三种复化求积分算法的精度分析

武汉工程大学计算机科学与工程学院计算方法》实验报告日期：年月日实验内容设计分析复化数值积分:将区间[a,b]n 等分，取等距节点x i a ih,iba0,1,2,..., n, hn 由定积分的区间可加性，有nf x dxxix i 1f x dx在每个小区间上利用梯形积分公式有x ii f x dx x i 1 h f x i 1 f x i 2i 1 ih n1T n f a f b 2 f x i一般记 2 i1 称做n+1 点复化梯形积分公式。

数学公式：b h n1f xdx f a f b 2 f x ia 2 i1算法描述：i1Step1:输入a,b 和正整数n；Step2:置h=(b-a)/n;Step3:F=f(a)+f(b);l=0;Step4:对j=1,2,⋯,n 循环执行5；Step5:置x=a+jh; l+=f(x);Step6:置T=h(F+2l)/2 Step7:输出T;程序源代码:#include<iostream>#include<math.h>using namespacestd;<<endl; cout<<" 请输入把 0 到 1 的范围几等分？int m1; cin>>m1;EchelonIntegral(m1); cout<<endl; char answer1;cout<<" 是否要继续求该算法？ (y/n)"<<"\t"; cin>>answer1;while(answer1=='y'){cout<<"请输入把 0到 1的范围几等分？ "<<"\t"; cin>>m1;EchelonIntegral(m1); //3. 直线求积分； cout<<endl;cout<<" 是否要继续求该算法？ (y/n)"<<"\t"; cin>>answer1; }cout<<endl;}cout<<"用梯形积分公式求积分1/(1+pow(sin(x),2))的值测试用例实验总结复化数值积分就是为了减少数值积分的误差，可以把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上采取低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似，类似于分段差值。

课程设计报告课程名称数值逼近专业信息与计算科学班级姓名学号指导教师日期2011-06-27理学院应用数学系一、目的意义 (1) 进一步熟悉掌握复化梯形公式及其算法；(2) 进一步熟悉掌握复化Simpsom 公式及其算法；(3) 了解比较复化梯形公式和复化Simpsom 公式的代数精度。

二、内容要求积分计算问题：分别用复化梯形和复化Simpsom 求积公式计算积分dx e x x x 5.1402)(13-⎰-，并比较计算量（精度为10-8）。

三、问题解决的方法与算法方法：复化梯形和复化Simpsom 积分公式算法：输入：端点a 、b 以及要计算的积分公式f(x)；输出：积分f(x)在指定区间上的近似值Step1:编写复化梯形和复化Simpson 积分公式Step2：输入所需的断点个数nSetp3：分别调用复化梯形和复化Simpson 积分公式数值积分及其应用 报告1Setp4：比较代数精度使其达到10-8Setp5：输出复化梯形和复化Simpson积分公式对应的值四、计算程序复化梯形积分公式：#include"stdio.h"#include"math.h"void main()#define n 4{float a,b,d,y;float h[n-2],k[n-2],s[n-1];a=0.0;b=4.0;printf("输出相邻节点间距:\n");d=(b-a)/n;printf("%f\n",d);printf("输出节点函数值:\n");for(int i=0;i<n+1;i++){h[i]=a+i*d;k[i]=13*(h[i]-h[i]*h[i])*exp(-1.5*h[i]);printf("k[%d]=%f\n",i,k[i]);}s[0]=k[0]+k[n];for(i=1;i<n;i++){s[i]=s[i-1]+2*k[i];}y=0.5*d*s[n-1];printf("输出积分值:\n");printf("%f\n",y);}复化抛物线积分公式：#include"stdio.h"#include"math.h"#define n 4void main(){float a,b,h;double x[100],k[100],y[100],g[100],z[100];printf("输入积分上下限:\n");scanf("%f %f",&a,&b);printf("输出积分步长:\n");h=(b-a)/4;printf("%f\n",h);for(int i=1;i<n;i++){x[i]=a+h*i;k[i]=x[i]-0.5*h;}k[n]=b-0.5*h;x[0]=a;x[n]=b;for(i=0;i<n+1;i++){y[i]=13*(x[i]-x[i]*x[i])*exp(-1.5*x[i]);} for(i=1;i<n+1;i++){g[i]=13*(k[i]-k[i]*k[i])*exp(-1.5*k[i]);} z[0]=y[0]+y[n];z[1]=0.0;z[2]=0.0;for(i=1;i<n;i++){z[1]=z[1]+y[i];}for(i=1;i<n+1;i++){z[2]=z[2]+g[i];}z[3]=h*(z[0]+2*z[1]+4*z[2])/6;printf("%f\n",z[3]);}五、计算结果与分析：复化梯形积分公式：复化抛物线积分公式：输出相邻节点间距:1.000000输出节点函数值:k[0]=0.000000k[1]=0.000000k[2]=-1.294464k[3]=-0.866502k[4]=-0.000026输出积分值:-6.482936Press any key to continue输入积分上下限:0 4输出积分步长:1.000000-1.608667Press any key to continue结果分析：通过该算法可以看出复化体形积分和simpson积分比梯形积分和抛物线积分具有更好的精度。

