2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三下学期3月月考数学(理)试题

2020年西安市西工大附中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素个数为()A. 2B. 3C. 4D. 62.若复数z=a−2i在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则|z|=()2A. 2B. √2C. 1D. 2√23.自古以来“民以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着重要作用.某机构统计了2010～2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确的是()A. 2010～2016年全国餐饮收入逐年增加B. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个C. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年D. 2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A. 14B. 15C. 16D. 175.设a=0.512,b=0.914,c=log0.3，则a,b,c的大小关系是()．5A. a >c >bB. c >a >bC. a >b >cD. b >a >c6. 从正方形四个顶点中任取2个点，则这2个点间的距离大于该正方形边长的概率为( ) A. 16 B. 13 C. 12 D. 237. 我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球．嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ，远地点到地心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m 、2n(近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点)，则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率( )A. 不变B. 变小C. 变大D. 无法确定8. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，CA =CB =CC 1=1，则直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为( )A. √22B. √155C. √33D. √639. 已知函数f(x)=sinωx (ω>0)的图象关于点(2π3,0)对称，且f(x)在[0,π4]上为增函数，则ω=( ) A. 32 B. 3 C. 92 D. 610. 已知函数f(x)=e x ,g(x)=a √x(a ≠0)，若函数y =f(x)的图象上存在点P(x 0,y 0)，使得y =f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线与y =g(x)的图象也相切，则a 的取值范围( )A. (0,1]B. (0,√2e]C. (1,√2e]D. (1√2e ,2e) 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左焦点为F ，过点F 作圆O ：x 2+y 2=14b 2的切线，切点为M ，且交双曲线C 右支于点N.若FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. 3x ±y =0B. x ±3y =0C. 2x ±y =0D. x ±2y =012. 已知函数g (x )(x ∈R )是偶函数，且g(2+x)=g(2−x)，当x ∈[0,2]时，g(x)=1−x ，则方程g(x)=11−|x |在区间[−10,10]上的解的个数是( ).A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,m)，a⃗+b⃗ =(1,2)，若a⃗//(a⃗+3b⃗ )，则实数m=________．14.设(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则代数式a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为________．15.数列{a n}中，若a n+a n+1=7n+5，n∈N∗，则a1+a100=______ ．16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN//平面B1BDD1．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中，AB=3，AC=5，D是边BC上的点，AB⊥AD，sinC⋅tan∠ADC=−33．70(1)求cos B；(2)求△ABC的面积．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥平面BCC1B1，AC=1，BC=√3，BB1=2，∠B1BC=30°．(1)证明：B1C⊥平面ABC．(2)求二面角B1−A1C−C1的余弦值．19.设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P(2,4)，过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k PA，k PB．(1)求抛物线的方程；(2)若k PA+k PB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；(3)若k PA⋅k PB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．20.《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量差在(μ−σ,μ+σ)内的产品为优等品，质量差在(μ+σ,μ+2σ)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：(1)根据频率分布直方图，求样本平均数x；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973⋅(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求随机变量X的分布列及期望值．21.已知函数f(x)=(x−1)lnx+ax2+(1−a)x−1.(1)当a=−1时，判断函数的单调性；(2)讨论f(x)零点的个数．22. 将参数方程{x =2+sin 2θy =sin 2θ(θ为参数)化为普通方程．23. 已知函数f(x)=|2x −a|+|2x +3|，g(x)=|3x −2|．(1)解不等式g(x)<|2x +1|；(2)若对任意的x 1∈R ，任意的x 2∈[0,1]，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用交集定义求出A ∩B ={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}.由此能求出A ∩B 中元素的个数． 解：∵集合A ={(x,y)|x ，y ∈N ∗，y ≥x}，B ={(x,y)|x +y =8}，∴A ∩B ={(x,y)|{y ≥x x +y =8,x,y ∈N ∗}={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}． ∴A ∩B 中元素的个数为4．故选：C ．2.答案：B解析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z 对应的点在直线x +y =0上列式求得a ，则答案可求． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 解：因为复数z =a−2i 2=a 2−i ，所以复数z =a−2i 2在复平面内对应的点的坐标为(a 2,−1)，由复数z =a−2i 2在复平面内对应的点在直线x +y =0上，可得a 2−1=0⇒a =2，z =1−i ，|z|=√12+(−1)2=√2，故选B ．3.答案：B解析：本题考查条形图的性质的基础知识，是基础题．2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共两年．解：由条形数得：在A中，2010～2016年全国餐饮收入逐年增加，故A正确；在B中，2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共2个，故B错误；在C中，2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年，故C正确；在D中，2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上，故D正确．故选B．4.答案：C解析：本题考查程序框图，理解程序的功能是解题的关键．根据程序框图，，当n=14时，，所以到n=15得到S<−3，因此将输出n=15+1=16．故选C．5.答案：D解析：本题考查了指数函数性质与对数运算，比较大小，属于基础题．解：a=0.512=0.2514,b=0.914>0.2514>0,c=log50.3<0，所以b>a>c．故选D．6.答案：B解析：解：从正方形ABCD四个顶点中任取2个点，有AB，BC，CD，DA，AC，BD共有6种结果，若这2个点间的距离大于该正方形边长，则为AC，BD，2个结果，则对应的概率P=26=13，利用列举法分别列举出对应事件的个数，结合古典概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查概率的计算，利用列举法是解决本题的关键．7.答案：A解析：本题考查椭圆离心率的计算，考查学生的计算能力，比较基础．利用离心率公式，分别求出离心率，即可得出结论．解：由题意，第一次变轨前有：a−c=m，a+c=n，则2a=m+n，2c=n−m，∴e=ca =n−mn+m，第二次变轨后有：a′−c′=2m，a′+c′=2n，则2a′=2(m+n)，2c′=2(n−m)，∴e′=c′a′=n−mn+m，∴e=e′．故选：A．8.答案：C解析：根据几何性质得出直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，转化为直角三角形△A1C1B求解，利用边长的关系求解．本题综合考查了直棱柱的几何性质，运用平面问题求解空间角，注意空间思维能力，运算能力的考查，属于中档题．解：∵直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°∴A1C1⊥CC1，A1C1⊥B1C1，∵CC1∩B1C1=C1，∴A1C1⊥面BB1C1C，∴直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，∵CA=CB=CC1=1，AB=√2∴Rt△A1C1B中A1C1=1，A1B=√3，∴sin∠A1BC1=3=√33，9.答案：A解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，是中档题．f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，可得ω=32k(k∈Z)，f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，可得πω4≤π2且ω>0，由此可解．解：因为函数f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，所以2ω3π=kπ(k∈Z)，即ω=32k(k∈Z)①，又函数f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，所以πω4≤π2且ω>0，所以0<ω≤2②，由①②得ω=32．故选A．10.答案：B解析：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求参数的范围问题，属于综合题．解：由题意f(x)=e x，在点P(x0,y0)处的切线，y=e x0x+e x0(1−x0)，∵g(x)=a√x(a≠0)，∴g′(x)=2x ，令2x=e x0，则知a>0，解得x=a24e2x0，。

陕西省西北工业大学附属中学2020届高三数学考前模拟练习试题理（含解析）第Ⅰ卷选择题（共60分）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若（，是虚数单位），则等于（）A. 3B. 2C. 0D.【答案】A【解析】，因，故，所以，选A.2.命题:“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得 ,因为 ,因此一个充分不必要条件是,选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程得出的值，再求双曲线的离心率．【详解】已知双曲线的渐近线方程为，且，所以，得.，所以双曲线的离心率为.故选：B【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，属于基础题．4.下列说法错误的是（）A. 回归直线一定经过样本点中心B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近1C. 对分类变量与，若越大，则“与有关的把握程度越小”D. 在回归方程中，每当随机变量每增加1个单位时，预报变量就平均增加0.2个单位【答案】C【解析】根据相关定义分析知A、B、D正确；C中对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”的招把握程度越大，故C不正确，故选C．5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，可得答案．【详解】由程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，由于.故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6.已知过球面上三点，，的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积． 【详解】如图，设球的半径为R ，O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为r ， 则OO ′⊥面ABC ．在Rt△ACD 中，cos A ，则sin A ．在△ABC 中，由正弦定理得2r ，r，△ABC 外接圆的半径，．故选：C ．【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题．7.从1，2，3，4，5，6，7中取出两个不同数，记事件为“两个数之和为偶数”，事件为“两个数均为偶数”，则（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】用列举法求出事件A ，事件B 所包含的基本事件的个数，求P （A ），P （AB ），根据条件概率公式，即可得到结论．【详解】事件A 为“两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（1，7），（3，5）、（3，7），（5，7），（2，4），（2，6），（4，6），∴P（A）＝，事件B为“两个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），（2，6），（4，6），∴P（AB）＝，∴P（B|A）＝．故选：A．【点睛】本题考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．属于基础题．8.将多项式分解因式得，为常数.若，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】由可得=5m-2=-7,m=-1，.【详解】因为的通项公式为，=x+（-2）=(5m-2)，=5m-2，又，5m-2=-7,m=-1,=2，故选D.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设正方体的棱长为，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，所以正方体切掉部分的体积为，所以剩余部分体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比为，故选D．考点：几何体的三视图及体积的计算．10.将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数图象经过放缩变换与平移变换后可得，由可得结果.【详解】函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，再向左平移后得到，因为的图象关于于对称，，解得，当时，，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11.如图所示，为的外心，，，为钝角，为边的中点，则的值为（）A. B. 12 C. 6 D. 5【答案】D【解析】分析】取的中点，且为的外心，可知，所求，由数量积的定义可得，代值即可．【详解】如图所示，取的中点，且为的外心，可知，∵是边的中点，∴ .，由数量积的定义可得，而，故；同理可得，故.故选：D．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若当时，恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．故选：B．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.若直线被圆截得的弦最短，则______；【答案】【解析】直线y＝kx＋1恒过定点A(0,1)，要使截得的弦最短，需圆心(1,0)和A点的连线与直线y ＝kx＋1垂直，所以k·＝－1，即k＝1.14.已知数列为等差数列，且，，则______；【答案】2【解析】【分析】由为等差数列，且，利用等差数列的性质得到的值，然后求定积分即可．【详解】因为为等差数列，由等差数列的性质，得，即. 所以，所以，所以.故答案为：2．【点睛】本题考查了等差数列的性质、定积分等知识，属于基础题．15.若实数，满足且的最小值为4，则实数的值为______；【答案】【解析】试题分析：画出可行域（如图阴影部分所示）和直线：，观察图形，知直线过直线和的交点时，取得最小值，即，解得，所以实数的值为.考点：线性规划问题.【易错点晴】线性规划问题是数学考试中常见题。

