哈密顿原理的推导

势能最小原理
势能最小原理，亦称为哈密顿原理，是一种在力学和物理学中广泛应用的原理。

它可以用来推导出物体在特定情况下的运动方程，从而描述系统的动力学行为。

势能最小原理的基本思想是：在给定约束条件下，物体的实际运动路径是使得其势能达到最小值的路径。

这里的势能可以是机械势能、电磁势能或其他类型的势能。

势能最小原理的核心观点是，自然界中的物体总倾向于沿着能量下降的方向运动，从而达到稳定状态。

从数学角度来看，势能最小原理可以通过变分原理来表达。

它要求物体的实际路径使得一个特定的泛函在给定的约束条件下取得极值。

这个泛函通常表示系统的总势能减去动能，并加上一些约束条件。

应用势能最小原理可以推导出许多经典力学问题的运动方程。

例如，可以用于研究自由落体、弹性碰撞、摆动等问题。

此外，势能最小原理还可以扩展到相对论力学、量子力学等更深层次的物理理论中。

总之，势能最小原理是一种重要且广泛应用的原理。

通过运用该原理，我们能够深入理解自然界中各种物体的运动规律，从而揭示出自然界的奥秘。

- 323 -第十二章 弹性力学的哈密顿求解体系“一切守恒的真实物理过程都能表成适当的哈密顿体系。

”十九世纪英国天文学家哈密顿，在研究牛顿力学时，引进广义坐标和广义动量来表示系统的能量，现在通称为哈密顿函数。

尽管哈密顿体系在许多研究领域得到广泛的应用，但是弹性力学求解一直是使用以半逆解法为主的拉格朗日体系。

由于半逆法是一种凑合法，依赖于具体问题，且缺乏一般性，往往只能找出某些解而不能找到全部解。

使读者感到难于掌握的是，怎样才能凑出这些半逆解法的合适的假定。

二十世纪末，钟万勰提出在弹性力学方程的求解方法中引进哈密顿体系，拓宽了弹性力学的求解方法，使得许多问题可以直接进行求解。

下面将简略介绍采用直接法求解的哈密顿求解体系。

为了便于文献阅读，本章采用矩阵表示方法。

矩阵表示方法也是弹性力学中的一种常用表示方法，它是有限元数值法求解不可或缺的数学工具。

§12-1 哈密顿原理 正则方程与勒让德变换1．哈密顿原理设有限自由度n 维的广义位移和它对时间的微商分别为i q 和n) , 1,(i =i q ，则动力系统的拉格朗日函数（动能-势能）为)(n i n i q ,,q ,,q ,q ,,q ,,q 11L （12-1） 或简单用其向量表达式表示：) ,(q q L（12-1'）哈密顿原理可表述为：一个保守系统自初始点) ,(00t q 运动到终结点) ,(e t e q ，其真实的运动轨道应使作用量A 成为驻值，即 0=A δ 式中dt A et t ⎰= 0) ,(qq L ， （12-2）对上式作变分展开后，作分部积分有dt et t TT ⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 0 q q q q A δδδL L dt dt d Tt t eq q q 0δ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎰ L L （12-3） 式中，当0t t =时，0 =q δ，当e t t t <<0时，q δ为任意变分；因此，令式（12-3）为零，可导出拉格朗日方程0=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂qq L L dt d （12-4）这说明哈密顿原理对应于拉格朗日方程。

5哈密顿原理范文哈密顿原理（Hamilton's principle）是类似于欧拉-拉格朗日方程的一个变分原理，它被广泛应用于经典力学和理论物理的研究中。

哈密顿原理是由威廉·哈密顿在19世纪提出的，他认为物理系统的运动路径可以通过使作用量取极值来描述。

为了理解哈密顿原理，我们首先需要明确什么是作用量（action）。

作用量是描述一个物理系统在一段时间内的整体运动的量，它是路径积分的泛函。

在经典力学中，作用量的形式为：S = ∫L(q, q', t) dt其中，S是作用量，L是拉格朗日量，q是广义坐标，q’是广义坐标的导数，t是时间。

拉格朗日量L是描述系统的动力学性质的函数，它是广义坐标和它们的导数的函数。

根据哈密顿原理，路径使作用量取极值的物理系统的运动路径满足以下条件：∂S/∂q=0和∂S/∂t=0这两个条件分别称为广义力学方程和广义运动方程。

从广义力学方程可以得到欧拉-拉格朗日方程：d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0这是描述系统运动的方程，通过这个方程可以推导得到系统的运动轨迹。

