2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)和答案

2020年西安市西工大附中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素个数为()A. 2B. 3C. 4D. 62.若复数z=a−2i在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则|z|=()2A. 2B. √2C. 1D. 2√23.自古以来“民以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着重要作用.某机构统计了2010～2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确的是()A. 2010～2016年全国餐饮收入逐年增加B. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个C. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年D. 2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A. 14B. 15C. 16D. 175.设a=0.512,b=0.914,c=log0.3，则a,b,c的大小关系是()．5A. a >c >bB. c >a >bC. a >b >cD. b >a >c6. 从正方形四个顶点中任取2个点，则这2个点间的距离大于该正方形边长的概率为( ) A. 16 B. 13 C. 12 D. 237. 我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球．嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ，远地点到地心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m 、2n(近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点)，则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率( )A. 不变B. 变小C. 变大D. 无法确定8. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，CA =CB =CC 1=1，则直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为( )A. √22B. √155C. √33D. √639. 已知函数f(x)=sinωx (ω>0)的图象关于点(2π3,0)对称，且f(x)在[0,π4]上为增函数，则ω=( ) A. 32 B. 3 C. 92 D. 610. 已知函数f(x)=e x ,g(x)=a √x(a ≠0)，若函数y =f(x)的图象上存在点P(x 0,y 0)，使得y =f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线与y =g(x)的图象也相切，则a 的取值范围( )A. (0,1]B. (0,√2e]C. (1,√2e]D. (1√2e ,2e) 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左焦点为F ，过点F 作圆O ：x 2+y 2=14b 2的切线，切点为M ，且交双曲线C 右支于点N.若FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. 3x ±y =0B. x ±3y =0C. 2x ±y =0D. x ±2y =012. 已知函数g (x )(x ∈R )是偶函数，且g(2+x)=g(2−x)，当x ∈[0,2]时，g(x)=1−x ，则方程g(x)=11−|x |在区间[−10,10]上的解的个数是( ).A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,m)，a⃗+b⃗ =(1,2)，若a⃗//(a⃗+3b⃗ )，则实数m=________．14.设(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则代数式a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为________．15.数列{a n}中，若a n+a n+1=7n+5，n∈N∗，则a1+a100=______ ．16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN//平面B1BDD1．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中，AB=3，AC=5，D是边BC上的点，AB⊥AD，sinC⋅tan∠ADC=−33．70(1)求cos B；(2)求△ABC的面积．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥平面BCC1B1，AC=1，BC=√3，BB1=2，∠B1BC=30°．(1)证明：B1C⊥平面ABC．(2)求二面角B1−A1C−C1的余弦值．19.设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P(2,4)，过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k PA，k PB．(1)求抛物线的方程；(2)若k PA+k PB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；(3)若k PA⋅k PB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．20.《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量差在(μ−σ,μ+σ)内的产品为优等品，质量差在(μ+σ,μ+2σ)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：(1)根据频率分布直方图，求样本平均数x；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973⋅(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求随机变量X的分布列及期望值．21.已知函数f(x)=(x−1)lnx+ax2+(1−a)x−1.(1)当a=−1时，判断函数的单调性；(2)讨论f(x)零点的个数．22. 将参数方程{x =2+sin 2θy =sin 2θ(θ为参数)化为普通方程．23. 已知函数f(x)=|2x −a|+|2x +3|，g(x)=|3x −2|．(1)解不等式g(x)<|2x +1|；(2)若对任意的x 1∈R ，任意的x 2∈[0,1]，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用交集定义求出A ∩B ={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}.由此能求出A ∩B 中元素的个数． 解：∵集合A ={(x,y)|x ，y ∈N ∗，y ≥x}，B ={(x,y)|x +y =8}，∴A ∩B ={(x,y)|{y ≥x x +y =8,x,y ∈N ∗}={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}． ∴A ∩B 中元素的个数为4．故选：C ．2.答案：B解析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z 对应的点在直线x +y =0上列式求得a ，则答案可求． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 解：因为复数z =a−2i 2=a 2−i ，所以复数z =a−2i 2在复平面内对应的点的坐标为(a 2,−1)，由复数z =a−2i 2在复平面内对应的点在直线x +y =0上，可得a 2−1=0⇒a =2，z =1−i ，|z|=√12+(−1)2=√2，故选B ．3.答案：B解析：本题考查条形图的性质的基础知识，是基础题．2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共两年．解：由条形数得：在A中，2010～2016年全国餐饮收入逐年增加，故A正确；在B中，2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共2个，故B错误；在C中，2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年，故C正确；在D中，2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上，故D正确．故选B．4.答案：C解析：本题考查程序框图，理解程序的功能是解题的关键．根据程序框图，，当n=14时，，所以到n=15得到S<−3，因此将输出n=15+1=16．故选C．5.答案：D解析：本题考查了指数函数性质与对数运算，比较大小，属于基础题．解：a=0.512=0.2514,b=0.914>0.2514>0,c=log50.3<0，所以b>a>c．故选D．6.答案：B解析：解：从正方形ABCD四个顶点中任取2个点，有AB，BC，CD，DA，AC，BD共有6种结果，若这2个点间的距离大于该正方形边长，则为AC，BD，2个结果，则对应的概率P=26=13，利用列举法分别列举出对应事件的个数，结合古典概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查概率的计算，利用列举法是解决本题的关键．7.答案：A解析：本题考查椭圆离心率的计算，考查学生的计算能力，比较基础．利用离心率公式，分别求出离心率，即可得出结论．解：由题意，第一次变轨前有：a−c=m，a+c=n，则2a=m+n，2c=n−m，∴e=ca =n−mn+m，第二次变轨后有：a′−c′=2m，a′+c′=2n，则2a′=2(m+n)，2c′=2(n−m)，∴e′=c′a′=n−mn+m，∴e=e′．故选：A．8.答案：C解析：根据几何性质得出直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，转化为直角三角形△A1C1B求解，利用边长的关系求解．本题综合考查了直棱柱的几何性质，运用平面问题求解空间角，注意空间思维能力，运算能力的考查，属于中档题．解：∵直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°∴A1C1⊥CC1，A1C1⊥B1C1，∵CC1∩B1C1=C1，∴A1C1⊥面BB1C1C，∴直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，∵CA=CB=CC1=1，AB=√2∴Rt△A1C1B中A1C1=1，A1B=√3，∴sin∠A1BC1=3=√33，9.答案：A解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，是中档题．f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，可得ω=32k(k∈Z)，f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，可得πω4≤π2且ω>0，由此可解．解：因为函数f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，所以2ω3π=kπ(k∈Z)，即ω=32k(k∈Z)①，又函数f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，所以πω4≤π2且ω>0，所以0<ω≤2②，由①②得ω=32．故选A．10.答案：B解析：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求参数的范围问题，属于综合题．解：由题意f(x)=e x，在点P(x0,y0)处的切线，y=e x0x+e x0(1−x0)，∵g(x)=a√x(a≠0)，∴g′(x)=2x ，令2x=e x0，则知a>0，解得x=a24e2x0，。

陕西省西北工业大学附属中学2020届高三数学考前模拟练习试题理（含解析）第Ⅰ卷选择题（共60分）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若（，是虚数单位），则等于（）A. 3B. 2C. 0D.【答案】A【解析】，因，故，所以，选A.2.命题:“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得 ,因为 ,因此一个充分不必要条件是,选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程得出的值，再求双曲线的离心率．【详解】已知双曲线的渐近线方程为，且，所以，得.，所以双曲线的离心率为.故选：B【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，属于基础题．4.下列说法错误的是（）A. 回归直线一定经过样本点中心B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近1C. 对分类变量与，若越大，则“与有关的把握程度越小”D. 在回归方程中，每当随机变量每增加1个单位时，预报变量就平均增加0.2个单位【答案】C【解析】根据相关定义分析知A、B、D正确；C中对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”的招把握程度越大，故C不正确，故选C．5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，可得答案．【详解】由程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，由于.故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6.已知过球面上三点，，的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积． 【详解】如图，设球的半径为R ，O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为r ， 则OO ′⊥面ABC ．在Rt△ACD 中，cos A ，则sin A ．在△ABC 中，由正弦定理得2r ，r，△ABC 外接圆的半径，．故选：C ．【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题．7.从1，2，3，4，5，6，7中取出两个不同数，记事件为“两个数之和为偶数”，事件为“两个数均为偶数”，则（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】用列举法求出事件A ，事件B 所包含的基本事件的个数，求P （A ），P （AB ），根据条件概率公式，即可得到结论．【详解】事件A 为“两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（1，7），（3，5）、（3，7），（5，7），（2，4），（2，6），（4，6），∴P（A）＝，事件B为“两个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），（2，6），（4，6），∴P（AB）＝，∴P（B|A）＝．故选：A．【点睛】本题考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．属于基础题．8.将多项式分解因式得，为常数.若，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】由可得=5m-2=-7,m=-1，.【详解】因为的通项公式为，=x+（-2）=(5m-2)，=5m-2，又，5m-2=-7,m=-1,=2，故选D.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设正方体的棱长为，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，所以正方体切掉部分的体积为，所以剩余部分体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比为，故选D．考点：几何体的三视图及体积的计算．10.将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数图象经过放缩变换与平移变换后可得，由可得结果.【详解】函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，再向左平移后得到，因为的图象关于于对称，，解得，当时，，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11.如图所示，为的外心，，，为钝角，为边的中点，则的值为（）A. B. 12 C. 6 D. 5【答案】D【解析】分析】取的中点，且为的外心，可知，所求，由数量积的定义可得，代值即可．【详解】如图所示，取的中点，且为的外心，可知，∵是边的中点，∴ .，由数量积的定义可得，而，故；同理可得，故.故选：D．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若当时，恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．故选：B．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.若直线被圆截得的弦最短，则______；【答案】【解析】直线y＝kx＋1恒过定点A(0,1)，要使截得的弦最短，需圆心(1,0)和A点的连线与直线y ＝kx＋1垂直，所以k·＝－1，即k＝1.14.已知数列为等差数列，且，，则______；【答案】2【解析】【分析】由为等差数列，且，利用等差数列的性质得到的值，然后求定积分即可．【详解】因为为等差数列，由等差数列的性质，得，即. 所以，所以，所以.故答案为：2．【点睛】本题考查了等差数列的性质、定积分等知识，属于基础题．15.若实数，满足且的最小值为4，则实数的值为______；【答案】【解析】试题分析：画出可行域（如图阴影部分所示）和直线：，观察图形，知直线过直线和的交点时，取得最小值，即，解得，所以实数的值为.考点：线性规划问题.【易错点晴】线性规划问题是数学考试中常见题。

西工大附中2020级高三月考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，{}(,)|3x B x y y ==，则A B I 中的元素的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 4 2.复数2312i z i +=+-在复平面内对应的点到原点的距离是( )A.B.C.D. 3.虚拟现实（VR ）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR 技术后，VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR 市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是( )A. 该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍B. 该地区2019年的VR 硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C. 该地区2019年的VR 软件收入是2018年的软件收入的3倍D. 该地区2019年的VR 软件收入是2017年的软件收入的6倍4.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为0，则中可填入( )A. 2m m =+B. 1=+m mC. 1m m =-D. 2m m =-5.设124a -=，141log 5b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是( )A. 115B. 110C. 13D. 1307.1970年4月24日，我国发射了自己第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是( )A. 卫星向径的最小值为a c -B. 卫星向径的最大值为a c +C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大8.已知在斜三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BF EA FB =，14AA =，ABC V 的面积为5，截面1C EF 与截面CEF 将三棱柱111ABC A B C -分成三部分.若中间部分的体积为4，则1AA 与底面所成角的正弦值为( ) 的A. 12B. 35C. 45D. 29.已知()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A. 或0B. 12-C. 12D. 10.已知直线l 与曲线x y e =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点.若OAB V 的面积为3e ，则点P 的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 411.知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF V 的内切圆与边2AF 切于点B .若124||FF AB =，则C 的渐近线方程为( )A. 0y ±=B. 0x ±=C. 20x y ±=D. 20x y ±= 12.已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则( )A. sgn(())0f x >B. 404112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. sgn((2))0()f k k Z =∈D. sgn(())|sgn |()f k k k Z =∈二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(3,2)a =-r ，(1,1)b =-r ，若()a b a μ+⊥r r r ，则实数μ的值为________；若()//(2)a b a b μ++r r r r ，则实数μ的值为________.14.若对12233(1)1n n n n n n n x C x C x C x C x +=+++++…两边求导，可得11232(1)23n n n n n x C C x C x-+=++1n n n nC x -++…，通过类比推理，有723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，可得1234567234567a a a a a a a ++++++值为________.15.已知数列{}n a 中，111a =，121n n a a n n+=++，若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立，则实数t 的取值范围是________. 16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是a ，S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点，点Q 在正方形11DCC D 及其内部运动，若//PQ 平面1SBC ，则点Q 的轨迹的长度是________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图所示，在ABC V 中，点D 在边BC 上，且90DAC ︒∠=，cos 3DAB ∠=，AB =.（1）若sin 3C =，求BC 的值； （2）若BC 边上的中线2AE =，求AC 的值.18.如图，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==，四边形ADEF 是矩形，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF AD λ=.（1）证明：DE ⊥平面ABCD ；（2）若二面角B CF D --，求λ的值. 19.如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆22:(3)(2)16E x y -+-=与C 交于M ，N 两点，且M ，E ，F ，N 四点共线.（1）求抛物线C 的方程；（2）设动点P 在直线1x =-上，存在一个定点(,0)(0)T t t ≠，动直线l 经过点T 与C 交于A ，B 两点，直线PA ，PB ，PT 的斜率分别记为1k ，2k ，3k ，且2132k k k +-为定值，求该定值和定点T 的坐标. 20.随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求这300名员工日行步数x （单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数； （3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额X （单位：元）的分布列和数学期望. 附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)P μσξμσ-<≤+0.9545≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.21.已知函数()()21ln f x a x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，()212x x x <是()f x 的两个零点，求证：212ln 10e a x x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线2C 的参数方程为2x at y t=-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）. （1）求1C 和2C 直角坐标方程；（2）若1C 和2C 相交于A 、B 两点，以线段AB 为一条边作1C 的内接矩形ABCD ，当矩形ABCD 的面积取最大值时，求a 的值.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|||22|()f x x a x a R =+--∈.（1）证明：()||1f x a ≤+；（2）若2a =，且对任意x ∈R 都有(3)()k x f x +≥成立，求实数k取值范围.的。

