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复化求积公式

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复化求积公式

复化求积公式

则
称求积公式 是P阶收敛的。
显然，复化梯形公式是2 阶收敛的。
第三章 数值积分与数值微分
用复化梯形求积公式时，如果 不够精确，那么我们可以将每个子
区间
对分，得到2n个子区间，再用复化
梯形公式计算。此时，计算 的分点也是计算 的分点。
因此，我们可以将复化梯形公式递推化，即有
（3.2.3）
其中
。这样，计算 时，只须把新分点上的函数值算
可以看出，误差（3.2.2）是 阶的。而且，当
时，
，即复化梯形公式收敛到
值得
指出的是，收敛的结论，只要f（x）在[a，b]上可积即可成立。
事实上，由定积分的定义可知，对[a，b]的任意分划 黎曼和的极限
所作
存在。该积分对于等距分划和特殊的 当然成立，于是对复化梯 形公式有
定义3.2 如果一种公式 有
(2) f (x) ex2 cos20x,0 x 2。
1
3.4 设计自适应的Simpson方法求积分0 x xdx( 0.4) 的
近似值，即对不同的子区间分别按精度标准确定各自适当的步长， 计算各子区间上的积分近似值，然后将各个近似值相加，要求近似 值的绝对误差限为 0.5107 。
f (x)dx
xk1 f (x)dx
a
x k 0 k
x
h 6
n1 k 0
f
x 4
f
x
1 2
f
k1
称Sn为复化Simpson公式 。
= S h
n1
n1
[ 6
f
பைடு நூலகம்
(a) 4
k 0
f
(
xk
1 2
)
2

复化求积公式

复化求积公式

h[ 2
f ( x0 )
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
Tn
h 2
[
f
(
x0
)
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
计算方法
2.复化辛浦生公式
计算方法
在每个小区间[xk1, xk ]上应用辛浦生公式得：
xk
xk 1
则
f
b
( x)dx h[ f 6
计算方法
在 每 个 小 区 间[ xk1, xk ]上 应 用 梯 形 公 式 得 ：
xk xk 1
f ( x)dx
h 2
[
f
(
xk1
)
f ( xk )]
则
b
n
f (x)dx =
xk f (x)dx
a
k 1 xk1
n k 1
h[ f 2
(xk1)
f
(xk )]
计算方法
x0 x1 x2 x3
2
三、区间逐次分半求积法
计算方法
复化求积公式可有效提高计算精度，但对给定 的误差限，如何确定节点的个数，即[a,b]应多少等 份？由截断误差可以估计步长的取值情况，但需要 给出各阶导数的最大值，这往往是比较困难的，且 估计值往往偏大.
接下来，我们将考虑步长的更为实用的选取方 法.
计算方法
若用Tn及T2n分别表示将[a, b]n等分及2n等分的复化 梯形公式，则
f(x) 1 0.997 0.9896 0.976 0.95 0.936 0.908 0.877 0.841 3978 158 7267 8851 1556 8516 1925 4709

数值分析(18)复化求积法

数值分析(18)复化求积法

1 2
h2
b
4
a
,
直到 T2n Tn 为止,将T2n作为积分的近似值。
数值分析
数值分析
下面推导由n到2n的复化梯形公式
给出误差限，将[a,b]n等分，步长hn
b
a n
,
用复化梯形公式：
在[xk , xk1 ]上，T1k
hn 2
(
f
( xk )
f ( xk1 ))
在[a, b]上，
T (hn ) Tn
理查逊外推算法流程 1,0
1,1 2,0
1,2 2,1 3,0
M
M
MO
1,n 2,n1 3,n2 L n1,0
数值分析
数值分析
二、龙贝格(Romberg)方法
龙贝格(Romberg)算法是将理查逊(Richardson)外推法应 用于数值积分，由低精度求积公式推出高精度求积公式的算法。
h
ba 2k
数值分析
数值分析
变步长复化梯形公式的递推公式： （由n到2n）
T2n
1 2 Tn
Hn 2
其中Tn
hn 2
(
f (a)
n1
f (b)) hn
k 1
f ( xk )
n1
H n
hn
k0
f
(
x
k
1
)
2
实际计算中的递推公式为
ba
T1
[ f (a) f (b)] 2
1
b a n1
ba
T2n 2 Tn
复 化 梯 形 公 式 的 截 断 误差 有 展 开 式
b a
f ( x)dx Tn
C2h2

