复化积分法(复化梯形求积,复化Simpson公式,变步长求积法)MATLAB编程实验报告

MATLAB复化梯形法与龙贝格法计算定积分复化梯形法和龙贝格法是常用的数值积分方法，用于计算定积分的近似值。

在MATLAB中，可以使用这两种方法来计算定积分。

1.复化梯形法：复化梯形法是基于将积分区间等分成若干子区间，并用梯形面积来近似每个子区间上的积分值。

整个积分的近似值等于所有子区间上的梯形面积之和。

首先，将积分区间[a,b]等分成N个子区间，每个子区间的长度为h=(b-a)/N。

然后，可以用以下公式计算每个子区间上的梯形面积：S=(f(x_i)+f(x_{i+1}))*h/2其中，f(x_i)和f(x_{i+1})是在子区间上取的两个点的函数值，x_i 和x_{i+1}分别是子区间的起始点和终止点。

```matlabh=(b-a)/N;x=a:h:b;result = 0;for i = 1:Nresult = result + (f(x(i)) + f(x(i + 1))) * h / 2;endend```2.龙贝格法：龙贝格法是一种自适应的数值积分方法，它基于逐次加密网格和不同阶数的梯形法来提高近似的精度。

首先，将积分区间[a, b]分割成n个子区间。

然后，可以使用复化梯形法来计算每个子区间上的积分值。

接下来，应用Richardson外推方法，通过逐次加密网格并对不同阶数的梯形法进行迭代，以获得更精确的近似值。

```matlabfunction result = romberg(f, a, b, max_depth, tol)R = zeros(max_depth, max_depth);h=b-a;R(1,1)=(f(a)+f(b))*h/2;for j = 2:max_depthh=h/2;R(j, 1) = R(j - 1, 1) / 2 + sum(f(a + (0:2^(j - 2)) * h) * h);for k = 2:jR(j,k)=R(j,k-1)+(R(j,k-1)-R(j-1,k-1))/(4^(k-1)-1);endif abs(R(j, j) - R(j - 1, j - 1)) < tolresult = R(j, j);return;endendresult = R(max_depth, max_depth);end```在使用上述代码计算定积分时，需要定义一个函数f来表示被积函数，并提供积分区间[a, b]的起始点和终止点。

佛山科学技术学院实验报告课程名称_______________ 数值分析________________________实验项目_______________ 数值积分____________________专业班级机械工程姓名余红杰学号2111505010 指导教师陈剑成绩日期月日一、实验目的b1、理解如何在计算机上使用数值方法计算定积分 a f ""X的近似值；2、学会复合梯形、复合Simpson和龙贝格求积分公式的编程与应用。

3、探索二重积分.11 f （x, y）dxdy在矩形区域D = ｛（ x, y） | a _ x _ b, c _ y _ d｝的数值D积分方法。

二、实验要求（1）按照题目要求完成实验内容；（2）写出相应的Matlab程序；（3）给出实验结果（可以用表格展示实验结果）；（4）分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。

（5）写出实验报告。

三、实验步骤1、用不同数值方法计算积xln xdx =-- 0 9（1）取不同的步长h，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两公式的精度。

（2）用龙贝格求积计算完成问题（1 ）。

2、给出一种求矩形区域上二重积分的复化求积方法，然后计算二重积分..e"y dxdy，其中积分区域D二｛0乞x岂1,0岂y乞1｝。

1.%lnt_t.m复化梯形：function F = Int_t(x1,x2,n)%复化梯形求积公式% x1,x2为积分起点和中点%分为n个区间，没选用步长可以防止区间数为非整数。

