陕西省西安市西北工业大学附中2020届高三4月适应性测试全国2卷理科数学试题(含答案)

2020年陕西省西安市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）．1．已知R 是实数集，集合{}2A x z x =∈<，{}210B x x =-≥，则()RA B ⋂=（ ）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．{}1C ．{}1,0-D ．1,2⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭2．已知i 是虚数单位，复数31iz i+=+，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -3．已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则m =（ ） A ．－1B ．1C ．2D ．－24．62x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ）A ．60B ．－60C ．－192D ．1925．某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（ ） A ．96B ．72C ．48D ．366．已知a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是（ ） A ．22a b <B ．2211ab a b < C ．22a b ab <D ．b a a b< 7．如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形，则该几何体体积为（ ）A ．620π+B ．916π+C ．918π+D ．206π3+8．点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线2x =-的距离和的最小值是（ ）ABC 1D 19．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移a （0a >）个单位得到函数()cos2g x x =的图象，则a 的最小值为（ ） A ．3πB ．512π C ．23π D ．12π 10．已知曲线ln xy ae x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x -是定义在R 上的奇函数，则()()20182020f f +的值为（ ） A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算12．设2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线的斜率为（ ）A ．7±B ．3±C ．2±D ．2±二、填空題13．在区间[]1,5内任取一个实数，则此数大于2的概率为______． 14．函数()22log 23y x x =+-的单调增区间是______．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．ABC △的面积()2214S a c =+，若2sin sin B A C =，则角B 的值为______．16．在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC △为正三角形，AD AB ==O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为______．三、解答题（解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题17．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，1BB 的中点． （1）求证：//EF 平面11A DC ；（2）若1AA =2AB =，求二面角11E A D C --的正弦值．18．某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B 的考生有10人．（1）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数；（2）已知等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分．求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分．19．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，22n n S a =-（N n *∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n nnb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围． 20．已知函数()22ln f x x a x ax =--（R a ∈）． （1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）记()()g x f x ax =+，若()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求a 的取值范围．21．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F，若椭圆经过点)1P-，且12PF F △的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与圆O ：22x y b +=交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且CD AB λ=（R λ∈），当λ取得最小值时，求直线l 的方程并求此时λ的值． （二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，0a >． （1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ．设()0,1M -，且24PQ MP MQ =⋅，求实数a 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数()213f x x x =--+． （Ⅰ）解不等式()0f x >；（Ⅱ）若()33f x x a ++≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【分析】集合A 为解简单绝对值不等式，集合B 为解简单一次不等式．解：由题可知：{}1,0,1A =-，12B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭∴R 12B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，即(){}R 1,0A B ⋂=-． 故选：C ．2．【分析】将3z z i i +⋅=+化为31iz i+=+，对其进行化简得到z ，利用共轭复数的性质得到 解：3z z i i +⋅=+可化为()()()()3133221112i i i iz i i i i +-+-====-++- ∴z 的共轭复数为2z i =+， 故选：C ．3．【分析】可求出()3,2a b m -=+，根据()a b b -⊥即可得出()0a b b -⋅=，进行数量积的坐标运算即可求出m ．解：()3,2a b m -=+；∵()a b b -⊥； ∴()()6220a b b m -⋅=-+=；解得1m =． 故选：B ．4．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得常数项的值．解：二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为：()()66322166C 22C r r r rrrr r T xx x---+=⋅⋅-⋅=-⋅，令6302r-=，求得2r =， 故常数项为：()2262C 60-⋅=，故选：A ．5．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 解：设样本中A 型号车为x 辆，则B 型号为()8x +辆，则283x x =+，解得16x =， 即A 型号车16辆， 则216234n=++，解得72n =． 故选：B ．6．【分析】根据条件取1a =-，1b =即可排除错误选项． 解：根据a ，b 为非零实数且0a b <<， 取1a =-，1b =，则可排除A ，C ，D ． 故选：B ．7．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体由一个半球和一个三棱锥体组成的组合体． 所以2211π363318π9332V =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+． 故选：C ．8．【分析】过P 作PN ⊥准线于N ，连接PF 、AF ，由抛物线的定义可知，PN PF =，FA PA PF ≤+，所以当P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点A 的距离与点P 到直线1x =-的距离之和最小，此时与到直线x ＝﹣2的距离和也最小．解：由题可知，焦点()1,0F ，准线为1x =-，过P 作PN ⊥准线于N ，连接PF 、AF ，由抛物线的定义可知，PN PF =，FA PA PF ≤+，所以当P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点A 的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值为|FA =所以点P 到点A 的距离与P 到直线2x =-1． 故选：D ．9．【分析】由题意利用诱导公式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得a 的最小值． 解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移a （0a >）个单位， 得到函数()sin 22cos 23g x x a x π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图象， ∴当实数a 取得最小值时，232a ππ-=，故实数a 取得最小值为512π， 故选：B ．10．【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得102ae ++=，可得a ，进而得到切点，代入切线方程可得b 的值．解：ln xy ae x x =+的导数为ln 1xy ae x '=++，由在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+， 可得102ae ++=，解得1a e -=，又切点为()1,1，可得12b =+，即1b =-， 故选：D ．11．【分析】由已知结合奇函数与偶函数的性质可得()()110f x f x ++-=，然后代入可求． 解：因为()1f x -是定义在R 上的奇函数， 故()()11f x f x --=--，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=， 所以()()()111f x f x f x +=-+=--⎡⎤⎣⎦， 所以()()110f x f x +=-=，令2019x =，可得()()201820200f f +=，12．【分析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形，所以12MF PF =，1//MF PN ，由双曲线的定义知，212MF MF a -=，于是23MF a =，1MF a =，因为260MF N ∠=︒，所以1260F MF ∠=︒，在12MF F △中，由余弦定理知2212121212cos 2MF MF F F F MF MF MF +-∠=⋅⋅，代入数据化简整理得2247c a =，然后利用22222b c a a a -=，求出b a的值即可得解．解：设双曲线的左焦点为1F ，如图所示，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形， ∴12MF PF =，1//MF PN ， 而223MF PF =，∴213MF MF =，由双曲线的定义可知，212MF MF a -=，∴23MF a =，1MF a =， ∵260MF N ∠=︒，∴1260F MF ∠=︒， 在12MF F △中，由余弦定理知，22212121212cos 2MF MF F F F MF MF MF +-∠=⋅⋅，即222194223a a c a a+-=⋅⋅，化简，得2247c a =，∴2222234b c a a a -==，即2b a =，∴双曲线C 的渐近线的斜率为± 故选：D ．