人教版八年级上册数学角的平分线

第三步：分析找出由已知推出要证的结论的途 径，写出证明过程.
如图，已知∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
A
由 18此0°”，的你思又路能∴在吗受△？到∠P什DPDO么O和启=△发∠P？EPEO你O中能=，发90现°.证明“三角形内D角和P 等于C
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
∴PD = PE
O
E
B
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路 与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
O
S 实际问题
A
B
几何问题
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、 OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路
与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作∠AOB的角平分线OC， 截取OP=2.5cm ，P即为所求.
O
D
E
A
P
B
【猜想】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
12.3角的平分线的性质
第十二章——全等三角形
学习目标 01 会用尺规作一个角的平分线；
02 探索并证明角的平分线的性质，掌握角的 平分线的判定；
03 会用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
回顾旧知
我们之前学习了三角形的角平分线，什么是三角形的角平分线？

人教版八年级数学上册说课稿12.3 角的平分线的性质一. 教材分析人教版八年级数学上册第12.3节“角的平分线的性质”是中学数学中的一个重要知识点。

这部分内容主要让学生掌握角的平分线的性质，包括角平分线上的点到角的两边的距离相等，角平分线垂直于角的对边，以及角的平分线段的长度等于对应角的对边的长度。

这些性质在解决几何问题时具有重要的作用。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了角的概念、垂线的性质等基础知识，具备了一定的逻辑思维和推理能力。

然而，对于角的平分线的性质，学生可能还比较难以理解和运用，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、推理等方式，逐步理解和掌握角的平分线的性质。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握角的平分线的性质，能够运用角的平分线解决一些简单的几何问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心。

四. 说教学重难点1.教学重点：角的平分线的性质。

2.教学难点：角的平分线的性质的证明和运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、引导发现法、合作交流法等，引导学生主动探究角的平分线的性质。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型等辅助教学，帮助学生直观地理解角的平分线的性质。

六. 说教学过程1.导入：通过复习角的概念、垂线的性质等基础知识，引出角的平分线的性质。

2.新课导入：介绍角的平分线的定义，引导学生观察和操作，发现角的平分线的性质。

3.性质证明：引导学生运用已知知识，证明角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

4.性质拓展：引导学生进一步发现角平分线垂直于角的对边，以及角的平分线段的长度等于对应角的对边的长度。

5.运用练习：安排一些具有代表性的练习题，让学生运用角的平分线的性质解决问题。

6.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调角的平分线的性质及其应用。

•
反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
A
E
F D
B
C
1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 2.怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点。
A
P B C
D C
P
B
·
E
O
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
A D
B
E
C
练一练
A
E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为 ∠BAC的平分线，DE⊥AB， AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
A
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
Hale Waihona Puke 则射线ＯＣ即为所求．如果现在不能剪下这个角，只有一块 直角三角板，你能想出画这个角的平 分线吗？ 画一画，量一量，从中你有什么 新发现？你能说明其中的道理吗？O

的度数.
解：如图，过 M 作 MN⊥AD 于 N. ∵∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD. ∴∠DAB＝180°-∠ADC＝50°.
角平分线的判定人教版八年级数学上 册
∵DM 平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN＝MC. ∵M 是 BC 的中点， ∴MC＝MB.∴MN＝MB. 又 MN⊥AD，MB⊥AB， ∴AM 平分∠DAB， ∴∠MAB＝ ∠DAB＝25°．
角平分线的判定人教版八年级数学上 册
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三级检测练
一级基础巩固练
7. 如图，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若 BD=CD， BE=CF.求证：AD 平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，
谢谢！
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证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BDE和△CDF是直角三角形． 在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE＝DF. 又DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是△ABC的角平分线．
角平分线的判定人教版八年级数学上 册
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10. 如图，△ABC 的角平分线 BE,CF 相交于点 P. 求证：点 P 在∠A 的平分线上.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE＝DF.∴AD平分∠BAC．
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8. 如图，DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BE=CF，DB=DC.求证：AD 是∠BAC 的
平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC 于点F， ∴∠BED＝∠CFD=90°， ∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，

∴OB＝OD．∴OE＝OD． 又∵OE⊥AC，∠D＝90°，即 OD⊥CD， ∴CO 平分∠ACD．
(2)OA⊥OC． 证明：在 Rt△ABO 和 Rt△AEO 中，OAOB＝＝OAOE，， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴∠AOB＝∠AOE＝12∠BOE. 同理，∠COD＝∠COE＝12∠DOE. ∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝12∠BOE＋12∠DOE＝90°.∴OA
4.(教材 P51 习题 T3 变式)如图，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于 点 E，BE，CD 相交于点 O.
(1)当∠1＝∠2 时，求证：OB＝OC． 证明：∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△BOD 和△COE 中，
∠BOD＝∠COE， OD＝OE， ∠ODB＝∠OEC， ∴△BOD≌△COE(ASA).
第 11 题图
12.(教材 P52 习题 T7 变式)如图，在四边形 ABDC 中，∠D＝ ∠B＝90°，O 为 BD 的中点，且 AO 平分∠BAC．求证：
(1)CO 平分∠ACD． 证明：过点 O 作 OE⊥AC 于点 E， ∵∠B＝90°，AO 平分∠BAC， ∴OB＝OE. ∵点 O 为 BD 的延长线相
交于点 E.若存在点 P，使得 S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点 P( D ) A．有且只有 1 个
B．有且只有 2 个
C．组成∠E 的平分线
第 8 题图
D．组成∠E 的平分线所在的直线(点 E 除外)
9.如图，l1，l2，l3 是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加
6.如图，△ABC 的三边 AB，AC，BC 的长分别为 4，6，8，其 三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则 S△OAB∶S△OAC∶S△OBC ＝ 2∶3∶4 .

