【附加15套高考模拟试卷】陕西省西工大附中2020届高三第九次适应性考试数学(理)试题含答案

2020年西安市西工大附中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素个数为()A. 2B. 3C. 4D. 62.若复数z=a−2i在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则|z|=()2A. 2B. √2C. 1D. 2√23.自古以来“民以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着重要作用.某机构统计了2010～2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确的是()A. 2010～2016年全国餐饮收入逐年增加B. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个C. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年D. 2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A. 14B. 15C. 16D. 175.设a=0.512,b=0.914,c=log0.3，则a,b,c的大小关系是()．5A. a >c >bB. c >a >bC. a >b >cD. b >a >c6. 从正方形四个顶点中任取2个点，则这2个点间的距离大于该正方形边长的概率为( ) A. 16 B. 13 C. 12 D. 237. 我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球．嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ，远地点到地心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m 、2n(近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点)，则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率( )A. 不变B. 变小C. 变大D. 无法确定8. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，CA =CB =CC 1=1，则直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为( )A. √22B. √155C. √33D. √639. 已知函数f(x)=sinωx (ω>0)的图象关于点(2π3,0)对称，且f(x)在[0,π4]上为增函数，则ω=( ) A. 32 B. 3 C. 92 D. 610. 已知函数f(x)=e x ,g(x)=a √x(a ≠0)，若函数y =f(x)的图象上存在点P(x 0,y 0)，使得y =f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线与y =g(x)的图象也相切，则a 的取值范围( )A. (0,1]B. (0,√2e]C. (1,√2e]D. (1√2e ,2e) 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左焦点为F ，过点F 作圆O ：x 2+y 2=14b 2的切线，切点为M ，且交双曲线C 右支于点N.若FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. 3x ±y =0B. x ±3y =0C. 2x ±y =0D. x ±2y =012. 已知函数g (x )(x ∈R )是偶函数，且g(2+x)=g(2−x)，当x ∈[0,2]时，g(x)=1−x ，则方程g(x)=11−|x |在区间[−10,10]上的解的个数是( ).A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,m)，a⃗+b⃗ =(1,2)，若a⃗//(a⃗+3b⃗ )，则实数m=________．14.设(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则代数式a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为________．15.数列{a n}中，若a n+a n+1=7n+5，n∈N∗，则a1+a100=______ ．16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN//平面B1BDD1．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中，AB=3，AC=5，D是边BC上的点，AB⊥AD，sinC⋅tan∠ADC=−33．70(1)求cos B；(2)求△ABC的面积．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥平面BCC1B1，AC=1，BC=√3，BB1=2，∠B1BC=30°．(1)证明：B1C⊥平面ABC．(2)求二面角B1−A1C−C1的余弦值．19.设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P(2,4)，过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k PA，k PB．(1)求抛物线的方程；(2)若k PA+k PB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；(3)若k PA⋅k PB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．20.《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量差在(μ−σ,μ+σ)内的产品为优等品，质量差在(μ+σ,μ+2σ)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：(1)根据频率分布直方图，求样本平均数x；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973⋅(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求随机变量X的分布列及期望值．21.已知函数f(x)=(x−1)lnx+ax2+(1−a)x−1.(1)当a=−1时，判断函数的单调性；(2)讨论f(x)零点的个数．22. 将参数方程{x =2+sin 2θy =sin 2θ(θ为参数)化为普通方程．23. 已知函数f(x)=|2x −a|+|2x +3|，g(x)=|3x −2|．(1)解不等式g(x)<|2x +1|；(2)若对任意的x 1∈R ，任意的x 2∈[0,1]，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用交集定义求出A ∩B ={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}.由此能求出A ∩B 中元素的个数． 解：∵集合A ={(x,y)|x ，y ∈N ∗，y ≥x}，B ={(x,y)|x +y =8}，∴A ∩B ={(x,y)|{y ≥x x +y =8,x,y ∈N ∗}={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}． ∴A ∩B 中元素的个数为4．故选：C ．2.答案：B解析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z 对应的点在直线x +y =0上列式求得a ，则答案可求． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 解：因为复数z =a−2i 2=a 2−i ，所以复数z =a−2i 2在复平面内对应的点的坐标为(a 2,−1)，由复数z =a−2i 2在复平面内对应的点在直线x +y =0上，可得a 2−1=0⇒a =2，z =1−i ，|z|=√12+(−1)2=√2，故选B ．3.答案：B解析：本题考查条形图的性质的基础知识，是基础题．2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共两年．解：由条形数得：在A中，2010～2016年全国餐饮收入逐年增加，故A正确；在B中，2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共2个，故B错误；在C中，2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年，故C正确；在D中，2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上，故D正确．故选B．4.答案：C解析：本题考查程序框图，理解程序的功能是解题的关键．根据程序框图，，当n=14时，，所以到n=15得到S<−3，因此将输出n=15+1=16．故选C．5.答案：D解析：本题考查了指数函数性质与对数运算，比较大小，属于基础题．解：a=0.512=0.2514,b=0.914>0.2514>0,c=log50.3<0，所以b>a>c．故选D．6.答案：B解析：解：从正方形ABCD四个顶点中任取2个点，有AB，BC，CD，DA，AC，BD共有6种结果，若这2个点间的距离大于该正方形边长，则为AC，BD，2个结果，则对应的概率P=26=13，利用列举法分别列举出对应事件的个数，结合古典概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查概率的计算，利用列举法是解决本题的关键．7.答案：A解析：本题考查椭圆离心率的计算，考查学生的计算能力，比较基础．利用离心率公式，分别求出离心率，即可得出结论．解：由题意，第一次变轨前有：a−c=m，a+c=n，则2a=m+n，2c=n−m，∴e=ca =n−mn+m，第二次变轨后有：a′−c′=2m，a′+c′=2n，则2a′=2(m+n)，2c′=2(n−m)，∴e′=c′a′=n−mn+m，∴e=e′．故选：A．8.答案：C解析：根据几何性质得出直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，转化为直角三角形△A1C1B求解，利用边长的关系求解．本题综合考查了直棱柱的几何性质，运用平面问题求解空间角，注意空间思维能力，运算能力的考查，属于中档题．解：∵直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°∴A1C1⊥CC1，A1C1⊥B1C1，∵CC1∩B1C1=C1，∴A1C1⊥面BB1C1C，∴直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，∵CA=CB=CC1=1，AB=√2∴Rt△A1C1B中A1C1=1，A1B=√3，∴sin∠A1BC1=3=√33，9.答案：A解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，是中档题．f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，可得ω=32k(k∈Z)，f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，可得πω4≤π2且ω>0，由此可解．解：因为函数f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，所以2ω3π=kπ(k∈Z)，即ω=32k(k∈Z)①，又函数f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，所以πω4≤π2且ω>0，所以0<ω≤2②，由①②得ω=32．故选A．10.答案：B解析：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求参数的范围问题，属于综合题．解：由题意f(x)=e x，在点P(x0,y0)处的切线，y=e x0x+e x0(1−x0)，∵g(x)=a√x(a≠0)，∴g′(x)=2x ，令2x=e x0，则知a>0，解得x=a24e2x0，。

陕西省西北工业大学附属中学2020届高三数学考前模拟练习试题理（含解析）第Ⅰ卷选择题（共60分）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若（，是虚数单位），则等于（）A. 3B. 2C. 0D.【答案】A【解析】，因，故，所以，选A.2.命题:“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得 ,因为 ,因此一个充分不必要条件是,选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程得出的值，再求双曲线的离心率．【详解】已知双曲线的渐近线方程为，且，所以，得.，所以双曲线的离心率为.故选：B【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，属于基础题．4.下列说法错误的是（）A. 回归直线一定经过样本点中心B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近1C. 对分类变量与，若越大，则“与有关的把握程度越小”D. 在回归方程中，每当随机变量每增加1个单位时，预报变量就平均增加0.2个单位【答案】C【解析】根据相关定义分析知A、B、D正确；C中对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”的招把握程度越大，故C不正确，故选C．5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，可得答案．【详解】由程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，由于.故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6.已知过球面上三点，，的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积． 【详解】如图，设球的半径为R ，O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为r ， 则OO ′⊥面ABC ．在Rt△ACD 中，cos A ，则sin A ．在△ABC 中，由正弦定理得2r ，r，△ABC 外接圆的半径，．故选：C ．【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题．7.从1，2，3，4，5，6，7中取出两个不同数，记事件为“两个数之和为偶数”，事件为“两个数均为偶数”，则（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】用列举法求出事件A ，事件B 所包含的基本事件的个数，求P （A ），P （AB ），根据条件概率公式，即可得到结论．【详解】事件A 为“两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（1，7），（3，5）、（3，7），（5，7），（2，4），（2，6），（4，6），∴P（A）＝，事件B为“两个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），（2，6），（4，6），∴P（AB）＝，∴P（B|A）＝．故选：A．【点睛】本题考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．属于基础题．8.将多项式分解因式得，为常数.若，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】由可得=5m-2=-7,m=-1，.【详解】因为的通项公式为，=x+（-2）=(5m-2)，=5m-2，又，5m-2=-7,m=-1,=2，故选D.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设正方体的棱长为，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，所以正方体切掉部分的体积为，所以剩余部分体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比为，故选D．考点：几何体的三视图及体积的计算．10.将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数图象经过放缩变换与平移变换后可得，由可得结果.【详解】函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，再向左平移后得到，因为的图象关于于对称，，解得，当时，，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11.如图所示，为的外心，，，为钝角，为边的中点，则的值为（）A. B. 12 C. 6 D. 5【答案】D【解析】分析】取的中点，且为的外心，可知，所求，由数量积的定义可得，代值即可．【详解】如图所示，取的中点，且为的外心，可知，∵是边的中点，∴ .，由数量积的定义可得，而，故；同理可得，故.故选：D．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若当时，恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．故选：B．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.若直线被圆截得的弦最短，则______；【答案】【解析】直线y＝kx＋1恒过定点A(0,1)，要使截得的弦最短，需圆心(1,0)和A点的连线与直线y ＝kx＋1垂直，所以k·＝－1，即k＝1.14.已知数列为等差数列，且，，则______；【答案】2【解析】【分析】由为等差数列，且，利用等差数列的性质得到的值，然后求定积分即可．【详解】因为为等差数列，由等差数列的性质，得，即. 所以，所以，所以.故答案为：2．【点睛】本题考查了等差数列的性质、定积分等知识，属于基础题．15.若实数，满足且的最小值为4，则实数的值为______；【答案】【解析】试题分析：画出可行域（如图阴影部分所示）和直线：，观察图形，知直线过直线和的交点时，取得最小值，即，解得，所以实数的值为.考点：线性规划问题.【易错点晴】线性规划问题是数学考试中常见题。

【解析】陕西省西工大附中2013届高三上学期第三次适应性训练数学理试题第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．复数z =1ii+在复平面上对应的点位于( ) （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】A 【 解析】z =()()()1-11=111-222i i i i i i i i +==+++，所以复数z 对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限。

2．设a ,b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） （A ）,//,a b αβαβ⊥⊥ （B ）,,//a b αβαβ⊥⊥ （C ）,,//a b αβαβ⊂⊥ （D ）,//,a b αβαβ⊂⊥【答案】C【 解析】A 、B 、D 的反例，如图：因此选C 。

3．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=( )（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35【答案】C【 解析】因为34512a a a ++=，所以44a =，所以1274728a a a a +++==.4．设函数2,[5,5]()2x f x x x ∈-=-- .若从区间[5,5]-内随机选取一个实数0x ,则所选取的实数0x 满足0()0f x ≤的概率为（ ）（A ）0.5 （B ）0.4 （C ）0.3 （D ）0.2【答案】C【 解析】由2()20f x x x =--≤≤≤得：-1x 2，所以从区间[5,5]-内随机选取一个实数0x ,则所选取的实数0x 满足0()0f x ≤的概率为30.310=。

5．已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是( )（A ）12 （B ）14（C ）16 （D ）18【答案】C【 解析】由三视图知：该几何体的三棱锥，三棱锥的底面是等腰三角形，底边边长为1，高为1，三棱锥的高为1，所以该几何体的体积为111111326V =⨯⨯⨯⨯=。