13．【分析】直接利用测度比为长度比求解． 解：要使此数大于2，只要在区间(]2,5上取即可，由几何概型概率可得此数大于2的概率为：523514-=-． 故答案为：34． 14．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，再由内函数的增区间求得原函数的增区间． 解：由2230x x +->，得3x <-或1x >．∵223t x x =+-在()1,+∞上为增函数，∴()22log 23y x x =+-的单调增区间为()1,+∞． 故答案为：()1,+∞．15．【分析】直接利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：由于2sin sin B A C =，利用正弦定理整理得2b =，由于ABC △的面积()2214S a c =+， 所以()2211sin 24ac B a c =+，且2222cos a c b ac B +=+， 故：()22112cos24B b ac B =+，转换为22211224B b B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，)sin cos 1B B -=， 即2sin 14B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由于0B π<<， 所以3444B πππ-<<-<，所以46B ππ-=，解得：512B π=． 故答案为：512π 16．【分析】作图，设O '为ABC △的中心，连结OM ，OO '，AO ，作平面ODA 交BC 于E ，根据条件可证得BF ⊥平面DAB ，作//OH BF ，得到OH 是DBF △的中位线．所以12OH BF =，可得所求值． 解：设O '为ABC △的中心，M 为AD 中点，连结OM ，OO '，AO ，则1AO '=，AM =OA =ODA 交BC 于E ，交BC 于F ． 设平面ODA 截得外接球是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，又∵DF ⊥平面ABC ，∴90DAF ∠=︒，∴DF 是O 的直径，DF =因为PA AB ⊥，PA =AB =BD =所以1BF =，AF 是O 的直径，连结BF ．∵BF DA ⊥，BF AB ⊥， ∴BF ⊥平面DAB ， ∴90DBF ∠=︒， 作//OH BF ， 又DO OF =，∴OH 是DBF △的中位线．12OH BF =， 故12OH =． 故答案为：12．三、解答题（解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题17．【分析】（1）证明四边形11ADC B 为平行四边形，可得11//AB DC ，进而得到1//EF DC ，由此得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面11A DC 及平面1EA D 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 解：（1）证明：连接1AB ，∵E ，F 分别为AB ，1BB 的中点， ∴1//EF AB ，∵1111ABCD A B C D -为正四棱柱， ∴四边形11ADC B 为平行四边形， ∴11//AB DC ， ∴1//EF DC ，∵EF ⊄平面11A DC ，1DC ⊂平面11A DC ， ∴//EF 平面11A DC ；（2）在正四棱柱中，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()2,1,0E，(1A，(10,2,C ，∴()112,2,0AC =-，(1DA =，(10,EA =-， 设平面11A DC 的法向量为(),,m x y z =，则22020x y x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可取()3,1m =-，设平面1EA D 的法向量为(),,n a bc =，则{20a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，可取()3,2n =-，∴7cos ,m n m n m n⋅==-，∴二面角11E A D C --的正弦值为14．18．【分析】（1）由“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人，能求出该考场有40人，由此能求出该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数．（2）求出“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为0.100，由此能求出该考查考生“语言表达能力”科目的平均分．解：（1）∵“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人， ∴该考场有100.25040÷=（人），∴该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数为：()4010.3750.3750.1500.025400.0753⨯----=⨯=．（2）由题意可得：“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为：10.3750.0250.2000.0750.100----=，该考查考生“语言表达能力”科目的平均分为：()()()()()11400.2002400.1003400.3754400.2505400.075 2.940⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦． 19．【分析】（1）先由题设条件12a ⇒=与12n n a a -=，从而说明数列{}n a 是首项、公比均为2的等比数列，进而求得n a ；（2）先由（1）求得n b ，然后利用错位相减法求得n T ，然后利用n T 单调性求得其取值范围． 解：（1）由题意知：当1n =时，1122S a =-，得12a =；当2n ≥时，由112222n n n n S a S a --=-⇒=-，两式相减整理得：12n n a a -=，∴数列{}n a 是首项、公比均为2的等比数列，2nn a =；（2）由（1）知：2n n n n n b a ==，∵231111132222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，∴2311111122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，由①﹣②可得：()2311111122111111111212222222212nn n n n n T n n n +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，∴222n n n T +=-，显然有：2n T <．∵02nnnb =>， ∴n T 单调递增，且1112T b ==， ∴122n T ≤<． 20．【分析】（1）求导数的零点可得1x a =，22ax =-，再分0a =，0a >及0a <讨论函数的单调性，求得函数的最大值与a 取值范围即可；（2）分离参数可得22ln x a x=，构造函数()2ln x h x x =，分析其单调性与值域，从而得到实数a 的取值范围．解：（1）()()()222x a x a a f x x a x x -+'=--=，令()0f x '=，解得1x a =，22a x =-； 当0a =时，()20f x x =≥恒成立，满足题意；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增， 则()()min 2ln 0f x f a a a ==-≥，解得01a <≤； 当0a <时，()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()222minln 02422a a a a f x f a ⎛⎫⎛⎫=-=+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3420e a -≤<；综上，实数a 的取值范围为342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）显然1x =不是()g x 的零点，由()0g x =得()22ln x a h x x==（*）， 则()()()22ln 1ln x x h x x -'=，令()0h x '=，解得x =易知，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭和(x ∈时，()h x单调递减，当e ⎤⎦时，()h x 单调递增，又1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x <，（*）不成立，∴只需()2222a h e a h e e⎧>=⎪⎨≤=⎪⎩，∴实数a的取值范围为,e e ⎡⎤-⋃⎣⎦．21．【分析】（1）根据三角形面积可2c =，将P 点代入椭圆得到22611a b+=，联立即可求得a ，b ； （2）设直线l 的方程为y x m =+，表示出AB =m 的取值范围，结合条件表示出λ=m 取值范围求得其范围寄了 解：（1）因为12PF F △的面积为2，即12122c ⨯⨯=，所以2c =，则224a b -=，① 又因为P 点在椭圆上，则22611a b +=，②解①②得a =2b =，故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=；（2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点O 到直线l的距离d =，由弦长公式可得AB ==，将2y m =+代入椭圆C 中可得2234280x mx m ++-=， 则()221612280m m ∆=-->，解得m -<<由直线和圆相交的条件可得d r <<，解得22m -<<，综上可得m 的取值范围是()2,2-； 设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式可得CD ===由CD AB λ=，得CD AB λ=== 因为22m -<<，所以2044m <-≤， 则当0m =时，λ取得最小值为3，此时l 的方程为y x =． （二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．转换为直角坐标方程为10x y --=．根据222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩转换为极坐标方程为：cos sin 1ρθρθ-=．曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，0a >．根据222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩转换为直角坐标方程为222x y ax+=（0a >）．（2）显然点M 在直线l 上，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得到)2110t a t ++=，所以)121t t a +=+，121t t =． 且24PQ MP MQ =⋅， 则212124t t t t -=，解得1a =或3-由于0a >，所以1a =． [选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）解法一：利用分类讨论法去掉绝对值，求出不等式()0f x >的解集；解法二：()0f x >等价于213x x ->+，利用两边平方法去掉绝对值，从而求得不等式的解集； （Ⅱ）利用绝对值不等式求出()33f x x ++的最小值，从而求得实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）解法一：当12x ≥时，()()21340f x x x x =--+=->，解得4x >； 当132x -≤<时，()()213320f x x x x =-+-+=-->，解得233x -≤<-； 当3x <-时，()()213320f x x x x =-+++=-->，解得3x <-； 综上知，原不等式的解集为243x x x <->⎧⎫⎨⎬⎩⎭或；解法二：()0f x >等价于213x x ->+， 两边平方整理得，231080x x -->， 解得23x <-或4x >； 所以，原不等式的解集为243x x x <->⎧⎫⎨⎬⎩⎭或；（Ⅱ）()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=， 当132x -≤≤时等号成立； 所以7a ≤；所以实数a 的取值范围是(],7-∞．。

