复化求积实验报告

复化抛物线积分公式实验的目的及意义：前边考虑到数值计算的稳定性，用增大n 的方法来提高数值积分代数精度的方法是不可取的。

类似于分段差值，为了减少数值积分的误差，可以把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上采取低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似，这就是复化数值积分。

将区间[a,b]n 等分，取等距节点n a b h n i ih a x i -==+=,,...,2,1,0,由定积分的区间可加性，有()()dxx f dx x f b a ni x x i i ⎰∑⎰=-=11在每一个小区间上采用simpson 积分公式有 ()()()[]i i x x x f x f h dx x f ii +≈-⎰-112 一般记()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=b f b a f a f a b S n 246称做n+1点复化simpson 积分公式。

数学公式：()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-≈⎰b f b a f a f a b x f ba 246算法描述：Step1:输入a,b 和正整数n ；Step2:置h=(b-a)/2n;Step3:F0=f(a)+f(b);F1=0;F2=0;Step4:对j=1,2,…,2n-1循环执行步5至步6；Step5:置x=a+jh;Step6:如果j是偶数，则F2=F2+f(x);否则F1=F1+f(x); Step7:置S=h(F0+2F2+4F1)/3;Step7:输出S;程序原代码如下：#include "stdio.h"double f(double x){double l;l=4/(1+x*x);return l;}void main(){int n,j;double a,b,h,F0,F1,F2,x,S;printf("请输入端点值a和b:");scanf("%lf%lf",&a,&b);printf("请输入n:");scanf("%d",&n);h=(b-a)/(2*n);F0=f(a)+f(b);F1=0;F2=0;for(j=1;j<2*n-1;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f(x);elseF1=F1+f(x);}S=h*(F0+2*F2+4*F1)/3;printf("S=%lf\n",S); }数值计算:计算π；请输入端点值a和b:0 1请输入n:100S=3.141593Press any key to continue对计算结果进行评价分析：其误差可以由[]()()()()b afabfR,,2880452∈--=ηη求出。

第1篇一、实验目的1. 理解复数的概念及其在数学和物理中的应用。

2. 掌握复数的四则运算规则，包括加法、减法、乘法和除法。

3. 熟悉复数在计算机编程中的应用，如复数类的实现。

4. 通过实验加深对复数运算原理的理解。

二、实验原理复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成，形式为 a + bi，其中 a 和b 是实数，i 是虚数单位，满足i² = -1。

复数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如电路分析、信号处理等。

复数的四则运算规则如下：1. 加法：两个复数相加，将它们的实部和虚部分别相加，即 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。

2. 减法：两个复数相减，将它们的实部和虚部分别相减，即 (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。

3. 乘法：两个复数相乘，使用分配律和虚数单位 i 的性质，即 (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i。

4. 除法：两个复数相除，先将除数乘以共轭复数，然后实部和虚部分别相除，即(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)。