2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，B＝{（x，y）|y＝3x}，则A ∩B中的元素的个数是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）复数在复平面内对应的点到原点的距离是（）A．B．C．D．3．（5分）虚拟现实（VR）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）A．该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍B．该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C．该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍D．该地区2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的6倍4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为0，则中可填入（）A．m＝m+2B．m＝m+1C．m＝m﹣1D．m＝m﹣2 5．（5分）设a＝4，b＝log，c＝log43，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A和区域B标记的数字丢失．若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A．B．C．D．7．（5分）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是（）A．卫星向径的最小值为a﹣cB．卫星向径的最大值为a+cC．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大8．（5分）已知在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别在侧棱AA1，BB1上（与顶点不重合），＝，AA1＝4，△ABC的面积为5，截面C1EF与截面CEF将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成三部分．若中间部分的体积为4，则AA1与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）是R上的奇函数，若f（x）的图象关于直线对称，且f（x）在区间内是单调函数，则＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线l与曲线y＝e x相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若△OAB的面积为，则点P的个数是（）A．1B．2C．3D．411．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．B．C．2x±y＝0D．x±2y＝0 12．（5分）已知符号函数，偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则（）A．sgn（f（x））＞0B．C．sgn（f（2k））＝0（k∈Z）D．sgn（f（k））＝|sgnk|（k∈Z）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，，若，则实数μ的值为；若，则实数μ的值为．14．（5分）若对（1+x）n＝1+x+x2+x3+…+x n两边求导，可得n（1+x）n﹣1＝+x+x2+…+x n﹣1．通过类比推理，有（5x﹣4）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为．15．（5分）已知数列{a n}中，a1＝11，，若对任意的m∈[1，4]，存在n∈N*，使得成立，则实数t的取值范围是．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是a，S是A1B1的中点，P是A1D1的中点，点Q在正方形DCC1D1及其内部运动，若PQ∥平面SBC1，则点Q的轨迹的长度是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且∠DAC ＝90°，，．（1）若，求BC的值；（2）若BC边上的中线AE＝2，求AC的值．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．（1）证明：DE⊥平面ABCD；（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为，求λ的值．19．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，圆E：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16与C交于M，N两点，且M，E，F，N四点共线．（1）求抛物线C的方程；（2）设动点P在直线x＝﹣1上，存在一个定点T（t，0）（t≠0），动直线l经过点T与C交于A，B两点，直线PA，PB，PT的斜率分别记为k1，k2，k3，且k1+k2﹣2k3为定值，求该定值和定点T 的坐标．20．（12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助．某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）．按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数ξ∈（14，18]的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8～14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元．求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．21．（12分）已知函数f（x）＝．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）若C1和C2相交于A、B两点，以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，当矩形ABCD的面积取最大值时，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|（a∈R）．（1）证明：f（x）≤|a|+1；（2）若a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）成立，求实数k的取值范围．2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】作出椭圆+y2＝1和y＝3x的图象，结合图形得A∩B中的元素的个数是2．【解答】解：集合，B＝{（x，y）|y＝3x}，作出椭圆+y2＝1和y＝3x的图象，如下：结合图形得A∩B中的元素的个数是2．故选：B．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵＝，∴z在复平面内对应的点到原点的距离是|z|＝．故选：C．3．【分析】设2017年VR市场总收入为1，根据统计图，逐一判断即可．【解答】解：设2017年VR市场总收入为1，A，地区2019年的VR市场总收入为4，是2017年的4倍，正确；B，2017年和2018年的硬件收入总和为1×0.9+2×0.8＝2.5＜4×0.7＝2.8，故正确；C，2019年的VR软件收入1.2是2018年的软件收入0.4的3倍，正确；D，错误，2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的12倍，故选：D．4．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次，S＝2×（4﹣2）＝4，S≤0否；若m＝m+2＝6；第二次，S＝4×（6﹣4）＝8，S≤0否；m＝m+2＝8；第三次，S＝8×（8﹣8）＝0，S≤0，是，输出S＝0；正确；若m＝m+1＝5；第二次，S＝4×（5﹣4）＝4，S≤0否；m＝m+1＝6；第三次，S＝4×（6﹣4）＝8，S≤0，否；m＝m+1＝7，第四次，S＝8×（7﹣8）＝﹣8，S≤0是；输出S＝﹣8；与S＝0矛盾，舍去；若m＝m﹣1＝3；第二次，S＝4×（3﹣4）＝﹣4，S≤0是；输出S＝﹣4，与S＝0矛盾，舍去；若m＝m﹣2＝2第二次，S＝4×（2﹣4）＝﹣8，S≤0是；输出S＝﹣8，与S＝0矛盾，舍去；故输入m＝m+2，输出的S的值为0，故选：A．5．【分析】可以得出，，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：，，∴a＜c＜b．故选：B．6．【分析】要想符合要求，1出现的次数尽可能的多，当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大．【解答】解：要想符合要求，1出现的次数尽可能的多；所以：当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大，此时所在的小方格个数n＝5×6＝30，标记为1的区域中小方格的个数m＝10，∴恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是P＝＝．故选：C．7．【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由向径的意义可得最小值与最大值的比越小时，离心率越大，椭圆越扁，进而可得所给命题的真假．【解答】解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a﹣c，最大值为a+c，所以A，B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即＝＝﹣1+越小，则e越大，椭圆越扁，故C正确．因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，即D不正确；故选：D．8．【分析】由题意可得中间部分的体积为原三棱柱体积的三分之一，得到原三棱柱的体积，设AA1与底面所成角为α，由棱柱体积公式列式求得sinα的值．【解答】解：如图，过EF作平面EFG∥底面ABC，则，，可得中间部分的体积为V＝＝4，∴，设AA1与底面所成角为α，则S△ABC•AA1•sinα＝12，又AA1＝4，△ABC的面积为5，∴20sinα＝12，即sin．∴AA1与底面所成角的正弦值为．故选：B．9．【分析】首先利用函数的奇偶性求出φ的值，进一步求出函数的关系式为f（x）＝﹣sinωx，进一步利用（x）的图象关于直线对称，整理得ω＝4k+2，最后利用函数的单调性的应用求出ω的值，从而确定函数的关系式，最后求出函数的值．【解答】解：f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）是R上的奇函数，所以φ＝kπ，k∈Z，当k＝1时，φ＝π．所以f（x）＝sin（ωx+π）＝﹣sinωx，由于f（）＝﹣sin（ω）＝±1，所以ω＝kπ（k∈Z），整理得ω＝k+，整理得ω＝4k+2．当k＝0时，ω＝2，函数f（x）＝﹣sin2x，由于x∈，所以，故函数是单调递减函数．当k＝1时ω＝4+2＝6，函数f（x）＝﹣sin6x，由于x∈，所以，由于内单调，故函数不为单调函数．当k＝2时，ω＝10，函数f（x）在区间内也不是单调函数，所以f（x）＝﹣sin2x，故f（）＝＝﹣．故选：A．10．【分析】设切点P（），写出函数在切点处的导数，得到切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，利用三角形面积公式列式可得．构造函数f（x）＝（x﹣1）2e x，利用导数研究其单调性与极值，则答案可求．【解答】解：设切点P（），由y＝e x，得y′＝e x，则，∴直线l的方程为，取y＝0，得x＝x0﹣1，取x＝0，得．∴，则．构造函数f（x）＝（x﹣1）2e x，f′（x）＝e x（x2﹣1）．令f′（x）＝0，得x＝±1．∴当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，可得f（x）先增后减再增，，f（x）极小值＝f（1）＝0．∵f（x）的极大值＜，∴当x≤1时，不存在点P满足题意；当x＞1时，f（x）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞．∴f（x）＝0有唯一解，则点P存在且唯一．故选：A．11．【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程即可．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．与MF1的切点为N，如图：设AB＝n，MB＝m，BF2＝t，由双曲线的定义可知：m+2n+t﹣m﹣t＝2a，可得n＝a，若|F1F2|＝4|AB|，所以2c＝4a，c＝2a，则b＝．所以双曲线的渐近线方程为：±y＝0．故选：A．12．【分析】本题先根据函数的周期性和奇偶性画出函数f（x）的图象，再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合法可对四个选项逐个判断，可得正确选项．【解答】解：依题意，由f（x+2）＝f（x），可知函数f（x）是以2为周期的周期函数．∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，f（x）是偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x．函数f（x）图象如下：根据图可得，0≤f（x）≤1，故sgn（f（x））≥0，选项A不正确；很明显，当x＝2k，k∈Z时，f（x）＝0，sgn（f（x））＝0，选项C正确；f（）＝f（2×1010+）＝f（）＝，故选项B不正确；当k＝2时，sgn（f（2））＝sgn（0）＝0，|sgn2|＝1，故选项D不正确故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】利用向量数量积与向量垂直、向量坐标运算与向量共线的关系即可得出．【解答】解：+μ＝（﹣3+μ，2﹣μ），2+＝（﹣5，3），∵，∴（+μ）•＝（﹣3+μ，2﹣μ）•（﹣3，2）＝﹣3（﹣3+μ）+2（2﹣μ）＝0，解得μ＝．∵，∴3（﹣3+μ）+5（2﹣μ）＝0，解得μ＝．故答案为：，．14．【分析】对已知式两边对x求导数，再利用x＝1，即可求得结果．【解答】解：∵（5x﹣4）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，两边对x求导数，可得7×5×（5x﹣4）6＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7＝35，故答案为：35．15．【分析】利用裂项法可求得a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1＝12﹣，而a n＝12﹣为递增数列，可求得a n的极限值（可作为最大值），于是所求可转化为对任意的m∈[1，4]，t2+mt＜12恒成立问题，通过构造函数h（m）＝tm+t2﹣12，则，解之即可．【解答】解：∵，∴＝﹣，∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（1﹣）+11＝12﹣，∵a n＝12﹣为递增数列，∴当n→+∞时，a n→12．∵对任意的m∈[1，4]，存在n∈N*，使得成立，∴对任意的m∈[1，4]，t2+mt＜12恒成立．令h（m）＝tm+t2﹣12，则，即，解得：﹣4＜t＜2，故答案为：（﹣4，2）．16．【分析】求出Q在正方形DCC1D1的位置，然后转化求解距离即可．【解答】解：要使PQ∥平面SBC1，作PE∥C1S，交C1D1于E，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是a，D1E＝C1D1＝，连接BD，取BD的中点O，连接PO，则PSBO为平行四边形，PO∥SB，取DF＝＝，连接OF，EF，所以PEFO为平行四边形，Q 在EF上，所以EF＝＝．点Q的轨迹的长度是：．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【分析】（1）由题意利用诱导公式可求sin∠BAC的值，在△ABC 中，由正弦定理可得BC的值．（2）由（1）可得sin∠BAC＝，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠BAC，利用平面向量的运算可得＝（+），两边平方后即可计算得解AC的值．【解答】解：（1）∵∠DAC＝90°，，．∴sin∠BAC＝sin（90°+∠DAB）＝，∵，∴在△ABC中，由正弦定理，可得：＝，可得：BC＝4．（2）∵由（1）可得sin∠BAC＝，∴cos∠BAC＝﹣，∵＝（+），可得2＝（+）2，又∵AE＝2，，∴可得4＝[6+AC2+2×]，可得3AC2﹣2AC﹣30＝0，∴解得AC＝或﹣（舍去）．18．【分析】（1）推导出AD⊥DE，BD⊥DE，由此能证明DE⊥平面ABCD．（2）DE⊥平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ．【解答】解：（1）证明：∵四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD＝BD，∴AD⊥DE，BD⊥DE，∵AD∩BD＝D，∴DE⊥平面ABCD．（2）解：∵在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．由（1）知DE⊥平面ABCD，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设CD＝2AB＝2AD＝2，则AF＝λ，则B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），F（1，0，λ），＝（1，﹣1，0），＝（1，﹣2，λ），＝（0，﹣2，0），设平面BCF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，），设平面CDF的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，0，﹣），∵二面角B﹣CF﹣D的正弦值为，∴|cos＜＞|＝＝||＝，解得λ＝2或λ＝．19．【分析】（1）由题意知E（3，2），设抛物线C的准线为直线l′，过M，N，E分别作直线l′的垂线，垂足分别为M′，N′，E′，则|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，从而|EE′|＝＝＝＝4，进而3+＝4，由此能求出抛物线C的方程；（2）设直线l的方程为x＝ky+t，与y2＝4x联立，得y2﹣4ky﹣4t＝0，由此利用根的判别式，韦达定理、直线与抛物线的位置关系，能求出k1+k2﹣2k3的值与k，y0无关，当且仅当t＝1时，定点为T （1，0），定值为0．【解答】解：（1）由题意知E（3，2），设抛物线C的准线为直线l′，过M，N，E分别作直线l′的垂线，垂足分别为M′，N′，E′，则|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，∴|EE′|＝＝＝＝4，∴3+＝4，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x．（2）由题意知，直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为x＝ky+t，与y2＝4x联立，得：y2﹣4ky﹣4t＝0，△＝16k2+16t＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣1，y0），y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4t，∴x1+x2＝k（y1+y2）+2t＝4k2+2t，x1x2＝，∴k1+k2﹣2k3＝++＝+＝，∴k1+k2﹣2k3的值与k，y0无关，当且仅当t＝1时，定点为T（1，0），定值为0．20．【分析】（1）以各组中点为该组的代表值加权平均即可；（2）依题意，日行步数ξ（千步）服从正态分布N（μ，σ2），由（1）知μ＝12，又σ的近似值为2，所以P（14＜ξ＜18）＝P（μ+σ＜ξ＜μ+3σ）代入即可；（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，确定随机变量X的所有可能的取值，分别求出，每个随机变量对应的概率，列出分布列求期望即可．【解答】解：（1）这300名员工日行步数的样本平均数为2（5×0.005+7×0.005+9×0.04+11×0.29+13×0.11+15×0.03+17×0.015+19×0.005）＝11.68≈12千步；（2）因为ξ～N（12，22），所以P（14＜ξ＜18）＝P（12+2＜ξ＜12+3×2）＝[P（6＜ξ＜18）﹣P（10＜ξ＜14）]＝0.1574，所以走路步数ξ∈（14，18）的总人数为300×0.1574≈47人；（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400，P（X＝0）＝0.022＝0.0004，P（X＝100）＝2×0.02×0.88＝0.0352，P（X＝200）＝0.882+2×0.02×0.1＝0.7784，P（X＝300）＝2×0.88×0.1＝0.176，P（X＝400）＝0.12＝0.01，所以X的分布列为：X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01E（X）＝100×0.0352+200×0.7784+300×0.176+400×0.01＝216．21．【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），求出导函数，通过①当a≤0时，②当a＞0时，判断导数的符号，判断函数的单调性即可．（2）利用f（x）有两个零，得到，推出a＞2e，要证原不等式成立，只需证明，利用分析法推出；另一方面，令，（x＞0），通过函数的导数，转化求解函数的最值，转化求解即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且，①当a≤0时，f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，故f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）证明：∵f（x）有两个零点，∴由（1）知a＞0且，∴a＞2e，要证原不等式成立，只需证明，只需证明，只需证明．一方面∵a＞2e，∴，∴，∴，且f（x）在单调递增，故；另一方面，令，（x＞0），则，当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0；故，故g（x）≥0即时x∈（0，+∞）恒成立，令，则，于是，而，故，且f（x）在单调递减，故；综合上述，，即原不等式成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数可得普通方程．直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．消去参数t可得普通方程；（2）由直线x＝﹣2+ay经过定点（﹣2，0），由于以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，因此矩形的对角线为圆的直径，都经过原点．可知：当矩形ABCD的面积取最大值时，四边形ABCD 为正方形．即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数可得：x2+y2＝4．直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．消去参数t可得：x＝﹣2+ay．（2）由直线x＝﹣2+ay经过定点（﹣2，0），由于以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，因此矩形的对角线为圆的直径，都经过原点．可知：当矩形ABCD的面积取最大值时，四边形ABCD为正方形．∴直线经过点（0，±2），代入可得：0＝﹣2±2a，解得a＝±1．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）将函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|化为f（x）＝|（2x﹣2）﹣（x﹣a﹣2）|﹣|2x﹣2|，利用绝对值不等式可得f（x）≤|x﹣a﹣2|（当且仅当（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0时取等号），进一步分析可证得结论成立；（2）要使k（x+3）≥f（x）恒成立．则过定点（﹣3，0）的直线y＝k（x+3）的图象不会在y＝f（x）的图象的下方，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝k（x+3）的图象，结合图象可求得实数k的取值范围．【解答】（1）证明：函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|＝|（2x﹣2）﹣（x ﹣a﹣2）|﹣|2x﹣2|≤|2x﹣2|+|x﹣a﹣2|﹣|2x﹣2|＝|x﹣a﹣2|（当且仅当（2x﹣2）（x﹣a﹣2）≤0，即（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0时取等号）由于（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0，当a﹣2≥1，即a≥3时，|x﹣a﹣2|≤|1﹣a﹣2|＝|a+1|＝|a|+1；当1＞a﹣2，即a＜3时，|x﹣a﹣2|≤|1﹣a﹣2|＝|a+1|≤|a|+1；综上所述，f（x）≤|a|+1；（2）解：a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）＝|x+2|﹣|2x ﹣2|＝，要使k（x+3）≥f（x）恒成立．则过定点（﹣3，0）的直线y＝k （x+3）的图象不会在y＝f（x）的图象的下方，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝k（x+3）的图象如图，由图可知，≤k≤1．即实数k的取值范围为[，1]．。

陕西省西安市长安一中2020届高三下-第九次质量检测数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设()3cos3f x sin x x =-，把()y f x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后，恰好得到函数()sin3cos3g x x x =-+的图象，则ϕ的值可以为（ ） A ．6πB ．4πC ．2πD ．π2．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举,这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样．如图的程序框图源于“辗转相除法”,当输入8102a =,2018b =时,输出的a =（ ）A ．30B ．6C ．2D ．83．已知函数()(2)(0)x f x x kx e x =+->，若()0f x >的解集为(,)a b ，且(,)a b 中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．431112,23e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭C ．32121,13e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭D ．2111,2e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭4．若,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若,,ab a b αβ⊥‖‖，则αβ⊥ B ．若,,ab a b αβ‖‖‖，则αβ‖ C ．若,,a b ab αβ⊥⊥‖，则αβ‖ D ．若,,ab a b αβ⊥⊥‖，则αβ‖ 5．已知直线3l y x m ：=+与圆22(3)6C x y +-=：相交于,A B 两点，若22AB =，则实数m 的值等于( )A ．7-或1-B ．1或7C ．1-或7D ．7-或16．函数()()sin 2f x x ϕ=+，()0,ϕπ∈的图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，已知()g x 是偶函数，则tan 6πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．3- B ．3 C ．33-D ．337．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2(xf x m m =+为常数），则 ()1f -= （ ） A ．3B ．1C ．1-D ．3-8．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）A ．332πB ．332πC ．322πD ．3π9．执行如图所示的程序框图，则输出S =（ ）A ．26B ．57C ．120D ．24710．设函数()3,3,x x a f x x x x a-≥⎧=⎨-+<⎩，其中2a ≤-，则满足()()13f x f x +-<的x 取值范围是（ ）A ．()1,-+∞B ．()3,-+∞C ．()2,-+∞D ．()0,∞+11．设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，若双曲线的渐近线被圆M ：22100x y x +-=所截得的两条弦长之和为12，已知ABP V 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则sin sin sin P A B-的值等于( )A ．35B ．73C ．53 D ．712．某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A ．x ，22s 100+B ．100x +，22s 100+C ．x ，2s D ．100x +，2s二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学第九次适应性训练试卷（九模）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2D．22．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，已知AB∥CD，EB交CD于F，∠DFE＝135°，则∠ABE的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（3分）下列各点中，在函数y＝﹣2x的图象上的是（）A．（，1）B．（﹣，1）C．（﹣，﹣1）D．（0，﹣1）5．（3分）下列运算正确的是（）A．y3•y2＝y6B．（a•b）3＝a•b3C．x2+x3＝x5D．（﹣m2）4＝m86．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，点D在CA的延长线上，∠BDA＝30°，则CD的长是（）A．2+2B．4﹣2C．4+2D．4+47．（3分）直线y＝﹣x+1与y＝2x+a的交点在第一象限，则a的取值不可能是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，连接OE，若AB＝4，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（）A．4B．2C．2D．9．（3分）如图，A、B、C是⊙O上三点，且C是的中点，弦CD⊥OA于点E，若sin ∠CDB＝0.6，OA＝5，则CD的长度为（）A．4.8B．9.6C．6D．810．（3分）如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（）A．﹣12＜t＜3B．﹣12＜t≤4C．3＜t≤4D．t＞﹣12二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）以下各数：①﹣1；②；③；④；⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中是无理数的有．（只填序号）12．（3分）一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成个三角形．13．（3分）如图，直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将其放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，则k的值为．14．（3分）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E、D分别为AC、BC上的两点，且AE＝CD，AD与BE相交于点P，连接CP，则CP的最小值为．三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）15．（5分）计算：（）0﹣（﹣）﹣2+4cos30°﹣||．16．（5分）解分式方程：＝﹣2．17．（5分）如图，已知∠AOB的边OA上有一点P，请用尺规作图法，求作⊙O′，使其过点P并且与∠AOB的两边相切．（保留作图痕迹，不写作法）18．（5分）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．求证：AP＝EF．19．（7分）某市自实施《生活垃圾分类和减量管理办法》以来，生活垃圾分类和减量工作取得了一定的成效，环保部门为了提高宣传实效，随机抽样调查了100户居民8月的生活垃圾量，并绘制成不完整的扇形统计图，请你根据图中的信息解答下列问题：（1）请将条形统计图1补充完整．（2）在图2的扇形统计图中，求表示“有害垃圾C”所在扇形的圆心角的度数．（3）根据统计，8月所抽查的居民产生的生活垃圾总量为2750kg，则其中为可回收垃圾约为多少kg？20．（7分）某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．（结果用根号表示）21．（7分）今年马铃薯喜获丰收，某生产基地收获马铃薯40吨．经市场调查，可采用批发、零售、加工销售三种销售方式，这三种销售方式每吨马铃薯的利润如表：销售方式批发零售加工销售利润（元/吨）120022003000设按计划全部销售出后的总利润为y元，其中批发量为x吨，且加工销售量为15吨．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若零售量不超过批发量的4倍，求该生产基地按计划全部售完马铃薯后获得的最大利润．22．（7分）如图，有一个三等分数字转盘，小红先转动转盘，指针指向的数字记下为x，小芳后转动转盘，指针指向的数字记下为y，从而确定了点P的坐标（x，y），（若指针指向分界线，则重新转动转盘，直到指针指向数字为止）（1）小红转动转盘，求指针指向的数字2的概率；（2）请用列举法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果．（3）求点P（x，y）在函数y＝x+1图象上的概率．23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A＝2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C＝∠ABD．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BF＝2，EF＝，求⊙O的半径长．24．（10分）如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y ＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为线段OA上的动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N；若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．25．（12分）问题提出：一组对角相等，另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．如图①：四边形ABCD 中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则四边形ABCD是“等对角四边形”．（1）如果四边形ABCD满足AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD（填“是”或“不是”或“不确定是”）“等对角四边形”．问题探究：（2）如图②，“等对角四边形”ABCD中，BC＝CD，AB＝12，AD＝16，∠B+∠D＝180°，求对角线AC的长．问题解决：（3）游山玩水是人们喜爱的一项户外运动，但过度的旅游开发会对环境及动植物的多样性产生影响．如图③，△ABC所在区域是某地著名的“黄花岭”风景区示意图，点B位置是国家珍稀动植物核心保护区，其中∠C＝90°，BC＝6km，AC＝8km，该地旅游部门为科学合理开发此风景区旅游资源，计划在景区外围D点建一个“岭南山庄”度假村，据实际情况，规划局要求：四边形ABCD是一个“等对角四边形”（∠BCD≠∠BAD），核心区B与山庄D之间要尽可能远，并且四边形ABCD区域的面积要控制在56km2以内．请问BD是否存在最大值，规划局的要求能否实现？如果能，请求出BD的最大值及此时四边形ABCD的面积；如果不能，请说明理由．。