复化辛普生公式求定积分算法解析作者：苏正君来源：《科教导刊·电子版》2013年第27期摘要本文分析了复化辛普生法的公式，通过两个计算实例阐述了复化辛普生公式计算定积分的方法，并且给出了算法框图。

关键词复化辛普生公式定积分逐次分半中图分类号：O175 文献标识码：A0引言在工程测绘中，常常要求定积分，有微积分基本定理，只需要找到被积函数的原函数F （x），由牛顿-莱伯尼兹公式便可求出定积分。

但是在许多实际问题中，由于测绘工程的复杂性，求原函数F（x）往往不是一件容易的事，甚至无法用初等函数来表示，有些数值是通过测量或数值计算得到的一张数据表，无法用牛顿-莱伯尼兹公式计算，很多定积分只能计算其近似值，因此数值积分是一项非常有必要研究的问题。

1算法理论牛顿-柯特斯公式是插值型求积公式，而多节点的高次插值有很大的误差，即有龙格现象，因而高阶牛顿-柯特斯公式误差会很大。

其次当n≥8时，柯特斯系数会有正有负，从而也不能保证求积公式的稳定性。

此外，当区间[a，b]较大时，由误差表达式可以看出精确度较差。

一种实用的做法是将积分区间[a，b]等分成n个小区间，对每个小区间采用低阶的牛顿-柯特斯公式，再将结果加起来作为积分的近似值，这就是复化牛顿-柯特斯公式。

该法包括辛普生法和复化辛普森法，而复化辛普生法则是迭代相加的方法。

1.1复化梯形公式将[a，b]区间n等分，子区间长度h=，于是有复化梯形公式其余项公式为，这是因为如果f''（x）在区间[a，b]上连续，由介值定理存在€%`∈[a，b]，使得。

1.2复化辛普生公式复化辛普生公式是在复化梯形公式的基础上演变而来的，设子区间[xk，xk+1]的中点为x，复化辛普生公式为：类似于复化梯形公式余项的推导，可得其余项公式为：2算法框图复化辛普生公式的算法如下：（1）输入区间端点a，b及等分数n/2（n为偶数），半步长h=（b-a）/n，（2）置fi=f（a+ih）（i=1，2，…，n）（3）置P=f1，Q=0.，（4）对j=2，3，…，n-2，置P+fi+1€H！Q.（5）输出S=。