高一下学期第一次网课测试（3月）数学试题一．选择题：（3×12＝36分）1．已知△ABC 中，c 2=a 2+b 2−√3ab ，那么角C 的大小是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知点P （﹣3，5），Q （2，1），向量m →=（2λ﹣1，λ+1），若PQ →∥m →，则实数λ等于（ ） A ．113B ．−113C ．13D ．−133．已知△ABC 中，a ＝1，b =√3，A ＝30°，则B 等于（ ） A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°4．已知平面向量a →=(−2，x)，b →=(1，√3)，且(a →−b →)⊥b →，则实数x 的值为（ ） A ．−2√3B ．2√3C ．4√3D ．6√35．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为（ ）A ．√3a kmB ．a kmC ．√2a kmD ．2a km6．在△ABC ，已知a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN →=13NM →，若AN →=λAB →+μAC →（λ，μ∈R ），则λ+μ的值为（ ） A ．14B ．13C ．1D ．48．在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD＝3，则AN →⋅MN →=（ ） A ．−√7B ．0C ．√7D ．79．平面内△ABC 及一点O 满足AO →⋅AB →|AB →|=AO →⋅AC →|AC →|，CO →⋅CA →|CA →|=CO →⋅CB →|CB →|，则点O 是△ABC 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，且sin A +sin C ＝2sin B ，则b 的值为（ ） A ．4+2√3B ．4﹣2√3C ．√3−1D ．√3+111．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC =√2，D ，E 是线段BC 上的点，且DE =13BC ，则AD →•AE →的取值范围是（ ）A ．[89，43]B ．[43，83]C ．[89，83]D ．[43，+∞)12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2√2且△ABC 面积为S =√312(b 2−a 2−c 2)，则△ABC 面积S 的最大值为（ ） A ．2−√3B ．4−2√3C ．8−4√3D ．16−8√3二.填空题（36＝18分）13．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，AC ＝3，则△ABC 的面积等于 ．14．已知点A （﹣1，1）、B （0，3）、C （3，4），则向量AB →在AC →方向上的投影为 ．15．已知向量a →=（4，2），b →=（λ，1），若a →+2b →与a →−b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为 ． 16．若满足条件AB =√3，C =π3的△ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是 ． 17．已知△ABC 是锐角三角形，若A ＝2B ，则ab 的取值范围是 ．18．如图，等腰三角形ABC ，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°．E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，且满足AE →=m AB →，AF →=n AC →，其中m ，n ∈（0，1），m +n ＝1，M ，N 分别是EF ，BC 的中点，则|MN |的最小值为 ．三.解答题（共46分）19．（8分）设e 1→，e 2→是两个不共线向量，知AB →=2e 1→−8e 2→，CB →=e 1→+3e 2→，CD →=2e 1→−e 2→． （1）证明：A 、B 、D 三点共线（2）若BF →=3e 1→−k e 2→，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．20．（8分）已知角A 、B 、C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m →=(2√3sin A2，2cos 2A2)，n →=(cos A2，−1)，m →⊥n →． （1）求角A 的大小； （2）若a =2，cosB =√33，求b 的长．21．（10分）已知|a →|=4，|b →|=3，(2a →−3b →)⋅(2a →+b →)=61 （1）求a →与b →的夹角θ； （2）求|a →+b →|．22．（10分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b cos C +c ＝2a ． （1）求角B 的大小；（2）若BD 为AC 边上的中线，cos A =17，BD =√1292，求△ABC 的面积．23．（10分）已知函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π6)． （1）求f （x ）的对称轴所在直线方程及其对称中心；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且f(A2)=√32，a ＝4，求△ABC 周长的取值范围．。

2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，B＝{（x，y）|y＝3x}，则A ∩B中的元素的个数是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）复数在复平面内对应的点到原点的距离是（）A．B．C．D．3．（5分）虚拟现实（VR）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）A．该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍B．该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C．该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍D．该地区2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的6倍4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为0，则中可填入（）A．m＝m+2B．m＝m+1C．m＝m﹣1D．m＝m﹣2 5．（5分）设a＝4，b＝log，c＝log43，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A和区域B标记的数字丢失．若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A．B．C．D．7．（5分）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是（）A．卫星向径的最小值为a﹣cB．卫星向径的最大值为a+cC．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大8．（5分）已知在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别在侧棱AA1，BB1上（与顶点不重合），＝，AA1＝4，△ABC的面积为5，截面C1EF与截面CEF将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成三部分．若中间部分的体积为4，则AA1与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）是R上的奇函数，若f（x）的图象关于直线对称，且f（x）在区间内是单调函数，则＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线l与曲线y＝e x相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若△OAB的面积为，则点P的个数是（）A．1B．2C．3D．411．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．B．C．2x±y＝0D．x±2y＝0 12．（5分）已知符号函数，偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则（）A．sgn（f（x））＞0B．C．sgn（f（2k））＝0（k∈Z）D．sgn（f（k））＝|sgnk|（k∈Z）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，，若，则实数μ的值为；若，则实数μ的值为．14．（5分）若对（1+x）n＝1+x+x2+x3+…+x n两边求导，可得n（1+x）n﹣1＝+x+x2+…+x n﹣1．通过类比推理，有（5x﹣4）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为．15．（5分）已知数列{a n}中，a1＝11，，若对任意的m∈[1，4]，存在n∈N*，使得成立，则实数t的取值范围是．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是a，S是A1B1的中点，P是A1D1的中点，点Q在正方形DCC1D1及其内部运动，若PQ∥平面SBC1，则点Q的轨迹的长度是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且∠DAC ＝90°，，．（1）若，求BC的值；（2）若BC边上的中线AE＝2，求AC的值．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．（1）证明：DE⊥平面ABCD；（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为，求λ的值．19．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，圆E：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16与C交于M，N两点，且M，E，F，N四点共线．（1）求抛物线C的方程；（2）设动点P在直线x＝﹣1上，存在一个定点T（t，0）（t≠0），动直线l经过点T与C交于A，B两点，直线PA，PB，PT的斜率分别记为k1，k2，k3，且k1+k2﹣2k3为定值，求该定值和定点T 的坐标．20．（12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助．某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）．按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数ξ∈（14，18]的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8～14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元．求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．21．（12分）已知函数f（x）＝．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）若C1和C2相交于A、B两点，以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，当矩形ABCD的面积取最大值时，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|（a∈R）．（1）证明：f（x）≤|a|+1；（2）若a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）成立，求实数k的取值范围．2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】作出椭圆+y2＝1和y＝3x的图象，结合图形得A∩B中的元素的个数是2．【解答】解：集合，B＝{（x，y）|y＝3x}，作出椭圆+y2＝1和y＝3x的图象，如下：结合图形得A∩B中的元素的个数是2．故选：B．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵＝，∴z在复平面内对应的点到原点的距离是|z|＝．故选：C．3．【分析】设2017年VR市场总收入为1，根据统计图，逐一判断即可．【解答】解：设2017年VR市场总收入为1，A，地区2019年的VR市场总收入为4，是2017年的4倍，正确；B，2017年和2018年的硬件收入总和为1×0.9+2×0.8＝2.5＜4×0.7＝2.8，故正确；C，2019年的VR软件收入1.2是2018年的软件收入0.4的3倍，正确；D，错误，2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的12倍，故选：D．4．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次，S＝2×（4﹣2）＝4，S≤0否；若m＝m+2＝6；第二次，S＝4×（6﹣4）＝8，S≤0否；m＝m+2＝8；第三次，S＝8×（8﹣8）＝0，S≤0，是，输出S＝0；正确；若m＝m+1＝5；第二次，S＝4×（5﹣4）＝4，S≤0否；m＝m+1＝6；第三次，S＝4×（6﹣4）＝8，S≤0，否；m＝m+1＝7，第四次，S＝8×（7﹣8）＝﹣8，S≤0是；输出S＝﹣8；与S＝0矛盾，舍去；若m＝m﹣1＝3；第二次，S＝4×（3﹣4）＝﹣4，S≤0是；输出S＝﹣4，与S＝0矛盾，舍去；若m＝m﹣2＝2第二次，S＝4×（2﹣4）＝﹣8，S≤0是；输出S＝﹣8，与S＝0矛盾，舍去；故输入m＝m+2，输出的S的值为0，故选：A．5．【分析】可以得出，，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：，，∴a＜c＜b．故选：B．6．【分析】要想符合要求，1出现的次数尽可能的多，当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大．【解答】解：要想符合要求，1出现的次数尽可能的多；所以：当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大，此时所在的小方格个数n＝5×6＝30，标记为1的区域中小方格的个数m＝10，∴恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是P＝＝．故选：C．7．【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由向径的意义可得最小值与最大值的比越小时，离心率越大，椭圆越扁，进而可得所给命题的真假．【解答】解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a﹣c，最大值为a+c，所以A，B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即＝＝﹣1+越小，则e越大，椭圆越扁，故C正确．因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，即D不正确；故选：D．8．【分析】由题意可得中间部分的体积为原三棱柱体积的三分之一，得到原三棱柱的体积，设AA1与底面所成角为α，由棱柱体积公式列式求得sinα的值．【解答】解：如图，过EF作平面EFG∥底面ABC，则，，可得中间部分的体积为V＝＝4，∴，设AA1与底面所成角为α，则S△ABC•AA1•sinα＝12，又AA1＝4，△ABC的面积为5，∴20sinα＝12，即sin．∴AA1与底面所成角的正弦值为．故选：B．9．【分析】首先利用函数的奇偶性求出φ的值，进一步求出函数的关系式为f（x）＝﹣sinωx，进一步利用（x）的图象关于直线对称，整理得ω＝4k+2，最后利用函数的单调性的应用求出ω的值，从而确定函数的关系式，最后求出函数的值．【解答】解：f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）是R上的奇函数，所以φ＝kπ，k∈Z，当k＝1时，φ＝π．所以f（x）＝sin（ωx+π）＝﹣sinωx，由于f（）＝﹣sin（ω）＝±1，所以ω＝kπ（k∈Z），整理得ω＝k+，整理得ω＝4k+2．当k＝0时，ω＝2，函数f（x）＝﹣sin2x，由于x∈，所以，故函数是单调递减函数．当k＝1时ω＝4+2＝6，函数f（x）＝﹣sin6x，由于x∈，所以，由于内单调，故函数不为单调函数．当k＝2时，ω＝10，函数f（x）在区间内也不是单调函数，所以f（x）＝﹣sin2x，故f（）＝＝﹣．故选：A．10．【分析】设切点P（），写出函数在切点处的导数，得到切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，利用三角形面积公式列式可得．构造函数f（x）＝（x﹣1）2e x，利用导数研究其单调性与极值，则答案可求．【解答】解：设切点P（），由y＝e x，得y′＝e x，则，∴直线l的方程为，取y＝0，得x＝x0﹣1，取x＝0，得．∴，则．构造函数f（x）＝（x﹣1）2e x，f′（x）＝e x（x2﹣1）．令f′（x）＝0，得x＝±1．∴当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，可得f（x）先增后减再增，，f（x）极小值＝f（1）＝0．∵f（x）的极大值＜，∴当x≤1时，不存在点P满足题意；当x＞1时，f（x）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞．∴f（x）＝0有唯一解，则点P存在且唯一．故选：A．11．【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程即可．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．与MF1的切点为N，如图：设AB＝n，MB＝m，BF2＝t，由双曲线的定义可知：m+2n+t﹣m﹣t＝2a，可得n＝a，若|F1F2|＝4|AB|，所以2c＝4a，c＝2a，则b＝．所以双曲线的渐近线方程为：±y＝0．故选：A．12．【分析】本题先根据函数的周期性和奇偶性画出函数f（x）的图象，再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合法可对四个选项逐个判断，可得正确选项．【解答】解：依题意，由f（x+2）＝f（x），可知函数f（x）是以2为周期的周期函数．∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，f（x）是偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x．函数f（x）图象如下：根据图可得，0≤f（x）≤1，故sgn（f（x））≥0，选项A不正确；很明显，当x＝2k，k∈Z时，f（x）＝0，sgn（f（x））＝0，选项C正确；f（）＝f（2×1010+）＝f（）＝，故选项B不正确；当k＝2时，sgn（f（2））＝sgn（0）＝0，|sgn2|＝1，故选项D不正确故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】利用向量数量积与向量垂直、向量坐标运算与向量共线的关系即可得出．【解答】解：+μ＝（﹣3+μ，2﹣μ），2+＝（﹣5，3），∵，∴（+μ）•＝（﹣3+μ，2﹣μ）•（﹣3，2）＝﹣3（﹣3+μ）+2（2﹣μ）＝0，解得μ＝．∵，∴3（﹣3+μ）+5（2﹣μ）＝0，解得μ＝．故答案为：，．14．【分析】对已知式两边对x求导数，再利用x＝1，即可求得结果．【解答】解：∵（5x﹣4）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，两边对x求导数，可得7×5×（5x﹣4）6＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7＝35，故答案为：35．15．【分析】利用裂项法可求得a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1＝12﹣，而a n＝12﹣为递增数列，可求得a n的极限值（可作为最大值），于是所求可转化为对任意的m∈[1，4]，t2+mt＜12恒成立问题，通过构造函数h（m）＝tm+t2﹣12，则，解之即可．【解答】解：∵，∴＝﹣，∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（1﹣）+11＝12﹣，∵a n＝12﹣为递增数列，∴当n→+∞时，a n→12．∵对任意的m∈[1，4]，存在n∈N*，使得成立，∴对任意的m∈[1，4]，t2+mt＜12恒成立．令h（m）＝tm+t2﹣12，则，即，解得：﹣4＜t＜2，故答案为：（﹣4，2）．16．【分析】求出Q在正方形DCC1D1的位置，然后转化求解距离即可．【解答】解：要使PQ∥平面SBC1，作PE∥C1S，交C1D1于E，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是a，D1E＝C1D1＝，连接BD，取BD的中点O，连接PO，则PSBO为平行四边形，PO∥SB，取DF＝＝，连接OF，EF，所以PEFO为平行四边形，Q 在EF上，所以EF＝＝．点Q的轨迹的长度是：．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【分析】（1）由题意利用诱导公式可求sin∠BAC的值，在△ABC 中，由正弦定理可得BC的值．（2）由（1）可得sin∠BAC＝，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠BAC，利用平面向量的运算可得＝（+），两边平方后即可计算得解AC的值．【解答】解：（1）∵∠DAC＝90°，，．∴sin∠BAC＝sin（90°+∠DAB）＝，∵，∴在△ABC中，由正弦定理，可得：＝，可得：BC＝4．（2）∵由（1）可得sin∠BAC＝，∴cos∠BAC＝﹣，∵＝（+），可得2＝（+）2，又∵AE＝2，，∴可得4＝[6+AC2+2×]，可得3AC2﹣2AC﹣30＝0，∴解得AC＝或﹣（舍去）．18．【分析】（1）推导出AD⊥DE，BD⊥DE，由此能证明DE⊥平面ABCD．（2）DE⊥平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ．【解答】解：（1）证明：∵四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD＝BD，∴AD⊥DE，BD⊥DE，∵AD∩BD＝D，∴DE⊥平面ABCD．（2）解：∵在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．由（1）知DE⊥平面ABCD，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设CD＝2AB＝2AD＝2，则AF＝λ，则B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），F（1，0，λ），＝（1，﹣1，0），＝（1，﹣2，λ），＝（0，﹣2，0），设平面BCF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，），设平面CDF的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，0，﹣），∵二面角B﹣CF﹣D的正弦值为，∴|cos＜＞|＝＝||＝，解得λ＝2或λ＝．19．【分析】（1）由题意知E（3，2），设抛物线C的准线为直线l′，过M，N，E分别作直线l′的垂线，垂足分别为M′，N′，E′，则|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，从而|EE′|＝＝＝＝4，进而3+＝4，由此能求出抛物线C的方程；（2）设直线l的方程为x＝ky+t，与y2＝4x联立，得y2﹣4ky﹣4t＝0，由此利用根的判别式，韦达定理、直线与抛物线的位置关系，能求出k1+k2﹣2k3的值与k，y0无关，当且仅当t＝1时，定点为T （1，0），定值为0．【解答】解：（1）由题意知E（3，2），设抛物线C的准线为直线l′，过M，N，E分别作直线l′的垂线，垂足分别为M′，N′，E′，则|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，∴|EE′|＝＝＝＝4，∴3+＝4，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x．（2）由题意知，直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为x＝ky+t，与y2＝4x联立，得：y2﹣4ky﹣4t＝0，△＝16k2+16t＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣1，y0），y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4t，∴x1+x2＝k（y1+y2）+2t＝4k2+2t，x1x2＝，∴k1+k2﹣2k3＝++＝+＝，∴k1+k2﹣2k3的值与k，y0无关，当且仅当t＝1时，定点为T（1，0），定值为0．20．【分析】（1）以各组中点为该组的代表值加权平均即可；（2）依题意，日行步数ξ（千步）服从正态分布N（μ，σ2），由（1）知μ＝12，又σ的近似值为2，所以P（14＜ξ＜18）＝P（μ+σ＜ξ＜μ+3σ）代入即可；（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，确定随机变量X的所有可能的取值，分别求出，每个随机变量对应的概率，列出分布列求期望即可．【解答】解：（1）这300名员工日行步数的样本平均数为2（5×0.005+7×0.005+9×0.04+11×0.29+13×0.11+15×0.03+17×0.015+19×0.005）＝11.68≈12千步；（2）因为ξ～N（12，22），所以P（14＜ξ＜18）＝P（12+2＜ξ＜12+3×2）＝[P（6＜ξ＜18）﹣P（10＜ξ＜14）]＝0.1574，所以走路步数ξ∈（14，18）的总人数为300×0.1574≈47人；（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400，P（X＝0）＝0.022＝0.0004，P（X＝100）＝2×0.02×0.88＝0.0352，P（X＝200）＝0.882+2×0.02×0.1＝0.7784，P（X＝300）＝2×0.88×0.1＝0.176，P（X＝400）＝0.12＝0.01，所以X的分布列为：X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01E（X）＝100×0.0352+200×0.7784+300×0.176+400×0.01＝216．21．【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），求出导函数，通过①当a≤0时，②当a＞0时，判断导数的符号，判断函数的单调性即可．（2）利用f（x）有两个零，得到，推出a＞2e，要证原不等式成立，只需证明，利用分析法推出；另一方面，令，（x＞0），通过函数的导数，转化求解函数的最值，转化求解即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且，①当a≤0时，f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，故f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）证明：∵f（x）有两个零点，∴由（1）知a＞0且，∴a＞2e，要证原不等式成立，只需证明，只需证明，只需证明．一方面∵a＞2e，∴，∴，∴，且f（x）在单调递增，故；另一方面，令，（x＞0），则，当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0；故，故g（x）≥0即时x∈（0，+∞）恒成立，令，则，于是，而，故，且f（x）在单调递减，故；综合上述，，即原不等式成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数可得普通方程．直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．消去参数t可得普通方程；（2）由直线x＝﹣2+ay经过定点（﹣2，0），由于以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，因此矩形的对角线为圆的直径，都经过原点．可知：当矩形ABCD的面积取最大值时，四边形ABCD 为正方形．即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数可得：x2+y2＝4．直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．消去参数t可得：x＝﹣2+ay．（2）由直线x＝﹣2+ay经过定点（﹣2，0），由于以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，因此矩形的对角线为圆的直径，都经过原点．可知：当矩形ABCD的面积取最大值时，四边形ABCD为正方形．∴直线经过点（0，±2），代入可得：0＝﹣2±2a，解得a＝±1．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）将函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|化为f（x）＝|（2x﹣2）﹣（x﹣a﹣2）|﹣|2x﹣2|，利用绝对值不等式可得f（x）≤|x﹣a﹣2|（当且仅当（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0时取等号），进一步分析可证得结论成立；（2）要使k（x+3）≥f（x）恒成立．则过定点（﹣3，0）的直线y＝k（x+3）的图象不会在y＝f（x）的图象的下方，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝k（x+3）的图象，结合图象可求得实数k的取值范围．【解答】（1）证明：函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|＝|（2x﹣2）﹣（x ﹣a﹣2）|﹣|2x﹣2|≤|2x﹣2|+|x﹣a﹣2|﹣|2x﹣2|＝|x﹣a﹣2|（当且仅当（2x﹣2）（x﹣a﹣2）≤0，即（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0时取等号）由于（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0，当a﹣2≥1，即a≥3时，|x﹣a﹣2|≤|1﹣a﹣2|＝|a+1|＝|a|+1；当1＞a﹣2，即a＜3时，|x﹣a﹣2|≤|1﹣a﹣2|＝|a+1|≤|a|+1；综上所述，f（x）≤|a|+1；（2）解：a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）＝|x+2|﹣|2x ﹣2|＝，要使k（x+3）≥f（x）恒成立．则过定点（﹣3，0）的直线y＝k （x+3）的图象不会在y＝f（x）的图象的下方，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝k（x+3）的图象如图，由图可知，≤k≤1．即实数k的取值范围为[，1]．。

