哈密顿积分原理

物理学中的哈密顿原理哈密顿原理是物理学中的一种基本原理，它指出了物理系统最小作用量的原则。

该原理由英国物理学家威廉·哈密顿在19世纪初提出，对于物理学的发展有着极为重要的意义。

一、哈密顿原理是什么？哈密顿原理可以理解为：一个物理系统从其初状态到终状态所需的时间最短路径，也就是最小作用量。

其中，“作用量”是一种测量物理系统运动状态的量，它等于系统中的所有运动量在时间上积分后的结果，即作为整体的瞬时动能与势能之和。

物理系统从一个状态到另一个状态的路径，就是使得其作用量最小的路径。

而这一路径就被称为系统的正解。

二、哈密顿原理的意义和应用哈密顿原理提供了一种优雅且彻底的求解物理问题的方法。

通过将物理系统的演化从初始状态到终态视为从一个定点到另一个定点的稳定性问题，可以轻松得到此类问题的数学表达式。

同时，哈密顿原理也可以用于描述量子系统和场论的稳定性问题，因此其适用范围非常广泛。

另外，哈密顿原理也有着广泛的实用价值。

利用哈密顿原理可以推导出物理系统的运动方程，揭示出物理系统运动的本质规律，对于科学家们的研究工作具有极为重要的帮助。

此外，哈密顿原理也被广泛应用于电磁场、相对论、统计力学等多个领域，成为了这些领域中不可或缺的工具。

三、哈密顿原理与其他热力学原理的联系哈密顿原理与热力学中的另外两个基本原理——熵增原理和能量守恒原理有着密切的联系。

从熵增角度来看，哈密顿原理可以看作是熵增原理的推广，熵增原理是指任何一个物理系统在宏观上总是趋向于熵增大的方向演化；而哈密顿原理则可以更加细致地说明物理系统整体的演化方向，并与熵增原理形成相互印证的关系。

形象地说，熵增原理描述了自然界的宏观趋势，而哈密顿原理则揭示了物理系统的微观运动本质。

与能量守恒原理相比，哈密顿原理则是更进一步地明确了能量守恒关系。

应该指出的是，在哈密顿原理的框架下，能量守恒原理可以被视为系统的“可观测性”问题——也就是一个系统的可测量状态始终是相似的，换句话说，一个物理系统不会在不改变自身的能量条件下发生任何改变。

哈密顿原理的推导首先，回顾一下在一定时间间隔内，质点的作用量的定义。

作用量是一个函数，记作S，表示在质点从t1时刻到t2时刻的路径上，系统所做的所有虚功的总和。

虚功可以理解为系统中所有力对质点所做的功的总和。

在一定时间间隔内，虚功可以用力对时间的乘积来表示，即F·dx，其中F是力，dx是位移。

接下来，定义路径上的广义坐标为q(t)和广义速度为dq(t)/dt。

广义坐标q(t)是质点的位置和速度的参数化描述，它是时间的函数。

根据广义坐标的定义，质点的位移可以表示为dq(t) = q'(t)dt，其中q'(t)是广义速度dq(t)/dt。

根据广义坐标和广义速度的定义，质点的虚位移可以表示为dq(t) = εq'(t)dt，其中ε是任意小量。

现在考虑一个包含质点的系统，假设在t1时刻和t2时刻之间有一个固定的路径q(t)，同时也存在其他无限接近路径q(t)+εq'(t)。

根据前面的定义，这两条路径分别对应了质点的虚位移dq(t)和dq(t)+εq'(t)。

根据作用量的定义，这两条路径上的虚功分别可以表示为F·dq(t)和F·(dq(t)+εq'(t))。

接下来，我们需要对作用量进行泰勒展开。

根据泰勒展开的近似，一个函数在其中一点附近可以近似为该点的函数值加上导数与自变量的线性关系。

对于作用量来说，根据前面的推导，我们可以将两个虚功项展开为：F·dq(t) = F·(q'(t)dt) = F·(q'(t) + εq''(t)dt) ≈F(q'(t))dt + εF'(q'(t))q''(t)dtF·(dq(t) + εq'(t)) = F·(q'(t)dt + εq'(t)dt) = F·(q'(t)+ εq'(t))dt = F(q'(t))dt + εF'(q'(t))q'(t)dt其中，F(q'(t))表示力在广义速度q'(t)处的函数值，F'(q'(t))表示力在广义速度q'(t)处的导数。

