→逐一判断得结论(2)→→观察式子特征寻求数字规律写出待写式子[解析]　(1)若1号是第1名，则甲错，乙对，丙对，丁对，不符合题意；若2号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；若3号是第1名，则甲对，乙对，丙错，丁错，不符合题意；若4号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；若5号是第1名，则甲对，乙对，丙对，丁错，不符合题意；若6号是第1名，则甲错，乙错，丙对，丁错，符合题意．故猜对者是丙．(2)规律：任意一个小三角形里，底角两数相加＝顶角的数，整个三角形的两条侧边是正整数的倒数构成的数列，所以第7行第一个数和最后一个数都是，第二个数加要等于，171716所以求出第二个数是，同理第三个数加等于，求出第三个数是.1421421301105[答案]　(1)丙　(2)1105　归纳推理法求解填空题的技巧归纳推理法多用于新定义型填空题，只要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，关键是找准归纳的对象．1．(2019·吉林长春一模)观察分析下表中的数据：多面体面数(F )顶点数(V )棱数(E )三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．[解析]　观察表中数据，并计算F ＋V 分别为11,12,14，又其对应E 分别为9,10,12，容易观察并猜想F ＋V －E ＝2.[答案]　F ＋V －E ＝22．(2019·甘肃兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *,1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.[解析]　∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.[答案]　n 2方法六　正反互推法方法诠释多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论.适用范围适用于从多个命题或结论中选出满足条件的命题或结论.【例6】　(1)(2019·安徽安庆模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、Q 分别是棱D 1C 1、A 1D 1、BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝BD 1.则以下四个说法：23①MN ∥平面APC ；②C 1Q ∥平面APC ；③A 、P 、M 三点共线；④平面MNQ ∥平面APC .其中说法正确的是__________．(2)(2019·陕西西安一模)下面给出的三个命题中：①若m ＝－2，则直线(m ＋2)x ＋my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直；②命题“∃x 0∈R ，使得x ＋3x 0＋4＝0”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2＋3x ＋4≠0”；20③将函数y ＝sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y ＝sin的图象．π3(2x －π6)其中是真命题的有________(将真命题的序号都填上)．[解题指导]　(1)→→根据题意作出图形对命题进行推理得结论(2)→逐个推理论证判断结果[解析]　(1)①连接MN ，AC ，则MN ∥AC ，连接AM 、CN ，易得AM 、CN 交于点P ，即MN ⊂面PAC ，所以MN ∥面APC 是错误的；②由①知M 、N 在平面APC 上，由题易知AN ∥C 1Q ，C 1Q ⊄平面APC ，所以C 1Q ∥面APC 是正确的；③由①知A ，P ，M 三点共线是正确的；④由①知MN ⊂面PAC ，又MN ⊂面MNQ ，所以面MNQ ∥面APC 是错误的．(2)①若m ＝－2，则两直线分别为－2y ＋1＝0与－4x －3＝0，相互垂直，故①是真命题．②命题“∃x ∈R ，使得x ＋3x 0＋4＝0”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2＋3x ＋4≠0”，正确，故②是真命题．③将函20数y ＝sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y ＝sin ＝sin的图象，故③π3[2(x －π3)](2x －2π3)是假命题．[答案]　(1)②③　(2)①②　正反互推法求解填空题的技巧正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能．两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断．利用正反互推结合可以快速解决这类问题．1．(2019·福建龙岩质检)给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)[解析]　①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，则a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．故真命题为①③.[答案]　①③2．(2019·辽宁大连一模)若函数y ＝f (x )对定义域D 内的每一个x 1，都存在唯一的x 2∈D ，使得f (x 1)·f (x 2)＝1成立，则称f (x )为“自倒函数”，给出下列四个命题：①f (x )＝sin x ＋是自倒函数；2(x ∈[－π2，π2])②自倒函数f (x )的值域可以是R ；③自倒函数f (x )可以是奇函数；④若y ＝f (x )，y ＝g (x )都是自倒函数，且定义域相同，则y ＝f (x )·g (x )也是自倒函数．则以上命题正确的是______(写出所有正确命题的序号)．[解析]　对于①，不妨任取x 1∈，则f (x 1)∈[－1，＋1]，所以f (x 2)[－π2，π2]22＝∈[－1，＋1]．