%样点矩阵及其函数值：x = lin space(x1,x2 ,n+1);y = f(x);m = len gth(x);%本题中用Matlab计算端点位置函数值为NaN,故化为零: y(1) = 0;y(m) = 0;%算岀区间长度，步长h：h = (x2 -x1)/n;a = [1 2*o nes(1,m-2) 1];%计算估计的积分值：F = h/2*sum(a.*y);%f.mfun cti on y = f(x)y = sqrt(x).*log(x);%run 11.mclc,clear;%分为10个区间，步长0.1的积分值：F = In t_t(0,1,10);F10 = F%分为100个区间F = In t_t(0,1,100);F100 = F%误差计算W10 = abs((-4/9)-F10);W100 = abs((-4/9)-F100);W = [W10 W100]%复化辛普森：%l nt_s.mfun cti on F = In t_s(x1,x2 ,n)%复化梯形求积公式% x1,x2区间，分为n个区间。

复合梯形公式、复合⾟普森公式matlab 1. ⽤1阶⾄4阶Newton-Cotes公式计算积分程序：function I = NewtonCotes(f,a,b,type)%syms t;t=findsym(sym(f));I=0;switch typecase 1,I=((b-a)/2)*(subs(sym(f),t,a)+subs(sym(f),t,b));case 2,I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),t,a)+4*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...subs(sym(f),t,b));case 3,I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),t,a)+3*subs(sym(f),t,(2*a+b)/3)+...3*subs(sym(f),t,(a+2*b)/3)+subs(sym(f),t,b));case 4,I=((b-a)/90)*(7*subs(sym(f),t,a)+...32*subs(sym(f),t,(3*a+b)/4)+...12*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...32*subs(sym(f),t,(a+3*b)/4)+7*subs(sym(f),t,b));case 5,I=((b-a)/288)*(19*subs(sym(f),t,a)+...75*subs(sym(f),t,(4*a+b)/5)+...50*subs(sym(f),t,(3*a+2*b)/5)+...50*subs(sym(f),t,(2*a+3*b)/5)+...75*subs(sym(f),t,(a+4*b)/5)+19*subs(sym(f),t,b));case 6,I=((b-a)/840)*(41*subs(sym(f),t,a)+...216*subs(sym(f),t,(5*a+b)/6)+...27*subs(sym(f),t,(2*a+b)/3)+...272*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...27*subs(sym(f),t,(a+2*b)/3)+...216*subs(sym(f),t,(a+5*b)/6)+...41*subs(sym(f),t,b));case 7,I=((b-a)/17280)*(751*subs(sym(f),t,a)+...3577*subs(sym(f),t,(6*a+b)/7)+...1323*subs(sym(f),t,(5*a+2*b)/7)+...2989*subs(sym(f),t,(3*a+4*b)/7)+...1323*subs(sym(f),t,(2*a+5*b)/7)+...3577*subs(sym(f),t,(a+6*b)/7)+751*subs(sym(f),t,b));endsyms xf=exp(-x).*sin(x);a=0;b=2*pi;I = NewtonCotes(f,a,b,1)N=1:I =N=2:I =N=3:I =(pi*((3*3^(1/2)*exp(-(2*pi)/3))/2 - (3*3^(1/2)*exp(-(4*pi)/3))/2))/4N=4:I =(pi*(32*exp(-pi/2) - 32*exp(-(3*pi)/2)))/452. 已知，因此可以通过数值积分计算的近似值。

佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 数值积分专业班级 机械工程 姓 名 余红杰 学 号 2111505010 指导教师 陈剑 成 绩 日 期 月 日一、实验目的1、理解如何在计算机上使用数值方法计算定积分⎰badxx f )(的近似值;2、学会复合梯形、复合Simpson 和龙贝格求积分公式的编程与应用。

3、探索二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(在矩形区域},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=的数值积分方法。

二、实验要求（1） 按照题目要求完成实验内容； （2） 写出相应的Matlab 程序；（3） 给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； （4） 分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。

（5） 写出实验报告。

三、实验步骤1、用不同数值方法计算积分149xdx =-（1）取不同的步长h ，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两公式的精度。