2020年陕西省西安市西工大附中高考数学第三阶段模考试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >−1}，B ={x|log 2x <1}，则A ∩B =( )A. {x|x >0}B. {x|−1<x <2}C. {x|0<x <2}D. {x|x <2}2. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=( )A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√33. 设函数f (x )={log 2x,x >1x 2+1,x ≤1，则f(f (1))的值为( )A. −1B. 1C. 0D. 24. 已知cos2α=13，则sin 2(α+π2)等于( )A. √53B. 13C. 14D. 235. 2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去A ，B ，C 三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲、乙被安排到同一个场馆的概率为( )A. 112B. 18C. 16D. 146. 已知点F 是抛物线y 2=4x 焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN 中点到准线距离为( )A. 32B. 2C. 3D. 47. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若acosB +bcosA =4sinC ，则△ABC 的外接圆面积为( )A. 16πB. 8πC. 4πD. 2π8. 函数f(x)=2x 2−lnx 在x =1处的切线方程是( )A. y =4x −5B. y =3x −1C. y =3x −2D. y =4x −29. 在底面为正方形的四棱锥S −ABCD 中，SA =SB =SC =SD ，异面直线AD 与SC 所成的角为60°，AB =2.则四棱锥S −ABCD 的外接球的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 12πD. 16π10.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M在E的渐近线上，且MF2与x轴垂直，cos∠MF1F2=2√23，则E的离心率为()A. 2B. √3C. √2D. √6211.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为()A. 2√3B. 4√3C. 6√3D. 12√312.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。

陕西省西安市达标名校2020年高考三月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数ln(1),0 ()11,02x xf xx x+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n<,且()()f m f n=，则n m-的取值范围为（）A．[32ln2,2)-B．[32ln2,2]-C．[1,2)e-D．[1,2]e-2．设双曲线22221y xa b-=（0a>，0b>）的一条渐近线与抛物线213y x=+有且只有一个公共点，且椭圆22221x ya b+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（）A．22143x y-=B．22143y x-=C．22123x y-=D．22132y x-=3．已知集合{}{}2340,13A x x xB x x=-->=-≤≤，则R()A B=( )A．()1,3-B．[]1,3-C．[]1,4-D．()1,4-4．“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）A．15B．25C．35D．455．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A．15B．625C．825D．256．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．217B ．25C ．3D ．28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．69．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．4510．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．2511．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13 C ．12D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年陕西省西安市西工大附中高考数学第三阶段模考试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x||x−2|<1}，B={x|log2x<1}，则A∩B=()A. (0,3)B. (1,2)C. (−∞,3)D. (0,2)2.已知单位向量a⃗与b⃗ 的夹角为π3，若x a⃗+b⃗ 与a⃗垂直，则实数x的值为()A. 12B. −12C. √32D. −√323.f(x)={x 23,x<0log2x+1,x>0，则f(f(−8))=()A. 3B. −3C. 4D. −44.已知sinα=2sin(α+π2)，则cos2α=()A. 35B. −7 C. −35D. −35.自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北．重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁4支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则甲、乙都在武汉的概率为()A. 13B. 16C. 29D. 1186.已知抛物线y2=2px(p>0)，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，A(x1,y1)，B(x2,y2)为抛物线上的两点，AB的中点到抛物线准线的距离为5，△ABO的重心为F，则p=()A. 1B. 2C. 3D. 47.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若sin2A−sin2B=sin2C−sinBsinC，a=√3，则△ABC的外接圆面积为()A. πB. 2πC. 4πD. 8π8.已知函数f(x)=x2−2m，g(x)=3lnx−x，若y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同，则m=()A. −3B. 1C. 2D. 59.在底边边长为2的正四棱锥P−ABCD中，异面直线PC与AD所成角的正切值为3，则四棱锥P−ABCD外接球的表面积为()A. 25π4B. 25π2C. 25√2π8D. 9π210.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1，F2，以F2为圆心，|OF2|为半径作圆F2，过F1作直线l与圆F2切于点M，若M在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为() A. √2 B. √3 C. 2 D. 2√3311.已知在一个棱长为12的正方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1和C1D1的中点分别为M，N，如图，则过A，M，N三点的平面被正方体所截得的截面图形为()A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形12.咖啡产品的经营和销售如何在中国开拓市场是星巴克、漫咖啡等欧美品牌一直在探索的内容，而2018年至今中国咖啡行业的发展实践证明了以优质的原材料供应以及大量优惠券、买赠活动吸引消费者无疑是开拓咖啡的中国市场的最有效的方式之一．若某品牌的某种在售咖啡产品价格为30元/杯，其原材料成本为7元/杯，营销成本为5元/杯，且品牌门店提供如下4种优惠方式：(1)首杯免单，每人限用一次；(2)3.8折优惠券，每人限用一次；(3)买2杯送2杯，每人限用两次；(4)买5杯送5杯，不限使用人数和使用次数．每位消费者都可以用以上4种优惠方式中选择不多于2种使用．现在某个公司有5位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买1杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于()人时，无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利．A. 28B. 29C. 30D. 31二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数z=2+4i，则|z|=______．(1+i)2)，随机变量η=2ξ+1，则η的数学期望E(η)=______．14.已知离散型随机变量ξ～B(3,1415.已知函数f(x)=sin2x−√3cos2x向左平移π个单位后，所得图象在区间(0,m)上单调递增，则m的最大值为4______．16.函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，当x>1时，f(x)=x，若f2(x)−2mf(x)+4m=0有8个不同的实数解，lnx则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a2a7=3a42，且−3，S4，9a3成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=(−1)n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．n(n+1)18.如图，在四棱锥B−ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，△ABC是一个边长为4的正三角形，在直角梯形ACDE中，AE//CD，AE⊥AC，AE=2，CD=3，点P在棱BD上，且BP=2PD．(1)求证：EP//平面ABC；(2)设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为2√35，求MP的长．19.2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资．某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日～2月9日连续9天的日生产量y i(单位：十万只，i=1，2，…，9)数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：y−z−∑t i9t=1y i∑t i9t=1z i2.7219139.091095注：图中日期代码1～9分别对应2月1日～2月9日；表中z i=e y i，z−=19∑z i 9i=1．(1)从9个样本点中任意选取2个，在2个点的日生产量都不高于三十万只的条件下，求2个都高于二十万只的概率；(2)由散点图分析，样本点都集中在曲线y=ln(bt+a)的附近，请求y关于t的方程y=ln(bt+a)，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只．参考公式：回归直线方程是v ̂=β̂μ+α̂，β̂=∑(ni=1μi −μ−)(v i −v −)∑(n i=1μi −μ−)2=∑μi ni=1v i −nμ−v −∑μi 2n i=1−nμ−2，α̂=v −−β̂μ−． 参考数据：e 4≈54.6．20. 已知椭圆C 1：x 26+y 23=1的长轴为AB ，动点P 是椭圆上不同于A ，B 的任一点，点Q 满足AP ⊥AQ ，BP ⊥BQ ． (1)求点Q 的轨迹C 2的方程；(2)过点R(0,6)的动直线l 交C 2于M ，N 两点，y 轴上是否存在定点S ，使得∠RSM +∠RSN =π总成立？若存在，求出定点S ；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=(x −2)e x −ax +alnx(a ∈R)．(1)当a =−1时，求函数f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)的零点个数．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+sinϕ−2cosϕy =cosϕ+2sinϕ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcosθ+2=0． (1)求曲线C 1的极坐标方程并判断C 1，C 2的位置关系；(2)设直线θ=α(−π2<α<π2,ρ∈R)分别与曲线C 1交于A ，B 两点，与C 2交于点P ，若|AB|=3|OA|，求|OP|的值．23. 设函数f(x)=|1−2x|−3|x +1|，f(x)的最大值为M ，正数a ，b 满足1a 3+1b 3=Mab ．(Ⅰ)求M ；(Ⅱ)是否存在a ，b ，使得a 6+b 6=√ab ？并说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|1<x<3}，B={x|0<x<2}，∴A∩B=(1,2)．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，绝对值不等式的解法，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，单位向量a⃗与b⃗ 的夹角为π3，则a⃗⋅b⃗ =1×1×cosπ3=12，若x a⃗+b⃗ 与a⃗垂直，则(x a⃗+b⃗ )⋅a⃗=x a⃗2+a⃗⋅b⃗ =x+12=0，解可得x=−12；故选：B．根据题意，由数量积公式可得a⃗⋅b⃗ =1×1×cosπ3=12，由向量垂直与数量积的关系可得(x a⃗+b⃗ )⋅a⃗=x a⃗2+a⃗⋅b⃗ =x+12=0，解可得x的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)={x 23,x<0log2x+1,x>0，∴f(−8)=(−8)23=(−2)2=4，f[f(−8)]=f(4)=log24+1=2+1=3．故选：A．推导出f(−8)=4，从而f[f(−8)]=f(4)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵sinα=2sin(α+π2)=2cosα，∴tanα=2；∵cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tanα=1−221+2=−35；故选：C．根据三角函数的诱导公式，倍角公式，即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据题意，将4支医疗队安排到三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，有C42A33=36种安排方法，若甲、乙都在武汉，将其他两支医疗队安排在其他两个地方即可，有A22=2种安排方法；故甲、乙都在武汉的概率P=236=118；故选：D．根据题意，由排列组合数公式计算“将4支医疗队安排到三个地方”和“甲、乙都在武汉”的安排方法数目，由古典概型公式计算可得答案．本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，因为AB的中点到抛物线准线的距离为5，所以x1+x22+p2=5，①又因为△ABO的重心为F，所以x1+x23=p2，②联立①②可得3p4+p2=5，解得p=4，故选：D．求得抛物线的焦点和准线方程，由线段的中点坐标和三角形的重心坐标，解方程可得p的值．本题考查抛物线的方程和性质，以及三角形的重心坐标，考查方程思想和运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由于sin2A−sin2B=sin2C−sinBsinC，利用正弦定理a2−b2=c2−bc，整理得cosA=b2+c2−a22bc =12，由于A∈(0,π)，所以A=π3，所以2R=asinA=√3√32=2，故R=1．所以S圆=π⋅12=π．故选：A．直接利用正弦定理的应用转换为a2−b2=c2−bc，进一步求出A的值，再利用正弦定理求出外接圆的半径，最后求出外接圆的面积．本题考查的知识要点：余弦定理正弦定理和三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设两曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点(a,b)(a>0)，f(x)=x2−2m，其导数f′(x)=2x，则切线的斜率k=f′(a)=2a，g(x)=3lnx−x，其导数g′(x)=3x −1，则切线的斜率k=g′(a)=3a−1，则有2a=3a −1，解可得a=1或−32(舍)，则b=3ln1−1=−1，则公共点为(1,−1)，则有−1=1−2m，解得m=1．故选：B．设两曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点(a,b)，求出两个函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由斜率相等求得a的值，将a的值代入g(x)的解析式可得b的值，即可得公共点(a,b)的坐标，将(a,b)代入f(x)的解析式，计算可得m的值．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，是中档题．9.【答案】B【解析】解：如图所示：由题意，作PE⊥BC交BC于E，则E为BC的中点，设P在面ABCD上的投影为H，连接HE，∵AD//BC，所以PC与AD所成的角等于异面直线PC与BC所成的角，∵异面直线PC与AD所成的角的正切值为3，∴PEEC=3，∴PE=3，PH=√PO2+HE2=2√2，设四棱锥P−ABCD外接球的半径为R，则有(PH−R)2+AH2=R2，R=5√24，∴四棱锥P−ABCD外接球的表面积S=4πR2=4π×258=25π2．故选：B．确定异面直线PC与AD所成角为∠PBC，取BC中点E，求出PE，HP，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥P−ABCD的外接球面积．本题考查四棱锥P−ABCD外接球的表面积、异面直线的夹角，考查学生的空间想象、计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：∵MF1为圆的切线，故OM=12F1F2=c，又MF2=OF2=r=c，∴∠MOF2=60°，∴tan∠MOF2=√3=ba，∴b=√3a，∴e=ca =√a2+b2a2=2．故选：C．根据过F1作直线l与圆F2切于点M，且M在双曲线的渐近线上，得到∠MOF2=60°，进而得到b=√3a，再双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的性质，考查离心率的求法，抓住渐近线经过M是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：在一个棱长为12的正方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1和C1D1的中点分别为M，N，如图，在DD1上取点E，使DE=3ED1=9，连结AE、NE，∵AB//D1N，BM//D1E，AB∩BM=B，D1N∩D1E=D1，∴平面ABM//平面D1NE，又NE⊂平面D1NE，∴NE//平面ABM，∵D1EBM =D1NAB=12，∴NE//AM，∵AE//C1M，∴过A，M，N三点的平面被正方体所截得的截面图形为五边形AMC1NE．故选：B．在DD1上取点E，使DE=3ED1=9，连结AE、NE，推导出过A，M，N三点的平面被正方体所截得的截面图形为五边形AMC1NE．本题考查截面图形的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】C【解析】解：由题意知，咖啡产品原价为30元/杯，成本为12元/杯，优惠方式(1)免单购买，每购买1杯该品牌门店亏损12元；优惠方式(2)每杯售价11.4元，每购买1杯该品牌店亏损0.6元；优惠方式(3)和(4)相当于5折购买，每购买1杯该品牌门店盈利3元；我们只需要考虑最优的购买方式，每位后勤工作人员能选择2种优惠方式，必然包含优惠方式(1)，可以免单购买5杯咖啡，该品牌门店因此亏损60元，最优的购买方式是不包含原价购买任何一杯咖啡(11.4×5+30×1>11.4×2+15×4，说明只要用原价购买1杯咖啡，哪怕最大程度利用3.8折优惠，花费也一定会超过搭配使用(2)(4)优惠购买咖啡)，故显然该品牌门店必须按照优惠方式(3)和(4)售出20杯以上的咖啡才能盈利，故技术人员人数一定多于5+20=25人；技术人员在26−29人时，免单购买5杯咖啡+买5送5购买20杯咖啡+3.8折购买14杯咖啡，该品牌门店依旧亏损；技术人员为30人时，最优购买方式为免单购买5杯咖啡十买5送5购买20杯咖啡十买2送2购买4杯咖啡+3.8折购买1杯咖啡，该品牌门店盈利3×24−60−0.6=114元；由于11.4>0.6×4，故技术人员超过30人时，该品牌门店能保证持续盈利．故选：C．首先因为无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利，转化为当最优的购买方式购买时门店照样盈利，先分析用哪种优惠方式是最优购买，因为11.4×5+30×1>11.4×2+15×4，所以最优的购买方式是不包含原价购买任何一杯咖啡，故要想盈利必须按照优惠方式(3)和(4)售出20杯以上的咖啡才能盈利，后面再依次分析人数越多时何时品牌门店都能盈利即可得到答案．本题考查函数的实际应用，考查了分类讨论思想，将文字语言转化为数学语言是本题的关键，属于难题．13.【答案】√5【解析】解：∵z=2+4i(1+i)2=2+4i2i=1+2ii=(1+2i)(−i)−i2=2−i，∴|z|=√22+(−1)2=√5．故答案为：√5．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．14.【答案】52【解析】解：离散型随机变量ξ～B(3,14)，可得E(ξ)=3×14=34，随机变量η=2ξ+1，则η的数学期望E(η)=2×34+1=52．故答案为：52．求出ξ的期望，然后利用线性关系，求η的期望即可．本题考查离散型随机变量的期望的求法，是基本知识的考查．15.【答案】π6【解析】解：f(x)=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)，向左平移π4个单位后，得到y=2sin[2(x+π4)−π3]=2sin(2x+π6 ).令2x+π6∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，k∈Z，则x∈[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，因为函数y的图象在区间(0,m)上单调递增，所以(0,m)⊆[kπ−π3，kπ+π6]，k∈Z，所以当k=0时，m取得最大值，为π6．故答案为：π6．利用辅助角公式可将函数f(x)化简为f(x)=2sin(2x−π3)，根据函数图象的变换法则求出平移后函数y的解析式，再结合正弦函数的单调性，求出函数y的单调递增区间，而区间(0,m)属于该递增区间的子区间，从而得解．本题考查三角函数的图象变换、正弦函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的变换法则以及正弦函数的单调性是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】4<m <e 22(e−2)【解析】解：由题意，f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，可知f(x)图象关于x =1对称；当x >1时，f(x)=x lnx ，f′(x)=lnx−1(lnx)2，当x =e 时，f′(x)=0；当x ∈(1,e)时，f(x)单调递增；当x ∈(e,+∞)时，f(x)单调递减；∴当x =e 时，f(x)取得最小值e ；∴f(x)的范围为(e,+∞)，令f(x)=t ，那么t 2−2mt +4m =0在(e,+∞)有2个不同的实数解，△>0；根的分布思想，则{△=4m 2−16m >0e 2−2me +4m >0−−2m 2≥e ，得{m >4或m <0m <e 22e−4m ≥e∴m 的范围是(4,e 22(e−2)).故答案为：(4,e 22(e−2)).对f(x)求导，判断其单调性和极值，可得f(x)的范围为(e,+∞)，换元思想，令f(x)=t ，那么t 2−2mt +4m =0有2个不同的实数解，可得{△=4m 2−16m >0e 2−2me +4m >0−−2m 2≥e，从而可得m 的范围． 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的零点的求法，属于中档题．17.【答案】解：(1)在比数列{a n }中，由a 2a 7=3a 42，得a 12q 7=3a 12q 6，∴q =3， ∵−3，S 4，9a 3成等差数列，∴2S 4=9a 3−3．从而有2a 1(1−34)1−3=9a 1⋅32−3⇒a 1=3，∴a n =a 1q n−1=3n ；(2)由a n =3n ，且b n =(−1)n a n +1n(n+1)，得b n =(−1)n ×3n +1n(n+1)=(−3)n +1n −1n+1，∴T n =[(−3)1+(−3)2+⋯+(−3)n ]+(1−12+12−13+⋯+1n −1n +1) =−3[1−(−3)n ]4+1−1n+1=3[(−3)n −1]4+n n+1．【解析】本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式及前n 项和，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．(1)由已知a 2a 7=3a 42求得等比数列的公比，再由−3，S 4，9a 3成等差数列列式求得首项，则数列{a n }的通项公式可求；(2)把(1)中求得的通项公式代入b n =(−1)n a n +1n(n+1)，然后利用等比数列的前n 项和及数列的裂项相消法求和求解T n ． 18.【答案】(1)证明：如图，作PQ//DC 交BC 于点Q ，连接AQ ， ∵BP =2PD ，∴PQ =23DC =2，又AE//CD ，AE =2，∴AE//PQ ，且AE =PQ ，即有四边形AEPQ 是平行四边形，得EP//AQ ，∵EP ⊄平面ABC ，AQ ⊂平面ABC ，∴EP//平面ABC ；(2)解：如图，设O 是AC 的中点，在正△ABC 中，BO ⊥AC ，作Oz//AE ，∵AE ⊥AC ，∴由平面ABC ⊥平面ACDE ，可得AE ⊥平面ABC ，则Oz ⊥平面ABC ，再以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2√3,0)，E(2,0，2)，D(−2,0，3)，∵BP =2PD ，∴P(−43,2√33,2)．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，设平面EAB 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 1+2√3y 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2z 1=0，取y 1=1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,1,0)；∵点M 在线段AC 上，设其坐标为M(t,0，0)，其中−2≤t ≤2，∴EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2,0,−2)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−103,2√33,0)，设平面PEM 的法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，由{n ⃗ ⋅EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2)x 2−2z 2=0n ⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−103x 2+2√33y 2=0，取x 2=3，得n ⃗ =(3,5√3,3t−62)．由题意，设平面PEM 与平面EAB 所成的锐二面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=8√32√9+75+24=2√35⇒(3t −6)2=64⇒t =143或t =−23，∵−2≤t ≤2，∴M(−23,0,0)，∴|MP|=(−43+23)(2√33−=2√133．