三、实验内容1. 复数的加法：编写程序实现两个复数的加法运算。

2. 复数的减法：编写程序实现两个复数的减法运算。

3. 复数的乘法：编写程序实现两个复数的乘法运算。

4. 复数的除法：编写程序实现两个复数的除法运算。

5. 复数类的实现：使用面向对象编程方法，实现一个复数类，包含加法、减法、乘法和除法方法。

四、实验步骤1. 加法运算：- 输入两个复数的实部和虚部。

- 计算它们的和，输出结果。

实验四 数值微积分实验学院：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 学号： 姓名：一． 实验目的1 利用复化求积公式计算定积分，并比较误差；2 比较一阶导数和二阶导数的数值方法，并绘图观察特点.二． 实验题目用复化梯形公式、复化辛普森公式、龙贝格公式求下列定积分，要求绝对误差为8105.0-⨯=ε，并将计算结果与精度解进行比较：⑴dx e x e x2321432⎰= ⑵dx x x ⎰-=322326ln .利用等距节点的函数值和端点的导数值，用不同的方法求下列函数的一阶和二阶导数，分析各种方法的有效性，并用绘图软件绘出函数的图形，观察其特点. ⑴35611201x x y -=，[]2,0∈x ⑵xey 1-=，[]5.0,5.2--∈x三． 实验原理1 复化梯形公式将积分区间[]b a ,剖分为n 等分，分点为)2,1,0( =+=k kh a x k ，其中n a b h /)(-=.在每个区间[]1,+k k x x 上用梯形公式，则有 ()()dx x fdxx fn k x xba k k∑⎰=⎰-=+11()()[][]∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=-=++1112n k k k kkk f R x f x f x x()()[][]f R x f x f h n k k n k k k ∑+∑+=-=-=+1112.记()()[]()()()[]∑++=∑+=-=-=+111222n k kn k k knx f b f a f hx f x f h T .2 复化辛普森公式 将积分区间[]b a ,剖分为n 等分，分点为)2,1,0( =+=k kh a xk，其中n a b h /)(-=.记区间[]1,+k k x x 的中点为21+k x ，在每个区间[]1,+k k x x 上用辛普森公式，则得到所谓的复化辛普森公式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+∑-=++-=+1211146k k kn k k k n xfx f x f x x S ，即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑++=-=+-=1211426n k k n k knx f x fb f a f h S .3 龙贝格公式的算法步骤为： I.输入b a ,及精度ε； II.置,a b h -=()()()b f a f h T+=211；III. 置2,1,1===n j i ，对分区间[]b a ,，并计算111,+++i j i j T T ：∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-+nk k ii x f hT T 121111221，144111--=+++jijj jj i j T T T ；IV.若不满足终止条件，做循环：n n h h i i 2:,2/:,1:==+=， 计算∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-+nk k ii x f hT T121111221， 对,,,1i j =计算：144111--=+++jijj jj i j T T T .4 向前差商公式：()()()ha f h a f a f -+≈'；向后差商公式：()()()h h a f a f a f --≈'；中心差商公式：()()()hh a f h a f a f 2--+≈'；二阶导数公式：()()()()22hh a f a f h a f a f ++--≈''.四． 实验内容 实验一第一小题：对于方程dx e x e x2321432⎰=，利用程序shiyan1_01.m内容如下：%第一个函数的实验 clear clcfun=inline('(2/3)*x.^3.*exp(x.^2)'); S1=matrap(fun,1,2,170000); S2=masimp(fun,1,2,250); S3=maromb(fun,1,2,.5e-8); s=exp(4); Er1=abs(S1-s) Er2=abs(S2-s) Er3=abs(S3-s)第二小题：对于方程dx x x ⎰-=322326ln ，利用程序shiyan1_02.m内容如下：%第二个函数的实验 clearclcfun=inline('2*x./(x.^2-3)'); S1=matrap(fun,2,3,15000); S2=masimp(fun,2,3,100); S3=maromb(fun,2,3,.5e-8); s=log(6); Er1=abs(S1-s) Er2=abs(S2-s) Er3=abs(S3-s)实验二第一小题：对于方程35611201x x y -=，[]2,0∈x ，利用程序shiyan2_01.m内容如下：clear clcfun=inline('x.^5/20-(11./6)*x.^3'); dfun=inline('x.^4/4-(11./2)*x.^2'); ddfun=inline('x.^3-11*x'); n=8;h=2/n;x=0:h:2;x1=x(2:n); y=feval(fun,x); dy=feval(dfun,x1); ddy=feval(ddfun,x1); for i=2:ndy1(i)=(y(i+1)-y(i))/h; dy2(i)=(y(i)-y(i-1))/h;dy3(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);ddy1(i)=(y(i+1)-2*y(i)+y(i-1))/(h*h); endfor i=1:n-1err1(i)=abs(dy1(i)-dy(i)); err2(i)=abs(dy2(i)-dy(i)); err3(i)=abs(dy3(i)-dy(i));errd2(i)=abs(ddy1(i)-ddy(i)); end[err1' err2' err3' errd2'] plot(x,y,'r')hold onplot(x1,dy,'y') plot(x1,ddy,'k')第二小题：对于方程xey 1-=，[]5.0,5.2--∈x ，利用程序shiyan2_02.m内容如下：clear clcfun=inline('exp(-1./x)');dfun=inline('(-1./x).*exp(-1./x)');ddfun=inline('(-1./(x.^2)).*exp(-1./x)+1./(x.^2)'); n=8;h=2/n;x=-2.5:h:-0.5;x1=x(2:n); y=feval(fun,x); dy=feval(dfun,x1); ddy=feval(ddfun,x1); for i=2:ndy1(i)=(y(i+1)-y(i))/h; dy2(i)=(y(i)-y(i-1))/h; dy3(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);ddy1(i)=(y(i+1)-2*y(i)+y(i-1))/(h*h); endfor i=1:n-1err1(i)=abs(dy1(i)-dy(i)); err2(i)=abs(dy2(i)-dy(i)); err3(i)=abs(dy3(i)-dy(i)); errd2(i)=abs(ddy1(i)-ddy(i)); end[err1' err2' err3' errd2'] plot(x,y,'r')hold onplot(x1,dy,'y')plot(x1,ddy,'')五．实验结果实验一第一小题T =146.5012 0 0 0 0 0 0 083.9243 63.0653 0 0 0 0 0 062.6132 55.5095 55.0058 0 0 0 0 056.6535 54.6669 54.6108 54.6045 0 0 0 055.1154 54.6027 54.5984 54.5982 54.5982 0 0 054.7277 54.5984 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 0 054.6305 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 0 54.6062 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982Er1 =4.5922e-009Er2 =4.8409e-009Er3 =1.4211e-014第二小题T =2.5000 0 0 0 0 0 0 0 2.0192 1.8590 0 0 0 0 0 0 1.8564 1.8022 1.7984 0 0 0 0 0 1.8088 1.7929 1.7922 1.7921 0 0 0 0 1.7961 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 0 0 0 1.7928 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 0 0 1.7920 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 0 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918Er1 =4.9383e-009Er2 =4.0302e-009Er3 =1.0132e-012实验二第一小题ans =0.2196 0.2196 0.2196 2.1920 0.3627 0.8003 0.5815 2.1480 0.5711 1.4367 1.0039 2.0560 0.7667 2.0411 1.4039 1.91600.9447 2.5991 1.7719 1.72801.1003 3.09632.0983 1.4920 1.22873.5183 2.3735 1.2080 1.3251 3.8507 2.5879 0.87601.3847 4.07912.7319 0.4960第二小题ans =0.6932 0.6932 0.6932 0.1105 0.4680 0.5532 0.5106 0.5030 0.5236 0.6555 0.5895 0.7793 0.5907 0.8102 0.7005 1.2991 0.6692 1.0727 0.8709 2.3982 0.7473 1.6071 1.1772 5.15720.7567 3.0873 1.9220 14.2888六．实验结果分析1.利用复化辛普森公式比利用复化梯形公式，所取的n更小，当达到相同精度时，利用辛普森公式等分次数n更小，减少计算次数.2.若利用同一公式，所取n的大小与题设给出的精度ε之间的关系：当n越大时，与精度ε之间的误差越小；反之，当n越小时，与精度ε之间的误差越大。