（一） 实验目的熟悉并掌握数值积分的方法，重要训练复化梯形公式，复化simps on 公式以及 romberg 积分。

问题三数值积分椭圆周长的计算。

考虑椭圆其周长,只要计算其第一象限的长度即可.用参数方程可以表示为X acost (0 t /2), y bs int计算公式为.a 2 sin 21 b 2 cos 2 tdt0 为计算方便，我们可以令a 1,即计算下面的积分0 Ja 2sin 2t~ t a 0 <si n 2t (b )2cos 2 tdt 可以归结为上面的形式）采用复化梯形公式，复化Simpson 公式以及Romberg 积分的方法 计算积分I （b ）「J 1 （b 2 1）cos 2tdt给出通用程序，该通用程序可以计算任何一个函数在任意一个区 间在给定的精度下的数值积分。

程序输出为计算出的数值积分值以及 计算函数值的次数。

（三）算法介绍首先利用给出的各迭代公式，设计程序。

在matlab 对话框中输入要计算的函数，给出区间和精度。

问题描述b 2 1,为计算 sin 21 2 2 b cos tdt复化梯形的迭代公式为：J b f (x) dx 二h/2 f(已)+ 2X°二+ f (b)；章L. J * ' 』，复化simps on迭代公式为：J；f (x)dx 二h/3p(a) + 辽負1(x2j) + 4斗g〔fgj - i) + f (b)Romberg迭代公式为：削」- 1 h - 1. j - 1n _ n（四）程序对于复化梯形公式和复化simpson公式，我们放在中(転记后的程序可用来把b看为变量时的算法实现) %复化梯形公式function y=jifenn(f,n,a,b) (说明：f表示任一函数，n精度，a, b为区间)fi=f(a)+f(b);h=(b-a)/n;d=1;%fun cti on f=jife n(n ,a,b,c)%syms t%y=sqrt(1+(c A2-1)*cos(t)A2);%ya=subs(y,t,a);%yb=subs(y,t,b);%fi=ya+yb;for i=1:n-1x=a+i*h;fi=fi+2*f(x);d=d+1;%yx=subs(y,t,x);%fi=fi+2*yx;endf4=h/2*fi,d%复化simposon公式f仁0;f2=0;dd=1;for i=1:n-1dd=dd+1;if rem(i,2)~=0;x1=a+i*h; f1=f1+f(x1);else rem(i,2)==0; x2=a+i*h; f2=f2+f(x2) ;endendf3=(h/3)*(f(a)+4*f1+2*f2+f(b)),dd对于romberg积分，建立文件。

复化辛甫生公式求积法一．题目用复化辛甫生求积法求解下列积分dx xx I ⎰=10sin 二．引言积分是一种常见的运算，在实际应用中随处可见。

高等数学中提供了计算积分的常用方法，即“牛莱公式”，其基本思想是找出被积函数的原函数。

但在有时候，要找出它绝非易事，这就需要我们另辟新径，而计算机，为我们提供了方便。

利用计算机计算积分的基本思想是将连续的积分化为离散的求和，再根据精度需要，计算出结果。

复化辛甫生公式便是常用的一种方法。

（1）目的：可以计算出用非初等函数表示的原函数的函数的积分，另外，如果f(x)是由实验测量或数值计算给出的一张数据表时，可以很容易的计算出来。

（2）意义：可以很方便地通过数值模拟的方式来计算一些不易计算的积分，在科学研究中具有重要的意义。

三．算法的建立一般的，取[a ，b]内若干个节点x k 处的高度为f （x k ），通过加权平均的方法近似的得出平均高度f(),这类求积公式的一般形式为∑⎰=≈nk kK b a x f A dx x f 0)()( 其中上式中的x k 为节点，A k 称为求积系数。

由上述方法我们得到具有三次代数精度的辛甫生公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-≈⎰)(24)(6)(b f b a f a f a b dx x f ba 用这种方法得到的数值积分有效数位较少，且代数精度不高，为此我们对上述算法进行下列改进：将[a ，b]划分为n 等分，步长为h=（b-a ）／n ，分点为x k =a+kh(k=0,1,2,…..n),所谓复化求积法，就是先用低阶的求积公式得到每个字段[x k ，x k+1]上的积分值I k ，然后将他们累加求和作为所求积分的近似值。