2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三下学期4月适应性测试数学(理)试题一、单选题(★) 1 . 设集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知，且，则（）A．B．C．D．(★) 3 . 下列四个命题中，正确的有（）①随机变量服从正态分布，则② ，③命题“ ，”的否定是“ ，”④复数，若，则A．1个B．2个C．3个D．4个(★) 4 . 已知在等比数列中，，，，则（）A．B．C．D．(★) 5 . 如图所示，是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（）A．B．C．D．(★) 6 . 2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在的学生人数为25，则的值为（）A．40B．50C．60D．70(★) 7 . 明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的( )A．25B．45C．60D．75(★) 8 . 已知实数，满足，则的最大值为（）A．B．C．D．(★★) 9 . 已知两个夹角为的单位向量，，若向量满足，则的最大值是（）A．B．C．2D．(★★) 10 . 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与此抛物线交于，两点，若，则（）A．3B．2C．4D．6(★★) 11 . 将函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★) 12 . 已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 二项式的展开式中的常数项为______.(★) 14 . 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得，，，顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率______.(★★) 15 . 定义在上的函数对任意，都有，，则______.三、双空题(★★) 16 . 如图，矩形中，，，为的中点，点，分别在线段，上运动（其中不与，重合，不与，重合），且，沿将折起，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为______；当三棱锥体积最大时，其外接球的半径______.四、解答题(★★) 17 . 如图， CM， CN为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠ MCN=120°，现拟在两条木栈道的 A， B处设置观景台，记 BC= a， AC= b， AB= c（单位：百米）（1）若 a， b， c成等差数列，且公差为4，求 b的值；（2）已知 AB=12，记∠ ABC=θ，试用θ表示观景路线 A- C- B的长，并求观景路线 A- C- B 长的最大值．(★★) 18 . 为迎接“五一国际劳动节”，某商场规定购买超过6000元商品的顾客可以参与抽奖活动现有甲品牌和乙品牌的扫地机器人作为奖品，从这两种品牌的扫地机器人中各随机抽取6台检测它们充满电后的工作时长相关数据见下表（工作时长单位：分）机器序号123456甲品牌工作时长/分220180210220200230乙品牌工作200190240230220210时长/分（1）根据所提供的数据，计算抽取的甲品牌的扫地机器人充满电后工作时长的平均数与方差；（2）从乙品牌被抽取的6台扫地机器人中随机抽出3台扫地机器人，记抽出的扫地机器人充满电后工作时长不低于220分钟的台数为，求的分布列与数学期望.(★★) 19 . 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点 E是棱的中点．（1）求证：平面 ABC；（2）在棱 CA上是否存在一点 M，使得 EM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(★★★★) 20 . 已知椭圆：的离心率为.点在椭圆上，点，，的面积为，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：的面积是定值，并求此定值.(★★★★★) 21 . 设函数.(1)若当时，取得极值，求的值，并求的单调区间.(2)若存在两个极值点，求的取值范围，并证明：.(★★) 22 . 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，，为曲线上两点，且，设射线：.（1）求曲线的极坐标方程；（2）求的最小值.(★★) 23 . 已知函数，若的最大值为.（1）求的值；（2）设函数，若，且，求证：.。

2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学第九次适应性训练试卷（九模）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2D．22．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，已知AB∥CD，EB交CD于F，∠DFE＝135°，则∠ABE的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（3分）下列各点中，在函数y＝﹣2x的图象上的是（）A．（，1）B．（﹣，1）C．（﹣，﹣1）D．（0，﹣1）5．（3分）下列运算正确的是（）A．y3•y2＝y6B．（a•b）3＝a•b3C．x2+x3＝x5D．（﹣m2）4＝m86．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，点D在CA的延长线上，∠BDA＝30°，则CD的长是（）A．2+2B．4﹣2C．4+2D．4+47．（3分）直线y＝﹣x+1与y＝2x+a的交点在第一象限，则a的取值不可能是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，连接OE，若AB＝4，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（）A．4B．2C．2D．9．（3分）如图，A、B、C是⊙O上三点，且C是的中点，弦CD⊥OA于点E，若sin ∠CDB＝0.6，OA＝5，则CD的长度为（）A．4.8B．9.6C．6D．810．（3分）如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（）A．﹣12＜t＜3B．﹣12＜t≤4C．3＜t≤4D．t＞﹣12二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）以下各数：①﹣1；②；③；④；⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中是无理数的有．（只填序号）12．（3分）一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成个三角形．13．（3分）如图，直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将其放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，则k的值为．14．（3分）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E、D分别为AC、BC上的两点，且AE＝CD，AD与BE相交于点P，连接CP，则CP的最小值为．三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）15．（5分）计算：（）0﹣（﹣）﹣2+4cos30°﹣||．16．（5分）解分式方程：＝﹣2．17．（5分）如图，已知∠AOB的边OA上有一点P，请用尺规作图法，求作⊙O′，使其过点P并且与∠AOB的两边相切．（保留作图痕迹，不写作法）18．（5分）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．求证：AP＝EF．19．（7分）某市自实施《生活垃圾分类和减量管理办法》以来，生活垃圾分类和减量工作取得了一定的成效，环保部门为了提高宣传实效，随机抽样调查了100户居民8月的生活垃圾量，并绘制成不完整的扇形统计图，请你根据图中的信息解答下列问题：（1）请将条形统计图1补充完整．（2）在图2的扇形统计图中，求表示“有害垃圾C”所在扇形的圆心角的度数．（3）根据统计，8月所抽查的居民产生的生活垃圾总量为2750kg，则其中为可回收垃圾约为多少kg？20．（7分）某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．（结果用根号表示）21．（7分）今年马铃薯喜获丰收，某生产基地收获马铃薯40吨．经市场调查，可采用批发、零售、加工销售三种销售方式，这三种销售方式每吨马铃薯的利润如表：销售方式批发零售加工销售利润（元/吨）120022003000设按计划全部销售出后的总利润为y元，其中批发量为x吨，且加工销售量为15吨．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若零售量不超过批发量的4倍，求该生产基地按计划全部售完马铃薯后获得的最大利润．22．（7分）如图，有一个三等分数字转盘，小红先转动转盘，指针指向的数字记下为x，小芳后转动转盘，指针指向的数字记下为y，从而确定了点P的坐标（x，y），（若指针指向分界线，则重新转动转盘，直到指针指向数字为止）（1）小红转动转盘，求指针指向的数字2的概率；（2）请用列举法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果．（3）求点P（x，y）在函数y＝x+1图象上的概率．23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A＝2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C＝∠ABD．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BF＝2，EF＝，求⊙O的半径长．24．（10分）如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y ＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为线段OA上的动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N；若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．25．（12分）问题提出：一组对角相等，另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．如图①：四边形ABCD 中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则四边形ABCD是“等对角四边形”．（1）如果四边形ABCD满足AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD（填“是”或“不是”或“不确定是”）“等对角四边形”．问题探究：（2）如图②，“等对角四边形”ABCD中，BC＝CD，AB＝12，AD＝16，∠B+∠D＝180°，求对角线AC的长．问题解决：（3）游山玩水是人们喜爱的一项户外运动，但过度的旅游开发会对环境及动植物的多样性产生影响．如图③，△ABC所在区域是某地著名的“黄花岭”风景区示意图，点B位置是国家珍稀动植物核心保护区，其中∠C＝90°，BC＝6km，AC＝8km，该地旅游部门为科学合理开发此风景区旅游资源，计划在景区外围D点建一个“岭南山庄”度假村，据实际情况，规划局要求：四边形ABCD是一个“等对角四边形”（∠BCD≠∠BAD），核心区B与山庄D之间要尽可能远，并且四边形ABCD区域的面积要控制在56km2以内．请问BD是否存在最大值，规划局的要求能否实现？如果能，请求出BD的最大值及此时四边形ABCD的面积；如果不能，请说明理由．2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学第九次适应性训练试卷（九模）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2D．2【分析】根据倒数的定义即可求解．【解答】解：﹣2的倒数是﹣．故选：A．2．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：C．3．（3分）如图，已知AB∥CD，EB交CD于F，∠DFE＝135°，则∠ABE的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】先根据两角互补的性质得出∠CFE的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠DFE＝135°，∴∠CFE＝180°﹣135°＝45°，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CFE＝45°．故选：B．4．（3分）下列各点中，在函数y＝﹣2x的图象上的是（）A．（，1）B．（﹣，1）C．（﹣，﹣1）D．（0，﹣1）【分析】把四个选项中的点分别代入解析式y＝﹣2x，通过等式左右两边是否相等来判断点是否在函数图象上．【解答】解：A、把（，1）代入函数y＝﹣2x得：左边＝1，右边＝﹣1，左边≠右边，所以点（，1）不在函数y＝﹣2x的图象上，故本选项不符合题意；B、把（﹣，1）代入函数y＝﹣2x得：左边＝1，右边＝1，左边＝右边，所以点（﹣，1）在函数y＝﹣2x的图象上，故本选项符合题意；C、把（﹣，﹣1）代入函数y＝﹣2x得：左边＝﹣1，右边＝1，左边≠右边，所以点（﹣，﹣1）不在函数y＝﹣2x的图象上，故本选项不符合题意；D、把（0，﹣1）代入函数y＝﹣2x得：左边＝﹣1，右边＝0，左边≠右边，所以点（0，﹣1）不在函数y＝﹣2x的图象上，故本选项不符合题意；故选：B．5．（3分）下列运算正确的是（）A．y3•y2＝y6B．（a•b）3＝a•b3C．x2+x3＝x5D．（﹣m2）4＝m8【分析】根据幂的运算法则逐一计算可得．【解答】解：A、y3•y2＝y5，此选项错误；B、（a•b）3＝a3•b3，此选项错误；C、x2与x3不是同类项，不能合并，此选项错误；D、（﹣m2）4＝m8，此选项正确；故选：D．6．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，点D在CA的延长线上，∠BDA＝30°，则CD的长是（）A．2+2B．4﹣2C．4+2D．4+4【分析】如图，作BE⊥AC于E．解直角三角形求出AE，EC．DE即可．【解答】解：如图，作BE⊥AC于E．∵AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝4，∵BE⊥AC，∴AE＝EC，∴BE＝AE＝EC＝2，∵∠BED＝90°，∠BDE＝30°，∴DE＝BE＝2，∴CD＝DE+EC＝2+2，故选：A．7．（3分）直线y＝﹣x+1与y＝2x+a的交点在第一象限，则a的取值不可能是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【分析】联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可．【解答】解：解方程组，可得，∵直线y＝﹣x+1与y＝2x+a的交点在第一象限，∴，即，解得﹣2＜a＜1，∴a的取值不可能是，故选：D．8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，连接OE，若AB＝4，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（）A．4B．2C．2D．【分析】由已知条件可求出菱形的面积，则△ADC的面积也可求出，易证OE为△ADC 的中位线，所以OE∥AD，再由相似三角形的性质即可求出△OCE的面积．【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，AO＝CO，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠BAD＝60°，∴DH＝4×＝2，∴S菱形ABCD＝4×2＝8，∴S△CDA＝S菱形ABCD＝4，∵点E为边CD的中点，∴OE为△ADC的中位线，∴OE∥AD，∴△CEO∽△CDA，∴△OCE的面积＝×S△CDA＝×4＝，故选：D．9．（3分）如图，A、B、C是⊙O上三点，且C是的中点，弦CD⊥OA于点E，若sin ∠CDB＝0.6，OA＝5，则CD的长度为（）A．4.8B．9.6C．6D．8【分析】根据直径所对圆周角是直角可作直径CF，连接BF，再利用同弧所对圆周角相等可得sin∠CFB＝sin∠CDB＝0.6，最后根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图，作直径CF，连接BF，CA，则∠CBF＝90°，sin∠CFB＝sin∠CDB＝0.6，∴CB＝6．设OE＝x，则AE＝5﹣x，由勾股定理可得：52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得x＝1.4，再由勾股定理求得CE＝4.8，由垂径定理可得CD＝2CE＝9.6．故选：B．10．（3分）如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（）A．﹣12＜t＜3B．﹣12＜t≤4C．3＜t≤4D．t＞﹣12【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和6对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x ＜6时有公共点时，t的范围即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，解得m＝4，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，抛物线的顶点坐标为（2，4），当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；当x＝6时，y＝﹣x2+4x＝﹣36+24＝﹣12，当x＝2时，y＝4，在1＜x＜6时有公共点时当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜6时有公共点时，﹣12＜t≤4，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）以下各数：①﹣1；②；③；④；⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中是无理数的有②⑤③．（只填序号）【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项【解答】解：②；③，⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数，故答案为：②⑤③．12．（3分）一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成6个三角形．【分析】根据题意和多边形内角和公式求出多边形的边数，再根据从n边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成n﹣2个三角形．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝1080°，解得，n＝8，从八边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成6个三角形，故答案为：6．13．（3分）如图，直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将其放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，则k的值为12．【分析】过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，通过△AOE∽△OBF，得到＝＝，设A（m，﹣），于是得到AE＝﹣m，OE＝﹣，从而得到B（，m），于是求得结果．【解答】解：过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，∵∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝，∵∠OAE+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，∴∠OAE＝∠BOF，∴△AOE∽△OBF，∴＝＝，设A（m，﹣），∴AE＝﹣m，OE＝﹣，∴OF＝AE＝﹣m，BF＝OE＝﹣，∴B（，m），∴k＝m•＝12．故答案为：12．14．（3分）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E、D分别为AC、BC上的两点，且AE＝CD，AD与BE相交于点P，连接CP，则CP的最小值为4．【分析】根据全等三角形的判定推出△ABD≌△BCD，可得∠BAD＝∠CBE，求出∠APB ＝120°，求出点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接OC，证出△AOC≌△BOC，根据全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，解直角三角形求出OC和OP，根据三角形的三边关系得出即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECB＝∠DBA＝60°，AB＝AC＝BC，∵AE＝CD，∴CE＝BD，在△ABD和△BCE中∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠ABE+∠BAD＝∠CBP+∠ABE＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接OC，在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，∵∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴OC＝＝8，OA＝OC＝4，∴OP＝4，∵PC≥OC﹣OP，∴PC≥4，∴PC的最小值是4，故答案为：4．三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）15．（5分）计算：（）0﹣（﹣）﹣2+4cos30°﹣||．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣4+4×﹣|﹣3|＝1﹣4+2﹣3+＝﹣3+3﹣3．16．（5分）解分式方程：＝﹣2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+6，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．17．（5分）如图，已知∠AOB的边OA上有一点P，请用尺规作图法，求作⊙O′，使其过点P并且与∠AOB的两边相切．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】①作∠AOB的平分线OM．②作PN⊥OA交OM于O′．③以O′为圆心，O′P为半径作⊙O′．⊙O′即为所求．【解答】解：如图所示：⊙O′即为所求．18．（5分）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．求证：AP＝EF．【分析】利用正方形的关于对角线成轴对称，利用轴对称的性质可得出EF＝AP．【解答】证明：如图，连接PC，∵PE⊥DC，PF⊥BC，四边形ABCD是正方形，∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，又∵P为BD上任意一点，∴P A、PC关于BD对称，可以得出，P A＝PC，所以EF＝AP．19．（7分）某市自实施《生活垃圾分类和减量管理办法》以来，生活垃圾分类和减量工作取得了一定的成效，环保部门为了提高宣传实效，随机抽样调查了100户居民8月的生活垃圾量，并绘制成不完整的扇形统计图，请你根据图中的信息解答下列问题：（1）请将条形统计图1补充完整．（2）在图2的扇形统计图中，求表示“有害垃圾C”所在扇形的圆心角的度数．（3）根据统计，8月所抽查的居民产生的生活垃圾总量为2750kg，则其中为可回收垃圾约为多少kg？【分析】（1）根据频数之和等于总数求得40～50的频数即可补全图形；（2）先根据百分比之和为1求得C的百分比，再乘以360°可得；（3）将垃圾总量乘以可回收垃圾所占百分比即可得．【解答】解：（1）由条形图可知40～50的频数为100﹣（5+15+40+10）＝30，如图所示，（2）有害垃圾C所占的百分比为：1﹣50%﹣25%﹣20%＝5%所以：有害垃圾C所在扇形的圆心角的度数为：360°×5%＝18°；（3）因为可回收垃圾占垃圾总量的50%，所以8月份所抽查的居民生活垃圾中，可回收垃圾约为；2750×50%＝1375（kg）20．（7分）某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．（结果用根号表示）【分析】延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，根据正弦、余弦的定义求出CH、DH，根据正切的定义求出HG，设AB＝xm，根据正切的定义求出BG，结合图形列出方程，解方程即可．【解答】解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，则CH＝CD•cos∠DCH＝4×cos60°＝2，DH＝CD•sin∠DCH＝4×sin60°＝，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝＝＝6，∴CG＝CH+HG＝2+6＝8，设AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝＝x，∵BG﹣BC＝CG，∴x﹣x＝8，解得：x＝＝4（+1）（m）答：电线杆的高为x＝4（+1）m．21．（7分）今年马铃薯喜获丰收，某生产基地收获马铃薯40吨．经市场调查，可采用批发、零售、加工销售三种销售方式，这三种销售方式每吨马铃薯的利润如表：销售方式批发零售加工销售利润（元/吨）120022003000设按计划全部销售出后的总利润为y元，其中批发量为x吨，且加工销售量为15吨．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若零售量不超过批发量的4倍，求该生产基地按计划全部售完马铃薯后获得的最大利润．【分析】（1）根据总利润＝批发的利润+零售的利润+加工销售的利润就可以得出结论；（2）由（1）的解析式，根据零售量不超过批发量的4倍，建立不等式求出x的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）依题意可知零售量为（25﹣x）吨，则y＝1200 x+2200（25﹣x）+3000×15∴y＝﹣1000x+100000；（2）依题意有：，解得：5≤x≤25．∵﹣1000＜0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝5时，y有最大值，且y最大＝95000（元）．∴最大利润为95000元．22．（7分）如图，有一个三等分数字转盘，小红先转动转盘，指针指向的数字记下为x，小芳后转动转盘，指针指向的数字记下为y，从而确定了点P的坐标（x，y），（若指针指向分界线，则重新转动转盘，直到指针指向数字为止）（1）小红转动转盘，求指针指向的数字2的概率；（2）请用列举法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果．（3）求点P（x，y）在函数y＝x+1图象上的概率．【分析】（1）根据概率的意义直接得出答案；（2）用列表法或树状图法表示所有可能出现的结果情况，（3）根据概率公式，进行计算即可．【解答】解：（1）P（指向的数字2）＝；（2）用列表法表示所有可能的情况如下：共有9种情况分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）；（3）由题意以及（2）可知：满足y＝x+1的有：（1，2）（2，3），则有23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A＝2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C＝∠ABD．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BF＝2，EF＝，求⊙O的半径长．【分析】（1）连接OE，首先得出△ABD∽△OCE，进而推出∠OCE＝90°，即可得到结论；（2）连接BE，得出△OBE∽△EBF，再利用相似三角形的性质得出OB的长，即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OE，则∠BOE＝2∠BDE，又∠A＝2∠BDE，∴∠BOE＝∠A，∵∠C＝∠ABD，∠A＝∠BOE，∴△ABD∽△OCE∴∠ADB＝∠OEC，又∵AB是直径，∴∠OEC＝∠ADB＝90°∴CE与⊙O相切；（2）解：连接EB，则∠A＝∠BED，∵∠A＝∠BOE，∴∠BED＝∠BOE，在△BOE和△BEF中，∠BEF＝∠BOE，∠EBF＝∠OBE，∴△OBE∽△EBF，∴＝，则＝，∵OB＝OE，∴EB＝EF，∴＝，∵BF＝2，EF＝，∴＝，∴OB＝．24．（10分）如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y ＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为线段OA上的动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N；若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．【分析】（1）直线y＝﹣x+c交于点A（3，0），与y轴交于点B，0＝﹣4+c，解得c＝4，B（0，4），将点A、B的坐标代入抛物线表达式列方程组即可求解；（2）M（m，0），则P（m，﹣m+4），N（m，﹣m2+m+4），PN＝﹣m2+m+4+m ﹣4＝﹣m2+8m，分两种情况：①当∠BNP＝90°时，根据N点的纵坐标为4，列方程可是结论；②当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，证明Rt△NCB∽Rt△BOA，列比例式即可求解．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+c交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣4+c，解得c＝4，∴B（0，4），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵M（m，0），则P（m，﹣m+4），N（m，﹣m2+m+4），∴PN＝﹣m2+m+4+m﹣4＝﹣m2+8m（0≤m≤3），∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，①当∠BNP＝90°时，如图1，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为4，∴﹣m2+m+4＝4，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；②当∠NBP＝90°时，如图2，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∵∠NCB＝∠AOB＝90°，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴，即，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）．25．（12分）问题提出：一组对角相等，另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．如图①：四边形ABCD 中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则四边形ABCD是“等对角四边形”．（1）如果四边形ABCD满足AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD不是（填“是”或“不是”或“不确定是”）“等对角四边形”．问题探究：（2）如图②，“等对角四边形”ABCD中，BC＝CD，AB＝12，AD＝16，∠B+∠D＝180°，求对角线AC的长．问题解决：（3）游山玩水是人们喜爱的一项户外运动，但过度的旅游开发会对环境及动植物的多样性产生影响．如图③，△ABC所在区域是某地著名的“黄花岭”风景区示意图，点B位置是国家珍稀动植物核心保护区，其中∠C＝90°，BC＝6km，AC＝8km，该地旅游部门为科学合理开发此风景区旅游资源，计划在景区外围D点建一个“岭南山庄”度假村，据实际情况，规划局要求：四边形ABCD是一个“等对角四边形”（∠BCD≠∠BAD），核心区B与山庄D之间要尽可能远，并且四边形ABCD区域的面积要控制在56km2以内．请问BD是否存在最大值，规划局的要求能否实现？如果能，请求出BD的最大值及此时四边形ABCD的面积；如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质以及“等对角四边形”的定义判断即可．（2）如图2中，过点C作CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于F．利用全等三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．（3）如图③中，设点O是△ACD的外心，连接OA，OC，OD，过点O作ON⊥AC于N，OT⊥BC交BC的延长线于T，过点D作DQ⊥AC于Q，当BD最大时，求出DQ的值即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD满足AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD的两组对角相等，∴四边形ABCD不是“等对角四边形”．故答案为不是．（2）如图2中，过点C作CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于F．∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠D+∠ABC＝180°，∴∠DAB＝∠DCB＝90°，∵∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠D＝∠CBF，∵∠CED＝∠F＝90°，CD＝CB，∴△CED≌△CFB（AAS），'∴CE＝CF，DE＝BF，∵∠CEA＝∠EAF＝∠F＝90°，∴四边形AECF是矩形，∵CE＝CF，∴四边形AECF是正方形，∵AB+AD＝AF﹣BF+AE+DE＝2AE＝28，∴AE＝EC＝14，∴AC＝＝＝14．（3）如图③中，设点O是△ACD的外心，连接OA，OC，OD，过点O作ON⊥AC于N，OT⊥BC交BC的延长线于T，过点D作DQ⊥AC于Q，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝6km，AC＝8km，∴AB＝＝＝10（km），∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝∠ABC，∴∠AOC＝2∠ABC，∵OA＝OC，ON⊥AC，∴∠AON＝∠CON＝∠ABC，AN＝CN＝4（km），∵∠ANO＝∠ACB＝90°，∴△AON∽△ABC，∴＝，∴＝，∴ON＝3，OA＝OD＝OC＝＝5，∵∠ONC＝∠NCT＝∠T＝90°，∴四边形ONCT是矩形，∴CT＝ON＝3（km），CN＝OT＝4（km），∞BT＝6+3＝9（km），∴OB＝＝＝，∵BD≤OB+OD，∴OB≤+5，∴B，O，D共线时，BD的值最大，最大值为+5，∵S△ABC＝24，∴S△ADC≤32∴DQ≤8，∵DQ≤ON+OD＝5+3＝8，∴当BD最大时，满足四边形ABCD区域的面积要控制在56km2以内，当，B，O，D共线时，BD交AC于H．∵ON∥BC，∴△ONH∽△BCH，∴＝＝＝，∴OH＝OB＝，∵ON∥DQ，∴＝，∴＝，∴DQ＝＝，∴四边形ABCD的面积＝24+×8×＝．。