（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。

2、给出一种求矩形区域上二重积分的复化求积方法，然后计算二重积分xyDedxdy -⎰⎰，其中积分区域{01,01}D x y =≤≤≤≤。

1.%Int_t.m 复化梯形：function F = Int_t(x1,x2,n)% 复化梯形求积公式% x1,x2 为积分起点和中点%分为n个区间，没选用步长可以防止区间数为非整数。

%样点矩阵及其函数值：x = linspace(x1,x2,n+1);y = f(x);m = length(x);%本题中用Matlab计算端点位置函数值为NaN,故化为零：y(1) = 0;y(m) = 0;%算出区间长度，步长h：h = (x2 -x1)/n;a = [1 2*ones(1,m-2) 1];%计算估计的积分值：F = h/2*sum(a.*y);%f.mfunction y = f(x)y = sqrt(x).*log(x);%run11.mclc,clear;%分为10个区间，步长0.1的积分值：F = Int_t(0,1,10);F10 = F%分为100个区间F = Int_t(0,1,100);F100 = F%误差计算W10 = abs((-4/9)-F10);W100 = abs((-4/9)-F100);W = [W10 W100]%复化辛普森：%Int_s.mfunction F = Int_s(x1,x2,n)% 复化梯形求积公式% x1,x2 区间，分为n个区间。

陕西科技大学机械教改班用C++的积分其实积分的思想就是,微分—>求和—>取极限，如果是用纯手工法那就是先对一个函数微分，再求出它的面积，在取极限，因为我们的计算速度和计算量有限，现在有了计算机这个速度很快的机器，我们可以把微分后的每个小的面积加起来，为了满足精度，我们可以加大分区，即使实现不了微分出无限小的极限情况，我们也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四种不同的积分方法，和一个综合通用程序。

一．积分的基本思想1、思路：微分—>求和—>取极限。

2、Newton —Leibniz 公式 ⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( 其中，)(x F 被积函数)(x f的原函数。

3、用计算机积分的思路在积分区间内“微分—>求和—>控制精度”。

因为计算机求和不可以取极限，也就是不可以无限次的加下去，所以要控制精度。

二．现有的理论1、一阶求积公式---梯形公式⎰=+-=b a T b f a f a b dx x f )]()([2)( 他只能精确计算被积函数为0、1次多项式时的积分。

2、二阶求积分公式——牛顿、科特斯公式 ⎰=+++-=ba Sb f a b f a f a b dx x f )]()2(4)([6)(他只能精确计算被积函数为0、1、2、3次多项式时的积分。

三．四种实现方法1.复化矩形法将积分区间[a,b]等分成n 个子区间:],[],[],[],[],[112322110n n n n x x x x x x x x x x ---、、、 则h=(b-a)/n,区间端点值k x =a+kh)hf(x ))f(x x (x I 11121=-=)()()x (22232x hf x f x I =-=............................)()()(111n ---=-=n n n n x hf x f x x I∑==ni i x hf T 1n )(源程序：#include <iostream.h>#include<math.h>double f(double x) //计算被积函数{double y;y=log(1+x)/(1+x*x); //被积函数return y;}double Tn(double a,double b,int n) //求Tn{double t=0.0;double xk; //区间端点值double t1,t2; //用来判断精度do{double h=(b-a)/n;for(int k=1;k<=n-1;k++) //每一小段的矩形叠加 {t1=t;xk=a+k*h;t+=h*f(xk);t2=t;}n++; //如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求 }while(fabs(t1-t2)<=1e-7); //判断计算精度return t;}void main(){double a=0.0; //积分下线double b=2.0; //积分上限int n=1024; //把区间分为1024段cout<<Tn(a,b,n)<<endl; //输出积分结果}执行结果：2.复化梯形法方法和复化矩形法类似，只是把原来的矩形小面积变成了梯形小面积，但是精确度明显提高了，也就是说达到同样的精度需要的时间少了。