又f (x )在上单调递增，故满足题意，故①正确；对于②，1f (x 1)22[－π2，π2]若函数f (x )的值域为R ，不妨取f (x 1)＝0，则在其定义域内不存在x 2，使得f (x 1)·f (x 2)＝1成立，故②不正确；对于③，设函数f (x )＝，易知f (x )满足题意，显然f (x )为奇函数，故③正1x 确；对于④，取f (x )＝x ，x ∈(0，＋∞)，g (x )＝，x ∈(0，＋∞)，则f (x )，g (x )是自倒函1x 数．但y ＝f (x )·g (x )＝x ·＝1不是自倒函数，因为对y ＝f (x )·g (x )的定义域内的任意x 1，x 2，1x 都有f (x 1)·f (x 2)＝1，故④不正确，故填①③.[答案]　①③题型技法归纳1．解答填空题的策略填空题的结果必须准确、规范，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”．2．解答填空题的原则专题强化训练(六)1．(2019·云南大理模拟)已知平面向量a ，b 满足b ·(a ＋b )＝3，且|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＝________.[解析]　b ·(a ＋b )＝a ·b ＋|b |2＝3，又|b |＝2，则a ·b ＝－1，所以|a ＋b |＝＝(a ＋b )2＝.|a |2＋2a ·b ＋|b |23[答案]　32．(2019·河南洛阳一模)已知奇函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且△MNE 是边长为1的正三角形，那么f ＝________.(13)[解析]　由f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(0<φ<π)是奇函数得φ＝，则f (x )π2＝A cos＝－A sin ωx ，f ′(x )＝－Aωcos ωx ，由题知E 是最高点，且△MNE 是边长为(ωx ＋π2)1的正三角形，则Aω＝，最小正周期T ＝2，则ω＝＝π，322πT A ＝，则f (x )＝－·sin πx ，所以f ＝－sin ＝－.32π32π(13)32ππ334π[答案]　－34π3．(2019·江南十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则＝________.cos A ＋cos C1＋cos A cos C [解析]　解法一：取特殊值：a ＝3，b ＝4，c ＝5，则cos A ＝，cos C ＝0，＝.45cos A ＋cos C 1＋cos A cos C 45解法二：取特殊角：A ＝B ＝C ＝，cos A ＝cos C ＝，π312＝.cos A ＋cos C 1＋cos A cos C 45[答案]　454.(2019·宁波统考)如图，在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．[解析]　要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E ，F ，G 分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA ＝6，OB ＝4，OC ＝2，如图，则可计算S 1＝3，S 2＝2，S 3＝，故S 3<S 2<S 1.51013[答案]　S 3<S 2<S 15．(2019·湖南湘潭二模)设方程＝|lg x |的两个根为x 1，x 2，则x 1·x 2的取值范围1x ＋1________．[解析]　分别作出函数y ＝和y ＝|lg x |的图象如图，1x ＋1不妨设0<x 1<1<x 2，则|lg x 1|>|lg x 2|，∴－lg x 1>lg x 2，即lg x 1＋lg x 2<0，∴0<x 1x 2<1.[答案]　(0,1)6．(2019·陕西师大附中二模)直线y ＝x 与函数f (x )＝Error!的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是________．[解析]　画出图象如下图所示．由图可知，当m ＝－1时，两个函数图象恰好有3个公共点．将x ＝－1向右平移到x ＝2的位置，此时函数图象与y ＝x 只有两个公共点，故m 的取值范围是[－1,2)．[答案]　[－1,2)7．(2019·安徽合肥模拟)已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面．给出下列命题：①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α，或n ⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β.其中正确的命题序号是________．[解析]　①错误．如图在正方体中，平面ABB ′A ′⊥平面ADD ′A ′，交线为AA ′.直线AC ⊥AA ′，但AC 不垂直平面ABB ′A ′，同时AC 也不垂直平面ADD ′A ′；②正确．实质上是两平面平行的性质定理；③错误．如图中的正方体所示，直线AC 不垂直于平面A ′B ′C ′D ′，但AC ⊥B ′D ′，所以AC 垂直于平面A ′B ′C ′D ′内与直线B ′D ′平行的无数条直线；④正确．利用线面平行的判定定理和性质定理即可得到．[答案]　②④8．(2019·湖南长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1，则{a n }的通项公式为________．[解析]　由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋＝3，所以数列是以为首项，3为12(an ＋12){an ＋12}32公比的等比数列，所以a n ＋＝·3n －1，故a n ＝.12323n －12[答案]　a n ＝3n －129．(2019·山西晋中模拟)已知数列{a n }满足a n ＝(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项5n －1按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2019的末位数字为________．