高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}，C={x∈N|3x∈A}，则B∩C=（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}2.右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A. B.C. D.3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A. =-+B. =-C. =+D. =+5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 256.如果对定义在R上的奇函数y=f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y=f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）=sin xB. f（x）=e xC. f（x）=x3-3xD. f（x）=x|x|7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 318.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=4，且x1，x2∈[-2π，2π]，则x1-2x2的最大值为（）A. B. C. D.9.已知圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. 2 D. 210.抛物线x2=y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2=32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 2111.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 512.已知函数，则函数g（x）=xf（x）-1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x=1，则|PF|=______．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=|-5x+y|的取值范围为______．15.在的展开式中，常数项为______．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18.如图1，等边△ABC中，AC=4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值，并求出这个定值．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：=5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ-σ，μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ，μ+2σ）=0.9544．20.已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=6，求△AOB面积的最大值．21.已知函数f（x）=e x-有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．23.已知函数f(x)＝的定义域为R.(1)求实数m的取值范围．(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足＋＝n时，求7a＋4b的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}={3，6，9，18，27}，C={x∈N|3x∈A}={1，2，3}，∴B∩C={3}．故选：D．先分别求出集合A，B，C，由此能求出B∩C．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则＞，σ甲＜σ乙．故选：A．甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，由已知可得e2i=cos2+i sin2，再由三角函数的象限符号得答案，是基础题．【解答】解：由题意可得，e2i=cos2+i sin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选B．4.【答案】A【解析】解：；∴；∴．故选：A．根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5.【答案】C【解析】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）=sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）=e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3-3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=x|x|=，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．7.【答案】B【解析】解：将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为=4，所以矩形的长等于4×6=24，宽等于7，由勾股定理求得d==25．故选：B．将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1-2x2的最大值．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）=sin（2x-+）+1=-cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）=4，则g（x1）=g（x2）=2，或g（x1）=g（x2）=-2（舍去）．故有g（x1）=g（x2）=2，即cos2x1=cos2x2=-1，又x1，x2∈[-2π，2π]，∴2x1，2x2∈[-4π，4π]，要使x1-2x2取得最大值，则应有2x1=3π，2x2=-3π，故x1-2x2取得最大值为+3π=．故选：A．9.【答案】C【解析】解：由圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，得：（x-1）2+（y-2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为故选：C化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C 的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．10.【答案】B【解析】解：∵y=2x2（x＞0），∴y′=4x，∴x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），整理，得4a i x-y-2a i2=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1=a i，∴{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，∴a2+a4+a6=32+8+2=42．故选：B．由y=2x2（x＞0），求出x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1=a i，所以{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的定义和性质，考查三角形的中位线定理，属于中档题．求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【解答】解：设F2（c，0），椭圆左焦点记为F1（-c，0），直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|==b，即有|OP|==a，因为O为F1F2中点，OP是MF2的中垂线，点P在MF2上，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|=2|OP|=2a，|MF2|=2b，由|MF2|-|MF1|=2a，即为2b-2a=2a，即b=2a，可得e====．故选：C．12.【答案】B【解析】解：由g（x）=xf（x）-1=0得xf（x）=1，当x=0时，方程xf（x）=1不成立，即x≠0，则等价为f（x）=，当2＜x≤4时，0＜x-2≤2，此时f（x）=f（x-2）=（1-|x-2-1|）=-|x-3|，当4＜x≤6时，2＜x-2≤4，此时f（x）=f（x-2）=[-|x-2-3|]=-|x-5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）=1，f（3）=f（1）=，f（5）=f（3）==，设h（x）=，则h（1）=1，h（3）=，h（5）=＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．由g（x）=xf（x）-1=0得f（x）=，根据条件作出函数f（x）与h（x）=的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：由y=2x2，得x2=，则p=；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+=2+=，故答案为：．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.【答案】[0，11]【解析】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：-5x+y=0，再作一组平行于l0的直线l：-5x+y=z，当直线l经过点A时，z=-5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（-2，0），所以z max=-5×（-2）+0=10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，-1）函数的最小值为：-10-1=-11．z=|-5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.【答案】-40【解析】解：∵=（x-2）=（x6+6x4+15x2+20+15•+6•+）（x-2），∴常数项是20•（-2）=-40，故答案为：-40．根据=，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.【答案】2π【解析】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2=R2=3；所以圆柱的体积为V=πr2h=π（3-h2）h=π（3h-h3）；则V′（h）=π（3-3h2），令V′（h）=0，解得h=1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h=1时，V（h）取得最大值为V（1）=2π．故答案为：2π．设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．17.【答案】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：（a+b）（sin A-sin B）=（c-b）sin C，利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A=．（2）由于，所以：a2=b2+c2-2bc cos A，整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以：=3．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA=x，则OF=2-x，OE=，∴B（2，2-x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（-2，2-x，0），=（-2，2-x，-x），=（-2，x-2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴=+8=0，解得x=（舍）或x==，∴=，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量=（0，1，0），=（，0，-x），=（-2，x-2，0），设平面ABE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，），设二面角D-AE-B的平面角为θ，则cosθ===，∴无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值．【解析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处．（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值．本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1-（0.006+0.026+0.022+0.008）×10=0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．质量指标值的样本方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104．（3）①由（2）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）=P（100-2×10.2＜Z ＜100+2×10.2）=0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX=100000[0.9544×10-（1-0.9544）×20]=863200．【解析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c=，2a==12，则a=6，∴b2=a2-c2=12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x=m，得|AB|=，由|AB|==6，解得m=±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-36=0．△=36k2m2-4（3k2+1）（3m2-36）=432k2-12m2+144．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．由|AB|==6，整理得：，原点O到AB的距离d=．∴===．当时，△AOB面积有最大值为＞9．综上，△AOB面积的最大值为．【解析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c=，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x=m，由弦长求得m，可得三角形AOB 的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O 到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】（1）解：f′（x）=e x-ax．∵函数f（x）=e x-有两个极值点．∴f′（x）=e x-ax=0有两个实数根．x=0时不满足上述方程，方程化为：a=，令g（x）=，（x≠0）．g′（x）=，可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）=e x-ax=0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：x1+x2＞2⇔x2＞2-x1＞1⇔＞，由=，因此即证明：＞．构造函数h（x）=-，0＜x＜1，2-x＞1．h′（x）=-=（x-1），令函数u（x）=，（0＜x）．u′（x）=．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）=-在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）=0．∴x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）=0．∴h（x）＞h（1）=0．∴＞．因此x1+x2＞2成立．【解析】（1）f′（x）=e x-ax．函数f（x）=e x-有两个极值点⇔f′（x）=e x-ax=0有两个实数根．x=0时不满足上述方程，方程化为：a=，令g（x）=，（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．x1+x2＞2⇔x2＞2-x1＞1⇔＞，由=，因此即证明：＞．构造函数h（x）=-，0＜x＜1，2-x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2．|AB|=|t1-t2|===8．【解析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.【答案】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．【解析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