东莞理工学院《数值分析》实验报告实验名称：牛顿插值法系别：计算机学院专业：2013级信息与计算科学班级：1班姓名：学号：实验日期：1、实验内容用不同数值方法计算积分104ln 9x xdx =-⎰。

2、算法说明 梯形求积公式算法：将积分区间[,]a b 划分为n 等份，步长b ah n-=分点为 ,1,2,...,k x a kh k n =+=。

积分10()2nk k k h I x x +==+∑。

辛普森求积公式算法：5(4)012()(4)()390xx h h f x dx y y y f c =++-⎰其中h 为步长。

3、Matlab 软件程序清单梯形求积公式TiXing_quad(a,b,h)：function t = TiXing_quad(a,b,h) %a 为积分下界，b 为积分上界，h 为步长。

format long x = a:h:b;y = sqrt(x).*log(x); y(1) = 0;t = 0;for k=1:(b-a)/h,t=t+y(k)+y(k+1);endt=t*h/2;辛普森求积公式Sinpson_quad(a,b,h)：function s=Sinpson_quad(a,b,h)format longx=a:h:b;y=sqrt(x).*log(x);z=sqrt(x+h/2).*log(x+h/2);y(1)=0;s=0;for k=1:(b-a)/h,s=s+y(k)+y(k+1)+4*z(k);ends=s*h./6;4、运行结果真值I=-4/9=-0.444444444444444次数I（梯形公式）I（辛普森公式）50 -0.441090226387332 -0.443793798301150100 -0.443117905322695 -0.444194********* 200 -0.443925359444891 -0.4443490454521025、分析与思考“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析实验项目 数值积分专业班级 机械工程 姓 名 余红杰 学 号 2111505010 指导教师 陈剑 成 绩 日 期 月 日一、实验目的1、理解如何在计算机上使用数值方法计算定积分⎰ba dx x f )(的近似值;2、学会复合梯形、复合Simpson 和龙贝格求积分公式的编程与应用。

3、探索二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(在矩形区域},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=的数值积分方法。

二、实验要求（1） 按照题目要求完成实验内容；（2） 写出相应的Matlab 程序；（3） 给出实验结果(可以用表格展示实验结果)；（4） 分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。

（5） 写出实验报告。

三、实验步骤1、用不同数值方法计算积分1049xdx =- （1）取不同的步长h ，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两公式的精度。

（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。

2、给出一种求矩形区域上二重积分的复化求积方法，然后计算二重积分xy De dxdy -⎰⎰， 其中积分区域{01,01}D x y =≤≤≤≤。

1.%Int_t.m 复化梯形：function F = Int_t(x1,x2,n)% 复化梯形求积公式% x1,x2 为积分起点和中点%分为n个区间，没选用步长可以防止区间数为非整数。

%样点矩阵及其函数值：x = linspace(x1,x2,n+1);y = f(x);m = length(x);%本题中用Matlab计算端点位置函数值为NaN,故化为零：y(1) = 0;y(m) = 0;%算出区间长度，步长h：h = (x2 -x1)/n;a = [1 2*ones(1,m-2) 1];%计算估计的积分值：F = h/2*sum(a.*y);%f.mfunction y = f(x)y = sqrt(x).*log(x);%run11.mclc,clear;%分为10个区间，步长0.1的积分值：F = Int_t(0,1,10);F10 = F%分为100个区间F = Int_t(0,1,100);F100 = F%误差计算W10 = abs((-4/9)-F10);W100 = abs((-4/9)-F100);W = [W10 W100]%复化辛普森：%Int_s.mfunction F = Int_s(x1,x2,n)% 复化梯形求积公式% x1,x2 区间，分为n个区间。

