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数学·人教版·八年级上册第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段课时1 三角形的边1.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形,其中是三角形的是 ( )答案1.D 【解析】 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形,由此可知A,B,C不是三角形,D是三角形.故选D.2.[2021河北衡水月考]如图,图中三角形的个数是 ( )A.3B.4C.5D.6答案2.C 【解析】 题图中的三角形有△BED, △AED, △ADC, △ABD, △ABC,共5个.故选C.3.如图,(1)以AC为边的三角形有 个,分别是 ;(2)∠B是△ 、△ 和△ 的内角;(3)在△AEF中,∠AEF的对边是 .答案3.(1)4 △ACF, △ADC,△ACB,△ACE;(2)ACB ADB BEC;(3)AF4.[2021河北张家口期中]如图,三角形按边分类可以用集合来表示,则图中小椭圆圈里的A表示 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形答案4.D5.[2020河北保定模拟]如图,一个三角形只剩下一个角,这个三角形为 ( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可能答案5.B 【解析】 从题图中看到这个角是钝角,所以这个三角形为钝角三角形.故选B.6.下列说法正确的是 ( )A.一个直角三角形一定不是等腰三角形B.一个等腰三角形一定不是锐角三角形C.一个钝角三角形一定不是等腰三角形D.一个等边三角形一定不是钝角三角形答案6.D 【解析】 等腰直角三角形既是直角三角形,也是等腰三角形,故A错误;等边三角形既是等腰三角形,也是锐角三角形,故B错误,D正确;钝角三角形可能是等腰三角形,故C错误.故选D.7.[2021广西河池期中]若△ABC的三边长分别是a,b,c,且(a-b)2+|b-c|=0,则△ABC的形状是 .答案7.等边三角形 【解析】 因为(a-b)2+|b-c|=0,所以a-b=0且b-c=0,所以a=b且b=c,所以a=b=c,所以△ABC是等边三角形.8.[2021河北唐山路北区期末]下列长度的三条线段,能组成三角形的是 ( )A.1,2,3B.3,4,5C.4,4,8D.4,5,10答案8.B 【解析】 A项,1+2=3,不能组成三角形;B项,4+3=7>5,能组成三角形;C项,4+4=8,不能组成三角形; D项,4+5=9<10,不能组成三角形.故选B.9.[2021河北廊坊期末]若一个三角形的两边长分别为3 cm,6 cm,则它的第三边的长可能是 ( )A.2 cmB.3 cmC.6 cmD.9 cm答案9.C 【解析】 设第三边的长为x cm,则6-3<x<6+3,即3<x<9,结合选项,知第三边的长可能是6 cm.故选C.10.[2021河北石家庄四十一中期末]若三角形的两边长是2 cm和5 cm,第三边的长是奇数,则这个三角形的周长是 ( )A.9 cmB.12 cmC.10 cmD.14 cm答案10.B 【解析】 设第三边的长为x cm,则5-2<x<5+2,即3<x<7.因为第三边的长为奇数,所以x=5,所以这个三角形的周长为2+5+5=12(cm).故选B.11.七年级(1)班的周祥说大话,被同学们开玩笑地称为“吹牛大王”.一天,他说:“我走起路来步子大,一步能走3米多.”你认为他说的对吗?请你用刚学过的数学知识分析.答案11.【解析】 他说的不对.人在迈步时,两腿及两脚间的线段所组成的图形可看作三角形,若一步迈3米,由三角形的三边关系,可知腿长应在1.5米以上,则身高大约3米,显然不成立,所以他说的不对.12.一个三角形的三边长分别为a,b,c,且b=4,c=7,试确定a的取值范围.当各边长均为整数时,有几个三角形?有等腰三角形吗?若有,等腰三角形的边长各是多少?答案12.【解析】 根据题意,得7-4<a<7+4,即3<a<11.当各边长均为整数时,a=4,5,6,7,8,9,10,因此共有7个三角形.当a=4或a=7时,这个三角形为等腰三角形,其边长分别为4,7,4;4,7,7.1.[2020吉林长春期末]将一个三角形纸片剪成两个三角形,这两个三角形不可能 ( )A.都是直角三角形B.都是钝角三角形C.都是锐角三角形D.是一个直角三角形和一个钝角三角形答案1.C 【解析】 如图1,得到的两个三角形都是直角三角形;如图2,得到的两个三角形都是钝角三角形;如图3,得到的两个三角形是一个直角三角形和一个钝角三角形.故选C.2.[2021河北石家庄期中]已知三角形的三边长分别为a,b,c,化简|a-b+c|-|a-b-c|的结果为 ( )A.2a-2bB.2a-2cC.a-2bD.0答案2.A 【解析】 ∵三角形的三边长分别是a,b,c,∴a-b+c>0,a-b-c<0,∴|a-b+c|-|a-b-c|=a-b+c+a-b-c=2a-2b.故选A.3.