陕西省西北工业大学附属中学2020届高三数学考前模拟练习试题理（含解析）第Ⅰ卷选择题（共60分）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若（，是虚数单位），则等于（）A. 3B. 2C. 0D.【答案】A【解析】，因，故，所以，选A.2.命题:“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得 ,因为 ,因此一个充分不必要条件是,选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程得出的值，再求双曲线的离心率．【详解】已知双曲线的渐近线方程为，且，所以，得.，所以双曲线的离心率为.故选：B【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，属于基础题．4.下列说法错误的是（）A. 回归直线一定经过样本点中心B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近1C. 对分类变量与，若越大，则“与有关的把握程度越小”D. 在回归方程中，每当随机变量每增加1个单位时，预报变量就平均增加0.2个单位【答案】C【解析】根据相关定义分析知A、B、D正确；C中对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”的招把握程度越大，故C不正确，故选C．5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，可得答案．【详解】由程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，由于.故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6.已知过球面上三点，，的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积． 【详解】如图，设球的半径为R ，O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为r ， 则OO ′⊥面ABC ．在Rt△ACD 中，cos A ，则sin A ．在△ABC 中，由正弦定理得2r ，r，△ABC 外接圆的半径，．故选：C ．【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题．7.从1，2，3，4，5，6，7中取出两个不同数，记事件为“两个数之和为偶数”，事件为“两个数均为偶数”，则（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】用列举法求出事件A ，事件B 所包含的基本事件的个数，求P （A ），P （AB ），根据条件概率公式，即可得到结论．【详解】事件A 为“两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（1，7），（3，5）、（3，7），（5，7），（2，4），（2，6），（4，6），∴P（A）＝，事件B为“两个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），（2，6），（4，6），∴P（AB）＝，∴P（B|A）＝．故选：A．【点睛】本题考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．属于基础题．8.将多项式分解因式得，为常数.若，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】由可得=5m-2=-7,m=-1，.【详解】因为的通项公式为，=x+（-2）=(5m-2)，=5m-2，又，5m-2=-7,m=-1,=2，故选D.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设正方体的棱长为，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，所以正方体切掉部分的体积为，所以剩余部分体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比为，故选D．考点：几何体的三视图及体积的计算．10.将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数图象经过放缩变换与平移变换后可得，由可得结果.【详解】函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，再向左平移后得到，因为的图象关于于对称，，解得，当时，，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11.如图所示，为的外心，，，为钝角，为边的中点，则的值为（）A. B. 12 C. 6 D. 5【答案】D【解析】分析】取的中点，且为的外心，可知，所求，由数量积的定义可得，代值即可．【详解】如图所示，取的中点，且为的外心，可知，∵是边的中点，∴ .，由数量积的定义可得，而，故；同理可得，故.故选：D．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若当时，恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．故选：B．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.若直线被圆截得的弦最短，则______；【答案】【解析】直线y＝kx＋1恒过定点A(0,1)，要使截得的弦最短，需圆心(1,0)和A点的连线与直线y ＝kx＋1垂直，所以k·＝－1，即k＝1.14.已知数列为等差数列，且，，则______；【答案】2【解析】【分析】由为等差数列，且，利用等差数列的性质得到的值，然后求定积分即可．【详解】因为为等差数列，由等差数列的性质，得，即. 所以，所以，所以.故答案为：2．【点睛】本题考查了等差数列的性质、定积分等知识，属于基础题．15.若实数，满足且的最小值为4，则实数的值为______；【答案】【解析】试题分析：画出可行域（如图阴影部分所示）和直线：，观察图形，知直线过直线和的交点时，取得最小值，即，解得，所以实数的值为.考点：线性规划问题.【易错点晴】线性规划问题是数学考试中常见题。