变步长梯形求积matlab
变步长梯形求积法是一种数值积分的方法，用于计算一个函数在给定区间上的定积分。

在MATLAB中，可以使用以下代码来实现变步长梯形求积法：
```matlab
function integral = trapezoidal_rule(a, b, n, f)
h = (b - a) / n;
x = a:h:b;
y = f(x);
integral = (h/2) * (y(1) + 2*sum(y(2:end-1)) + y(end)); end
```
其中，`a`和`b`是积分区间的上下限，`n`是划分的梯形数目，`f`是要求积的函数。

函数内部的变量`h`计算出每个梯形的宽度，`x`生成了在区间上等间隔的节点，`y`根据`f`函数计算了这些节点上的函数值。

最后，利用梯形公式，将每个梯形面积加总并乘以梯形宽度的一半，得到了定积分的近似值。

使用时，可以将要求积的函数定义为一个匿名函数，并将其作为参数传递给`trapezoidal_rule`函数。

例如，计算函数`f(x) = x^2`在区间`[0, 1]`上的定积分，可以执行以下代码：
```matlab
f = @(x) x.^2;
a = 0;
b = 1;
n = 100;
integral = trapezoidal_rule(a, b, n, f);
disp(integral);
```
上述代码将会输出`0.3333`，这是函数`f(x) = x^2`在区间`[0, 1]`上的定积分的近似值。

数值积分 1.求积分dx e x ⎰--112，在积分区间中，点与点之间的间隔取为0.1.解：（一）用MATBLE 编写复化梯形求积函数：function I=T_quad(x,y)n=length(x);m=length(y);if n ~=merrorendh=(x(n)-x(1))/(n-1);a=[1 2*ones(1,n-2) 1];I =h/2*sum(a.*y);输入：x=-1:0.1:1;y=exp(-x.^2);I =T_quad(x,y)运行得到：I =1.4924(二)用MATBL 编写复化Simpson 求积函数：function I=S_quad(x,y);n=length(x);m=length(y);if n ~=merrorendif rem(n-1,2) ~=0I=T_quad(x,y);return;endN=(n-1)/2;h=(x(n)-x(1))/N;a=zeros(1,n);for k=1:Na(2*k-1)=a(2*k-1)+1;a(2*k)=a(2*k)+4;a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;endI=h/6*sum(a.*y);输入：x= -1:0.1:1;y=exp(-x.^2);I= S_quad(x,y)运行得到：I =1.4936（三）用MATBL 编写复化Cotes 求积函数：function I=C_quad(x,y);n=length(x);m=length(y);if n ~=merrorendif rem(n-1,4) ~=0I=S_quad(x,y);returnendN=(n-1)/4;h=(x(n)-x(1))/N;a=zeros(1,n);for k=1:Na(4*k-3)=a(4*k-3)+7;a(4*k-2)=a(4*k-2)+32;a(4*k-1)=a(4*k-1)+12;a(4*k)=a(4*k)+32;a(4*k+1)=a(4*k+1)+7;endI=h/90*sum(a.*y);输入：x= -1:0.1:1;y=exp(-x.^2);I= C_quad(x,y)运行得：I =1.4936（四）利用trapz()函数，采用复化梯形公式求积分输入：x=-1:0.1:1;y=exp(-x.^2);I=trapz(x,y)输出：I =1.49242. 求积分dx e x ⎰--112，取精度要求510-=ε （一）用MATLAB 编写自适应步长的梯形公式function I=T_quad_iter(fun,a,b,ep)if nargin<4 ep=1e-5;endN=1;h=b-aT=h/2*(feval(fun,a)+feval(fun,b));while 1h=h/2;I=T/2;for k=1:NI=I+h*feval(fun,a+(2*k-1)*h);endif abs(I-T)<ep breakendN=2*N;T=IEnd输入：I=T_quad_iter(@(x)exp(-x.^2),-1,1)输出：I =1.4936（二）用MATLAB编写自适应步长的Simpson公式function I=S_quad_iter(fun,a,b,ep)if nargin<4 ep=1e-5endN=1;h=b-aT1=h/2*(feval(fun,a)+feval(fun,b));S0=T1;while 1h=h/2;T2=T1/2;for k=1:NT2=T2+h*feval(fun,a+(2*k-1)*h)endI=(4*T2-T1)/3;if abs(I-S0)<ep breakendN=2*N;T1=T2;S0=IEnd输入：I=S_quad_iter(@(x) exp(-x.^2),-1,-1)输出：I =1.4936（三）用quad（）函数，采用自适应步长的Simposon求积分输入：I=quad(@(x) exp(-x.^2) ,-1,1)输出：I =1.4936。