2020年陕西省西安市西工大附中高考数学第三阶段模考试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >−1}，B ={x|log 2x <1}，则A ∩B =( )A. {x|x >0}B. {x|−1<x <2}C. {x|0<x <2}D. {x|x <2}2. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=( )A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√33. 设函数f (x )={log 2x,x >1x 2+1,x ≤1，则f(f (1))的值为( )A. −1B. 1C. 0D. 24. 已知cos2α=13，则sin 2(α+π2)等于( )A. √53B. 13C. 14D. 235. 2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去A ，B ，C 三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲、乙被安排到同一个场馆的概率为( )A. 112B. 18C. 16D. 146. 已知点F 是抛物线y 2=4x 焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN 中点到准线距离为( )A. 32B. 2C. 3D. 47. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若acosB +bcosA =4sinC ，则△ABC 的外接圆面积为( )A. 16πB. 8πC. 4πD. 2π8. 函数f(x)=2x 2−lnx 在x =1处的切线方程是( )A. y =4x −5B. y =3x −1C. y =3x −2D. y =4x −29. 在底面为正方形的四棱锥S −ABCD 中，SA =SB =SC =SD ，异面直线AD 与SC 所成的角为60°，AB =2.则四棱锥S −ABCD 的外接球的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 12πD. 16π10.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M在E的渐近线上，且MF2与x轴垂直，cos∠MF1F2=2√23，则E的离心率为()A. 2B. √3C. √2D. √6211.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为()A. 2√3B. 4√3C. 6√3D. 12√312.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。

2020届陕西省西安市高三下学期第三次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知全集U R =，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()UA B ⋂=（ ）A ．{|20}x x -≤<B ．1{|2}2x x -≤< C ．1{|0}2x x ≤< D ．{|03}x x ≤<【答案】B【解析】【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x U B y y x B y y B x x -==≥∴=≥∴=<，所以()U A B ⋂= 1{|2}2x x -≤<．【考点】集合的交集、补集运算．2．若复数z 满足()34112i z i -=+其中i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数，则z 的虚部为（ ） A ．﹣2 B ．2C ．﹣2iD ．2i【答案】A【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，利用共轭复数概念求出z 从而可得结果. 【详解】由于复数()34112i z i -=+， 得()()11234112255012342525i i i iz i i ++++====+-， 12z i =-，则z 的虚部为2-. 故选：A. 【点睛】主要考查复数的概念及复数的运算．属于容易题.3．已知向量()1,0i =，向量()1,1f =，则34-i f 的值为（ ）A ．17B ．5CD ．25【答案】C【解析】先由题意，得到()341,4f i -=--，再由向量模的坐标公式，即可得出结果. 【详解】因为向量()1,0i =，向量()1,1f =， 所以()341,4f i -=--，因此(341f i -=-=故选：C. 【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标公式即可，属于基础题型.4．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 A ．众数 B ．平均数C ．中位数D ．标准差【答案】D【解析】【详解】试题分析：A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88． B 样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为88，90，不相等，A 错． 平均数86，88不相等，B 错． 中位数分别为86，88，不相等，C 错 A 样本方差2S =4，标准差S=2， B 样本方差2S =4，标准差S=2，D 正确【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数5．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N ）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．13C ．16D ．22【答案】C【解析】根据已知的递推关系求5a ，从而得到正确答案. 【详解】11a =，∴21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=,所以解下5个环所需的最少移动次数为16. 故选：C 【点睛】本题考查以数学文化为背景，考查递推公式求指定项，属于基础题型. 6．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】A【解析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A 【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．函数()cos xf x e x =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】利用导数值为切线斜率，求得倾斜角，得到答案.【详解】()cos sin x x e x x e x f =-'，则()01k f '==，则倾斜角为4π．故选：B ． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数的乘法运算，属于基础题.8．函数()24412f x x x-+=的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题先借用函数的奇偶性排除两个选项，再利用某点处的函数值得到答案即可. 【详解】解：函数()24412f x x x-+=是偶函数，排除选项B 、C ； 当2x =时，()150223f =-<，对应点在第四象限，排除A ． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的图像与性质，是简单题.9．在圆锥PO 中，已知高PO ＝2，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M 为原点．MO 为x 轴，过M 点与MO 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A ．455B ．855C 25D 5【答案】B【解析】设抛物线方程为22(0)y px p =>，代入H 的坐标即可求得结果. 【详解】因为2PO =，4OH OB ==，所以41625PB =+=M 为PB 的中点，所以152OM PB == 设抛物线方程为22(0)y px p =>，则5,4)H -，所以2(4)25p -=85p =所以抛物线的焦点到准线的距离为855. 故选：B. 【点睛】本题考查了圆锥的结构特征，考查了抛物线的标准方程和p 的几何意义，属于基础题. 10．已知函数()cos sin f x a x x =+图象的一条对称轴是6x π=，则a 的值为（ ）A ．5B 5C ．3D 3【答案】D【解析】先将函数整理，得到()()21sin f x a x ϕ++，确定其最值，再由题意，得到2cos sin 1666f a a πππ⎛⎫=+=±+ ⎪⎝⎭.【详解】函数()()2cos sin 1sin f x a x x a x ϕ=+++，其中tan a ϕ=，所以()f x ≤ 因为6x π=是其图像的一条对称轴，正弦型三角函数在对称轴位置取最值，所以cos sin 666f a πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭12+=()223141a a ++=+，整理得：230a -+=，解得：a =故选：D . 【点睛】本题主要考查由三角函数的对称轴求参数，属于常考题型.11．已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果. 【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =， 即053y =， 0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=， 故选B ． 【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．12．定义域和值域均为[],a a -(常数0a >)的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，则方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由图象可得方程()0f x =在[],a a -上有三个实数解，结合函数()g x 的值域与单调性即可得解. 【详解】由图(a )可知，方程()0f x =在[],a a -上有三个实数解，由图(b )可知，函数()g x 在[],a a -上单调递减，且值域为[],a a -， 所以方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有三个实数解. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了数形结合思想，属于基础题.二、填空题13．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为______． 【答案】0.5【解析】根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由互斥事件的概率可得． 【详解】解：设甲、乙两人下成和棋P ，甲获胜的概率为()P A ，则乙不输的概率为()1P A -， 甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，()0.8P A P ∴+=，()10.7P A -=，1 1.5P ∴+=，解得0.5P =．∴两人下成和棋的概率为0.5．故答案为：0.5 【点睛】本题考查互斥事件的概率，理清事件与事件之间的关系是解决问题的关键，属基础题． 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51310a a -=，则13S =_____． 【答案】65【解析】由51310a a -=求出7a ，再求13S 即可. 【详解】解：设{}n a 的公差为d ，()51111310,3+410,65a a a d a a d -=-=+=，即75a =；()1131371313135652a a S a +===⨯=.故答案为：65. 【点睛】考查等差数列的性质和求前项n 和，基础题. 15．已知函数2tan ()1tan xf x x=-，()f x 的最小正周期是___________. 【答案】2π 【解析】先化简函数f (x )，再利用三角函数的周期公式求解. 【详解】 由题得212tan 1()=tan 221tan 2x f x x x =⋅-， 所以函数的最小正周期为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16．如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1．若将圆锥形容器倒置，水面高为h ．则h 等于_____．37【解析】根据水的体积不变列出方程解出h . 【详解】设圆锥形容器的底面积为S,则未倒置前液面的面积为14S ，∴水的体积()111722133412V S S S =⨯-⨯⨯-=，设倒置后液面面积为S ',则22S h S ⎛'⎫= ⎪⎝⎭，24Sh S ∴'=， ∴水的体积为321332Sh V S h '==⨯， 3273212Sh S ∴=⨯， 解得37h =37 【点睛】本题主要考查了圆锥的平行底面的截面的性质，以及圆锥的体积计算问题，属于中档题.三、解答题17．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数； （2）求高一参赛学生的平均成绩．【答案】（1）众数：65；中位数：65；（2）67.【解析】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数；（2）利用各小组底边的中点值乘以本组对应的频率求和，即可求得成绩的平均值． 【详解】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值为65，所以众数为65， 又因为第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积是0.4，0.30.40.5+> ，所以中位数在第二组， 设中位数为x ，则()0.3600.040.5x +-⨯=，解得：65x =， 所以中位数为65.（2）依题意，利用平均数的计算公式，可得平均成绩为：()550.03650.04750.015850.010950.00510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯67=，所以参赛学生的平均成绩为67分． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的众数、中位数和平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了识图与运算能力，属于基础题． 18．在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足22cos 1cos cos 22cos 2CA B A B =-+． （1）求cos B 的值；（2）设△ABC 外接圆半径为R ，且()sin +sin 1R A C =，求b 的取值范围．【答案】（1）13；（2）,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用，化简已知等式可得sin sin cos A B A B =，结合sin 0A ≠，可求sin B B =，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值．（2）由（1）可求1cos 3B =，又由正弦定理得2a c +=，利用余弦定理可得2284(1)33b a =-+，结合范围02a <<，利用二次函数的性质可求b 的范围． 【详解】（1）因为22cos 1cos cos cos 2C A B A B =-+，所以cos cos cos cos C A B A B +=，即cos()cos cos cos A B A B A B -++=，所以sin sin cos A B A B =，因为sin 0A ≠，所以sin 0B B => 又因为22sin cos 1B B +=，解得：1cos 3B =. （2）因为()sin +sin 1R AC =，由正弦定理得2a c +=，可得2c a =-， 由余弦定理可得：2222222cos 3b ac ac B a c ac =+-=+-222284(2)(2)(1)333a a a a a =+---==-+，∵02a <<2b ≤<，所以b 的取值范围为23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题． 19．如图，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为CD 中点，将ADE 沿AE 折起使得平面ADE ⊥平面ABCE ，BE 与AC 相交于点O ，H 是棱DE 上的一点且满足2DH HE =.（1）求证：//OH 平面BCD ；（2）求二面角A BC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（221. 【解析】（1）根据题意可得:1:2OE OB =，结合2DH HE =可得//OH BD ，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的性质定理可得DE CE ⊥，以E 为坐标原点，EC ，EA ，ED 为x 轴，y 轴，z 轴，求出平面BCD 的一个法向量以及平面ABC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）证明：由题意知//CE AB ，2AB CE =，所以:1:2OE OB =.又2DH HE =，所以//OH BD ，又BD ⊂平面BCD ，OH ⊄平面BCD ，所以//OH 平面BCD . （2）因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE平面ABCE AE =，DE AE ⊥， 又ED ⊂平面AED ，所以DE ⊥平面ABCE ，所以DE CE ⊥，以E 为坐标原点，EC ，EA ，ED 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨设菱形的边长为4，则点()0,0,2D ，()2,0,0C ，()4,23,0B .则()2,0,2DC =-，()4,23,2DB =-.设平面BCD 的一个法向量为(),,n x y z =， 0n DC ⋅=，0n DB ⋅=，即22042320x zx y z-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1z=，得31,,1n⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭；易知平面ABC的一个法向量为()0,0,1m=，设二面角A BC D--的大小为θ，则2177c s3oθ==.故二面角A BC D--的余弦值为217.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、空间向量法求二面角，属于中档题.20．已知函数()()()ln1ln1f x x x=+--．（1）证明()2f x'≥；（2）若()0f x ax-≥对01x≤<恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2a≤.【解析】(1)先求函数的定义域，用分析法易证.(2)令()(),01g x f x ax x=-≤<，只需证明()min0g x≥即可，分0a≤，02a<≤，2a>讨论即可.【详解】(1)证明：函数的定义域为()10,1,110xxx+>⎧∈-⎨->⎩，()()111111111f xx x x x'=-⋅-=++-+-，只需证明11211x x+≥+-， 即证明()()11211x x x x -++≥-+，即证20x ≥，显然成立所以()2f x '≥.（2）解：令()()()()ln 1ln 1,01g x f x ax x x ax x =-=+---≤<()1111g x a x x'=+-+- ①当0a ≤时，()11011g x a x x '=+->+-，()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，②当02a <≤时，()221120111ax a g x a x x x-+'=+-=>+--，()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，③当2a >时，()2221121111a x x ax a g x a x x x x ⎛+ -+⎝⎭⎝⎭'=+-==+---，因为01<<，所以有， 令()0,g x x ⎫'>∈⎪⎪⎭，()g x 递增； 令()0,g x x ⎛'<∈ ⎝，()g x 递减； ()min ln ln 1g x g ⎛⎛==-- ⎝⎝，()min 2ln ln 2g x g ==， 令()()min 2ln ln 2h a g x g ===-， ()()20a h a -'==<，()h a 在2a >上递减，且()()20h a h <=，所以当2a >时，()min 0g x g =≥不可能； 综合①②③有，2a ≤.