第3章变分法与哈密顿原理

拉格朗日量、哈密顿量及变分原理牛顿力学大家非常熟悉，但是我们仔细思考会发现，牛顿的理论并没有对这个世界的本质进行建模分析，它的三定律只能算是表象级的描述，现在我们来学习一种新的模型，这种模型本质上与牛顿力学相等价，但是在形式上有所不同，并且便于推广到物理学的其他各门分支，我们称之为拉格朗日力学。

拉格朗日力学认为，一切经典力学的规律可以通过称之为最小作用量原理的一种方式导出，对每一个物理体系，我们有一个称之为作用量的物理参量，我们选取时间作为参数，则另有一个称为朗格朗日量的参量，假定我们已经知道了一个物理系统必定会随时间经历两个确定的物理状态，那么以这两个状态为起始与终末对拉格朗日量进行积分将会得到对应的作用量，而真实的物理过程对应的数学方程将会是作用量取极值时拉格朗日量中各参的关系。

需要说明的是，作用量实质上是拉格朗日量的泛函，而他取极值的方式是通过变分原理。

首先我们给出变分原理的作用形式，我们用A和B来表征一个物理系统的起始与终末状态。

欧拉-拉格朗日方程就是最小作用量原理工作的形式，接下来我们直接给出一些经典体系的拉格朗日量，并且通过变分原理验证拉格朗日力学确实与牛顿力学等价。

自由质点：由这几个例子可以知道，拉格朗日力学确实与牛顿力学等价，但是他们的作用形式非常的不同。

接下来我们介绍另一个等价描述方式，称之为哈密顿力学，哈密顿力学描述物理系统的方式是通过哈密顿方程组。

现在我们由拉格朗日量导出哈密顿量：由定义可知，哈密顿量表征的物理意义是能量，最后一个由微分方程导出的方程组就是哈密顿方程组。

从导出的过程来看我们已经知道了，哈密顿力学与拉格朗日力学相等价。

从作用形式来看，拉格朗日力学的欧拉-拉格朗日是二阶方程组，因为其中可能含有q的二阶导数，而哈密顿力学的哈密顿方程组是一阶方程组，但是自变量变成了原来的两倍（动量p也成了变量）。

哈密顿原理虽然是由经典力学发现出来的，但是它的应用范围却极大的扩展到其他的领域，后续将进行进一步的介绍。

§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数； 而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、 真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解 在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。

函数的变分法与变分原理1. 函数的变分法函数的变分法是研究函数在微小变化时的变化率的方法。

它在数学分析、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

函数的变分法的基本思想是，对于一个给定的函数y=f(x)，如果我们对自变量x 进行一个微小的变化δx，那么函数值y也将发生一个微小的变化δy。

这个微小的变化δy可以表示为：δy=f(x+δx)−f(x)函数的变分δy与自变量的变分δx的比值称为函数的变分导数，记为y′：y′=δy δx函数的变分导数表示函数在自变量发生微小变化时，函数值的变化率。