matlab编程积分复合辛普森公式编程求解复合辛普森公式是一种常用的数值积分方法，在MATLAB中可以通过编写相应的代码实现。

本文将详细介绍如何使用MATLAB编程计算复合辛普森公式，并给出具体的代码实现。

我们需要了解什么是复合辛普森公式。

复合辛普森公式是一种数值积分方法，用于近似计算函数的定积分。

它是在区间[a, b]上使用多个小区间进行逼近，而不是直接在整个区间上进行逼近。

这种方法的优势在于可以提高计算精度，并且对于复杂的函数也能够得到较好的近似结果。

我们需要将整个区间[a, b]划分为n个小区间。

每个小区间的长度为h=(b-a)/n。

然后，我们可以使用复合辛普森公式来近似计算每个小区间上的定积分。

复合辛普森公式的表达式为：I = (h/6)*(f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b))其中，f(x)是要求解的函数。

根据复合辛普森公式的定义，我们需要对每个小区间应用该公式进行求解，并将结果累加得到最终的积分值。

在MATLAB中，我们可以通过编写以下代码来实现复合辛普森公式的求解：```matlabfunction I = composite_simpson(f, a, b, n)h = (b-a)/n;x = a:h:b;y = f(x);I = 0;for i = 1:nI = I + h/6*(y(i) + 4*y(i+1) + y(i+2));endend```上述代码中，函数composite_simpson接受四个参数：函数f、积分区间的起点a、终点b和划分的小区间数n。

其中，函数f是一个函数句柄，表示要求解的函数。

在代码中，我们首先计算出每个小区间的长度h，并生成对应的x值。

然后，通过调用函数f计算出对应的y值。

接下来，我们使用循环对每个小区间应用复合辛普森公式，并将结果累加到变量I中。

最后，我们将得到的积分值I作为函数的输出。

在使用该函数时，我们需要先定义要求解的函数，并将其作为参数传递给composite_simpson函数。

MATLAB复化梯形法及龙贝格法计算定积分复化梯形法是一种数值积分方法，用于计算定积分的近似值。

该方法的基本思想是将积分区间等分成多个子区间，并在每个子区间上使用梯形公式来进行近似计算。

具体步骤如下：1.将积分区间[a,b]等分成n个子区间，每个子区间的长度为h=(b-a)/n。

2.在每个子区间上，使用梯形公式计算近似积分值。

梯形公式可以表示为：T=(f(x0)+f(x1))*h/2，其中x0和x1分别是子区间的左右边界，f(x)是被积函数。

3.对所有子区间的近似积分值进行求和，得到整个积分区间的近似积分值。

复化梯形法的精度可以通过增加子区间的数量来提高，即使n越来越大，积分值的近似精度也会越来越高。

以下是一个用MATLAB实现复化梯形法计算定积分的示例代码：```matlabh=(b-a)/nresult = 0;for i = 0:n-1x0=a+i*h;x1=a+(i+1)*h;result = result + (f(x0) + f(x1)) * h / 2;endend```接下来，我们来介绍龙贝格法，龙贝格法是一种迭代数值积分方法，用于计算定积分的近似值。