【解析】(1)作PQ//DC 交BC 于点Q ，连接AQ ，由平行线截线段成比例可得AE//CD ，进一步得到AE//PQ ，且AE =PQ ，得到四边形AEPQ 是平行四边形，即EP//AQ ，再由直线与平面平行的判定可得EP//平面ABC ；(2)设O 是AC 的中点，在正△ABC 中，BO ⊥AC ，作Oz//AE ，证明Oz ⊥平面ABC ，再以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面EAB 的法向量，设M(t,0，0)，其中−2≤t ≤2，再由t 表示平面PEM 的法向量，由题意列式求解t ，可得M 的坐标，则MP 的长可求．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 19.【答案】解：(1)9个样本点中日生产量都不高于三十万只的有5个，高于二十万只且不高于三十万只的有3个，设事件A ：所取2个点的日生产量都不高于三十万只，事件B ：所取2个点的日生产量高于二十万只，∴事件AB ：所取2个点的日生产量高于二十万只且不高于三十万只，则P(A)=C 52C 92=518，P(AB)=C 32C 92=112， ∴P(B|A)=P(AB)P(A)=310．(2)∵y =ln(bt +a)，∴z =e y =bt +a ，t −=5，∑t i 29i=1=285，∴b =∑(9i=1t i −t −)(z i −z −)∑(9i=1t i −t −)2=∑(9i=1t i z i −t −⋅z i −z −⋅t i +t −⋅z −)∑(9i=1t i 2−2t −⋅t i +t −2)=∑t i 9i=1z i −9t −⋅z −∑t i 29i=1−9t −2=1095−9×5×19285−9×52=4，∴a =z −−bt −=19−4×5=−1，∴y =ln(4t −1)．令ln(4t −1)>4，解得t >e 4+14≈13.9，∴t ≥14，即该厂从2月14日开始日生产量超过四十万只．【解析】(1)设事件A ：所取2个点的日生产量都不高于三十万只，事件B ：所取2个点的日生产量高于二十万事件AB ：所取2个点的日生产量高于二十万只且不高于三十万只，求出概率，利用条件概率公式求解即可．(2)z =e y =bt +a ，求出回归直线方程的系数，得到回归直线方程．通过ln(4t −1)>4，推出结果．本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)设P(x 0,y 0)(y 0≠0)，Q(x,y)，不妨设A(−√6,0)，B(√6,0)，∵AP ⊥AQ ，BP ⊥BQ ，∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{(x 0+√6)(x +√6)+y 0y =0(x 0−√6)(x −√6)+y 0y =0， 解得{x 0=−x y 0=−y 2， 代入x 026+y 023=1，得点Q 的轨迹C 2的方程为y 212+x 26=1(y ≠0)．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，假设存在这样的点S(0,t)满足∠RSM +∠RSN =π，当直线l 的斜率存在时，设为y =kx +6，代入椭圆y 212+x 26=1中，得(k 2+2)x 2+12kx +24=0， ∴x 1+x 2=−12k k 2+2，x 1⋅x 2=24k 2+2，△=144k 2−96(k 2+2)=48(k 2−4)>0， ∵∠RSM +∠RSN =π，∴k MS +k NS =0，即y 1−tx 1+y 2−t x 2=0，即x 2(y 1−t)+x 1(y 2−t)=x 2(kx 1+6−t)+x 1(kx 2+6−t)=2kx 1x 2+(6−t)(x 1+x 2)=2k 24k +2+(6−t)−12k k +2=12k k +2(t −2)=0，∵k ≠0，∴t =2，即S(0,2)；当斜率不存在时，直线l 也过(0,2)．综上，y 轴上存在定点S(0,2)，使得∠RSM +∠RSN =π总成立．【解析】(1)设P(x 0,y 0)(y 0≠0)，Q(x,y)，不妨设A(−√6,0)，B(√6,0)，通过向量的数量积，列出方程组求解即可．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，假设存在这样的点S(0,t)满足∠RSM +∠RSN =π，当直线l 的斜率存在时，设为y =kx +6，代入椭圆y 212+x 26=1中，利用韦达定理，结合斜率关系，转化求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】(1)解：当a =−1时，f(x)=(x −2)e x +x −lnx ，则f′(x)=(x −1)e x +1−1x =(x −1)(e x +1x )，因为x ∈(0,+∞)，则e x +1x >0，所以x >1时，f′(x)>0，0<x <1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，故f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,+∞)．(2)因为f(x)=(x −2)e x −ax +alnx ，则f′(x)=(x −1)e x −a +a x =(x −1)(e x −a x )．(i)当a <0时，因为x ∈(0,+∞)，则e x −a x >0，则x >1时，f′(x)>0，所以0<x <1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，f(1)=−e −a ．当f(1)=−e −a >0时，即a <−e 时，f(x)≥f(1)>0，所以当a <−e 时，函数f(x)没有零点，即函数f(x)零点个数为0；当f(1)=−e −a =0，即a =−e 时，f(x)≥f(1)=0，所以当a=−e时，函数f(x)有且只有一个零点x=1，即函数f(x)的零点个数为1；当f(1)=−e−a<0，即−e<a<0时，f(2)=−a(2−ln2)>0，则存在一个实数x1∈(1,2)，使得f(x1)=0，当x∈(0,1)时，(x−2)e x>−e，−ax>0，对任意的x∈(0,1)，则f(x)>−e+alnx，取x=e3a，因为a<0，则0<e3a<1，则f(x)>−e+alne3a=3−e>0，则存在x2∈(e3a,1)，使得f(x2)=0，即−e<a<0时，函数f(x)的零点个数为2．(ii)当a=0时，令f(x)=0，则(x−2)e x=0，则x=2，即函数f(x)有且只有一个零点x=2；即函数f(x)的零点个数为1．(iii)当a>0时，令g(x)=e x−ax ，g′(x)=e x+ax2>0，故g(x)=e x−ax 在(0,+∞)上单调递增，令m=min{12,a2}，n=max{1,a}，故g(m)≤√e−2<0，g(n)≥e−1>0，则一定存在x0∈(m,n)，使得g(x0)=0，所以x∈(0,x0)时，g(x)<0，x∈(x0,+∞)时，g(x)>0．因为f′(x)=(x−1)e x−a+ax =(x−1)(e x−ax)，当x0=1，即a=e时，f(x)=(x−2)e x−ex+elnx，所以f′(x)=(x−1)(e x−ex)，所以x>1时，f′(x)>0，所以0<x<1时，f′(x)>0，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=−2e<0，f(3)=e3−3e+eln3>0，则存在x1∈(1,3)，使得f(x1)=0，所以函数f(x)有且只有一个零点x=x1，即函数f(x)的零点个数为1．因为f′(x)=(x−1)e x−a+ax =(x−1)(e x−ax)，当x0>1，x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，当0<x0<1，x∈(0,x0)时，f′(x)>0，当x∈(x0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，因为x∈(0,1]时，(x−2)e x<0，−ax<0，alnx≤0，即f(x)<0，所以f(x)在x∈(0,1]时没有零点，x∈(1,+∞)上f(x)至多有一个零点，而f(a+2)=ae a+2−a(a+2)+aln(a+2)=a(e a+2+ln(a+2)−(a+2))，令t =a +2，ℎ(t)=e t +lnt −t(t >2)，则ℎ′(t)=e t +1t −1(t >2)，则ℎ′(t)>0，故ℎ(t)在t ∈(2,+∞)上单调递增，而ℎ(2)=e 2+ln2−2>0，即f(a +2)>0，故存在一个，则存在x 1∈(1,a +2)，使得f(x 1)=0，所以函数f(x)有且只有一个零点x =x 1，即函数f(x)的零点个数为1，综上所述：当a <−e 时，函数f(x)的零点个数为0；当a =−e 或a ≥0时，函数f(x)的零点个数为1；当−e <a <0时，函数f(x)的零点个数为2．【解析】(1)把a =−1代入后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解，(2)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性，再由函数的零点判定定理进行判断即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及零点个数的判断，体现了转化思想及分类讨论思想的应用． 22.【答案】解：(1)由曲线C 1得：{x −3=sinϕ−2cosϕy =cosϕ+2sinϕ，平方相加得(x −3)2+y 2=5， 即x 2+y 2−6x +4=0，又ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ+4=0．联立{ρ2−6ρcosθ+4=0ρcosθ+2=0，得ρ2+16=0，此方程无解， ∴C 1，C 2相离；(2)由{ρ2−6ρcosθ+4=0θ=α，得ρ2−6ρcosα+4=0． ∵直线θ=α与曲线C 1有两个交点A ，B ，∴△=36cos 2α−16>0，即cosα>23．设方程的两根分别为ρ1，ρ2，则{ρ1+ρ2=6cosα>0ρ1ρ2=4，① ∵|AB|=3|OA|，∴|OB|=4|OA|，即ρ2=4ρ1，联立①式解得ρ1=1，ρ2=4，cosα=56，满足△>0，联立{ρcosθ+2=0θ=α⇒ρ=−2cosα=−125， ∴|OP|=|ρ|=125．【解析】(1)把曲线C 1中的参数消去，可得普通方程，整理后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 1的极坐标方程．联立C 1，C 2的极坐标方程，化为关于ρ的一元二次方程，根据方程解的个数可得C 1，C 2的位置关系；(2)联立直线θ=α与曲线C 1的极坐标方程，结合已知求得θ，再把直线与曲线C 2联立即可求得|OP|的值． 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)分三类讨论如下：①当x <−1时，f(x)=x +4，单调递增，f(x)<3；②当−1≤x ≤12时，f(x)=−5x −2，单调递减，f(x)max =f(−1)=3，③当x >12时，f(x)=−x −4，单调递减，f(x)<f(12)=−92，综合以上讨论得，f(x)的最大值M =3；(2)假设存在正数a ，b ，使得a 6+b 6=√ab ≥2√a 6b 6=2a 3b 3，所以，a 52⋅b 52≤12，------------① 又因为1a +1b =Mab =3ab ≥2⋅33，所以，a 52⋅b 52≥23，-----------② 显然①②相互矛盾，所以，假设不成立，即不存在a ，b 使得a 6+b 6=√ab ．【解析】(1)直接采用零点分段法确定函数的最值；(2)先假设存在，再两次运用基本不等式得出a 52⋅b 52≤12和a 52⋅b 52≥23相互矛盾，所以假设不成立． 本题主要考查了分段函数最值的确定，以及基本不等式在解题中的应用，运用了零点分段法和反证法，属于中档题．。

西工大附中2020高考数学理模拟题含答案(四)第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设复数21z i=+(其中i 为虚数单位)，则z 等于( ) A ．1+2i B ．12i - C ．2i - D ．2i2．下列有关命题的说法中错误的是．．．．（ ） A ．若“p q 或”为假命题，则p 、q 均为假命题 B ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件C ．“12sin x =”的必要不充分条件是“6x π=”D ．若命题p ：“∃实数x 使20x ≥”，则命题p ⌝为“对于x R ∀∈都有20x <”3．执行右图所给的程序框图，则运行后输出的结果是( )A ．3B ．3-C ．2-D ．24．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若公差0d <且27S S =，则下列结论中不正确的是．．．．．（ ） A ．45S S = B ．90S =C ．50a =D ．2745S S S S +=+5．如图是函数4sin()y x =ω+ϕ(0,||)ω>ϕ<π图像的一部分，则（ ） A ．135,56πω=ϕ=B ．11,56πω=ϕ= C ．75,56πω=ϕ= D ．23,56πω=ϕ=6．将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．-2或8C ．0或10D ．1或117．在平面直角坐标系中，若不等式组0(1)1y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤--⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是()A ．(),1-∞-B ．()1,+∞C ．()1,1-D ．(,1)(1,)-∞-+∞8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，设A 表示事件“取到的2个数之和为偶数”，B 表示事件“取到的2个数均为偶数”，则P （B|A ）=( )A ．110 B ．14 C ．25 D ．129．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )A ．13BC ．1D ．310．在平面直角坐标系中，由x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、曲线xy e =以及该曲线在(1)x a a =≥处的切线．．所围成图形的面积是( ) A ．a e B ．1a e - C ．12a e D ．121ae -第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）11．二项式831x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；12．若tan 2,α=则sin cos αα= ；13．PA ⊥平面ABC ，ABC=90︒∠，且PA=AB=BC ，则异面直线PB 与AC 所成角等于 ；14．若函数()f x 对于x R ∀∈都有(1)(1)f x f x -=+和(1)(3)0f x f x -++=成立，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则(2013)f = ；15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A （选修4—4坐标系与参数方程）已知点A 是曲线2sin ρθ=上任意一点，则点A 到直线3sin()4πρθ+=的距离的最小值是 ；B （选修4—5不等式选讲）已知22,,33,x y R x y ∈+≤则23x y +的最大值是 .；C(选修4—1几何证明选讲）如图，ABC ∆内接于O ，AB AC =，直线MN 切O 于点C ，//BE MN 交AC 于点E .若6,4,AB BC ==则AE 的长为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a ，满足37a =，5726a a =+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈），求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c,且满足(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设向量(sin ,cos 2),(4,1)m A A n k ==，当k>1时，()f A m n =⋅的最大值是5，求k 的值．18．（本小题满分12分）某企业规定，员工在一个月内有三项指标任务，若完成其中一项指标任务，可得奖金160元；若完成其中两项指标任务可得奖金400元；若完成三项指标任务可得奖金800元；若三项指标都没有完成，则不能得奖金且在基本工资中扣80元，假设员工甲完成每项指标的概率都是12. （Ⅰ）求员工甲在一个月内所得奖金为400元的概率； （Ⅱ）求员工甲在一个月内所得奖金数的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）直三棱柱111ABC-A B C 中，1CC CA 2,AB BC ===，D 是1BC 上一点，且CD ⊥平面1ABC ．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）求二面角1C AC B --的平面角的正弦值．20.（本小题满分13分）已知函数2()(2)xf x x kx k e -=-+⋅. （Ⅰ）当k 为何值时，()f x 无极值；（Ⅱ）试确定实数k 的值，使()f x 的极小值为0.21．（本小题满分14分）已知椭圆E ：22221x y a b+=(,0)a b >与双曲线G ：224x y -=，若椭圆E 的顶点恰为双曲线G 的焦点，椭圆E 的焦点恰为双曲线G 的顶点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在一个以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥？若存在请求出该圆的方程，若不存在请说明理由．数学（理科） 参考答案与评分标准一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACCDCAABDD二、填空题 （一）必做题11．28； 12．25； 13．3π； 14．1 （二）选做题15．(1)52；；(3)103． 三、解答题16. （本小题满分12分）（1）21n a n =+（2）4(1)n nS n =+17. （本小题满分12分）解：(1)(2)cos cos ,a c B b C -=(2sin sin )cos sin cos ,A C B B C ∴-=2sin cos sin cos cos sin ,A B B C B C ∴=+ 2sin cos sin .A B A ∴=又在ABC ∆中，,(0,)A B π∈，所以12sin 0,cos A B >=，则3B π=(2)24sin cos 22sin 4sin 1m n k A A A k A =+=-++,222(sin )21m n A k k ∴=--++.又3B π=，所以23(0,)A π∈，所以sin (0,1]A ∈. 所以当2sin 1()A A π==时，m n 的最大值为41k -. 32415,k k ∴-==18. （本小题满分12分）解：设员工甲在一个月内所得奖金为ξ元，则由题意可知ξ的可能取值为80,160,400,800-∵()213113160228P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()223113400228P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3331180028P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()303118028P C ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭∴ξ的分布列为：80-160400800P18383818数学期望为1331801604008003008888E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯=元 19．（本小题满分12分）解：（1）1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∵1CC ⊥AB ．又CD ⊥平面1ABC ，且AB ⊂平面1ABC ，∴CD AB,⊥又1CC CD=C,∴AB ⊥平面11BCC B ． （２）BC ∥11B C ，∴11B C A ∠或其补角就是异面直线1AC 与BC 所成的角．由（１）知AB BC,⊥又ＡＣ＝２，∴，∴2221111AB AA A B =+.在11AB C ∆中，由余弦定理知cos 2222111111111B C AC AB 1B C A=2B C AC 2+-∠==⋅∴11B C A ∠=3π,即异面直线1AC 与BC 所成的角的大小为3π（3）过点D 作1DE AC ⊥于E ，连接CE ，由三垂线定理知1CE AC ⊥，故∠DEC 是二面角1C-AC B -的平面角，又1AC=CC ，∴E 为1AC 的中点，∴112CE=AC =1BC ===，由111122CC CB=BC CD,⋅⋅得11CC CB CD BC ⋅==Rt ∆CDE 中，sin CD DEC CE ∠===20. （本小题满分13分）（1）4k = （2）0;8k k ==21．（本小题满分14分）22(1)184x y +=(2)2283x y +=高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log (2)A x y x ==-，{}|33,B x x x R =-<<∈，则A B =（ ）A ．(2,3)B ．[2,3)C ．(3,)+∞D ．(2,)+∞2.若复数满足(1)2z i i -=，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+3.已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.函数2sin ()1xf x x =+的部分图像可能是（ ）5.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与椭圆221124x y +=有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22162x y -= D ．22126x y -= 6.三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的正三角形（直角边长之比为1:在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是（ ）A ．2 B ．4C ．12-D ．14-7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．4849B ．5051C ．4951D ．49508.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）A ．83B ．23C ．43D ．29.将函数()2sin f x x =图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，然后向左平移6π个单位长度，得到()y g x =图象，若关于x 的方程()g x a =在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]2,2-B ．[2,2)-C ．[1,2)D ．[1,2)-10.若函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数，奇函数，且满足()2()xf xg x e +=，则（ ） A ．(2)(3)(1)f f g -<-<- B ．(1)(3)(2)g f f -<-<- C ．(2)(1)(3)f g f -<-<-D ．(1)(2)(3)g f f -<-<-11.已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1||||PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ） A．2BC1D12.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足'()ln ()0xf x x f x +>（其中'()f x 为()f x 的导函数），若10a b >>>，则下列各式成立的是（ ）A ．()()1f a f b a b >>B ．()()1f a f b a b <<C ．()()1f a f b a b <<D ．()()1f a f b a b >>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量a 与b 的夹角是3π，||1a =，1||2b =，则向量2a b -与a 的夹角为 ．14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若66a =，1515S =，则公差d = ．15.设变量x ，y 满足约束条件4,326,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩则22(1)x y -+的取值范围是 ．16.三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两成60︒，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B b A c +=． （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆的面积为12，求b c +的值． 18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额． （1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（25名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =， E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求四面体A PED -的体积．20.已知点1(0,)2F ，直线l ：12y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为'l 的方程．21.已知函数()x x f x e=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）记函数()y f x =的极值点为0x x =，若12()()f x f x =，且12x x <，求证：0122xx x e +> 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2,x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11||||PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|31||31|f x x x =++-，M 为不等式()6f x <的解集. （1）求集合M ；（2）若a ，b M ∈，求证：|1|||ab a b +>+.一、选择题1-5ACAAD 6-10CBBCD 11、12：DD 二、填空题 13.3π 14.52- 15.9,1713⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.112π三、解答题17.解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=， sin 0sin cos B A A≠∴=(0,)4A A ππ∈∴=(2) 11sin 2242ABCSbc A bc -===∴=-又22222cos 2()(2a b c bc A b c bc=+-∴=+-+所以，2()4, 2.b c b c +=+=．18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表根据列联表中的数据，得到所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，共有（A ，m ，n ）（B ，m ，n ）（C ，m ，n ）（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）（A 、B 、C ）10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、C ）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）6种， 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种， 因此，所求事件的概率710p =. 19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC.∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB.∵PB ⊥PD ，CD ∩PD=D ，CD 、PD ⊂平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD. ∵PB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD. （Ⅱ）取BC 的中点O ，连接OP 、OE. ∵PB ⊥平面PCD ，∴PB PC ⊥，∴112OP BC ==， ∵PB PC =，∴PO BC ⊥．∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵AE ⊂平面ABCD,∴PO ⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE ⊥AE. ∵PO ∩PE=P ，∴AE ⊥平面POE ，∴AE ⊥OE. ∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD, ∴Rt OCERt EDA ∆∆，∴OC CEED AD=．∵1OC =，2AD =，CE ED =，∴CE ED ==111332A PED P AED AED V V S OP AD ED OP --==⋅=⨯⋅⋅1121323=⨯⨯=．20.解：（1）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=-- 1(,)2PF x y =--，(,2)PH PF x y +=--，()0HF PH PF +=，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =.（II ）法一：显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+， 由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x kx x +=⎧∴⎨⋅=-⎩，112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+MA MB ⊥，0MA MB ∴=，即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=，22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -，∴212|||2(1)AB x x k =-==+，∴1(,)2M k -到直线l '的距离2d ==3221||(1)2MABS AB d k ∆==+=1k =±， ∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=． 法2：（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为()00,y x E则211121212120212222()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩ PCBAEDO过点A,B 分别作1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥，因为,⊥MA MB E 为AB 的中点， 所以在Rt AMB 中，11111||||(||||)(||||)222==+=+EM AB AF BF AA BB 故EM 是直角梯形11A B BA 的中位线，可得⊥EM l ，从而01(,)2M x - 点M 到直线'l的距离为：2d ==因为E 点在直线'l 上，所以有20012y x =+，从而21200||1212(1)AB y y y x =++=+=+由2011||2(22MABSAB d x ==⨯+=01x =± 所以直线'l 的方程为12y x =+或12y x =-+．21.解：(1)'21()()x x x x e xe xf x e e--==，令'()0f x =，则1x =， 当(,1)x ∈-∞时，'()0f x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <， 则函数()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞.（2）由可得()()10x f x x -'=-=e ，所以()y f x =的极值点为01x =. 于是，0122x x x +>e 等价于122x x +>e ,由()()12f x f x =得1212x x x x --=e e 且1201x x <<<.由1212x x x x --=e e 整理得，1122ln ln x x x x -=-，即1212ln ln x x x x -=-. 等价于()()()1212122ln ln x x x x x x +-<-e ，① 令12x t x =，则01t <<. 式①整理得()()21ln 1t t t +<-e ，其中01t <<. 设()()()21ln 1g t t t t =+--e ,01t <<. 只需证明当01t <<时，()max 0g t <.又()12ln 2g t t t'=++-e ，设()h t =()12ln 2g t t t'=++-e ， 则()222121t h t t t t-'=-= 当10,2t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫时，()0h t '<，()h t 在10,2骣÷ç÷ç÷ç桫上单调递减； 当1,12t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫时，()0h t '>，()h t 在1,12骣÷ç÷çç÷桫上单调递增. 所以,()min 142ln 202g t g ⎛⎫''==--< ⎪⎝⎭e ；()130g '=->e ，所以，存在12110,,,122t t ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120g t g t ⅱ==， 注意到，10g ⎛⎫'= ⎪⎝⎭e ，而110,e 2骣÷çÎ÷ç÷ç桫，所以11t e=. 于是，由()0g t ¢>可得10e t <<或21t t <<；由()0g t ¢<可得21et t <<. ()g t 在()210,,,1t ⎛⎫ ⎪⎝⎭e 上单调递增，在21,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭e 上单调递减. 于是，()(){}max 1max ,1g t g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭e ，注意到，()10g =，1220g ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭e e e ，所以，()max 0g t <，也即()()21ln 1t t t +<-e ，其中01t <<. 于是，0122x x x +>e .22解：（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的23，则曲线2C 的直角坐标方程为222()43x y +=， 整理得22149x y+=，∴曲线2C 的参数方程2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）将直线l的参数方程化为标准形式为''122x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t ''--+= 整理得27()183604t t ''++=. 12727PA PB t t ''+=+=，121447PA PB t t ''==，72111714427PA PB PA PB PA PB++===．23.解（1）()31316f x x x =++-<当13x <-时，()31316f x x x x =---+=-，由66x -<解得1x >-，113x ∴-<<-； 当1133x -≤≤时，()31312f x x x =+-+=，26<恒成立，1133x ∴-≤≤； 当13x >时，()31316f x x x x =++-=由66x <解得1x <，113x ∴<<（2）()()222222121(2)ab a b a b ab a b ab +-+=++-++22221a b a b =--+22(1)(1)a b =--由,a b M ∈得1,1a b <<2210,10a b ∴-<-<22(1)(1)0a b ∴-->1ab a b ∴+>+.高考模拟数学试卷注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

2020年陕西省高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（1-i）z=1+i，则复数z=（）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i2.设集合A={x|-1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A. {-1，0，1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2}3.若向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，则x=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知tan（α+）=-2，则tan（）=（）A. B. C. -3 D. 35.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 1256.若正数m，n满足2m+n=1，则+的最小值为（）A. 3+2B. 3+C. 2+2D. 37.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为ln5，则在判断框内应填（）A. i≤5？B. i≤4？C. i＜6？D. i＞5？8.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A. B. C. D.10.函数y=-2sin x的图象大致是（）A. B.C. D.11.已知双曲线与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2C.D.12.已知函数f（x）=ln x-ax2，若f（x）恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）A. （，+∞）B. [．+∞）C. （0，）D. （0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值是______．14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2-a5=0，则=______．15.（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为______．16.曲线y=2ln x在点（e2，4）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃-25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：1866 3.8112 4.3142820.5其中k i=ln y i，=（Ⅰ）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=ce dx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（Ⅲ）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i=1，2，3，…，n），其回归宜线v=βu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为β=，，参考数据：e5.5≈245．19.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F分别为AC，DC的中点（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E-BF-C的余弦值20.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21.已知函数f（x）=e x-x2-1．（1）若函数g（x）=，x∈（0，+∞），求函数g（x）的极值；（2）若k∈Z，且f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且||=2||，求实数a的值．23.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由题设（1-i）z=1+i得z==故选：C．由复数的除法进行变行即可求出复数的除法与乘法是复数的基本运算2.答案：B解析：解：∵A={0，1，2}，B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：B．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．3.答案：A解析：解：向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，可得（2，6）•（2，x）=10，可得4+6x=10，解得x=1．故选：A．利用向量的坐标运算以及数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查两角差的和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的和的正切公式，求得tan（）=tan[（α+）+]的值．【解答】解：∵tan（α+）=-2，∴tan（）=tan[（α+）+]===-，故选：A．5.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6=4-2+8-2+16-2+32-2+64-2=（4+8+16+32+64）-10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵2m+n=1，则+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当时取等号，即最小值3+2，故选：A．由题意可得，+=（+）（2m+n），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是对应用条件的配凑．7.答案：B解析：解：∵ln（1+）=ln=ln（i+1）-ln i，∴i=1时，S=ln2-ln1=ln2，i=2时，S=ln2+ln3-ln2=ln3，i=3时，S=ln3+ln4-ln3=ln4，i=4，S=ln4+ln5-ln4=ln5，此时i=5不满足条件，输出S=ln5，即条件为i≤4？，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．9.答案：D解析：解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D．根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．本题考查了空间几何体的三视图的画法，属于中档题，空间想象能力．10.答案：C解析：解：当x=0时，y=0-2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．11.答案：A解析：【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2-a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，），∴，解得：，c=2，则双曲线的离心率为2，故选：A．12.答案：C解析：解：f（x）=ln x-ax2，可得f′（x）=-2ax，①a≤0时，f′（x）＞0函数是增函数，不可能有两个零点，②0＜a时，令f′（x）=-2ax=0，解得x=，当0时，f′（x）＞0函数是增函数，当x＞时，f′（x）＜0函数是减函数，f（x）的最大值为：f（）=ln-a（）2=-，f（x）恰有两个不同的零点，当x→0+时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→-∞，所以-＞0，解得a∈（0，）．故选：C．利用函数的导数，求解函数的最大值大于0，结合函数的单调性，判断零点的个数即可．本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，分类讨论思想的应用，是一道难题．13.答案：-2解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为y=x-．联立，解得：C（0，1）．由图可知，当直线y=x-过C（0，1）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0-2×1=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：解：∵8a2-a5=0，∴q3==8，∴q=2，则==，故答案为：．由已知结合等比数列的性质可求q3=，进而可求q，然后结合等比数列的求和公式，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：-26解析：解：由（1-x）6的展开式的通项得：T r+1=（-x）r，则（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，故答案为：-26．由二项式定理及二项式展开式的通项公式得：（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，得解．本题考查了二项式定理、二项式展开式的通项公式及分类讨论思想，属中档题．16.答案：e2解析：解：根据题意，曲线y=2ln x，其导数y′=，则x=e2处的切线的斜率k=y′=，则切线的方程为y-4=（x-e2），即y=x+2，x=0，y=2，切线与y轴的交点坐标为（0，2），y=0，x=-e2，切线与y轴的交点坐标为（-e2，0），则切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×|-e2|=e2；故答案为：e2根据题意，求出y=2ln x的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k=y′=，进而可得切线的方程，求出切线与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．17.答案：解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，∴a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，cos C==；又∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由c=2，C=，根据正弦定理得，====，∴a+b=（sin A+sin B）=[sin A+sin（-A）]=2sin A+2cos A=4sin（A+）；又∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜A＜；∴＜A+＜，∴2＜4sin（A+）≤4，综上，a+b的取值范围是（2，4]．解析：（Ⅰ）化简（a+b+c）（a+b-c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，如图所示；由散点图可知，y=ce dx更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，即k=dx+ln c，由d==≈0.183≈0.2，ln c=3.8-0.183×18≈0.5．∴ln y=0.2x+0.5，则y关于x的回归方程为y=e0.5•e0.2x；（Ⅲ）当x=25时，计算可得y=e0.5•e5=e5.5≈245；即温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245．解析：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，由散点图判断y=ce dx更适合作为回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，求出回归系数，写出回归方程；（Ⅲ）利用回归方程计算x=25时y的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了数学转化思想与计算能力，是中档题．19.答案：证明：（Ⅰ）证法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC．又EO⊥BC，∴BC⊥平面EFO，又EF⊂平面EFO，∴EF⊥BC．证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0）．E（0，，），F（，，0），∴=（，0，-），=（0，2，0），∴•=0．∴EF⊥BC．（2）解：解法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF．∴∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=EC=BC•cos30°=，由△BGO∽△BFC知，OG=•FC=，∴tan∠EGO==2，∴cos∠EGO=，即二面角E-BF-C的余弦值为．解法二：在图中，平面BFC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，）．，取x=1，得=（1，-，1）．设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos＜＞=||==，故．二面角E-BF-C的余弦值为．解析：（Ⅰ）法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．证出△EOC≌△FOC．从而FO⊥BC．又EO⊥BC，进而BC⊥平面EFO，由此能证明EF⊥BC．法二：以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明EF⊥BC．（2）法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由三垂线定理知EG⊥BF．∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角．由此能求出二面角E-BF-C的余弦值．法二：求出平面BFC的一个法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=-=-1-（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）解析：（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.答案：解：（1）函数f（x）=e x-x2-1，则f′（x）=e x-2x，又g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）==；设y=e x-x-1，则y′=e x-1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，即y=e x-x-1在x＞0时单调递增；所以y=e x-x-1＞0；令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1；所以g（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；所以函数g（x）的极小值为g（1）=e-2，无最大值；（2）不等式f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2+x--1≥0对任意x恒成立，即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立；设h（x）=e x+x2+x-，则h′（x）=e x+x+，易知h′（x）在R上单调递增，h′（-1）=-＜0，h′（0）=＞0，则存在唯一的x0∈（-1，0），使h′（x0）=0，即+x0+=0；当x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（x0）=++x0-；又h′（x0）=0，则h（x0）=（--x0）++x0-=（-x0-3），又x0∈（-1，0），则h（x0）∈（-1，-），即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，所以k≤h（x0），由k max=-1，得出k的最大值为-1．解析：（1）根据题意，对函数g（x）=求导数，利用导数判断g（x）的单调性，并求g（x）的极值；（2）根据题意化为k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，构造函数，利用导数求该函数的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，也考查了构造法与转化思想，是难题．22.答案：解：（I）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），∴曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．∴曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，∴x2+4x-x2-y2=0，即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（说明：化简不对，但准确写出互化公式得1分）（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有，∵||=2||，∴，或=-2，当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=2t2，，解得a=，a=，符合题意，∴实数a的值为．当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=-2t2，，解得a=，a=＞0，符合题意，∴实数a的值为．综上，a的值为或．解析：（I）由曲线C1参数方程能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，由此能求出实数a的值．本题考查极坐标方程化普通方程，韦达定理，直线参数方程的几何意义，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x2-2x），∴g（x）=-x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2-|x-1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|可化为：c≤2x2-|x-1|．作出函数F（x）=2x2-|x-1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．…（10分）解析：先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项本题考查二次函数图象与性质．。