记每个字段[x k ，x k+1]的中点为x k+0.5 复化辛甫生求积公式为：[][])()(2)(2)()(211110b f x f a f h x f x f h T n k k k k n k n ++=+=∑∑-=+-=流程图如下所示：四．程序和结果1.程序!数值积分SINX/Xprogram shuzhijifenimplicit noneinteger k,nreal a,b,h,s,x!参量赋初值n=4a=0.0000001b=1.0h=(b-a)/ns=sin(b)/b-sin(a)/ax=a!主程序do k=0,n-1s=s+2*sin(x)/xx=x+h/2s=s+4*sin(x)/xx=x+h/2end dowrite(*,*) h/6*sstopend2.结果0.9460832五．算法评价用复化辛甫生求积法和复化梯形求积法工作量基本相同，但他们的精度相差比较大，复化辛甫生求积法可以大大提高计算精度。

数值分析中的复化梯形法误差分析数值分析中的复化梯形法误差分析在数值分析中，复化梯形法是一种常用的数值积分方法。

它使用梯形规则进行近似求解定积分，通过将定积分区间分割成若干个小区间，并在每个小区间上使用梯形规则进行求解，最后将各个小区间上的积分结果相加得到整个定积分的近似值。

本文将对复化梯形法进行误差分析。

1. 复化梯形法原理复化梯形法的原理是将定积分区间[a, b]等分为n个小区间，令h=(b-a)/n为小区间长度，梯形法的近似结果T可以表示为：T = h/2 * (f(a) + 2*f(x1) + 2*f(x2) + ... + 2*f(x(n-1)) + f(b))其中，f(x)为被积函数在x点处的取值。

2. 复化梯形法误差分析复化梯形法的误差主要包括局部误差和全局误差。

2.1 局部误差在每个小区间上，我们使用梯形规则进行积分计算，其误差可以通过泰勒展开进行推导。

设f(x)在[a, b]区间上具有充分高阶连续导数，则对于每个小区间[xk, x(k+1)]，我们有如下局部误差公式：E_local = - (h^3/12) * f''(ξ)其中，ξ为[xk, x(k+1)]上的某点，f''(ξ)为f(x)的二阶导数在ξ点的取值。

2.2 全局误差全局误差是指整个区间[a, b]上的积分近似与真实积分之差。

复化梯形法的全局误差可以通过对各个小区间上的局部误差进行累加得到。

假设积分的真实值为I，则全局误差E_global可以表示为：E_global = (b-a) * (h^2/12) * f''(ξ)其中，ξ为[a, b]区间上的某点，f''(ξ)为f(x)的二阶导数在ξ点的取值。

3. 误差分析实例为了更好地理解复化梯形法的误差特点，我们以一个具体的例子进行分析。

考虑定积分∫(0, 1)sin(x)dx的近似求解，将积分区间等分为4个小区间进行计算。

试验四试验报告专业：数学与应用数学（师范） 年级：08 班级： 学号： 姓名：试验目的1.掌握各种复化求积公式，并利用它们求定积分；2.掌握比较一阶导数和二阶导数的数值方法；3.通过用不同复化求积公式计算定积分，并与精确解得比较，明白各个复化求积公式的优缺点。

二：试验题目1、复化求积公式计算定积分用复化梯形公式、复化辛普森公式、龙贝格公式求下列定积分，要求绝对误差为8105.0-⨯=ε，并将计算结果与精确解进行比较：(2) ⎰-=322.326ln dx x x2、比较一阶导数和二阶导数的数值方法利用等距节点的函数值和端点的导数值，用不同的方法求下列函数的一阶和二阶导数，分析各种方法的有效性，并用绘图软件绘出函数的图形，观察其特点。