2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第1题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第1题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第1题5分已知平面向量a→=(1,−2)，b→=(2,m)，且a→//b→，则m=（）．A. 4B. 1C. −1D. −42、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第2题5分已知集合A={x|−1<x<3}，B={x∈Z|x2−4x<0}，则A∩B=（）．A. {x|0<x<3}B. {1,2,3}C. {1,2}D. {2,3,4}3、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第3题5分2019~2020学年2月广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期月考理科第2题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第3题5分，f(x)=x2−x+1，则f(z)=（）．设z=3−4i4+3iA. iB. −iC. −1+iD. 1+i4、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第4题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第4题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第4题5分下列四个命题中，正确命题的个数是（）个．①若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则α//β；②若平面α//平面β，直线m//平面α，则m//β；③平面α⊥平面β，且α∩β=l ，点A ∈α，若直线AB ⊥l ，则AB ⊥β；④直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m ⊥n ，则α⊥β．A. 1B. 2C. 3D. 45、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第5题5分 求值：1−√3tan⁡10°=（ ）． A. 14B. 12C. 1D. −√336、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第6题5分2019~2020学年5月重庆沙坪坝区重庆市南开中学高二下学期周测C 卷第5题5分有5个同学从左到右排成一排照相，其中最左边只能排成甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（ ）．A. 36种B. 42种C. 48种D. 60种7、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第7题5分二项式(mx −1)3(m >0)展开式的第二项的系数为−3，则∫x 2dx m −2的值为（ ）． A. 3 B. 73 C. 83 D. 28、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第8题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第9题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第9题5分若f(x)是R上的偶函数，若将f(x)的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若f(2)=−1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2019)=（）．A. 2019B. 1C. −1D. −20199、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第9题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第11题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第11题5分已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n=1，则S1a1+S2a2+S3a3+⋯+S9a9=（）．A. 1013B. 1035C. 2037D. 205910、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第10题5分已知点N在圆x2+y2=4上，A(−2,0)，B(2,0)，M为NB中点，则sin⁡∠BAM的最大值为（）．A. 12B. 13C. √1010D. √5511、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第11题5分抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，O为坐标原点，设A为抛物线上的动点，则|AO||AF|的最大值为（）．A. √3B. √2C. 4√25D. 2√3312、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第12题5分2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第7题已知△ABC中，A=60°，AB=6，AC=4，O为△ABC所在平面上一点，且满足OA=OB= OC．设AO→=λAB→+μAC→，则λ+μ的值为（）．A. 2B. 1C. 1118D. 711二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第13题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第13题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第13题5分抛物线x=−2y2的准线方程是．14、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第14题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第14题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第14题5分若x，y，z∈R，且2x+y+2z=6，则x2+y2+z2的最小值为．15、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第15题5分在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)(a>0)，P是函数y=1x(x>0)图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为√7，则满足条件的正实数a的值为．16、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第16题5分函数f(x)=2ax3+(3a−32)x2，a∈R，当x∈[0,1]时，函数f(x)仅在x=1处取得最大值，则a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第17题12分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第17题12分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第17题12分设函数f(x)=cos⁡(x+23π)+2cos2⁡x2−1，x∈R．(1) 求f(x)的值域．(2) 记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c(a>b)，若f(B)=0，b=1，c=√3，求a的值．18、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第18题12分2015年高考真题安徽卷理科第17题2019~2020学年天津和平区天津市第一中学高二下学期期末第17题11分2019~2020学年4月山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高二下学期月考第20题12分2019~2020学年3月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二下学期月考理科第18题10分已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2) 已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）．19、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第19题12分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第19题12分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第19题12分已知抛物线:y2=4x的焦点为F，直线l:y=k(x−2)(k>0)与抛物线交于A，B两点，AF，BF 的延长线与抛物线交于C，D两点．(1) 若△AFB的面积等于3，求k的值．(2) 记直线CD的斜率为k CD，证明：k CD为定值，并求出该定值．k20、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第20题12分如图所示，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．(1) 求证：平面PDE⊥平面PAC．(2) 求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．21、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第21题12分2018~2019学年12月山东枣庄薛城区枣庄市第八中学高三上学期月考理科第22题12分2018~2019学年12月湖南长沙天心区长郡中学高三上学期月考理科第21题12分已知函数f(x)=ln⁡x−ax2在x=1处的切线与直线x−y+1=0垂直．(1) 求函数y=f(x)+xf′(x)（f′(x)为f(x)的导函数）的单调递增区间 .x2−(1+b)x，设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点，若b⩾(2) 记函数g(x)=f(x)+32e2+1−1，且g(x1)−g(x2)⩾k恒成立，求实数k的最大值．e22、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第22题10分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第22题10分2016~2017学年12月湖南长沙天心区长郡中学高三上学期月考文科第23题10分2019~2020学年四川泸州泸县泸县第一中学高三上学期开学考试理科第23题10分2020年广东广州天河区高三三模文科第23题10分已知函数f(x)=|x−a|+|2x−1|(a∈R)．(1) 当a=1时，求f(x)⩽2的解集．,1]，求实数a的取值范围．(2) 若f(x)⩽|2x+1|的解集包含集合[121 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 A;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 C;;13 、【答案】x=1814 、【答案】4;15 、【答案】3;,+∞);16 、【答案】(31017 、【答案】 (1) [−1,1]．;(2) 2．;18 、【答案】 (1) 310;(2) X的分布列为：均值为350．;19 、【答案】 (1) k=2．;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √53．;21 、【答案】 (1) (0,√66) .;(2) k max=e22−12e2−2．;22 、【答案】 (1) {x|0⩽x⩽43}．;(2) [−1,52]．;。