[解析]　由a n ＝(n ∈N *)，可得此数列为，，，，，，，，，5n －14914192429343944，，，，…，整数项为，，，，，，…，49545964494964144169∴数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，∵2019＝4×504＋3.∴b 2019的末位数字为7.[答案]　710．(2019·河北邯郸一模)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集，其中真命题是______(写出所有真命题的序号)．[解析]　直接验证可知①正确；当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，故②正确；对于集合S ＝{0}，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误；取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0－1＝－1∉T ，故T 不是封闭集，④错误．所以真命题为①②，故填①②.[答案]　①②11．(2019·广东揭阳一模)在矩形ABCD 中，AB <BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直；②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直；③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号)[解析]　如图，若AC ⊥BD ，已知CF ⊥BD ，AC ∩CF ＝C ，那么BD ⊥平面ACF ，则BD ⊥AF ，这与平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以①不正确；当点A 在平面BCD 内的射影落在线段BC 上时，AB ⊥CD ，所以存在某个位置使AB ⊥CD ，所以②成立；若AD ⊥BC ，已知BC ⊥CD ，CD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面ACD ，所以BC ⊥AC ，那么AB >BC ，这与已知矛盾，所以③不正确．[答案]　②12．(2019·江西九江七校联考)给出下列四个命题：①若|a |＝|b ，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则＝是四边形ABCD 为平行四边形的充要AB → DC → 条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．[解析]　①|a |＝|b |，则a ，b 大小相等，但方向不一定相同，故两个向量不一定相等，故①错误；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则＝⇔AB ∥CD 且AB ＝CD ⇔四边形AB → DC → ABCD 为平行四边形，故②正确；③若a ＝b ，则a ，b 大小相等，方向相同，若b ＝c ，则b ，c 大小相等，方向相同，则a ，c 大小相等，方向相同，则a ＝c ，故③正确；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向，故④错误．故正确命题的序号是②③.[答案]　②③。

专题强化训练(十八) 一、选择题 1．(2019·河南洛阳4月联考)设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，m⊂β，下列结论正确的是( ) A．若α⊥β，则l⊥β B．若l⊥m，则α⊥β C．若α∥β，则l∥β D．若l∥m，则α∥β [解析] 对于A，α⊥β，l⊂α，只有加上l垂直于α与β的交线，才有l⊥β，所以A错误；对于B，若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交但不垂直，所以B错误；对于C，若α∥β，l⊂α，由面面平行的性质可知，l∥β，所以C正确；对于D，若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交，所以D错误． [答案] C 2．(2019·福建福州3月质检)已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是( ) A．若c⊂平面α，则a⊥α B．若c⊥平面α，则a∥α，b∥α C．存在平面α，使得c⊥α，a⊂α，b∥α D．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α [解析] 对于A，满足c⊂平面α，且c与异面直线a，b均垂直，则a可能在α内，也可能与α斜交，故A错误；对于B，满足c⊥平面α时，直线a与直线b可能其中一条在平面α内，故B错误；对于C，若b∥α，则α内一定存在一条直线b′，使得b∥b′，又知a⊂α，且a与b为两条异面直线，所以a与b′一定相交，又知c⊥b，b∥b′，所以c⊥b′，又知c⊥a，a与b′ 相交，所以c⊥α，故C正确；对于D，如果a⊥α，b⊥α，则a∥b，这与条件中a，b是两条异面直线相矛盾，故D错误，因此选C． [答案] C 3．(2019·内蒙古赤峰模拟)已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题中正确命题的个数为( ) ①若m∥n，n⊂α，则m∥α； ②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β； ③若l⊥n，m⊥n，则l∥m； ④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α. A．1 B．2 C．3 D．4 [解析] ①若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，不正确；②若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正确；③若l⊥n，m⊥n，则l与m平行、相交或为异面直线，不正确；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，由面面垂直的性质定理得n⊥α，因此正确．综上可知只有②④正确．故选B． [答案] B 4．(2019·陕西西安一模)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有( ) A．2条 B．4条 C．6条 D．8条