∴ DB = DC ，
（在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。）
A
（√ ）
不必再证全等
B
D C
练习
4、如图，
A
∵ OC是∠AOB的平分线，
D
又 _P_D__⊥__O_A_，__P_E_⊥__O__B_，___
C
P
O
∴PD=PE
E
( 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ） B
THANK YOU
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
用符号语言表示为：
∵ ∠DOP= ∠EOP， PD⊥OA ， PE⊥OB，
∴PD=PE(角的平分线上的点 到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个， 必须写全，不能少
了任何一个。
A D
P
O
B E
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
探究求证
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90，（垂直的定义）
A D
在△PDO和△PEO中，
∠ PDO= ∠ PEO， ∠ AOC= ∠ BOC， OP=OP，
练习
1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，
（在角的平分线上的点到这
A
个角的两边的距离相等。）
（×）
B
D C
练习
2、如图， ∵ DC⊥AC，DB⊥AB （已知）

4.能够运用角的平分线性质解决相关问题，如求角的度数、证明线段相等或比例关系等。
（二）过程与方法
1.采用探究式教学方法，引导学生从实际操作中发现角的平分线的判定定理，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
2.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在合作中学习，提高解决问题的能力和团队协作精神。
3.设计具有梯度性的练习题，使学生在巩固基础知识的同时，逐步提高解题能力，培养良好的学习习惯。
（三）学生小组讨论
1.教学活动：教师给出几个实例，让学生分组讨论如何找出这些角的平分线。
2.小组讨论：学生在小组内分享自己的思考过程，讨论如何运用角的平分线判定定理解决问题。
3.教师指导：教师巡回指导，对学生的疑问进行解答，引导学生运用角的平分线性质解决问题。
（四）课堂练习
1.教学内容：教师布置以下练习题，让学生独立完成。
a.判断题：判断下列各题中，哪个是角的平分线。
b.解答题：已知一个角的度数，求这个角的平分线。
c.应用题：运用角的平分线性质解决实际问题。
2.解答与讲解：教师选取部分学生的答案进行展示和讲解，指出解题过程中的关键步骤和注意事项。
（五）总结归纳
1.教学内容：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结角的平分线的定义、性质和判定定理。
1.学生在空间想象力方面的发展水平，引导他们通过实际操作，将抽象的角的平分线概念具体化、形象化。
2.学生在逻辑推理能力上的差异，针对不同水平的学生设计不同难度的问题，使他们在解决问题的过程中逐步提高推理能力。
3.学生在团队合作中的表现，鼓励他们积极参与讨论，学会倾听他人意见，提高沟通能力和团队协作精神。
4.培养学生的创新意识，鼓励他们敢于尝试、勇于探索，形成独立思考的能力。

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数学·八年级 (上)·配人教
7
基础过关
1．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②角的内部到角
的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的
距离相等；④在△ABC中，∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相
等．其中正确的有
(B)
数学·八年级 (上)·配人教
5
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数学·八年级 (上)·配人教
6
知识点2 三角形的角平分线性质 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 注意：到三角形三边的距离相等的点共有4个，其中一个是三条内角平分线的 交点，另外三个是外角平分线的交点．
第十二章 全等三角形
第十二章 全等三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
21
(1)方案①、方案②是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由； (2) 在 方 案 ①PM ＝ PN 的 情 况 下 ， 继 续 移 动 角 尺 ， 同 时 使 PM⊥OA ，
PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．
①∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角 尺使角尺两边相同的刻度与点M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就 是∠AOB的平分线．
②∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，将角尺的直角顶点 P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与点M、N重合，即PM ＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
90° ， ∴△DEM≌△DFN ， ∴DE ＝ DF ， ∴BD 平 分
∠ABC．

上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证： 4．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：AB平分∠CAF.
例2 如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD. (3)若BC＝12，AD＝13，求S△AMD.
1 2
S梯形ABCD.
∵S梯形ABCD＝12 (CD＋AB)·BC＝12 ×13×12＝78，
∴S△AMD＝12 ×78＝39.
ห้องสมุดไป่ตู้ 练习
1．教材P50 练习第2题． 2．如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A， PB⊥OM于点B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，C为OA 上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为( B ) A．50° B．55° C．60° D．80°
AB平分∠CAF. (3)若BC＝12，AD＝13，求S△AMD.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论；
∴∠BFD＝∠CED＝90°.
证∴ 明D如C证·下BM：＝明过点EM：F作·BMN过E. ⊥A点D于点BE.作BM⊥AC于点M，BN⊥AF于点N.
(3) 我们能不能证明上面的结论？
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论； 3-5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上
标如出图它 12又的. 位∵置，比M例尺E为⊥1:200A00)D？ ，∠B＝90°，∴AM平分∠BAD；
∵S梯形ABCD＝ (CD＋AB)·BC＝ ×13×12＝78，∴S△AMD＝ ×78＝39.
4．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：AB平分∠CAF.