2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三第三次适应性考试数学（理）试题一、单选题1．若,a b ∈R ，且a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b >B ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．lg()0a b ->D ．1b a< 【答案】B【解析】利用特殊值排除错误选项，利用指数函数单调性证明正确选项. 【详解】不妨设1,2a b =-=-，则22a b <，A 选项错误.()lg lg10a b -==，C 选项错误.21ba=>，D 选项错误. 对于B 选项，由于13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，而a b >，所以1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即B 选项正确. 故选：B 【点睛】本小题主要考查数的大小判断，考查指数函数单调性，属于基础题. 2．已知{0,1,2,3},A={|1},B y y ==P A B =⋂，则P 的子集个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】先求得集合B ，由此求得集合P ，根据集合P 元素的个数，求得P 的子集个数. 【详解】由于11y =≥，所以[)1,B =+∞，所以{}1,2,3P A B =⋂=，集合P 共有3个元素，故子集有328=个. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数值域，考查集合交集和子集个数的求法，属于基础题.3．从n 个正整数1，2…n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n 的值为（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．14【答案】B【解析】利用古典概型概率计算公式列方程，解方程求得n 的值. 【详解】两数之和为5有14,23++两种情况，故22114n C =，故()21282n n n C -==，解得8n =. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据古典概型的概率求参数，属于基础题.4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面ABC V 是正三角形E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB A C ．11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E【答案】C【解析】证明11,CC B E 共面，由此判断A 选项错误.由AC 与AB 不垂直，判断B 选项错误.通过证明AE ⊥平面11BCC B ，证得11AE B C ⊥，由此判断C 选项正确.由11//A C AC 而AC 与平面1AB E 相交，判断D 选项错误.【详解】对于A 选项，由于11,CC B E 都含于平面11BCC B ，所以不是异面直线，故A 选项错误.对于B 选项，由于3CAB π∠=，所以AC 与平面11ABB A 不会垂直，故B 选项错误.对于C 选项，在等边三角形ABC 中，AE BC ⊥，根据直三棱柱中易得1AE AA ⊥，所以AE ⊥平面11BCC B ，所以11AE B C ⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，由于11//A C AC ，而AC 与平面1AB E 相交，所以直线11A C 与平面1AB E 不平行，故D 选项错误. 故选：C 【点睛】本小题主要考查异面直线判断、异面直线垂直、线面垂直、线面平行等命题的真假性判断，属于基础题.5．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件），若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A ．3，5B ．7，5C ．5，7D ．5，3【答案】D【解析】根据两组数据的中位数和平均数相等，求得,x y 的值. 【详解】乙组的中位数为65，所以5x =，所以平均数5965676178566562747055y+++++++++=，解得3y =.故选：D 【点睛】本小题主要考查与茎叶图有关的平均数和中位数的计算，属于基础题.6．若()4*nx n N x x ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】求得二项式展开式的通项公式，根据展开式中含有常数项，求得n 的表达式，进而求得n 的最小值. 【详解】二项式()4*nx n N⎛∈ ⎝展开式的通项公式为()()31144221rrn n rr rrn n C xx C x ---⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，由于展开式中含有常数项，则11402r n -=，118r n =，当8r =时，n 取得最小值为11. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式含有常数项求参数，属于基础题.7．不等式2225x x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-B ．(2,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．(,2][2,)-∞-+∞U【答案】A【解析】求得1x >时225x x -+的取值范围，由此求得2a 的取值范围，进而求得a 的取值范围. 【详解】由于1x =是225y x x =-+的对称轴，所以当1x >时，22251254x x -+>-+=.所以24a ≤，解得22a -≤≤. 故选：A 【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解，属于基础题.8．己知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率(1,2]e ∈，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】根据b a 与c a 的关系式，求得ba的取值范围，由此求得经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围 【详解】由于12c a <≤所以12<≤，所以22114,03b b a a ⎛⎫⎛⎫<+≤<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0b a <≤，所以经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：B 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率和渐近线斜率的关系，考查直线斜率与倾斜角的对应关系，属于基础题.9．在直角坐标系xOy 中，曲线log (3)3a y x =-+（0a >，且1a ≠）过定点P ，若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过定点P ，则tan 2θ的值为（ ） A ．247-B ．247C ．724-D ．724【答案】B【解析】先求得P 点坐标，由此求得tan θ的值，进而求得tan 2θ的值. 【详解】曲线log (3)3a y x =-+的定点()4,3P ，所以3tan 4θ=，所以223322tan 2442tan 271tan 731164θθθ⨯====-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本小题主要考查对数函数过定点问题，考查三角函数的定义，考查正切的二倍角公式，属于基础题.10．已知函数1()ln1xf x x x+=+-，且()(1)0f a f a ++>，则a 的取值范为（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式()(1)0f a f a ++>，求得a 的取值范围.【详解】 由101x x +>-解得11x -<<，而()()11n 11ln l x f x x x x x f x x ++-⎛⎫-=-=-=- ⎪+⎝⎭-，所以()f x 为奇函数，且1()ln1x f x x x +=+-()122ln ln 111x x x x x --+⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭为增函数，所以由()(1)0f a f a ++>，得()()()1f a f a f a +>-=-，则1a a +>-，解得12a >-.由于11111a a -<<⎧⎨-<+<⎩，即10a -<<.所以102a -<<.即a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.11．ABC V 为等腰直角三角形，90C ∠=︒，1CA CB ==，CD 为斜边AB 上的高，D 是垂足，P 为线段CD 的中点，则AP CP ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．-1 B ．12-C ．14-D ．18-【答案】D【解析】利用向量减法运算化简,AP CP u u u r u u u r ，结合向量数量积运算求得AP CP ⋅u u u r u u u r的值.【详解】依题意112224AB CD AB CP CD ==⨯==⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()2AP CP CP CA CP CP CA CP⋅=-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur21111cos 4544848⎛=-⨯=-=- ⎝⎭o. 故选：D【点睛】本小题主要考查向量的减法和数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 12．设函数()ln f x x x =，()()'f x g x x=，给定下列命题①不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；②函数()g x 在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减； ③若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则1m ≥； ④若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则实数()0,1a ∈．则正确的命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】明确函数()g x 的图象及性质，命题的正误易判. 【详解】f （x ）=xlnx 的导数为f′（x ）=1+lnx ， 则()()1lnxf xg x xx+=='，()2'lnx g x x =-,对于①()0g x >即1lnx 0x +＞，解得1x e >，故正确； 对于②()2'lnxg x x=-，当x ()0,1∈时()()'0g x g x ＞，在()0,1单调递增，故错误；对于③()()()2212122m x x f x f x ->-可化为：()()222211 22m m f x x f x x ->- 设()2φfx 2m x x =-，又120x x >>∴()φx 在()0∞+，上单调递减，∴()φ'1lnx mx 0x =+-≤在()0∞+，上恒成立， 即1lnx m x +≥，又()1lnxg x x+=在()0,1单调递增，在()1∞+，上单调递减， ()11g =，∴m 1≥故正确；对于④若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()'F x = 1+lnx-2ax 有两个零点，即1+lnx-2ax=0，2a=1lnxx+ 又()1lnxg x x+=在()0,1单调递增，在()1∞+，上单调递减， ()11g =，x ∞→+时，()0g x →，即2a ()0,1∈，a 10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故错误；故选B 【点睛】本题考查导数的运用：考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的零点的个数，注意运用转化思想、数形结合思想，属于中档题．二、填空题 13．复数121iz i i-=-+（i 为虚数单位），则||z =________． 【答案】3【解析】利用复数除法运算化简z ，再求得z . 【详解】依题意()()()211222231112i i iz i i i i i i i ---=-=-=-=-++-，所以3z =. 故答案为：3 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.14．若直线20(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则21a b+的最小值为________． 【答案】4【解析】利用题目所给弦长，求得,a b 的关系式，再利用基本不等式求得21a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y ++-+=可化为()()222122x y ++-=，所以圆心为()1,2-，半径为2，由于直线与圆相交所得弦长为4，则直线过圆心，即220,22a b a b --+=+=.()2112122a b a b a b ⎛⎫+=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭14144422b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当224,4,21b a a b a b a b ====时等号成立，所以21a b+的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查基本不等式求最值，属于基础题. 15．从抛物线214y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5PM =.设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为______. 【答案】10【解析】先设处P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P 点横坐标，代入抛物线方程求得P 的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案. 【详解】抛物线24x y =上一点P 引抛物线准线的垂线， 设()00,P x y依题意可知抛物线准线1y =-，0514y ∴=-=.04x ∴=，MPF ∴∆的面积为：011||541022PM x =⨯⨯=. 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义.16．记函数|1|1()cos 2x f x x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(2,4)-上的零点分别为(1,2,,)i x x i n ==⋅⋅⋅，则1ni i x ==∑ ________．【答案】6【解析】画出11,cos 2x y y x π-⎛⎫== ⎪⎝⎭在区间()2,4-上的图象，根据两个图象交点的对称性，求得1ni i x =∑.【详解】令|1|1()cos 02x f x x π-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得|1|1cos 2x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，画出11,cos 2x y y x π-⎛⎫== ⎪⎝⎭在区间()2,4-上的图象如下图所示.两个函数图象都关于直线1x =对称，所以两个函数图象的六个交点，也关于直线1x =对称，所以1326nii x==⨯=∑.故答案为：6【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查函数图像的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差d =2，且1,a 3,a 4a 成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列102n a n b n +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（I ）210n a n =-；（2）()11144332n n n n S ++=⋅-+【解析】（I ）根据等比中项的性质列方程，并转化为1,a d 的形式，由此求得1a ，进而求得{}n a 的通项公式.（II ）利用分组求和法求得数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】（I ）由于1,a 3,a 4a 成等比数列，所以2314a a a =⋅，即()()211146a a a +=⋅+，解得18a =-.所以210n a n =-.所以数列{}n a 的通项公式为210n a n =-.（II ）由（I ）得224n nn b n n =+=+.所以()()244412nn S n =+++++++L L ()()4141142n n n -+=+-()11144332n n n ++=⋅-+. 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，考查分组求和法，属于中档题.18．如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE P12AC ，AD=BD=1. (Ⅰ)求AB 的长；(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.【答案】(1)2AB =217. 【解析】分析：(Ⅰ) 先由面面垂直的性质可得AC ⊥平面ABD ，DE ⊥平面ABD ，可得DE BD ⊥，再证明BD ⊥平面ADE ，于是得AD BD ⊥，由勾股定理可得结果；(Ⅱ)过O 作直线//OY AC ，以点O 为坐标原点，直线,,OB OY OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示. 记2AC a =，求出平面的一个法向量，利用点E 到平面BCD 的距离，结合24AC ≤≤，可得点E 到平面BCD 的距离的最大值.详解：(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面ABD. 又∵DE ∥AC ，∴DE ⊥平面ABD ，从而DE ⊥BD.注意到BD ⊥AE ，且DE∩AE=E ，∴BD ⊥平面ADE ，于是，BD ⊥AD. 而AD=BD=1，∴2AB =.(Ⅱ)∵AD=BD ，取AB 的中点为O ，∴DO ⊥AB. 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC.过O 作直线OY ∥AC ，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.记2AC a =，则12a ≤≤，22000022A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，222000C a D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，20E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()220BC a =-u u uv ，，，22022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，，. 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =v，，.由00BC n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得22022022x ay x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.令2x =，得122n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，，. 又∵()00DE a u u u v ，，=-，∴点E 到平面BCD 的距离214DE n d n a⋅==+u u u v v v .∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max 217=144d =+.点睛：本题主要考查空间垂直关系，利用空间向量求点到面的距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．已知椭圆()2222C :1,0x y a b a b +=>>，短轴一个端点到右焦点的(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，坐标原点O 到直线l求AOB n 面积的最大值.【答案】(1)2213x y +=；(2)2. 【解析】试题分析：(1)由题意可得：1a b == ，则椭圆方程为22x y 13+=．(2)分类讨论：①当AB x ⊥轴时，AB =②当AB 与x 轴不垂直时，设处直线AB 的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得max 1S AB 2=⨯=. 试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意{3c a a ==1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213xy +=．（2）设()12,A x x ，()22,B x y ． ①当AB x ⊥轴时，AB ．②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．=()22314m k=+．把y kx m=+代入椭圆方程，整理得()22316k x kmx++2330m+-=，122631kmx xk-∴+=+，()21223131mx xk-=+()()222211AB k x x∴=+-=()()()22222221213613131mk mkkk⎡⎤-⎢⎥+-⎢⎥++⎣⎦．()()()222221213131k k mk++-=+()()()2222319131k kk++=+242123961kk k=+=++()221230196kkk+≠++1234236≤+=⨯+当且仅当2219kk=，即k=时等号成立．当0k=时，AB=，综上所述max2AB=．当k=±时，AB取得最大值，AOBV面积也取得最大值．max12S AB=⨯=.20．小军的微信朋友圈参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 98608753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980男性好友走路的步数情况可分为五个类别（说明：a~b表示大于等于a，小于等于b）A（0~2000步）1人，B（2001-5000步）2人，C（5001~8000步）3人，D（8001-10000步）6人，E（10001步及以上）8人若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“健康型”否则被系统认定为“进步型”．（I）访根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并根据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关？（Ⅱ）如果从小军的40位好友中该天走路步数超过10000的人中随机抽取3人，设抽到女性好友X人，求X的分布列和数学期望()E X．附：22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++n a b c d=+++．【答案】（I）22⨯列联表见解析，没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（Ⅱ）分布列见解析，数学期望为3 5 .【解析】（I）根据题目所给数据填写好22⨯列联表，计算出2K的值，由此判断出没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（II）利用超几何分布分布列计算的公式，计算出X的分布列，进而求得数学期望. 【详解】（I）根据题目所给数据列联表如下图所示：所以()2240141286 3.636 3.84122182020K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（II ）女性好友超过10000步的有2人，男性好友超过10000步的有8人，共有10人超过10000步，从中抽取3人，其中女性好友的人数X 的可能取值为0,1,2.且()03283107015C C P X C ⋅===，()12283107115C C P X C ⋅===，()21283101215C C P X C ⋅===. 所以分布列为数学期望为()77193012151515155E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列以及数学期望的计算，属于中档题.21．已知函数1()ln(1)1()1a f x a x a a R x +=-++--∈+， （I ）讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）若对任意的正整数n 都有11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立，求a 的取值范围．【答案】（I ）当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上递减.当102a -<<时，()f x 在210,a a +⎛⎫ ⎪-⎝⎭上递减，在21,a a +⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递增.当12a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上递增.（II ）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】（I ）求得()f x 的导函数()'fx ，对a 分成1110,0,,222a a a a ≥-<<<=-<-等四种情况，讨论()f x 的单调性.（II ）将不等式11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭转化为111ln 10a n n n⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造()()()(]()1ln 10,1g x ax x x x =-+-∈，利用()g x 的导函数，结合（I ）的结论，求得a 的取值范围. 【详解】（I ）依题意()()'2211ax a f x x ---=+（0x >）当0a ≥时，()'0fx <，所以()f x 在(0,)+∞上递减.当0a <时，令()'0f x =解得21a x a+=-. 当102a -<<时，210,0a a a +->>-，所以()f x 在210,a a +⎛⎫⎪-⎝⎭上递减，在21,a a +⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递增.当12a =-时，()()'21201x f x x =>+，()f x 在(0,)+∞上递增. 当12a <-时，210,0a a a+-><-，所以()f x 在(0,)+∞上递增. 综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上递减.当102a -<<时，()f x 在210,a a +⎛⎫⎪-⎝⎭上递减，在21,a a +⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上递增.当12a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上递增.（II ）不等式11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭两边取以e 为底的对数，可转化为111ln 10a n n n ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()()(]()1ln 10,1g x ax x x x =-+-∈，故要对任意的正整数n 都有11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立，只需对任意(]0,1x ∈，有()0g x >.()()()'1ln 111a g x f x a x a x +==-++--+. 由（I ）知： 当12a ≤-时，()g x 在(]0,1上递增，所以()()00g x g >=，符合题意. 当0a ≥时，()g x 在(]0,1上递减，()()00g x g <=，不符合题意. 当1123a -<≤-时，()g x 在210,a a +⎛⎫ ⎪-⎝⎭上递减，所以当210,a x a +⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()00g x g <=，不符合题意.当103-<<a 时，()g x 在(]0,1上递减，()()00g x g <=，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解有关不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 22．在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是cos ,{sin ,x m t y t αα=+=（t 为参数）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C ：4cos ρθ=.（1）当1m =-，30α=︒时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）当1m =时，若直线与曲l 线C 相交于A ，B 两点，设(1,0)P ，且1PA PB -=，求直线l 的倾斜角.【答案】（1）直线l 与曲线C 相交.（2）3πα=或23π. 【解析】【详解】试题分析：(1)圆心到直线的距离小于半径，则直线l 与曲线C 相交.(2)写出直线参数方程的标准形式，与圆的方程联立，利用参数的几何意义整理可得直线l 的倾斜角3πα=或23π. 试题解析：解：（1）由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C 的普通方程为()2224x y -+=， 所以曲线C 是以()2,0M 为圆心，2为半径的圆，由直线l的参数方程为1,{1,2x y t =-+=（t 为参数），得直线l的直线坐标方程为10x +=. 由圆心M 到直线l的距离322d ==<， 故直线l 与曲线C 相交.（2）直线l 为经过点()1,0P 倾斜角为α的直线， 由1{x tcos y tsin αα=+=代入()2224x y -+=，整理得，22cos 30t t α--=，()22cos 120α∆=+>，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，1230t t ⋅=-<， 所以12,t t 异号.则122cos 1PA PB t t α-=+==，所以1cos 2α=±，又[)0,απ∈， 所以直线l 的倾斜角3πα=或23π.。