chap4第2节 复化求积公式

chap4第2节 复化求积公式

Rn [ f ]
h (b a )
2
f ( ), (a , b)
12
如果记 M 2 max f ( x )
a xb
则有 Rn [ f ]

b
a
f ( x )dx Tn
( b a )h 12
2
M2
(b a ) 12n
2
3
M2
上式说明复化梯形公式是收敛的。
这时由

xk x k 1
得到
h h f f ( x )dx f ( xk 1 ) 4 f ( x 1 ) f ( xk ) k 2880 6 2 n
5
(4)
( k )

b
a
f ( x )dx
i 1
xk
f ( x )dx
x k 1
5 n h h (4) f ( k ) f ( x k 1 ) 4 f ( x 1 ) f ( x k ) 2880 k 1 k k 1 6 2
1
1 4 4 4 2 2 2 1 4 6 1 1 9 9
3.1230
4 )3
而梯形公式的结果为
1 x
0
1
4
2
dx
1 0 2
(
4
1 0 11

例 4.4 用复化梯形公式计算积分 I 0 e dx ，应将区间 [0,1]多少等分，才可以使其截断误差不超过 1 10 4
x
1
2
解：复化梯形公式的误差为
Rn [ f ] f ( x )dx Tn
a b
(b a ) 12n

复化求积公式

复化求积公式
数值计算方法
复化求积公式 由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，
随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应 提高。但由于n≥8时的牛顿—柯特斯求积公式开始 出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究， 当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大， 并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的 方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将积分 区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶 求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来 得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式 的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式 和复化辛卜生公式。
(b)
记
Tn
h 2
f
n1
(a) 2
k 1
f
(xk ) f
(b)
(6.5)
(6.5)式称为复化梯形公式。
当f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数,在子区间
xk , xk1 上梯形公式的余项已知为
RTk
h3 12
f (k )
在[a,b]上的余项
k xk ,x k1
RT
n1
RTk
k 0
1.4 复化辛卜生求积算法实现 （1）复化辛卜生公式计算步骤
① 确定步长h=(b-a)/N,S1=f (a+h/2) , S2=0 ( N 为等分数 )
② 对k=1,2,…,N-1，计算
S1= S1+f (a+kh+h/2) , S2= S2+f (a+kh) ③ S = h f (a) +4S1+ 2 S2+ f (b)/6
n1 k 0
h3 12
f
(k
)
设 f (x)在[a,b]上连续，根据连续函数的介值定理知，

复化求积公式

复化求积公式
b
2 定理7 定理 若 f ( x ) ∈ C [a , b ] , 则复化梯形公式的余项为
说明： ） （ 式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 说明： 1）(3.3)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 h2收敛于零的速度相同，即余项等 于O(h2)。 收敛于零的速度相同， 。 导数值)确定 （2）余项可由端点的函数值 导数值 确定。 ）余项可由端点的函数值(导数值 确定。 3、复化中矩求积公式 （推导类似复化梯形公式） 、 推导类似复化梯形公式） x 1 x 1 x3 上采用中矩形公式， 在 [ x i −1 , x i ]上采用中矩形公式， n− 2 2 2 b − a xi xi −1 + xi , 记h = xn =b x = ∫xi−1 f ( x)dx ≈ h ⋅ f ( 2 )， a=x0 x1 x2 n i = 1,2,L, n 所以
即
∫
b
a
n −1 x i ) + f (b) 2 i =1 2
记
= Tn
( 3 .1)
下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项， 下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，因为每个小区 间上是N－ 公式中当 公式中当n=1时的梯形公式。 时的梯形公式。 间上是 －C公式中当 时的梯形公式
n n
所以 − h∑ f ′′(ξ i ) = −∑ O( h2 ) + f ′(a ) − f ′(b) → f ′(a) − f ′(b), (h → 0)，
n
i =1 i =1
即 − h∑ f ′′(ξi ) → f ′(a) − f ′(b) (h →0)。
i=1
#
− (b − a)h2 ∫a f ( x)dxb − Tn = 12 f ′′(ξ ), a < ξ < b， ( 3 . 2 ) ∫a f ( x)dx − Tn → 1 ( f ′(a) − f ′(b)), h → 0。 及渐近估计式 ( 3 .3 ) 2 12 h