条件是：_______________，并给予证明.
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF， 在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）

2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。 3、影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野和成就，甚至一生。
4、无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。 5、也许有些路好走是条捷径，也许有些路可以让你风光无限，也许有些路安稳又有后路，可是那些路的主角，都不是我。至少我会觉得，那些路不是自己想要的。 6、在别人肆意说你的时候，问问自己，到底怕不怕，输不输的起。不必害怕，不要后退，不须犹豫，难过的时候就一个人去看看这世界。多问问自己，你是不是已经为了梦想而竭尽全力了?
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。 9、成功的道路上，肯定会有失败;对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则必成功;怕失败者，则一无是处，会更失败。1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。
知识点详解
证明: ∵ PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°(垂直的定义)
在Rt△PDO和Rt△PEO中 PO＝PO(公共边) PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO(HL) ∴ ∠ POD＝∠POE ∴点P在∠AOB的平分线上
知识点详解
结论: 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
A M
C
O

在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.
∴ ∠AOC =∠BOC.
图1-27
∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
由此得到角平分线的性质定理的逆定理：
角平分线的判定定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在 角的平分线上。
一个货物中转站,要求它到三条公路的距
离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
练习3 如图,求作一点P,使PC=PD,并
且点P到∠AOB的两边的距离相等.
B
D●
C●
O
A
练习
1. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于 点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.
∴ PD = PE.
图1-26
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
用符号语言表示为：
∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
A
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
D
C
∴PD=PE.
P
1
∵∠1= ∠2
O
2
EBຫໍສະໝຸດ PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
图1-30
利用结论，解决问题
练一练
1、如图，为了促进当
地旅游发展，某地要在
三条公路围成的一块平
地上修建一个度假村.要
使这个度假村到三条公

课堂小结
尺规 作图
属于基本作图，必须熟练掌握
角平分线 性 质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
为证明线段相等 提供了又一途径
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
巩固练习
如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于
点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是( B)
A. OD>OE
B．OD＝OE
C. OD<OE
D．不能确定
探究新知
素养考点 1 角平分线的性质的应用
例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且
BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.
O
课堂检测
4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分
别是C，D，下列结论中错误的是(D )
A.PC＝PD
B. OC＝OD
C. ∠CPO＝∠DPO
D. OC＝PC
5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为
E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长D是( C )
D
求证：EB=FC.
A
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF，
E B
D
F C
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
巩固练习
如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB， PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.