从广义运动方程可以得到哈密顿正则方程：dq/dt = (∂H/∂p)dp/dt = - (∂H/∂q)其中，q和p分别是广义坐标和它们的共轭动量，H是哈密顿量，它是拉格朗日量L通过勒让德变换得到的。

哈密顿正则方程是描述系统运动的另一种形式，它将系统的动力学性质转化为了广义坐标和动量的方程。

哈密顿原理的意义在于它提供了一种处理动力学问题的方法，通过求解作用量取极值问题，我们可以得到系统的运动轨迹。

而哈密顿原理的导出过程则要借助于变分法和勒让德变换等数学工具。

哈密顿原理的应用非常广泛，不仅可以用于经典力学中的运动方程的推导，还可以用于理论物理的研究中。

例如，在量子力学中，路径积分形式的作用量可以用来计算系统的波函数，从而描述了系统的行为。

总而言之，哈密顿原理是描述物理系统运动的一个重要原理，它通过使作用量取极值来确定系统的运动路径。

圆柱坐标和球坐标系哈密顿算子推导引言在量子力学中，哈密顿算子是描述一个物理系统的总能量的算子。

在处理不同坐标系下的问题时，推导出相应的哈密顿算子是十分重要的。

本文将推导在圆柱坐标和球坐标系下的哈密顿算子，分别讨论了两个常见的坐标系，并给出了相应算子的推导过程。

圆柱坐标系哈密顿算子推导在圆柱坐标系中，哈密顿算子必须适应该坐标系的特性。

我们可以利用拉普拉斯算子在圆柱坐标系下的表示形式来推导圆柱坐标系下的哈密顿算子。

首先，拉普拉斯算子在三维笛卡尔坐标系中的表示形式为：$$ \\Delta = \\frac{\\partial^2}{\\partial x^2} + \\frac{\\partial^2}{\\partial y^2} + \\frac{\\partial^2}{\\partial z^2} $$接下来，我们需要将该算子表示为圆柱坐标系下的形式。

在圆柱坐标系中，有以下变换关系：$$ \\begin{align*} x &= r \\cos \\phi \\\\ y &= r \\sin \\phi \\\\ z &= z\\end{align*} $$其中，r为径向距离，$\\phi$ 为极角，z为高度。

通过对上述变换关系求一阶和二阶偏导数，可以得到：$$ \\begin{align*} \\frac{\\partial}{\\partial x} &= \\frac{\\partial r}{\\partial x} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial r} + \\frac{\\partial \\phi}{\\partial x} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial \\phi} + \\frac{\\partial z}{\\partial x} \\cdot\\frac{\\partial}{\\partial z} \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial y} &= \\frac{\\partial r}{\\partial y} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial r} + \\frac{\\partial\\phi}{\\partial y} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial \\phi} + \\frac{\\partialz}{\\partial y} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial z} \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial z} &= \\frac{\\partial r}{\\partial z} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial r} +\\frac{\\partial \\phi}{\\partial z} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial \\phi} +\\frac{\\partial z}{\\partial z} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial z} \\end{align*} $$将上述关系代入拉普拉斯算子的表达式中，并进行整理和化简，可以得到：$$ \\Delta = \\frac{1}{r} \\frac{\\partial}{\\partial r} \\left( r\\frac{\\partial}{\\partial r} \\right) + \\frac{1}{r^2}\\frac{\\partial^2}{\\partial \\phi^2} + \\frac{\\partial^2}{\\partial z^2} $$ 这就是圆柱坐标系下的拉普拉斯算子表达式。

哈密顿原理的应用什么是哈密顿原理？哈密顿原理是经典力学中的一种基本原理，用于描述自然界中物体在运动过程中所遵循的原理。

哈密顿原理可以简单地表述为：物体在运动过程中，其真实路径是使作用量（或称为作用积分）取得极值的路径。

哈密顿原理的数学表述从数学角度上看，哈密顿原理可以通过积分方程来表述。

假设一个运动系统的Lagrange函数为L(q, \dot{q}, t)，其中 q 为广义坐标，\dot{q} 为广义速度，t 为时间。

那么，根据哈密顿原理，系统的状态将会沿着满足以下方程的路径运动：\delta \int L(q, \dot{q}, t) dt = 0这个方程是一个变分问题，通过对方程求驻点来得到系统的真实路径。