华中科技大学数值分析实验报告系、年级学号姓名类别硕士指导老师路志宏2013年4月13日实验 4.1实验目的：复化求积公式计算定积分实验题目：数值计算下列各式右端定积分的近似值3221(1)ln 2ln 321dx x -=--⎰121(2)41dx x π=+⎰102(3)3ln 3xdx=⎰221(4)xe xe dx =⎰实验要求：（1） 若用复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公式做计算，要求绝对误差限为71*102ε-=，分别利用它们的余项对每种算法做出步长的事前估计。

（2） 分别用复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公式作计算。

（3） 将计算结果与精确解作比较，并比较各种算法的计算量。

一、事前误差估计3221(1)ln 2ln 321dxx -=--⎰ 令 21()1f x x =- 则有2(2)234(31)()(1)x fx x -+=-(4)552424()(1)(1)fx x x =-+-故(2)52max ()27f x =(4)5808max ()243f x =由题中精度要求，可知对于复化梯形求积公式有22''()(32)52()()121227n b a h R f h f ηε--=-≤≤得步长h=5.582*10-4对于复化Simpson 求积公式有44(4)()(32)5808()()28802880243n b a h R f h f ηε--=-≤≤得步长h=0.04975对于复化Gauss-Legendre I 型求积公式有44(4)()(32)5808()()43204320243n b a h R f h f ηε--=≤≤得步长h=0.05494对于(2)~(4)，其步长可以仿上加以确定，此处不再赘述，结果一并列表如下：二、利用求积公式进行计算利用上述求积公式进行计算，结果如下表：三、将计算结果与精确解作比较，并比较各种算法的计算量由上表中的误差分析可知，利用题目所要求的复化求积公式运算的结果均在误差限以内，精度满足要求。

数值分析实验报告指导老师：宛艳萍姓名：班级：学号：实验三 复化辛卜生法，龙贝格法1.实验名称：复化辛卜生法，龙贝格法2.实验目的1）通过实际计算体会各种方法的精确度。

2）会编写用复化辛卜生、龙贝格算法求定积分的程序。

3.算法描述1）用复化辛卜生法计算积分 dxx I ⎰+=12)1/(1算法：复化辛卜生公式为S n =h/6∑∑+-=+++)]()2/(4)([11k k kn k x f h x f xf ,计算过程为：1．令,/)(n a b h -= ),2/(1h a f s +=;02=s2．对1,,2,1-=n k计算),2/(11h kh a f s s +++=)(22kh a f s s ++=3．))(24)((6/21b f s s a f h s +++= 。

2）龙贝格算法计算dxxI ⎰+=102)1/(156e ε=-算法)((12/12∑-=++=n k k n n n x f h T T ;/)(n a b h n -= n k h k x )2/1(2/1+=+)(3/122n n n n T T T S -+= )_(15/122n n n n S S S C +=)(63/122n n n n C C C R -+=用事后估计法控制精度2|5e -6n n R R -< 。