绝密★启用前2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22(,)|12xA x y y⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，{(,)|3}xB x y y==，则A BI中的元素的个数是()A．1B．2C．3D．42．复数2312izi+=+-在复平面内对应的点到原点的距离是()A．2B．5C．10D．233．虚拟现实()VR技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是()A．该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍B．该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C．该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍D．该地区2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的6倍4．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为0，则中可填入()A．2m m=+B．1m m=+C．1m m=-D．2m m=-5．设124 a-=，141log5b=，4log3c=，则a，b，c的大小关系是() A．a b c<<B．a c b<<C．c a b<<D．c b a<<6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A和区域B标记的数字丢失．若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是()A．115B．110C．13D．1307．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是()A．卫星向径的最小值为a c-B．卫星向径的最大值为a c+C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大8．已知在斜三棱柱111ABC A B C-中，点E，F分别在侧棱1AA，1BB上（与顶点不重合），11AE BFEA FB =，14AA =，ABC ∆的面积为5，截面1C EF 与截面CEF 将三棱柱111ABC A B C -分成三部分．若中间部分的体积为4，则1AA 与底面所成角的正弦值为( ) A ．12B ．35C ．45D9．已知()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<…是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间[,]2211ππ-内是单调函数，则()(6f π= ) A．B ．12-C ．12D10．已知直线l 与曲线x y e =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点．若OAB ∆的面积为3e，则点P 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF ∆的内切圆与边2AF 切于点B ．若12||4||F F AB =，则C 的渐近线方程为( ) A0y ±=B．0x ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=12．已知符号函数1,00,01,0x sgnx x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0x ∈，1]时，()f x x =，则( )A ．(())0sgn f x >B ．4041()12f = C ．((2))0()sgn f k k Z =∈D ．(())||()sgn f k sgnk k Z =∈二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(3,2)a =-r，(1,1)b =-r ，若()a b a μ+⊥r r r ，则实数μ的值为 ；若()//(2)a b a b μ++r rr r ，则实数μ的值为 ． 14．若对12233(1)1n n nn n n n x C x C x C x C x+=++++⋯+两边求导，可得112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x--+=+++⋯+．通过类比推理，有723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，可得1234567234567a a a a a a a ++++++的值为 ．15．已知数列{}n a 中，111a =，121n n a a n n+=++，若对任意的[1m ∈，4]，存在*n N ∈，使得2n a t mt >+成立，则实数t 的取值范围是 ．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是a ，S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点，点Q 在正方形11DCC D 及其内部运动，若//PQ 平面1SBC ，则点Q 的轨迹的长度是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图所示，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且90DAC ∠=︒，22cos DAB ∠=，6AB =．（1）若3sin C =，求BC 的值； （2）若BC 边上的中线2AE =，求AC 的值．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==，四边形ADEF 是矩形，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF AD λ=． （1）证明：DE ⊥平面ABCD ； （2）若二面角B CF D --25，求λ的值．19．（12分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆22:(3)(2)16E x y -+-=与C 交于M ，N 两点，且M ，E ，F ，N 四点共线． （1）求抛物线C 的方程；（2）设动点P 在直线1x =-上，存在一个定点(T t ，0)(0)t ≠，动直线l 经过点T 与C 交于A ，B 两点，直线PA ，PB ，PT 的斜率分别记为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +-为定值，求该定值和定点T 的坐标．20．（12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助．某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）．按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．（1）求这300名员工日行步数x （单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数(14ξ∈，18]的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元．求工会慰问奖励金额X （单位：元）的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈…，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈…，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈…．21．（12分）已知函数21()()f x alnx a R x=+∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，212()x x x <是()f x 的两个零点，求证：212()10ealn x x a-++<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），直线2C 的参数方程为2(x ata y t =-+⎧⎨=⎩为常数且0a ≠，t 为参数）．（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 和2C 相交于A 、B 两点，以线段AB 为一条边作1C 的内接矩形ABCD ，当矩形ABCD 的面积取最大值时，求a 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|||22|()f x x a x a R =+--∈． （1）证明：()||1f x a +…；（2）若2a =，且对任意x R ∈都有(3)()k x f x +…成立，求实数k 的取值范围．。

陕西省西北工业大学附属中学2020届高考仿真卷数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在等差数列{}n a 中，若351024a a a ++=，则13S =（ ） A ．13B ．14C ．15D ．162．已知平面向量PA u u u r ，PB u u u r 满足1PA PB u u u v u u u v ==，12PA PB ⋅=-u u u v u u u v ，若||1BC =u u u r ，则||AC uuu r 的最大值为（ ）A1 B1C1 D13．若x ，y 满足约束条件102240x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y z x -=（ ）A ．有最小值32-，有最大值110-B ．有最小值32-，有最大值2 C ．有最小值110-，有最大值2 D ．无最大值，也无最小值4．设()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则(2)f -，(π)f -，(3)f 的大小顺序是（ ）．A ．(π)(2)(3)f f f -<-<B ．(π)(3)(2)f f f ->>-C ．(π)(3)(2)f f f -<<-D ．(π)(2)(3)f f f ->->5．函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．12x π=-B ．6x π=C ．3x π=D ．2x π=6．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫ ⎪⎝⎭…恒成立，且()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．(6,10) B ．(6,8)C ．(8,10)D ．(6,12)7．设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，则m 的取值集合是（ ）A ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 8．过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，若三角形的面积为，则（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知直线与双曲线：的一条渐近线交于点，双曲线的左、右焦点分别为、，且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．或3C ．D ．或410．已知函数()f x 的导函数()'f x 满足()()()ln 'x x x f x f x +<对1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()()21e f f > B ．()()2e 1ef f >C ．()()21e f f < D ．()()e 1ef f <11．在边长为2的菱形ABCD 中，60,BAD E ∠=o 为CD 的中点，则AE BD ⋅u u u r u u u r的值为（ ） A ．1B 3C 5D 712．幂函数2()(1)m f x m m x =--在()0,∞+上是增函数,则m = ( ) A ．2 B ．1 C ．4 D ．2或-1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．已知集合，B＝{（x，y）|y＝3x}，则A∩B中的元素的个数是（）A．1B．2C．3D．42．复数在复平面内对应的点到原点的距离是（）A．B．C．D．3．虚拟现实（VR）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）A．该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍B．该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C．该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍D．该地区2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的6倍4．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为0，则中可填入（）A．m＝m+2B．m＝m+1C．m＝m﹣1D．m＝m﹣25．设a＝4，b＝log，c＝log43，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A和区域B标记的数字丢失．若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A．B．C．D．7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是（）A．卫星向径的最小值为a﹣cB．卫星向径的最大值为a+cC．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大8．已知在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别在侧棱AA1，BB1上（与顶点不重合），＝，AA1＝4，△ABC的面积为5，截面C1EF与截面CEF将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成三部分．若中间部分的体积为4，则AA1与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）是R上的奇函数，若f（x）的图象关于直线对称，且f（x）在区间内是单调函数，则＝（）A．B．C．D．10．已知直线l与曲线y＝e x相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若△OAB的面积为，则点P的个数是（）A．1B．2C．3D．411．知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．B．C．2x±y＝0D．x±2y＝012．已知符号函数，偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则（）A．sgn（f（x））＞0B．C．sgn（f（2k））＝0（k∈Z）D．sgn（f（k））＝|sgnk|（k∈Z）二、填空题13．已知向量，，若，则实数μ的值为；若，则实数μ的值为．14．若对（1+x）n＝1+x+x2+x3+…+x n两边求导，可得n（1+x）n﹣1＝+x+x2+…+x n﹣1．通过类比推理，有（5x﹣4）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为．15．已知数列{a n}中，a1＝11，，若对任意的m∈[1，4]，存在n∈N*，使得成立，则实数t的取值范围是．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是a，S是A1B1的中点，P是A1D1的中点，点Q在正方形DCC1D1及其内部运动，若PQ∥平面SBC1，则点Q的轨迹的长度是．三、解答题17．如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，，．（1）若，求BC的值；（2）若BC边上的中线AE＝2，求AC的值．18．如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF 是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．（1）证明：DE⊥平面ABCD；（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为，求λ的值．19．如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，圆E：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16与C交于M，N两点，且M，E，F，N四点共线．（1）求抛物线C的方程；（2）设动点P在直线x＝﹣1上，存在一个定点T（t，0）（t≠0），动直线l经过点T 与C交于A，B两点，直线PA，PB，PT的斜率分别记为k1，k2，k3，且k1+k2﹣2k3为定值，求该定值和定点T的坐标．20．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助．某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）．按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数ξ∈（14，18]的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8～14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元．求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．21．已知函数f（x）＝．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）若C1和C2相交于A、B两点，以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，当矩形ABCD的面积取最大值时，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|（a∈R）．（1）证明：f（x）≤|a|+1；（2）若a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B＝{（x，y）|y＝3x}，则A∩B中的元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】作出椭圆+y2＝1和y＝3x的图象，结合图形得A∩B中的元素的个数是2．解：集合，B＝{（x，y）|y＝3x}，作出椭圆+y2＝1和y＝3x的图象，如下：结合图形得A∩B中的元素的个数是2．故选：B．2．复数在复平面内对应的点到原点的距离是（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵＝，∴z在复平面内对应的点到原点的距离是|z|＝．故选：C．3．虚拟现实（VR）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）A．该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍B．该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C．该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍D．该地区2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的6倍【分析】设2017年VR市场总收入为1，根据统计图，逐一判断即可．解：设2017年VR市场总收入为1，A，地区2019年的VR市场总收入为4，是2017年的4倍，正确；B，2017年和2018年的硬件收入总和为1×0.9+2×0.8＝2.5＜4×0.7＝2.8，故正确；C，2019年的VR软件收入1.2是2018年的软件收入0.4的3倍，正确；D，错误，2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的12倍，故选：D．4．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为0，则中可填入（）A．m＝m+2B．m＝m+1C．m＝m﹣1D．m＝m﹣2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：第一次，S＝2×（4﹣2）＝4，S≤0否；若m＝m+2＝6；第二次，S＝4×（6﹣4）＝8，S≤0否；m＝m+2＝8；第三次，S＝8×（8﹣8）＝0，S≤0，是，输出S＝0；正确；若m＝m+1＝5；第二次，S＝4×（5﹣4）＝4，S≤0否；m＝m+1＝6；第三次，S＝4×（6﹣4）＝8，S≤0，否；m＝m+1＝7，第四次，S＝8×（7﹣8）＝﹣8，S≤0是；输出S＝﹣8；与S＝0矛盾，舍去；若m＝m﹣1＝3；第二次，S＝4×（3﹣4）＝﹣4，S≤0是；输出S＝﹣4，与S＝0矛盾，舍去；若m＝m﹣2＝2第二次，S＝4×（2﹣4）＝﹣8，S≤0是；输出S＝﹣8，与S＝0矛盾，舍去；故输入m＝m+2，输出的S的值为0，故选：A．5．设a＝4，b＝log，c＝log43，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】可以得出，，从而可得出a，b，c的大小关系．解：，，∴a＜c＜b．故选：B．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A和区域B标记的数字丢失．若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A．B．C．D．【分析】要想符合要求，1出现的次数尽可能的多，当区域A标记的数字是2，区域B 标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大．