【点睛】考查证明不等式和不等式恒成立求参数的取值范围，后一个问题转化为研究函数的值域确定参数的范围，难题.21．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>y x =交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 左焦点为F ，已知4FA FB +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y kx m =+（0k ≠，0m ≠）与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点10,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足MQ NQ =，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2214x y +=；（2）1,66⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由椭圆对称性得24FA FB FA AD a +=+==，可得a 的值，在根据离心率和椭圆的性质即可求出b 的值，进而求出椭圆方程；（2）直线与椭圆方程联立得()222418440k x kmx m +++-=，由于直线与椭圆有两个交点，可得2241k m >-；由于MQ NQ =，设MN 中点为D ，可得DQ MN ⊥，根据垂直斜率的关系，由此可推导出m 的取值范围．【详解】（1）∵设椭圆右焦点为D ，由椭圆对称性得24FA FB FA AD a +=+==， ∴2a =．又2c a =，∴c = ∴2221b a c =-=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222418440k x kmx m +++-=， ∵直线与椭圆交于不同的两点M ，N ，∴()()222264441440k m k m ∆=-+->，整理得2241k m >-．设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122841km x x k -+-+， 又设MN 中点D 的坐标为(),D D x y ， ∴1144241D x x km x k +-==+，22244141D D k m m y kx m m k k -=+=+=++． ∵MQ NQ =，∴DQ MN ⊥，即112D D y x k+=-，∴2614m k -=，∴2610611m m m ->⎧⎨->-⎩，解得166m <<， ∴实数m 的取值范围1,66⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 22．在平面直角坐标系中，直线l 的方程为()()tan 20y x ααπ=-≤<，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos 2πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，设M （2，0），若|MP |+|MQ |＝，求直线l 的斜率．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程：2240x y y +-=；直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）；（2）1-. 【解析】（1）根据题意得出直线l 过定点()2,0，得出线l 的的倾斜角，可得出其参数方程，直接应用极坐标方程化直角坐标方程的公式,可得出答案.（2）将直线l 的参数方程代入圆的方程224x y y +=得：()24cos sin 40t t αα+-+=,利用直线参数方程中的几何意义可得出答案.【详解】（1）由4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即24sin ρρθ=，得2240x y y +-=. 由直线l 的方程为()tan 2y x α=-，()0απ≤<则tan k α=,又0απ≤<，所以直线l 的的倾斜角为α，又直线l 过定点()2,0，则直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数） （2）设P ，Q 两点在直线l 的参数方程中的对应参数分别为12,t t .将直线l 的参数方程代入圆的方程224x y y +=得：()24cos sin 40t t αα+-+= 所以()12124sin cos ,40t t t t αα+=-=>则124sin cos 4t MP Q t M πααα⎛⎫+==-=-= ⎪⎝⎭+即sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由0απ≤<，则3444πππα-≤-< 所以42ππα-=，即34απ=，所以直线l 的斜率为3tan 14k π==- 【点睛】本题考查直线的普通方程化为参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()||g x x b x a =++-，a R ∈，b R ∈且0b a +>．（1）若函数()g x 的最小值为2，试证明点(),a b 在定直线上；（2）若3b =，[]01x ∈，时，不等式()5g x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）点(),a b 在定直线20x y +-=上，证明过程见详解；（2）[]1,2-.【解析】（1）先根据绝对值三角不等式，得到()g x b a ≥+，根据题意，得到2b a b a +=+=，即可得出结果；（2）先由题意，化不等式为||2x a -≤，求解，得到22a x a -≤≤+，推出[][]012,2a a ⊆-+，，进而可求出结果.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得，()||||a g x x b x a x b x b a x b x a =++-++-=≥++-=+，当且仅当()()0x b a x +-≥时，取等号；又函数()g x 的最小值为2，0b a +>，所以2b a b a +=+=，即点(),a b 在定直线20x y +-=；（2）因为3b =，所以()3||g x x x a =++-，当[]01x ∈，时，不等式()5g x x ≤+可化为3||5x x x a -++≤+，整理得：||2x a -≤，解得：22a x a -≤≤+，由题意，可得：[][]012,2a a ⊆-+，，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得：12a -≤≤， 即实数a 的取值范围是[]1,2-.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，属于常考题型.。

高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}，C={x∈N|3x∈A}，则B∩C=（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}2.右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A. B.C. D.3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A. =-+B. =-C. =+D. =+5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 256.如果对定义在R上的奇函数y=f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y=f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）=sin xB. f（x）=e xC. f（x）=x3-3xD. f（x）=x|x|7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 318.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=4，且x1，x2∈[-2π，2π]，则x1-2x2的最大值为（）A. B. C. D.9.已知圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. 2 D. 210.抛物线x2=y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2=32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 2111.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 512.已知函数，则函数g（x）=xf（x）-1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x=1，则|PF|=______．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=|-5x+y|的取值范围为______．15.在的展开式中，常数项为______．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18.如图1，等边△ABC中，AC=4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值，并求出这个定值．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：=5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ-σ，μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ，μ+2σ）=0.9544．20.已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=6，求△AOB面积的最大值．21.已知函数f（x）=e x-有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．23.已知函数f(x)＝的定义域为R.(1)求实数m的取值范围．(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足＋＝n时，求7a＋4b的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}={3，6，9，18，27}，C={x∈N|3x∈A}={1，2，3}，∴B∩C={3}．故选：D．先分别求出集合A，B，C，由此能求出B∩C．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则＞，σ甲＜σ乙．故选：A．甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，由已知可得e2i=cos2+i sin2，再由三角函数的象限符号得答案，是基础题．【解答】解：由题意可得，e2i=cos2+i sin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选B．4.【答案】A【解析】解：；∴；∴．故选：A．根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5.【答案】C【解析】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）=sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）=e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3-3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=x|x|=，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．7.【答案】B【解析】解：将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为=4，所以矩形的长等于4×6=24，宽等于7，由勾股定理求得d==25．故选：B．将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1-2x2的最大值．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）=sin（2x-+）+1=-cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）=4，则g（x1）=g（x2）=2，或g（x1）=g（x2）=-2（舍去）．故有g（x1）=g（x2）=2，即cos2x1=cos2x2=-1，又x1，x2∈[-2π，2π]，∴2x1，2x2∈[-4π，4π]，要使x1-2x2取得最大值，则应有2x1=3π，2x2=-3π，故x1-2x2取得最大值为+3π=．故选：A．9.【答案】C【解析】解：由圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，得：（x-1）2+（y-2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为故选：C化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C 的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．10.【答案】B【解析】解：∵y=2x2（x＞0），∴y′=4x，∴x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），整理，得4a i x-y-2a i2=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1=a i，∴{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，∴a2+a4+a6=32+8+2=42．故选：B．由y=2x2（x＞0），求出x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1=a i，所以{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的定义和性质，考查三角形的中位线定理，属于中档题．求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【解答】解：设F2（c，0），椭圆左焦点记为F1（-c，0），直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|==b，即有|OP|==a，因为O为F1F2中点，OP是MF2的中垂线，点P在MF2上，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|=2|OP|=2a，|MF2|=2b，由|MF2|-|MF1|=2a，即为2b-2a=2a，即b=2a，可得e====．故选：C．12.【答案】B【解析】解：由g（x）=xf（x）-1=0得xf（x）=1，当x=0时，方程xf（x）=1不成立，即x≠0，则等价为f（x）=，当2＜x≤4时，0＜x-2≤2，此时f（x）=f（x-2）=（1-|x-2-1|）=-|x-3|，当4＜x≤6时，2＜x-2≤4，此时f（x）=f（x-2）=[-|x-2-3|]=-|x-5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）=1，f（3）=f（1）=，f（5）=f（3）==，设h（x）=，则h（1）=1，h（3）=，h（5）=＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．由g（x）=xf（x）-1=0得f（x）=，根据条件作出函数f（x）与h（x）=的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：由y=2x2，得x2=，则p=；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+=2+=，故答案为：．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.【答案】[0，11]【解析】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：-5x+y=0，再作一组平行于l0的直线l：-5x+y=z，当直线l经过点A时，z=-5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（-2，0），所以z max=-5×（-2）+0=10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，-1）函数的最小值为：-10-1=-11．z=|-5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.【答案】-40【解析】解：∵=（x-2）=（x6+6x4+15x2+20+15•+6•+）（x-2），∴常数项是20•（-2）=-40，故答案为：-40．根据=，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.【答案】2π【解析】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2=R2=3；所以圆柱的体积为V=πr2h=π（3-h2）h=π（3h-h3）；则V′（h）=π（3-3h2），令V′（h）=0，解得h=1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h=1时，V（h）取得最大值为V（1）=2π．故答案为：2π．设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．17.【答案】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：（a+b）（sin A-sin B）=（c-b）sin C，利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A=．（2）由于，所以：a2=b2+c2-2bc cos A，整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以：=3．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA=x，则OF=2-x，OE=，∴B（2，2-x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（-2，2-x，0），=（-2，2-x，-x），=（-2，x-2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴=+8=0，解得x=（舍）或x==，∴=，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量=（0，1，0），=（，0，-x），=（-2，x-2，0），设平面ABE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，），设二面角D-AE-B的平面角为θ，则cosθ===，∴无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值．