4.源程序：1）/* 用复化辛卜生公式求积分 */ #include "stdio.h" float fx(float x){double f;f=1.0/(1.0+x*x); return f; } double fs(int n){double a=0.0,b=1.0,h,s,s1,s2=0; int i;h=(b-a)/n; s1=fx(a+h/2); for(i=1;i<n;i++){s1=s1+fx(a+i*h+h/2); s2=s2+fx(a+i*h);}s=(h/6.0)*(fx(a)+fx(b)+4*s1+2*s2);return s;}void main(){printf("实验三复化辛卜生法计算机112 耿向飞学号：112434\n");printf("s(2)=%lf\ns(4)=%lf\ns(8)= %lf",fs(2),fs(4),fs(8));}2）/* 龙贝格法 */#include "stdio.h"#include "math.h"#define E 2.71828182//被积函数f(x)double fx(double x){double f;f=1/(1+x*x);return f;}//梯形公式求tndouble tx(int n){double s3=0.0,h,t,b=1.0,a=0.0;int i;h=(b-a)/n;for(i=1;i<n;i++)s3=s3+fx(i*h);t=(h/2)*(fx(a)+fx(b)+2*s3);return t;} double s(int n){double s;s=tx(2*n)+(1.0/3.0)*(tx(2*n)-tx(n ));return s;}double c(int n){double c;c=s(2*n)+(1.0/15.0)*(s(2*n)-s(n)) ;return c;}double r(int n){double r;r=c(2*n)+(1.0/63.0)*(c(2*n)-c(n)) ;return r;}void main(){double rr,pp;int n=1;rr=r(n);pp=r(2*n)-r(n);printf("实验三龙贝格法计算机112 耿向飞学号：112434\n");printf("结果为：%.15lf 误差小于等于： %.15lf",rr,pp);}5.运行结果1）复化辛卜生公式2）龙贝格算法6.对算法的理解与分析：复化辛卜生公式和龙贝格算法适用于求数值积分，而且都能提高计算积分的精度龙贝格算法其实是在复化辛卜生公式递推的基础之上生成的一种精度高，而且收敛速度也较快的一种算法。

华中科技大学数值分析实验报告考生姓名考生学号班级指导老师路志宏2013年4月15日实验4.1实验目的：复化求积公式计算定积分试验题目：数值计算下列各式右端定积分的近似值。

（1）3221ln 2ln 321dx x -=--⎰； （2）12141dx x π=+⎰； （3）1023ln 3x dx =⎰； （4）221x e xe dx =⎰；实验要求：（1）若用复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公式做计算，要求绝对误差限为71102ε-=⨯，分别利用他们的余项对每种算法做出步长的事前估计。

（2）分别用复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公式做计算。

（3）将计算结果与精确解做比较，并比较各种算法的计算量。

实验内容：1.公式介绍（1）复化梯形公式： []110(x )(x )2n n k k k h T f f -+==+∑=11(a)2(x )(b)2n k k h f f f -=⎡⎤++⎢⎥⎣⎦∑；余项：2''(f)()12n b a R h f η-=-； （2）复化Simpson 公式：11210(x )4(x )(x )6n n k k k k h S f f f -++=⎡⎤=++⎣⎦∑=111201(a)4(x )2(x )(b)6n n k k k k h f f f f --+==⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦∑∑； 余项：4(4)(f)()()1802n b a h R f η-=-； （3）复化Gauss-Legendre I 型公式：11120(x)(x (x 2n bk k ak h f dx f f -++=⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦∑⎰；余项：(22)21()()()()(22)!n b G n a f R f x x dx n ηρω++=+⎰； 2.步长估计（1）1221f x -=-；则可以得到：2(2)1234(3x 1)(x 1)f-+=-；(2)152max 27f =；(4)1552424()(x 1)(x 1)f =-+-；(4)15808max 243f =估计步长：71(f)102n R ε-≤=⨯；将上述结果分别带入到复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公式的余项中可以得到：复化梯形公式：45.581610h -≤⨯；1792n ≥；复化Simpson 公式：0.0498h ≤；21n ≥；复化Gauss-Legendre I 型公式：0.0549h ≤；19n ≥；（2）2241f x =+；则可以得到：2(2)2238(3x 1)(x 1)f -=+；(2)2max 8f =；42(4)2596(5x 10x 1)(x 1)f -+=+；(4)2max 96f =估计步长：71(f)102n R ε-≤=⨯；将上述结果分别带入到复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公式的余项中可以得到： 复化梯形公式：42.738610h -≤⨯；3652n ≥； 复化Simpson 公式：0.0350h ≤；29n ≥；复化Gauss-Legendre I 型公式：0.0388h ≤；26n ≥；（3）33x f =；则可以得到：(2)233(ln 3)x f =；(2)23max 3(ln3)x f =；(4)433(ln 3)x f =；(4)43max 3(ln3)x f =估计步长：71(f)102n R ε-≤=⨯；将上述结果分别带入到复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公式的余项中可以得到： 复化梯形公式：44.070710h -≤⨯；2457n ≥； 复化Simpson 公式：0.0758h ≤；14n ≥；复化Gauss-Legendre I 型公式：0.0838h ≤；12n ≥；（4）4x f xe =；则可以得到：(2)42x x f e xe =+；(2)24max 4f e =；(4)44x x f e xe =+；(4)24max 6f e =估计步长：71(f)102n R ε-≤=⨯；将上述结果分别带入到复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公式的余项中可以得到： 复化梯形公式：41.424810h -≤⨯；7019n ≥； 复化Simpson 公式：0.0424h ≤；24n ≥；复化Gauss-Legendre I 型公式：0.0469h ≤；22n ≥；3.C++编程计算结果（1）区间逐次分半求积法：依据“事后误差法”，将区间逐次分半进行计算，并利用前后两次计算结果来判断误差的大小。