2020年陕西高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．A. B. C. D.2.已知集合 ,，则 （ ）．A. B. C. D.3.若变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）．A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则在上的投影为（ ）．A. B. C. D.5.已知函数，若，则满足条件的实数的个数是（ ）．A.B.C.D.6.设，其正态分布密度曲线如图所示，点，点，点，点，向正方形内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（ ）．（注：，则，，）A.B.C.D.7.在公差不为的等差数列中，，，则（ ）．A.B.C.D.8.已知，且，，则（ ）．A.B.C.D.9.若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.10.在直三棱柱中，，，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且，则该球的表面积的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.已知抛物线，点，直线过焦点且与抛物线交于，两点，若，则的面积为（ ）．A.B.C.D.12.已知函数，，若存在，对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图是样本容量为的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是 ．频率组距14.在的展开式中，的系数为，则．15.在，为的中点，且，若，则的周长为 ．16.已知双曲线，过双曲线的左焦点作一斜率为的直线交双曲线的左支于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，正四棱锥的底边长为，侧棱长为，为上一点，且，点，分别为，上的点，且．证明：平面平面．求锐二面角的余弦值．（1）（2）18.已知正项数列的前项和为， ，．求数列的通项公式．若数列满足，令，求证：．19.某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取份，统计得出如下列联表：优秀一般总计男女总计（1）（2）（3）根据上述列联表，是否有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中随机抽取人，求这三位市民中男女都有的概率．以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取人，用表示这人中优秀的人数，求随机变量的期望和方差．附：（其中）．（1）（2）20.已知函数．求函数的极值．当时，若函数有两个极值点，，且，求证：．（1）（2）21.已知椭圆：的离心率为，点的坐标为，且椭圆上任意一点到点的最大距离为．求椭圆的标准方程．若过点的直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆长轴上的一点，求面积的最大值．四、选择题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．若射线与直线和曲线分别交于，两点，求的值．23.设函数的最小值为．【答案】解析:方法一：本题考查复数的运算．由题意得，∴的虚部为，故选．方法二：∵，∴的虚部为，故选．解析:本题考查集合并集的运算．由题意可知集合，∴．故选．解析:本题考查简单的线性规划．如图所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），（1）（2）求的值．若，求证：．C1.B2.A3.其中，， ．先作出的图象，然后通过平移，发现当目标函数的图象经过点时，取到最小值，故选．解析:本题考查平面向量的数量积及向量的投影．由题可得，，∴，∴在上的投影为，故选．解析:本题考查分段函数及分段函数的图象．作函数的图象如图所示，x123y12O由题意可得当时，；当时，．若，则或，解得或，则或，结合函数图象可知的取值有个．故选．解析:B 4.D 5.A 6.本题考查几何概型与正态分布的相关概率的运算．由题意可得正态分布密度曲线的对称轴是，则，标准差是，而，∴，∴图中阴影部分的面积为．记“黄豆落入阴影部分”为事件，则， 故正确，错误．故选．解析:本题考查等差数列的通项公式，由题意可设数列的公差为（），则通项公式，∴，，，，∴，解得（舍去），∴．故选．解析:本题考查三角恒等变换，由题意可得，∵，∴，∴．故选：．解析:本题考查三角函数图象的平移变换与性质．由题意可得平移后的函数解析式为，若该函数图象关于坐标原点对称，则，阴影部分的面积正方形面积A 7.D 8.C 9.解得．∵，∴，∴∴的最大值为，∴．故选．解析:由题意可知外接圆的半径．设该三棱柱外接球的半径为，则．由可得，∴，∴，当且仅当，时取得最小值，∴该三棱柱外接球的表面积的最小值为．故选．解析:方法一：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，D 10.B 11.，∴，，∴，∴，∴直线的方程为，则点到直线的距离为，∴的面积为．故选．方法二：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，，∴，∴，即，∵，∴．故选．解析:本题考查函数的图象与性质、导函数及利用导函数解不等式．由题意可得，C 12.令，得，而，，，∴，，∴，∵，令，得，而，，，∴，，∴．由题意可知存在，对任意，都有等价于，即，∴，故选．解析:由样本容量为的频率分布直方图，知：的频率为，的频率为，∴该样本数据的中位数为：，该样本数据的平均数为：，∴该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值为：，故答案为：．解析:本题考查二项式定理．∵展开式的通项为，13.或14.则由可知，展开式中的系数为，∴，即，解得或．15.解析:本题考查余弦定理．令，则，，则 ．∵，∴．又点为的中点，∴，在中，由余弦定理得，∴，∴， ，故的周长为 ．16.解析:本题考查双曲线的离心率、直线与双曲线的位置关系．设直线的方程为，与双曲线的方程联立可得，化简得，令，，则，，，∵以为直径的圆过坐标原点，∴，∴，∴，∴，即，又∵，，代入化简可得，即，（1）（2）又∵双曲线的离心率，∴．解析:∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．∵，，，∴，∴．∵，平面，，，平面，，∴平面平面．如图：如图，连接，相交于点，连接．∵四棱锥为正四棱锥，∴，，又，∴，且，同理可得，∴，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．，，，（1）证明见解析．（2）．17.，，，，（1）（2）∴，，，令平面的法向量为，则，即，解得，∴取，则，，故，同理可得平面的一个法向量，∴，∴锐二面角的余弦值为．解析:由题意可得当时，，∴；当时，， ，∴，∵，∴，∴数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项也是公差为的等差数列，又∵ ，∴数列是公差为的等差数列，∴．由（）知，，，∴，，两式相减得，，（1）．（2）证明见解析．18.（1）（2）（3）（1）∴，∵当时，，∴．解析:由列联表可得，∴没有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”．调查结果为一般的市民中有男人，女人，人数之比为，所以按分层抽样抽取的人中，男人，女人．设“这三位市民中男女都有”为事件，则（或）．由列联表可得在样本中任选一人，其优秀的概率为，∴，，，，，，，∴~，∴，，∴随机变量的期望为，方差为．解析:由题意可得（1）没有．（2）．（3）期望，方差．19.（1）当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．（2）证明见解析．20.（2）（1），当时，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，；当时，，，，函数在上单调递增，∴无极值；当，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，，综上所述，当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．由题意得，即，，由（）可知，，∴， ，∴，令，则，∴在上单调递减，∴，即，∵，∴．解析:方法一：极大值极小值极大值极小值（1）．（2）．21.（2）由题意可得离心率，又，∴，，令点为椭圆上任意一点，则，∴，∴，，∴椭圆的标准方程为．方法二：由题意可得离心率，又，∴，，令椭圆上任意一点，∴，当时，，∴，满足；当时，，解得（负值舍去），，则，不满足条件，舍去．综上，，，椭圆的标准方程为．设点坐标为，直线的方程为 ，联立直线方程与椭圆方程化简得，令，两点的坐标分别为，，（1）由韦达定理可得，，则，化简得，点到直线的距离，∴的面积，令，则，,当时，，当且仅当，时等号成立，此时，∴，∵，∴当且仅当时，取到最大值为，此时面积取到最大值，即，此时直线的方程为，点的坐标为，综上，面积的最大值为．解析:由得，将（为参数）消去参数，得直线的普通方程为，由得，将，代入上式，得，（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）．22.（2）（1）（2）所以曲线的直角坐标方程为．由（）可知直线的普通方程为，化为极坐标方程得，当时，设，两点的极坐标分别为，，则，，所以．解析:由可得，则．∵，∴．由（）可知，∴，（当且仅当时等号成立），∴，故．（1）．（2）证明见解析．23.。