[2020浙江绍兴中考]长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为 ( )A.4B.5C.6D.7答案3.B 【解析】 三角形有三条边,故有两根细木棒连接成一根新的细木棒.①若长度为2,3的两根细木棒连接,3+4>5,符合三角形的三边关系,围成的三角形的最长边长为5;②若长度为2,4的两根细木棒连接,3+3=6,不符合三角形的三边关系,不能围成三角形;③若长度为3,3的两根细木棒连接,2+4=6,不符合三角形的三边关系,不能围成三角形;④若长度为3,4的两根细木棒连接,2+3<7,不符合三角形的三边关系,不能围成三角形.综上所述,得到的三角形的最长边长为5.故选B.4.[2021河北唐山期末]若实数m,n满足等式|m-2|+ −4=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC两条边的长,则△ABC的周长为 . 答案4.10 【解析】 ∵|m-2|+ −4=0,∴m-2=0,n-4=0,∴m=2,n=4.分情况讨论:①若腰长为2,底边长为4,因为2+2=4,不符合三角形的三边关系,所以此种情况不成立;②若腰长为4,底边长为2,因为2+4>4,符合三角形的三边关系,所以能组成三角形,此时△ABC的周长为4+4+2=10.综上,△ABC的周长为10.5.若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”,则图中以∠B为公共角的“共角三角形”共有 对.答案5.6 【解析】 解法一 由题图,可知以∠B为公共角的“共角三角形”有△BDE与△BDA,△BDE与△BCE,△BDE 与△BCA,△BDA与△BCE,△BDA与△BCA,△BCE与△BCA,共6对.解法二 以∠B为内角的三角形有△BDE,△BCE,△BDA,△BAC,这4个三角形中每2个都是以∠B为公共角的“共角三角形”,所以以∠B为公共角的“共角三角形”共有6对.6.易错题佳园工艺店打算制作一批两边长分别是7分米,3分米,第三边的长为奇数(单位:分米)的不同规格的三角形木框.(1)满足上述条件的三角形木框共有 种;(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作木框的木条的售价为8元/分米,问:需要购买多少钱的木条?(忽略接头)答案6.【解析】 (1)3设第三边的长为x分米,则7-3<x<7+3,即4<x<10.因为第三边的长为奇数,所以第三边的长可以为5分米,7分米或9分米.故满足上述条件的三角形木框共有3种.(2)由题意得,制作三角形木框所需木条的长为3+5+7+3+7+7+3+7+9=51(分米),51×8=408(元).答:需要购买408元的木条.7.如图,点P是△ABC内部的一点.(1)通过度量线段AB,AC,PB,PC的长度比较AB+AC与PB+PC的大小.(2)改变点P的位置,上述结论还成立吗?(3)你能说明上述结论为什么正确吗?答案7.【解析】 (1)AB+AC>PB+PC.(2)成立.(3)延长BP交AC于点D.在△ABD中,AB+AD>PB+PD,①在△PDC中,PD+DC>PC,②①+②得AB+AD+PD+DC>PB+PD+PC,所以AB+AC>PB+PC.策略点拨 证明线段间的不等关系的方法 从结论出发,构造三角形,运用“三角形任意两边之和大于第三边”,得出几个同向不等式,然后通过变形得出结论.8.小明和小红在一本数学资料书上看到这样一道题目:已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且|b+c-2a|+(b+c-5)2=0,求b 的取值范围.(1)小明说:“我看不出如何求b的取值范围,但我能求出a的长度.”你知道小明是如何计算的吗?请你帮他写出解答过程.(2)小红说:“我也看不出如何求b的取值范围,但我能用含b的式子表示c.”你能吗?若能,帮小红写出解答过程.(3)小明和小红一起去问数学老师,老师说:“根据你们二人的求解,利用书上三角形的三边关系,即可求出答案.”你知道答案吗?请你写出解答过程.答案8.【解析】 (1)∵|b +c -2a |+(b +c -5)2=0,∴b +c -2a =0且b +c -5=0,∴2a =5,∴a =52.(2)能.由b +c -5=0,得c =5-b .(3)根据三角形两边的和大于第三边,得 52+>5−s 52+5−>s +5−>52,解得54<b <154.故b 的取值范围为54<b <154.11.1 与三角形有关的线段课时2 三角形的高、中线与角平分线1.[2021河北唐山丰润区期中]在下列各图中,正确画出AC边上的高的图形是 ( )答案1.C2.[2021河北邯郸十一中期末]如图, △ABC的边BC上的高是 ( )A.BEB.AFC.CDD.CF答案2.B3.[2021河北唐山路南区期中]如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 ( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形答案3.C策略点拨 锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与两直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在的直线相交于三角形外一点.4.