解：要想符合要求，1出现的次数尽可能的多；所以：当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大，此时所在的小方格个数n＝5×6＝30，标记为1的区域中小方格的个数m＝10，∴恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是P＝＝．故选：C．7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是（）A．卫星向径的最小值为a﹣cB．卫星向径的最大值为a+cC．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大【分析】由题意可得卫星项径是椭圆上的点到焦点的距离，可得项径的最大值最小值，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由项径的意义可得最小值与最大值的比越小时椭圆越圆，进而可得所给命题的真假．解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a﹣c，最大值为a+c，所以A，B正确；因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大，即D正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即＝＝﹣1+越小，则e越大，而e＝，所以这时b越接近a，椭圆越圆，故C不正确．故选：C．8．已知在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别在侧棱AA1，BB1上（与顶点不重合），＝，AA1＝4，△ABC的面积为5，截面C1EF与截面CEF将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成三部分．若中间部分的体积为4，则AA1与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得中间部分的体积为原三棱柱体积的三分之一，得到原三棱柱的体积，设AA1与底面所成角为α，由棱柱体积公式列式求得sinα的值．解：如图，过EF作平面EFG∥底面ABC，则，，可得中间部分的体积为V＝＝4，∴，设AA1与底面所成角为α，则S△ABC•AA1•sinα＝12，又AA1＝4，△ABC的面积为5，∴20sinα＝12，即sin．∴AA1与底面所成角的正弦值为．故选：B．9．已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）是R上的奇函数，若f（x）的图象关于直线对称，且f（x）在区间内是单调函数，则＝（）A．B．C．D．【分析】首先利用函数的奇偶性求出φ的值，进一步求出函数的关系式为f（x）＝﹣sinωx，进一步利用（x）的图象关于直线对称，整理得ω＝4k+2，最后利用函数的单调性的应用求出ω的值，从而确定函数的关系式，最后求出函数的值．解：f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）是R上的奇函数，所以φ＝kπ，k∈Z，当k＝1时，φ＝π．所以f（x）＝sin（ωx+π）＝﹣sinωx，由于f（）＝﹣sin（ω）＝±1，所以ω＝kπ（k∈Z），整理得ω＝k+，整理得ω＝4k+2．当k＝0时，ω＝2，函数f（x）＝﹣sin2x，由于x∈，所以，故函数是单调递减函数．当k＝1时ω＝4+2＝6，函数f（x）＝﹣sin6x，由于x∈，所以，由于内单调，故函数不为单调函数．当k＝2时，ω＝10，函数f（x）在区间内也不是单调函数，所以f（x）＝﹣sin2x，故f（）＝＝﹣．故选：A．10．已知直线l与曲线y＝e x相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若△OAB的面积为，则点P的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】设切点P（），写出函数在切点处的导数，得到切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，利用三角形面积公式列式可得．构造函数f（x）＝（x﹣1）2e x，利用导数研究其单调性与极值，则答案可求．解：设切点P（），由y＝e x，得y′＝e x，则，∴直线l的方程为，取y＝0，得x＝x0﹣1，取x＝0，得．∴，则．构造函数f（x）＝（x﹣1）2e x，f′（x）＝e x（x2﹣1）．令f′（x）＝0，得x＝±1．∴当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，可得f（x）先增后减再增，，f（x）极小值＝f（1）＝0．∵f（x）的极大值＜，∴当x≤1时，不存在点P满足题意；当x＞1时，f（x）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞．∴f（x）＝0有唯一解，则点P存在且唯一．故选：A．11．知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．B．C．2x±y＝0D．x±2y＝0【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程即可．解：双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．与MF1的切点为N，如图：设AB＝n，MB＝m，BF2＝t，由双曲线的定义可知：m+2n+t﹣m﹣t＝2a，可得n ＝a，若|F1F2|＝4|AB|，所以2c＝4a，c＝2a，则b＝．所以双曲线的渐近线方程为：±y＝0．故选：A．12．已知符号函数，偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则（）A．sgn（f（x））＞0B．C．sgn（f（2k））＝0（k∈Z）D．sgn（f（k））＝|sgnk|（k∈Z）【分析】本题先根据函数的周期性和奇偶性画出函数f（x）的图象，再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合法可对四个选项逐个判断，可得正确选项．解：依题意，由f（x+2）＝f（x），可知函数f（x）是以2为周期的周期函数．∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，f（x）是偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x．函数f（x）图象如下：根据图可得，0≤f（x）≤1，故sgn（f（x））≥0，选项A不正确；很明显，当x＝2k，k∈Z时，f（x）＝0，sgn（f（x））＝0，选项C正确；f（）＝f（2×1010+）＝f（）＝，故选项B不正确；当k＝2时，sgn（f（2））＝sgn（0）＝0，|sgn2|＝1，故选项D不正确故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则实数μ的值为；若，则实数μ的值为．【分析】利用向量数量积与向量垂直、向量坐标运算与向量共线的关系即可得出．解：+μ＝（﹣3+μ，2﹣μ），2+＝（﹣5，3），∵，∴（+μ）•＝（﹣3+μ，2﹣μ）•（﹣3，2）＝﹣3（﹣3+μ）+2（2﹣μ）＝0，解得μ＝．∵，∴3（﹣3+μ）+5（2﹣μ）＝0，解得μ＝．故答案为：，．14．若对（1+x）n＝1+x+x2+x3+…+x n两边求导，可得n（1+x）n﹣1＝+x+x2+…+x n﹣1．通过类比推理，有（5x﹣4）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为35．【分析】对已知式两边对x求导数，再利用x＝1，即可求得结果．解：∵（5x﹣4）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，两边对x求导数，可得7×5×（5x﹣4）6＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7＝35，故答案为：35．15．已知数列{a n}中，a1＝11，，若对任意的m∈[1，4]，存在n∈N*，使得成立，则实数t的取值范围是（﹣4，2）．【分析】利用裂项法可求得a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1＝12﹣，而a n＝12﹣为递增数列，可求得a n的极限值（可作为最大值），于是所求可转化为对任意的m∈[1，4]，t2+mt＜12恒成立问题，通过构造函数h（m）＝tm+t2﹣12，则，解之即可．解：∵，∴＝﹣，∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（1﹣）+11＝12﹣，∵a n＝12﹣为递增数列，∴当n→+∞时，a n→12．∵对任意的m∈[1，4]，存在n∈N*，使得成立，∴对任意的m∈[1，4]，t2+mt＜12恒成立．令h（m）＝tm+t2﹣12，则，即，解得：﹣4＜t＜2，故答案为：（﹣4，2）．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是a，S是A1B1的中点，P是A1D1的中点，点Q在正方形DCC1D1及其内部运动，若PQ∥平面SBC1，则点Q的轨迹的长度是．【分析】求出Q在正方形DCC1D1的位置，然后转化求解距离即可．解：要使PQ∥平面SBC1，作PE∥C1S，交C1D1于E，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是a，D1E＝C1D1＝，连接BD，取BD的中点O，连接PO，则PSBO为平行四边形，PO∥SB，取DF＝＝，连接OF，EF，所以PEFO为平行四边形，Q在EF上，所以EF＝＝．点Q的轨迹的长度是：．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，，．（1）若，求BC的值；（2）若BC边上的中线AE＝2，求AC的值．【分析】（1）由题意利用诱导公式可求sin∠BAC的值，在△ABC中，由正弦定理可得BC的值．（2）由（1）可得sin∠BAC＝，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠BAC，利用平面向量的运算可得＝（+），两边平方后即可计算得解AC的值．解：（1）∵∠DAC＝90°，，．∴sin∠BAC＝sin（90°+∠DAB）＝，∵，∴在△ABC中，由正弦定理，可得：＝，可得：BC＝4．（2）∵由（1）可得sin∠BAC＝，∴cos∠BAC＝﹣，∵＝（+），可得2＝（+）2，又∵AE＝2，，∴可得4＝[6+AC2+2×]，可得3AC2﹣2AC﹣30＝0，∴解得AC＝或﹣（舍去）．18．如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF 是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．（1）证明：DE⊥平面ABCD；（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为，求λ的值．【分析】（1）推导出AD⊥DE，BD⊥DE，由此能证明DE⊥平面ABCD．（2）DE⊥平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ．解：（1）证明：∵四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD＝BD，∴AD⊥DE，BD⊥DE，∵AD∩BD＝D，∴DE⊥平面ABCD．（2）解：∵在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．由（1）知DE⊥平面ABCD，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设CD＝2AB＝2AD＝2，则AF＝λ，则B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），F（1，0，λ），＝（1，﹣1，0），＝（1，﹣2，λ），＝（0，﹣2，0），设平面BCF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，），设平面CDF的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，0，﹣），∵二面角B﹣CF﹣D的正弦值为，∴|cos＜＞|＝＝||＝，解得λ＝或λ＝．19．如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，圆E：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16与C交于M，N两点，且M，E，F，N四点共线．（1）求抛物线C的方程；（2）设动点P在直线x＝﹣1上，存在一个定点T（t，0）（t≠0），动直线l经过点T 与C交于A，B两点，直线PA，PB，PT的斜率分别记为k1，k2，k3，且k1+k2﹣2k3为定值，求该定值和定点T的坐标．【分析】（1）由题意知E（3，2），设抛物线C的准线为直线l′，过M，N，E分别作直线l′的垂线，垂足分别为M′，N′，E′，则|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，从而|EE′|＝＝＝＝4，进而3+＝4，由此能求出抛物线C的方程；（2）设直线l的方程为x＝ky+t，与y2＝4x联立，得y2﹣4ky﹣4t＝0，由此利用根的判别式，韦达定理、直线与抛物线的位置关系，能求出k1+k2﹣2k3的值与k，y0无关，当且仅当t＝1时，定点为T（1，0），定值为0．解：（1）由题意知E（3，2），设抛物线C的准线为直线l′，过M，N，E分别作直线l′的垂线，垂足分别为M′，N′，E′，则|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，∴|EE′|＝＝＝＝4，∴3+＝4，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x．（2）由题意知，直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为x＝ky+t，与y2＝4x联立，得：y2﹣4ky﹣4t＝0，△＝16k2+16t＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣1，y0），y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4t，∴x1+x2＝k（y1+y2）+2t＝4k2+2t，x1x2＝，∴k1+k2﹣2k3＝++＝+＝，∴k1+k2﹣2k3的值与k，y0无关，当且仅当t＝1时，定点为T（1，0），定值为0．20．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助．某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）．按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数ξ∈（14，18]的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8～14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元．求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．【分析】（1）以各组中点为该组的代表值加权平均即可；（2）依题意，日行步数ξ（千步）服从正态分布N（μ，σ2），由（1）知μ＝12，又σ的近似值为2，所以P（14＜ξ＜18）＝P（μ+σ＜ξ＜μ+3σ）代入即可；（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，确定随机变量X的所有可能的取值，分别求出，每个随机变量对应的概率，列出分布列求期望即可．解：（1）这300名员工日行步数的样本平均数为2（5×0.005+7×0.005+9×0.04+11×0.29+13×0.11+15×0.03+17×0.015+19×0.005）＝11.68≈12千步；（2）因为ξ～N（12，22），所以P（14＜ξ＜18）＝P（12+2＜ξ＜12+3×2）＝[P（6＜ξ＜18）﹣P（10＜ξ＜14）]＝0.1574，所以走路步数ξ∈（14，18）的总人数为300×0.1574≈47人；（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400，P（X＝0）＝0.022＝0.0004，P（X＝100）＝2×0.02×0.88＝0.0352，P（X＝200）＝0.882+2×0.02×0.1＝0.7784，P（X＝300）＝2×0.88×0.1＝0.176，P（X＝400）＝0.12＝0.01，所以X的分布列为：X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01 E（X）＝100×0.0352+200×0.7784+300×0.176+400×0.01＝216．21．已知函数f（x）＝．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点，求证：．【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），求出导函数，通过①当a≤0时，②当a ＞0时，判断导数的符号，判断函数的单调性即可．（2）利用f（x）有两个零，得到，推出a＞2e，要证原不等式成立，只需证明，利用分析法推出；另一方面，令，（x＞0），通过函数的导数，转化求解函数的最值，转化求解即可．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且，①当a≤0时，f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，故f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）证明：∵f（x）有两个零点，∴由（1）知a＞0且，∴a ＞2e，要证原不等式成立，只需证明，只需证明，只需证明．一方面∵a＞2e，∴，∴，∴，且f（x）在单调递增，故；另一方面，令，（x＞0），则，当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0；故，故g（x）≥0即时x∈（0，+∞）恒成立，令，则，于是，而，故，且f（x）在单调递减，故；综合上述，，即原不等式成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）若C1和C2相交于A、B两点，以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，当矩形ABCD的面积取最大值时，求a的值．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数可得普通方程．直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．消去参数t可得普通方程；（2）由直线x＝﹣2+ay经过定点（﹣2，0），由于以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，因此矩形的对角线为圆的直径，都经过原点．可知：当矩形ABCD的面积取最大值时，四边形ABCD为正方形．即可得出．解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数可得：x2+y2＝4．直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．消去参数t可得：x＝﹣2+ay．（2）由直线x＝﹣2+ay经过定点（﹣2，0），由于以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，因此矩形的对角线为圆的直径，都经过原点．可知：当矩形ABCD的面积取最大值时，四边形ABCD为正方形．∴直线经过点（0，±2），代入可得：0＝﹣2±2a，解得a＝±1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|（a∈R）．（1）证明：f（x）≤|a|+1；（2）若a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）将函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|化为f（x）＝|（2x﹣2）﹣（x﹣a﹣2）|﹣|2x﹣2|，利用绝对值不等式可得f（x）≤|x﹣a﹣2|（当且仅当（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0时取等号），进一步分析可证得结论成立；（2）要使k（x+3）≥f（x）恒成立．则过定点（﹣3，0）的直线y＝k（x+3）的图象不会在y＝f（x）的图象的下方，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝k（x+3）的图象，结合图象可求得实数k的取值范围．【解答】（1）证明：函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|＝|（2x﹣2）﹣（x﹣a﹣2）|﹣|2x﹣2|≤|2x﹣2|+|x﹣a﹣2|﹣|2x﹣2|＝|x﹣a﹣2|（当且仅当（2x﹣2）（x﹣a﹣2）≤0，即（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0时取等号）由于（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0，当a﹣2≥1，即a≥3时，|x﹣a﹣2|≤|1﹣a﹣2|＝|a+1|＝|a|+1；当1＞a﹣2，即a＜3时，|x﹣a﹣2|≤|1﹣a﹣2|＝|a+1|≤|a|+1；综上所述，f（x）≤|a|+1；（2）解：a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣2|＝，要使k（x+3）≥f（x）恒成立．则过定点（﹣3，0）的直线y＝k（x+3）的图象不会在y＝f（x）的图象的下方，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝k（x+3）的图象如图，由图可知，≤k≤1．即实数k的取值范围为[，1]．。