庖丁巧解牛知识·巧学·升华一、作已知角的角平分线1.把一个角分为两个相等的角的射线叫做角的平分线，作已知角的平分线的方法很多，主要有折叠和尺规作图.2.尺规作图的依据是：由“SSS”可得到△OMC ≌△ONC ，从而得到∠AOC=∠BOC ，所以OC 为∠AOB 的平分线.作角的平分线实际上是先作了一对全等的三角形，应用全等三角形的性质，得到对应角相等.二、角平分线性质定理1.性质的推导图13-3-1如图13-3-1，已知OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上任意一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E.求证：PD=PE.分析：要证明PD=PE ，只要证明它们所在的△OPD ≌△OPE ，而△OPD ≌△OPE 的条件由已知易知它满足定理(AAS).证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义).在△PDO 和△PEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.OP OP BOC AOC PEO PDO ，，∴△PDO ≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).2.语言叙述角平分线上的点到这个角的两边距离相等.3.图形说明∵OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上任意一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E(已知)，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角两边的距离相等).4.作用说明这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.三、角平分线性质定理的逆定理1.定理的推导图13-3-2如图13-3-2，已知PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E.求证：点P在∠AOB的平分线上.分析：要证明点P在∠AOB的平分线上，可以先作出过点P的射线OC，然后证明∠1=∠2.证明：经过点P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义).在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE.∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).2.语言叙述到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.图形说明∵PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E(已知)，∴点P在∠AOB的平分线上(到角的两边距离相等的点在角的平分线上).辨析比较两个性质中，前者可判定线段相等，后者可证角相等，两者的条件与结论交换了.问题·思考·探究问题如图13-3-3，河南区新建一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥的距离为300米，在图上标出工厂的位置，并说明理由.图13-3-3比例尺是1∶20 000思路：这里可以把桥看作是一个角的顶点，河岸和公路分别是角的两边，问题转化为：在角平分线上找一点，使它到顶点的距离是300米.探究:(1)画出角的平分线，(2)以顶点为圆心，1.5 cm为半径画圆，定义圆与角平分线的交点即为所求.用几何画板(3.0版及以上)验证：第一步：新建一个几何画板文件.第二步：选“画射线”工具，画一个角.第三步：(1)用“选择”工具依次选取点B、A、C；(2)由菜单“作图”→“角平分线”，画出了∠BAC的平分线.第四步：用“画点工具”在角平分线上画一个点，标出标签.第五步：(1)用“选择”工具同时选取点D和射线AB；(2)由“作图”→“垂线”，画出过点D 垂直于射线AB的直线；(3)用“选择”工具单击垂足处，定义表示垂足的点，并用“文本”工具标上标签；(4)选取画好的垂线，把它隐藏，并用“画线段”工具画出垂线段DE，用同样的方法画出垂线段DF.第六步：(1)选取点D和射线AD，(2)由“编辑”→“操作类按钮”→“动画”，在弹出的对话框中设置点D在射线AD上双向慢速运动.第七步：度量出∠AED、∠AFD，线段DE、DF，最后的结果如图13-3-4（左图）.操作验证：双击“动画”按钮或用鼠标拖动点D移动，可以发现DE、DF总是分别垂直于角的两边，并且DE=DF，这说明了我们要找的点可以定位于角平分线上.第八步：在工作区中画一条线段GH，量出距离，通过调整G、H的位置，使GH=1.5 cm.如图13-3-4（右图）.(说明：取GH=1.5 cm是因为比例尺是1：20 000)图13-3-4第九步：(1)同时选取点A和线段GH(不要选点G和H)；(2)由“作图”→“以圆心和半径画圆”，得到一个以点A为圆心，半径是1.5 cm的圆；(3)用“选择”工具单击圆与角平分线的相交处，定义出的交点I即为所求，如图13-3-5（左图）.图13-3-5第十步：(1)选取圆把它隐藏；(2)度量AI；(3)选取点I和射线AB，由“度量”→“距离”，可以量出点I到射线的距离，同理量出点到角的另一边的距离，如图13-3-5（右图），由图可知，点I为所求的点.典题·热题·新题例1两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人.小猪看重了这块宝地，想在这里建一座小房子，并使房子到两条小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它吗？图13-3-6思路解析：把这个实际问题转化为数学问题，根据角平分线性质(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)即可解决问题.解：因为角平分线上的点到这个角的两边距离相等，所以小房子建在两条小河交汇所形成角的平分线上即可.例2我们大家都喜爱放风筝，图13-3-7是一个风筝骨架.图13-3-7图13-3-8 思路解析：如图13-3-8，为使风筝平衡，需使∠AOP=∠BOP.我们已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么，PC和PD满足什么条件，才能保证OP为∠AOB的角平分线呢？解：当PC=PD时，才能保证OP为∠AOB的角平分线.∵PC=PD，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D,(已知)∴点P在∠AOB的平分线上.(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)深化升华判断点的位置时，通常找点的数量特征，从而用相关定义、定理等证明点在直线上(或直线经过某一点).图13-3-9例3如图13-3-9，已知B、C分别是∠MAN的AM边和AN边上的点，连结BC.问在∠MAN的内部，且在△ABC的外部是否存在一点P，到AM、BC、AN三边的距离相等？若存在，请说明怎样找出点P；若不存在，请说明理由.思路解析：要利用到角的两边距离相等的点在角的平分线上这一性质，到AM、BC两边的距离相等，则点P在∠MBC的角平分线上，同理，点P在∠BCN的角平分线上.解：存在一点P，到AM、BC、AN三边的距离相等.这点就是∠MBC和∠BCN两条角平分线的交点.拓展延伸 三角形中，到角两边距离相等的点，其中角可能是三角形的一个内角，也可能是三角形的一个外角.到三角形三边距离相等的点共有四个.其中一个是内角平分线的交点(如图中点P 1)，另外三个都是两个外角平分线的交点(图13-3-10中点P 2、P 3、P 4)，这个点也在第三个角的平分线上.图13-3-10三角形外角平分线所构成的三角形是锐角三角形.如图13-3-10，△P 2P 3P 4中， ∠P 2=90°-21∠ACB ，∠P 3=90°-21∠BAC ，∠P 4=90°-21∠ABC.图13-3-11例4△ABC 中，如图13-3-11，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点， 且∠EDF+∠EAF=180°.求证：DE ＝DF.思路解析：已知条件中有角平分线，要注意应用角平分线的性质.因此要过D 作AB 、AC 的垂线段，这样既得到了直角三角形，又得到直角边相等，为证题提供了条件. 证明：过D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N.∵AD 平分∠BAC ，∴DM ＝DN(角平分线上的点到角两边的距离相等).∵∠AMD+∠MDN+∠AND+∠NAM=360°，∠AMD+∠AND=180°，∴∠MDN+∠NAM=180°.∵∠EDF+∠FAE=180°，∴∠MDN=∠EDF.∴∠MDE=∠FDC.在△EDM 和△FDN 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,N D F M D E DN DM FND EMD∴△EDM ≌△FDN(ASA).∴DE ＝DF(全等三角形对应角相等).深化升华 证明与角平分线上的点有关的线段相等时，通常作出该点到角两边的距离构造直角三角形全等.图13-3-12例5如图13-3-12，在△ABC 中，（1）若AD 为角平分线，则S △ABD ∶S △ACD ＝AB ∶AC ；（2）设D 为BC 上一点，连结AD,若S △ABD ∶S △ACD ＝AB ∶AC ，则AD 为角平分线. 思路解析：三角形的面积跟高有关，这里有角平分线，△ABD 和△ACD 的高就是∠BAC 的平分线到边AB 、AC 的距离.证明:作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F.(1)∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DF.∵S △ABD =21·AB·DE ，S △ACD =21·AC·DF ， ∴S △ABD ∶S △ACD =AB ∶AC. (2)∵S △ABD =21AB·DE ，S △ACD =21·AC·DF ， ∴S △ABD ∶S △ACD =(AB·DE)∶(AC·DF).∵S △ABD ∶S △ACD =AB ∶AC,∴AB·DEAC·DF=ABAC.∴DE=DF.∴AD 为角平分线.。