2020年陕西省高三教学质量检测卷（二）理科数学试题答案1.【答案】C【解析】本题考查复数的运算。

由题意得i i i i i i z 222)1(4)1)(1()1(414-=-=-+-=+=，z ∴的虚部为-2，故选C 。

2.【答案】B【解析】 本题考查 集合并集的运算。

由题意可知集合{}{}102≤≤=∈==y y A x x y y B ，，∴A ∪B ={x |-1≤x ≤1}，故选Ｂ。

3.【答案】A【解析】本题考查简单的线性规划。

如图所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），其中A (0,3)，B (1,2)，C (34,37).先作出02=-y x 的图像，然后通过平移，发现目标函数的图像经过点A (0,3)时，z 取到最小值3min -=z ，故选A 。

4.【答案】B【解析】本题考查平面向量的数量积及向量的投影。

由题意可得2=a ，2220202cos •=⇒•=⇒=(-)-a b a a a b a b a,b a ， ∴cos 1=b a,b ，∴b 在a 上的投影为1，故选B 。

5.【答案】D【解析】本题考查分段函数及分段函数的图象。

作函数)(x f 的图象如图所示，由题意可得当时10≤<x ，0)(≥x f ；当1>x 时，1)(≤x f .若1)(=x f ，则1ln =-x 或1342=-+-x x ，解得e x 1=或2=x ，则e a f 1)(=或2)(=a f ，结合函数图象可知a 的取值有4个，故选D 。