高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}，C={x∈N|3x∈A}，则B∩C=（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}2.右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A. B.C. D.3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A. =-+B. =-C. =+D. =+5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 256.如果对定义在R上的奇函数y=f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y=f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）=sin xB. f（x）=e xC. f（x）=x3-3xD. f（x）=x|x|7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 318.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=4，且x1，x2∈[-2π，2π]，则x1-2x2的最大值为（）A. B. C. D.9.已知圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. 2 D. 210.抛物线x2=y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2=32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 2111.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 512.已知函数，则函数g（x）=xf（x）-1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x=1，则|PF|=______．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=|-5x+y|的取值范围为______．15.在的展开式中，常数项为______．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18.如图1，等边△ABC中，AC=4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值，并求出这个定值．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：=5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ-σ，μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ，μ+2σ）=0.9544．20.已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=6，求△AOB面积的最大值．21.已知函数f（x）=e x-有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．23.已知函数f(x)＝的定义域为R.(1)求实数m的取值范围．(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足＋＝n时，求7a＋4b的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}={3，6，9，18，27}，C={x∈N|3x∈A}={1，2，3}，∴B∩C={3}．故选：D．先分别求出集合A，B，C，由此能求出B∩C．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则＞，σ甲＜σ乙．故选：A．甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，由已知可得e2i=cos2+i sin2，再由三角函数的象限符号得答案，是基础题．【解答】解：由题意可得，e2i=cos2+i sin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选B．4.【答案】A【解析】解：；∴；∴．故选：A．根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5.【答案】C【解析】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）=sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）=e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3-3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=x|x|=，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．7.【答案】B【解析】解：将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为=4，所以矩形的长等于4×6=24，宽等于7，由勾股定理求得d==25．故选：B．将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1-2x2的最大值．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）=sin（2x-+）+1=-cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）=4，则g（x1）=g（x2）=2，或g（x1）=g（x2）=-2（舍去）．故有g（x1）=g（x2）=2，即cos2x1=cos2x2=-1，又x1，x2∈[-2π，2π]，∴2x1，2x2∈[-4π，4π]，要使x1-2x2取得最大值，则应有2x1=3π，2x2=-3π，故x1-2x2取得最大值为+3π=．故选：A．9.【答案】C【解析】解：由圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，得：（x-1）2+（y-2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为故选：C化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C 的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．10.【答案】B【解析】解：∵y=2x2（x＞0），∴y′=4x，∴x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），整理，得4a i x-y-2a i2=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1=a i，∴{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，∴a2+a4+a6=32+8+2=42．故选：B．由y=2x2（x＞0），求出x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1=a i，所以{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的定义和性质，考查三角形的中位线定理，属于中档题．求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【解答】解：设F2（c，0），椭圆左焦点记为F1（-c，0），直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|==b，即有|OP|==a，因为O为F1F2中点，OP是MF2的中垂线，点P在MF2上，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|=2|OP|=2a，|MF2|=2b，由|MF2|-|MF1|=2a，即为2b-2a=2a，即b=2a，可得e====．故选：C．12.【答案】B【解析】解：由g（x）=xf（x）-1=0得xf（x）=1，当x=0时，方程xf（x）=1不成立，即x≠0，则等价为f（x）=，当2＜x≤4时，0＜x-2≤2，此时f（x）=f（x-2）=（1-|x-2-1|）=-|x-3|，当4＜x≤6时，2＜x-2≤4，此时f（x）=f（x-2）=[-|x-2-3|]=-|x-5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）=1，f（3）=f（1）=，f（5）=f（3）==，设h（x）=，则h（1）=1，h（3）=，h（5）=＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．由g（x）=xf（x）-1=0得f（x）=，根据条件作出函数f（x）与h（x）=的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：由y=2x2，得x2=，则p=；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+=2+=，故答案为：．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.【答案】[0，11]【解析】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：-5x+y=0，再作一组平行于l0的直线l：-5x+y=z，当直线l经过点A时，z=-5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（-2，0），所以z max=-5×（-2）+0=10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，-1）函数的最小值为：-10-1=-11．z=|-5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.【答案】-40【解析】解：∵=（x-2）=（x6+6x4+15x2+20+15•+6•+）（x-2），∴常数项是20•（-2）=-40，故答案为：-40．根据=，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.【答案】2π【解析】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2=R2=3；所以圆柱的体积为V=πr2h=π（3-h2）h=π（3h-h3）；则V′（h）=π（3-3h2），令V′（h）=0，解得h=1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h=1时，V（h）取得最大值为V（1）=2π．故答案为：2π．设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．17.【答案】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：（a+b）（sin A-sin B）=（c-b）sin C，利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A=．（2）由于，所以：a2=b2+c2-2bc cos A，整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以：=3．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA=x，则OF=2-x，OE=，∴B（2，2-x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（-2，2-x，0），=（-2，2-x，-x），=（-2，x-2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴=+8=0，解得x=（舍）或x==，∴=，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量=（0，1，0），=（，0，-x），=（-2，x-2，0），设平面ABE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，），设二面角D-AE-B的平面角为θ，则cosθ===，∴无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值．【解析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处．（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值．本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1-（0.006+0.026+0.022+0.008）×10=0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．质量指标值的样本方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104．（3）①由（2）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）=P（100-2×10.2＜Z ＜100+2×10.2）=0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX=100000[0.9544×10-（1-0.9544）×20]=863200．【解析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c=，2a==12，则a=6，∴b2=a2-c2=12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x=m，得|AB|=，由|AB|==6，解得m=±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-36=0．△=36k2m2-4（3k2+1）（3m2-36）=432k2-12m2+144．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．由|AB|==6，整理得：，原点O到AB的距离d=．∴===．当时，△AOB面积有最大值为＞9．综上，△AOB面积的最大值为．【解析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c=，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x=m，由弦长求得m，可得三角形AOB 的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O 到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】（1）解：f′（x）=e x-ax．∵函数f（x）=e x-有两个极值点．∴f′（x）=e x-ax=0有两个实数根．x=0时不满足上述方程，方程化为：a=，令g（x）=，（x≠0）．g′（x）=，可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）=e x-ax=0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：x1+x2＞2⇔x2＞2-x1＞1⇔＞，由=，因此即证明：＞．构造函数h（x）=-，0＜x＜1，2-x＞1．h′（x）=-=（x-1），令函数u（x）=，（0＜x）．u′（x）=．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）=-在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）=0．∴x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）=0．∴h（x）＞h（1）=0．∴＞．因此x1+x2＞2成立．【解析】（1）f′（x）=e x-ax．函数f（x）=e x-有两个极值点⇔f′（x）=e x-ax=0有两个实数根．x=0时不满足上述方程，方程化为：a=，令g（x）=，（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．x1+x2＞2⇔x2＞2-x1＞1⇔＞，由=，因此即证明：＞．构造函数h（x）=-，0＜x＜1，2-x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2．|AB|=|t1-t2|===8．【解析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.【答案】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．【解析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

西工大附中2020级高三月考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，{}(,)|3x B x y y ==，则A B I 中的元素的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】分析出集合,A B 分别表示椭圆和函数图像上的点，然后数形结合得出集合的交集中元素的个数. 【详解】集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭表示椭圆2212x y +=上的点组成的集合. 集合B 表示函数3y x =的图像上的点组成的集合. 在同一坐标系中作出椭圆2212x y +=和函数3y x =的图像，如图.由图可知，椭圆2212x y +=和函数3y x =的图像有2个公共点. 所以A B I 有2个元素.故选：B【点睛】本题考查集合交集中元素的个数，属于基础题.2.复数2312i z i +=+-在复平面内对应的点到原点的距离是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将复数z 化简，然后得出复数z 在复平面内对应的点的坐标，再求它到原点的距离. 【详解】复数()()()()212233*********i +i i 5i z =+i i i +i ++=+=+=+-- 所以复数3z +i =在复平面内对应的点为()3,1.所以复数3z +i =故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，属于基础题.3.虚拟现实（VR ）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR 技术后，VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR 市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是( )A. 该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍B. 该地区2019年的VR 硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C. 该地区2019年的VR 软件收入是2018年的软件收入的3倍D. 该地区2019年的VR 软件收入是2017年的软件收入的6倍【答案】D【解析】【分析】根据统计图给出的信息和题目条件，对选项进行逐一判断，得出答案.【详解】设该地区2017年VR 市场收入为a ，则由VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番. 所以该地区2018年VR 市场收入为2a ，该地区2019年VR 市场收入为4a .A ．该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍,所以A 正确.B.由图可得该地区2019年的VR 硬件收入为40.7 2.8a a ⨯=.该地区2017年的VR 硬件收入为0.90.9a a ⨯=.该地区2018年的VR 硬件收入为20.8 1.6a a ⨯=. 由0.9 1.6 2.5 2.8a a a a +=<， 所以B 正确.C. 该地区2019年的VR 软件收入为：40.3 1.2a a ⨯=,2018年的软件收入为：20.20.4a a ⨯=.所以C 正确D. 该地区2019年的VR 软件收入为：40.3 1.2a a ⨯=,2017年的软件收入为：0.10.1a a ⨯=,所以D 不正确.故选：D【点睛】本题考查条形统计图的应用，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为0，则中可填入( )A. 2m m =+B. 1=+m mC. 1m m =-D. 2m m =-【答案】A【解析】【分析】 根据程序运行，将每一个选项代入试运行，算出其输出结果，从而选出答案.【详解】对选项A ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,6S m ==,则()4648S =⨯-=8,8S m ==,则()8880S =⨯-=,所以输出结果0S =,所以正确.对选项B ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,5S m ==,则()4544S =⨯-=4,6S m ==,则()4648S =⨯-=8,7S m ==,则()87880S =⨯-=-<，输出结果8S =-,所以不正确.对选项C ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,3S m ==,则()43440S =⨯-=-<，输出结果4S =-,所以不正确.对选项D ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,2S m ==,则()42480S =⨯-=-<,所以输出结果8S =-,所以不正确.故选：A【点睛】本题考查程序框图中循环，考查补全程序结构，属于中档题.5.设124a -=，141log 5b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a << 【答案】B【解析】【分析】 利用对数的单调性可得411log 22b c >>>=，而12a =，可得答案. 【详解】12142a -==，1444411log log 51log 3log 252b ==>>>= 所以a c b <<故选：B【点睛】本题考查利用对数函数的单调性比较大小，属于中档题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是( ) A. 115 B. 110 C. 13 D. 130【答案】C【解析】【分析】先分析出,A B 区域可以填的数字，根据古典概率可知，当B 区域标记数字1时，A 区域的数字为2时，标记数字1的区域的面积最大，从而概率最大，得出答案.详解】由题意B 区域标记数字1,4.当B 区域标记数字1时，A 区域的数字为2.当B 区域标记数字4时，A 区域的数字可以为1或2.在图上随机取一点，要使得该点恰好取自标记为1的区域的概率最大，则只需标记数字1的区域的面积最大即可. 显然当B 区域标记数字1时，A 区域的数字为2时，标记数字1的区域的面积最大. 此时标记数字1的区域共有10个小正方形,而在图上共有30个小正方体. 所以所求概率的最大值为：101303P == 故选：C 【点睛】本题考查几何概率的求法，属于中档题.7.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是( )A. 卫星向径的最小值为a c -B. 卫星向径的最大值为a c +C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大【答案】D【解析】【分析】由题意向径即椭圆上的点与焦点的连线的距离，由椭圆的性质可得出答案.【详解】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离.根据椭圆的几何性质有：卫星向径的最小值为a c -，卫星向径的最大值为a c +，所以A, B 正确.【当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时， 由12111a c e a c e e--==-++++，可得e 越大，椭圆越扁，所以C 正确. 卫星运行速度在近地点时,其向径最小，由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等.则卫星运行速度在近地点时最大，同理在远地点时最小，所以D 不正确.故选：D【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于中档题.8.已知在斜三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BF EA FB =，14AA =，ABC V 的面积为5，截面1C EF 与截面CEF 将三棱柱111ABC A B C -分成三部分.若中间部分的体积为4，则1AA 与底面所成角的正弦值为( ) A. 12 B. 35 C. 45D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意可得中间部分的体积为原三棱柱体积的三分之一，得到原三棱柱的体积，设1AA 与底面所成角为α，由棱柱体积公式列式求得sin α的值．【详解】由点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BF EA FB = 则//EF AB ，过EF 作平面//EFG 底面ABC ，如图. 则111113C EFG A B C EFG V V --=, 13C EFG ABC EFG V V --=. 所以中间部分的体积1111143E FCC ABC A B C V V --==所以11112ABC A B C V -=，设三棱柱111ABC A B C -的高为h 111512ABC A B C ABC V S h h -=⨯==△,则125h =, 设1AA 与底面所成角为α，则11235sin 45h AA α===故选：B【点睛】本题考查直线与平面所成角，关键是明确中间几何体的体积与原三棱柱体积的关系，考查棱柱体积公式的应用，是中档题．9.已知()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A. 或0B. 12-C. 12D. 【答案】D【解析】【分析】由()f x 是R 上的奇函数，可求出ϕπ=，()f x 的图象关于直线4x π=对称可得42,k k ω=+∈Z ，再根据()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数有，222211T πππω⎛⎫=≥⨯+ ⎪⎝⎭，从而得到答案. 【详解】由题意，()f x 是R 上的奇函数，则()0sin 0f ϕ==.又0ϕπ<≤，则ϕπ=，即()sin f x x ω=-根据()f x 的图象关于直线4x π=对称，则,42k k Z ππωπ⨯=+∈. 所以42,k k ω=+∈Z .()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，所以222211T πππω⎛⎫=≥⨯+ ⎪⎝⎭. 则223ω≤，又0>ω. 所以2ω=或6ω=.当2ω=时，()sin 2f x x =-，满足条件，()sin 632f ππ=-=- 当6ω=时，()sin 6f x x =-，此时函数()f x 在 ,2212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,1211ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，不满足条件.所以()62f π=- 故选：D【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的奇偶性、对称性和单调性，属于中档题.10.已知直线l 与曲线xy e =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点.