2022届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期第九次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}0,1,3,5,8A =，集合{}2,4,5,6,8B =，则()()U U C A C B ⋂=A ．{}5,8B ．{}7,9C ．{}0,1,3D ．{}2,4,6【答案】B【详解】试题分析：{}2,4,6,7,9UA =,{}0,1,3,7,9UB =,所以()(){}7,9U U A B ⋂=，故选B.【解析】集合的运算.2．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 【答案】D【分析】举例113i z =+，22z =，即可判断选项A ，举出反例，可判断选项B ，将方程转化得()24i 11i x a x--+=，由a ∈R ，解得x 值，代入即可求得a ，可判断选项C ，将12i +代入方程化简得()()10442i p q p ++++=-，列方程组求出,p q ，可判断选项D.【详解】若113i z =+，22z =，则12z z ==A 错误； 若1231i,1,2z z z =+==，满足()()2212230z z z z -+-=，故B 错误；若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，()2224i 11i 4i i 1x x x a x x--+---==， 因为a ∈R ，所以2402x x -=⇒=±，所以52a =±，故C 错误；将12i +代入方程20x px q ++=，得()()2012i 12i q p ++++=，即()()10442i p q p ++++=-，所以140420p q p -++=⎧⎨+=⎩，得25p q =-⎧⎨=⎩，故D 正确. 故选：D.3．古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形（如图）：分别以等腰直角三角形ABC 的三边为直径作半圆，则在整个图形内任意取一点，该点落在阴影部分的概率为A ．2ππ- B ．22ππ-+ C ．22π+ D ．2ππ+【答案】C【分析】设等腰直角三角形ABC 的两直角边长度都等于2，计算出整个图形的面积和阴影区域的面积，然后利用几何概型的概率公式可求出所求事件的概率.【详解】设等腰直角三角形ABC 的两直角边长度都等于2，则斜边长等于22个图形的面积2111222222S ππ=⋅⋅+⨯⨯=+⨯，阴影区域的面积211222S S π=-⋅=．由几何概型的概率公式可知，所求概率为122S S P π==+．故选C ． 【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算所求事件的概率，解题的关键就是要计算出平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.4．设抛物线2:2y x Γ=的焦点为F ，A 为抛物线上一点且A 在第一象限，2AF =，现将直线AF 绕点F 逆时针旋转30得到直线l ，且直线l 与抛物线交于C ，D 两点，则CD =（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】C【分析】作图，求出A 点旋转后的'A F 与x 轴正方向的夹角，写出直线l 的方程，与抛物线方程联立，根据弦长公式即可.【详解】依题意作上图，1p = ，1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()0,0A x y ，由抛物线的性质022pAF x =+= ， 032x =，3,32A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，AF 与x 轴正方向的夹角为60︒ ， A 点绕F 逆时针旋转30︒ 后，得'A 点，'A F x ⊥ 轴， 直线l 的方程为12x = ，代入抛物线方程得21,1y y ==± ，2CD = ； 故选：C.5．执行下面程序，如果输出的y 值是3，则输入的x 值是（ ）A ．-1或3B ．0或2C ．-1或0或2或3D ．-1或2【答案】D【分析】由该程序表示出分段函数，再分别求解1x ≤与1x >时3y =的解集. 【详解】由题意得，该程序得功能是利用条件结构计算并输出分段函数222,123,1x x x y x x x ⎧-≤=⎨-++>⎩，输出的y 值是3，即3y =，当1x ≤时，2231x x x -=⇒=-或3x =（舍），当1x >时，22332x x x -++=⇒=或0x =（舍），所以输入的x 值是1,2-.故选：D6．在ABC 中，2,3AB C π=∠=，则AC BC +的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【详解】分析：根据正弦定理将要求的边长之和转化为角，再根据角的范围得到最终的结果.详解：根据正弦定理得到sin sin sin AB AC BC C B A ===，2sin()3AC BC B A B B π+=-=4sin()6B π+，因为角B 203π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，, 故5B ,666πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故得到4sin()(2,4]6B π+∈ 故最大值为4. 故答案为C.点睛：在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷,一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.7．利用数学归纳法证明不等式11112321n n +++⋅⋅⋅+<-（2n ≥，n *∈N ）的过程中，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项 C ．21k -项 D ．2k 项【答案】D【分析】得n k =和1n k =+时对应的不等式左边的最后一项，再由变化规律可得增加的项数.【详解】当n k =时，不等式左边的最后一项为121k-，而当1n k =+时，最后一项为11121212k k k+=--+，并且不等式左边分式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1，所以增加了2k 项.故选：D8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为棱11C C B B 、的中点，G 为棱BC 上一点，且()02BG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）A ．33B ．15C ．255D ．55【答案】C【分析】易知1D EF 在平面11A D MN 内，作平面11A D EF 的延长面，交底面ABCD 的延长面于MN ，作CQ EM ⊥于点Q ，由几何关系易证CQ ⊥平面11A D MN ，求得CQ 即可求解.【详解】如图所示，分别作11,A F D E 的延长线，交,AB DC 的延长线于点,N M ，作CQ EM ⊥于点Q ，易知1D EF 在平面11A D MN 内，又因为G 在BC 上，BC//NM ，所以点G 到平面1D EF 的距离可等价为点C 到平面11A D MN 的距离，MN CM ⊥，1DD ⊥底面ADMN ，1DD MN ∴⊥，1,EC //DD EC MN ∴⊥，ECCM C =，MN ∴⊥平面ECQ ，MN CQ ∴⊥，MN EM M ⋂=，CQ ∴⊥平面11A D MN ，点G 到平面1D EF 的距离为122555EC CM CQ EM⋅⨯===，故选：C9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43πB 86C ．32πD ．323π【答案】A【分析】由三视图还原几何体，判断出外接球半径，结合球体体积公式即可求解. 【详解】如图，为还原后的立体图，正四面体A BCD -的外接球半径应为对应正方体体对角线一半，即3232r =⨯=，则该几何体的外接球的体积为344334333r πππ=⨯=.故选：A10．已知e 为单位向量，向量a 满足：()()50a e e a --⋅=，则a e +的最大值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】可设()1,0e =，(),a x y =，根据()()50a e e a --⋅=，可得,x y 的关系式，并得出,x y 的范围，()221a x y e +=++，将y 用x 表示，再根据函数的最值即可得解.【详解】解：可设()1,0e =，(),a x y =，则()()()()221,5,6055a e e x y x a y x x y ⋅=-⋅-=-++--=，即()2234x y -+=，则15x ≤≤，22y -≤≤， ()22184a x y x e +=++-当5x =84x -6， 即a e +的最大值为6. 故选：C11．已知直线l ：()y t k x t -=-()2t >与圆O ：224x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则log log t t M m +的值为A ．1B ．0C ．1-D ．222log 4t t t ⎛⎫⎪-⎝⎭【答案】B【解析】根据直线和圆相交得到2d =≤，整理得到()22224240t k t k t --+-≤，根据韦达定理得到22414t Mm t -==-，计算得到答案.【详解】直线l ：()y t k x t -=-()2t >即0kx y kt t --+=与圆O ：224x y +=有交点，则2d ≤，整理得到()22224240t k t k t --+-≤，当不等式取等号时，k 对应最大值和最小值，此时22414t Mm t -==-，故log log log 1o 0l g t t t t M m Mm +===. 故选：B .【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的转化能力和计算能力.12．已知不等式2ln e 0x ax a x x x++-≥，对于任意的()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[)e,+∞【答案】B【分析】将不等式转化为e ln 10x a a x x x ++-≥恒成立，令()e ln 1xa a h x x x x=++-，求导判断单调性，并求解最小值()min ln e h x a a =+，转化为()min ln e 0h x a a =+≥，令()ln F a a ae =+，求导判断单调性，再结合10e F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可求解出答案.【详解】由题意，()0,x ∈+∞时，e ln 10xa a x x x++-≥恒成立， 设()e ln 1x a a h x x x x =++-，则()()()()22e 1e 111x x a x x a x h x x x x +--'=-++=， 因为()0,x ∈+∞时，0ax>，所以()0,a ∈+∞，所以e 0x a x +>， 当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；所以()()min 1ln h x h a ae ==+，由题意，只需()min ln e 0h x a a =+≥， 设()ln F a a ae =+，则()1e 1e a F a a a+'=+=，当()0,a ∈+∞时，()0F a '>，所以函数()F a 单调递增，而10e F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然，当1,e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()ln 0F a a ae =+≥成立.故选：B【点睛】在求解有关x 与e x 的组合函数综合题时要把握三点： 灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导； 把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；函数最值不易求解时，可重新拆分、组合，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值.二、填空题13．已知实数,x y 满足26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_______．【答案】4【分析】先由约束条件26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩作出可行域，再由目标函数z x y =-可化为y x z =-，结合可行域数形结合即可求出结果.【详解】由约束条件26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图所示：因为目标函数z x y =-可化为y x z =-，因此z 表示直线y x z =-在y 轴截距的相反数， 求z 的最大值，即是求截距的最小值， 由图像可得直线y x z =-过点B 时截距最小，由20x x y =⎧⎨+=⎩解得B(2,2)-， 所以224max z =+=. 故答案为：4【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.14．已知3nx ⎛⎫⎝的展开式中二项式系数和为128，则展开式中有理项的项数为___________. 【答案】1，4，7【分析】根据二项式定理中二项式系数的性质即可. 【详解】由题可知，各项系数之和=128，n =7，()2777377322332rr r rrr r rC x C x x ----⎛⎫= ⎪⎝⎭是有理项，所以r =0或r =3或r =6， 即第1项或第4项或第7项; 故答案为：1，4，7.15．平面内，若三条射线,,OA OB OC 两两成等角为ϕ，则1cos 2ϕ=-，类比该特性：在空间上，若四条射线,,,OA OB OC OD 两两成等角为θ，则cos θ=___________.【答案】13-【分析】设正四面体ABCD 棱长为a ，O 为其中心，可知,,,OA OB OC OD 两两成等角，利用正四面体外接球半径的求法可求得R ，由余弦定理可求得结果.【详解】设正四面体ABCD 棱长为a ，O 为其中心，如图所示，则,,,OA OB OC OD 两两成等角；设O 在底面的射影为1O ，则1O 为BCD △的中心，OA OD R ==， 22121334O D a a ∴=-，221163AO a a =-， 则222613R R a ⎫=-+⎪⎪⎝⎭，解得：6R =， 2221cos 23OC OD CD OC OD θ+-∴==-⋅.故答案为：13-.16．已知Q 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点，M 为双曲线右支上一点，若点M关于双曲线中心O 的对称点为N ，设直线QM ，QN 的倾斜角分别为α，β且1tan tan 4αβ=，则双曲线的渐近线方程为___________.【答案】12y x =±【分析】设()()0000,,,M x y N x y --，利用1tan tan 4αβ=，代入,M N 的坐标得2022014y x a =-，再代入双曲线的标准方程，化简得12b a =，可得双曲线的渐近线方程. 【详解】设()()0000,,,M x y N x y --，因为1tan tan 4αβ=，则14QM QNk k ⋅=，所以2000220000014y y y x a x a x a ---⋅==----， 又22221x y a b -=，所以()2222002b y x a a =-，所以()22220222201144b b x a a x a a -=⇒=-， 即12b a =，所以双曲线的渐近线方程为12y x =±.故答案为：12y x =±【点睛】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，而双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线方程为a y x b =±(即b x y a =±)，应注意其区别与联系.三、解答题17．羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为34，乙选手在每回合中得分的概率为14． （1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）81256；（2）分布列见解析；期望为3． 【分析】（1）可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，进而根据独立重复试验的概率公式即可求出结果；（2）求出X 的取值，进而求出对应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望即可求出结果．【详解】（1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A ，可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以22333181()C 444256P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）易知X 的取值为0，1，2，3，4，且3~4,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，40411(0)C 4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，314133(1)C 4464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3341327(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 444381(4)C 4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：P 1256 364 27128 2764 81256数学期望3()434E X np ==⨯=． 18．如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接,BM CE 交于点,F G 为ABE △的重心.（1）证明：//GF 平面ABC ；（2）若平面ABC ⊥底面BCDE ，平面ACD ⊥底面3663BCDE BC CD AC ，＝，＝，＝求平面GCE 与平面ADE 所成锐二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）3π. 【分析】（1）先证得//GF NC ，然后根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，运用二面角的向量求解方法可求得所求的二面角. 【详解】（1）延长EG 交AB 于N ，连接CN ，因为G 为ABE △的重心，则N 为AB 的中点，且2EGGN=， 因为//CM BE ，所以2EF BE FC CM ==，所以2EF EGFC GN==，因此//GF NC ， 又因为GF ⊄平面ABC ，NC ⊂平面ABC ，所以//GF 平面ABC ； （2）因为平面ABC ⊥面BCDE ，面ABC 面BCDE =BC ，,DC BC DC ⊥⊂面BCDE ，所以DC ⊥面ABC ，因为AC ⊂面ABC ，所以DC AC ⊥，同理BC AC ⊥，又BC CD ⊥，所以CA ，CB ，CD 两两垂直，所以以C 为原点，直线CB ，CD ，CA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），则(0,0,63),(3,0,0),(36,0)A B E ，，(0,6.0)D ，所以3(033)2N ，，，因为2EG GN=，所以(2,2,3)G ，所以(2,223),(3,6,0),(06,63),(3,0,0)CG CE AD DE ===-=，，， 设面GCE 的一个法向量111(,,)m x y z =，则0,0.m CG m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则1111122230,360,x y z x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，取11,y =，则113,2,3z x ==-，即3(2,1,)3m =-，设面ADE 的一个法向量222(,)n x y z =，，则0,0,n AD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2226630.30,y z x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，取22z =，则2223,0y x ==，即(023,2)n =，， 设面GCE 与面ADE 所成锐二面角为θ，则232313cos .2151243m n m nθ+⋅===⋅+⨯+ 又(0,)2πθ∈，所以3πθ=.所以平面GCE 与平面ADE 所成锐二面角的大小为3π.19．已知数列{}n a 中，11a =，满足()1221n n a a n n N*+=+-∈.(1)证明数列{}21n a n ++是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式240nn S λ⋅++>对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)证明见解析；1221n n a n +=--；(2)()2,-+∞【分析】（1）利用递推关系式得()()1211221n n a n a n ++++=++，由此可证得{}21n a n ++是等比数列；由等比数列通项公式推导可得n a ； （2）采用分组求和法可求得n S ，分离变量可得2242n nn nb λ++>=，利用11322n nn n b b ++--=可知()2max 2n b b ==，由此可求得λ的范围.【详解】(1)由1221n n a a n +=+-得：()()1211221n n a n a n ++++=++，又134a +=，∴数列{}21n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列； 1121422n n n a n -+∴++=⋅=，1221n n a n +∴=--.(2)由（1）得：()()22221212224122nn n n n S n n n +-+=-⨯-=----，()2244220nnn S n n λλ⋅++=+⋅-->∴，2242nn nλ+∴+>；令222n n n n b +=，()()22111121232222n n n n n n n n n n b b +++++++-∴-=-=， 则当2n ≥时，10nn b b ；当1n =时，210b b ；()2max 2n b b ∴==，42λ∴+>，解得：2λ>-，即实数λ的取值范围为()2,-+∞.20．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O ，C的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为)F，其短轴上的一个端点到F (1)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；(2)若点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线1l ，2l 交“准圆”于点M ，N ，判断MPN ∠及线段MN 是否都为定值，若为定值，求出定值，若不是定值，说明理由. 【答案】(1)椭圆方程：2213x y += ，“准圆”方程：224x y += ；(2)2MPN π∠=，4MN = .【分析】（1）根据题意即可算出椭圆的a ，b ，c ，写出椭圆方程和“准圆”方程； （2）根据切线的斜率是否存在分类讨论，联立方程，根据0∆=，即可求解.【详解】(1)由题意，1c a b = ，抛物线方程为2213x y += ，“准圆”方程为224x y += ；(2)假设12,l l 中有一条斜率不存在，不妨假设为1l ，则与椭圆的切点为()，即1l 的方程为：x =或x =，当x =“准圆”的交点为)或)1- ，此时2l 的方程为y =1或y =-1，显然12l l ⊥ ；当12,l l 的斜率都存在时，设()00,P x y ，则22004x y += ，设经过P 点与椭圆相切的直线方程为()00y t x x y =-+ ，由()002213y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩得()()()2220000136330t x t y tx x y tx ++-+--= ， 由0∆= 并化简得()()22200003230x t x y t x -++-=……① ，设直线12,l l 的斜率分别为12,t t ，则1t 和2t 分别是①的两根，根据韦达定理，有201220313x t t x -==-- ，故有12l l ⊥ ，2MPN π∠= 由于12l l ⊥，P 是“准圆”上的点， ∴MN 是“准圆”的直径，即MN =4，是定值；综上，抛物线方程为2213x y +=，“准圆”方程为224x y +=， 2MPN π∠=，MN =4.【点睛】本题的难点在于第二问，如何设直线方程，以及使用韦达定理后的设而不解， 巧妙使用韦达定理的结论来判断12,l l 之间的关系，以及得出结论后（12l l ⊥）， 利用圆的性质直接求出MN 的长度. 21．已知函数()1ln xf x x+=. （1）求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当e x ≥时，不等式()ekf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：()225272en n -⨯⨯⋅⋅⋅⨯->(2n ≥且*N n ∈). 【答案】（1）1y =；（2）4k ≤；（3）证明见解析.【分析】（1）求出()1f ，()1f '，进而可得()f x 在1x =处的切线方程； （2）()k f x x e ≥+即()()1ln x e x k x ++≤恒成立，设()()()()1ln x e x g x x e x++=≥，求得()min g x ，进而可得实数k 的取值范围；（3）由（2）构造不等式()211ln 23211n e n n ⎛⎫⎡⎤->-- ⎪⎣⎦-+⎝⎭，递推累加可得结论. 【详解】（1）因为()2ln xf x x-'=，()10f '=，()11f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为10(1)y x -=⋅-，即1y =. （2）()k f x x e ≥+转化为()()1ln x e x k x ++≤恒成立 设()()()()1ln x e x g x x e x++=≥，则()2ln x e xg x x -'=，设()()ln h x x e x x e =-≥，()0x eh x x-'=≥， ()h x 在[),e +∞上单调递增，()()0h x h e ≥=，所以()0g x '≥，()g x 在[),e +∞上单调递增，()()4g x g e ≥=，故4k ≤. （3）令4k =，由（2）知当x e ≥时，1ln 4x x x e+≥+恒成立， 有41ln x x x e +≥+，即4ln 3ex x e≥-+， 当2n ≥时，令()22x n e e =->，则有()()2224411ln 233321112e n e n n n n e e⎛⎫⎡⎤->-=-=-- ⎪⎣⎦--+-+⎝⎭，，()11ln 143235e ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，()11ln 73224e ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，()1ln 23213e ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，将上述1n -个不等式累加得：()()()()2111ln 2ln 7ln 23121211136236,1e e n e n n n n n n n ⎛⎫⎡⎤++⋅⋅⋅+->--+-- ⎪⎣⎦+⎝⎭⎛⎫=-++>- ⎪+⎝⎭所以()()22136272272n n e e n e n e e --⨯⨯⋅⋅⋅⨯-=⨯⨯⋅⋅⋅⨯->， 即()225272n n e -⨯⨯⋅⋅⋅⨯->.【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：由分离变量得()()1ln x e x k x++≤恒成立，设()()()()1ln x e x g x x e x++=≥，求得()min g x ；第（3）问的关键点是：构造不等式()211ln 23211n e n n ⎛⎫⎡⎤->-- ⎪⎣⎦-+⎝⎭. 22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,12sin .x y αα=+⎧⎨=-+⎩(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)若直线l 与圆C 的交点为,A B ，与x 轴的交点为P ，求11PA PB+的值．【答案】(1)22(2)(1)4x y -++=0y +-=【分析】（1）由平方关系消参得圆C 的普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得直线的直角坐标方程；（2）求出(2,0)P ，直线的倾斜角，写出直线的标准参数方程，代入圆的普通方程，利用参数t 的几何意义结合韦达定理求解．【详解】(1)由方程22cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩消去参数α得圆C 的普通方程为：22(2)(1)4x y -++=由cos()6πρθ-=1sin )2ρθθ+=将cos sin x y ρθρθ=⋅⎧⎨=⋅⎩代入得直线l0y +-． (2)由直线l0y +-，故直线l 的倾斜角为120点P 坐标为：(2,0)，所以直线l的标准参数方程为：122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．． 将直线l 的标准参数方程代入圆C的普通方程得：2211)44t ++=整理得：230t -=由150∆=>，设A ，B 两点对应的参数分别为：1t ，2t则12t t +=123t t ⋅=-，且1t ，2t 异号．∴11PA PB +1212t t t t -=⋅===23．已知不等式135x x m -+-<的解集为3,2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求n 的值；（2）若三个正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=．证明：2222222b c c a a ba b c+++++≥． 【答案】（1）74n =（2）见解析【解析】（1）根据不等式的解集与方程根的关系求出m ，然后解绝对值不等式得n ．（2）首先利用基本不等式得222222222b c c a a b bc ac aba b c a b c+++++≥++，通分后，再凑配成()()()2222222222221a b b c b c c a c a a b abc ⎡⎤+++++⎣⎦，再利用基本不等式可得． 【详解】（1）由题意知，32为方程135x x m -+-=的根，∴391522m -+-=，解得1m =． 由1351x x -+-<1x <时，1531x x -+-<，54x >，x ∈∅， 513x ≤≤时，1531x x -+-<，32x >，∴3523x <≤， 53x >时，1351x x -+-<，74x <，∴5734x <<，综上不等式解为3724x <<，∴74n =．（2）由（1）知1a b c ++=，∴222222222b c c a a b bc ac aba b c a b c +++++≥++． ()2222222a b b c c a abc=++ ()()()2222222222221a b b c b c c a c a a b abc ⎡⎤=+++++⎣⎦，()()222122222abcab c bc a ca b a b c abc abc≥++=++=， ∴2222222b c c a a b a b c+++++≥成立．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式的证明．考查推理能力与运算求解能力．证明不等式时应用基本不等式不需要考虑等号成立的条件，即使等号取不到，不等式仍然成立．。