【解析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处．（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值．本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1-（0.006+0.026+0.022+0.008）×10=0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．质量指标值的样本方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104．（3）①由（2）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）=P（100-2×10.2＜Z ＜100+2×10.2）=0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX=100000[0.9544×10-（1-0.9544）×20]=863200．【解析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c=，2a==12，则a=6，∴b2=a2-c2=12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x=m，得|AB|=，由|AB|==6，解得m=±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-36=0．△=36k2m2-4（3k2+1）（3m2-36）=432k2-12m2+144．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．由|AB|==6，整理得：，原点O到AB的距离d=．∴===．当时，△AOB面积有最大值为＞9．综上，△AOB面积的最大值为．【解析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c=，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x=m，由弦长求得m，可得三角形AOB 的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O 到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】（1）解：f′（x）=e x-ax．∵函数f（x）=e x-有两个极值点．∴f′（x）=e x-ax=0有两个实数根．x=0时不满足上述方程，方程化为：a=，令g（x）=，（x≠0）．g′（x）=，可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）=e x-ax=0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：x1+x2＞2⇔x2＞2-x1＞1⇔＞，由=，因此即证明：＞．构造函数h（x）=-，0＜x＜1，2-x＞1．h′（x）=-=（x-1），令函数u（x）=，（0＜x）．u′（x）=．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）=-在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）=0．∴x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）=0．∴h（x）＞h（1）=0．∴＞．因此x1+x2＞2成立．【解析】（1）f′（x）=e x-ax．函数f（x）=e x-有两个极值点⇔f′（x）=e x-ax=0有两个实数根．x=0时不满足上述方程，方程化为：a=，令g（x）=，（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．x1+x2＞2⇔x2＞2-x1＞1⇔＞，由=，因此即证明：＞．构造函数h（x）=-，0＜x＜1，2-x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2．|AB|=|t1-t2|===8．【解析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.【答案】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．【解析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2020届高三下期3月月考数学（理）一、选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =-->，则C R A =（ ）A. {|1}{|3}<-⋃>x x x xB. {|1}{|3}≤-⋃≥x x x xC. {|13}x x -≤≤D. {|13}x x -<<【答案】C【分析】直接通过解不等式2230x x --≤求出R C A .【详解】解：集合{}{}2|230|13R C A x x x x x =--≤=-≤≤，2.复数(23)i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A3.设向量a ⃗=（x ，-4），b ⃗⃗=（1，-x ）若向量a ⃗与b ⃗⃗同向，则x =（ ） A ．2 B ．-2 C ．2± D ．0 【答案】A4.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为53，则其渐近线方程为（ ）A ．20x y ±=B ． 20x y ±=C ．340x y ±=D ．430x y ±= 【答案】D5. 执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）A ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为5B ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为7C ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为8D ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为10 【答案】C6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．24πB ．30π C.42π D ．60π 【答案】A7.函数131()2xf x x =-的零点所在的区间为（ ） A. 1(0,)4 B. 11(,)43C. 11(,)32D. 1(,1)2【答案】C【分析】先判断出函数的单调性,结合零点存在定理即可判断出零点所在区间. 【详解】函数131()2x f x x =-所以函数在R 上单调递增 因为1113331311111033322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1113321211111022222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以函数零点在11,32⎛⎫⎪⎝⎭故选:C 8.设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ） A.98B.198C.158D.278【答案】B【详解】解：当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231n n a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=，21323112a a ∴=+=+，得254a =，321523114a a ∴=+=+，得3198a =， 故选：B9.已知函数22()1log log (4)=+--f x x x ，则（ ） A. ()y f x =的图像关于直线2x =对称 B. ()y f x =的图像关于点(2,1)对称 C. ()f x 在(0,4)单调递减 D. ()f x 在(0,4)上不单调【答案】B【详解】解：040x x >⎧⎨->⎩，得函数定义域为(0,4)，222(1)1log log (41)1l 13og f =+--=-，222(3)1log log (43)1l 33og f =+--=+，所以(1)(3)f f ≠，排除A ；(1)(3)f f <，排除C ；2log x 在定义域内单调递增，2log (4)x -在定义域内单调递减，故22()1log log (4)=+--f x x x 在定义域内单调递增，故排除D ； 现在证明B 的正确性：方法一、2222()(4)1log log (4)1log (4)log 2f x f x x x x x +-=+--++--=，所以()y f x =的图像关于点(2,1)对称，故选：B . 方法二、10.下列说法正确的个数为（ ）①“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件；②若数据123,,,,n x x x x ⋯的平均数为1，则1232,22,,2,n x x x x ⋯的平均数为2； ③在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“6sin cos x x +≥”发生的概率为12④已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.84P X ≤=，则(0)0.16P X ≤=.A. 4B. 3C. 2D. 1【详解】对于①,由复合命题“p q ∨为真”,可知p 为真,或q 为真;若“p q ∧为真”,则p 为真,且q 为真.所以“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的必要不充分条件,所以①错误； 对于②,若数据1231nx x x x n+++⋯+=的平均数为1,由平均数公式可知()123123222222n n x x x x x x x x n n+++⋯++⋯+=+=+的平均数为2,所以②正确;对于③,在区间[]0,π上.若6sin cos 2sin 42x x x π⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭,解得5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 则在区间[]0,π上随机取一个数x ,则事件“6sin cos 2x x +≥”发生的概率为5112123p πππ-==,所以③错误; 对于④,随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ,则2μ=.,由正态分布曲线规律可知,(0)(4)10.840.16P X P X ≤=≥=-=,所以④正确. 综上可知,正确的为②④ 故选:C11.已知水平地面上有一篮球，球的中心为O '，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O 为原点，设椭圆的方程为22142x y +=，篮球与地面的接触点为H ，则||OH 的长为（ ）A.62B. 2C. 32D.103 【答案】B【分析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向(4)0.84P X ≤=地面做垂线，垂足是H ，得到一个直角三角形，可得要求的结果． 【详解】：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，由图()1101809022AB O BA A AB B BA ''''︒︒∠+∠=∠+∠=⨯=,，由是中点 故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ， 在构成的直角三角形中，222OH O H O O ''=+，OH∴==，故选：B ．12.若直线l 与函数()xf x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则直线的斜率k =（ ） A. 2或e B. 1或eC. 0或1D. e【答案】B【分析】设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率.【详解】设直线l 与函数()xf x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2g x x =+的图象相切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k .则1122l 2,n x y e y x ==+因为'()xf x e =,()1'g x x =,则121x x k e ==, 所以11122212122ln 211x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由121x e x =,可得21ln x x =-,代入上式可得()22222ln 2l 1n 1x x x x x -+=--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---= 即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21x e =. 代入21k x =,可得1k =或k e = 故选:B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上.13. 若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．【答案】814. 二项式61()x x-的展开式中4x 项的系数为__________． 【答案】6-； 【解析】90AO B '︒∴∠=O l【分析】根据二项展开式的通项,代入即可求得4x 项的系数.【详解】根据二项定理展开式的通项1C r n r rr n T a b -+=则二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开通项为()66216611rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以当1r =时,4x 的系数为()11616C -=-,故答案为:6-15. 已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的 最小值为__________ 【答案】4【详解】因为122a a =-由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=-,变形可得112d a a =--因为数列{}n a 为递增数列,所以1120d a a =-->,即10a < 而由等差数列通项公式可知312a a d=+()11111242a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由10a ->,140a >-结合基本不等式可得()()311114424a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-≥-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当12a =-时取得等号所以3a 的最小值为416.在边长为1的正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λμ+的最大值为________. 【答案】3【详解】解：根据题意，如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立坐标系： 则(0,0),(1,0)A B ，C(1,1),D(0,1), 则BD 的方程为x ＋y ＝1， 点C 为圆心且与BD 相切的圆C ，其半径222r d ===， 则圆C 的方程为221(1)(1)2x y -+-=；因P 在圆C 上，所以设P 的坐标为221cos ,1sin θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭， 则22(1,0),(0,1),1cos ,1sin AB AD AP θθ⎛⎫===++ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，由AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r，得221cos ,1sin (1,0)(0,1)θθλμ⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则有221cos ,1sin 22λθμθ=+=+； 22(cos sin )2sin 34πλμθθθ⎛⎫+=++=++≤ ⎪⎝⎭，即λμ+的最大值为3；故答案为：3． 【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P 的坐标与,λμ的关系，是中档题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分.17. ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos -=a c bA B. （1）求A ；（2）若1a =，求ΔABC 面积的最大值. 【详解】解：（1）由2cos cos -=a c bA B可得：cos 2cos cos =-a B c A b A ， 由正弦定理可得：sin cos 2cos sin cos sin =-A B A C A B ,∴sin()2cos sin sin 2cos sin +=⇒=A B A C C A C ，∵sin 0C ≠，∴1cos 2A =，∵(0,)A π∈， ∴3A π=；（6分）（2）由（1）知3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即221b c bc =+-（8分）∵222b c bc +≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==时取等号） ∴13sin 2=≤V ABC S bc A ，所以ABC V 面积的最大值为3.（12分） 18.如图，几何体ABCDFE 中，ABC ∆，DFE ∆均为边长为2的正三角形，且平面//ABC 平面DFE ，四边形BCED 为正方形.（1）若平面BCED ⊥平面ABC ，求证:平面//ADE 平面BCF ；（2）若二面角D BC A --为150︒，求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点O ,ED 的中点G ,连接,,,AO OF FG AG .如下图所示: 因为AO BC ⊥,且平面BCED ⊥平面ABC , 所以AO ⊥平面BCED ,同理FG ⊥平面BCED , 所以//AO FG ,（2分） 又因为3AO FG ==, 所以四边形AOFG 为平行四边形,所以//AG OF //AG 平面BCF ,又//DE BC ,DE ⊄ 平面BCF ,又因为AG 和 DE 交于点G 所以平面//ADE 平面BCF .（6分）（2）连结GO ,则GO BC ⊥,又AO BC ⊥,所以GOA ∠为二面角D BC A --的平面角,所以150GOA ∠=︒ 建立如图所示的空间直角坐标系,则(23,0,0),(0,1,1),(0,1,1),(3,1,0)A D E B - 所以(23,1,1),(0,2,0)AD ED =-=u u u ru u u r设平面ADE 的一个法向量是(,,)n x y z =r,则00n AD n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u uv r ,即2300x y z y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩, 令3,6x z =∴=,即(3,0,6)n =r,(8分)又因为(3,0,1)BD =-u u u r,所以39sin ,||||239BD n BD n n BD ⋅〈〉===⋅u u u r ru u u r r u u u r r, 即所求的角的正弦值为39.