2020年郑州市第一中学高三生物二模试卷及答案解析一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

1. 某运动员午餐进食了米饭、鸡鸭肉、苹果等，2小时后，在他的血液中不可能含有A. 葡萄糖B. 淀粉、纤维素C. 氨基酸D. 脂肪酸、甘油2. 细胞外液渗透压感受器及产生渴觉的神经中枢分别位于A. 大脑皮层、下丘脑B. 下丘脑、下丘脑C. 下丘脑、大脑皮层D. 大脑皮层、大脑皮层3. 用XhoI和SalI两种限制性核酸内切酶分别处理同一DNA片段（限制酶在对应切点一定能切开），酶切位点及酶切产物分离结果如图。

下列叙述错误的是A. 图1中两种酶识别的核苷酸序列不同B. 图1中被酶切的DNA片段是双链DNAC. 图2中泳道②可能是用XhoI处理得到的酶切产物D. 用XhoI和SalI同时处理该DNA，电泳后得到7种产物4. 下列有关稳态的叙述中，错误的是（）A.运动时，人的内环境稳态会遭到破坏B.稳态是机体进行正常生命活动的必要条件C.当稳态遭到破坏时，可能导致疾病发生D.内环境稳态是神经-体液-免疫共同调节的结果5. 如图表示发生在水稻叶肉细胞中的某些生理作用，其中②～②代表有关的生理过程。

下列叙述错误的是（）A. 过程②产生的[H]来自丙酮酸和水B. 图中发生在生物膜上且有A TP生成过程是②②C. 若过程②产生的CO2被叶绿体利用，至少穿过5层生物膜D. 适当降低夜间温度可降低过程②②②的速率，利于水稻有机物的积累6. 为研究神经元之间的相互作用，分别用适宜强度的刺激进行如下实验：②只刺激a神经元，②只刺激b神经元，②先刺激a立即再刺激b。

结果c神经元的电位变化表现分别为曲线甲、乙、丙，下列分析正确的是（）A.刺激a神经元，c神经元产生电位变化，属于反射B.由图可推知，突触2释放的递质起抑制作用C.适宜强度刺激b神经元，b神经元不会产生电位变化D.若c神经元接受神经递质刺激能够分泌促激素释放激素，则c为垂体7. 下列关于植物激素的说法正确的是（）A. 含生长素的琼脂块促进无尖端的胚芽鞘生长，说明生长素具有促进植物生长的作用B. 植物激素的形成可体现基因对生物性状的间接控制C. 从植物体获得的植物激素2，4—D可促进果实的生长D. 探索生长素类似物促进插条生根适宜浓度时，预试验的目的是排除无关变量对实验的影响8. 将要成熟的大豆豆荚加工成的菜肴，俗称“毛豆”。

专题强化训练(二)一、选择题1．(2019·山西长治二模)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为线段BC 上的点，则·的最小值为( )AE → DE→ A ．2 B. 154C.D ．4174[解析]　如图所示，以点B 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，BA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,2)，D (1,2)，E (x,0)，所以·＝(x ，－2)·(x －1，－2)AE → DE→ ＝x 2－x ＋4＝2＋，因为E 为线段BC 上的点，所以x ∈[0,1]，(x －12)154故当x ＝时，·取得最小值.故选B.12AE → DE →154[答案]　B2．(2019·广东广州测试)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值为( )A. B. C ．－D ．－12141234[解析]　画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝x 2＋2x ＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2－1，其几何意义是平面区域内的点(x ，y )到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为，故z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值12为z min ＝－1＝－，选D.1434[答案]　D0 0 3.(2019·安徽江南十校4月联考)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3,13－x }的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10[解析]在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3,13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 点C 下方的部分的组合图．显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3,13－x }取得最大值．解方程组Error!得点C (5,8)．所以f (x )max ＝8.[答案]　C4．(2019·云南昆明模拟)函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析]　函数f (x )＝ln x －x －a 的零点，即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程ln x －x －a ＝0化为方程ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知，直线y 2＝x ＋a 与曲线y 1＝ln x 相切时有a ＝－1，如图所示，若关于x 的方程ln x －x －a ＝0有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．