自动控制原理课第三章2015稳定判据素材

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P75 二阶系统的 结构图
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《自动控制原理》第三章
1、无阻尼情况 ( 0)
s 1 ct (t ) L [ 2 ] cos nt t 0 2 s n
等幅振 荡
特征方程有一对共轭虚根 s1,2 jn 2、欠阻尼情况 (0 1)
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三.劳斯稳定判据的应用
1、判断系统的稳定性 例: a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 0 解:
判断稳定性。
s
3
a3 a2 a1a2 a3 a0 a2 a0
a1 a0 0
0 0
s2 s1 s
0
三阶系统稳定的充要条件是: ai
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瞬态ct (t ) e
ct (t )
t
T
, 稳态css (t ) 1(t )
css (t )
dc(t ) 1 e t /T dt t 0 T
c(t )

t 0
1 T
+
=
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二.一阶系统的动态性能指标
c(t )
t 3T
(1 e
t /T
)
t 3T
1 e
3T /T
0.95
T0 T 1 K0
ts 3T
ts 是一阶系统的动态性能指标。
增大系统的开环放大系数K0 会使T 减小，使ts 减小。
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第四节
二阶系统的动态性能指标
二阶标准型 或称典型二阶系 统传递函数

响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法

由于表中第三行只有一 个元素，且为零。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并 以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。
辅助多项式：F（S）=2S2+2 F’(s)=4S
辅助方程：F（S）=2S2+2=0
系统有两虚根
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第三章 线性系统的时域分析法
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例如，一个控制系统的特征方程为
k 1
q
r
r
C(t) A0
Ajepjt
B eknkt k
sin nk
1k2t
C eknkt k
cosnk
1k2t
j 1
k 1
k 1
t0
(3 49)
稳态分量
瞬态分量 系统的结构和参数确定
一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用 下仍将继续保持稳定
判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方 程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
若劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等 于特征方程式的根在S的右半平面上的个数，系统不稳定。
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第三章 线性系统的时域分析法
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例3-5 已知一调速系统的特征方程式为
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第三章 线性系统的时域分析法
系统不稳定，且有两 个根位于S平面的右 半平面上
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2:劳斯表中出现全零行
某行所有的元素为零或某行仅有一个元素且为零
表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实 根或共轭虚根。
这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构 造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数 来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。

j S平面
Im F平面 Re
j S平面
Im F平面 Re
2，确定参数范围
+
k
－
s( T1s 1)( T2s 1)
特征方程
G( s )
k
s( T1s 1 )( T2s 1 )
T1T2s3 ( T1 T2 )s2 s k 0
3.3, Routh稳定判据
特征方程： T1T2s3 (T1 T2 )s2 s k 0
S3 T1T2
1
S2 T1+T2
(零点个数考虑重根数，N > 0 顺时针，N < 0逆时针。)
3.4，Nyquist稳定判据
j
Im F平面
S平面
Re
N = m - n = 3 – 1= 2
复变函数映射概念
j
例：
S平面
F(s ) s 2 s3
Im F平面
－3 －2
原点 Re
无穷远点
单域问题 N＝1
N=-1
3.4，Nyquist稳定判据
S3 1
17
S2 7
11
108
S1 7
0
S0 11
0
o’
oσ
σ0
设 S=S ´－σ0 ，若σ0 =1, 用S=S ´－ 1代入
( s'1)3 7( s'1)2 17( s'1) 11 0
s'3 4s'2 6s' 0 此时有一个特征根在原点，其余在左半平面。
3.3, Routh稳定判据
对于三阶系统a0s3+a1s2+a2s+a3=0只要 a1a2 > a0a3 则 系统稳定 对于二阶系统 a0s2+a1s+a2=0 所有系数全为正，稳定.