（12分） 19.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如下图所示.（1）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50,150)内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如下图所示：,①从B 类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.解：（1）1(0.0060.00360.002450x =-++20.0012)0.0044⨯+=， 按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3， 所以估计平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯186=度.（4分）（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B 类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为2163391528C C C =.（8分） ②因为2K 的观测值224(6963)1212915k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.6 3.841=<，（11分）所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”.（12分） 20.已知动圆过定点(0,2)A ，且在x 轴上截得的弦长为4. （1）求动圆圆心M轨迹方程C ；（2）设不与x 轴垂直的直线l 与轨迹C 交手不同两点()11,P x y ，()22,Q x y .若12112+=x x ， 求证：直线l 过定点.【详解】解：（1）设动圆圆心为(,)M x y ，则222(2)4+--=x y y ，化简得24x y =；（4分）（2）易知直线l 的斜率存在，设:l y kx b =+，则（5分）由24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=，由韦达定理有：124x x k +=，124x x b =-.（7分） 从而12121122+=⇒+=x x x x x x ，即48=-k b ，则12=-b k （10分） 则直线11:22⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭l y kx k k x ，故直线过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭.（12分）21.已知函数()f x 满足:①定义域为R ；②2()2()9xxf x f x e e +-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有−x 12+(a-2)x 1+6≥(1−x 2)f (x 2)成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解. 【详解】（1）2()2()9xx f x f x e e+-=+-Q ,…① 所以2()2()9xx f x f x ee ---+=+-即1()2()29xxf x f x e e -+=+-…② 由①②联立解得:()3xf x e =-.（3分）（2）设2()(2)6x x a x ϕ=-+-+, ()()()1333xx xF x x e e xe x =--=+--,依题意知:当11x -≤≤时,min max ()()x F x ϕ≥()()33x x x x F x e e xe xe '+=-+=-+Q的又()(1)0xF x x e ''=-+<Q 在(1,1)-上恒成立,所以()F x '在[1,1]-上单调递减()(1)30min F x F e ∴'='=->，()F x ∴在[1,1]-上单调递增,max ()(1)0F x F ∴==，所以min ()0x ϕ≥(1)70(1)30a a ϕϕ-=-≥⎧∴⎨=+≥⎩,解得:37a -≤≤ ，实数a 的取值范围为[3,7]-.（8分） （3）()g x 的图象如图所示：令()T g x =,则()1g T =，1232,0,ln 4T T T ∴=-== 当()2g x =-时有1个解3-,当()0g x =时有2个解：(12)-+、ln3,当()ln 4g x =时有3个解:ln(3ln 4)+、12(1ln 2)-±-.故方程[()]10g g x -=的解分别为：3-,(12)-+、ln3,ln(3ln 4)+、12(1ln 2)-±-（12分）22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224([0,])43cos =∈-ρθπθ.点(3,0)P . （1）写出曲线2C 的普通方程和参数方程；（2）曲线1C 交曲线2C 于A ，B 两点，若2||||5⋅=PA PB ，求曲线1C 的普通方程. 【详解】解：（1）()22222222443cos 43443cos =⇒-⇒+-=-x y x ρρρθθ所以，曲线2C 的普通方程为：2214x y +=（2分）曲线2C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（5分）（2）由题知点P 在曲线上，将1C 的参数方程3cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩代入曲线2C 的普通方程为：2214x y +=得：1C()223sin 1cos 10++-=t αα所以0∆>，设12,t t是方程的两根，1212221,3sin 13sin 1t t t t ααα∴+=-=-++ 12212||||3sin 15PA PB t t α⋅===+，sin 24⇒=⇒=παα或34π（9分） 所以曲线1C的普通方程为：y x ==-+y x 10分）【点睛】本题考察极坐标方程和普通方程的互化，普通方程和参数方程的互化，考查了直线参数方程的应用，是基础题．23.已知1()=+f x x x（1）求不等式1()3||+<f x x 的解集； （2）()f x 的最小值为M ，12+=a b M ，(),a b R +∈，求22()()+f a f b 的最小值. 【答案】（1）{|2l x x -<<-或12}x <<；（2）252 【解析】【分析】（1）将12()3||3||||f x x x x +<⇒+<，求出||x 的范围，进而可得x 的范围； （2）首先求出()f x 的最小值，即可得+a b 的值，利用柯西不等式和基本不等式求22()()+f a f b 的最小值.【详解】解：（1）∵1112()33||3||||||+<⇒++<⇒+<f x x x x x x x ， (||1)(||2)01||2||-⋅-<⇒<<x x x x ， 不等式1()3||+<f x x 的解集为：{|2l 12}x x x -<<-<<或；（5分） （2）11()||2||=+=+≥=f x x x x x ， 所以，1a b +=，.()2222222211111()()112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦f a f b a b a b a b a b 21112⎛⎫≥+++ ⎪⎝⎭a b a b 222111125112222⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ab a b .（10分）。

2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三第三次适应性考试数学（理）试题一、单选题1．若,a b ∈R ，且a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b >B ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．lg()0a b ->D ．1b a< 【答案】B【解析】利用特殊值排除错误选项，利用指数函数单调性证明正确选项. 【详解】不妨设1,2a b =-=-，则22a b <，A 选项错误.()lg lg10a b -==，C 选项错误.21ba=>，D 选项错误. 对于B 选项，由于13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，而a b >，所以1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即B 选项正确. 故选：B 【点睛】本小题主要考查数的大小判断，考查指数函数单调性，属于基础题. 2．已知{0,1,2,3},A={|1},B y y ==P A B =⋂，则P 的子集个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】先求得集合B ，由此求得集合P ，根据集合P 元素的个数，求得P 的子集个数. 【详解】由于11y =≥，所以[)1,B =+∞，所以{}1,2,3P A B =⋂=，集合P 共有3个元素，故子集有328=个. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数值域，考查集合交集和子集个数的求法，属于基础题.3．从n 个正整数1，2…n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n 的值为（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．14【答案】B【解析】利用古典概型概率计算公式列方程，解方程求得n 的值. 【详解】两数之和为5有14,23++两种情况，故22114n C =，故()21282n n n C -==，解得8n =. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据古典概型的概率求参数，属于基础题.4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面ABC V 是正三角形E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB A C ．11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E【答案】C【解析】证明11,CC B E 共面，由此判断A 选项错误.由AC 与AB 不垂直，判断B 选项错误.通过证明AE ⊥平面11BCC B ，证得11AE B C ⊥，由此判断C 选项正确.由11//A C AC 而AC 与平面1AB E 相交，判断D 选项错误.【详解】对于A 选项，由于11,CC B E 都含于平面11BCC B ，所以不是异面直线，故A 选项错误.对于B 选项，由于3CAB π∠=，所以AC 与平面11ABB A 不会垂直，故B 选项错误.对于C 选项，在等边三角形ABC 中，AE BC ⊥，根据直三棱柱中易得1AE AA ⊥，所以AE ⊥平面11BCC B ，所以11AE B C ⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，由于11//A C AC ，而AC 与平面1AB E 相交，所以直线11A C 与平面1AB E 不平行，故D 选项错误. 故选：C 【点睛】本小题主要考查异面直线判断、异面直线垂直、线面垂直、线面平行等命题的真假性判断，属于基础题.5．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件），若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A ．3，5B ．7，5C ．5，7D ．5，3【答案】D【解析】根据两组数据的中位数和平均数相等，求得,x y 的值. 【详解】乙组的中位数为65，所以5x =，所以平均数5965676178566562747055y+++++++++=，解得3y =.故选：D 【点睛】本小题主要考查与茎叶图有关的平均数和中位数的计算，属于基础题.6．若()4*nx n N x x ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】求得二项式展开式的通项公式，根据展开式中含有常数项，求得n 的表达式，进而求得n 的最小值. 【详解】二项式()4*nx n N⎛∈ ⎝展开式的通项公式为()()31144221rrn n rr rrn n C xx C x ---⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，由于展开式中含有常数项，则11402r n -=，118r n =，当8r =时，n 取得最小值为11. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式含有常数项求参数，属于基础题.7．不等式2225x x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-B ．(2,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．(,2][2,)-∞-+∞U【答案】A【解析】求得1x >时225x x -+的取值范围，由此求得2a 的取值范围，进而求得a 的取值范围. 【详解】由于1x =是225y x x =-+的对称轴，所以当1x >时，22251254x x -+>-+=.所以24a ≤，解得22a -≤≤. 故选：A 【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解，属于基础题.8．己知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率(1,2]e ∈，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】根据b a 与c a 的关系式，求得ba的取值范围，由此求得经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围 【详解】由于12c a <≤所以12<≤，所以22114,03b b a a ⎛⎫⎛⎫<+≤<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0b a <≤，所以经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：B 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率和渐近线斜率的关系，考查直线斜率与倾斜角的对应关系，属于基础题.9．在直角坐标系xOy 中，曲线log (3)3a y x =-+（0a >，且1a ≠）过定点P ，若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过定点P ，则tan 2θ的值为（ ） A ．247-B ．247C ．724-D ．724【答案】B【解析】先求得P 点坐标，由此求得tan θ的值，进而求得tan 2θ的值. 【详解】曲线log (3)3a y x =-+的定点()4,3P ，所以3tan 4θ=，所以223322tan 2442tan 271tan 731164θθθ⨯====-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本小题主要考查对数函数过定点问题，考查三角函数的定义，考查正切的二倍角公式，属于基础题.10．已知函数1()ln1xf x x x+=+-，且()(1)0f a f a ++>，则a 的取值范为（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式()(1)0f a f a ++>，求得a 的取值范围.【详解】 由101x x +>-解得11x -<<，而()()11n 11ln l x f x x x x x f x x ++-⎛⎫-=-=-=- ⎪+⎝⎭-，所以()f x 为奇函数，且1()ln1x f x x x +=+-()122ln ln 111x x x x x --+⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭为增函数，所以由()(1)0f a f a ++>，得()()()1f a f a f a +>-=-，则1a a +>-，解得12a >-.由于11111a a -<<⎧⎨-<+<⎩，即10a -<<.所以102a -<<.即a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.11．ABC V 为等腰直角三角形，90C ∠=︒，1CA CB ==，CD 为斜边AB 上的高，D 是垂足，P 为线段CD 的中点，则AP CP ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．-1 B ．12-C ．14-D ．18-【答案】D【解析】利用向量减法运算化简,AP CP u u u r u u u r ，结合向量数量积运算求得AP CP ⋅u u u r u u u r的值.【详解】依题意112224AB CD AB CP CD ==⨯==⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()2AP CP CP CA CP CP CA CP⋅=-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur21111cos 4544848⎛=-⨯=-=- ⎝⎭o. 故选：D【点睛】本小题主要考查向量的减法和数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 12．设函数()ln f x x x =，()()'f x g x x=，给定下列命题①不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；②函数()g x 在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减； ③若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则1m ≥； ④若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则实数()0,1a ∈．则正确的命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】明确函数()g x 的图象及性质，命题的正误易判. 【详解】f （x ）=xlnx 的导数为f′（x ）=1+lnx ， 则()()1lnxf xg x xx+=='，()2'lnx g x x =-,对于①()0g x >即1lnx 0x +＞，解得1x e >，故正确； 对于②()2'lnxg x x=-，当x ()0,1∈时()()'0g x g x ＞，在()0,1单调递增，故错误；对于③()()()2212122m x x f x f x ->-可化为：()()222211 22m m f x x f x x ->- 设()2φfx 2m x x =-，又120x x >>∴()φx 在()0∞+，上单调递减，∴()φ'1lnx mx 0x =+-≤在()0∞+，上恒成立， 即1lnx m x +≥，又()1lnxg x x+=在()0,1单调递增，在()1∞+，上单调递减， ()11g =，∴m 1≥故正确；对于④若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()'F x = 1+lnx-2ax 有两个零点，即1+lnx-2ax=0，2a=1lnxx+ 又()1lnxg x x+=在()0,1单调递增，在()1∞+，上单调递减， ()11g =，x ∞→+时，()0g x →，即2a ()0,1∈，a 10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故错误；故选B 【点睛】本题考查导数的运用：考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的零点的个数，注意运用转化思想、数形结合思想，属于中档题．