故选B.[答案]　B5．(2019·九江十校联考)设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝，点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|＋|的最3PA → PB→ 小值为( )A ．3B ．4C.D.175195[解析]　设AB 的中点为D ，则＋＝2.PA → PB → PD→ ∴当且仅当O ，D ，P 三点共线时，|＋|取得最小值，PA → PB→ 此时OP ⊥AB ，且OP ⊥l .＝，|OD |＝＝，129＋161251－3412∴|＋|的最小值为2＝.PA → PB→ (125－12)195[答案]　D6．(2019·广西南宁模拟)设P 为双曲线x 2－＝1右支上一点，y 215M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析]　由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，y 215F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.[答案]　C 二、填空题7．(2019·河北衡水中学二调)函数f (x )＝3－x ＋x 2－4的零点个数是________．[解析]　令f (x )＝0，则x 2－4＝－x ，分别作出函数g (x )(13)＝x 2－4，h (x )＝－x 的图象，由图可知，显然h (x )与g (x )的图象有(13)2个交点，故函数f (x )的零点个数为2.[答案]　28．(2019·广东珠海一中4月模拟)设函数f (x )＝x |x －a |的图象与函数g (x )＝|x －1|的图象有三个不同的交点，则a 的取值范围是________．[解析]　易知a ＝0时不满足题意．当a <0时，f (x )与g (x )的图象如图(1)，不满足题意．当a >0时，f (x )与g (x )的图象如图(2)．根据图(2)知要满足f (x )与g (x )的图象有三个不同交点，需a >1.∴a 的取值范围是(1，＋∞)．[答案]　(1，＋∞)9．(2019·山西四校模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．[解析]　由题意可得Error!即Error!又a 4＝a 1＋3d ，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图阴影部分所示．作出直线a 1＋3d ＝0，经平移可知当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内点A (1,1)时，纵截距最大，此时a 4取最大值4.[答案]　4三、解答题10．(2019·海南海口模拟)设关于θ的方程cos θ＋sin θ＋a ＝03在区间(0,2π)内有相异的两个实数α、β.(1)求实数a的取值范围；(2)求α＋β的值．[解]　(1)原方程可化为sin ＝－，(θ＋π3)a2作出函数y ＝sin(x ∈(0,2π))的图象．(x ＋π3)由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是Error!即－2<a <－或－<a <2.33(2)由图知：当－<a <2，即－∈时，直线y ＝－与3a2(－1，32)a2三角函数y ＝sin的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为(x ＋π3)，所以＝，7π6α＋β27π6所以α＋β＝.7π3当－2<a <－，即－∈时，直线y ＝－与三角函数3a2(32，1)a2y ＝sin的图象有两交点A 、B ，(x ＋π3)由对称性知，＝，所以α＋β＝，α＋β2π6π3综上所述，α＋β＝或.π37π311．(2019·山东德州模拟)已知直线l ：x －y ＝1与圆M ：x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，求四边形ABCD 面积的最大值．[解]　把圆M ：x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0化为标准方程：(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，圆心(1，－1)，半径r ＝.3直线l 与圆M 相交，圆心到直线l 的距离d ＝＝，|1×1－1×(－1)－1|12＋(－1)222所以弦长|AC |＝2×＝.(3)2－(22)210又B ，D 两点在圆上，且位于直线l 的两侧，四边形ABCD 的面积可以看成是两个三角形△ABC 和△ACD 的面积之和，如图所示，当B ，D 为如图所示位置，即BD 为弦AC 的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，最大面积为S ＝|AC |×|BE |＋|AC |×|DE |1212＝|AC |×|BD |＝××21212103.3012．(2019·四川成都调研)已知A (1,1)为椭圆＋＝1内一点，x 29y 25F 1为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一动点，求|PF 1|＋|PA |的最大值和最小值．[解]　由＋＝1可知a ＝3，b ＝，c ＝2，左焦点F 1(－2,0)，x 29y 255右焦点F 2(2,0)．由椭圆定义，知|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－|PF 2|，∴|PF 1|＋|PA |＝6－|PF 2|＋|PA |＝6＋|PA |－|PF 2|.如图，由||PA |－|PF 2||≤|AF 2|＝＝，知(2－1)2＋(0－1)2222－≤|PA|－|PF2|≤.当点P在AF2的延长线上的点P2处时，取右“＝”，当点P在AF2的反向延长线上的点P1处时，取左“＝”，22即|PA|－|PF2|的最大、最小值分别为，－.22于是|PF1|＋|PA|的最大值是6＋，最小值是6－.。