2. 变分原理变分原理是函数的变分法的一种特殊形式，它适用于某些特殊的函数，例如，泛函。

泛函是一个将函数映射到实数的函数。

泛函通常用J[y]表示，其中y是函数的自变量。

变分原理的基本思想是，对于一个给定的泛函J[y]，如果我们对函数y进行一个微小的变化δy，那么泛函的值J[y]也将发生一个微小的变化δJ。

这个微小的变化δJ可以表示为：δJ=J[y+δy]−J[y]如果对于任何微小的变化δy，泛函的值δJ都为零，那么泛函J[y]就称为是极值的。

3. 变分法的应用变分法在数学分析、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

3.1 数学分析在数学分析中，变分法可以用来求解微分方程、积分方程和泛函方程等。

例如，欧拉-拉格朗日方程就是变分法的基本方程之一，它可以用来求解微分方程和泛函方程。

3.2 物理学在物理学中，变分法可以用来求解经典力学、电磁学和量子力学等领域中的方程。

例如，哈密顿原理就是变分原理在经典力学中的一个应用，它可以用来求解牛顿第二定律。

3.3 工程学在工程学中，变分法可以用来求解结构力学、流体力学和热力学等领域中的方程。

例如，最小作用量原理就是变分原理在结构力学中的一个应用，它可以用来求解梁和柱的变形问题。

4. 总结函数的变分法与变分原理是数学分析、物理学和工程学等领域的重要工具。

它们可以用来求解微分方程、积分方程和泛函方程等，并可以应用于经典力学、电磁学、量子力学和结构力学等领域。

变分原理表达式以及每一项意义结构化学摘要：1.变分原理简介2.变分原理表达式3.各项意义结构化学解释4.变分原理在实际应用中的优势5.总结正文：【1】变分原理简介变分原理，作为量子力学、量子场论以及量子引力等领域的基础理论，是一种描述物理系统演化的数学方法。

它通过寻找一个函数，使该函数关于物理量的期望值达到极小，从而得到系统在给定条件下的最优性质。

【2】变分原理表达式变分原理的表达式一般形式为：δS = 0其中，S 是作用量，δ 表示微小变化，这个方程表明在物理量发生微小变化时，作用量的变化率为零。

【3】各项意义结构化学解释1.波函数：描述量子系统状态的复数值函数，用符号Ψ表示。

在变分原理中，波函数的模方表示系统在给定状态下的概率。

2.哈密顿算符：描述量子系统演化的算符，包含系统能量、动量等物理量。

在变分原理中，我们要找到一个合适的哈密顿算符，使得对应的波函数满足薛定谔方程。

3.拉格朗日算符：描述力学系统演化的算符，包含系统广义坐标和速度。

在变分原理中，拉格朗日算符与哈密顿算符相结合，用于求解系统的运动方程。

【4】变分原理在实际应用中的优势1.普适性：变分原理适用于各种量子力学体系，包括粒子物理、凝聚态物理、光学等领域。

2.准确性：通过寻找使作用量极小的波函数，变分原理可以得到精确的物理结果。

3.灵活性：变分原理可以与其他数学方法相结合，如微扰论、路径积分等，从而拓展其在理论物理中的应用。

【5】总结变分原理作为量子力学的基础理论，在描述物理系统演化的过程中具有重要作用。

通过掌握变分原理的表达式和各项意义结构化学，我们可以更好地理解量子系统的性质，并为实际应用提供理论依据。

变分原理及其应用在物理学和工程学中，变分原理被广泛应用于探究自然界和工程问题中涉及的基本定律和最优解。

变分法是一种将问题转化为“寻找使某个变量极小或极大”的数学方法，通过求解变分以获得问题的解决方案。

变分原理基础变分原理最早由伯努利家族的哥哥丹尼尔·伯努利在18世纪提出，也是最早应用变分法的学者之一。

变分原理的基本思想是将一个问题的求解转化为求解特定的函数。

例如，对于固体力学问题，我们希望求解固体的应力分布，也就是求解固体中任意两点间的内应力。

这种情况下，通过变分法，我们可以将问题简化为求解某个应变能的变分，从而推导出最小能量原理。

变分的意义在于确定使所求函数取得最值的“变量”，通过对变量的操作来得到一组动态的函数。

变分也可以被看作一种一阶微分运算。

具有不同但至关重要的现实意义的两个经典例子是勒让德原理和哈密顿-雅可比原理。

勒让德原理勒让德原理是力学的一个基本原理。

勒让德原理的本质是最小化能量的原理（最小作用量原理），它体现了自然界中存在的最小基本作用量。

对于力学问题，勒让德原理是在保证物理系统动力学表现为微扰线性的情况下，以引入变分运算来表述一个完整的力学原理。

在使用勒让德原理进行力学系统建模时，我们需要：首先确定系统的能量，系统数学表示为拉格朗日量；其次，使用变分法求解系统拉格朗日量的变分，从而确定系统遵循的运动方程；最后，利用运动方程分析系统的行为。