物理学中的哈密顿原理及其应用哈密顿原理是一个重要的物理学原理，它是研究力学和量子力学等理论的基础。

对于一个系统的运动，哈密顿原理提供了一种数学描述的方式，能够给出最小作用量原理，可以通过这个原理得到物理学的解。

在这篇文章中，我们将讨论哈密顿原理的定义、应用以及它如何影响现代物理学。

1、哈密顿原理的定义哈密顿原理的定义是：对于一个系统，在一个确定的时间段内，系统的运动路径是使作用量函数最小的。

在系统运动的过程中，作用量表示为：S = ∫L dt，其中L是系统的拉格朗日函数，dt是时间差。

根据这个定义，哈密顿原理的表述是：对于在一个确定的时间段内运动的一个系统，当其在任何可行运动路径下的动作最小化时，它的实际路径将是真实路径。

2、哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学中的应用领域广泛，例如力学和量子力学等领域。

在力学领域，哈密顿原理可以用来导出量子场论和相对论理论的基础方程。

在量子力学中，哈密顿原理被用来描述粒子运动的描述方法，即“量子哈密顿力学”或“路径积分理论”。

在天体物理中，哈密顿原理也被用来描述星系、银河系、黑洞等天体的运动及其演化过程。

此外，哈密顿原理还被应用于航空、航天工程、自然科学、工程学和材料科学等领域。

3、哈密顿原理的影响哈密顿原理的提出对现代物理学产生了深刻的影响，它预示了一种新的力学理论，即哈密顿力学。

在哈密顿力学中，拉格朗日函数中的变量都可以通过一组可以互相转换的变量来替换，这里的变量包括位置、动量、时间和势能等。

这种方法在物理学研究中已经得到了广泛应用，包括分析旋转、振动和波动等行为。

此外，哈密顿原理还促进了物理学研究的发展，使科学家们更好地理解了物质和能量的性质，包括它们的高度复杂的性质。

这种方法不仅联结了现代理论物理，而且是微积分和变分原理的基础，从而成为许多物理问题的通用解法。

此外，哈密顿原理还为物理学家提供了在研究新现象和探索新原理的道路，有助于进一步扩展人类关于自然的认识面和技术实践。

哈密顿定理引言哈密顿定理，又称哈密顿-雅可比定理，是经典力学中的一条重要定理，由威廉·哈密顿于1835年提出。

它是质点力学中的一个基本定理，可以用来描述质点在势力场中的运动。

哈密顿定理在经典力学、量子力学、统计力学等领域都有广泛的应用。

定理表述哈密顿定理的表述如下：对于一个系统，其哈密顿函数H、广义坐标q和广义动量p之间满足以下关系：∂H/∂p = dq/dt∂H/∂q = -dp/dt其中，H是系统的哈密顿函数，q是广义坐标，p是广义动量，t是时间。