若OAB V 的面积为3e ，则点P 的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】设切点()00,P x y ，由导数得出切线方程，求出切线与坐标轴的交点的坐标，利用面积公式可得()020112x S x e =-，即研究()()2112x f x x e =-的图像与3y e =的交点个数，利用导数求出函数()f x 的单调区间，结合图像可得答案.【详解】设()00,P x y ，e xy '=，则以P 为切点的切线的斜率为：0x k e = 以P 为切点的切线方程为：()000-=-x x y ee x x . 所以()()()0001,0,0,1x A x B x e-- 则()000111122x OAB S OA OB x x e =⨯⋅=⨯-⨯-△ ()020112x x e =- 设()()2112x f x x e =-，则()()()()()211111122x x x f x x e x e x x e '=--+-=+-. 由()0f x '>，得1x <-或1x >,()0f x '<,得11x -<<.所以()f x 在()1-∞-，上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1+¥，上单调递增.又()()2310,1f f e e=-=<，且恒有()0f x ≥成立. 如图所以()f x 的图像与3y e =有1个不同的交点. 所以OAB V 的面积为3e的点P 有1个. 故选：A 【点睛】本题考查利用函数导数研究过曲线上某点处的切线方程和方程的根的个数问题，属于中档题.11.知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF V 的内切圆与边2AF 切于点B .若124||FF AB =，则C 的渐近线方程为( )A. 0y ±=B. 0x ±=C. 20x y ±=D. 20x y ±= 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程.【详解】如图所示：设,,G B N 分别为2MAF V 三边与其内切圆的切点，圆心为I .已知MGI △≌MNI △，2F BI △≌2F NI △,AGI △≌ABI △. 即22,,NM MG AG AB F B F N === 由双曲线的定义有：122MF MF a -=. 则121212MF MF MF MN NF MF MG BF -=--=--222AF BF AG AB AG AB =-+=+= 所以22AB a =,即AB a =.又124F F AB =.所以24c a =，又222+=a b c，解得b a= 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为：b y x a=±=. 故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、性质和渐进线方程，考查圆的切线性质，属于中档题.12.已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则( )A. sgn(())0f x >B. 404112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. sgn((2))0()f k k Z =∈D. sgn(())|sgn |()f k k k Z =∈ 【答案】C【解析】【分析】先根据函数的周期性和奇偶性作出函数()f x 的图像,再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合可对四个选项进行逐一判断，可得答案.【详解】由()f x 满足(2)()f x f x +=，所以()f x 是以2为周期的周期函数.当[0,1]x ∈时，()f x x =，又()f x 为偶函数，即()()f x f x =-. .当10x -≤≤时，01x ≤-≤，所以()()f x f x x =-=-所以当11x -≤≤时,(),01,10x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩,此时()[]0,1f x ∈.由()f x 是以2为周期的周期函数，()f x 的值域为[]0,1，其图象如下：所以()()()()011sgn 00f x f x f x <≤⎧=⎨=⎩，所以A 不正确.由()f x 是以2为周期的周期函数， 则404111120202222f f +f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以B 不正确.k Z ∈时，由函数的周期性()()200f k f ==.所以()sgn((2))sgn 00f k ==，所以C 正确.当2k =时，()20f =，所以()sgn((2))sgn 00f ==，而sgn 21=. 此时sgn((2))|sgn 2|f ≠，所以D 不正确. 故选：C【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶的应用，以及符号函数的性质应用，考查转化的方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(3,2)a =-r ，(1,1)b =-r ，若()a b a μ+⊥r r r ，则实数μ的值为________；若()//(2)a b a b μ++r r r r ，则实数μ的值为________. 【答案】 (1). 135 (2). 12【解析】 【分析】先求出a b μ+rr的坐标，利用()0a b a μ+⋅=rrr可求解第一个空. 然后利用两向量平行的坐标条件可求解第二.个空.【详解】向量(3,2)a =-r，(1,1)b =-r ， ()()()3,2,3,2a b μμμμμ+=-+-=--r r()a b a μ+⊥r r r,则()0a b a μ+⋅=r r r .又()()()33220a b a μμμ+⋅=-⨯-+⨯-=r rr ，解得:135μ=. ()()()26,41,15,3a b +=-+-=-rr()//(2)a b a b μ++r rr r ,则()()()33520μμ-⨯--⨯-=，解得：12μ=故答案为：（1）135 ，（2）12【点睛】本题考查利用向量的垂直和平行求参数，属于基础题.14.若对12233(1)1n n n n n n n x C x C x C x C x +=+++++…两边求导，可得11232(1)23n n n n n x C C x C x -+=++1n n n nC x -++…，通过类比推理，有723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，可得1234567234567a a a a a a a ++++++的值为________.【答案】35 【解析】 【分析】根据题目给出的方法，对723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++两边求导，然后令1x =，可得答案.【详解】由723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++两边求导得：()62345612345677554234567x a a x a x a x a x a x a x ⨯⨯-=++++++令1x =可得：123456723436755a a a a a a a =++++++ 故答案为：35.【点睛】本题考查类比方法的推理和赋值法的应用，属于中档题. 15.已知数列{}n a 中，111a =，121n n a a n n+=++，若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立，则实数t 的取值范围是________. 【答案】()4,2-【分析】先用累加法求出的n a 通项公式, 存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立,则()2max n a m t t >+，可求解答案.【详解】由121111n n n a a a n n n n +=+=+-++. ∴()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+L L1111111111121322n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 112n =- ∴11212n a n=-< 若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立.所以212m t t >+对任意的[1,4]m ∈恒成立.设()212f m mt t =+-，即()0f m <对任意的[1,4]m ∈恒成立.函数()f m 是关于m 的一次或常数函数.所以()()1040f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即221204120t t t t ⎧+-<⎨+-<⎩解得4362t t -<<⎧⎨-<<⎩，即42t -<<所以实数t 的取值范围是42t -<< 故答案为：()4,2-.【点睛】本题考查用累加法求数列的通项公式，考查恒成立和能成立问题，属于中档题.16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是a ，S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点，点Q 在正方形11DCC D 及其内部运动，若//PQ 平面1SBC ，则点Q 的轨迹的长度是________.【答案】2【解析】过点P 作一平面使之与平面1SC B 平行，则该平面与正方体的面11DCC D 的交线为动点Q 的轨迹，从而可求出答案.【详解】由S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点 在线段11D C 上取点M ，使得11114D M D C =，连接PM . 在线段CD 上取点N ，使得14CN CD =，连接MN . 设H 为11D C 的中点，连接1A H SH CH ，，,如图.则有111//,//PM A H A H SC ,所以1//PM SC . 所以//PM 平面1SC B .又//,//SB CH CH MN ,所以//MN SB ，//MN 平面1SC B ,且PM MN M ⋂=所以平面1//SC B 平面PMN .且平面PMN 与正方体的面11DCC D 相交于MN . 所以当点Q 在线段MN 上时，有//PQ 平面1SBC所以MN CH ===.所以点Q .故答案为：2. 【点睛】本题考查空间几何体中轨迹问题，直线与平面的平行的判定的应用，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.如图所示，在ABC V 中，点D 在边BC 上，且90DAC ︒∠=，cos 3DAB ∠=，AB =.（1）若sin C =，求BC 的值； （2）若BC 边上的中线2AE =，求AC 的值. 【答案】（1） 4 （2【解析】 【分析】（1）先由诱导公式sin BAC ∠的值，再由正弦定理求解BC .(2) 延长AE 到F ，使得AE EF =,连接,BF CF ,得到平行四边形ABFC ，然后在ABF V 中用余弦定理可解得答案.【详解】(1)由90DAC ︒∠=，cos 3DAB ∠=. 又()sin sin 90cos 3BAC BAD BAD ∠=∠+︒=∠=由正弦定理有sin sin BC ABBAC C=∠,所以sin 4sin AB BAC BC C ⋅∠===. 所以4BC =.(2)由90BAC BAD ∠=∠+︒,所以BAC ∠为钝角. 又由（1）有sin BAC ∠=，所以1cos 3BAC ∠=-又AE 为BC 边上的中线，延长AE 到F ，使得AE EF =,连接,BF CF ,如图.则四边形ABFC 为平行四边形,所以1cos cos 3ABF BAC ∠=-∠=则在ABF V 中,4AB AF ==所以2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-⋅∠即21166+3BF BF =-⨯，即23300BF --=.解得：3BF =或BF =（舍去）所以AC =【点睛】本题考查诱导公式，正弦定理和余弦定理的应用， 第（2）问还可以用向量法求解，属于中档题. 18.如图，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==，四边形ADEF 是矩形，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF AD λ=.（1）证明：DE ⊥平面ABCD ；（2）若二面角B CF D --，求λ的值.【答案】(1)证明见解析. (2) 2λ=或λ=【解析】 【分析】(1) 取DC 的中点H ,连接,BH AH ，可得AH DE ⊥，再推导出AD DE ⊥，从而得证.(2) 由题目条件和（1）可知,,DA DC DE 两两垂直, 以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系,利用向量法，求出λ的值.【详解】(1)取DC 的中点H ,连接,BH AH . 由//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==. 则ABHD 为正方形.所以AH BD ⊥.又平面BDE ⊥平面ABCD ，且平面BDE ⋂平面=ABCD BD .AH ⊂平面ABCD ,所以AH ⊥平面BDE .又DE ⊂平面BDE .则AH DE ⊥.又四边形ADEF 是矩形，则AD DE ⊥,且AD BD D =I . ∴DE ⊥平面ABCD .(2)由题目条件和（1）可知,,DA DC DE 两两垂直故以点D 为原点，以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.如图. 设1AB =，则DE AF λ==.所以()1,0,0A ，()1,1,0B ,()0,2,0C ,()0,0,E λ,()1,0,F λ.则()1,1,0BC =-uu u r,()1,2,CF λ=-u u u r ,()=0,2,0DC u u u r . 设平面BFC 的一个法向量为()111,,n x y z =r. 所以00n BC n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即11111020x y x y z λ-+=⎧⎨-+=⎩ 取11,1,n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭r设平面DFC 的一个法向量为()222,,m x y z =u r. 所以00m DC m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即2222020y x y z λ=⎧⎨-+=⎩.取(),0,1m λ=-u r二面角B CF D --.cos ,5m n m n m n⋅==⋅u r ru r r u r r 即2243+13=0λλ- ，解得：24λ=或213λ= 所以2λ=或λ=【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查根据二面角的正弦值求线段的长度之比，考查利用向量的方法解决空间角，属于中档题.19.如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆22:(3)(2)16E x y -+-=与C 交于M ，N 两点，且M ，E ，F ，N 四点共线.（1）求抛物线C 的方程；（2）设动点P 在直线1x =-上，存在一个定点(,0)(0)T t t ≠，动直线l 经过点T 与C 交于A ，B两点，直线PA ，PB ，PT 的斜率分别记为1k ，2k ，3k ，且2132k k k +-为定值，求该定值和定点T 的坐标. 【答案】（1）24y x = （2）()1,0T ，2132k k k +-的定值为0. 【解析】 【分析】(1)根据条件MN 为圆E 的直径，则8MN =，设()()1122,,,M x y N x y ，126x x +=，1268MN x x p p =++=+=，从而可求出p 的值；(2) 设()()3344,,,A x y B x y ，()1,P m -,直线x ny t =+,则3412334,,111+y m y m mk k k x x t--===-++，结合抛物线的方程，将抛物线方程与直线方程联立，写出韦达定理，代入化简即可得出答案. 【详解】(1)设()()1122,,,M x y N x y ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，M ，E ，F ，N 四点共线. 由条件圆心()3,2E 为MN 的中点，12124,6y y x x +=+=,8MN =. 所以直线MN 过焦点F ，则1268MN x x p p =++=+=.解得：2p =. 抛物线2:4C y x =.(2) 设()()3344,,,A x y B x y ，()1,P m -，直线x ny t =+.则24x ny t y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ny t --=. 34344,4y y n y y t +=⋅=-.()22223434342168y y y y y y n t +=+-=+3412334,,111+y m y m mk k k x x t--===-++. 233344223434122111112144y m y m y m y m m m++y y x x +t k k k +t =----+=+++++-+()()342234442441y m y m m+y +y ++t--=+()()()()()22343434222343444821416y y y y m y y m m+ty y y y ⎡⎤++-+-⎣⎦=++++ ()()()222444416882116416816n t m n t m m+tt n t ⎡⎤--+-⎣⎦=++++ 2224442224211n tn mn tm m mt n t +t----=++++ ()()()()()()2222222224141444442112211n t +mn t n mn nt mn t t n t +t t n t +t --+--==++++++ 当1t =时，()()()()222241412211n t +mn t t n t +t --+++为定值0.故一个定点(1,0)T ，使得21302k k k =+-为定值【点睛】本题考查利用抛物线的定义结合过焦点的弦长求p 的值，考查定点和定值问题，考查计数化简能力，属于难题. 20.随着智能手机普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求这300名员工日行步数x （单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数； （3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0的元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额X （单位：元）的分布列和数学期望. 附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)P μσξμσ-<≤+0.9545≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.【答案】(1) 12 (2) 47 (3) 分布列见解析，()=216E X 【解析】 【分析】(1) 用每组数据中该组区间的中点值为代表，利用公式直接可求解. (2)由题意得()212,2N ξ∼，求出()1418P ξ<≤即可求解出答案.(3)由频率分布直方图可知每人获得奖金额为0元的概率为0.02，每人获得奖金额为100元的概率为：0.88，每人获得奖金额为200元的概率为：0.1,X 的取值为0，100，200,300,400. 分布求出概率，列出分布列，求出数学期望.【详解】（1） 由题意有0.005250.005270.04290.29211x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+0.112130.032150.0152170.00521911.6812⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈（千步）（2）由()2,N ξμσ:，由（1）得()212,2N ξ∼所以()()()()1141812+2123261810142P P P P ξξξξ<≤=<≤+⨯=<≤-<≤⎡⎤⎣⎦ ()10.99730.68270.15732≈-= 所以300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数：3000.1573=47⨯. (3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：0.00522=0.02⨯⨯.每人获得奖金额为100元的概率为：()0.04+0.29+0.112=0.88⨯ 每人获得奖金额为200元的概率为：0.1X 的取值为0，100，200,300,400.()200.02=0.0004P X ==()121000.020.880.0352P X C ==⨯⨯= ()1222000.020.1+0.880.7784P X C ==⨯⨯=()123000.10.880.176P X C ==⨯⨯=()24000.10.01P X ===所以X 的分布列为：()=00.0004+1000.0352+2000.7784+3000.176+4000.01=216E X ⨯⨯⨯⨯⨯ （元）【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均值，正态分布，离散型随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题. 21.已知函数()()21ln f x a x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，()212x x x <是()f x 的两个零点，求证：212ln 10e a x x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．【答案】（1）f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数()23322a ax f x x x x --'=-+=()0x >，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的结果可知0f <，即2a e >，利用分析法，将需要证明想不等式转化为证明1221ae x x ea--<-，只需证明1212ae x x e a -<<<，利用函数的单调性和零点存在性定理可证明122ax e -<<，根据零点存在性定理和单调性证明. 【详解】（1）f （x ）的定义域为（0，＋∞），且()23322a ax f x x x x --'=-+=，①当a≤0时，f'（x ）≤0，f （x ）的单调递减区间为（0，＋∞）；②当a ＞0时，由f'（x ）＞0得x >，故f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．（2）∵f （x ）有两个零点，∴由（1）知a ＞0且2ln 022a a f a =+<，∴a ＞2e ，要证原不等式成立，只需证明211ln 2e x x a a ⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭，只需证明1221a e x x e a--<-，只需证明1212ae x x e a -<<<．一方面∵a ＞2e 1<<，∴1111022111ln 0222a a a af e e a e e e --⎛⎫=+=->-=> ⎪⎝⎭，∴120a f f e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎫+∞⎪⎪⎭122ax e -<；另一方面，令()1ln g x x ex=+，（x ＞0）， 则()22111ex g x x ex ex -'=-=，当10x e<<时，g'（x ）＜0；当1x e >时，g'（x ）＞0； 故()min 1110g x g e ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，故g （x ）≥0即1ln x ex ≥-时x ∈（0，＋∞）恒成立，令ex a=， 则2ln e a a e >-，于是222222ln 0e ae a af a a ea e e ⎛⎫=+>-= ⎪⎝⎭，而2222222240e e a e ea a a ---=<<，故0e f a ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎛ ⎝单调递减，故1e x a <<综合上述，1212ae x x e a -<<<，即原不等式成立． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和不等式的证明，重点考查了构造函数和讨论的思想，属于难题，本题的难点是再证明0e f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，需要构造函数()1ln g x x ex =+，（x ＞0），并且证明不等式时，经常使用分析法转化.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线2C 的参数方程为2x aty t=-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）. （1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 和2C 相交于A 、B 两点，以线段AB 为一条边作1C 的内接矩形ABCD ，当矩形ABCD 的面积取最大值时，求a 的值.【答案】(1) 曲线1C 的直角坐标方程为：224x y +=;直线2C 的直角坐标方程为：20x ay -+=(2) ±1 【解析】 【分析】(1)曲线1C 利用平方可消去参数，直线2C 可用代入法消去参数，得到普通方程.(2)利用均值不等式的方法可求出圆的内接矩形面积最大时为内接正方形，即BD =,然后利用圆中的垂径定理结合点到直线的距离可求得答案.【详解】（1）曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.所以曲线1C 的直角坐标方程为：224x y +=. 直线2C 的参数方程为2x aty t=-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）.所以直线2C 的直角坐标方程为：20x ay -+=. (2)如图，直线20x ay -+=过定点()2,0-.设,AB m AD n ==. 因为ABCD 为1C 的内接矩形.则BD 为直径,即=4BD 所以2216m n +=.矩形ABCD 对的面积为S ,S mn =.2216822m n mn +≤==,当且仅当m n ==时取等号.圆1C 的半径2r =，圆心到直线2C的距离为：d =由m AB ====，解得：1a =±. 【点睛】本题考查将参数方程化为普通方程，圆的性质，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|||22|()f x x a x a R =+--∈. （1）证明：()||1f x a ≤+；（2）若2a =，且对任意x ∈R 都有(3)()k x f x +≥成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析. (2) 314k ≤≤ 【解析】 【分析】(1)由()()111x a x x a x a +--≤+--=+结合10x --≤可得221x a x a +--≤+，再由绝对值的三角不等式可证.(2设()()()3g x k x f x =+-分段打开绝对值，即()0g x ≥在R 上恒成立，则每一段均要满足恒大于等于0，从而得到答案. 【详解】【详解】(1)因为()()111x a x x a x a +--≤+--=+……①当且仅当()()101x a x x a x ⎧+-≥⎪⎨+≥-⎪⎩时取等号. 又10x --≤………② 当且仅当1x =时取等号.由①+②得：221x a x a +--≤+,当且仅当1x =时取等号.所以()11f x a a ≤+≤+当且仅当10x a =⎧⎨≥⎩时取等号.(2)当2a =时，()4222232141x x f x x x xx x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+≥⎩设()()()()()()1342333211341k x k x g x k x f x k x kx k x k x ⎧-++≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪++-≥⎩依题意可知()0g x ≥在R 上恒成立.则需()()102601=43010k g k g k k -≤⎧⎪-=+≥⎪⎨-≥⎪⎪+≥⎩ ，即16341k k k k ≤⎧⎪≥-⎪⎪⎨≥⎪⎪≥-⎪⎩，解得314k ≤≤.实数k 的取值范围:314k ≤≤ 【点睛】本题考查含绝对值不等式的证明，考查绝对值中的三角不等式的应用，考查恒成立问题，属于中档题.。