拓展训练 2.如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角
平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上 BD=DF.求证：CF=EB.
证明：∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝ 90°（已知）， ∴CD＝DE (角的平分线的性质). 在Rt △CDF 和 Rt△EDB 中， CD=DE （已证），DF=DB（已知）， ∴ Rt△CDF ≌ Rt△EDB(HL). ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）.
互动新授 思考
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距 离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建 于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
S
互动新授
解：在Rt△ABC与Rt△ABD中：
AB=AB
BC=BD
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ABD（HL）．
∴∠CAB=∠DAB
M
即点B在∠CAD的角平分线上
你能得出什 A么结论呢？
C
D
B S
N
角的平分线的判定: 角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上.
典例精析
例：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P 到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB交于点D，PE⊥BC交于点E，
PF⊥AC交于点F.
AD=AD，
DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE.
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∴△DEB的周长为8cm.
课堂小结
三角形的角 平分线
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上.

专题12.9角平分线的性质（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】角的平分线的性质(1)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.(2)符号语言：OC平分∠ADB，又 PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，∴PE=PF【知识点二】角的平分线的判定(1)判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.(2)符号语言：PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，又 PE=PF∴OC平分∠ADB，【知识点三】角的平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D，交OB 于E.（2）分别以D、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC 即为所求.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用角平分线性质定理进行求值与证明【例1】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，交CD 于点F ，过点E 作EG CD ∥，交AB 于点G ，连接CG ．（1）求证：90A AEG ∠+∠=︒；（2）求证：EC EG =；【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．（1）证明90EGA ∠=︒，即可证明结论成立；（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立．（1）证明：∵CD AB ⊥，∴90CDA ∠=︒EG CD ∥，∴90EGA CDA ∠=∠=︒∵180A AEG EGA ∠+∠+∠=︒1801809090A AEG EGA ∴∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒（2）证明：∵90ACB ∠=︒，∴EC BC⊥BE 平分ABC ∠，EG AB ⊥，EC EG∴=【变式1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，OC 平分AOB ∠，点P 是射线OC 上一点，PM OB ⊥交于点M ，点N 是射线OA 上的一个动点，连接PN ．若6PM =，则PN 的长度不可能是（）A ．18B ．7.2C ．6D ．4.5【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关键．过点P 作PD OA ⊥，如图所示，由角平分线的性质可得6PD PM ==，根据点与直线上各点的距离中垂线段最短可得6PN PD ≥=，从而得到答案．解：过点P 作PD OA ⊥，如图所示：OC 平分AOB ∠，点P 是射线OC 上一点，PM OB ⊥于点M ，6PM =，∴由角平分线性质可得6PD PM ==，点N 射线OA 上的一个动点，连接PN ，∴由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得6PN PD ≥=，∴综合四个选项可知，PN 的长度不可能是4.5，故选：D ．【变式2】（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在ABC 中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，点O 到BC 边的距离为3，且ABC 的周长为20，则ABC 的面积为．【答案】30【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．过O 作OM AB ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，连接OA ，利用角平分线的性质求得3OM ON OD ===，然后利用ABC AOB AOC BOC S S S S =++ 求解即可．解：过O 作OM AB ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，连接OA ，∵点O 到BC 边的距离为3，∴3OD =，∵ABC 的周长为20，∴20AB AC BC ++=∵ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OM AB ⊥，ON AC ⊥，∴3OM ON OD ===，∴ABC AOB AOC BOCS S S S =++ 111222AB OM AC ON BC OD =⋅+⋅+⋅()12AB AC BC OD =++⋅12032=⨯⨯30=，故答案为：30．【题型2】利用角平分线判定定理进行求值与证明【例2】如图，DE AB ⊥于E DF AC ⊥，于F ，若BD CD BE CF ==、，（1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）已知204，==AC BE ，求AB 的长．【答案】(1)见详解(2)12【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有,,,SAS ASA AAS SSS ，全等三角形的对应边相等，对应角相等．（1）求出90E DFC ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定定理得出Rt BED Rt CFD ≌，推出DE DF =，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出,==AE AF BE CF ，即可求出答案．（1）证明：∵,DE AB DF AC ⊥⊥，∴90E DFC ∠=∠=︒，∴在Rt BED 和Rt CFD 中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴()Rt BED Rt CFD HL ≌，∴DE DF =，∵,DE AB DF AC ⊥⊥，∴AD 平分BAC ∠；（2）解：∵90,,∠=∠=︒==AED AFD AD AD DE DF ，∴()Rt ADE Rt ADF HL ≌，∴AE AF =，∵20,4===AC CF BE ，∴20416AE AF ==-=，∴16412AB AE BE =-=-=．【变式1】如图，在ABC 中，70BAC ∠=︒，4AB =，2AC =，若2ABD ACD S S = ，则CAD ∠的度数为（）A ．