定理解释哈密顿定理可以理解为能量守恒的表述。

在一个力学系统中，系统的哈密顿函数代表系统的总能量。

根据哈密顿定理的第一部分，系统的总能量随时间的变化率与广义动量的变化率相等。

这意味着在系统中，能量的改变取决于动量的改变。

同样地，根据哈密顿定理的第二部分，系统的总能量的变化率与广义坐标的变化率的相反数相等。

这意味着在系统中，能量的改变取决于坐标的改变的相反方向。

这样，哈密顿定理给出了系统能量的变化与坐标和动量的关系，进一步揭示了力学系统内部的运动规律。

哈密顿定理的应用1. 力学系统的轨迹预测哈密顿定理可以用来预测力学系统的轨迹。

通过已知的系统的哈密顿函数、广义坐标和广义动量的初值，可以通过哈密顿定理计算出系统在不同时间点上的坐标和动量的数值。

这样，我们就可以通过数值计算的方式得到系统在未来的运动轨迹，从而对系统的行为进行预测。

这在航天器轨道计算、天体运动预测等领域有广泛的应用。

2. 力学系统的稳定性分析哈密顿定理还可以用来分析力学系统的稳定性。

通过对系统的哈密顿函数进行分析，可以得到系统在不同状态下的能量。

通过计算能量的变化率，可以了解系统在不同状态下的稳定性。

如果能量变化率始终小于零，系统就是稳定的。

而如果能量变化率大于零，系统就是不稳定的。

这种稳定性分析可以帮助我们理解力学系统的运动特性，进一步用来设计控制系统、优化工程结构等。

3. 非保守系统的分析哈密顿定理也可以用来分析非保守系统。

§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数； 而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、 真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解 在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。

第四章哈密顿原理
4.1 泛函与变分、欧拉方程
4.2 哈密顿原理
4.3 由哈密顿原理推导动力学方程
概述
1. 哈密顿原理是变分原理的一种，是分析力学的基本原理，可以作为整个理论的基础。

2. 变分原理提供了将真实运动与在相同条件下的可能运动相区分的准则。

所谓的相同条件由不同的原理所规定。

3. 更加适于发展近似方法。

复合函数：设函数x(t) 是自变量t 的函数，而函数f(x) 是x 的函数，则f[x(t)] 是复合函数。

泛函：如果函数x(t) 的形式可在一定范围内变化，称为自变函数，而F(x) 定义在自变函数x 上，其值随自变函数的形式不同而变化，则称F(x) 为定义在函数集{x} 上的泛函。

自变函数x 的容许集称为泛函F 的定义域。

区别：泛函F 的值依赖于函数x 的形式，而函数f 的取值依赖于自变量t 的值。

上述哈密顿原理具有一个强的约束条件，即系统在有限动力学过程的始末位形给定。

实际的系统运动是一个渐进的动力学过程，其末了的位形是难以事先确定的。

需要放松上述哈密顿原理对于系统始末位形给定的限制，得到哈密顿原理更一般的形式。

哈密顿方程的推导
哈密顿方程是描述质点系在保守力场中运动的方程，由哈密顿原理推导而来。

下面是哈密顿方程的推导过程：
1. 定义拉格朗日函数：首先，我们定义质点系的拉格朗日函数L，该函数是广义坐标q_i和广义速度v_i的函数，即L =
L(q_i, v_i)。

拉格朗日函数可以通过质点系的动能T和势能V
来定义，即L = T - V。

2. 构建作用量：我们引入作用量S，该作用量定义为在一段时
间t_1到t_2内，拉格朗日函数L在质点的运动路径上的积分，即S = ∫(L dt)。

3. 应用哈密顿原理：根据哈密顿原理，质点实际运动的路径是使作用量S达到极小值的路径，即对任意的变分路径δq_i(t)，作用量的变分δS=0。

4. 构建哈密顿函数：为了推导哈密顿方程，我们首先引入广义动量p_i，定义为p_i = ∂L/∂v_i。

接下来，我们定义哈密顿函
数H为哈密顿函数H = Σ(p_i v_i) - L。

哈密顿函数是广义坐标
q_i和广义动量p_i的函数。

5. 变分行为：对于任意的广义坐标q_k，广义速度v_k和广义
动量p_k，我们可以证明在哈密顿函数H为最小值时满足以下方程：
dH/dp_k = v_k (1)
dH/dq_k = - p_k (2)
这两个方程就是哈密顿方程。