二、填空题 13．复数121iz i i-=-+（i 为虚数单位），则||z =________． 【答案】3【解析】利用复数除法运算化简z ，再求得z . 【详解】依题意()()()211222231112i i iz i i i i i i i ---=-=-=-=-++-，所以3z =. 故答案为：3 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.14．若直线20(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则21a b+的最小值为________． 【答案】4【解析】利用题目所给弦长，求得,a b 的关系式，再利用基本不等式求得21a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y ++-+=可化为()()222122x y ++-=，所以圆心为()1,2-，半径为2，由于直线与圆相交所得弦长为4，则直线过圆心，即220,22a b a b --+=+=.()2112122a b a b a b ⎛⎫+=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭14144422b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当224,4,21b a a b a b a b ====时等号成立，所以21a b+的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查基本不等式求最值，属于基础题. 15．从抛物线214y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5PM =.设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为______. 【答案】10【解析】先设处P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P 点横坐标，代入抛物线方程求得P 的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案. 【详解】抛物线24x y =上一点P 引抛物线准线的垂线， 设()00,P x y依题意可知抛物线准线1y =-，0514y ∴=-=.04x ∴=，MPF ∴∆的面积为：011||541022PM x =⨯⨯=. 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义.16．记函数|1|1()cos 2x f x x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(2,4)-上的零点分别为(1,2,,)i x x i n ==⋅⋅⋅，则1ni i x ==∑ ________．【答案】6【解析】画出11,cos 2x y y x π-⎛⎫== ⎪⎝⎭在区间()2,4-上的图象，根据两个图象交点的对称性，求得1ni i x =∑.【详解】令|1|1()cos 02x f x x π-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得|1|1cos 2x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，画出11,cos 2x y y x π-⎛⎫== ⎪⎝⎭在区间()2,4-上的图象如下图所示.两个函数图象都关于直线1x =对称，所以两个函数图象的六个交点，也关于直线1x =对称，所以1326nii x==⨯=∑.故答案为：6【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查函数图像的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差d =2，且1,a 3,a 4a 成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列102n a n b n +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（I ）210n a n =-；（2）()11144332n n n n S ++=⋅-+【解析】（I ）根据等比中项的性质列方程，并转化为1,a d 的形式，由此求得1a ，进而求得{}n a 的通项公式.（II ）利用分组求和法求得数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】（I ）由于1,a 3,a 4a 成等比数列，所以2314a a a =⋅，即()()211146a a a +=⋅+，解得18a =-.所以210n a n =-.所以数列{}n a 的通项公式为210n a n =-.（II ）由（I ）得224n nn b n n =+=+.所以()()244412nn S n =+++++++L L ()()4141142n n n -+=+-()11144332n n n ++=⋅-+. 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，考查分组求和法，属于中档题.18．如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE P12AC ，AD=BD=1. (Ⅰ)求AB 的长；(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.【答案】(1)2AB =217. 【解析】分析：(Ⅰ) 先由面面垂直的性质可得AC ⊥平面ABD ，DE ⊥平面ABD ，可得DE BD ⊥，再证明BD ⊥平面ADE ，于是得AD BD ⊥，由勾股定理可得结果；(Ⅱ)过O 作直线//OY AC ，以点O 为坐标原点，直线,,OB OY OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示. 记2AC a =，求出平面的一个法向量，利用点E 到平面BCD 的距离，结合24AC ≤≤，可得点E 到平面BCD 的距离的最大值.详解：(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面ABD. 又∵DE ∥AC ，∴DE ⊥平面ABD ，从而DE ⊥BD.注意到BD ⊥AE ，且DE∩AE=E ，∴BD ⊥平面ADE ，于是，BD ⊥AD. 而AD=BD=1，∴2AB =.(Ⅱ)∵AD=BD ，取AB 的中点为O ，∴DO ⊥AB. 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC.过O 作直线OY ∥AC ，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.记2AC a =，则12a ≤≤，22000022A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，222000C a D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，20E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()220BC a =-u u uv ，，，22022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，，. 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =v，，.由00BC n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得22022022x ay x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.令2x =，得122n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，，. 又∵()00DE a u u u v ，，=-，∴点E 到平面BCD 的距离214DE n d n a⋅==+u u u v v v .∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max 217=144d =+.点睛：本题主要考查空间垂直关系，利用空间向量求点到面的距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．已知椭圆()2222C :1,0x y a b a b +=>>，短轴一个端点到右焦点的(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，坐标原点O 到直线l求AOB n 面积的最大值.【答案】(1)2213x y +=；(2)2. 【解析】试题分析：(1)由题意可得：1a b == ，则椭圆方程为22x y 13+=．(2)分类讨论：①当AB x ⊥轴时，AB =②当AB 与x 轴不垂直时，设处直线AB 的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得max 1S AB 2=⨯=. 试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意{3c a a ==1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213xy +=．（2）设()12,A x x ，()22,B x y ． ①当AB x ⊥轴时，AB ．②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．=()22314m k=+．把y kx m=+代入椭圆方程，整理得()22316k x kmx++2330m+-=，122631kmx xk-∴+=+，()21223131mx xk-=+()()222211AB k x x∴=+-=()()()22222221213613131mk mkkk⎡⎤-⎢⎥+-⎢⎥++⎣⎦．()()()222221213131k k mk++-=+()()()2222319131k kk++=+242123961kk k=+=++()221230196kkk+≠++1234236≤+=⨯+当且仅当2219kk=，即k=时等号成立．当0k=时，AB=，综上所述max2AB=．当k=±时，AB取得最大值，AOBV面积也取得最大值．max12S AB=⨯=.20．小军的微信朋友圈参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 98608753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980男性好友走路的步数情况可分为五个类别（说明：a~b表示大于等于a，小于等于b）A（0~2000步）1人，B（2001-5000步）2人，C（5001~8000步）3人，D（8001-10000步）6人，E（10001步及以上）8人若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“健康型”否则被系统认定为“进步型”．（I）访根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并根据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关？（Ⅱ）如果从小军的40位好友中该天走路步数超过10000的人中随机抽取3人，设抽到女性好友X人，求X的分布列和数学期望()E X．附：22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++n a b c d=+++．【答案】（I）22⨯列联表见解析，没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（Ⅱ）分布列见解析，数学期望为3 5 .【解析】（I）根据题目所给数据填写好22⨯列联表，计算出2K的值，由此判断出没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（II）利用超几何分布分布列计算的公式，计算出X的分布列，进而求得数学期望. 【详解】（I）根据题目所给数据列联表如下图所示：所以()2240141286 3.636 3.84122182020K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（II ）女性好友超过10000步的有2人，男性好友超过10000步的有8人，共有10人超过10000步，从中抽取3人，其中女性好友的人数X 的可能取值为0,1,2.且()03283107015C C P X C ⋅===，()12283107115C C P X C ⋅===，()21283101215C C P X C ⋅===. 所以分布列为数学期望为()77193012151515155E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列以及数学期望的计算，属于中档题.21．已知函数1()ln(1)1()1a f x a x a a R x +=-++--∈+， （I ）讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）若对任意的正整数n 都有11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立，求a 的取值范围．【答案】（I ）当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上递减.当102a -<<时，()f x 在210,a a +⎛⎫ ⎪-⎝⎭上递减，在21,a a +⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递增.当12a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上递增.（II ）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】（I ）求得()f x 的导函数()'fx ，对a 分成1110,0,,222a a a a ≥-<<<=-<-等四种情况，讨论()f x 的单调性.（II ）将不等式11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭转化为111ln 10a n n n⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造()()()(]()1ln 10,1g x ax x x x =-+-∈，利用()g x 的导函数，结合（I ）的结论，求得a 的取值范围. 【详解】（I ）依题意()()'2211ax a f x x ---=+（0x >）当0a ≥时，()'0fx <，所以()f x 在(0,)+∞上递减.当0a <时，令()'0f x =解得21a x a+=-. 当102a -<<时，210,0a a a +->>-，所以()f x 在210,a a +⎛⎫⎪-⎝⎭上递减，在21,a a +⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递增.当12a =-时，()()'21201x f x x =>+，()f x 在(0,)+∞上递增. 当12a <-时，210,0a a a+-><-，所以()f x 在(0,)+∞上递增. 综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上递减.当102a -<<时，()f x 在210,a a +⎛⎫⎪-⎝⎭上递减，在21,a a +⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上递增.当12a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上递增.（II ）不等式11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭两边取以e 为底的对数，可转化为111ln 10a n n n ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()()(]()1ln 10,1g x ax x x x =-+-∈，故要对任意的正整数n 都有11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立，只需对任意(]0,1x ∈，有()0g x >.()()()'1ln 111a g x f x a x a x +==-++--+. 由（I ）知： 当12a ≤-时，()g x 在(]0,1上递增，所以()()00g x g >=，符合题意. 当0a ≥时，()g x 在(]0,1上递减，()()00g x g <=，不符合题意. 当1123a -<≤-时，()g x 在210,a a +⎛⎫ ⎪-⎝⎭上递减，所以当210,a x a +⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()00g x g <=，不符合题意.当103-<<a 时，()g x 在(]0,1上递减，()()00g x g <=，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解有关不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 22．在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是cos ,{sin ,x m t y t αα=+=（t 为参数）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C ：4cos ρθ=.（1）当1m =-，30α=︒时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）当1m =时，若直线与曲l 线C 相交于A ，B 两点，设(1,0)P ，且1PA PB -=，求直线l 的倾斜角.【答案】（1）直线l 与曲线C 相交.（2）3πα=或23π. 【解析】【详解】试题分析：(1)圆心到直线的距离小于半径，则直线l 与曲线C 相交.(2)写出直线参数方程的标准形式，与圆的方程联立，利用参数的几何意义整理可得直线l 的倾斜角3πα=或23π. 试题解析：解：（1）由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C 的普通方程为()2224x y -+=， 所以曲线C 是以()2,0M 为圆心，2为半径的圆，由直线l的参数方程为1,{1,2x y t =-+=（t 为参数），得直线l的直线坐标方程为10x +=. 由圆心M 到直线l的距离322d ==<， 故直线l 与曲线C 相交.（2）直线l 为经过点()1,0P 倾斜角为α的直线， 由1{x tcos y tsin αα=+=代入()2224x y -+=，整理得，22cos 30t t α--=，()22cos 120α∆=+>，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，1230t t ⋅=-<， 所以12,t t 异号.则122cos 1PA PB t t α-=+==，所以1cos 2α=±，又[)0,απ∈， 所以直线l 的倾斜角3πα=或23π.。