4-3复化求积公式


1 n1 min f ( x ) f ( k ) max f ( x ) a xb a xb n k 0
故存在 [a , b] 使
1 n1 f ( ) f ( k ) n k 0
所以复化梯形公式的积分余项为
h3 RTn I Tn nf ( ) 12 ba 2 h f ( ) 12 3 b a [a , b] f ( ) 2 12n
由此解得
n 6616.67
2
所以
n 79
即至少要把区间[1，2]分为79等份。
对本例题的进一步思考：h是否越小越好？
前面介绍的复化求积公式对提高精度是行之 有效的，但使用前必须给出合适的步长h。
h太小则计算量增加
误差有积累，更需计算稳定
h太大则精度不满足
（收敛性）
计算方案：事先估计法 变步长（事后估计） 自适应步长法
2.系数Ak >0,满足 Ak b a ,故方法是稳定的.
k 0
n
三、例题
x
0
f(x)
1 0.9973978
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin x 举例 对于函数 f ( x ) x ， 1/8
试利用下表计算积分
I
1 sin
1/4
3/8 1/2 5/8 3/4 7/8
0.9896158
0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925
3*. 复化柯特斯公式 如果将每个小区间[xk，xk+1]四等分，内分点 依次记为 xk 1 , xk 1 , xk 3 ,
4 2 4
则相应地可得复化柯特斯公式。

数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式


nn
(t
0 j0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
牛 顿 －
xk1 xk
f
( x )dx
h[ 2
f
(xk )
f
(
xk
1
)]
h3 12
f ''(k )
k [ xk , xk1]
求和可得
I
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x )dx
a
k0 xk
h 2
n1
[
k0
f
(
xk
)
f ( xk1)]
Rn ( f )
2
记
Tn
h 2
n1 k0
[
f
(
xk
)
f ( xk1)]
b
lim
n
T
n
a
f ( x)dx,
复 化
事实上
h n1
Tn
2
[
k0
f
(
xk
)
Hale Waihona Puke f ( xk1 )]梯 形 公
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
式 的 收
lim

复化求积公式

数值分析
第 二 节 复化求积公式
一、复化求积公式 复化求积公式的基本思想： 将区间[a , b] 分为若干个小子区间，在每个 小子区间上使用低阶的Newton-Cotes公式。然后
把它们加起来，作为整个区间上的求积公式。
数值分析
数值分析
1、复化梯形公式
将区间 a , b n等分, ba h , xk a kh, ( k 0,1, , n), n 在每个小区间 xk , xk 1 ,（k 0,1, , n 1） 上用梯形公式:
数值分析
数值分析
数值试验
复化Simpson公式Matlab程序

function rs= simpson(s,a,b,n) h = (b-a)/n; r= feval(s,a)+feval(s,b); for j = 1:2:n-1 x=a+j*h ; r= r+ 4*feval(s,x); end for j = 2:2:n-2 x=a+j*h ; r= r+ 2*feval(s,x); end 将此程序存于work目录中 rs = r*h/3;
n 1
复化Simpson公式的截断误差为
(b a ) 4 (4) 4 R( Sn ) h f ( ) O(h ) a, b 2880
数值分析
数值分析
数值分析
数值分析
Example 1
Approximate the integral

1 0.9 0.8 f(x)=sin(x)/x 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
s in x dx x 0
Using the Composite Trapezoidal rule and Composite Simpson’s rule