第二章1.1复合梯形求积公式复合梯形求积公式是复合求积法的一种，在本章中，将从其原理、概念等方面对它做一个详细介绍。

在本章的最后，会对复合梯形求积法进行程序设计，使得可以从不同的方面对这种方法有更深的理解。

1.1.1 复合梯形求积公式的理论当积分区间[a ，b]的长度较大，而节点个数1+n 固定时，直接使用Newton-Cotes 公式的余项将会较大。

但是如果增加节点个数，即1+n 增加时，公式的舍入误差又很难得到控制。

为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复化方法。

即将积分区间][b a ，分成若干子区间，然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes 公，最后将每个小区间上的积分的近似值相加，这就叫做复合求积法。

而复合梯形求积公式就是复合求积法的一种。

1.1.2复合求积公式的原理将区间[]b a ,划分为n 等分，分点,,,1,0,,n k nab h kh a x k =-=+= 在每个子区间[](),1,,1,0,1-=+n k x x k k 上采用梯形公式，则得[])()()(2)()(1111f R x f x f h dx x f dx x f I n k n k k ban k x x k k++===+-=-=∑⎰∑⎰+记()[()]()[()()]∑∑-=+-=++=+=11110222n k b k k n k k n x f x f a f hx f x f h T ， （1.1）称为复合梯形公式，其余项可由)().,(),(12][''3b a f a b f R ∈--=ηη得()()()110''3,12+-=∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=∑k k k n k k n n x x f h T I f R ηη由于[],,)(2b a C x f ∈ 且()(),max 1min 1010''''10-≤≤-=-≤≤≤≤∑n k k n k k n k f n f ηη所以()b a ,∈∃η使()()k n k f n f ηη∑-==10''''1于是复合梯形公式的余项为()()η''212f h a b f R n --= 可以看出误差是2h 阶，且由()()η''212f h a b f R n --= 式立即得到，当][b a C x f ,)(2∈时，则(),lim dx x f T ba n n ⎰=∞→即复合梯形公式是收敛的.事实上只要设()[]b a C x f ,∈，则可得收敛性，只要把n T 改写成为()()]∑∑=-=-+⎢⎣⎡-=nk k n k k n x f n a b x f n a b T 11021当∞→n 时，上式右端括号内的两个和式均收敛到积分()dx x f ba ⎰，所以复合梯形公式（1.1）收敛.此外，n T 的求积系数为正，由定理可知复合梯形公式是稳定的。

【摘要】分别利用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式对定积分进行运算，得到近似数值解，并对各算法的精度和计算复杂度进行了比较与分析。

数值举例结果表明，三种复化求积分算法的运算结果均在绝对误差限ε=5e-8内，并且在相同的精度下，复化gauss-legendre i型公式的步长和计算量最小。

【关键词】复化梯形公式；复化simpson公式；gauss-legendre公式1 引言数值积分是计算数学的基本内容，在工程技术和科学计算中起着十分重要的作用，当积分的精确值不能不能求出时，数值积分就变得越来越重要。

通常数值积分的计算常利用机械积分来实现，其基本思想为：（1）2 理论模型2.1 复化梯形求积公式将区间[a，b]划分成n等分，分点xk=a+kh（，k=1，2，3…n），在每个子区间[xk，xk+1] （k=1，2，3 …n-1）上采用梯形式，则得到（2）记（3）上式（3）为复化梯形公式，其余项可由式，（a≤η≤b）（4）得，ηk∈[xk，xk+1] （5）由于f（x）∈c2[a，b]且，（0≤k≤n-1）（6）所以?∈（a，b），使（7）于是复化梯形公式余项为（8）2.2 复化simpson求积公式将区间[a，b]划分为n等分，在每个子区间[xk，xk+1]上采用simpson式，若记，则得（9）记（10）上式（10）为复化simpson求积公式，其余项可由式，（a≤η≤b）（11）得，ηk∈[xk，xk+1] （12）于是当f（x）∈c4[a，b]时，与复化梯形公式相似有，η∈[a，b] （13）2.3 复化gauss-legendre i型求积公式gauss型求积公式是具有最高代数精度的插值求积公式。