45︒B ．40︒C ．35︒D ．30︒【答案】C 【分析】作DE AB ⊥于点E ，作DF AC ⊥于点F ，根据2ABD ACD S S = 可证DE DF =，从而可知AD 是BAC∠的平分线，进而可求出CAD ∠的度数．解：如图，作DE AB ⊥于点E ，作DF AC ⊥于点F ，∵2ABD ACD S S = ，∴11222AB DE AC DF ⋅=⨯⋅．∵4AB =，2AC =，∴44DE DF=∴DE DF =，∴AD 是BAC ∠的平分线．∴11703522CAD BAC ∠=∠=⨯︒=︒．故选C ．【变式2】6．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在ABC 中，48ABC ∠=︒，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则EBF ∠=．【答案】24︒【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明BE 平分ABC ∠；过点E 作EM AB EN BC EO AC ⊥⊥⊥、、，根据角平分线的性质可得EM EO EN EO ==，，则有EM EN =，再根据EM AB EN BC ⊥⊥、，即可得出BE 平分ABC ∠即可解答．解：过点E 作EM AB EN BC EO AC ⊥⊥⊥、、，如图所示：三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，EM EO EN EO ∴==，，EM EN ∴=，EM AB EN BC ⊥⊥、，∴BE 平分ABC ∠，11482422EBF ABC ∴∠==⨯︒=︒，故答案为：24︒．【题型3】综合运用角平分线性质定理与判定定理进行证明与求值【例3】如图，ABC 和EBD △中，90ABC DBE AB CB BE BD ∠=∠=︒==，，，连接AE CD AE ，，与CD 交于点M ，AE 与BC 交于点N ．（1）求证：AE CD =；（2）求证：AE CD ⊥；（3）连接BM ，有以下两个结论：①BM 平分CBE ∠；②MB 平分AMD ∠，其中正确的一个是（请写序号），并给出证明过程．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)②【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定与性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题．（1）欲证明AE CD =，只要证明ABE CBD ≌；（2）由ABE CBD ≌，推出BAE BCD ∠=∠，由180NMC BCD CNM ∠=︒-∠-∠，18090ABC BAE ANB CNM ANB ABC ∠=︒-∠-∠∠=∠∠=︒，又，，可得90NMC ∠=︒；（3）结论：②；作BK AE ⊥于K BJ CD ⊥，于J ．利用角平分线的判定定理证明即可．（1）证明：∵ABC DBE ∠=∠，∴ABC CBE DBE CBE ∠+∠=∠+∠，即ABE CBD ∠=∠，在ABE 和CBD △中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS ABE CBD ≌（），∴AE CD =．（2）证明：∵ABE CBD ≌，∴BAE BCD ∠=∠，∵180180NMC BCD CNM ABC BAE ANB ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠，，又CNM ANB ∠=∠，90ABC ∠=︒ ，∴90NMC ∠=︒，∴AE CD ⊥．（3）解：结论：②理由：作BK AE ⊥于K BJ CD ⊥，于J．∵ABE CBD ≌，∴ABE CDB AE CD S S == ，，∴1122AE BK CD BJ ⨯⨯=⨯•，∴BK BJ =，∵作BK AE ⊥于K ，BJ CD ⊥于J ，∴BM AMD ∠平分．不妨设①成立，则CBM EBM ≌，则AB BD =，显然不可能，故①错误．故答案为：②．【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且100ADC ∠=︒，则MAB ∠的度数是（）A ．50︒B ．40︒C ．45︒D ．55︒【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作MN AD ⊥于N ，根据角平分线的性质得出MN MC =，进而得出1402MAB DAB ∠=∠=︒．解：作MN AD ⊥于N ，∵90B C ∠∠==︒，∴AB CD ∥，∴18080DAB ADC ∠∠=︒-=︒，∵DM 平分ADC ∠，MN AD ⊥，MC CD ⊥，∴MN MC =，∵M 是BC 的中点，∴MC MB =，∴MN MB =，又MN AD ⊥，MB AB ⊥，∴1402MAB DAB ∠=∠=︒，故选：B ．【变式2】（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在ABC 中，68BAC ∠=︒，72ACB ∠=︒，ACB ∠的平分线与BAC ∠的外角平分线交于点D ，连接BD ，则BDC ∠的大小等于．【答案】34︒/34度【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先根据角平分线的判定与性质得出BD 平分ABH ∠，然后利用三角形外角的性质12BDC DBH DCB BAC ∠=∠-∠=∠，即可求解．解：过点D 作DH BC ⊥于H ，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，∵ACB ∠的平分线与BAC ∠的外角平分线交于点D ，∴DE DF DH ==，12BCD ACB ∠=∠，∴BD 平分ABH ∠，∴12DBH ABH ∠=∠，∵68BAC ∠=︒，∴BDC DBH DCB ∠=∠-∠1122ABH ACB =∠-∠()12ABH ACB =∠-∠12BAC =∠1682=⨯︒34=︒，故答案为：34︒．【题型4】通过作图（作角平分线）进行求值或证明【例4】（23-24八年级上·广东珠海·期中）请回答下列问题：（1）如图1，已知ABC ，利用直尺和圆规，作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）如图2所示，AD 是ABC 的角平分线E F 、分别是AB AC 、上的点，且180EDF BAC ∠+∠=︒，求证：DE DF =．【分析】（1）根据角平分线的基本作图方法作图即可；（2）过点D 作DH AB ⊥于点H ，作DQ AC ⊥于点Q ，证明()AAS EHD FQD ≌，得出DE DF =，即可得出答案．（1）解：如图，作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ；（2）证明：如图，过点D 作DH AB ⊥于点H ，作DQ AC ⊥于点Q ，则90EHD FQD ∠=∠=︒，AD 平分BAC ∠，DH DQ ∴=，180EDF BAC ∠+∠=︒Q ，180AED AFD ∴∠+∠=︒，180DFQ AFD ∠+∠=︒ ，DEH DFQ ∴∠=∠，在EHD △和FQD △中DEH DFQ EHD FQD DH DQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS EHD FQD ∴ ≌，DE DF ∴=．【点拨】本题主要考查了角平分线的基本作图，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，补角的性质，解题的关键作图辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．【变式1】（2024·湖南湘西·模拟预测）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC AB 、于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作射线AO ，交BC 于点E ．已知4CE =，7AB =，ABE 的面积为（）A ．6B ．11C ．14D ．28【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E 到AC 和AB 的距离相等，点E 到AB 的距离等于EC 的长度，利用三角形面积公式即可得到答案．解：由基本作图得到AE 平分BAC ∠，∴点E 到AC 和AB 的距离相等，∴点E 到AB 的距离等于EC 的长度，即点E 到AB 的距离为4，∴174142ABE S =⨯⨯= ．故选：C ．【变式2】（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =．【答案】6【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP 平分ABC ∠，根据角平分线的性质可知2DM MN ==，结合4AD MD =求出AD ，AM ．