其中，\delta 表示变分（即微小变化）。

哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

下面列举几个典型的应用：1.经典力学：哈密顿原理是经典力学中最基本的原理之一。

它可以用来推导出Lagrange方程和Hamilton方程，从而描述物体在运动过程中所遵循的规律。

通过哈密顿原理，我们可以得到物体在势能场中的运动方程，并进一步研究力的作用和能量的变化规律。

2.量子力学：哈密顿原理在量子力学中也有重要的应用。

量子力学中的体系可以使用波函数描述，而波函数的演化过程可以通过哈密顿算符来描述。

哈密顿原理可以用来推导量子力学中的薛定谔方程，从而描述量子体系的演化规律。

3.优化问题：哈密顿原理的变分问题求解方法可以应用于优化问题中。

通过建立适当的Lagrange函数，并使用哈密顿原理进行求解，我们可以得到优化问题的最优解。

这在工程学、经济学等应用中都有重要的作用。

4.控制理论：哈密顿原理在控制理论中有着广泛的应用。

控制理论研究的是如何通过给定系统的模型和特定的控制策略来使系统达到预期的状态。

哈密顿原理可以提供一种优雅的数学框架，用于描述控制系统的演化过程，并求解最优控制问题。

总结哈密顿原理是一种基本的物理原理，在经典力学、量子力学、优化问题和控制理论等领域得到了广泛的应用。

第18章_哈密顿原理哈密顿原理是力学中的一个重要原理，它是由物理学家威廉·哈密顿（William Hamilton）于19世纪提出的。

这一原理在动力学、量子力学和泛函分析等领域中都有广泛的应用。

哈密顿原理是一种优美而重要的方法，用于描述力学系统的运动。

它是以最小作用量原理为基础的，即物理系统在可行的轨迹中，其作用量的变分为零。

作用量是指系统在一段时间内受到的力的总和。

因此，哈密顿原理可以用数学的形式表示为：在给定初态和末态下，作用量的变分为零。

具体而言，哈密顿原理可以分为两个步骤：第二步是利用变分法来求解哈密顿原理。

通过对作用量进行变分，我们可以得到运动方程以及相应的边界条件。

具体而言，我们对作用量进行变分，得到一组关于位置和动量的偏导数等于零的方程。

这些方程被称为哈密顿方程，它们描述了系统随时间演化的规律。

哈密顿原理的优势在于，它可以将系统的动力学问题转化为一个几何问题，可以简化动力学问题的求解过程。

此外，哈密顿原理还可以解决具有多个约束条件的力学系统。

在这种情况下，我们可以使用拉格朗日乘子来处理约束条件，从而得到正确的运动方程。

除了力学系统，哈密顿原理还可以应用于其他物理学领域。

例如，在量子力学中，哈密顿原理可以用于导出薛定谔方程，这是描述量子力学系统演化的方程。

在泛函分析中，哈密顿原理还可以用于最优控制问题的求解。

总之，哈密顿原理是力学中的一个重要原理，它提供了一种简洁而优雅的方法来描述和求解力学系统的运动。

它不仅可以应用于力学系统，还可以应用于量子力学和泛函分析等领域。

通过哈密顿原理，可以将系统的动力学问题转化为一个几何问题，简化动力学问题的求解过程。

第5章哈密顿原理如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。

哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。

将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。

5.1 哈密顿正则方程哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n个一阶常微分方程组。

我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。

哈密顿正则方程的重要性在于它将n个二阶微分方程变换为2n个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。

若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。

哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。

5.1.1 正则方程的建立对于主动力均有势的k个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为(5-1)引入广义动量(5-2)代入式(5-1)，有(5-3)设拉格朗日函数L满足条件于是，可由式(5-2)反解出(5-4)式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k个二阶微分方程化为2k个一阶微分方程，其中方程组(5-4)并非正则形式。

引入哈密顿函数(5-5)按照Legendre变换规则，将变换成，而qi和t仍然保持不变，则有(5-6)(5-7)(5-8)将式(5-7)代入式(5-3)，并与式(5-6)联立，得(5-9)这就是哈密顿正则方程，是以广义坐标和广义动量为独立变量的2k个一阶常微分方程。