通过适当选取求积公式（1）的节点ε=5e-8和求积系数ak≥0和xk∈[a，b] （k=1，2，3…n），可使其代数精度达到最高的2n+1次。

利用特殊区间[-1，1]上n+1次legendre正交多项式的根作为节点，我们可以建立gauss-legendre型求积公式。

复化求积公式课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解复化求积公式的概念和基本原理；2. 掌握复化求积公式的推导过程；3. 学会运用复化求积公式解决数值积分问题；4. 能够分析复化求积公式的误差来源及改进方法。

技能目标：1. 培养学生运用数学软件或计算器进行复化求积运算的能力；2. 提高学生解决实际数值积分问题的计算技巧；3. 培养学生将复化求积公式应用于其他数学及物理问题的能力。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学习的兴趣和热情，增强自信心；2. 培养学生团队合作精神，学会倾听、交流、分享；3. 培养学生严谨的科学态度，敢于面对和克服困难；4. 培养学生运用数学知识解决实际问题的意识和责任感。

课程性质：本课程属于数学学科，以高中数学知识为基础，重点讲解复化求积公式及其应用。

学生特点：学生具备一定的数学基础，具有较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。

教学要求：通过本课程的学习，使学生能够掌握复化求积公式的推导和应用，提高解决实际问题的能力，同时培养良好的情感态度价值观。

在教学过程中，注重理论与实践相结合，充分调动学生的积极性，激发学生的学习兴趣。

教学设计和评估将围绕课程目标的实现进行，确保学生达到预期学习成果。

二、教学内容1. 引入数值积分的概念，回顾牛顿-莱布尼茨公式及其局限性；2. 讲解复化求积公式的原理，包括复合梯形公式、复合辛普森公式等；3. 详细推导复化求积公式的过程，并通过示例展示其应用；4. 分析复化求积公式的误差，探讨提高精度和稳定性的方法；5. 介绍数学软件（如MATLAB、Python等）在复化求积运算中的应用；6. 结合实际案例，让学生运用复化求积公式解决具体数值积分问题；7. 总结复化求积公式在数学及物理领域中的应用，拓展学生视野。

教学内容安排和进度：第一课时：回顾数值积分概念，引入复化求积公式；第二课时：讲解复化求积公式原理，进行公式推导；第三课时：分析误差来源，提高精度和稳定性方法；第四课时：数学软件在复化求积运算中的应用；第五课时：实际案例分析与讨论；第六课时：总结复化求积公式应用，拓展学生视野。

实验报告
一、实验目的
复化求积公式计算定积分。

二、实验题目
1.用复化梯形公式、复化辛普森公式求下列定积分，要求绝对误差为3
10-=ε，并将计算结果与精确解进行比较： dx e x e x 232
143
2⎰= 三、实验原理
复化求积公式程序，复化辛普森公式程序。

四、实验内容及结果
五、实验结果分析
实验1中复化梯形公式和复化辛普森公式的比较：
运行复化梯形公式的时候，因为要去找区分精度，所以花的时间比较长，需要将区间分为365份时才能达到规定的误差范围。

而复化辛普森公式则只需要将区间分为12份即可。

说明复化辛普森比较好。

复化中矩形求积公式余项复化中矩形求积公式余项，这可真是个有点复杂但又超级有趣的数学概念啊！咱们先来说说啥是复化中矩形求积公式。

想象一下，你有一条弯弯曲曲的曲线，就像你在公园里走的那种没有规律的小道。

现在你想知道这条小道下面的面积大概是多少。

那咱们就把这条小道切成好多好多的小段，每一小段都近似看成一个矩形。

比如说，把区间 [a, b] 分成 n 等分，每个小区间的长度就是 h = (b - a) / n 。

然后在每个小区间的中点找一个点，以这个点的函数值乘以小区间的长度，把所有这些乘积加起来，这就是复化中矩形求积公式啦。

但是，这里面就有个小问题，咱们这样算出来的面积并不是完全准确的，总会有那么一点点误差，这就是余项啦。

我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个小家伙特别较真儿。

他瞪着大眼睛问我：“老师，为啥就不能完全算准呢？”我笑着跟他说：“这就好比你用尺子量一个弯弯曲曲的线，尺子是直的，线是弯的，怎么可能量得一点不差呀！”这小家伙似懂非懂地点点头。