解：作图可知BP 平分ABC ∠，∵AD 是边BC 上的高，MN AB ⊥，2MN =，∴2MD MN ==，∵4AD MD =，∴8AD =，∴6AM AD MD =-=，故答案为：6．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】1．（2024·天津·中考真题）如图，Rt ABC △中，90,40C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 于点E ，交AC 于点F ；再分别以点,E F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在BAC ∠的内部相交于点P ；画射线AP ，与BC 相交于点D ，则ADC ∠的大小为（）A ．60B ．65C ．70D ．75【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出50BAC ∠=︒，由作图得25BAD ∠=︒，由三角形的外角的性质可得65ADC ∠=︒，故可得答案解：∵90,40C B ∠=︒∠=︒，∴90904050BAC B ∠=︒-∠=︒-︒=︒，由作图知，AP 平分BAC ∠，∴11502522BAD BAC ∠=∠==︒⨯︒，又,ADC B BAD ∠=∠+∠∴402565,ADC ∠=︒+︒=︒故选：B【例2】．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若AD 是ABC 中BAC ∠的内角平分线，通过证明可得=AB BD AC CD，同理，若AE 是ABC 中BAC ∠的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在ABC 中，2,3,BD CD AD ==是ABC 的内角平分线，则ABC 的BC 边上的中线长l 的取值范围是【答案】12522l <<【分析】根据题意得到2=3AB AC ，设AB ＝2k ，AC ＝3k ，在△ABC 中，由三边关系可求出k 的范围，反向延长中线AE 至F ，使得AE EF =，连接CF ，最后根据三角形三边关系解题．解：如图，反向延长中线AE 至F ，使得AE EF =，连接CF ，2,3,BD CD AD == 是ABC 的内角平分线，2==3AB BD AC CD ∴可设AB ＝2k ，AC ＝3k ，在△ABC 中，BC ＝5，∴5k ＞5，k ＜5，∴1＜k ＜5，BE EC AEB CEF AE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE FCE SAS ∴≅ AB CF∴=由三角形三边关系可知，AC CF AF AC CF-<<+5k AF k∴<<522k k AE ∴<<∴12522l <<故答案为：12522l <<．【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在ABC 中，BD 为AC 边上的高，BF 是ABD ∠的角平分线，点E 为AF 上一点，连接AE ，45AEF ∠=︒．（1）求证：AE 平分BAF∠（2）如图2，连接CE 交BD 于点G ，若BAE 与CAE 的面积相等，求证：BG CF=【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．（1）根据BF 是ABD ∠的角平分线和，BD 为AC 边上的高，可得114522BAD ABD ∠=︒-∠，由45AEF ∠=︒得145452BAE ABE ABD ∠=︒-∠=︒-∠，即可证明12BAE BAD ∠=∠；（2）过点E 作EM AB ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，由角平分线性质可以得EM EN =，由BAE 与CAE 的面积相等可得AB AC =，证明(SAS)ABE ACE △≌△，得出135AEB CEB ∠=∠=︒，BE EC =，即可得出36090BEG CEF AEB AEC ∠=∠=︒-∠-∠=︒，再根据垂直模型证明ASA BEG CEF ≌（），即可得出结论．（1）证明：∵BD 为AC 边上的高，即90ADB ∠=︒，∴90ABD BAD ∠+∠=︒，∴1()452ABD BAD ∠+∠=︒，∴114522BAD ABD ∠=︒-∵45AEF ABF BAE ∠=∠+∠=︒，∴45BAE ABF ∠=︒-∠，∵12ABF ABD ∠=∠，∴1452BAE ABD ∠=︒-∠，∴12BAE BAF ∠=∠，即：AE 平分BAF ∠．（2）过点E 作EM AB ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，AE 平分BAC ∠，且EM AB ⊥，EN AC ⊥，EM EN ∴=．ABE ACE S S △△＝，AB AC ∴=，AE 平分BAC ∠，BAE CAE ∴∠=∠，在ABE 和ACE △中，AB BC BAE CAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABE ACE ∴ ≌，AEB CEB ∴∠=∠，BE EC =，45AEF ∠=︒ ，135AEB AEC ∴∠=∠=︒，36090BEG CEF AEB AEC ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒，BD 为AC 边上的高，90ADB ∴∠=︒，FBD BFC BFC FCE ∴∠+∠=∠+∠，EBG ECF ∴∠=∠．在BEG 和CEF △中，BEG CEF BE CE EBG ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ASA BEG CEF ∴ ≌（）．BG CF ∴=.【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现：思考如图12.3-3，任意作一个角AOB ∠，作出AOB ∠的平分线OC ．在OC 上任取一点P ，过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D 、E ，测量PD 、PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利．．．用全等的知识完成证明过程．．．．．．．．．．．．．（1）已知：点P 是AOB ∠的平分线OC 上一点，过点P 作PD OA ⊥于点D ，PE OB ⊥于点E ．求证：PD PE =．【知识应用】（2）如图2，BAC ∠的平分线与ABC 的外角BCD ∠的平分线相交于点O ，过点O 作OD AC⊥于点D ，OE AB ⊥于点E ，连接OB ．①证明：OB 平分CBE ∠；②若70CAB ∠=︒，则COB ∠=________．【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②55︒【分析】（1）根据条件证明OPD OPE ≌V V ，从而PD PE =．（2）①过点O 作OF CB ⊥于点F ，由（1）的结论易证OD OF OE ==，根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得到OB 平分CBE ∠；②根据三角形的内角和180COB BCO CBO ∠=︒-∠-∠，再利用角平分线的定义和“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”，推导出1902COB BAC ∠=︒-∠，从而求解．（1）证明：OC 平分AOB ∠，AOC BOC ∴∠=∠，PD OA ⊥ ，PE OB ⊥，90ODP OEP ∴∠=∠=︒，在OPD △和OPE 中，AOC BOC ODP OPE OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，OPD OPE ∴V V ≌，PD PE ∴=；（2）①证明：过点O 作OF CB ⊥于点F，AO 是ABC ∠的平分线，OD AC ⊥，OE AB ⊥，OD OE ∴=，CO 是BCD ∠的平分线，OD AC ⊥，OF BC ⊥，OD OF ∴=，OF OE ∴=，OF BC ⊥ ，OE AB ⊥，BO ∴平分CBE ∠，②OB Q 平分CBE ∠，OC 平分BCD ∠，12CBO CBE ∴∠=∠，12BCO BCD ∠=∠，()111180180180222COB CBO BCO CBE BCD CBE BCD ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠()()11118018018090222CAB ACB CAB ABC CAB CAB =︒-∠+∠+∠+∠=︒-︒+∠=︒-∠19070552=︒-⨯︒=︒．故答案为：55︒．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、角平分线的性质和判定以及三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．。