6.【答案】A【解析】本题考查几何概型与正态分布的相关概率的运算。

由题意可得正态分布密度曲线的对称轴是0=x ，则0=μ，标准差是1=σ， 而（1,2]=（μ+σ,μ+2σ]，∴1359.026827.09545.0)21(=-=≤<X P ，∴图中阴影部分的面积为1-0.1359=0.8641.记“黄豆落入阴影部分”为事件A ，则8641.0)(==正方形面积阴影部分的面积A P ，故选A 。

陕西西安西北工业大学附中2020届高三4月适应性测试全国2卷理科数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合(){}2|lg 34A x Z y x x =∈=-++，{}|24xB x =≥，则A B =I （ ）A. [)2,4B. {}2,4C. {}3D. {}2,32.已知()5tan 12απ-=，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.513 B. 513-C.1213D. 1213-3.下列四个命题中，正确的有（ ）①随机变量ξ服从正态分布()1,9N ，则()()1023P P ξξ-<<=<< ②0x R ∃∈，003sin cos 2x x +=③命题“x R ∀∈，220x x --<”的否定是“x R ∃∈，220x x --≥” ④复数123,,z z z C ∈，若()()2212230z z z z -+-=，则13z z = A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.已知在等比数列{}n a 中，0n a >，2224159002a a a a +=-，539a a =，则2020a =（ ）A. 10103B. 10093C. 20193D. 202035.如图所示，是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（ ）A. (1243π+B. 20πC. (2043π+D. 28π6.2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到9,11的学生人数为25，则n的值学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[)为（）A. 40B. 50C. 60D. 707.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n= ( )A. 25B. 45C. 60D. 75 8.已知实数x，y满足205y x x y x y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则22z x y=+的最大值为（）A. 252 B. 254 C. 258 D. 12599.已知两个夹角为3π的单位向量a r ，b r ，若向量m u r 满足1m a b --=u r r r ，则m u r 的最大值是（ ）11C. 2110.已知抛物线22y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过点F 作直线与此抛物线交于A ，B 两点，若0FA QB ⋅=u u u r u u u r，则AF BF-=（ ）A. 3B. 2C. 4D. 611.将函数sin 2y x =的图像向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到()f x 的图像，若函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A .,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦B. ,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. ,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦D. ,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A. (,)e +∞B. 2(,2)e eC. 2(2,)e +∞D. 22(,2)(2,)e e e +∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分（共90分）.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23为选考题，考生根据要求作答.二､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13.二项式83x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为______. 14.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，双曲线的渐近线上存在一点P ，使得A ，B ，F ，P 顺次连接构成平行四边形，则双曲线C 的离心率e =______. 15.定义在R 上的函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()()121f x f x f x -+=+，()124f =，则()2020f =______.16.如图，矩形ABCD 中，AB =2AD =，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且//MN AD ，沿MN 将DMN V 折起，得到三棱锥D MNQ -，则三棱锥D MNQ -体积的最大值为______；当三棱锥D MNQ -体积最大时，其外接球的半径R =______.三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.如图，CM ，CN 为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN =120°，现拟在两条木栈道的A ，B 处设置观景台，记BC =a ，AC =b ，AB =c （单位：百米）（1）若a ，b ，c 成等差数列，且公差为4，求b 的值；（2）已知AB =12，记∠ABC =θ，试用θ表示观景路线A -C -B 的长，并求观景路线A -C -B 长的最大值． 18.为迎接“五一国际劳动节”，某商场规定购买超过6000元商品的顾客可以参与抽奖活动现有甲品牌和乙品牌的扫地机器人作为奖品，从这两种品牌的扫地机器人中各随机抽取6台检测它们充满电后的工作时长相关数据见下表（工作时长单位：分） 机器序号123456 甲品牌工作时长/分 220 180 210 220 200 230 乙品牌工作时长/分 200190240230220210（1）根据所提供的数据，计算抽取的甲品牌的扫地机器人充满电后工作时长的平均数与方差；（2）从乙品牌被抽取的6台扫地机器人中随机抽出3台扫地机器人，记抽出的扫地机器人充满电后工作时长不低于220分钟的台数为X ，求X 的分布列与数学期望.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为1111，若存在，求出CM CA 的值；若不存在，请说明理由．20.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为e .点()1,e 在椭圆E 上，点(),0A a ，()0,B b ，AOBV 的面积为32，O 为坐标原点. （1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，且1219k k ⋅=-，证明：OMN V 的面积是定值，并求此定值. 21.设函数()2ln f x x ax x =-+.(1)若当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值，并求()f x 的单调区间. (2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：()()212142f x f x ax x a >---.请考生在22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是cos 2x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 为曲线C 上两点，且OA OB ⊥，设射线OA ：02πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()121f x x x =--+，若()f x 的最大值为k . （1）求k 的值；（2）设函数()g x x k =-，若2b <，且()b g ab a g a ⎛⎫<⋅⎪⎝⎭，求证：1a >.。