那这个余项到底咋算呢？其实它跟函数的高阶导数有关系。

简单来说，函数越弯曲，余项就可能越大。

咱们来举个例子，假如有个函数 f(x) = x²，要在区间 [0, 1] 上用复化中矩形求积公式来算面积。

分成 10 等分，算出来的结果和准确值一比较，就能看到那个小小的误差。

在实际应用中，了解这个余项很重要哦。

比如说在工程计算里，如果对精度要求很高，就得搞清楚这个余项有多大，看看咱们用的方法合不合适。

再比如说，在做科学研究的时候，一点点误差可能就会导致完全不同的结论。

所以得把这个余项控制在一个能接受的范围内。

总之，复化中矩形求积公式余项虽然有点复杂，但只要咱们认真琢磨，就能搞清楚它的门道，让数学为咱们的学习和生活服务！怎么样，这下对复化中矩形求积公式余项是不是有点感觉啦？。

Lab5．复化求积实验【实验目的和要求】1．使学生深入理解复化求积方法，能用Matlab 语言编写按复化梯形公式和复化Simpson 公式进行数值积分的程序；2．掌握用复化梯形公式和复化Simpson 公式进行数值积分的方法。

3．对dx x ⎰+=10142π，用所编写的程序计算T 8和S 4，通过结果的比较和理论分析，以了解复化梯形公式和复化Simpson 公式精度。

【实验内容】1．根据Matlab 语言特点，描述复化梯形公式和复化Simpson 公式。

2．用Matlab 语言编写按复化梯形公式和复化Simpson 公式求积分的程序。

3．对于dx x ⎰+=10142π，用所编写的程序计算T 8和S 4。

并比较计算结果的精度。

【实验仪器与软件】1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ；2．Matlab 6.0及以上版本。

实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年 月 日Lab5．复化求积实验一、复化梯形公式和复化Simpson 公式将区间[a,b]划分为N 等分，分点Xk=a+(k-1)h,h=(b-a)/n,k=1,2,…,n,n+1,在每个子区间[Xk,Xk+1](k=1,…n)上采用梯形公式，则得I=)()]()([2)()(1111f R x f x f h dx x f dx x f n k n k k n k xk xk b a ∑∑⎰⎰=+=+++==把∑∑==++++=n k k n k k k n b f x f a f h x f x f h T 211)]()(2)([2]()([2＝）称为复化梯形公式，其余项为)(12)(2ηn n f h a b f R --= ),(b a ∈η将区间划分为N 等分，且N=2M ，在每个子区间上采用辛普森公式，若记,22h x x k k +=+则得I=⎰∑∑==+--+++==b a m k m k f n k k k k k R x f x f x f h dx x f x dx x f 11)(12212212)]()(4)([62)()( 记∑∑∑==+=+-+++=++=m k m k k k m k k k k n b f x f x f a f h x f x f x f h S 12122112212)]()(2)(4)([3)]()(4)([3称为复化辛普森求积公式，其余项为：)()2(180)(44ηf h a b f R n --= ),(b a ∈η二、复化梯形和复化Simpson 的程序x=a;T=0;for i=1:(n-1)x=x+h;T=T+f(x);ends=(f(a)+2*T+f(b))*h/2;%复化Simpson程序function s=fhxps(a,b,n)%[a,b] %为积分区间，n为等分数h=(b-a)/n;x=a;x2=a+h/2;T=0;S=f(x2);for i=1:(n-1)x2=x2+h;x=x+h;S=S+f(x2);T=T+f(x);ends=(f(a)+4*S+2*T+f(b))*h/6;三、数值计算实验function f=fun(x)f=x./(4+x.^2);%利用梯形求积公式：a=0;b=1;n=8;T=ftxing(a,b,n)运行计算得：T=0.1114代数精度为1次%利用辛普森求积公式：a=0;b=1;n=4;S=fxpin(a,b,n)运行计算得：S=0.1116代数精度为3次四、实验总结答：通过实验发现，利用辛普森公式进行数值计算所得结果的代数精度为三次。

复化求积公式计算定积分试验四试验报告专业：数学与应用数学（师范）年级：08 班级：学号：姓名：试验目的1.掌握各种复化求积公式，并利用它们求定积分；2.掌握比较一阶导数和二阶导数的数值方法；3.通过用不同复化求积公式计算定积分，并与精确解得比较，明白各个复化求积公式的优缺点。