该方法的基本思想是在梯形公式的基础上应用Richardson外推技术，通过逐步加密和外推，提高积分值的精度。

具体步骤如下：1.初始化一个矩阵，矩阵的第一列为复化梯形法的近似积分值。

2.逐列递推计算，每一列的元素为由前一列的元素计算得到。

计算公式为：R(j,k+1)=R(j,k)+(R(j,k)-R(j-1,k))/((4^k)-1)其中，R(j,k)是第j次迭代中计算的近似积分值，k表示第k次迭代。

3.判断是否达到预设的精度要求，如果满足要求，则返回最终近似积分值；否则，继续迭代计算。

以下是一个用MATLAB实现龙贝格法计算定积分的示例代码：```matlabfunction result = romberg(f, a, b, epsilon, max_iter)R = zeros(max_iter, max_iter);h=b-a;R(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2;for k = 2:max_iterh=h/2;sum = 0;for i = 1:2^(k-2)x=a+(2*i-1)*h;sum = sum + f(x);endR(k, 1) = R(k-1, 1) / 2 + h * sum;for j = 2:kR(k,j)=R(k,j-1)+(R(k,j-1)-R(k-1,j-1))/((4^(j-1))-1); endif abs(R(k, k) - R(k-1, k-1)) < epsilonresult = R(k, k);return;endendresult = R(max_iter, max_iter);end```这个代码定义了一个名为`romberg`的函数，它接受五个参数：被积函数`f`、积分区间的左边界`a`、积分区间的右边界`b`、精度要求`epsilon`和最大迭代次数`max_iter`。

matlab基于节点使用复化梯形公式求积分文章标题：深入理解Matlab基于节点使用复化梯形公式求积分一、引言在数学和工程领域中，求解定积分是一项常见的任务。

其中，复化梯形公式作为一种数值积分方法，在Matlab中得到了广泛的应用。

本文将从基本概念出发，深入探讨Matlab基于节点使用复化梯形公式求积分的原理和方法，以帮助读者全面理解并灵活运用这一技术。

二、基本概念1. Matlab基于节点求积分的基本原理在Matlab中，求解积分的方法之一是基于节点使用复化梯形公式。

这种方法通过将积分区间分割成若干小区间，然后在每个小区间上应用梯形法则来逼近定积分值。

具体而言，对于等距节点的情况，复化梯形公式可以表示为对每两个相邻节点之间的区间应用梯形面积公式进行求和。

2. 复化梯形公式的求解步骤在Matlab中，使用复化梯形公式求解定积分通常需要经过以下步骤：a. 将积分区间分割成若干小区间，确定节点的位置；b. 在每个小区间上计算梯形面积，得到对应的近似积分值；c. 将所有小区间上的梯形面积求和，得到最终的定积分近似值。

三、深入探讨1. 复化梯形公式的精度和误差分析在实际应用中，复化梯形公式的精度和误差分析至关重要。

通过分析节点间距和函数的导数变化情况，可以对复化梯形公式的近似误差进行估计。

在Matlab中，可以通过调整节点的数量和位置，以及细化小区间的宽度，来提高积分的精度并降低误差。

2. 在Matlab中实现复化梯形公式的方法Matlab提供了丰富的数值积分函数，如trapz和integral等，可以方便地实现基于节点的复化梯形公式求积分。

通过调用这些函数，用户可以灵活地指定积分区间、节点数量和具体的被积函数，从而快速求解定积分并得到精确的结果。

Matlab还支持用户自定义函数来满足不同的求积分需求。

四、总结与回顾通过本文的讨论，我们深入理解了Matlab基于节点使用复化梯形公式求积分的原理和方法。

在实际应用中，我们应该注重对节点间距和函数的变化情况进行分析，以提高积分的精度并降低误差。

数值计算方法上机题目3一、计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。

1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。

f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果Tn= 7.3891等分数n=7019已知值与计算值的误差R= 2.8300e-0082. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果Sn= 7.3891等分数n=24已知值与计算值的误差R= 2.7284e-008用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。