（3）、角平分线的性质是全等三角形知识的延续，为 后面学习角平分线的判定定理、圆这一章中内心的学 习奠定了基础．
因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的 作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结 构合理，符合学生的心理特点和认知规律
2、教材目标
知识与技能: （1）掌握角平分线的作法 （2）理解角平分线的性质 （3）会运角平分线的性质解决问题 过程与方法: （1）经历角平分线的探究过程，增强学生的实验、猜 想、推理意识 （2）依据性质进行简单说理，培养学生动手操作能力、 逻辑推理能力 （3）初步了解角平分线的性质在生活、生产中的应用。 情感目标:激发学生学习兴趣,增强学生学好数学的信心.
A
N
D P
F
M
∟
点P在BM上,
B
∴ PD=PE. 同理 PE=PF.
C E
∴ PD=PE=PF. 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
三.说教学过程
复
创
例
习
设
题
提
情
讲
问
景
解
导
探
形
入
究
成
新
新
技
课
知
能
合
课
作
堂
交
小
流
结
布
置
巩
达
作
固
标
业
提
测
高
试
自主探究 巩固提高
1.如图,E是∠AOB的角平分线OC上的一点,EM⊥OB垂足为M,
（ 2） 其次学生们的实际水平有所不 同，全面深入探究问题能力有所差异,他 们对问题的理性推理有待于提高。
二.说 教 学 法
采用“先学后教·当堂训练“ 教 学 法