通过上述过程，我们从拉格朗日形式的描述推导出了哈密顿形式的描述，即哈密顿方程。

在哈密顿方程中，广义坐标和广义动量的变化率分别由哈密顿函数对广义动量和广义坐标的偏导数来描述，从而实现了对质点系的运动状态的描述。

简单的论述哈密顿原理简单的论述哈密顿原理摘要：证明⼒积分变量与变分⽆关的情况下积分运算与变分运算次序的可交换性，从不同⾓度论述了哈密顿原理的含义。

关键词：哈密顿原理，拉格朗⽇函数，变分，拉格朗⽇⽅程1.引⾔哈密顿原理是分析⼒学中⼏个重要原理之⼀，但它不是⼀个独⽴原理，它可已从其他原理推导出来，因⽽可以从不同⾓度说明它的物理含义。

⼀般理论⼒学教材都是在拉格朗⽇⽅程两边同时乘以虚位移求所有⾃由度下的虚功之和，然后再求从位形1即(到位形2，即(之间或时间⾄之间的作⽤量得出，最后变换成，并没有说明最后⼀步为什么要那样做，也没有说明那样做的意义。

本⽂先证明当积分变量与变分⽆关的条件下积分运算与变分运算次序的可交换性，然后再从不同⾓度论述哈密顿原理的意义。

2.理论2.1变分运算与积分运算次序的可交换性假定变量由⼀个或⼀组函数的选取⽽确定，则变量称为函数的泛函，记作［］。

泛函由n个函数的形式确定，是函数的“函数”。

泛函与函数的概念略有不同，函数中的变量是可以变化的数值，⽽对于泛函处于⾃变量地位的是形式可以变化的函数。

下⾯举例说明，如图1中有，两个固定点，连接两个固定点之间的曲线的长度由下式确定，即显然，依赖于函数的选取，若函数的形式发⽣变化，则曲线的形状随之变化，曲线的长度也随之变化。

长度就是的泛函。

下⾯证明变分运算与积分运算顺序的可交换性，该泛函只依赖⼀个函数，即⾃变量为的函数表⽰为。

函数的变分是函数的微变量，它与函数的微分有本质有本质的不同，函数的微分，粗略的讲，它是由⾃变量的变化引起的。

⽽函数的变分不是因为⾃变量的变化，它是来⾃函数形式的变化引起，这种由于函数形式变化造成的函数的变化称为函数的变分，记作。

与函数临近但形式与不同的函数有许多。

假设这些函数可以表⽰为如下的形式：其中是⾮常⼩的参数，是任意给定的可微函数，因时，函数形式的变化决定于上式的第⼆项。

因此函数的变分写成引⼊（2）式的记法（1）可记为被积函数的形式是已知的，积分的上下限是固定的。

哈密顿变分原理
哈密顿原理，是英国数学家W．B．哈密顿1834年发表的动力学中一条适用于完整系统十分重要的变分原理。

它可表述为：在N+1维空间(q1，q2，…，qN；t)中，任两点之间连线上动势L(q，t)(见拉格朗日方程)的时间积分以真实运动路线上的值为驻值。

变分法的发明使分析力学的建立和扩展有了简便的数学工具。

变分法发端于雅各布·伯努利和约翰·伯努利兄弟俩以及约翰的学生欧拉的卓越工作，并由拉格朗日用于构建其分析力学。

变分原理使分析力学的微分形式和积分形式相互等价、易于转换。

作用量之变分为零(意指作用量取极值)，即可由以简捷地导出拉格朗日方程和哈密顿正则方程等。

所谓哈密顿作用量，就是拉氏量对时间的积分；对应于实际发生的运动，其变分为零，即作用量取作极值。

这就是哈密顿原理。

因此，该原理实际是作用量的变分原理，这作用量由拉氏量确定。

变分法是普通适用的数学原理；在物理学各领域，拉氏量和哈氏量又
是涵盖面极广的物理量。

故而，哈密顿原理是物理学中最基本的原理，或可称作第一性原理。

这是经典力学后牛顿发展的主要标志，也是物理学近、现代发展的一块重要里程碑。

当然，此原理还是以牛顿力学为其理论基础的。

哈密顿原理设n 个质点所形成的力学体系受有k 个几何约束，则这力学体系的自由度是k n s -=3。

因此，我们如果能够做到把s 个广义坐标αq ),,2,1(s =α作为时间t 的函数加以确定，我们也就确定了这力学体系的运动。

因运动方程是s 个二阶微分方程，故有s 2个积分常数，兹以s c c c 221,,, 表之。

另一方面，我们也可以认为s 个确定的αq 代表着s 维空间的一个点，而描写力学体系运动状态的积分),,,,(221s c c c t q q αα= ),,2,1(s =α （5.7.7）由于时间t 的推移则在s 维空间中描出一条曲线。