数学（理） 共6页 第2页 2020届高三（四月）模拟考试数学（理）试题本试卷满分150分，考试时间120分钟。

选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}31,062≤≤=≤--∈=x xN x x Z x M ，则=⋂N M （ ）A. [1，3）B. [1，3]C. {1，2}D. {1，2，3}2.若复数)3(2i i z +=，则的共轭复数z =（ ） A.i 26-B.i 62--C. i 62+-D. i 26+-3.若向量()3,2=a ，()3,x b =，且)2(b a a -⋅=3，则实数的值为（ ）A.21-B.21C. -2D. 24.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系bkx e y += （ 2.718e =L 为自然对数的底数，b k ,为常数），若该食品在 0℃的保鲜时间是192小时，在 22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时. A. 22B. 23C. 33D. 245.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ） A. 32B. 33C. 34D. 356.设R b a ∈,，若b a >，则A.ba >B.b a 11<C. 22b a >D.b a 33>7.平面∥平面β，点∈C A ,βα∈D B ,,，则直线AC ∥直线BD 的充要条件是（ ） A.AB ∥CD B.AD ∥CB C.AB 与CD 相交 D.D C B A ,,,四点共面8.抛物线x y 42=的焦点是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的一个焦点，且它们的交点M 到的距离为35，则的数学（理） 共6页 第1页值为（ )A. 4B. 2C.31D.919.设函数)22sin(32cos )(x x x f ++=π，则下列结论错误的是（ ）A.π2-为)(x f 的一个周期B.)(x f y = 的图像关于直线2π=x 对称C.)(x f 的一个零点为4π=x D.)(x f 的最大值为210.已知542cos ),4,0(=∈a a π，则)4(sin 2π+a （ ） A.51B.52C.53D.5411.已知以双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的右焦点为圆心，以为半径的圆与直线x a b y = 交于B A ,两点，若aAB 2=，求双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B.3C.2D.2612.定义域为的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，且当(]1,0∈x 时，x x x f -=2)(，则当[]1,2--∈x 时，)(x f 的最小值为（ ）A.161-B.81-C.41D. 0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

陕西省西安市西北工业大学附属中学2024-2025学年高三上学期二模数学试卷一、单选题1．232i i ++=（）A ．2B ．2C ．3D ．42．已知集合{}21A yy x ==+∣，{}1B y y x ==+∣，则A B = （）A ．{}1yy ≥∣B ．{}0,1C ．{}1,2D ．()(){}0,1,1,23．22π5πcoscos 1212-=（）A ．12B C ．2D 4．若向量,,a b c 都是单位向量，且a b c += ，则a 与a b -的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．已知椭圆22:1x C y m+=，则“2m =”是“椭圆C ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（）A ．32个B ．28个C ．27个D ．24个7．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足422n n n n a S -=，设n b =将数列{}n b 中的整数项组成新的数列{}n c ，则2024c =（）A ．2022B ．2023C ．4048D ．40468．已知可导函数()f x 的定义域为R ，12x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，设()g x 是()f x 的导函数，若()21g x +为奇函数，且()102g =，则()1012k kg k ==∑（）A ．132B ．132-C ．112D ．112-二、多选题9．下列命题中正确的是（）A ．若样本数据1x ，2x ，L ，20x 的样本方差为3，则数据121x +，221x +，L ，2021x +的方差为7B ．经验回归方程为ˆ0.30.7yx =-时，变量x 和y 负相关C ．对于随机事件A 与B ，()0P A >，()0P B >，若()()P A B P A =，则事件A 与B 相互独立D ．若17,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()P X k =取最大值时4k =10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（）A ．当AM AF =时，AM l⊥B ．当AM AF MF ==时，2AF BF=C ．当MA MB ⊥时，,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D ．当MA MB ⊥时，2AM BM AF BF⋅⋅≥11．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥,1BC AB AD CD ===，2BC PA ==，记四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为,l BC 的中点为E ，则（）A ．l ∥BCB ．AB PC⊥C ．平面PDE ⊥平面PADD ．l 被球O 截得的弦长为1三、填空题12．6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为．13．已知函数()()πsin (0,(0,2f x A x ωϕωϕ=+>∈的部分图象如图所示，,,,A B C D 为图象上的点且满足四边形ABCD 为平行四边形，若ππ5π(0,),(,0),||466A B AC -=，则π()2=f ．14．已知函数()2e (0)xf x ax a =->的极小值点为0x x =，若点()()00,x f x 在直线2y x =-的上方，则实数m 的取值范围是．四、解答题15．已知函数3()f x x x =-．(1)求曲线()y f x =在点()1,0M 处的切线方程；(2)如果过点()1,b 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数b 的取值范围．16．已知边长为4的菱形ABCD （如图1），π,3BAD AC ∠=与BD 相交于点,O E 为线段AO 上一点，将三角形ABD 沿BD 折叠成三棱锥A BCD -（如图2）．(1)证明：BD CE ⊥；(2)若三棱锥A BCD -的体积为8，二面角B CE O --OE 的长．17．已知()sin (0)f x x ωω=>，其图象相邻对称轴间的距离为π2，若将其图象向左平移5π12个单位得到函数()y g x =的图象.(1)求函数()y g x =的解析式及图象的对称中心；(2)在钝角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若π226⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B A f g ，求25cos c b A +的取值范围.18．如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有,,A B C 三个腔室，粒子只能从A 室出发经B 室到达C 室.粒子在A 室不旋转，在B 室､C 室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从A 室经过1号门进入B 室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从B 室经过2号门进入C 室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为(01)p p <<.现有两个粒子从A 室出发，先后经过1号门，2号门进入C 室，记C 室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为X .(1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为58，求p ；(2)求X 的分布列和数学期望；(3)设13p =，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率.19．已知双曲线22:4C x y m -=，点()11,1P 在C 上．按如下方式构造点n P （2n ≥）；过点1-n P 作斜率为1的直线与C 的左支交于点1n Q -，点1n Q -关于y 轴的对称点为n P ，记点n P 的坐标为(),n n x y ．(1)求点23,P P 的坐标；(2)记2n n n a x y =-，证明：数列{}n a 为等比数列；(3)O 为坐标原点，,G H 分别为线段2n n P P +，13n n P P ++的中点，记12n n OP P ++△，OGH 的面积分别为12,S S ，求12S S 的值．。