易错题如图,AD⊥BC于点D,则图中以AD为高的三角形有 ( )A.3个B.4个C.5个D.6个答案4.D 【解析】 以AD为高的三角形有△ABC,△ABE,△ACD,△ABD,△AED,△ACE,共6个.故选D.5.[2021河北张家口期中]三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个 ( )A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形C.直角三角形D.周长相等的三角形答案5.B 【解析】 因为三角形一边上的中线把原三角形分成了两个等底同高的三角形,所以这两个三角形的面积相等.故选B.6.如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是 ( )A.DE是△ABC的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC,BE=ECD.DE是△BCD的中线答案6.A 【解析】 ∵D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,∴AD=DC,BE=EC,BD是△ABC的中线,DE是△BCD的中线.故选A.7.[2021河北保定期末]如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的顶点上,则△ABC的重心是 ( )A.点DB.点EC.点FD.点G答案7.A 【解析】 由题图,可知直线CD经过AB边的中点,直线AD经过BC边的中点,所以点D是△ABC的重心.故选A.8.[2021河北承德月考]如图,AE是△ABC的中线,D是BE上一点.若EC=6,DE=2,则BD的长为 .答案8.4 【解析】 ∵AE是△ABC的中线,∴BE=EC=6.∵DE=2,∴BD=BE-DE=6-2=4.9.[2020河北保定期末]如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AB=13 cm,BC=12 cm,AC=5 cm.(1)求△ABC的面积;(2)求CD的长;(3)作△ABC的边AC上的中线BE,并求出△ABE的面积.答案9.【解析】 (1)∵∠ACB=90°,BC=12 cm,AC=5 cm,∴S△ABC=12AC×BC=12×5×12=30(cm2).(2)∵S△ABC=12AC×BC=12AB×CD,∴12×13×CD=30,∴CD=6013 cm.(3)中线BE如图所示.S△ABE=12S△ABC=12×30=15(cm2).10.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论错误的是 ( )A.BD是△ABC的角平分线B.CE是△BCD的角平分线C.∠3=12∠ACBD.CE是△ABC的角平分线答案10.D归纳总结 三角形中三条重要线段的区别三角形的高三角形的中线三角形的角平分线在图中的位置锐角三角形三条高全在三角形内三条中线全在三角形内三条角平分线全在三角形内直角三角形一条位于三角形内,另两条与两直角边重合钝角三角形一条位于三角形内,另两条位于三角形外交点位置锐角三角形三条高的交点在三角形内在三角形内在三角形内直角三角形三条高的交点在直角顶点处钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外11.如图,已知AE平分∠BAC,且∠1=∠2=∠4=15°,计算∠3的度数,并说明AE是△DAF的角平分线.答案11.【解析】 因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠CAE.因为∠1=∠2=15°,所以∠BAE=∠1+∠2=15°+15°=30°,所以∠CAE=∠BAE=30°,即∠4+∠3=30°,又∠4=15°,所以∠3=15°,所以∠2=∠3=15°,所以AE是△DAF的角平分线.1.[2021广东云浮月考]如图,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式错误的是 ( )A.AB=2BFB.∠ACE=12∠ACBC.AE=BED.CD⊥BE答案1.C 【解析】 ∵CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,∴CD⊥BE,∠ACE=12∠ACB,AB=2BF,∴A,B,D正确.故选C.2.易错题[2021河北邯郸锦玉中学月考]如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,BG的延长线交AC于点E,F为AB上的一点,CF⊥AD于点H,则下列说法正确的有 ( )①AD是△ABE的角平分线;②BE是△ABD的边AD上的中线;③CH是△ACD的边AD上的高;④AH是△ACF的角平分线和高.A.1个B.2个C.3个D.4个答案2.B 【解析】 由∠1=∠2,知AG是△ABE的角平分线,故①错误;由G为AD的中点,知BG是△ABD的边AD上的中线,故②错误;由CH⊥AD于点H,知CH是△ACD的边AD上的高,故③正确;由∠1=∠2,AH⊥CF于点H,知AH是△ACF 的角平分线和高,故④正确.