（2）y=e (-1/x)一、 实验原理1、复化求积公式计算定积分1.1复化梯形公式将积分区间[a,b]分为n 等分，分点为k x =a+kh （k=0，1，….,n ）,其中h=（b-a ）/n 。

在每个小区间[k x 1+k x ]上用梯形公式，则])(2)()([2)]()([2][)]()([2][)]()([2)()(11101101011011101∑∑∑∑∑∑⎰⎰-=-=+-=-=+-=++-=++=+=++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-==+n k k n k k k N n k n k k k k n k k k k k k n k x x b a x f b f a f h x f x f h T f R x f x f h f R x f x f x x dx x f dx x f k k 记1.2复化辛普森公式将积分区间[a,b]分为n 等分，分点为k x =a+kh （k=0，1，….,n ）,其中h=（b-a ）/n 。

记区间[k x ，1+k x ]的中点为21+k x 在每个小区间[k x 1+k x ]上用辛普森公式，则 S ])(4)(2)()([6112111++++=∑∑-=+-=n k k n k k n x f x f b f a f h1.3 龙贝格公式步1:输入a,b 及精度ε;步2:置h=b-a, 11T =h/2*(f(a)+f(b));步3：置i=1,j=1,n=2,对分区间[a,b]，并计算111,+++i j i j T T ：144,)(221111121111--=+=+++=-+∑j i j i j j i j n k k i i T T T x f h T T ； 步4：若不满足终止条件，作循环：i:=i+1,h:=h/2,n:=2n,144i 1j ,)(221111121111--==+=+++=-+∑j i j i j j i j n k k i i T T T x f h T T ，计算：，对计算： 终止条件一般去|11++i j T -ε≤|i j T . 2、比较一阶导数和二阶导数的数值方法2)h -(2f(a)-)h a ()(2)h -(-)h a ()()h -()()()()()(h a f f a f ha f f a f h a f a f a f ha f h a f a f ++=+=-=-+=二阶导数：中心插商：向后插商：向前插商： 二、 实验内容1、复化求积公式计算定积分（2）n=10;a=0.5*10^(-8);fun2=inline('2*x./(x.^2-3)');f2=log(6)s21=matrap(fun2,2,3,n)s22=masimp(fun2,2,3,n)w21=norm(f2-s21)w22=norm(f2-s22)实验设备： matlab 软件。

利用数值积分公式求解积分方程分别用复化求积公式和高斯
型求积公式
数值积分方法通常用于求解无法解析求解的定积分问题，其中复化求积公式和高斯型求积公式是两种常见的数值积分方法。

1. 复化求积公式：
复化求积公式是通过将积分区间等分成多个小区间，并在每个小区间上采用简单的数值积分公式来逼近原积分问题。

常见的复化求积公式包括梯形法则和Simpson法则。

梯形法则：将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间
用梯形面积的方法求解，然后将各个小区间的积分结果相加得到最终的积分近似值。

Simpson法则：将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区
间用Simpson公式求解，然后将各个小区间的积分结果相加得到最终的积分近似值。

2. 高斯型求积公式：
高斯型求积公式是通过将积分区间映射为[-1, 1]上的积分问题，然后通过选取合适的节点和权重，将原积分问题转化为有限个加权节点的求和问题。

常见的高斯型求积公式包括Gauss-Legendre公式和Gauss-Hermite公式。

Gauss-Legendre公式：适用于求解定义在[-1, 1]区间上的定积
分问题，根据节点个数的不同，可以得到不同阶数的Gauss-Legendre公式。

Gauss-Hermite公式：适用于求解定义在整个实数轴上的定积分问题，通过选取合适的节点和权重，将原积分问题转化为有限个加权节点的求和问题。

总结：复化求积公式适用于一般的定积分问题，可以通过合理选择划分区间和数值积分公式来提高数值积分的精度。

而高斯型求积公式通常适用于具有特殊形式或定义域的定积分问题，可以通过选取合适的节点和权重来获得较高的数值积分精度。