……外…………○学……内…………○绝密★启用前 2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三下学期3月月考数学(理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，{}(,)|3x B x y y ==，则A B I 中的元素的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．复数2312i z i +=+-在复平面内对应的点到原点的距离是( ) A B C D ．3．虚拟现实（VR ）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR 技术后，VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR 市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是( ) A ．该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍 B ．该地区2019年的VR 硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多 C ．该地区2019年的VR 软件收入是2018年的软件收入的3倍……外………………○………………………※在※※装※※订※※线※……内………………○………………………4．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为0，则 中可填入( ) A ．2m m =+ B ．1=+m m C ．1m m =- D ．2m m =- 5．设124a -=，141log 5b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是( )A ．115 B ．110 C ．13 D ．1307．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是( )A ．卫星向径的最小值为a c -B ．卫星向径的最大值为a c +C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 8．已知在斜三棱柱111ABC AB C -中，点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BF EA FB =，14AA =，ABC V 的面积为5，截面1C EF 与截面CEF 将三棱柱111ABC A B C -分成三部分.若中间部分的体积为4，则1AA 与底面所成角的正弦值为( ) A ．12 B ．35 C ．45 D 9．已知()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，则6f π⎛⎫=⎪⎝⎭( ) A ．或0 B ．12- C ．12 D ． 10．已知直线l 与曲线x y e =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点.若OAB V 的面积为3e ，则点P 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF V 的内切圆与边2AF 切于点B .若124||FF AB =，则C 的渐近线方程为( ) A 0y ±= B ．0x ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±= 12．已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则( ) A ．sgn(())0f x > B ．404112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．sgn((2))0()f k k Z =∈ D ．sgn(())|sgn |()f k k k Z =∈○…………………装………※请※※不※※要※※在※○…………………装………请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．已知向量(3,2)a =-，(1,1)b =-r ，若()a b a μ+⊥r r r ，则实数μ的值为________；若()//(2)a b a b μ++r r r r ，则实数μ的值为________. 14．若对12233(1)1n n n n n n n x C x C x C x C x +=+++++…两边求导，可得11232(1)23n n n n n x C C x C x -+=++1n n n nC x -++…，通过类比推理，有723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，可得1234567234567a a a a a a a ++++++的值为________.15．已知数列{}n a 中，111a =，121n n a a n n +=++，若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立，则实数t 的取值范围是________.16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是a ，S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点，点Q 在正方形11DCC D 及其内部运动，若//PQ 平面1SBC ，则点Q 的轨迹的长度是________.三、解答题17．如图所示，在ABC V 中，点D 在边BC 上，且90DAC ︒∠=，cos 3DAB ∠=，AB =…………装…………○…………○…………线学校:___________姓名：___________班级：___________…………装…………○…………○…………线（1）若sin 3C =，求BC 的值； （2）若BC 边上的中线2AE =，求AC 的值. 18．如图，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==，四边形ADEF 是矩形，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF AD λ=.（1）证明：DE ⊥平面ABCD ； （2）若二面角B CF D --，求λ的值. 19．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆22:(3)(2)16E x y -+-=与C 交于M ，N 两点，且M ，E ，F ，N 四点共线. （1）求抛物线C 的方程； （2）设动点P 在直线1x =-上，存在一个定点(,0)(0)T t t ≠，动直线l 经过点T 与C 交于A ，B 两点，直线PA ，PB ，PT 的斜率分别记为1k ，2k ，3k ，且2132k k k +-为定值，求该定值和定点T 的坐标. 20．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.…线…………○………线…………○…… （1）求这300名员工日行步数x （单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）； （2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额X （单位：元）的分布列和数学期望. 附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)P μσξμσ-<≤+0.9545≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.21．已知函数()()21ln f x a x a x =+∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，()212x x x <是()f x 的两个零点，求证：212ln 10e a x x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线2C 的参数方程为2x at y t =-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）.（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 和2C 相交于A 、B 两点，以线段AB 为一条边作1C 的内接矩形ABCD ，当矩形ABCD 的面积取最大值时，求a 的值.（1）证明：()||1f x a ≤+； （2）若2a =，且对任意x ∈R 都有(3)()k x f x +≥成立，求实数k 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】分析出集合,A B 分别表示椭圆和函数图像上的点，然后数形结合得出集合的交集中元素的个数.【详解】 集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭表示椭圆2212x y +=上的点组成的集合. 集合B 表示函数3y x =的图像上的点组成的集合. 在同一坐标系中作出椭圆2212x y +=和函数3y x =的图像，如图.由图可知，椭圆2212x y +=和函数3y x =的图像有2个公共点. 所以A B I 有2个元素.故选：B【点睛】本题考查集合交集中元素的个数，属于基础题.2．C【解析】【分析】先将复数z 化简，然后得出复数z 在复平面内对应的点的坐标，再求它到原点的距离.【详解】 复数()()()()212233*********i +i i 5i z =+i i i +i ++=+=+=+--所以复数3z +i =在复平面内对应的点为()3,1.所以复数3z +i =故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，属于基础题.3．D【解析】【分析】根据统计图给出的信息和题目条件，对选项进行逐一判断，得出答案.【详解】设该地区2017年VR 市场收入为a ，则由VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番.所以该地区2018年VR 市场收入为2a ，该地区2019年VR 市场收入为4a .A ．该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍,所以A 正确.B.由图可得该地区2019年的VR 硬件收入为40.7 2.8a a ⨯=.该地区2017年的VR 硬件收入为0.90.9a a ⨯=.该地区2018年的VR 硬件收入为20.8 1.6a a ⨯=.由0.9 1.6 2.5 2.8a a a a +=<， 所以B 正确.C. 该地区2019年的VR 软件收入为：40.3 1.2a a ⨯=,2018年的软件收入为：20.20.4a a ⨯=.所以C 正确D. 该地区2019年的VR 软件收入为：40.3 1.2a a ⨯=,2017年的软件收入为：0.10.1a a ⨯=,所以D 不正确.故选：D【点睛】本题考查条形统计图的应用，属于基础题.4．A【解析】【分析】根据程序运行，将每一个选项代入试运行，算出其输出结果，从而选出答案.【详解】对选项A ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,6S m ==,则()4648S =⨯-=8,8S m ==,则()8880S =⨯-=,所以输出结果0S =,所以正确.对选项B ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,5S m ==,则()4544S =⨯-= 4,6S m ==,则()4648S =⨯-=8,7S m ==,则()87880S =⨯-=-<，输出结果8S =-,所以不正确.对选项C ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,3S m ==,则()43440S =⨯-=-<，输出结果4S =-,所以不正确.对选项D ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,2S m ==,则()42480S =⨯-=-<,所以输出结果8S =-,所以不正确.故选：A 【点睛】本题考查程序框图中循环，考查补全程序结构，属于中档题. 5．B 【解析】 【分析】利用对数的单调性可得411log 22b c >>>=，而12a =，可得答案.【详解】12142a -==，1444411log log 51log 3log 252b ==>>>= 所以a c b << 故选：B 【点睛】本题考查利用对数函数的单调性比较大小，属于中档题.6．C【解析】【分析】先分析出,A B区域可以填的数字，根据古典概率可知，当B区域标记数字1时，A区域的数字为2时，标记数字1的区域的面积最大，从而概率最大，得出答案.【详解】由题意B区域标记数字1,4.当B区域标记数字1时，A区域的数字为2.当B区域标记数字4时，A区域的数字可以为1或2.在图上随机取一点，要使得该点恰好取自标记为1的区域的概率最大，则只需标记数字1的区域的面积最大即可.显然当B区域标记数字1时，A区域的数字为2时，标记数字1的区域的面积最大.此时标记数字1的区域共有10个小正方形,而在图上共有30个小正方体.所以所求概率的最大值为：101303 P==故选：C【点睛】本题考查几何概率的求法，属于中档题.7．D【解析】【分析】由题意向径即椭圆上的点与焦点的连线的距离，由椭圆的性质可得出答案. 【详解】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离. 根据椭圆的几何性质有：卫星向径的最小值为a c-，卫星向径的最大值为a c+，所以A, B正确.当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时，由12111a c ea c e e--==-++++，可得e越大，椭圆越扁，所以C正确.卫星运行速度在近地点时,其向径最小，由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等. 则卫星运行速度在近地点时最大，同理在远地点时最小，所以D不正确.故选：D 【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于中档题. 8．B 【解析】 【分析】由题意可得中间部分的体积为原三棱柱体积的三分之一，得到原三棱柱的体积，设1AA 与底面所成角为α，由棱柱体积公式列式求得sin α的值． 【详解】由点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BFEA FB = 则//EF AB ，过EF 作平面//EFG 底面ABC ，如图. 则111113C EFG A B C EFG V V --=, 13C EFG ABC EFG V V --=. 所以中间部分的体积1111143E FCC ABC A B C V V --== 所以11112ABC A B C V -=，设三棱柱111ABC A B C -的高为h111512ABC A B C ABC V S h h -=⨯==△,则125h =, 设1AA 与底面所成角为α，则11235sin 45h AA α===故选：B【点睛】本题考查直线与平面所成角，关键是明确中间几何体的体积与原三棱柱体积的关系，考查棱柱体积公式的应用，是中档题．9．D 【解析】 【分析】由()f x 是R 上的奇函数，可求出ϕπ=，()f x 的图象关于直线4x π=对称可得42,k k ω=+∈Z ，再根据()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数有，222211T πππω⎛⎫=≥⨯+ ⎪⎝⎭，从而得到答案. 【详解】由题意，()f x 是R 上的奇函数，则()0sin 0f ϕ==. 又0ϕπ<≤，则ϕπ=，即()sin f x x ω=-根据()f x 的图象关于直线4x π=对称，则,42k k Z ππωπ⨯=+∈.所以42,k k ω=+∈Z . ()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，所以222211T πππω⎛⎫=≥⨯+ ⎪⎝⎭. 则223ω≤，又0>ω. 所以2ω=或6ω=.当2ω=时，()sin 2f x x =-，满足条件，()sin63f ππ=-= 当6ω=时，()sin 6f x x =-， 此时函数()f x 在 ,2212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,1211ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，不满足条件.所以()6f π=故选：D 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的奇偶性、对称性和单调性，属于中档题. 10．A 【解析】 【分析】设切点()00,P x y ，由导数得出切线方程，求出切线与坐标轴的交点的坐标，利用面积公式可得()020112x S x e =-，即研究()()2112x f x x e =-的图像与3y e =的交点个数，利用导数求出函数()f x 的单调区间，结合图像可得答案. 【详解】设()00,P x y ，e xy '=，则以P 为切点的切线的斜率为：0x k e =以P 为切点的切线方程为：()000-=-x x y e e x x .所以()()()0001,0,0,1x A x B x e --则()000111122x OAB S OA OB x x e =⨯⋅=⨯-⨯-△ ()020112x x e =- 设()()2112x f x x e =-，则()()()()()211111122x x xf x x e x e x x e '=--+-=+-.由()0f x '>，得1x <-或1x >,()0f x '<,得11x -<<.所以()f x 在()1-∞-，上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1+¥，上单调递增.又()()2310,1f f e e=-=<，且恒有()0f x ≥成立. 如图所以()f x 的图像与3y e=有1个不同的交点.所以OAB V 的面积为3e的点P 有1个. 故选：A 【点睛】本题考查利用函数导数研究过曲线上某点处的切线方程和方程的根的个数问题，属于中档题. 11．A 【解析】 【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程. 【详解】如图所示：设,,G B N 分别为2MAF V 三边与其内切圆的切点，圆心为I . 已知MGI △≌MNI △，2F BI △≌2F NI △,AGI △≌ABI △. 即22,,NM MG AG AB F B F N === 由双曲线的定义有：122MF MF a -=.则121212MF MF MF MN NF MF MG BF -=--=--222AF BF AG AB AG AB =-+=+=.所以22AB a =,即AB a =.又124F F AB =.所以24c a =，又222+=a b c ，解得ba=双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为：b y x a=±=.故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、性质和渐进线方程，考查圆的切线性质，属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】先根据函数的周期性和奇偶性作出函数()f x 的图像,再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合可对四个选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】由()f x 满足(2)()f x f x +=，所以()f x 是以2为周期的周期函数. 