为了寻求力学体系的运动规律，哈密顿提出可以从具有相同端点，并为约束所许可的许多条可能的运动轨道即s 维空间曲线中，挑出一条真实轨道。

为此，可以采用变分法的方法来挑选这一条真实轨道。

既然可以从许多约束所许可的轨道中，选出真实轨道，当然也就确定了力学体系沿这条真实轨道运动时的运动规律。

我们现在用拉格朗日方程来推导在保守力系作用下的哈密顿原理。

至于任意力系作用下的哈密顿原理，由于用得不是太多，我们就从略了。

把拉格朗日方程（5.3.18）中的各项乘以αδq ，对α求和，然后沿着一条可能的运动轨道即s 维空间一条曲线自两曲线共同端点)(11t t P =至)(22t t P =对t 积分，则得0211=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰∑=dt q q L q L dt d t t s ααααδ （5.7.8）但)(ααααααδδδq dt d q L q q L dt d q q L dt d ∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ααααδδq q L q q L dt d ∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= (5.7.9) 因哈密顿用的是等时变分，故这里也用了变分对易关系式)(ααδδq dt d dt dq =⎪⎭⎫ ⎝⎛，把式（5.7.9）代入式（5.7.8），得⎰∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂2111210t t s s dt q q L q q L t t q q L ααααααααδδδ (5.7.10)因);,,,;,,,(2121t q q q q q q L L s s =，而1|t t q =αδ=2|t t q =αδ=0,故式（5.7.10）简化为 ⎰=210t t Ldt δ (5.7.11)又因0=t δ，故式（5.7.11）中积分号内的δ可移至积分号外，即（5.7.12）这就是在保守力系作用下的哈密顿原理的数学表达式。

第八章 哈密顿原理（Hamilton’s Principle ）一、泛函和变分的概念1．最速落径问题 如图1，A 、B 是同一铅垂面上的两点，A 高于B ，不考虑阻力，试确定连接A 、B 的一条曲线，使初速为零的质点m 从A 至B 自由下滑所需时间最短。

设路径曲线为 y = y (x )，并设22)()(dy dx ds +=为曲线微段的弧长，则 dx dty dt dy dx dtds v 222)(1)()('+=+==另一方面，由动能定理可得gy v 2=，所以dx gyy dx v y dt 2)(1)(122'+='+=上式积分，得时间T 为⎰'+=adx gyy x y T 022)(1)]([ （1）选取不同的y (x )必有不同的T 值，T 随函数y (x )的变化而变化。

这些可变化的函数称为自变函数，而随自变函数而变的量称为该自变函数的泛函。

最速落径问题可归结为如下数学命题：在0 [ x [ a 的区间内找一个函数y (x )，它满足边界条件⎩⎨⎧====b y a x y x 时，当时，当00 并使（1）式所给泛函T [y (x )]取极小值。

变分法就是研究在各种不同的边界和约束下，各种泛函取极值的必要充分条件。

2．自变函数的变分如图2，将自变函数曲线 y = y (x ) 作微小变更，得到另一曲线y * = y * (x )，而 y * = y * (x ) = y (x ) + δ y (x )其中δ y 称为自变函数的变分。

下面推导d 、δ 交换法则。

由图2，有dyy y dy y y yy y yy '+=+=+==321δ 若从点3向上算，有)()(334dy y dy y dy y dy y y y y δδδδ+++=+++=+= 若从点2向上算，有)()(224y d dy y y y y d y y dy y y δδδδ+++=+++=+= 比较以上两式，得)()(dy y d δδ= （2）因此，自变函数变分、微分的运算顺序可交换。