故选B.3.[2021河北张家口期中]如图,在△ABC中,已知D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=8 cm2,则图中阴影部分的面积等于 ( )A.1 cm2B.2 cm2C.4 cm2D.6 cm2答案3.B 【解析】 ∵E是AD的中点,∴S△ABE=12S△ABD,S△ACE=12S△ADC,∴S△ABE+S△ACE=12S△ABC=12×8=4(cm2),∴S△BCE=8-4= 4(cm2).∵F是CE的中点,∴S△BEF=12S△BCE=12×4=2(cm2),故题图中阴影部分的面积为2 cm2.故选B.4.[2021河北沧州十三中月考]在△ABC中,AC=5 cm, △ABC的中线AD把△ABC分成周长之差为3 cm的两部分,则AB= cm.答案4.8或2 【解析】 ∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.∵AD把△ABC分成周长之差为3 cm的两部分,∴|(AB+BD)-(AC+CD)|=|AB-AC|=3 cm.若AB>AC,则AB-AC=3 cm,∴AB=8 cm;若AB<AC,则AC-AB=3 cm,∴AB=2 cm.综上,AB=8 cm或2 cm.5.如图,有一块三角形优良品种试验基地.由于引进的四个优良品种需要进行对比试验,故需将这块土地分成面积相等的四块,请你制订出三种划分方案以供选择.(画图说明)答案5.【解析】 方案一:如图1,在BC上依次取点D,E,F,使BD=DE=EF=FC,连接AD,AE,AF.方案二:如图2,分别取AB,BC,CA的中点D,E,F,连接AE,DE,EF.方案三:如图3,分别取BC的中点D,CD的中点E,AB的中点F,连接AD,AE,DF.(答案不唯一,符合要求即可)6.如图,△ABC为钝角三角形.(1)作出△ABC的高AM,CN;(2)若CN=3,AM=6,求BC与AB的比值.答案6.【分析】 (1)过点A作AM⊥BC,交BC的延长线于点M,过点C作CN⊥AB于点N,则AM,CN为△ABC的高;(2)根据三角形面积公式,得12AM·BC=12CN·AB,然后利用等式的性质求BC与AB的比值.【解析】 (1)如图,AM,CN为所求.(2)∵AM,CN为△ABC的高,∴S△ABC=12AM·BC=12CN·AB,∴AM·BC=CN·AB.∵CN=3,AM=6,∴6BC=3AB,∴B1.7.[2020河北秦皇岛期末]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,AB=10 cm.动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,速度为每秒2 cm,设运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,CP把△ABC分成周长相等的两部分?(2)当t为何值时,CP把△ABC分成面积相等的两部分?(3)当t为何值时,△BCP的面积为12 cm2?答案7.【解析】 (1)在△ABC中,AC=8 cm,BC=6 cm,AB=10 cm,∴△ABC的周长为8+6+10=24(cm),∴当CP把△ABC分成周长相等的两部分时,点P在AB上,此时CA+AP=BP+BC=12 cm.∵运动速度为每秒2 cm,∴2t=12,∴t=6.故当t=6时,CP把△ABC分成周长相等的两部分.答案(2)当点P在AB的中点时,CP把△ABC分成面积相等的两部分,此时CA+AP=8+5=13(cm),∴2t=13,∴t=132.故当t=132时,CP把△ABC分成面积相等的两部分.(3)分两种情况:①当点P在AC上时,∵S△BCP=12 cm2,∴12BC×CP=12.∵BC=6 cm,∴CP=4 cm,∴2t=4,∴t=2.②当点P在AB上时,∵S△BCP=12 cm2,S△ABC=24 cm2,∴S△BCP=12S△ABC,∴点P为AB的中点,∴2t=13,∴t=132.综上,当t=2或132时,△BCP的面积为12 cm2.11.1 与三角形有关的线段课时3 三角形的稳定性1.[2021河北邯郸十一中期末]下列图形具有稳定性的是 ( )答案1.A2.[2020河北唐山二模]下列图形中,不具有稳定性的是 ( )答案2.D3.[2020河北唐山二模]如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框,使其不变形,这样做的根据是 ( )A.三角形的稳定性B.两点确定一条直线C.两点之间,线段最短D.长方形的四个角都是直角答案3.A4.[2021河北沧州期末]如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定.这里所运用的几何原理是 ( )A.三角形的稳定性 B.两点之间,线段最短C.两点确定一条直线 D.垂线段最短答案4.A。