当[0,1]x ∈时，()f x x =，又()f x 为偶函数，即()()f x f x =-.当10x -≤≤时，01x ≤-≤，所以()()f x f x x =-=-. 所以当11x -≤≤时,(),01,10x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩,此时()[]0,1f x ∈.由()f x 是以2为周期的周期函数，()f x 的值域为[]0,1，其图象如下：所以()()()()011sgn 00f x f x f x <≤⎧=⎨=⎩，所以A 不正确.由()f x 是以2为周期的周期函数， 则404111120202222f f +f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以B 不正确. k Z ∈时，由函数的周期性()()200f k f ==.所以()sgn((2))sgn 00f k ==，所以C 正确.当2k =时，()20f =，所以()sgn((2))sgn 00f ==，而sgn 21=. 此时sgn((2))|sgn 2|f ≠，所以D 不正确. 故选：C 【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶的应用，以及符号函数的性质应用，考查转化的方法，属于中档题. 13．135 12【解析】 【分析】先求出a b μ+r r 的坐标，利用()0a b a μ+⋅=r rr 可求解第一个空. 然后利用两向量平行的坐标条件可求解第二个空. 【详解】向量(3,2)a =-r，(1,1)b =-r ，()()()3,2,3,2a b μμμμμ+=-+-=--r r()a b a μ+⊥r r r,则()0a b a μ+⋅=r r r .又()()()33220a b a μμμ+⋅=-⨯-+⨯-=r rr ，解得:135μ=. ()()()26,41,15,3a b +=-+-=-rr()//(2)a b a b μ++r rr r ,则()()()33520μμ-⨯--⨯-=，解得：12μ=故答案为：（1）135 ，（2）12【点睛】本题考查利用向量的垂直和平行求参数，属于基础题. 14．35 【解析】 【分析】根据题目给出的方法，对723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++两边求导，然后令1x =，可得答案. 【详解】由723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++两边求导得：()62345612345677554234567x a a x a x a x a x a x a x ⨯⨯-=++++++令1x =可得：123456723436755a a a a a a a =++++++ 故答案为：35. 【点睛】本题考查类比方法的推理和赋值法的应用，属于中档题. 15．()4,2- 【解析】 【分析】先用累加法求出的n a 通项公式, 存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立,则()2max n a m t t >+，可求解答案. 【详解】 由121111n n n a a a n n n n +=+=+-++. ∴()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+L L1111111111121322n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 112n =- ∴11212n a n=-<若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立.所以212m t t >+对任意的[1,4]m ∈恒成立.设()212f m mt t =+-，即()0f m <对任意的[1,4]m ∈恒成立.函数()f m 是关于m 的一次或常数函数.所以()()1040f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即221204120t t t t ⎧+-<⎨+-<⎩解得4362t t -<<⎧⎨-<<⎩，即42t -<<所以实数t 的取值范围是42t -<< 故答案为：()4,2-. 【点睛】本题考查用累加法求数列的通项公式，考查恒成立和能成立问题，属于中档题.16．2【解析】 【分析】过点P 作一平面使之与平面1SC B 平行，则该平面与正方体的面11DCC D 的交线为动点Q 的轨迹，从而可求出答案. 【详解】由S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点 在线段11D C 上取点M ，使得11114D M D C =，连接PM . 在线段CD 上取点N ，使得14CN CD =，连接MN . 设H 为11D C 的中点，连接1A H SH CH ，，,如图.则有111//,//PM A H A H SC ,所以1//PM SC . 所以//PM 平面1SC B .又//,//SB CH CH MN ,所以//MN SB ，//MN 平面1SC B ,且PM MN M ⋂=所以平面1//SC B 平面PMN .且平面PMN 与正方体的面11DCC D 相交于MN . 所以当点Q 在线段MN 上时，有//PQ 平面1SBC所以2MN CH ===.所以点Q .. 【点睛】本题考查空间几何体中轨迹问题，直线与平面的平行的判定的应用，属于难题.17．（1） 4 （2）3【解析】 【分析】（1）先由诱导公式sin BAC ∠的值，再由正弦定理求解BC .(2) 延长AE 到F ，使得AE EF =,连接,BF CF ,得到平行四边形ABFC ，然后在ABF V 中用余弦定理可解得答案.【详解】(1)由90DAC ︒∠=，cos DAB ∠=. 又()sin sin 90cos 3BAC BAD BAD ∠=∠+︒=∠=由正弦定理有sin sin BC ABBAC C=∠,所以sin 4sin 3AB BAC BC C ⋅∠===. 所以4BC =.(2)由90BAC BAD ∠=∠+︒,所以BAC ∠为钝角. 又由（1）有sin 3BAC ∠=，所以1cos 3BAC ∠=-又AE 为BC 边上的中线，延长AE 到F ，使得AE EF =,连接,BF CF ,如图. 则四边形ABFC 为平行四边形,所以1cos cos 3ABF BAC ∠=-∠= 则在ABF V 中,4AB AF ==所以2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-⋅∠即21166+3BF BF =-⨯，即23300BF --=.解得：BF =BF = 所以AC=【点睛】本题考查诱导公式，正弦定理和余弦定理的应用， 第（2）问还可以用向量法求解，属于中档题.18．(1)证明见解析. (2) 2λ=或λ=【解析】 【分析】(1) 取DC 的中点H ,连接,BH AH ，可得AH DE ⊥，再推导出AD DE ⊥，从而得证. (2) 由题目条件和（1）可知,,DA DC DE 两两垂直, 以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系,利用向量法，求出λ的值. 【详解】(1)取DC 的中点H ,连接,BH AH .由//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==. 则ABHD 为正方形.所以AH BD ⊥.又平面BDE ⊥平面ABCD ，且平面BDE ⋂平面=ABCD BD .AH ⊂平面ABCD ,所以AH ⊥平面BDE .又DE ⊂平面BDE .则AH DE ⊥.又四边形ADEF 是矩形，则AD DE ⊥,且AD BD D =I . ∴DE ⊥平面ABCD .(2)由题目条件和（1）可知,,DA DC DE 两两垂直.故以点D 为原点，以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.如图. 设1AB =，则DE AF λ==.所以()1,0,0A ，()1,1,0B ,()0,2,0C ,()0,0,E λ,()1,0,F λ.则()1,1,0BC =-uu u r,()1,2,CF λ=-u u u r ,()=0,2,0DC u u u r . 设平面BFC 的一个法向量为()111,,n x y z =r.所以00n BC n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即11111020x y x y z λ-+=⎧⎨-+=⎩ 取11,1,n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭r设平面DFC 的一个法向量为()222,,m x y z =u r. 所以00m DC m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即2222020y x y z λ=⎧⎨-+=⎩取(),0,1m λ=-u r二面角B CF D --. cos ,5m n m n m n⋅==⋅u r ru r r u r r 即2243+13=0λλ- ，解得：24λ=或213λ= 所以2λ=或λ=【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查根据二面角的正弦值求线段的长度之比，考查利用向量的方法解决空间角，属于中档题.19．（1）24y x = （2）()1,0T ，2132k k k +-的定值为0.【解析】 【分析】(1)根据条件MN 为圆E 的直径，则8MN =，设()()1122,,,M x y N x y ，126x x +=，1268MN x x p p =++=+=，从而可求出p 的值；(2) 设()()3344,,,A x y B x y ，()1,P m -,直线x ny t =+,则3412334,,111+y m y m mk k k x x t--===-++，结合抛物线的方程，将抛物线方程与直线方程联立，写出韦达定理，代入化简即可得出答案. 【详解】(1)设()()1122,,,M x y N x y ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，M ，E ，F ，N 四点共线. 由条件圆心()3,2E 为MN 的中点，12124,6y y x x +=+=,8MN =. 所以直线MN 过焦点F ，则1268MN x x p p =++=+=.解得：2p =. 抛物线2:4C y x =.(2) 设()()3344,,,A x y B x y ，()1,P m -，直线x ny t =+. 则24x ny t y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ny t --=. 34344,4y y n y y t +=⋅=-.()22223434342168y y y y y y n t +=+-=+3412334,,111+y m y m mk k k x x t--===-++. 233344223434122111112144y m y m y m y m m m++y y x x +t k k k +t =----+=+++++-+()()342234442441y m y m m+y +y ++t--=+()()()()()22343434222343444821416y y y y m y y m m+ty y y y ⎡⎤++-+-⎣⎦=++++()()()222444416882116416816n t m n t m m+tt n t ⎡⎤--+-⎣⎦=++++ 2224442224211n tn mn tm m mt n t +t----=++++ ()()()()()()2222222224141444442112211n t +mn t n mn nt mn t t n t +t t n t +t --+--==++++++ 当1t =时，()()()()222241412211n t +mn t tn t +t --+++为定值0.故一个定点(1,0)T ，使得21302k k k =+-为定值 【点睛】本题考查利用抛物线的定义结合过焦点的弦长求p 的值，考查定点和定值问题，考查计数化简能力，属于难题.20．(1) 12 (2) 47 (3) 分布列见解析，()=216E X 【解析】 【分析】(1) 用每组数据中该组区间的中点值为代表，利用公式直接可求解. (2)由题意得()212,2N ξ∼，求出()1418P ξ<≤即可求解出答案.(3)由频率分布直方图可知每人获得奖金额为0元的概率为0.02，每人获得奖金额为100元的概率为：0.88，每人获得奖金额为200元的概率为：0.1,X 的取值为0，100，200,300,400. 分布求出概率，列出分布列，求出数学期望. 【详解】（1） 由题意有0.005250.005270.04290.29211x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+0.112130.032150.0152170.00521911.6812⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈（千步）（2）由()2,N ξμσ:，由（1）得()212,2N ξ∼所以()()()()1141812+2123261810142P P P P ξξξξ<≤=<≤+⨯=<≤-<≤⎡⎤⎣⎦ ()10.99730.68270.15732≈-= 所以300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数：3000.1573=47⨯.(3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：0.00522=0.02⨯⨯.每人获得奖金额为100元的概率为：()0.04+0.29+0.112=0.88⨯ 每人获得奖金额为200元的概率为：0.1X 的取值为0，100，200,300,400.()200.02=0.0004P X ==()121000.020.880.0352P X C ==⨯⨯= ()1222000.020.1+0.880.7784P X C ==⨯⨯= ()123000.10.880.176P X C ==⨯⨯=()24000.10.01P X ===所以X 的分布列为：()=00.0004+1000.0352+2000.7784+3000.176+4000.01=216E X ⨯⨯⨯⨯⨯ （元）【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均值，正态分布，离散型随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题.21．（1）f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数()23322a ax f x x x x --'=-+=()0x >，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的结果可知0f <，即2a e >，利用分析法，将需要证明想不等式转化为证明1221ae x x ea--<-，只需证明1212ae x x e a -<<<，利用函数的单调性和零点存在122ax e -<，根据零点存在性定理和单调性证明. 【详解】（1）f （x ）的定义域为（0，＋∞），且()23322a ax f x x x x --'=-+=，①当a≤0时，f'（x ）≤0，f （x ）的单调递减区间为（0，＋∞）；②当a ＞0时，由f'（x ）＞0得x ，故f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．（2）∵f （x ）有两个零点，∴由（1）知a ＞0且2ln 022a a f a =+<，∴a ＞2e ，要证原不等式成立，只需证明211ln 2e x x a a ⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭，只需证明1221a e x x e a --<-，只需证明1212ae x x e a -<<<．一方面∵a ＞2e 1<=，∴1111022111ln 0222a a a af e e a e e e --⎛⎫=+=->-=> ⎪⎝⎭，∴120a f f e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎫+∞⎪⎪⎭122ax e -<；另一方面，令()1ln g x x ex=+，（x ＞0）， 则()22111ex g x x ex ex -'=-=，当10x e<<时，g'（x ）＜0；当1x e >时，g'（x ）＞0； 故()min 1110g x g e ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，故g （x ）≥0即1ln x ex ≥-时x ∈（0，＋∞）恒成立，令ex a=， 则2ln e a a e >-，于是222222ln 0e ae a af a a ea e e ⎛⎫=+>-= ⎪⎝⎭，而2222222240e e a e ea a a---=<<，故0e f a ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎛ ⎝单调递减，故1e x a <<综合上述，1212ae x x e a -<<<<，即原不等式成立． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和不等式的证明，重点考查了构造函数和讨论的思想，属于难题，本题的难点是再证明0e f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，需要构造函数()1ln g x x ex =+，（x ＞0），并且证明不等式时，经常使用分析法转化.22．(1) 曲线1C 的直角坐标方程为：224x y +=;直线2C 的直角坐标方程为：20x ay -+= (2) ±1 【解析】 【分析】(1)曲线1C 利用平方可消去参数，直线2C 可用代入法消去参数，得到普通方程.(2)利用均值不等式的方法可求出圆的内接矩形面积最大时为内接正方形，即BD =,然后利用圆中的垂径定理结合点到直线的距离可求得答案. 【详解】（1）曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.所以曲线1C 的直角坐标方程为：224x y +=. 直线2C 的参数方程为2x aty t=-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）.所以直线2C 的直角坐标方程为：20x ay -+=. (2)如图，直线20x ay -+=过定点()2,0-.设,AB m AD n ==. 因为ABCD 为1C 的内接矩形.则BD 为直径,即=4BD 所以2216m n +=.矩形ABCD 对的面积为S ,S mn =.2216822m n mn +≤==,当且仅当m n ==时取等号.圆1C 的半径2r =，圆心到直线2C的距离为：d =由m AB ====，解得：1a =±. 【点睛】本题考查将参数方程化为普通方程，圆的性质，属于中档题. 23．（1）证明见解析. (2) 314k ≤≤ 【解析】 【分析】(1)由()()111x a x x a x a +--≤+--=+结合10x --≤可得221x a x a +--≤+，再由绝对值的三角不等式可证.(2设()()()3g x k x f x =+-分段打开绝对值，即()0g x ≥在R 上恒成立，则每一段均要满足恒大于等于0，从而得到答案. 【详解】 【详解】(1)因为()()111x a x x a x a +--≤+--=+……①本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。