二：试验题目1、复化求积公式计算定积分用复化梯形公式、复化辛普森公式、龙贝格公式求下列定积分，要求绝对误差为8105.0-?=ε，并将计算结果与精确解进行比较：(2) ?-=322.326ln dx x x2、比较一阶导数和二阶导数的数值方法利用等距节点的函数值和端点的导数值，用不同的方法求下列函数的一阶和二阶导数，分析各种方法的有效性，并用绘图软件绘出函数的图形，观察其特点。

（2）y=e (-1/x)一、实验原理1、复化求积公式计算定积分1.1复化梯形公式将积分区间[a,b]分为n 等分，分点为k x =a+kh （k=0，1，….,n ）,其中h=（b-a ）/n 。

在每个小区间[k x 1+k x ]上用梯形公式，则])(2)()([2)]()([2][)]()([2][)]()([2)()(11101101011011101∑∑∑∑∑∑??-=-=+-=-=+-=++-=++=+=++=++-==+n k k n k k k N n k n k k k k n k k k k k k n k x x ba x fb f a f h x f x f h T f R x f x f h f R x f x f x x dx x f dx x f k k 记1.2复化辛普森公式将积分区间[a,b]分为n 等分，分点为k x =a+kh （k=0，1，….,n ）,其中h=（b-a ）/n 。

记区间[k x ，1+k x ]的中点为21+k x 在每个小区间[k x 1+k x ]上用辛普森公式，则S ])(4)(2)()([6112111++++=∑∑-=+-=n k k n k k n x f x f b f a f h1.3 龙贝格公式步1:输入a,b 及精度ε;步2:置h=b-a, 11T =h/2*(f(a)+f(b));步3：置i=1,j=1,n=2,对分区间[a,b]，并计算111,+++i j i j T T ：144,)(221111121111--=+=+++=-+∑j i j i j j i j n k k i i T T T x f h T T ；步4：若不满足终止条件，作循环：i:=i+1,h:=h/2,n:=2n,144i 1j ,)(221111121111--==+=+++=-+∑j i j i j j i j n k k i i T T T x f h T T ，计算：，对计算：终止条件一般去|11++i j T -ε≤|i j T . 2、比较一阶导数和二阶导数的数值方法2)h -(2f(a)-)h a ()(2)h -(-)h a ()()h -()()()()()(h a f f a f ha f f a f h a f a f a f ha f h a f a f ++=+=-=-+=二阶导数：中心插商：向后插商：向前插商：二、实验内容1、复化求积公式计算定积分（2）n=10;a=0.5*10^(-8);fun2=inline('2*x./(x.^2-3)');f2=log(6)s21=matrap(fun2,2,3,n)s22=masimp(fun2,2,3,n)w21=norm(f2-s21)w22=norm(f2-s22)实验设备： matlab 软件。

复化求积思想实验报告一、 题目重述计算曲边梯形面积dx e I 2x ⎰=，可用内接梯形的面积n S 来进行逼近，用动画形象地描述这一逼近的过程。

二、 程序的编辑运用MATLAB 软件编辑程序，实现实验内容：function EX1()a=input('请输入参数a 的值：'); %输入参数b=input('请输入参数b 的值：');n=input('请输入参数n 的值：');sum=0;i=1;h=(b-a)/n;g=exp(a);while i<n %运用while 循环结构求得内接梯形面积sumy=exp(a+i*h);g=[g;y]; %构造y 值的矩阵，用作直方图的输入参数sum=sum+y*h;i=i+1;endx2=0:h:2-h; %定义直方图的横坐标bar(x2,g,'c') %做直方图，并定义图形的颜色为青色hold on 使当前坐标系和图形保留x=0:0.1:2;plot(x,exp(x),'r'); %做y 的曲线title('y=exp(x)ͼÏñ') %定义图形标题sum %输出内接梯形面积sumf=sym('2.71828^x'); %取e 的值为2.71828U=int(f,'x',a,b)三、程序运行结果（1）当n=5时，命令窗口输入为：请输入参数a 的值：0请输入参数b 的值：2请输入参数n 的值：5sum =4.7962U =6.389050456>>图形为：（2）当n=10时，命令窗口输入如下：请输入参数a的值：0请输入参数b的值：2请输入参数n的值：10sum =5.5714U =6.389050456>>图形为：（3）当n=15时，命令窗口输入为：请输入参数a的值：0请输入参数b的值：2请输入参数n的值：15sum =5.8392U =6.389050456>>图形为：（4）当n=20时，命令窗口输入为：请输入参数a的值：0请输入参数b的值：2请输入参数n的值：20sum =5.9749U =6.389050456>>图形为：（5）当n=100时，命令窗口输入为：请输入参数a的值：0请输入参数b的值：2请输入参数n的值：100sum =6.3054U =6.389050456>>图形为：四、实验结果由MA TLAB软件作出的图形可以看出，当n趋于无穷大时，内接阶梯形面积趋近于曲边梯形的面积。