哈密顿-雅可比原理哈密顿-雅可比原理是关于机械运动理论的一个基本原理。

该原理强调机械作用与物质粒子的动力学特性和几何特性之间的紧密联系。

在哈密顿-雅可比原理之中，能量被视为基本概念，被公认为是一个机械运动的根本特性，机械运动使能量的变化具有一个特定的意义，这一变化往往是非线性的。

应用实例通过变分原理的应用，人们已经在许多物理学和工程学的领域中发现了许多有趣的现象。

以下是一些具体细节：建筑工程建筑工程中可以使用变分方法来寻求最小表面积问题的解决方案。

第七章力学中的变分方法本章主要内容§1、Hamilton原理§2、正则变换§3、Hamilton-Jacobi方程§4、从质点组到连续体系§1、Hamilton原理1、变分法2、Hamilton原理的表述3、修正的Hamilton原理真实运动使作用量S 取稳定值。

引入Hamilton 作用量(A ction, I ntegral)：这里的q a 对应前面的x a ，L 对应前面的f 。

21[()](,,),(:1,2,,)t t S q t L q q t dt q s a a = 2、Hamilton 原理的表述Hamilton 原理：对理想、完整、广义有势体系，从t 1 ，q 1 (t 1)，… ,q s (t 1)到t 2 ，q 1(t 2)，…,q s (t 2)此外，还可以进一步推广到不可数的连续标号情形，用来研究电磁场、引力场、量子力学、量子场等等。

（2）理想、完整等条件的普遍应用。

因为最基本的相互作用体系都相当于Nowton力学中的理想、完整体系。

此外，Hamilton原理也可以推广到非理想、非完整体系。

Hamilton原理可以直接推广到无限多个自由度的体系，象经典场和量子场等，也可以看作Feynman路径积分的经典极限。

由此，我们把Hamilton原理作为第一原理，把拉氏方程当作Hamilton原理推论。

并不影响Hamilton原理（4）虽然Landau等人最小作用量原理，但在原理中，只要求真实运动的作用量是稳定值，不一定是最小值。

具体计算表明，通常的非相对论力学问题的真实运动是极小，相对论自由质点运动的作用量的绝对值是极大。

（3）从Hamilton原理理解L 可以任意添加和去掉的附加项：(,'(,,),,)/,()L q q du q t d t t L q q t = 2211(),()'[{}{},[()]],()S q t u q t t S q t t u q t = ∴因此'[()][()]0q S S q t t ==∴由L ’和L 写出的拉氏方程必定同时成立。

第3章变分法与H AMILTON原理一、泛函与变分1.泛函普通函数是从数到数的映射()泛函是普通函数概念的推广，自变量可以为任意集合，集合数学物理中常见的泛函自变量常取为函数，[]。

例()是函数；[]()是泛函，并且有[][][]例[]∫ ( ) ，则()[]()[]例[]∫{()}泛函可类比于多变量函数，(){}[] { ()| 的定义域}这里的()相当于前面多变量函数的自变量，；泛函[]是以不可数无穷多个变量()()作为自变量的函数。

例复合函数可以看成是一族泛函，()[] ( ̇()) ( ())，其中是参数。

2.泛函的连续性对于泛函[]，给定函数()，如果能够满足1 / 34，当|()()||()()|| ( )()( )()|时，有|[][]|则称泛函[]在处阶接近的连续。

3.变分泛函可类比于多变量函数，多变量函数()，自变量的微分为；泛函 [ ]的自变量为{ ()| 定义域}，自变量的变分()() ( )，即函数的无穷小改变。

小参量法的定义为()()，其中为任意无穷小量，()为任意连续有界函数。

类似于数学分析中的-语言，这是严格的数学定义。

下面的叙述我们不追求数学上的严格性。

函数的微分()()()泛函的变分[][][]例[]()[]()()()()例位移⃗[]⃗(()())，虚位移⃗⃗(()())⃗(())⃗()。

例[]∫()()，（变分与积分可交换在后面证明）[][][]∫()()()()∫()()∫{()()()()}4.L AGRANGE变分基本引理2 / 34设()在区间[]上连续，()及其2阶导数在[]上连续，且在端点处() ()。

如果任意这样的函数()均满足∫()()，则必有[]()。

用反证法很容易证明：反设()()，不妨设()。

由于()连续，存在点的邻域[][]，在[]上()。

现在构造()为(){[] ( ())( ())[]则∫()()∫()()∫()与∫()()矛盾，所以()()。