2020年西安市碑林区西北工大附中中考数学第九次适应性训练试卷(九模)一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−3的倒数是()A. −3B. 3C. −13D. 132.如图中的几何体的左视图是()A.B.C.D.3.如图，AB//CD，CE交AB于点E，∠1=48°15′，∠2=18°45′，则∠BEC的度数为()A. 48°15′B. 66°C. 60°30′D. 67°4.下列四点中，在函数y=3x+2的图象上的点是()A. (−1,1)B. (−2,−4)C. (2,0)D. (0,−1.5)5.下列运算正确的是()A. (−x2)3=−x5B. x2+x3=x5C. x3⋅x4=x7D. 2x3−x3=16.如图，在等腰直角△ABC中，腰长AB=4，点D在CA的延长线上，∠BDA=30°，则△ABD的面积是()A. 4√3−4B. 8√3−4C. 4√3−8D. 8√3−87.直线y=x+1与y=−2x+a的交点在第一象限，则a的取值可能是()A. −1B. 0C. 1D. 28.如图，菱形ABCD中∠ABC=60°，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB中点，且AC=4，则△BOE的面积为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 29.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB⏜的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为()A. 12B. 5C. 5√32D. 5√310.抛物线y=−x2+bx+c的部分图象如图所示，若y<0，则x的取值范围是()A. x<−4或x>1B. x<−3或x>1C. −4<x<1D. −3<x<1二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.在数3.16，−10，2π，−22，0，1.2121121112…(每两个2之间依次多1个1)，1.3中有________7个无理数．12.如果一个多边形的内角和为1620°，那么这个多边形的一个顶点有______条对角线．13.如图，点A(1,n)和点B都在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，若∠OAB=90°，OAAB =23，则k的值是______．14.如图，等边三角形ABC的边长为a，点P在AB上，点Q在BC的延长线上，AP=CQ，连接PQ与AC相交于点D，作PE⊥AC于E，则DE=______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）15.解分式方程：4x−5x−2+2=2x+93x−6．四、解答题（本大题共10小题，共73.0分）16.计算：(12)−2−√8+2cos60°−(2019−√2018)017.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若CF=2，CE=4，求⊙O的半径．18.19.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，若CF=3，CE=4，求AP的长．19.典典同学随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形统计图和条形统计图．根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：(1)典典同学共调查了_________名居民的年龄．在扇形统计图中，a=_________，b=_________．(2)若该辖区年龄在0～14岁的居民约有3500人，估计年龄在15～59岁的居民的人数．20.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度(结果保留根号)21.我市某草莓种植农户喜获丰收，共收获草莓2000kg.经市场调查，可采用批发、零售两种销售方式，这两种销售方式每kg草莓的利润如下表：销售方式批发零售利润(元/kg)612设按计划全部售出后的总利润为y元，其中批发量为xkg．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若零售量不超过批发量的4倍，求该农户按计划全部售完后获得的最大利润．22.如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字：1，2，3，4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a，b，把a，b作为点A的横、纵坐标．(1)用列表法或树状图表示出A(a,b)所有可能出现的结果；(2)求点A(a,b)在函数y=x的图象上的概率．23.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE=BC．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若CD=2，BD=2√5，求⊙O的半径．24.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)(x1<x2)，且x1，x2是方程x2−2x−3=0的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点．(1)求点A，B的坐标；(2)分别求出抛物线和直线AC的解析式；(3)若将过点(0,2)且平行于x轴的直线定义为直线y=2.设动直线y=m(0<m<2)与线段AC、BC分别交于D、E两点．在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．25.新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形(1)已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=60°，∠B=70°，求∠C，∠D的度数(2)在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图2)，其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论(3)已知：在“等对角四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=10，AD=8.求对角线AC的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：C．解析：解：−3的倒数是−13故选：C．．根据倒数的定义可得−3的倒数是−13主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2.答案：A解析：解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形，故选：A．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3.答案：D解析：本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．根据平行线的性质，即可得到∠A的度数，再根据三角形的外角性质，即可得到∠BEC的度数．解：∵AB//CD，∴∠1=∠A=48°15′，又∵∠2=18°45′，∴∠BEC=∠A+∠2=67°，故选：D．4.答案：B解析：只要把点的坐标代入一次函数的解析式，若左边=右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可．A、把(−1,1)代入y=3x+2得：左边=1，右边=3×(−1)+2=−1，左边≠右边，故本选项错误；B、把(−2,−4)代入y=3x+2得：左边=−4，右边=3×(−2)+2=−4，左边=右边，故本选项正确；C、把(2,0)代入y=3x+2得：左边=0，右边=3×2+2=8，左边≠右边，故本选项错误；D、把(0,−1.5)代入y=3x+2得：左边=−1.5，右边=3×0+2=2，左边≠右边，故本选项错误．故选B．5.答案：C解析：解：A、(−x2)3=−x6，此选项错误；B、x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误；C、x3⋅x4=x7，此选项正确；D、2x3−x3=x3，此选项错误；故选：C．分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断．本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则．6.答案：A解析：本题考查等腰直角三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．如图，过点B作BH⊥AC于H.结合勾股定理及30°角的直角三角形的性质求出AD，BH即可解决问题．解：如图，过点B作BH⊥AC于H．∵BA=BC=4，∠ABC=90°，BH⊥AC，∴AC=√42+42=4√2，AH=CH=BH=2√2，在Rt△BDH中，∵∠BHD=90°，∠BDA=30°，∴DH=√3BH=2√6，∴AD=2√6−2√2，∴S △ADB =12⋅AD ⋅BH =12⋅(2√6−2√2)⋅2√2=4√3−4，故选A ． 7.答案：D解析：【试题解析】本题考查了两直线相交的问题，第一象限内点的横坐标是正数，纵坐标是正数，以及一元一次不等式组的解法，把a 看作常数表示出x 、y 是解题的关键．联立两直线解析式，解关于x 、y 的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可．解：根据题意，得{y =x +1y =−2x +a， 解得：{x =a−13y =a+23， ∵交点在第一象限，∴{a−13>0a−23>0， 解得：a >1．故选D ．8.答案：A解析：解：∵菱形ABCD 中∠ABC =60°，∴AB =BC ，OA =OC ，∴△ABC 是等边三角形，∵AC =4，∴OA =2，OB =2√3，∴△ABC 的面积=12AC ⋅OB =12×4×2√3=4√3，∵点E是AB中点，OA=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴△BOE的面积=14△ABC的面积=14×4√3=√3，故选：A．根据菱形的性质和三角形中位线定理和三角形的面积公式以及菱形的面积公式解答即可．此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和三角形中位线定理和三角形的面积公式以及菱形的面积公式解答．9.答案：D解析：此题考查圆周角定理，垂径定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°.连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．解：连接OC交AB于点E，连接OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵点C为AB⏜的中点，∴OC⊥AB，∴AB=2AE，在Rt△OAE中，OA=5，∴AE=OA·sin60°=5√32，∴AB=5√3，故选D．10.答案：B解析：解：函数的对称轴为：x=−1，与x轴的一个交点坐标为(1,0)，则另外一个交点坐标为：(−3,0)，故：y<0时，x<−3或x>1，故选：B．函数的对称轴为：x=−1，与x轴的一个交点坐标为(1,0)，则另外一个交点坐标为：(−3,0)，即可求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，及这些点代表的意义及函数特征．11.答案：2解析：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式，根据无理数是无限不循环小数，可得答案．，1.3是有理数；解：3.16，−10，−2272π，1.2121121112…(每两个2之间依次多1个1)是无理数．故选2．12.答案：8解析：解：设此多边形的边数为x，由题意得：(x−2)×180=1620，解得；x=11，从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：11−3=8，故答案为：8．首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180(n−2)．13.答案：2.解析：本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形相似是解决问题的关键．过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AC 于D ，则∠ACO =∠BDA =90°，OC =1，AC =n ，先判定△AOC∽△BAD ，即可得到AD =32，BD =32n ，进而得出B(1+32n,n −32)，依据k =1×n =(1+32n)(n −32)可得到n 的值，即可得到k 的值．解：如图，过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AC 于D ，则∠ACO =∠BDA =90°，OC =1，AC =n ，∵∠BAO =90°，∴∠CAO +∠BAC =∠ABD +∠BAC =90°，∴∠CAO =∠DBA ， ∴△AOC∽△BAD ，∴ADOC =BDAC=AB OA ，即AD 1=BD n =32， ∴AD =32，BD =32n ，∴B(1+32n,n −32)，∵k =1×n =(1+32n)(n −32)，解得n =2或n =−0.5(舍去)，∴k =1×2=2，故答案为2． 14.答案：12a解析：解：过P 作PF//BC 交AC 于F ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =∠B =∠A =60°，∵PF//BC ，∴∠APF =∠B =60°，∠AFP =∠ACB =60°，∴∠APF =∠AFP =∠A =60°，∴△APF 是等边三角形，∴AP =PF ，∵AP =CQ ，∴PF =CQ ，∵PF//BC ，∴∠FPD =∠Q ，在△FPD 和△CQD 中{∠FPD =∠Q∠FDP =∠CDQ PF =CQ∴△FPD≌△CQD(AAS)，∴FD =DC ，∵AP =PF ，PE ⊥AF ，∴AE =EF ，∴DE =FE +DF =CD +AE =12AC =12a ， 故答案为：12a.过P 作PF//BC 交AC 于F ，推出△APF 是等边三角形，推出AP =PF =CQ ，求出∠FPD =∠Q ，根据AAS 证△FPD≌△CQD ，推出FD =DC ，根据等腰三角形性质得出AE =EF ，求出DE =FE +DF =12AC ，代入求出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．15.答案：解：方程两边同乘以3(x−2)得：12x−15+6x−12=2x+9，，解：x=94经检验x=9是原方程的根．4解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．−116.答案：解：原式=4−2√2+2×12=4−2√2+1−1=4−2√2．解析：直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.答案：(1)证明：连接OE．∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠EBC，∴∠EBC=∠OEB，∴OE//BC，∴∠OEA=∠C，∵∠ACB=90°，∴∠OEA=90°，∴AC是⊙O的切线；(2)解：设⊙O的半径为r．过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH=CE=4，CH=OE=r，∴BH=FH=CH−CF=r−2，在Rt△BHO中，∵OH2+BH2=OB2，∴42+(r−2)2=r2，解得r=5．∴⊙O的半径为5．解析：本题考查了圆的切线的判定、角平分线定义和平行线的性质、勾股定理、垂径定理等知识，在圆中常利用勾股定理计算圆中的线段．(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得：OE//BC，所以OE⊥AC，则AC是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为r.过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，根据矩形的性质得到OH=CE=4，CH=OE=r，求得BH=FH=CH−CF=r−2，根据勾股定理即可得到结论．18.答案：5解析：连接CP时，可以证明△APD≌△CPD，然后根据全等三角形的性质可以得到AP=CP，由已知条件可以得出四边形PECF是矩形，根据矩形对角线相等可得PC=EF，结合已知条件利用勾股定理可求出EF的长，求出EF的长即可得AP的长．【详解】如图，连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADP=∠CDP，∵PD=PD，∴▵APD≌▵CPD，∴AP=CP，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90∘，∵PE⊥DC，PF⊥BC，∴四边形PFCE是矩形，∴PC=EF，∵∠DCB=90∘，∴在Rt▵CEF中，EF2=CE2+CF2=42+32=25，∴EF=5，∴AP=CP=EF=5．本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质得出AP与CP相等是解题的关键．19.答案：解：(1)50，20%，12%．(2)在扇形图中，0～14岁的居民占20%，有3500人，则年龄在15～59岁的居民占(1−20%−12%)=68%，人数为3500×6820=11900(人)．故年龄在15～59岁的居民的人数为11900人．解析：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．解：(1)根据“15～40”的百分比和频数可求总数，进而求出a的值，最后求出b；因为“15到40”的百分比为46%，频数为23人，可求总数为23÷46%=50，a=1050×100%=20%，b=650×100%=12%；故(1)答案为：50，20%；12%；根据“15～40”的百分比和频数可求总数，进而求出a的值，最后求出b；(2)见答案．20.答案：解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD=150°，∴∠DCF=30°，又CD=4，∴DF=2，CF=√CD2−DF2=2√3，由题意得∠E=30°，∴EF=DEtanE=2，∴BE=BC+CF+EF=6+4，∴AB=BE×tanE=(6+4)×√33=(2+4)米，答：电线杆的高度为(2√3+4)米．解析：本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．21.答案：解：(1)设按计划全部售出后的总利润为y元，其中批发量为xkg．由题意可知零售量为(2000−x)kg，根据题意得：y=6x+12(2000−x)，整理得y与x之间的函数关系式为：y=−6x+24000．(2)由题意得{x≥02000−x≥0 2000−x≤4x解得：400≤x≤2000.∵−6<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=400时，y有最大值，且y最大=21600元，∴最大利润为21600元．答：该农户按计划全部售完后获得的最大利润21600元．解析：本题考查了总利润=批发的利润+零售的利润，一元一次不等式组的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．(1)根据总利润=批发的利润+零售的利润，就可以得出结论；(2)由(1)的解析式，根据零售量不超过批发量的4倍，建立不等式组求出x的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．22.答案：解：(1)列表得(2)若点A在y=x图象上，则a=b，由(1)得P(a−b)=416=14因此，点A(a,b)在函数y=x图象上的概率为14．解析：[分析]依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．[详解]解：(1)列表得：ab1 2 3 41 (1,1)(2,1)(3,1)(4,1)2 (1,2)(2,2)(3,2)(4,2)3 (1,3)(2,3)(3,3)(4,3)4 (1,4)(2,4)(3,4)(4,4)因此，点A(a,b)的个数共有16个；(2)若点A在y=x上，则a=b，由(1)得P(a=b)=416=14，因此，点A(a,b)在函数y=x图象上的概率为14．[点睛]列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比23.答案：解：(1)如图，连接OE，∵∠ACB=90°，∴∠1+∠5=90°．∵CE=BC，∴∠1=∠2．∵OE=OD，∴∠3=∠4．又∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴∠2+∠3=90°，即∠OEC=90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．(2)在Rt△BCD中，∠DCB=90°，CD=2，BD=2√5，BC=CE=4．设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，OC=r+2，在Rt△OEC中，∠OEC=90°，∴OE2+CE2=OC2，∴r2+42=(r+2)2，解得r=3，∴⊙O的半径为3．解析：(1)连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，由∠1+∠5=90°得到∠2+∠3= 90°，得∠OEC=90°，于是得到结论；(2)设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，OC=r+2，由OE2+CE2=OC2得到关于r的方程，即可求出半径．本题考查的是切线的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键．24.答案：解：(1)由x2−2x−3=0，得x=−1或x=3．∵x1<x2，∴x1=−1，x2=3，∴A(−1,0)，B(3,0)；(2)把A，B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+2联立求解，得a=−23,b=43.(2分)∴此抛物线的解析式为y=−23x2+43x+2．∵当x=0时，y=2，∴C(0,2)．设AC的解析式为y=kx+n(k≠0)，把A，C两点坐标分别代入y=kx+n，联立求得k=2，n=2．∴直线AC的解析式为y=2x+2；(3)假设存在满足条件的点P，并设直线y=m与y轴的交点为F(0,m)①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2，如图1，则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形，∴DE=DP1=FO=EP2=m．∵AB=x2−x1=4，又∵DE//AB，∴△CDE∽△CAB，∴DEAB =CFOC，即m4=2−m2．解得m=43．∴点D的纵坐标是43．∵点D在直线AC上，∴2x+2=43，解得x=−13，∴D(−13,43 )．∴P1(−13,0)．同理可求P2(1,0)．②如图2，当DE为底边时，过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3∵P3D=P3E，∠DP3E=90°，∴DG=EG=GP3=m，由△CDE∽△CAB，得DEAB =CFOC，即2m4=2−m2，解得m=1．同①方法求得D(−12,1),E(32,1)，∴DG=EG=GP3=1．∴OP3=FG=FE−EG=12，∴P3(12,0)．综上所述，满足条件的点P共有3个，即P1(−13,0),P2(1,0),P3(12,0)．如有其他解(证)法，请酌情给分．解析：(1)由于抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)(x1<x2)，且x1，x2是方程x2−2x−3=0的两个实数根，那么解方程x2−2x−3=0即可得到点A，B的坐标；(2)首先把A，B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+2可以得到关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b的值，同时可以得到c的值，最后利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；(3)假设存在满足条件的点P，并设直线y=m与y轴的交点为F(0,m)．①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2，如图1，则△P1DE和△P2ED 都是等腰直角三角形，然后证明△CDE∽△CAB，接着利用相似三角形的性质求出m，然后求出点D 的纵坐标，也就求出了P的坐标；②如图2，当DE为底边时，过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3.同样的方法可以求出D的纵坐标，也就求出了P的坐标．本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和相似三角形的性质与判定及待定系数法确定函数的解析式．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．25.答案：(1)解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=60°，∠B=70°，∴∠D=∠B=70°，∴∠C=360°−70°−70°−60°=160°；(2)证明：如图2，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC−∠ABD=∠ADC−∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD；(3)解：分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=10，AD=8，∴∠E=30°，∴AE=2AB=20，∴DE=AE−AD=20−8▵12，∵∠EDC=90°，∠E=30°，=4√3，∴CD=√3∴AC=√AD2+CD2=√82+(4√3)2=4√7；②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，∵∠DAB=60°，AD=8，AB=10，∴∠ADM=30°，∴AM=1AD=4，2∴DM=√3AM=4√3，∴BM=AB−AM=10−4=6，∵四边形BNDM是矩形，∴DN=BM=6，BN=DM=4√3，∵∠BCD=60°，∴CN==2√3，√3∴BC=CN+BN=6√3，∴AC=√AB2+BC2=√102+(6√3)2=4√13．综上所述：AC的长为4√7或4√13．解析：(1)根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=70°，根据四边形内角和定理求出∠C即可；(2)连接BD，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；(3)分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，先用含30°角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN=BM=6，BN=DM=4√3，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可．本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(3)中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果．。