复化求积公式


补例：用复化梯形法的递推公式计算求积分值 I 到T8

1
0
sin x dx. ，计算 x
解 我们先对整个区间[0,1]使用梯形公式。对于函数
sin x f x x
它在 x 0的值定义为 f 0 1 , 而 f 1 =0.8414709，据梯形公式计
算得
T1
1 [ f ( 0) f (1)] 0.9207355 2
5/8 0.9361556
0.9088516
0.9460832
7/8 0.8771925 1 0.8414709
比较上面例题分别用复化梯形公式和复化 Simpson公式得到的两个结果T8和S4,它们都在只提供 相同的9个点上的函数值上进行的，工作量基本相同, 然而精度却差别很大. 同积分的准确值I(f)=0.9460831比较,复化梯形法 的结果T8=0.9456909只有两位有效数字, 而复化 Simpson法的结果S4=0.9460832却有六位有效数字.
ba h n
1 h n 1 Tn f ( x 1 ) k 2 2 k 0 2
(4.3.3)
由递推复化梯形公式 (也称为变步长梯形公式）可见，在 已计算出 Tn 基础上再计算 T2 n 时，只要计算n个新分点上的函 数值就行了，这与直接利用复化梯形公式相比，计算工作量 几乎节省一半。
然后用梯形公式的递推化公式
T2
1 1 1 T1 f ( ) 0.9397933 2 2 2
1 1 1 3 T4 T2 f f 0.9445135 2 4 4 4
1 1 T8 T4 f 2 8
1 8
4

j 1
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xk xk 1 xk1 f ( x)dx 2 [ f ( xk 1 ) f ( xk )] , k 1, ... , n n n 1 b h h f ( x )dx [ f ( xk 1 ) f ( xk )] f (a ) 2 f ( xk ) f (b) a 2 2 k 1 k 1
R[ f ] 1 b '' 1 2 f ( x)dx [ f ' (b) f ' (a)] h 12 a 12
2阶收敛
4阶收敛
6阶收敛
例1：计算

4 2 0 1 x
1
dx 用8等分的梯形公式和4等分的Simpson公式计算
运算量基本 相同，都用 了9个点
7 1 解： T8 f (0) 2 f ( xk ) f (1) 16 k 1
§4 龙贝格积分 /* Romberg Integration */
复化梯形公式算法简单，但精度较差，收敛速度（2阶收敛） 较慢，如何提高收敛速度？
4m 1 , m 注：按上面规律，可以构造线性组合系数为 m 4 1 4 1 的新的积分公式，但当m>4时，前一个系数接近于1，后一个 系数接近于0，这样构造出的新公式与前一个公式结果差别不 大，反而增加计算量，因此实际上常做到Romberg公式为止。
n
2
收敛速度与误差估计：
定义
若一个复化积分公式的误差满足
lim
h 0
则称该公式是 p 阶收敛的。 复化梯形公式：
R[ f ] 且C C p h
0，
h2 h 2 b '' R[ f ] (b a) f '' ( ) f ( x)dx /*中值定理*/ 12 12 a
sin x 例：分别用复化梯形和复化Simpson求积公式计算积分I dx, 0 x 1 要求误差不超过＝ 10 6 2 1 解：利用max | f ( k ) ( x) | 0 x 1 k 1 1.复化梯形公式
1
I C4 0.946083004
事后误差估 计式，可用 来判断迭代 是否停止。
xk
= Tn
h h ( k )] (b a ) k 1 R[ f ] [ f 12 12 n k 1 h2 (b a ) f ( ), (a , b ) 12
n
3
2
f (

n
k
)
/*中值定理*/
ba 复化 Simpson 公式： h n , xk a k h
§3 复合求积 /* Composite Quadrature */
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 复合梯形公式： h
ba , xk a k h n ( k 0, ... , n)
在每个 [ xk 1 , xk ] 上用梯形公式：
其中 x k
k 8
= 3.138988494
S4 1 f (0) 4 f ( x k ) 2 f ( x k ) f (1) 其中 x k k 24 odd even 8
= 3.141592502
Q: 给定精度 ，如何取 n ?
例如：要求 | I Tn | ，如何判断 n = ？
4
= Sn
b a h (4) R[ f ] f ( ) 180 2
注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数，
这时 h b a h , xk a k，有 h
h S n [ f (a ) 4 f ( xk ) 2 f ( xk ) f (b)] 3 odd k even k
( k 0, ... , n)

xk 1 xk
h f ( x ) dx [ f ( xk ) 4 f ( xk 1 ) f ( xk 1 )] 2 6
xk
xk1
2
x k 1
4 4 4
4 4

b
a
n 1 n 1 h f ( x)dx [ f (a) 4 f ( xk 1 ) 2 f ( xk ) f (b)] 2 6 k 0 k 1